2. Todos somos
medalleros
Unidad I
• Identifica los elementos básicos de la
geometría para describir su entorno físico.
• Reconoce los tipos de ángulos y las
unidades en que se miden.
• Relaciona las propiedades entre líneas
paralelas y secantes en figuras geométricas.
• Construye triángulos, considerando las
medidas de sus lados y ángulos.
• Identifica las líneas notables en la
construcción de un triángulo.
• Representa diferentes clases de
cuadriláteros en el contexto real.
• Identifica los elementos y características de
los paralelogramos.
Unidad II
• Clasifica y construye gráficamente polígonos
regulares según las medidas dadas.
• Identifica los elementos de la circunferencia.
• Emplea de manera adecuada las
propiedades de ángulos en una
circunferencia.
• Establece criterios de semejanza de
triángulos para resolver problemas de
aplicación.
• Resuelve problemas de perímetros de
figuras geométricas.
• Determina sistemas para la mediación de
área de polígonos regulares.
Unidad III
• Resuelve problemas de áreas de regiones
circulares
• Reconoce los elementos de un sólido
geométrico y el nombre correspondiente de
acuerdo a su número de caras.
• Establece semejanzas y diferencias entre las
propiedades y elementos de diferentes prismas.
• Reconoce datos para la solución de
problemas relacionados con pirámides.
• Resuelve problemas reales que comprendan
el área y volumen del cilindro.
• Identifica los elementos, áreas y volúmenes
del cono y esfera en el planteamiento y
solución de problemas.
Unidad IV
• Localiza conjuntos de puntos sobre el plano
cartesiano para el análisis de distancias.
• Calcula el perímetro de figuras geométricas
en el plano cartesiano.
• Emplea la propiedad del método del
determinante para resolver problemas de
áreas en el plano cartesiano.
• Elabora representaciones espaciales de
la vida cotidiana utilizando la rotación y
traslación de figuras geométricas.
• Interpreta la definición de escalas para el
uso de medidas en un plano o mapa.
• Construye y representa cuerpos de figuras
geométricas observando posiciones y
perspectivas.
En el año 2019, Lima fue sede de los juegos panamericanos, en la que participaron 41 países de amé-
rica en múltiples disciplinas. En este evento, nuestro país obtuvo un total de 39 medallas (11 de oro, 7
de plata y 21 de bronce), lo cual se considera un gran logro para nuestro país.
En este evento, Perú participó en nuevas disciplinas, como la de nado sincronizado, gimnasia rítmica,
entre otras, además se dio a conocer a grandes atletas nacionales, muy prometedores, que dejaron
en alto al Perú
Cabe resaltar que, el objetivo de los juegos panamericanos es la de incentivar la fraternidad entre
países, además de promover el deporte como un ejemplo para llevar una vida saludable.
Orientación al bien
común
Enfoque tranversal
Empatía, generosidad
Valores
Desempeños
• ¿Cuáles son algunos de los objetivos de realizar los juegos panamericanos en nuestro país?
• ¿Crees que es importante que se dé a conocer otros deportes distintos al fútbol?
• ¿De qué forma podemos incentivar a realizar deporte?
Observamos y respondemos
Geometría
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libro
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cualquier
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o
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permiso
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Editorial.
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110
111
Unid
ad
2
Descomposición de un número en sus factores
primos
Todo número compuesto se puede descomponer
como producto de números primos, con los
siguientes pasos:
a. Escribe el número a la izquierda de una raya
vertical, a su derecha el menor número primo
(2, 3, 5, 7, ..) por el cual el número sea divisible,
el cociente se coloca debajo del número inicial.
b. Procede como en el paso anterior con el co-
ciente obtenido y así sucesivamente hasta lle-
gar a un cociente igual a 1.
Ejemplo:
Escribe 120 como producto de números primos.
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
Finalmente:
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
120= 23
× 3 × 5
Cantidad de divisores de un número (CD)
Enumeremos en una tabla la cantidad de divisores
de 360 (que son 24), se tiene:
Divisores de 360
1 2 3 4 5 6 8 9
10 12 15 18 20 24 30 36
40 45 60 72 90 120 180 360
Al realizar la descomposición en factores primos:
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
Finalmente:
360 = 23
× 32
× 5
CD (360) = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1)
CD (360) = 4 × 3 × 2
CD (360) = 24
Se acostumbra a denotar a estos 24 divisores
como:
• Divisores primos (DP): 2; 3; 5
• La unidad: 1
• Los restantes son divisores compuestos (DC).
Se cumple:
CD = DP + DC + 1
A los divisores primos y a la unidad se les llama
divisores simple
Dato importante
En general:
Si un número «n» tiene por descomposición
en factores primos:
Entonces:
CD(n) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Ejemplos:
a. Determina la cantidad de divisores de 400.
400
200
100
50
25
5
1
2
2
2
2
5
5
400 = 24
× 52
CD(400) = (4 + 1) (2 + 1)
CD(400) = 4 × 3 × 2
CD(400) = 15
b. Determina la cantidad de divisores de 1000.
1000
500
250
125
25
5
1
2
2
2
5
5
5
1000 = 23
× 53
CD(1000) = (3 + 1) (3 + 1)
CD(1000) = 16
Ejercicios resueltos
1. Determina los divisores de los siguientes
números y escribe si son primos o compuestos.
• D(37) = {1; 37}
Es primo
• D(64) = {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64}
Es compuesto
• D(124) = {1; 2; 4; 31; 62; 124}
Es compuesto
• D(97) = {1; 97}
Es compuesto
25
Aritmética
Prohibi
da
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libro
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cualqui
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medio
o
proced
imiento
sin
permis
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l.
Conociendo nuestro
Perú profundo y
creando identidad
Unidad I
• Representa y compara los números enteros
en la recta numérica.
• Identifica las propiedades de la adición y
sustracción y resuelve problemas reales
aplicando dichas propiedades.
• Aplica las propiedades sobre la
multiplicación y división en la resolución de
problemas.
• Reconoce e interpreta las propiedades de
radicación y potenciación.
Unidad II
• Resuelve operaciones en donde intervienen
las propiedades de potenciación y
radicación
• Reconoce los elementos de una expresión
algebráica y su clasificación.
• Identifica las clases de polinomios y aplica
su propiedades.
• Efectúa ejercicios que involucran las
operaciones de adición, sustracción y
multiplicación de polinomios.
Unidad III
• Aplica las propiedades de productos
notables en operaciones, para resolver
ejercicios de forma práctica.
• Emplea los métodos de Ruffini y el teorema
del Resto para dividir polinomios.
• Identifica propiedades sobre factorización
y aplica el criterio de las identidades en la
factorización de las operaciones dadas.
• Determina el conjunto solución de una
ecuación de primer grado, utilizando el
método general.
Unidad IV
• Interpreta postulados y teoremas basados
en el sistema de ecuaciones e identifica si el
sistema es compatible e incompatible.
• Representa los intervalos en la recta
numérica y los relaciona en las inecuaciones.
• Identifica el dominio y rango en las
funciones y uso del método gráfico para
determinar si es una función.
• Grafica e interpreta la función lineal.
El turismo hoy en día es un sector relevante para cualquier economía del mundo, ya que genera
puestos de trabajo y desarrollo económico; además, fomenta la conservación cultural, la protección
del medio ambiente, la creación de identidad y el arraigo de nuestro legado.
En nuestro país abundan los lugares turísticos, así como los museos y áreas protegidas, siendo los
departamentos con mayor número de visitas Lima, Cusco, Lambayeque y Puno. Cusco destaca como
el principal destino turístico en el país, considerado como “el ombligo del mundo”.
Nuestra diversidad es un regalo, el cual debemos protegerlo y valorarlo, de tal manera que podamos
generar un crecimiento y bienestar en la población.
Atención a la
diversidad.
Enfoque transversal
Tolerancia y
compañerismo.
Valores
Desempeños
• ¿Sabías que el incremento de turismo en nuestro país se ha triplicado en los últimos 5 años?
• ¿crees que es importante el turismo para el desarrollo económico en el Perú?
• ¿De qué manera nos beneficia el turismo?
Observamos y respondemos
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70
71
Álgebra
El contenido del libro está dividido por áreas: Aritmética, Álgebra y Geometría, lo cual
ayudará al alumno a comprender con exactitud cada tema trabajado en clase.
La probabilidad es un área de la matemática que
mide el grado de ocurrencia de un evento.
Ejemplo:
¿Qué probabilidad hay de obtener el número 4 al
lanzar un dado?
Experimento aleatorio
El experimento aleatorio, es un suceso que al
repetirlo da resultados diferentes y no se puede
predecir el resultado que se va a obtener. Se re-
presenta con la letra «ε».
Ejemplo:
Lanzamiento de un dado.
Experimento determinístico
Es un suceso que da un resultado seguro y con
precisión, aun antes de realizarlo.
Ejemplo:
El lanzamiento de una pelota, se sabe que va a
subir y luego bajar.
Espacio muestral
Consiste en todos los posibles conjuntos forma-
dos por resultados individuales de un experimen-
to aleatorio. Se representa con la letra Ω.
Ejemplo:
Lanzamiento de una moneda.
Experimento aleatorio ε = lanzar una moneda.
Espacio muestral Ω = {cara, sello}.
Suceso o evento
Es un subconjunto del espacio muestral, relacio-
nado con un experimento aleatorio. Se represen-
ta con las primeras letras del abecedario y en ma-
yúscula (A, B, C, D, …). Pueden ser suceso seguro o
suceso imposible.
a. Suceso seguro
El suceso seguro está formado por todos los
elementos del espacio muestral y, por lo tanto,
el evento siempre va a ocurrir.
Ejemplo:
Se tiene en un baúl cintas rojas y azules, al
meter la mano sacaremos una cinta de color
roja o una cinta de color azul.
b. Suceso imposible
El suceso imposible no tiene un elemento del
espacio muestral. Por lo tanto, el evento no va a
ocurrir, y es igual al conjunto vacío.
Ejemplo:
Se tiene en un baúl cintas rojas y azules, al meter la
mano es imposible sacar una cinta de color negra.
Propiedades de las probabilidades
1. La probabilidad de un suceso, es un número
comprendido entre cero y uno.
0 ≤ P(A) ≤ 1
2. La probabilidad de un suceso seguro es igual a
uno (1).
P(Ω) = 1
3. La probabilidad de un suceso imposible es
igual a cero (0).
P(∅) = 0
4. Para dos sucesos cualquiera se cumple:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Diagrama del árbol
Es una representación gráfica de los posibles
resultados de un experimento aleatorio. Se em-
pieza dibujando una rama para cada una de las
posiblidades.
El museo de la nación decide realizar un bin-
go con la finalidad de recaudar fondos para la
restauración de piezas culturales, Juan, un es-
tudiante de historia compra una cartilla como
la que se muestra en la figura. Si el bingo tiene
bolillas del 1 al 90, ¿qué tan probable es que
Juan pueda ganar el bingo?, ¿cómo relacionas
la palabra probabilidad con diversos experi-
mentos aleatorios en la vida real?
Probabilidad
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Apertura del área
Presenta situaciones retadoras gracias a las cuales movilizarás tus habilidades,
destrezas, valores y afectos a través del diálogo y la apreciación personal.
Título del área
Presenta los aprendizajes
esperados.
Formula
preguntas para
orientar el análisis
de la imagen
Presenta
un texto
motivador
Se presenta un
conflicto cognitivo
relacionado con el
enfoque transversal.
Conocemos nuestro
país para promover
su desarrollo
Unidad I
• Identifica afirmaciones y resuelve problemas
sobre conjuntos mediante el uso de
propiedades.
