TEORIA DE CONJUNTOS

1. TEORIA DE
CONJUNTOS
PRESENTA:
Leonardo Raul Quenta Quispeluza
Duilio Florentino Nina Mamani

2. 2
ÍNDICE
INTRODUCCION
DETERMINACION DE CONJUNTOS
RELACION DE PERTENENCIA
DIAGRAMAS
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
CLASES DE CONJUNTOS
CONJUNTOS ESPECIALES
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
PAR ORDENADO
PROBLEMAS

3. NOCIÓN DE CONJUNTO
Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación
de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denomina
ELEMENTOS del conjunto.
Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas
(A;B;C…Z) y sus elementos separados por comas y encerrados
entre llaves.
El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la
estructura matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en
matemáticas como un término indefinido, tal como en geometría que
toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero
si de manera intuitiva. Similarmente sucede con el término elemento.
3

4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
4
👉POR EXTENSIÓN O EN FORMA TABULAR
Es cuando se pueden indicar explícitamente a cada uno de los elementos
de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida.
👉POR COMPRESIÓN O EN FORMA CONSTRUCTIVA
Es cuando se mencionan una o más características
comunes y exclusivas a los elementos del conjunto. Conjunto={
ESQUEMA GENERAL
Forma del
elemento
Características
(Propiedades) }

5. RELACIÓN DE PERTENENCIA
Es la relación que tiene un conjunto con sus elementos y viceversa.
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el
símbolo ∊ que se lee “pertenece a” o “está en”, por el contrario, se
utiliza el símbolo ∉ y se lee “no pertenece a” o “no está en”.
Ejemplo:
A={a, {a}, b, c}
a ∊ A {b} ∉ A
e ∉ A c ∊ A
{a} ∊ A {{c}} ∉ A
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6. DIAGRAMAS
👉DIAGRAMA DE VENN-EULER
6
Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas,
dentro de cada figura se ponen los elementos que le
corresponden. Se utilizan para representar gráficamente a los
conjuntos.
Y
4 2
6
8 10
11

7. 7
👉DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL
Consisten en líneas perpendiculares que se cortan (una horizontal
y otra perpendicular) tal que un plano cartesiano; en la parte
superior e inferior de la línea horizontal se ponen los elementos
que cumplen una propiedad y de manera similar al lado izquierdo y
derecho de la línea vertical. De tal manera se pueden realizar las
operaciones entre conjuntos.

8. 8
👉DIAGRAMAS LINEALES
Son representaciones gráficas que sirven para indicar relación de
inclusión .
Si: A ⊂ B Si: A=B A B
B
A
-CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS -NÚMERO CARDINAL
El número cardinal de un conjunto (A)
nos indica la cantidad de elementos
diferentes que posee y se denota: n(A).
Ejemplos
A={5, 6, 6, 5} n(A)= 2
B={x/x ∊ IN ∧ 3< x <6}
n(B)= 2 , x= 4,5

9. RELACIONES ENTRE
CONJUNTOS
Se dice que A esta incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de
A pertenecen a B. Se denota: A ⊂ B.
Se lee: “A esta incluido en B”
“A esta contenido en B”
“A es subconjunto de B”
Ejemplo
A= {p, q}
B={p, q, r, s}
A ⊂ B
9
👉INCLUSIÓN ⊂
.s
B
.r
.q
A
.p

10. 10
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
1. A ⊂ B ↔ (∀ x ∊ A) → x ∊ B
A ⊂ B ó B ⊂ A
2. Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí
mismo.
∀ A : A ⊂ A
3. El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.
4. Si un conjunto tiene “n” elementos entonces tendrá: 2
subconjuntos.
Ejemplo:
n
B={2, 4}
Sub conjuntos de “B”:
∅, {2}, {4}, {2, 4}
-Números de subconjunto de B es: 2 = 4
2

11. 11
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin
importar el orden.
Se denota: A = B Se define: A=B ↔, A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplo
A= {x/x ∊ Z ∧ x+3 = x - 9}
B= {-3, 4}
De A: x+3 = x – 9
x - x – 12 = 0
x -4
x 3
👉IGUALDAD =
2
(x-4) (x+3) = 0
x= -3 v 4
.-3
A B
.4

12. 12
👉CONJUNTOS DIFERENTES
Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene
por lo menos un elemento que no posee el otro.
Se define:
A B ↔ A ⊄ B v B ⊄ A
Ejemplo
A= {x/(x-1) (x-2) (x-3)x = 0}
B= {0, 1, 2, 3, 4}
De A: (x-1) (x-2) (x-3)x = 0
x = 0 ,1, 2, 3
B
.0 .2.3.4
A
.1
A B
👉CONJUNTOS COMPARABLES
Dos conjuntos A y B son
comparables cuando sólo uno de
ellos esta incluido en el otro es decir:
A ⊂ B ó B ⊂ A
Si dos conjuntos son iguales,
entonces son comparables; lo

13. 13
A veces, dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, esto es, la
intersección de ambos es el conjunto vacío. En este caso diremos que
los conjunto son disjuntos o incompatibles.
A y B son disjuntos ↔ ∃ x/x ∊ A ∧ x ∉ B
👉CONJUNTOS DISJUNTOS

