Se describen los conceptos basicos sobre teoria de conjuntos.

1. Introducción al algebra superior
MT-MIAS-1602-B2-001
TSU. Matemáticas
Unidad 1 – Actividad 1
Conjuntos
Eduardo Castillo López
ES162001459
Octubre 4, 2016

2. Un conjunto es una colección desordenada de objetos que pueden, o no, tener alguna
característica en común y se representa por medio de letras mayúsculas.
Cada objeto de un conjunto se llama elemento o miembro del conjunto. Para indicar que
un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo de pertenencia ∈. Por ejemplo
para el conjunto 𝐴 = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ∈ 𝐴, 2 ∈ 𝐴, … ,6 ∈ 𝐴.
Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicamos con el símbolo de no pertenencia
∉. Así para el conjunto anterior, podríamos decir 0 ∉ 𝐴.
Existen varias maneras de definir un conjunto, comprendiendo como definir: describir de
una manera precisa, sin ambigüedades, cuáles son los elementos de dicho conjunto.
Los podemos definir por extensión, para ello listamos todos los elementos del conjunto
separados por comas y encerrando todo entre llaves. Por ejemplo:
𝐴 = {1,2,3,4,5, 𝜋}, 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}, 𝑀 = {2, 22
, 23
, 24}
Una alternativa es definir al conjunto enunciando una propiedad de los elementos que lo
integran, esta forma se le llama por compresión, es decir:
𝐴 = {𝑥|𝑥 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑃}
Por ejemplo:
𝑇 = {𝑥|𝑥𝑒𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑥 < 50}
𝐶 = {2 𝑘
|𝑘 𝑒𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑦 1 ≤ 𝑘 ≤ 6}
Según (Rosen, 2004), en ocasiones, la notación con llaves se utiliza para describir un
conjunto sin enumerar todos sus miembros. Sólo se enumeran algunos de ellos y usamos
tres puntos suspensivos (…) para representar los demás cuando el patrón general de los
elementos es obvio. Por ejemplo el conjunto de los enteros positivos menores que 100 se
puede denotar como:
𝑀 = {1,2,3, … ,99}
Decimos que el conjunto A es subconjunto de B si, y solo si, todo elemento de es también
un elemento de B. Usamos la notación 𝐴 ⊆ 𝐵 para indicar que A es un subconjunto de B.
Dicho de otra manera A esta contenido en B.

3. Del diagrama anterior podemos afirmar que ℕ ⊆ ℤ, que los ℕ ⊆ ℚ y que los ℤ ⊆ ℚ.
Entre dos conjuntos es posible realizar diversas operaciones, entre las que se encuentran:
Unión: Sean A y B dos conjuntos. La unión de los conjuntos A y B, denotada por 𝐴 ∪ 𝐵, es
el conjunto que contiene aquellos elementos que están bien en A o bien en B, o en ambos.
Por tanto 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
Intersección: Sean A y B dos conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B, denotada por
𝐴 ∩ 𝐵, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están tanto en A como en B, o
en ambos. Por tanto 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Se dice que dos conjuntos son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío.
Complemento: El complemento de un conjunto A es otro conjunto 𝐴 𝑐
cuyos elementos son
todos aquellos que no están en A. Por tanto 𝐴 𝑐
= {𝑥|𝑥 ∉ 𝐴}

4. Diferencia: Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B, denotada por
𝐴 − 𝐵 o por 𝐴𝐵, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están en A, pero no
en B. La diferencia de A y B se llama también el complementario de B con respecto de A.
Por tanto 𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
Diferencia Simétrica: Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétrica de los conjuntos A y
B es otro conjunto 𝐴 △ 𝐵, cuyos elementos son todos los elementos de A o B, a excepción
de los elementos comunes a ambos. Por tanto 𝐴 △ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵}
Producto Cartesiano: Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A y B es otro
conjunto 𝐴 × 𝐵, cuyos elementos son todos los pares ordenados (𝑎, 𝑏) donde 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈
𝐵. Por tanto 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}. Por ejemplo sea 𝐴 = {1,2} y 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} el
producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 = {(1, 𝑎), (1, 𝑏), (1, 𝑐), (2, 𝑎), (2, 𝑏), (2, 𝑐)}
Referencias
García, J. J. (2016). Nociones sobre conjuntos. Obtenido de
https://www.youtube.com/watch?v=mhft0I_eLk0
Kisbye, P. (2016). UNCAbierta. Obtenido de http://www.ocw.unc.edu.ar/facultad-de-matematica-
astronomia-y-fisica/cursillo-de-ingreso/actividades-y-materiales/elementos-de-logica-y-
teoria-de-conjuntos
Rosen, K. H. (2004). Los fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones. En K. H.
Rosen, Matemática Discreta y sus aplicaciones (págs. 71-89). Madrid: McGraw-Hill.
UnADM. (2016). UnADM. Obtenido de
https://unadmexico.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/modulepage/view?co
urse_id=_26024_1&cmp_tab_id=_48690_1&mode=view