• Interpreta adecuadamente la definición
de números naturales y maneja de forma
adecuada las cuatro operaciones principales.
• Representa de manera adecuada la
representación de números naturales en
distintas bases.
• Identifica y maneja con claridad los criterios
de divisibilidad
• Reconoce matemáticamente la diferencia
entre un número primo y compuesto.
• Efectúa de manera correcta la
descomposición canónica de números
compuestos.
Unidad II
• Resuelve problemas que involucren el M.C.D
y M.C.M. de números naturales
• Interpreta adecuadamente la definición del
conjunto de los números racionales
• Identifica con facilidad la equivalencia entre
fracciones
• Reconoce de forma correcta las
propiedades sobre las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación y división
sobre los números racionales
• Resuelve problemas que involucran las
cuatro operaciones sobre los números
racionales
• Reconoce un número decimal y su fracción
generatriz correspondiente
Unidad III
• Resuelve problemas de adición, sustracción,
multiplicación y división con números
decimales.
• Aplica el algoritmo de potenciación y
radicación con números decimales.
• Interpreta los conceptos de razón y
proporción a través de ejemplos cotidianos.
• Identifica relaciones de proporcionalidad
numérica y las utiliza para resolver
problemas de la vida diaria.
• Emplea de manera adecuada los conceptos
de porcentajes para resolver problemas de
aplicación
• Identifica las reglas de descuento y aumento
sucesivos referente al tanto por ciento en
aplicaciones comerciales.
Unidad IV
• Interpreta adecuadamente los conceptos
elementales de la estadística y la diferencia
entre variables cualitativas y cuantitativas
• Crea tablas para la identificación de datos
estadísticos
• Representa datos estadísticos mediante
gráficos tales como diagrama de barras o
circular
• Interpreta de forma adecuada las
definiciones de media, moda y mediana
• Identifica los datos en el análisis
combinatorio mediante las combinaciones y
las permutaciones
• Reconoce el concepto de probabilidad y
emplea postulados matemáticos que tiene
uso en el cálculo probabilísticos
Hoy en día es muy importante que se incentive a todos los peruanos a conocer más nuestra patria.
Nuestro país es un territorio bendecido por una gran biodiversidad en flora y fauna, además de la
variedad de microclimas que podemos encontrar en distintas regiones y a corta distancia.
También presenta una majestuosidad en lo que concierne a cerámica, arquitectura, folclore entre
otros.
El problema que se presenta en la actualidad, en algunos casos, es la falta de compromiso de parte de
algunos peruanos que en ocasiones no valoran todo esto, además de la falta de patriotismo cultural
de muchos de nosotros.
Es por ello que es de vital importancia que se incentive más a las personas a conocer nuestra cultura
y a aprender a quererla y valorarla.
Intercultural
Enfoque transversal
Respeto, identidad
Valores
Desempeños
• ¿Sabías qué nuestro país es considerado como uno de los mayores productores de papa?
• ¿Crees que es importante que se promueva el conocimiento de nuestro patrimonio cultural?
• ¿De qué manera el conocimiento de nuestro patrimonio aporta al desarrollo del país?
Observamos y respondemos
Aritmética
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6 7
Organizadores internos
Conociendo nuestro libro
Se integra el enfoque transversal y
los valores a trabajar en la unidad.
Cuando veas
los marcadores,
significa que te están
invitando a participar
de una experiencia
en REALIDAD
AUMENTADA, en
la que, además
de reforzar el
aprendizaje de la
unidad, te divertirás
mucho con esta
genial tecnología.
INICIALES MATS1 TEXTO.indd 2 31/10/19 14:45
3. 135
Geometría
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L : Recta secante a
la circunferencia
O
B
A
L
3. Propiedades de la circunferencia
a. Sea T un punto de tangencia, entonces
OT ⊥ L1
O
T
L1
b. Si P y T son puntos de tangencia, entonces
x = a
α = β
a
x
A
P
T
a
a
A
P
T
O
α
β
c. Si OM es perpendicular a AB (OM ⊥ AB),
entonces
A
x
N
M
B
r
a α
β
O
α = β
x = a
Sabías que...
Se llama círculo a la unión de la circunfe-
rencia y toda la región interior.
Región
interior
Circunferencia
Teoremas:
1. Teorema de las tangentes exteriores
x = a
P
M
N
x
a
t
2. Teorema de Poncelet
r
c
b
a
a + b = c + 2r
r: Inradio
1. En el gráfico AB = 8m y r = 5m. Determina la
longitud de la sagita.
B
C
D
A
r
O
La longitud de la sagita es CD = x
B
a
C
4
D
A
5 5
4
x
O
Por propiedad tenemos
AC = BC
Y como AB = 8,
entonces: AC = BC = 4
Además: a + x = 5…(*)
Por el teorema de Pitágoras
a2
+ 42
= 52
⟹ a2
+ 16 = 25 ⟹ a2
= 9 ⟹ a = 3
Luego, reemplazamos el valor de a en (*)
3 + x = 5 ⟹ x = 2
Por lo tanto la sagita mide 2 m
Unid
ad
2
b. (4m2
+ 6)(4m2
+ 13) = (4m2
)2
+ (6 + 13)4m2
+ (6)(13)
= 16m4
+ (19)4m2
+ 78
= 16m4
+ 76m2
+ 78
c. x
y
x
y x
y y x
y y
2 3
2 7
2
3 7
2
3 7
2
+ + = + + +
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
_
_ _
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
i i i
= x
4
+(10y) x
2
+ 21y 2
= x
4
+5y x + 21y2
5. Binomio al cubo
Es el resultado algebraico de elevar al cubo
la suma o diferencia entres dos números o
variables.
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
Ejemplos:
a. (x + 2y)3
= x3
+ 3x2
(2y) + 3x(2y)2
+ (2y)3
= x3
+ 6x2
y + 6xy2
+ 8y 3
b. ( m
3
– 3 n
3
)3
= ( m
3
)3
– 3( m
3
)2
(3 n
3
) +
3( m
3
)(3 n
3
)2
– (3 n
3
)3
= m – 9 m2
3
n
3
+ 9 m
3
n2
3
– 27n
6. Identidades de Cauchy
Es el desarrollo abreviado del binomio al cubo.
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b)
(a – b)3
= a3
– b3
– 3ab(a – b)
Ejemplo:
Si el producto de dos números es 8 y la
diferencia de los mismos es 3. Calcula el valor
de a3
– b3
.
Solución
Sean a y b los números del ejercicio
Por dato: a – b = 3
(a – b)3
= 27
Además: ab = 8
Reemplazando en la identidad de Cauchy.
(a – b)3
= a3
– b3
– 3ab(a – b)
27 = a3
– b3
– 3(8)(3)
a3
– b3
= 99
7. Trinomio al cuadrado
Es el resultado algebraico luego de elevar al
cuadrado la suma de tres números o variables.
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab + bc + ac)
Ejemplo:
Si: a + b + c = 12 / ab + bc + ac = 36
Calcula m2
– n3
si se cumple que
a2
+ b2
+ c2
= mn
Solución:
Sean a, b y c, tales que a + b + c = 12
Reemplazando los datos en la propiedad,
tenemos lo siguiente:
(12)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2(36)
144 – 72 = a2
+ b2
+ c2
& 72 = a2
+ b2
+ c2
= mn
& m = 7 / n = 2
Nos piden: m2
– n3
= 72
– 23
= 49 – 8 = 41
Ejercicios resueltos
1. Si a + b = 3 / a3
+ b3
= 9.
Halla el valor de E = (ab)5
Utilizaremos la identidad de Cauchy.
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b)
a + b = 3 & (a + b)3
= 27
Reemplazando en la identidad de Cauchy.
27 = 9 + 3(ab)(3)
& 18 = 9ab & ab = 2
Nos piden: E = (ab)5
& E = (2)5
= 32
& E = 32
2. Si p + q = 88 / pq = 6. Encuentra el valor
de R = (p – q)2
.
Utilizaremos una de las identidades de
Legendre.
(p + q)2
– (p – q)2
= 4pq
p + q = 88 & (p + q)2
= 88
Reemplazando en la identidad de Legendre.
88 – (p – q)2
= 4(6)
88 – 24 = (p – q)2
& 64 = (p – q)2
& (p – q)2
= 64
Unid
ad
3
Prohibid
a
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o
parcial
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este
libro
por
cualqui
er
medio
o
procedi
miento
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permiso
expreso
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la
Editoria
l.
Álgebra
93
para
análisis
en
o
el
sal.
Los ejercicios resueltos
son ejemplos de como
se deben resolver los
problemas referidos a
los temas propuestos.
Para el desarrollo
del libro se
presentan
secciones
diferenciadas
por medio de
unidades.
Este es tu Texto Escolar,
no escribas en él. Para
practicar usa tu Libro de
Actividades.
Cajitas adicionales
Dato histórico: brinda información histórica
que narra hechos o personajes matemáticos
que influyeron a lo largo del tiempo.
Enlace: como su nombre lo dice, vincula lo
trabajado con contenidos afines.
Dato importante: brinda información
sustancial al tema trabajado.
En 5 minutos: propone actividades sen-
cillas que deberás realizar en el aula.
TIC: sug
encontr
cionada
Metacognición: son preguntas formu-
ladas para que reflexiones sobre tu
propio aprendizaje.
Sabías que... presenta datos curiosos
que brindan información complemen-
taria al tema.
En 5 minutos
Indica cuál de los enunciados son correctos.
•
• Seno y secante no son R.T. recíprocas
•
• Cotangente y tangente son R.T. recíprocas
•
• Coseno y secante no son R.T. recíprocas
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Enlace
Ingres
amplí
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego.
Nació en la isla de Samos en el año 497 a. C., fue
discípulo de Tales de Mileto y perteneció a su
escuela, hizo aportes al campo matemático los
cuales son muy importantes hasta la actualidad;
un ejemplo de sus aportes es el teorema de
Pitágoras.
Dato histórico Dato importante
Para ubicar un punto P(x;y) en el plano
cartesiano, primero debemos reconocer el
signo de la abscisa y la ordenada para de
esta manera saber en que cuadrante se
encuentra.
Metacognición
•
• ¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
•
• ¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las su-
peré?
•
• ¿Para que me sirve lo aprendido en este
tema?
El teorema de Pitagoras es una herramienta
muy usada en la resolución de problemas que
involucran las R.T. de ángulos agudos.
Sabías que...
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Circunferencia
La circunferencia es una línea curva cerrada, con-
formada por un conjunto infinito de puntos del
plano, que equidistan de otro punto fijo del mis-
mo plano, al cual llamaremos centro.
Elementos de la circunferencia
O : centro
OA : radio
r : longitud del radio
OA = OB = OC = OD = OE = ...
A
B
C
D
E
r
r
r
r r
O
1. Líneas notables asociadas a la circunferencia
a. La cuerda: Es aquel segmento que une dos
puntos de la circunferencia.
O
B
A
r
AB : cuerda
b. El diámetro: Es la cuerda que pasa por el
centro de la circunferencia, también se le
conoce con el nombre de «cuerda máxima».
O
A B
r
r r
AB : diámetro
AB = 2r
En los juegos Panamericanos Lima 2019 se
dieron a conocer algunos deportes que pasan
desapercibidos para muchos peruanos, entre
ellos encontramos a la disciplina deportiva co-
nocida como esquí acuático. Este deporte es
una mezcla entre el surf y esquí, alcanzando
velocidades altas que exigen buenos reflejos y
equilibrio. Según la gráfica, calcula el valor de
«β» (O representa el centro de la circunferencia
mostrada).