14. 14
👉CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINALES
Para hablar de estos conjuntos de alguna forma, el proceso de
contar sus elementos siempre termina.
Dos conjuntos serán coordinables cuando el numero de sus
elementos son iguales.
Ejemplos
A = { 1, 2} es equivalente a B = {0, 1} ya que | A | = | B | = 2
A = {a, e, i, o, u} es equivalente a B = {lunes, martes, miércoles, jueves,
viernes} ya que | A | = | B | = 5

15. CLASES DE CONJUNTOS
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👉CONJUNTO FINITO
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es
decir, aquel conjunto en que sus elementos se pueden nombrar o
enumerar.
Ejemplo
A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este
conjunto está formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}
👉CONJUNTO INFINITO
Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos
diferentes; es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.

16. CONJUNTOS ESPECIALES
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👉CONJUNTO NULO O VACÍO
Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o
“conjunto nulo” y algunos definen como un conjunto sin elementos.
Este último concepto se presta para confusiones cuando se dice
“conjunto sin elementos”; pues se sabe que un conjunto es una
agrupación de objetos que cumplen una propiedad determinada.
EJEMPLOS
A={x/x es el actual inca
del Perú}
B={x/x ∊ IN ∧ 7 < x < 8}
👉CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN
El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento.
EJEMPLOS
Los conjuntos
A={x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005}={Juan Pablo II}
B={x ∊ N / x2–4=0}={2} son unitarios.

17. 17
Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que
contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto
universal absoluto.
EJEMPLO
A= {x/x es peruano}
B= {x/x es colombiano} → U= {x/x es americano}
C= {x/x es mexicano}
👉CONJUNTO UNIVERSAL
👉CONJUNTO DE CONJUNTOS Ó FAMILIA DE CONJUNTOS
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
EJEMPLO
A= { {5}, {7, 9}, ∅}

18. 18
El nombre de conjunto potencia proviene del hecho de que si un
conjunto A tiene n elementos, la cantidad de subconjuntos que se
pueden formar con los elementos de A es 2.
Sean A y X conjuntos cualesquiera; el conjunto formado por todos los
subconjuntos de A de denomina conjunto potencia y se denota por P(A).
EJEMPLO
Sean A y B conjuntos definidos como A={2}, B={1,2,3} y C={ }.
Propiedades del conjunto potencia
Sean A, B, X conjuntos cualesquiera, entonces se tiene:
👉CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES
n

19. OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS
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👉UNIÓN O REUNIÓN
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
comunes y no comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se denota:

20. 20
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos
los elementos comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos), es
decir, es el conjunto formado por todos los elementos repetidos y se
denota:
👉INTERSECCIÓN

21. 21
La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por
todos los elementos no comunes del conjunto B respecto al conjunto A;
es decir, los elementos que están en A, pero no están en B y se denota:
A-B.
Ejemplo determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos C-B dado
que B={1,2,9,5}, C={2,4,6,9} y U={1,2,9,5,4,6,8,7}
Por simple inspección C-B={4,6}
👉DIFERENCIA

22. 22
La diferencia simétrica entre de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por todos los elementos no comunes de ambos conjuntos; es
decir, los elementos que no están repetidos entre los conjuntos y se
denota:
👉DIFERENCIA SIMÉTRICA
Ejemplo
A= {2, 3, 4}
A Δ B = {2, 5}
B= {3, 4, 5} }

23. 23
Ejemplo de
Aplicación

24. 24
Ejercicio completo

25. 25
El complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que
pertenece al conjunto U pero no a “A”.
👉COMPLEMENTO

26. 26
EJEMPLO DE APLICACIÓN:
Ejemplo de Aplicación
Dado los siguientes conjuntos:
A = {1; 3; 5; 7} U = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
Halla: A'
Resolución:

27. 27
Ejercicio Completo

28. 28
EJERCICIO COMBINADO DE AMBOS

29. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
29
El álgebra de conjuntos tal como la de proposiciones es un
sistema axiomático consistente, completo e independiente; se
utiliza básicamente para demostrar la igualdad entre conjuntos
o construir y simplificar conjuntos complejos y siempre que
tengan determinadas propiedades.
Signos lógicos. Corresponde a los conectivos que se trataron
en el capítulo de lógica proposicional y cuantificacional, son
ellos:
Signos específicos. Estos signos también se reconocen como
signos de relación en la teoría de conjuntos y se utilizan tres:

30. 30
Letras. Se usan letras mayúsculas y minúsculas con o sin índices y
subíndices.
Signos de agrupación. Se usan paréntesis “(” y “)”, además, las llaves
“{” y “}”.

