...

1. Ing. WILMAR ORLANDO TABOADA PRINCIPE
Sesión Nro. 01 – Teoría de conjuntos

2. 1. CONJUNTOS
Se entiende por conjunto a una colección, agrupación, clase o reunión de objetos llamados
elementos.
2. NOTACIÓN
Para representar a los conjuntos se utilizan letras mayúsculas A,B,C,D,… y para representar a sus
elementos se usan letras minúsculas a,b,c,d,... , ente un par de llaves.
• Así el conjunto de los diez primeros números naturales positivos:
N = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

3. 3. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Ejemplos:
A. Determinar el conjunto de las cinco vocales
B. Determinar el conjunto de los números impares (+) menores que 16.
❑ Por Extensión o Forma Tabular: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y
cada uno de sus elementos.
A = { a; e; i; o; u}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
❑ Por Comprensión o Forma Constructiva: Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando se nombra
una propiedad o cualidad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto generalmente se emplea
x/x: se lee “x tal x”
A = {x/x es una vocal}
B = {x/x es un número impar < 16}

4. 4. RELACIÓN DE PERTENENCIA
• Un elemento pertenece (Є) a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho conjunto.
• Un elemento no pertenece (∉ ) a un conjunto si no cumple con la condición anotada.
• La relación de pertenencia vincula cada elemento con el conjunto, más no vincula elementos o conjuntos entre
sí.
Ejemplo:
Dado A= {2; 3; {5;6} }
Así diremos que
2 Є A 4 ∉ A
3 Є A 5 ∉ A
{5; 6} Є A 6 ∉ A
Nota: Si A={2;3;2} cuando se repiten elementos
solo se considera uno de ellos, así: A={2;3}

5. 4. RELACIÓN DE INCLUSIÓN O SUBCONJUNTO
• Se dice que el conjunto de A esta incluido en B, si todos los elementos de A están en B.
• Se denota como : A ⊂ B y se lee “A incluido en B”
Ejemplo:
A = {n; 3; 5}
B = {4, n; m; 6; 3; p; 5}
Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego A ⊂ B
Si A ⊂ B ↔ ∀x Є A ↔ x Є B

6. 5. RELACIÓN DE COORDINABILIDAD
• Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una
correspondencia biunívoca
• Cuando dos conjuntos son coordínales tienen el mismo numero de elementos.
A= {a; b; c}
B= {1; 2; 3}
Graficándolos:
Son coordinables
Cardinal de un Conjunto
El cardinal de un conjunto es el numero de elementos de
dicho conjunto y se denota como n(A).
A= {2; 4; 7; 9} -> n(A)= 4
M= {a; b; {m; n}} -> n(M)= 3
B= {2; 3; 2; 2; 5; 6; 7} -> n(B)= 5

7. 6. CLASES DE CONJUNTOS
❑ CONJUNTO NULO O VACÍO
• Es aquel conjunto que carece de elementos, Se denota comúnmente por: ∅ ó { }.
• Convencionalmente el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto.
• El conjunto vacío no tiene ningún subconjunto propio y su numero cardinal: n(∅) = 0
❑ CONJUNTO UNITARIO
• Es el conjunto que consta de un solo elemento, al conjunto unitario también se le llama SINGLETON.
• Ejemplo B = {Betty}
❑ CONJUNTO UNIVERSAL (U)
• Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por regiones planas
rectangulares.

8. ❑ CONJUNTO FINITO
• Cuando el conjunto tiene un determinado numero de elementos diferentes.
• Ejemplos: A= {3; 6, 9; 12}
❑ CONJUNTO INFINITO
• Cuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene limite.
• Ejemplos: A= {x/x es un numero real}
❑ CONJUNTO DISJUNTOS
• Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes, también se les llama conjuntos
excluyentes

9. ❑ CONJUNTO POTENCIA
• Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y de le denota como
P(A).
• Ejemplos:
Dado A = {4; 7} su conjunto potencia será:
P(A)= {{4};{7};{4;7}; ∅}
Dado A = {2;3;4} su conjunto potencia será:
P(A)= {{2};{3};{4};{2;3};{2;4};{3;4};{2;3;4}; ∅}
• El numero de elementos de P(A) o numero de subconjuntos de A, esta dado por n[P(A)] = 𝟐𝒏 donde n
representa el numero de elementos del conjunto A.
• Ejemplos
- Si: A= {4;7} =>n[P(A)] = 𝟐𝟐
= 4 - Si: A= {a; b; c; d; e} =>n[P(A)] = 𝟐𝟓
= 32
- Si: A= {2; 3; 4} =>n[P(A)] = 𝟐𝟑 = 8
❑ SUBCONJUNTO PROPIO
• Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado no es igual a este. Para un conjunto a de cardinal n(A)
tenemos:
• # de subconjuntos propios de A = 𝟐𝒏
- 1

10. 7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
✓ Diagrama de Venn – Euler: Es una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las
relaciones entre conjuntos.
Ejemplo:
A = {2; 3; 5; 7}
B = {2; 3; 4; 5; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Representación:
La interpretación sería:
✓ {7} sólo pertenece a “A”
✓ {2; 3; 5} pertenecen a “A” y a “B”
✓ {4; 6} sólo pertenece a “B”
✓ {1; 8; 9} no pertenecen a los conjuntos “A” y “B”

11. ✓ Diagrama Lineal: Son representaciones de 2 o más conjuntos, donde los conjuntos que se encuentran debajo,
serán subconjuntos de los que se encuentran arriba.
Se utiliza para conjuntos comparables, es decir, para aquellos que cumple: B ⊂ A.
Ejemplos:

12. ✓ Diagrama de Carroll: Se usa generalmente para representar conjuntos disjuntos.
▪ Ejemplo:
▪ A su vez este conjunto de personas podrá dividirse en otros 2 conjuntos así:
B = Conjunto de personas con anteojos.
𝐁𝐂= Conjunto de personas sin anteojos
A= Conjunto de varones
𝐀𝐂
= Conjunto de damas