Circunferencia
c. Flecha o sagita
O
CD : flecha o sagita
B
C
D
A
r
2. Posición relativa de una recta a la circunferencia
a. Recta exterior a una circunferencia: Es aquella
recta que pasa por fuera de la circunferencia y
no la corta en ningún punto.
L : Recta exterior a
la circunferencia
O
r
L
b. Recta tangente a una circunferencia: Es
aquella recta que corta en un único punto
a la circunferencia, dicho punto recibe el
nombre de «punto de tangencia».
L : Recta tangente a
la circunferencia
T : Punto de tangencia
O
r
L
T
c. Recta secante a una circunferencia: Es
aquella recta que corta a la circunferencia en
dos puntos, llamados «puntos de corte».
Productos notables
En la cultura chavín una de las esculturas más fa-
mosas son las cabezas clavas. Estos monolitos re-
presentan a cabezas de seres míticos, en algunos
casos presentan rasgos antropomorfos y en otros
zoomorfos (felino y ave de rapiña).
Con el fin de incentivar el amor a nuestra cultura,
el profesor de historia del 2º año de secundaria les
pide a sus alumnos construir una maqueta cuadra-
da y en ella colocar una imagen de esta escultura.
Si el lado de la maqueta es a + b, ¿cuánto medirá el
área de la maqueta?
¿Qué entiendes por productos notables?
Productos notables
Un producto notable es el resultado luego de rea-
lizar ciertas operaciones entre algunas expresio-
nes algebraicas.
Este resultado nos ayuda a obtener ciertas equi-
valencias de forma directa.
1. Binomio al cuadrado
Es el resultado algebraico de elevar al cuadrado
la suma o resta de dos números o variables.
Se expresa de la siguiente manera:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplos:
a. (3x + 1)2 = (3x)2 + 2(3x)(1) + (1)2
= 9x2 + 6x + 1
b. (z – 2w)2 = (z)2 – 2(z)(2w) + (2w)2
= z2 – 4zw + 4w2
c.
1
4
+
x
3
2
=
1
4
2
+ 2
1
4
x
3
+
x
3
2
=
1
16
+
x
6
+
x2
9
2. Identidades de Legendre
Estas identidades se obtienen como consecuen-
cia de sumar o restar binomios al cuadrado.
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplos:
a. (4x + 7)2 + (4x – 7)2 = 2((4x)2 + 72)
= 2(16x2 + 49) = 32x2 + 98
b. (z + 4)2 – (z – 4)2 = 4(z)(4)
= 16z
c. ( 2x + 5 y)2 + ( 2x – 5 y)2 = 2(( 2x)2 + (5 y)2)
= 2(2x 2 + 25y)
= 4x 2 + 100y
3. Diferencia de cuadrados
Es el resultado que se obtiene del producto
entre el binomio suma y el binomio diferencia.
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Ejemplos:
a. (6m + 5n)(6m – 5n) = (6m)2 – (5n)2
= 36m2 – 25n2
b.
p
2
+
q
3
p
2
–
q
3
=
p
2
2
–
q
3
2
=
p2
4
–
q2
9
c. ( 3z + 7w)( 3z – 7w) = ( 3z)2 – ( 7w )2
= 3z 2– 7w2
4. Identidad de Steven
Esta identidad nos dice que el producto de dos
binomios con término en común es igual al
cuadrado del término en común, más la suma
algebraica de los números no comunes por el
término común, más el producto de los térmi-
nos no comunes.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x +ab
Ejemplos:
a. (x + 9)(x + 11) = x2 + (9 + 11)x + (9)(11)
= x2 + 20x + 99 Prohibida
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4. ARITMÉTICA
1
Conocemos
nuestro
país para
promover
su desarrollo
6 - 7
Valores
Respeto/
Identidad
Enfoque
tranversal
Intercultural
Teoría de conjuntos 9
Operaciones con conjuntos 11
Números naturales 13
Sistema de numeración 17
Divisibilidad 19
Introducción a la estadística 21
2
Números primos y compuestos 24
Los múltiplos y divisores M.C.M. Y M.C.D. 26
Números racionales 28
Fracciones equivalentes 30
Adición y sustracción en ℚ 32
Multiplicación y división en ℚ 34
Tabla de distribución de frecuencias 36
Gráficos estadísticos 39
3
Números decimales 42
Fracción generatriz de un
número decimal 45
Adición y sustracción con
números decimales 47
Multiplicación y división de
números decimales 49
Potenciación y radicación de
números decimales 51
Operaciones combinadas con
números decimales 53
Medidas de tendencia central 55
Análisis combinatorio 57
4
Razones y proporciones 60
Magnitudes proporcionales 62
Porcentajes 64
Permutaciones 66
Probabilidad 68
ÁLGEBRA
1
Conociendo
nuestro Perú
profundo
y creando
identidad
70 - 71
Valores
Tolerancia y
compañerismo.
Enfoque
tranversal
Atención a la
diversidad.
Números enteros 73
Adición y sustracción en Z 75
Multiplicación y división en Z 77
Potenciación y radicación en Z 80
2 Potencia y radicación en Z - II 83
Expresiones algebraicas 85
Polinomios 87
Operaciones con polinomios 89
3 Productos notables 92
División con polinomios 94
Factorización 96
Ecuación de primer grado 98
4 Sistema de ecuaciones 101
Inecuaciones de primer grado 104
Funciones 106
Gráfica de funciones 108
1
2
3
4
Comp
Capa
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5. GEOMETRÍA
1
Todos somos
medalleros
110 - 111
Valores
Empatía/
Generosidad
Enfoque
tranversal
Orientación al
bien común
Elementos básicos de la geometría-
segmentos 113
Ángulos 115
Líneas rectas paralelas y una secante 117
Triángulos 120
Líneas notables en los triángulos 123
2
Cuadriláteros 127
Paralelogramos 129
Polígonos 129
Circunferencia 134
Ángulos asociados a una circunferencia 137
Semejanza de triángulos 139
Perímetro de figuras planas 141
3
Área de polígonos 145
Área de la región circular 148
Sólidos geométricos 151
Prisma 153
Pirámide 155
Cilindro circular recto 157
Cono y esfera 159
4
Plano cartesiano 162
Perímetro de figuras geométricas
en el plano cartesiano 164
Área de regiones en el plano cartesiano 166
Transformaciones en el plano cartesiano 168
Escalas: planos y mapas 171
Construcción de figuras 174
Competencias
• Resuelve problemas de
cantidad
• Resuelve problemas de
regularidad, equivalencia
y cambio
• Resuelve problemas de
movimiento, forma y
localización
• Resuelve problemas
de gestión de datos e
incertidumbre
Capacidades
• Traduce cantidades a
expresiones numéricas
• Comunica su
comprensión sobre
los números y las
operaciones
• Usa estrategias y
procedimientos de
estimación y cálculo
• Argumenta afirmaciones
sobre las relaciones
numéricas y las
operaciones
• Traduce datos
y condiciones a
expresiones algebraicas
• Comunica su
comprensión sobre las
relaciones algebraicas
• Usa estrategias y
procedimientos para
encontrar reglas
generales
• Argumenta afirmaciones
sobre relaciones de
cambio y equivalencia
• Modela objetos con
formas geométricas y sus
transformaciones
• Comunica su
comprensión sobre
las formas y relaciones
geométricas
• Usa estrategias y
procedimientos para
orientarse en el espacio
• Argumenta afirmaciones
sobre relaciones
geométricas
• Representa datos con
gráficos y medidas
estadísticas o
probabilísticas
• Comunica la
comprensión de los
conceptos estadísticos y
probabilísticos
• Usa estrategias y
procedimientos para
recopilar y procesar datos
• Sustenta conclusiones
o decisiones en base a
información obtenida
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6. Conocemos nuestro
país para promover
su desarrollo
Unidad I
• Identifica afirmaciones y resuelve problemas
sobre conjuntos mediante el uso de
propiedades.
• Interpreta adecuadamente la definición
de números naturales y maneja de forma
adecuada las cuatro operaciones principales.
• Interpreta de manera adecuada la
representación de números naturales en
distintas bases.
• Identifica y maneja con claridad los criterios
de divisibilidad.
• Interpreta adecuadamente los conceptos
elementales de la estadística y la diferencia
entre variables cualitativas y cuantitativas.
Unidad II
• Reconoce matemáticamente la diferencia
entre un número primo y compuesto.
• Resuelve problemas que involucren el M.C.D.
y M.C.M. de números naturales.
• Interpreta adecuadamente la definición del
conjunto de los números racionales.
• Reconoce , de forma correcta, las
propiedades sobre las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación y división
de los números racionales.
• Crea tablas para la identificación de datos
estadísticos.
• Representa datos estadísticos mediante
gráficos tales como, diagrama de barras o
circular.
Hoy en día es muy importante que se incentive a todos los peruanos a conocer más nuestra patria.
Nuestro país es un territorio bendecido por una gran biodiversidad en flora y fauna, además de la
variedad de microclimas que podemos encontrar en distintas regiones y a corta distancia.
También presenta una majestuosidad en lo que concierne a cerámica, arquitectura, folclore entre
otros.
El problema que se presenta en la actualidad, en algunos casos, es la falta de compromiso de parte de
algunos peruanos que en ocasiones no valoran todo esto, además de la falta de patriotismo cultural
de muchos de nosotros.
Es por ello que es de vital importancia que se incentive más a las personas a conocer nuestra cultura
y a aprender a quererla y valorarla.
Intercultural
Enfoque transversal
Respeto, identidad
Valores
Desempeños
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7. Unidad III
• Reconoce un número decimal y su fracción
generatriz correspondiente.
• Resuelve problemas de adición, sustracción,
multiplicación y división con números
decimales.
• Aplica el algoritmo de potenciación y
radicación con números naturales.
• Interpreta de forma adecuada las
definiciones de media, moda y mediana.
• Identifica los datos en el análisis
combinatorio mediante combinaciones.
Unidad IV
• Interpreta los conceptos de razón y
proporción a través de ejemplos cotidianos.
• Identifica relaciones de proporcionalidad
numérica y las utiliza para resolver
problemas de la vida diaria.
• Emplea de manera adecuada, los conceptos
de porcentajes para resolver problemas de
aplicación.
• Identifica las reglas de descuento y aumento
sucesivos referente al tanto por ciento en
aplicaciones comerciales.
• Resuelve problemas aplicando el principio
de permutación.
• Reconoce el concepto de probabilidad y
emplea postulados matemáticos que tienen
uso en el cálculo probabilístico.
• ¿Sabías qué nuestro país es considerado como uno de los mayores productores de papa?
• ¿Crees que es importante que se promueva el conocimiento de nuestro patrimonio cultural?
• ¿De qué manera el conocimiento de nuestro patrimonio aporta al desarrollo del país?
Observamos y respondemos
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9. Unidad
1
Teoría de conjuntos
Conjuntos
Un conjunto es la agrupación de objetos con
características similares, a los que llamaremos
elementos.
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y
sus elementos van separados por comas y ence-
rrados entre llaves.
Ejemplos:
A = {Perú, Argentina, Uruguay, Venezuela}
M = {a, b, c, d, e}
Determinación de conjuntos
Un conjunto puede determinarse de dos maneras:
a. Por extensión
Cuando se mencionan a todos los elementos
del conjunto.
Ejemplo:
B = {a, e, i, o, u}
b. Por comprensión o forma constructiva
Cuando se menciona una propiedad que ca-
racteriza a todos los elementos del conjunto.
Ejemplo:
C = {x / x es una vocal}
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto A se define como el
número de elementos distintos que posee dicho
conjunto. Se denota como n(A).