31. LEYES DEL ÁLGEBRA DE
CONJUNTOS
31
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia A  A = A A  A = A
2.- Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A
3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C
4.- Absorción A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A
5.- Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
6.-Complementariedad A  A' = U A  A' = 
7.-Identidad A  = A A U = A
8.-Dominación A U = U A = 

32. 32
PROPIEDADES CONJUNTOS
9.-Involución (A')' = A ( (A')')' = A'
10.-Ley de Morgan ( A  B )' = A'  B' ( A  B )' = A' B'
11.-Ley de conjuntos A  ( A'  B ) = A  B A  ( A'  B ) = A  B

33. PAR ORDENADO
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Es un conjuntos que tiene dos elementos (no
necesariamente diferentes), en la cual interesa el
ordenamiento de estos elementos llamados también
componentes.
(a ; b)
Segunda componente
Primera componente

34. 34
PROPIEDAD:
Se llama par ordenado (a, b) si cumple la siguiente
condición:
Si dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si
y solo si sus primeras y segundas componentes
son iguales respectivamente, esto es:
(a, b) = (c, d) ⟺ a = c ∧ b = d

35. 35
Respecto a esto, podemos preguntarnos ¿cómo se obtiene
un par ordenado?, ¿para qué sirve un par ordenado?
-Un par ordenado se puede obtener desarrollando una función o
realizando la operación llamada producto cartesiano .
-Como consecuencia, un par ordenado sirve para representar
un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos,
un punto en un plano cartesiano o bien una razón o una
función.

36. 36
Dados 2 conjuntos A y B no nulos, se
denomina producto cartesiano de A y B (A x
B), en ese orden, al conjuntos formado por
todos los pares ordenados (a ; b) tal que las
primeras componentes pertenecen al conjunto
A y las segundas componentes al conjunto B.
Se define: A x B { (a ; b)/a ∈ A ∧ b ∈ B}
👉PRODUCTO CARTESIANO
PROPIEDADES

37. 37
👉FORMA TABULAR
A c d e
a (a ; c) (a ; d) (a ; e)
b (b ; c) (b ; d) (b ; e)
B
A x B={(a ; c),(a ; d),(a ; e),(b ; c),(b ; d),(b ; e)}
A a b
c (c ; a) (c ; b)
d (d ; a) (d ; b)
e (e ; a) (e ; b)
B
OBSERVACIÓN
* A x B = B x A (Sólo si A = B)
* n(A x B) = n(A) x n(B) ; A y B
son conjuntos finitos
A x B ≠ B x A

38. PROBLEMAS
38
1. Si: C ⊂ (A Δ B), simplificar:
(A ∪ B)–[(B – C) ∪ (A – C) ∪ (A ∩ B)]
Solución:
Dato: C ⊂ (A Δ B) → (A Δ B) ∩ C = C
Observación: x-y = x ∩ y´
H=(A ∪ B) ∩ [(B – C) ∪ (A – C) ∪ (A ∩ B)]´
Observación: (x ∪ y ∪ z)´ = x´ ∩ y´ ∩ z´
H=(A ∪ B) ∩ [(B – C)´ ∩ (A – C)´ ∩ (A ∩ B)´]
H=[(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)´] ∩ [(B ∩ C´)´ ∩ (A ∩ C´)´]
H=[(A ∪ B) – (A ∩ B)] ∩ [(B´ ∪ C) ∩ (A´ ∪ C)]
H=[(A Δ B) ∩ {[B´ ∩ (A´ ∪ C)] ∪ [C ∩ (C ∪ A´)]}
H=(A Δ B) ∩ {[B´ ∩ (A´ ∪ C)] ∪ C}
H=(A Δ B) ∩ {[(B´ ∩ A´) ∪ (B´ ∩ C)] ∪ C}
H=(A Δ B) ∩ [(B´ ∩ A´) ∪ C]
H=[(A Δ B) ∩ (B ∪ A)´] ∪ [(A Δ B) ∩ C]
H=(A Δ B) ∩ C = C


39. 39
2. Se hizo una encuesta a 160 alumnos del CEPU-UNJBG sobre la preferencia de 4 cursos:
Aritmética (A), Algebra (X), Física (F) y Química (Q), obteniéndose los siguientes datos:
*Ninguno que prefiere (F) simpatiza con (Q)
*22 sólo con (A) *20 sólo con (X)
*20 sólo con (F) *20 con (A) y (Q) pero no con (X)
*6 sólo con (F) y (X) *4 con (A) y (F)
*24 con (Q) y (X) *28 sólo (Q)
¿Cuántos prefieren sólo (A) y (X), si a todos por los menos les gusta un curso?
F
A
Solución:
X
Q
4
U(160)
6
2022
20
28
20 24
0
?
160=4+6+22+20+20+24+20+28+?
? =16

40. 40
3. Se tiene 3 conjuntos A,B y C cuyos números cardinales son
consecutivos, además se sabe que:
n[P(A)] + n[P(B)] + n[P(C)]=448
Halla el número de elementos puede tener como
máximo el conjunto potencia de AUBUC.
Solución:
n[P(A)] + n[P(B)] + n[P(C)] = 448
2 + 2 + 2 =448
a a+1 a+2
2 ( 1 + 2 + 2 ) = 448
a 2
2 ( 7 ) = 448
a
2 = 64
a
2 = 2
a 6
a=6
a. 8
b. 8
c. 8
d. 8
e. 8
6
7
10
5
4
n[P(A U B U C)]=2
21
n[P(A U B U C)]=8
7

41. 41