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {2; 3; 5; 7; 11}.
Entonces, n(A) = 5.
Clasificación de conjuntos
a. Conjunto finito
Se dice que un conjunto A es finito cuando la
cantidad de elementos de A es limitada.
Ejemplo:
D = {Luis, Ernesto, Diógenes, Félix}
n(D) = 4
b. Conjunto infinito
Se dice que un conjunto A es infinito, cuando la
cantidad de elementos de A es ilimitada.
Ejemplo:
R = {x / x es un número entero}
Relación de pertenencia
Se dice que un elemento pertenece a un conjun-
to si se encuentra dentro de él, es decir, forma
parte del conjunto. Se denota con el símbolo ∈.
En caso contrario, si un elemento no pertenece a
un conjunto, se denota con el símbolo ∉.
Ejemplo:
Consideremos el siguiente conjunto:
A = {c, e, s, a, r}
Entonces, c ∈ A, e ∈ A, pero i ∉ A.
Relación entre conjuntos
a. Inclusión de conjuntos
Se dice que un conjunto A está incluido en un
conjunto B, si todos los elementos de A perte-
necen a B.
Se denota como A ⊂ B y se lee «A está incluido
en B, o también A es un subconjunto de B».
Ejemplo:
M = {a, b, c, d, e}
N = {x / x es una letra del abecedario}
Todos los elementos de M pertenecen al
conjunto N, entonces: M ⊂ N.
El Perú es considerado como el primer país
en biodiversidad de papas, ya que contamos
actualmente con más de 7 408 variedades. Si
solo en la región del Cusco contamos con un
promedio de 1500 variedades de papas, ¿de
qué manera se las podría agrupar?, ¿qué tipos
de conjuntos se formarían con las diferentes
variedades de papas, si deseamos agruparlas?
9
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10. U
b. Igualdad de conjuntos
Sean A y B conjuntos, se dice que el conjun-
to A es igual al conjunto B si ambos conjuntos
tienen la misma cantidad de elementos, todos
ellos iguales y se cumple que:
A ⊂ B ⋀ B ⊂ A
c. Conjuntos disjuntos
Se dice que dos conjuntos son disjuntos si no
tienen elementos en común.
Ejemplo:
A = {x / x es un número par}
B = {x / x en un número impar}
Los conjuntos A y B son disjuntos.
Además del conjunto finito e infinito existen otros
tipos de conjuntos, los cuales, mencionaremos a
continuación:
d. Conjunto vacío o nulo
Es aquel conjunto que no posee ningún ele-
mento y se denota de la siguiente manera: ∅ o
{ }. Su cardinal es 0.
Ejemplo:
A = {x ∈ Ν / 0 , x , 1}
e. Conjunto unitario
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.
Ejemplo:
B = {x es primo / 9 , x , 12} = {11}
f. Conjunto universal
Es aquel conjunto referencial que contiene a
todos los elementos para él análisis de una si-
tuación en particular.
Ejemplo:
M = {1; 3; 4; 5; 7} ⋀ N = {2; 4; 6; 8; 10}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10}
Nota:
Se dice que B es un subconjunto propio de A, si
B ⊂ A y al menos un elemento de A no pertenece a B.
n° de subconjuntos propios = 2n(A) – 1
Diagrama de Venn - Euler
Es aquella figura que nos permite representar
uno o más conjuntos.
Ejemplo:
A = {a, c, e}, B = {b, d} y U = {a, b, c, d, e, f, g}
.a
.c
.e
A
.b
.d
B
U
Conjunto potencia
Se define el conjunto potencia de A como el to-
tal de subconjuntos que posee y se denota como
P(A).
El cardinal del conjunto potencia se obtiene me-
diante la siguiente fórmula:
n(P(A)) = 2n(A)
Ejemplo:
A = {a, b} ⟹ P(A) = {{a}. {b}, {a, b}, ∅}
n(P(A)) = 22 = 4
Ejercicios resueltos
1. Si el conjunto A = {a – 7, b + 2, 3c, 15} es unitario.
Calcula el valor de a + b – 2c.
Como el conjunto es unitario:
a – 7 = 15
a = 22
b + 2 = 15
b = 13
3c = 15
c = 5
Nos piden: a + b – 2c = 22 + 13 – 10 = 25.
2. Dado el conjunto M = {x es primo / 2 ≤ x < 13}
calcula la cantidad de subconjuntos propios.
M = {2; 3; 5; 7; 11}
n(M)= 5 ⟹ 2n(M) = 25 = 32
Entonces, M posee 32 subconjuntos.
N.º de subconjuntos propios = 32 − 1 = 31.
.f
.g
10
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11. Unidad
1
Operaciones con conjuntos
Son operaciones básicas que parten de algunos
conjuntos dados, para obtener otros.
Sean dos conjuntos A y B, junto con el universo
«U», entonces, definimos:
1. Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B se define como el
conjunto formado por los elementos comunes y
no comunes, se representa como A , B.
A , B = {x / x ! A 0 x ! B}
Ejemplo:
Sea: A = {c, d, f, g, h} B = {w, x, y, z}
• g • h
• c • d • f
A
• z • x
• w
• y
B
• g • h • w • x
• c • d • f
• y • z
A ∪ B
A∪B = {c, d, f, g, h, w, x, y, z}
2. Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B se define
como el conjunto formado por los elementos
comunes que tienen A y B, se representa como
A∩B.
A∩B = { x / x ! A / x ! B}
Ejemplo:
Sea: W = {a, b, c, d, f, g} Z = {b, c, h, j, k, i}
• a
• g
• d • f
• h
• b
• c
• i
• j • k
w z
w ∩ z
W∩Z = {b, c}
3. Diferencia de conjuntos
La diferencia entre dos conjuntos es una
operación que da como resultado otro conjunto
con los elementos del primer conjunto, sin los
elementos del segundo conjunto.
Simbólicamente:
A – B = { x / x ! A / x " B}
Ejemplo:
Sea: A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {3; 4; 6}
• 4
• 3
• 2
• 5
• 1
• 6
A B
A – B = {1; 2; 5}
4. Diferencia simétrica de conjuntos
Es una operación que tiene como resultado
otro conjunto cuyos elementos pertenecen
a algunos de los conjuntos en mención, sin
pertenecer a ambos a la vez.
Simbólicamente:
A3B = { x / x ! (A∪B) / x " (A∩B)}
Ejemplo:
Sea: K = {m, n, o, p, q, r} H = {a, b, m, n, x, z}
H
• n
• m
• o
• p
• q
• r
• a
• b
• x
• z
K
Los elementos que están en la diferencia
simétrica son los que pertenecen a K, o en H,
pero no en ambos a la vez.
Entonces:
K3H = {o, p, q, r, a, b, x, z}
Actualmente la papa se cultiva en 19 regiones
de la costa y sierra del Perú. Si solo en Puno se
producen 643 mil toneladas, en Huánuco 618
mil toneladas y en Cusco 425 mil toneladas.
¿Cuántas toneladas se producen en Puno y
Huánuco?,¿ como obtendrias el valor del car-
dinal de papas producidas solo en Cusco?
Operaciones con conjuntos
11
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12. De forma general, gráficamente A3B:
A B
A B
Cuando A y B son
disjuntos
Cuando A y B no son
disjuntos
Definicionesequivalentesaladiferenciasimétrica
A3B = (A – B) ∪ (B – A)
A3B = (A∪B) – (A∩B)
5. Complemento de un conjunto
ElcomplementodeunconjuntoAeselconjunto
formado por elementos que pertenecen al
conjunto universal (U), pero no al conjunto A.
Simbólicamente:
AC = { x / x!U / x"A}
Gráficamente:
U
A
C
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {1; 3; 4; 7; 8} y además como conjunto universal
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, entonces:
U
A
• 7
• 2
• 9
• 6
• 5
• 8
• 1 • 3 • 4
AC = {2; 5; 6; 9}
Propiedades
• n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
• n(A) = n(A – B) + n(A∩B)
1. Observa el siguiente diagrama de conjuntos y
completa adecuadamente.
A C
B
• 6 • 4
• 3 • 9
• 2
• 1 • 8
• 7
a. A – B = {4; 7; 9}
b. C – A = {1; 2; 8}
c. B – C = {3; 6}
d. A – C = {3; 6; 9}
2. Representa gráficamente los siguientes
conjuntos:
• A = {0; 4; 8; 12; 16}
• B = {4; 6; 12; 16}
• C = {x / x ! A, x , 10}
Luego determina el cardinal de (B – C) ∩ A
A B
• 0
• 8
• 4
• 12
• 16
• 6
C
(B – C) ∩ A = {6, 12, 16} ∩ {0, 4, 8, 12, 16}
= {12, 16}
n [(B – C) ∩ A] = 2
3. Dados los siguientes conjuntos:
A = {1; 3; 5; 7; 9; 12; 14}
B = {x/ x ! N, 5 , x # 12}
Determina A∪B, A∩B, A3B, A –B
Determinando el conjunto B por extensión:
B = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
A∪B = {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 14}
A∩B = {7; 9; 12}
A3B = (A∪B) – (A∩B)
= {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12, 14} – {7; 9; 12}
= {1; 3, 5; 6; 8; 10; 11; 14}
A – B = {1; 3; 5; 14}
12
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13. Unidad
1
Números naturales
Números naturales
Durante las actividades de nuestra vida, hacemos
uso de los números naturales. Los utilizamos, por
ejemplo, para contar una cantidad de elementos,
indicar la longitud de un camino, etc.
El conjunto de números naturales está represen-
tado con la letra N donde:
N = {0; 1; 2; 3; 4; …; 25; 26; …; 249; 250; …}
Representación de los números naturales en la
recta
Podemos representar a los números naturales en
la recta numérica de la siguiente manera:
1
0 2 3 ...
Propiedades
• El conjunto de los números naturales es infinito.
• Entre dos números naturales no consecutivos
encontramos un número finito de números
naturales.
• Entre dos números naturales consecutivos, no
se puede encontrar otro número natural.
Algunos matemáticos no consideran al cero
como número natural; pero, con el objetivo de
poder representar el cardinal de un conjunto
vacío, se considerará al cero como número na-
tural.
Dato importante
Comparación de los números naturales
Dados dos números naturales a y b, se cumple
que:
• El mayor número será aquel que esté más
ubicado a la derecha de la recta numérica.
a
0 b
Se denota: b > a
Y se lee: «b es mayor que a»
• Ambos números son iguales cuando le
corresponde el mismo punto en la recta
numérica.
0 b
a
Se denota: a = b
Y se lee: «a es igual a b»
• El menor número será aquel que esté más
ubicado a la izquierda de la recta numérica.
a
0 b
Se denota: a , b
Y se lee: «a es menor que b»
Ley de tricotomía
Dados dos números a y b, solo pueden ser
comparados de tres maneras:
a > b ⋁ a < b ⋁ a = b
Ernesto fue a la playa Agua dulce acompañado
de su esposa y sus 2 hijos. Cuando llegaron a
la playa, después de 50 minutos de camino,
observaron alrededor de 200 personas que ya
estaban instaladas. Buscaron un lugar cómodo
para colocar su carpa, y luego fueron al mar.
Todos ellos pasaron un ameno día.
Identifica los números naturales que observes
en el texto. ¿Qué propiedades tienen los
números naturales?
13
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14. Operaciones con números naturales
En el conjunto de los números naturales, se defi-
nen las siguientes operaciones:
Adición en N
Es la operación en la cual se reúnen dos o más
cantidades para obtener una nueva cantidad. Las
cantidades que se agrupan o reúnen se denomi-
nan sumandos y el resultado es la suma.
Sumandos
4 5 +
2 3
Suma 6 8
Propiedades de la adición
1. Propiedad de clausura: al sumar dos números
naturales se obtiene un número natural.
a ∈ N ⋀ b ∈ N ⟹ (a + b) ∈ N
Ejemplo:
21 ∈ N ⋀ 16 ∈ N ⟹ 21 + 16 = 37 ∈ N
2. Propiedad conmutativa: el orden de los suman-
dos no altera la suma.
a + b = b + a ∀ a, b ∈ N
Ejemplo:
18 + 93 = 93 + 18
3. Propiedad asociativa: el orden en que coloque-
mos los sumandos no altera el resultado o la suma.
(a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ N
Ejemplo:
(7 + 12) + 35 = 7 + (12 + 35)
4. Propiedad del elemento neutro: el elemento
neutro de la adición es el cero. Esta propiedad
nos indica que todo número sumado con el
cero nos da como resultado el mismo número.
a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ N
Ejemplo:
64 + 0 = 0 + 64 = 64
5. Propiedad de monotonía: al sumar un número
a ambos miembros de una igualdad, está igual-
dad se mantiene.
a = b ⟹ a + c = b + c ∀ a, b, c ∈ N
Ejemplo:
15 + 72 = 49 + 38
⟹ (15 + 72) + 60 = (49 + 38) + 60
6. Propiedad cancelativa: si ambos miembros de
una igualdad son sumados por un mismo va-
lor, este valor se puede cancelar sin afectar la
igualdad.
a + c = b + c ⟹ a = b ∀ a, b, c ∈ N
Ejemplo:
10 + 21 + 15 = 21 + 9 + 16
(10 + 15) + 21 = (9 + 16) + 21
⟹ 10 + 15 = 9 + 16
Sustracción en N
Es la operación inversa a la adición, en la cual a un
número M se le disminuye o se le quita una cantidad
S. El resultado recibe el nombre de diferencia D.
M – S = D
Donde:
M: minuendo S: sustraendo D: diferencia
Minuendo 7 4 –
Sustraendo 1 1
Diferencia 6 3
Propiedades de la sustracción
• Si aumenta o disminuye el minuendo en un
número r, aumenta o disminuye la diferencia
en ese mismo número.
M – S = D
Entonces:
(M + r) – S = D + r ⋀ (M – r) – S = D – r
Ejemplo:
15 – 7 = 8
(15 + 2) – 7 = 8 + 2
17 – 7 = 10
• Si aumenta o disminuye el sustraendo en un
número r, entonces la diferencia disminuye o
aumenta respectivamente en ese mismo número.
M – S = D
Entonces:
M – (S + r) = D – r ⋀ M – (S – r) = D + r
Ejemplo:
13 – 5 = 8
13 – (5 – 3)= 8 + 3
13 – 2 = 11
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15. Unidad
1
• Si al minuendo y sustraendo se le añade o se les
resta un mismo número r, la diferencia no varía.
M – S = D
Entonces:
(M + r) – (S + r) = D ⋀ (M – r) – (S – r) = D
Ejemplo:
18 – 5 = 13
(18 – 2) – (5 – 2) = 13
16 – 3 = 13
Multiplicación en N
Es aquella operación que consiste en sumar
un número tantas veces como nos indica otro
número.
a × b = c
Producto
Multiplicador
Multiplicando
Factores
a × b = a + a + a + ⋯ + a
b - veces
Propiedades de la multiplicación
1. Propiedad de clausura: al multiplicar dos núme-
ros naturales, obtenemos otro número natural.
a × b = c ∈ N ∀ a, b ∈ N
Ejemplo:
Si 10 ∈ N ⋀ 5 ∈ N ⟹ 10 × 5 = 50 ∈ N
2. Propiedad asociativa: la manera como se aso-
cien los factores no altera el producto.
(a × b) × c = a × (b × c) ∀ a, b, c ∈ N
Ejemplo:
(24 × 7) × 45 = 24 × (7 × 45)
3. Propiedad conmutativa: el orden de los facto-
res no altera el producto.
a × b = b × a ∀ a, b ∈ N
Ejemplo:
8 × 31 = 31 × 8
4. Propiedad del elemento absorbente: el ele-
mento absorbente de la multiplicación es 0
(cero). Todo número natural multiplicado por 0
nos da como resultado 0.
a × 0 = 0 × a = 0 ∀ a ∈ N
Ejemplo:
45 × 0 = 0 × 45 = 0
5. Propiedad distributiva: si un número natural
multiplica a una suma o diferencia de dos nú-
meros naturales, se distribuye como factor en
cada elemento de la suma o de la diferencia.
a × (b ± c) = a × b ± a × c ∀ a, b, c ∈ N
Ejemplos:
• 9 × (16 + 2)=9 × 16 + 9 × 2
• 8 × (27 – 13) = 8 × 27 – 8 × 13
6. Propiedad del elemento neutro: el elemento
neutro de la multiplicación es el 1. Todo núme-
ro natural multiplicado por 1 nos da como re-
sultado el mismo número.
a × 1 = 1 × a = a ∀ a ∈ N
Ejemplo:
68 × 1 = 1 × 68 = 68
7. Propiedad de monotonía: si a cada miembro
de una igualdad se le multiplica por un mismo
número natural, se mantiene la igualdad.
Si a = b ⟹ n × a = n × b ∀ a, b. n ∈ N
Ejemplo:
Si m = 4 ⟹ 8 × m = 8 × 4
8. Propiedad cancelativa: si en ambos miembros
aparece un mismo factor, diferente de cero,
este se cancela conservándose la igualdad.
Si n × a = n × b ⟹ a = b
∀ a, b, n ∈ N (n ≠ 0)
Ejemplo:
9 × n = 9 × 5 ⟹ n = 5
División en N
Es una operación en la que dos números llama-
dos dividendo (D) y divisor (d) dan como resul-
tado un número llamado cociente (q), número
que expresa cuántas veces está contenido el di-
visor en el dividendo. Es decir, al multiplicar el
divisor con el cociente, se obtiene el dividendo.
Aquellas unidades no divisibles se le denomina
residuo (r).
D = d × q + r
Residuo
Divisor
Dividendo
Cociente
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16. De acuerdo al valor del residuo, se clasifican en:
1. División exacta: cuando el residuo es igual a
cero.
D d
0 q
D = d × q
Ejemplo:
8 0 5
0 16
& 80 = 5 × 16
2. División inexacta: cuando el residuo es dis-
tinto a cero.
D = d × q + r
D d
r q
a. División por defecto: en este caso, se elige un
cociente (qdefecto), el cual al multiplicarlo por
el divisor se aproxime lo más posible al divi-
dendo, pero sin excederlo. El residuo, en esta
división, recibirá el nombre de residuo por
defecto (rd).
Ejemplo:
4 8 5
3 9
& 48 = 5 × 9 + 3
rd
b. División por exceso: en este caso se elige un
cociente (qexceso), el cual al multiplicarlo por
el divisor se acerque al dividendo excedién-
dolo. El residuo, en esta división recibe el
nombre de residuo por exceso (re).
Ejemplo:
1 8 5
2 4
& 18 = 5 × 4 – 2
re
Propiedades:
• a ÷ 1 = a, a ÷ a = 1, 0 ÷ a = 0 ∀a ∈ N
• d = rd + re
• rmáx = d – 1 ⋀ rmín = 1
• qexceso = qdefecto + 1
• La división no cumple la propiedad conmutativa
ni asociativa.
1. Jorge tiene 14 cajas con 26 balones en cada
una, ¿cuántos balones compró en total? Halla la
respuesta, utilizando la propiedad distributiva.
Cantidad de balones por caja: 26
Cantidad de cajas: 14
La cantidad total de balones lo obtendre-
mos por medio de la multiplicación.
14 × 26 = 14 × (20 + 6)
14 × 26 = 14 × 20 + 14 × 6
14 × 26 = 280 + 84
14 × 26 = 364
2. Calcula el dividendo, en una división, si el
cociente es 9, el divisor es 6 y el residuo, el
mayor posible.
Por dato:
Además, como el residuo es máximo, tene-
mos por propiedad que: r = d – 1
r = 6 – 1 = 5 ⟹ r = 5
Luego: D = 6 × 9 + 5
D = 59
3. En una división, la suma del dividendo y el
divisor es 17 veces el residuo, y la diferencia de
los mismos es 9 veces el residuo. Determina el
valor del cociente.
D = d × q + r ...(*)
Por dato del problema
(1) D + d = 17r +
(2) D – d = 9r
2D = 26r ⟹ D = 13r
Reemplazando en (2), se obtiene que: d = 4r
Luego, en (*):
13r = (4r) q + r
12r = 4rq & 3 = q & q = 3
Metacognición
¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo los superé?
¿Para qué me sirve lo aprendido en este tema?
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17. Unidad
1
Sistema de numeración
Es el conjunto de reglas y principios que nos
permiten la correcta formación de un número.
La representación general de un numeral es la
siguiente:
abc...z (n)
base
cifras
Donde,
• n ! N / n ≥ 2 (n: base de numeral)
• a ≠ 0 (siendo a primera cifra)
• Las cifras a, b, c,...,z son menores a la base n
1. Representación gráfica
Ejemplo:
Expresamos 9 en base 4.
Dos grupos
de cuatro y
una unidad
sobrante.
21(4) = 9
2. Principio de la cifra
a. Valor absoluto (V.A)
Es el valor númerico real de la cifra, sin im-
portar la posición donde este ubicada.
Ejemplo:
El valor absoluto de 4 en el número 274 es 4.
b. Valor relativo (V.R.)
Es el valor que asume la cifra según la base y
el orden que ocupa el numeral.
Ejemplos:
• El valor relativo de 7 en 2 379 es 70 porque
ocupa el lugar de las decenas.
• Para el número 3 482, V.R.(4) = 4 × 100 = 400
3. Principio de orden
Toda cifra en el numeral tiene un orden, por
convención se enumera de derecha a izquierda.
Lugar 1° 2° 3° 4°
Número 4 8 5 3
Orden 4 3 2 1
4. Descomposición polinómica de numerales
La descomposición polinómica es la represen-
tación de un numeral mediante la suma de los
valores relativos de cada una de sus cifras ex-
presadas como una potencia de su base. Cada
cifra se multiplica por la base elevada a un ex-
ponente igual al número de cifras que queda a
la derecha de la cifra considerada.
Representación:
4 3 2 1 0
abcde(n) = a∙n4 + b∙n3 + c∙n2 + d∙n + e
a. Conversión de base n a base decimal
Para convertir un número de base n a base
10, se debe sumar los valores posicionales
de cada una de las cifras del numeral. A este
método se le conoce como descomposición
polinómica.
Ejemplo:
• 2 379 = 2 × 103 + 3 × 102 + 7 × 10 + 9
2 379 = 2 000 + 300 + 70 + 9 = 2 379
Sistema de numeración
Los incas desarrollaron una manera de regis-
trar cantidades y representar números me-
diante un sistema de numeración decimal
posicional: un conjunto de cuerdas con nudos
que se denominaba quipus. Cada grupo de
nudos correspondía a una potencia de diez y
las diferentes posiciones de estos grupos in-
dicaban a qué potencia de 10 correspondía
dicha posición. ¿Cómo contaban los ciudada-
nos incas?, ¿sabías que los incas podían sumar
con un instrumento llamado «Yupana»?
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18. b. Conversión de decimal a base n.
Paso 1: Dividir el número decimal entre n,
mantener el cociente y el resto.
Paso 2: Escribir (concatenar) el último co-
ciente y los restos empezando por el último.
Ejemplo:
Expresar 25 en base 2
2 5 2
1 12 2
0 6 2
0 3 2
1 1
1 1 0 0 1(2)
Conteo de números
• Método combinatorio: Es aquel procedimiento
queconsisteenmultiplicarlosvaloresquepueden
tomar las variables contenidas en el numeral.
Ejemplo:
¿Cuántos números de la forma ab existen?
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
5
5 × 6 = 30 números
Valores
que puede
tomar a
Valores
que puede
tomar b
ab(6)
• Progresión aritmética: Es la representación de
un conjunto de números de modo ordenado,
cuya razón se obtiene mediante la diferencia
de dos términos de posición consecutiva.
a1; a2; a3; ...; an
n: número de términos
r = a2 – a1 (r: razón) an: último
término
a1:primer
término
1. Término de lugar n:
an = a1 + (n – 1) ∙ r
2. Número de términos:
n =
an – a1
+ 1
r
Ejercicios resueltos
1. Halla a + b + c, si se cumple que:
(a + 1) (a – 1)a(3) = bc
Según el problema se debe cumplir:
a + 1 < 3 → a < 2 a = 0 0 a = 1
a – 1 ≥ 0 → a ≥ 1
De lo anterior, a = 1, (a + 1) (a – 1)a(3) = 201(3)
Expresamos 201(3) a base 10:
201(3) = 2 × 32 + 1= 19 → b = 1; c = 9
Por lo tanto, a + b + c = 1 + 1 + 9 = 11
2. Determina el sistema de numeración donde se
cumple que: 25(n) + 54(n) = 80(n)
Efectuando la descomposición polinómica:
25(n) = 2n + 5
54(n) = 5n + 4
80(n) = 8n
igualando, tenemos que:
2n + 5 + 5n + 4 = 8n → n = 9
Por lo tanto, se cumple en el sistema nonario.
3. Halla a∙b∙c∙d si se cumple que: abcd(6) = 605(9)
Convirtiendo 605(9) a base 10:
605(9) = 6 × 92 + 5 = 491
Convirtiendo 491 a base 6:
491 = 2135(6)
4 9 1 6
5 81 6
3 13 6
1 2
Luego: a = 2; b = 1; c = 3 y d = 5
Finalmente, a∙b∙c∙d = 2∙1∙3∙5 = 30
4. Calcula el número de terminos de la siguiente P.A
5; 11; 17; 23; ... ; 119
Siendo una P. A: n =
an – a1
+ 1
r
Del enunciado tenemos:
• an = 119
• a1 = 5
• r = 11 – 5 = 6
Luego: n =
119 – 5
+ 1 = 20
6
Por lo tanto, hay 20 términos.
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19. Unidad
1
Divisibilidad
La divisibilidad estudia aquellas condiciones que
debe cumplir un número para ser divisible por
otro número.
Diremos que un número A es divisible por un nú-
mero B, si al dividir A entre B el residuo nos da
cero, es decir:
A = Bq + r (r = 0 / q ∈ Z)
Notación
Para denotar que A es divisible por B, escribire-
mos lo siguiente:
A= B
Y también se lee: «A es múltiplo de B» o «B es divi-
sor de A», además se cumple lo siguiente:
A = B + A = kB / k ∈ Z
Ejemplos:
• 45 es divisible por 9, porque:
45 9
0 5
• 51 es divisible por 17, porque:
51 = 3 × 17
Propiedades de la divisibilidad
1. Suma y adición de múltiplos de n
n + n = n
n – n = n
2. Producto y potencia de múltiplos de n
n × k = n / n× n= n
(n)k = n
3. Principio de Arquímedes:
Si: p × q = n / p ≠ n & q = n
Ejemplo:
4 × q = (11) & q = (11)
Números no divisibles:
Cuando un número no es divisible por otro, se
puede expresar de la siguiente manera:
• División por defecto:
D d
r q
D = d × q + r
D = d + r
Ejemplo:
49 8
1 6
D = 8 × 6 + 1
D = 8 + 1
• División por exceso:
D = d × q + re
D = d – re
D d
re q
Propiedades auxiliares
1. (n + a)(n + b) = n+ a × b
Ejemplo:
(5+ 3)(5+ 4) = 5+ 3 × 4 = 5+ 12
2. (n+ a)k = n+ ak
Ejemplo:
(7+ 2)3 = 7+ 23 = 7+ 8
3
. n + k = n – (n – k)
Ejemplo:
13 + 5 = 13 – (13 – 5) = 13 – 8
En 5 minutos
Pregunta a tres de tus profesores su edad
y verifica si son un múltiplo de cuatro.
Divisibilidad
Un grupo de 250 alumnos de un colegio, rea-
lizaron un viaje de promoción a la ciudad de
Trujillo, ya instalados en dicha ciudad van a
visitar los distintos atractivos de la ciudad, el
guía turístico decide separarlos por grupos
que tengan la misma cantidad de alumnos,
¿cuántos grupos se podrán formar?, ¿será po-
sible formar grupos de 20, de manera que no
sobren alumnos?
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20. Criterios de divisibilidad
Son aquellas reglas aplicadas a ciertos números
para poder determinar con mayor facilidad si son
o no divisibles por un determinado número.
1. Criterio de divisibilidad por 2, 4 y 8
Un número es divisible por 2, 4 y 8 cuando
cumple lo siguiente
abcde = 2 & e = 2
abcde = 4 & de = 4
abcde = 8 & cde = 8
Ejemplos:
• 15 576 es divisible por 2 porque 6 = 2
• 79 736 es divisible por 4 porque 36 = 4
• 55 112 es divisible por 8 porque 112 = 8
2. Criterio de divisibilidad por 3 y 9
Un número es divisible por 3 y 9 cuando cumple
lo siguiente:
abcd = 3 + a + b + c + d = 3
abcd = 9 + a + b + c + d = 9
Ejemplos:
• 2 913 es divisible por 3 porque
2 + 9 + 1 + 3 = 15 = 3
• 11313 es divisible por 9
1 + 1 + 3 + 1 + 3 = 9 = 9
3. Criterio de divisibilidad por 5
Para que un número sea divisible entre 5, tiene
que cumplir lo siguiente
abcde = 5 + e = 0 o 5
Ejemplo:
99 415 es divisible por 5 porque la última cifra es 5.
4. Criterio de divisibilidad por 7
Un número es divisible entre 7si cumple
abcdefg
1 1
1
2 2
3 3
+ +
−
= 7si y solo si,
a – 2b − 3c − d + 2e + 3f + g = 7
Ejemplo:
El número 6 058 031 es divisible por 7 porque:
6 – 2(0) – 3(5) – 8 + 2(0) + 3(3) + 1 = –7 = 7
5. Criterio de divisibilidad por 11
Todo número divisible por 11 debe cumplir con
la siguiente regla:
abcde
+ + +
− −
=11 si y solo si,
a – b + c – d + e =11
Ejemplo:
El número 80 597 es divisible por 11 ya que:
8 – 0 + 5 – 9 + 7 = 11 = 11
1. Halla la cantidad de valores de «x» si el número
es divisible por 3.
39x52 = 3
Utilizando el criterio de divisibilidad entre 3,
tenemos lo siguiente:
3 + 9 + x + 5 + 2 = 3
& x + 19 = 3
Luego, x = 2, 5 y 8
Por lo tanto, x toma 3 valores.
2. Calcula el mayor valor de «x» si se cumple:
7a2xa0 = 7
Como el numeral es divisible entre 7, se
tiene que:
–2(7) – 3(a) – 2 + 2x + 3a + 0 = 7
& –14 – 3a – 2 + 2x + 3a + 0 = 7
& 2x – 16 = 7
Entonces x = 1 o 8, como nos piden el
mayor valor, x = 8
3. Determina el valor de n2 si:
3249n =11
Como el numeral es divisible entre 11, se
cumple lo siguiente:
3 – 2 + 4 – 9 + n = 11
n – 4 = 11
Luego, n = 4 (toma un solo valor)
Nos piden: n2 = 42 = 16
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21. Unidad
1
Estadística
Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de
métodos y procedimientos para la recolección,
clasificación e interpretación de datos, lo cual sir-
ve para sacar conclusiones que permitan tomar
decisiones y aplicar los correctivos necesarios.
1. Población
Es el conjunto de individuos (elementos) con
características en común de los cuales se pue-
de obtener información.
Ejemplo:
Todos los alumnos matriculados en el colegio
Pilares.
2. Muestra
Es una parte o subconjunto de una población,
la cual se elige de forma aleatoria para realizar
un estudio aproximado de toda la población.
Ejemplo:
70% del alumnado del colegio Pilares elegidos
de manera aleatoria.
3. Variable estadística
Representa las características que se estudian
en la población o la muestra.
Ejemplo:
Edad, peso, talla, cantidad de alumnos, etc.
Las variables estadísticas se subdividen en dos
grupos:
• Variable cuantitativa
• Variable cualitativa
a. Variable cuantitativa
Representa una característica que se puede
representar de manera numérica.
• Variable cuantitativa discreta
Los valores que toman son expresados por
números naturales.
Ejemplos:
• Edad de los estudiantes
• Número de hijos
• Cantidad de estudiantes
• Variable cuantitativa continua
Los valores que toman, pueden ser valores
enteros o decimales.
Ejemplos:
• Temperatura registrada
• Peso de una persona
b. Variable cualitativa
Es la característica que representa cualidades
y atributos, es decir, valores no numéricos.
• Variable cualitativa ordinal
Presenta valores que se pueden ordenar.
Ejemplos:
• Valoración de los aprendizajes
• Grado de los estudiantes
• Variable cualitativa nominal
Presenta valores no numéricos que no se
pueden ordenar.
Ejemplos:
• Estado civil
• Postre favorito
• Profesión
El décimo segundo censo de población, sép-
timo de vivienda y tercero de comunidades
indígenas, se realizó el 22 de octubre de 2017.
El objetivo de este, fue el proporcionar datos
estadísticos actualizados sobre las característi-
cas demográficas que permitan implementar
y evaluar planes, programas y estrategias de
desarrollo humano sostenible.
¿El censo en un distrito toma datos de una
muestra?, ¿cuál es el método estadístico que
usaron para el censo?
Introducción a la estadística
21
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22. Dato estadístico
Son números o medidas que han sido recopilados
como resultado de observaciones, los cuales pue-
den ser comparados, analizados e interpretados.
4. Etapas del método estadístico
De acuerdo con el orden de aplicaciones de la es-
tadística a un problema determinado, los méto-
dos estadísticos se dividen en 4 etapas:
a. Planificación del estudio
Tiene por finalidad estudiar los detalles
concernientes a la recolección, clasificación
y análisis de la información en base a los
cuales se describirán las características de
una determinada población.
Este proceso consta de 5 pasos:
• Planteamiento del problema: es cuando se
propone el problema que se va a estudiar.
• Búsqueda de información: es cuando se
recoge información de una parte de la
población.
• Formulación de la hipótesis: es cuando se
plantea una afirmación, la cual puede ser
comprobada o refutada más adelante.
• Verificación de la hipótesis: es el proceso por
el cual se da una respuesta positiva o negativa
a la hipótesis planteada en el paso anterior.
• Presentación de los resultados: es el resultado
que se obtiene al final de todo el proceso
b. Recolección de información
Es la etapa en la que se reúne la información
necesaria de una población, para luego
estudiar las características que presenta.
Entre los métodos más usados tenemos:
• Encuesta: es el recojo de información de una
parte de la población mediante cuestionarios
o preguntas directas.
Ejemplo:
Laencuestaalosalumnosdel1°desecundaria
acerca del cuidado del medioambiente.
• Censos: permite contabilizar y caracterizar
a la población en un momento del tiempo.
La información que se extrae puede ser
características como: sexo, edad, fertilidad,
educación, migración, etc.
Ejemplo:
Censo de vivienda 2017
c. Organización de los datos recogidos
Una vez recogidos todos los datos, es
necesario agruparlos convenientemente
para luego analizar la información.
En esta etapa se presentan tres pasos:
• Revisión de la información recogida.
• Presentación de la información mediante
cuadros.
• Presentación de la información mediante
gráficas.
d. Análisis e interpretación de los resultados
En esta etapa final, se extrae todos los datos
obtenidos para luego darles la interpretación
adecuada y así, obtener los resultados
deseados.
1. Indica cuantas de las variables son cualitativas
o cuantitativas:
años de trabajo, peso, profesión,
estatura, sueldo, nacionalidad,
n.° de hijos, n.° de cursos, edad.
Variablescualitativas:profesión,nacionalidad
Variables cuantitativas: años de trabajo,
peso, estatura, sueldo, n.° de hijos, n.° de cur-
sos y edad
Por lo tanto, hay 2 variables cualitativas y 7
variables cuantitativas.
2. Lee el siguiente texto y luego responde:
La institución educativa Pilares realiza una
encuesta a 200 estudiantes de secundaria.
El objetivo de la encuesta es conocer cómo
contribuyen al cuidado del medioambiente
y qué conocimientos tienen acerca del
calentamiento global.
¿Cuál es la población?
¿Cuál es la muestra?
En este caso, la población será el total de es-
tudiantes de secundaria del colegio Pilares.
La muestra será, los 200 estudiantes que
fueron encuestados.
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24. Números primos y compuestos
Números primos
Un número natural, mayor que 1 se dice que es
primo, si únicamente posee dos divisores (1 y el
mismo número).
Ejemplos: 2; 3; 5; 7; 11; 13.
Números compuestos
Son todos los números naturales que poseen más
de dos divisores.
Ejemplos:
10 y 12 son números compuestos, pues poseen 4 y
6 divisores respectivamente.
D(10) = {1; 2; 5; 10}
D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Números primos relativos entre sí (PESI)
Dos números o más se dice que son primos entre
sí (PESI), cuando tienen al uno como único divisor
común.
Ejemplo:
12 y 25 son primos entre sí (PESI), pues:
D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
D(25) = {1; 5; 25}
D(12) ∩ D(25)={1}
Criba de Eratóstenes
Es un procedimiento que permite determinar to-
dos los números primos hasta cierto número na-
tural dado. Esto se hace recorriendo una tabla de
números de la siguiente manera:
• Empezamos por el número 2, resaltamos
el número como primo, pero tachamos los
múltiplos de 2 (4; 6; 8; 10; 12; …)
• Continua con el siguiente número no tachado
(3), resaltamos el 3 como primo y tachamos
todos sus múltiplos (6; 9; 12; 15; 18; …)
• El siguiente número no tachado en la tabla es el 5,
resaltamos el número 5 como primo y tachamos
todos sus múltiplos (10; 15; 20; 25; 30; …)
• Lo mismo hacemos para el número 7 y 11.
• Los números resaltados y sin tachar son los
números primos menores que el número elegido.
Ejemplo:
Veamos el caso para n = 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Los números que están sin tachar son:
Estos son
los números
primos menores
que 100.
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
Los incas consideraban mágicos a los números
primos;esporello,queenlastumbascolocaban
quipus con estos números, pero no en su
forma directa, sino en algunos de sus múltiplos
para que los espíritus malignos tuvieran que
esforzarse buscando la verdadera numeración
mágica que desanudaba las cuerdas.
¿Cuál es el sexto número primo?
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25. Unidad
2
Descomposición de un número en sus factores
primos
Todo número compuesto se puede descomponer
como producto de números primos, siguiendo
estos pasos:
a. Escribe el número a la izquierda de una raya
vertical, a su derecha el menor número primo
(2, 3, 5, 7, ..) por el cual el número sea divisible,
el cociente se coloca debajo del número inicial.
b. Procede como en el paso anterior con el co-
ciente obtenido y así, sucesivamente, hasta lle-
gar a un cociente igual a 1.
Ejemplo:
Escribe 120 como producto de números primos.
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
Finalmente:
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
120= 23 × 3 × 5
Cantidad de divisores de un número (CD)
Enumeremos en una tabla la cantidad de divisores
de 360 (que son 24), se tiene:
Divisores de 360
1 2 3 4 5 6 8 9
10 12 15 18 20 24 30 36
40 45 60 72 90 120 180 360
Al realizar la descomposición en factores primos:
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
Finalmente:
360 = 23 × 32 × 5
CD (360) = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1)
CD (360) = 4 × 3 × 2
CD (360) = 24
Se acostumbra a denotar a estos 24 divisores
como:
• Divisores primos (DP): 2; 3; 5
• La unidad: 1
• Los restantes son divisores compuestos (DC).
Se cumple:
CD = DP + DC + 1
A los divisores primos y a la unidad se les llama
divisores simples.
Dato importante
En general:
Si un número «n» tiene por descomposición
en factores primos:
Entonces:
CD(n) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Ejemplos:
a. Determina la cantidad de divisores de 400.
400
200
100
50
25
5
1
2
2
2
2
5
5
400 = 24 × 52
CD(400) = (4 + 1) (2 + 1)
CD(400) = 5 × 3
CD(400) = 15
b. Determina la cantidad de divisores de 1000.
1000
500
250
125
25
5
1
2
2
2
5
5
5
1000 = 23 × 53
CD(1000) = (3 + 1) (3 + 1)
CD(1000) = 16
Ejercicios resueltos
1. Determina los divisores de los siguientes
números y escribe si son primos o compuestos.
• D(37) = {1; 37}
Es primo.
• D(64) = {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64}
Es compuesto.
• D(124) = {1; 2; 4; 31; 62; 124}
Es compuesto.
• D(97) = {1; 97}
Es primo.
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26. Los múltiplos y divisores MCD y MCM
Múltiplos
Se dice que un número natural a es múltiplo de
otro natural b si a se puede escribir como el pro-
ducto de b con un número natural.
«a» es múltiplo «b» si ∃n ∈ N / a = b × n
Ejemplos:
• 12 = 4, pues 12 = 4 × 3.
• 225 = 15, pues 225 = 15 × 15.
• 300 =20, pues 300 = 20 × 15
Principales propiedades
• Todo número distinto de 0, es múltiplo de sí
mismo y de la unidad.
• Los múltiplos de un número son infinitos.
• Un número puede ser múltiplo de varios
números a la vez.
• La suma de varios múltiplos de un número, es
también múltiplo de dicho número.
Ejemplos:
• El conjunto de los múltiplos de 7, viene dado por:
7={0; 7 ;14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; …}
• Si: 48 = 4, 32 = 4
48 + 32 = 80 = 4
Divisores
Un número es divisor de otro si cuando dividimos
el segundo entre el primero, el residuo es 0.
En otras palabras:
a es divisor de b si b ÷ a tiene por residuo 0
Propiedades de los divisores
• La unidad es divisor de cualquier número.
• Todo número distinto de 0, es divisor de sí
mismo.
Tres líneas de autobuses A, B y C van hacia
el museo de Pachacamac partiendo desde
cierto punto, si en determinado paradero,
la línea A pasa cada 18 minutos, la línea B
cada 25 minutos y la línea C lo hace cada 30
minutos, ¿cómo podrías calcular la frecuencia
con la que coinciden las tres líneas en el
paradero?, ¿qué aplicaciones tiene el mínimo
común múltiplo (MCM) y el máximo común
divisor (MCD) en nuestra vida diaria?
• Todo número tiene dos divisores como mínimo:
la unidad y el mismo.
• Si un número es divisor de otros dos, también lo
es de su suma y de su diferencia.
• Si un número a es divisor de otro número b,
entonces el cociente de esa división también es
divisor de b.
Ejemplos:
• El número 6, es divisor de 60 y de 96, también es
divisor de la suma y la resta de dichos números:
60 + 96 = 156 = 6 ⋀ 96 – 60 = 36 = 6
• 4 es divisor de 48, pues:
48 4 D = 48 d = 4 q = 12 r = 0
48 12 4 es divisor de 48, entonces 12
también lo es.
0
Máximo común divisor (MCD)
Es el mayor de todos los divisores comunes de un
grupo de números.
Ejemplo:
Determina el MCD(36; 48; 60)
Veamos los divisores de cada uno de los números
mostrados, encerrando los divisores comunes.
• D(36) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9; 12; 18; 36}
• D(48) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8; 12; 16; 24; 48}
• D(60) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6 ; 10; 12; 15; 20; 30; 60}
Divisores comunes = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
MCD(36; 48; 60) = 12
Propiedades del máximo común divisor
• El MCD nunca es mayor que el menor del grupo
de números.
• Si uno de los números es divisor de los otros,
entonces tal número es el MCD.
• El MCD de un grupo de números PESI es 1.
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27. Unidad
2
Métodos para hallar el MCM de un grupo de
números
1. Descomposición canónica
Ahora pondremos todos los factores primos que
aparezcan, aunque sea solo una vez, y les pon-
dremos el mayor exponente que tengan.
Ejemplos:
Halla el MCM(30; 40; 60)
30
15
5
1
2
3
5
40
20
10
5
1
2
2
2
5
60
30
15
5
1
2
2
3
5
Resolvemos de la siguiente manera:
30 = 2 × 3 × 5 40 = 23 × 5 60 = 22 × 3 × 5
MCM(30; 40; 60) = 23 × 3 × 5 = 120
2. Descomposición simultánea
Se dividen los números dados simultánea-
mente a todos o algunos de ellos, del menor
al mayor factor primo, hasta que se obtengan
cocientes iguales a la unidad.
Ejemplos:
Determina el MCM(30; 40; 60)
30 – 40 – 60
15 – 20 – 30
15 – 10 – 15
15 – 5 – 15
5 – 5 – 5
1 – 1 – 1
2
2
2
3
5
MCM(30; 40; 60) = 23 × 3 × 5
MCM(30; 40; 60) = 120
Ejercicios resueltos
1. Por descomposición simultánea, determina el
MCM de:
a. 30; 40; 50
30 – 40 – 50
15 – 20 – 25
15 – 10 – 25
15 – 5 – 25
5 – 5 – 25
1 – 1 – 5
1 – 1 – 1
2
2
2
3
5
5
MCM(30; 40; 60)
= 23 × 3 × 52
= 600
MCM(30; 40; 60) = 600
Ejemplos:
• MCD(36; 48; 60) = 12
Se verifica: 12 < 36; 12 < 48; 12 < 60
• MCD(12; 24; 36)
24 = 12, 36 = 12 MCD(12; 24; 36) = 12
Descomposición para el cálculo del MCD
Para el cálculo del MCD de un grupo de números,
se siguen los siguientes pasos:
• Escribe los números en fila, luego divide
simultáneamente cada uno por el divisor
común que tienen los números.
• El MCD es el producto de los números primos
hallados.
Ejemplo:
Calcula el MCD(300; 400; 600)
300 – 400 – 600
150 – 200 – 300
75 – 100 – 150
15 – 20 – 30
3 – 4 – 6
2
2
5
5
MCD(300; 400; 600)
22 × 52 = 100
Mínimo común múltiplo (MCM)
Es el menor de los múltiplos (distintos de cero)
comunes de un grupo de números.
Ejemplo:
Determina el MCM(4; 6; 8)
Veamos los múltiplos de cada número, luego
encerramos los múltiplos comunes:
• 4= {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24 ; 28; 32; 36; 40; 44; 48 ;.}
• 6= {0; 12; 24 ; 30; 36; 48 ; 60; …}
• 8= {0; 8; 16; 24 ; 32; 40; 48 ; …}
Múltiplos comunes = {0; 24; 48; …}
El mínimo común múltiplo es el menor de todos
los múltiplos comunes (distintos de cero), por lo
tanto: MCM(4; 6; 8) = 24
Propiedades del mínimo común múltiplo
• El MCM de un grupo de números nunca es
menor que el mayor de los números.
• Si uno de los números es múltiplo de todos los
otros, entonces es el MCM de todos ellos.
• Si los números son PESI, dos a dos, entonces el
MCM de ellos es su producto.
Ejemplos:
• MCM(4; 6; 8) = 24
Se verifica: 4 < 24; 6 < 24; 8 < 24
• MCM(10; 25; 50)
50 = 10, 50 =25 MCM(10;25;50) = 50
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28. Fracción
Una fracción es una expresión de la siguiente for-
ma a
b
, donde a, b ∈ Z y b ≠ 0, al conjunto forma-
do por las fracciones, se le denominará números
racionales (Q).
Recordando que todo número entero se puede
escribir como fracción, es decir, 7 = 7
1
; –4 =– 4
1
;
podemos decir que los conjuntos de números na-
turales y enteros están incluidos en los números
racionales.
5
N
Z
Q
36
-41
-9
-2
7
0
5
8
9
5 -1
8
3
2009
Interpretación de la fracción
Si dividimos un rectángulo en 6 partes iguales y
de ellas, sombreamos 5, como se muestra en la fi-
gura, diremos que la parte sombreada representa
los 5
6
del total.
5
6
Números racionales
Términos de una fracción
numerador
Indica el número
de partes que
se toman del
entero
denominador
Indica el número
de partes en
que se divide
la unidad o el
entero.
5
6
Representación de fracciones en la recta numérica
Sabemos que el conjunto de los números enteros
los podemos representar en la recta numérica:
...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
De esto, las fracciones pueden ser ubicadas en la
recta, haciendo particiones a esta. Veamos:
-3 -2 -1
0 1
2
3
- 4
2
- 3
2
- 2
2
2
2
3
3
0
3
1
3
2
3
3
3
-∞ +∞
0 1 2 3
0
1
2
1
2
3
2
Marcos y Andrea visitan la ciudad de Piura du-
rante la fiesta patronal de San Jacinto Forastero
en el pueblo de Vice en la provincia de Sechura,
cuya celebración empieza cada tercer domingo
de agosto, durante una semana. Partieron a las
6: 00 am, luego de 4 h habían recorrido 1
3
del
camino y 30 minutos después 1
7
del camino.
¿En honor a que persona se celebra la fiesta de
San Jacinto Forastero?, ¿qué tipo de número
encuentras en el texto anterior?
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29. Unidad
2
Clasificación de fracciones
Podemos clasificar las fracciones según: la re-
lación entre sus términos (propio e impropio) y
la relación con otras fracciones (homogéneas y
heterogéneas).
a. Según sus términos
• Fracciones propias
Son aquellas en la que el numerador es me-
nor que el denominador
Ejemplo:
4
8
; 7
15
; 9
1254
; 1
7
; 6
1233
• Fracciones impropias
Son aquellas en la que el numerador es ma-
yor que el denominador.
Ejemplo
4
3
; 17
15
; 39
14
; 15
7
; 69
15
b. Según el grupo de fracciones
• Fracciones homogéneas
Es un grupo de fracciones donde todos sus
denominadores son iguales.
Ejemplo
4
8
; 12
8
; 9
8
; 1
8
; 91
8
Lectura de fracciones
Recuerda que primero se lee el numerador como
cualquier número (si el numerador es 1, usamos
«un»), despúes se lee el denominador de la si-
guiente manera:
• Si es uno
se lee enteros
• Si es dos
se lee medios
• Si es tres
se lee tercios
• Si es cuatro
se lee cuartos
• Si es cinco
se lee quintos
• Si es seis
se lee sextos
• Si es siete
se lee séptimos
• Si es ocho
se lee octavos
• Si es nueve
se lee novenos
• Si es diez
se lee décimos
• Si es mayor que diez: se lee al número terminado
en - avos.
• Si es potencia de diez: se lee el número
terminado en - ésimos
Ejemplos:
3
4
; tres cuartos 15
10
; quince décimos
4
13
; cuatro treceavos 2
100
; dos centésimos
Fracción de un número
Si queremos calcular la fracción a
b
de un número
(n), debemos proceder de la siguiente manera:
1. Se divide el número entre el denominador.
2. Se multiplica el cociente obtenido por el
numerador.
15
28
de 168: 15 × 168
28
=15 × 6 = 90
24
32
de 320: 24 × 320
32
=24 × 10 = 240
Números mixtos
Toda fracción impropia, se puede expresar como
un entero, junto con una fracción propia, a tal re-
presentación se le denomina, número mixto.
Ejemplo
2 3
5
Dos enteros, tres quintos
En un número mixto a b
c , se tiene a parte entera,
y b
c
parte fraccionaria.
Veamos las maneras de representar una fracción
como números mixto o viceversa.
a. Conversión de fracción impropia a número
mixto
Representemos 15
4
como un número mixto
• Dividimos el numerador entre el
denominador. (D:15, d:4, q:3, r:3).
• La parte entera es el cociente, el numerador
es el residuo, y el divisor es el denominador.
15
4
= 3 3
4
b. Conversión de número mixto a fracción
impropia.
Representemos 8 1
3
como una fracción.
• Multiplica el denominador por la parte
entera.
• Al producto obtenido, se le suma el
numerador, conservando el mismo
denominador.
8 1
3
= 8 × 3 + 1
3
= 25
3
29
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30. Fracciones equivalentes
Son fracciones que representan a una misma
cantidad, estas se pueden obtener mediante la
amplificación o reducción.
a. Amplificación de fracciones
Amplificar una fracción por un número natural
distinto de 0, es el proceso de multiplicar el nu-
merador y el denominador de la fracción por el
mismo número natural.
Ejemplo:
Encontremos todas las fracciones equivalentes
a 2
5
2
5
= 4
10
, 6
15
, 8
20
, 10
25
, 12
30
, ...
×2
×2
×3
×3
×4
×4
×5
×5
×6
×6
Como podrás ver, una fracción tiene infinitas
fracciones equivalentes.
b. Simplificación de fracciones
Simplificar una fracción es dividir el numera-
dor y el denominador por el mismo número
natural. Recuerda que no todas las fracciones
pueden simplificarse, esto solo se podrá dar,
cuando sus términos tengan al menos un divi-
sor común.
Ejemplo:
Simplifiquemos la fracción 360
480
Fracciones equivalentes
360
480
= 180
240
= 90
120
= 45
60
= 15
20
= 3
4
÷2
÷2
÷2
÷2
÷2
÷2
÷3
÷3
÷5
÷5
Fracciones reductibles e irreductibles
a. Fracción reductible
Decimos que una fracción es reducible cuando
es posible simplificarla, es decir convertirla en
una fracción equivalente más simple.
Ejemplos:
• 100
200
= 50
100
= 25
50
= 5
10
= 1
2
• 36
48
= 18
24
= 9
12
= 3
4
b. Fracción irreductible
Si los términos de una fracción tienen como
único divisor común a la unidad, dicha fracción
es irreductible.
Ejemplos:
• 13
15
• 24
29
• 31
33
Método para identificar fracciones equivalentes
Para comprobar si dos fracciones son equivalen-
tes o no, el método mas fácil es el de los produc-
tos cruzados.
El producto del numerador de una fracción por el
denominador de la otra debe ser el mismo.
Las celebraciones por la virgen de Pallagua se
realizan los primeros domingos de octubre
y diciembre en El Santuario de la Virgen de
Pallagua que se ubica en un desvío del camino
a Pachía , en el departamento de Tacna. La can-
tidad de turistas que acogió este pueblo el año
pasado fue de 2
3
menos que el de este año.
¿Dónde se celebra la fiesta de la virgen del
Pallagua?, ¿de que otra forma puedes expre-
sar la fracción que aparece en el texto?
30
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31. Unidad
2
Ejemplos:
Identifica si los pares de fracciones son
equivalentes
• 4
9
y 60
135
Multiplicando en aspa:
4
9
60
135
: 4 × 135 = 540 ^ 9 × 60 = 540
Por lo tanto 4
9
y 60
135
son equivalentes.
• 2
11
y 20
121
Multiplicando en aspa:
2
11
20
121
: 2 × 121 = 242 ^ 20 × 11 = 220
Por lo tanto 2
11
y 20
121
no son equivalentes.
Ejercicios resueltos
1. Escribe los numeradores y denominadores
que faltan. Indica si los pares de fracciones son
equivalentes.
a. 8
21
=
24
63
b. 10
36
= 15
54
c. 6
15
= 2
5
d. 1
7
= 9
63
e. 4
24
= 28
168
f. 100
150
= 2
3
2. Si a
b
es la fracción irreductible de 96
120
, deter-
mina el valor de a + b.
Simplificando:
96
120
= 48
60
= 24
30
= 12
15
= 4
5
Se cumple: a
b
= 4
5
→ a = 4, b = 5
Entonces a + b = 4 + 5 = 9
En 5 minutos
3. Expresa como fracción irreductible, la parte no
sombreada.
Total de partes: 20
Partes sombreadas: 6
Partes no sombreadas: 20 – 6 = 14
Fracción: 14
20
= 7
10
4. Observa las gráficas y escribe cuatro fracciones
equivalentes correspondientes a cada región
sombreada.
a. b.
c. d.
Las fracciones equivalentes serán las
siguientes:
a. 5
15
: 10
30
; 15
45
; 20
60
; 25
75
b. 2
32
: 4
64
; 6
96
; 8
128
; 10
160
c. 1
6
: 2
12
; 3
18
; 4
24
; 5
30
d. 5
16
: 10
32
; 15
48
; 20
64
; 25
80
¿La fracción 9
19
es irreductible?
¿1 es una fracción?
31
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32. Adición de fracciones
Veamos el caso para fracciones homogéneas y
heterogéneas
a. Adición de fracciones homogéneas
Para sumar dos fracciones que tienen el mismo
denominador, solo se suman los numeradores,
y el denominador, se mantiene.
Simbólicamente:
a
b
+ c
b
= a + c
b
Ejemplo:
Determina la suma de 4
19
con 6
19
Como las fracciones al sumar son homogéneas,
sumamos los numeradores, manteniendo el
denominador.
4
19
+ 6
19
= 4 + 6
19
= 10
19
b. Adición de fracciones heterogéneas
Para sumar dos o más fracciones heterogéneas,
se procede de la siguiente manera:
1. Calcula el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
2. Multiplica los términos de cada fracción
por el mismo número hasta obtener los
denominadores iguales al mínimo común
múltiplo.
3. Suma los numeradores.
Ejemplo:
Determina la suma de 1
2
; 3
8
y 5
12
Calculamos el MCM(2; 8; 12)
Adición y sustracción en ℚ
2 - 8 - 12 2
1 - 4 - 6 2
1 - 2 - 3 2
1 - 1 - 3 3
1 - 1 - 1
MCM(2; 8; 12) = 23 × 3 = 24
1
2
= 1 × 12
2 × 12
= 12
24
3
8
= 3 × 3
8 × 3
= 9
24
5
12
= 5 × 2
12 × 2
= 10
24
Por lo tanto:
1
2
+ 3
8
+ 5
12
= 12
24
+ 9
24
+ 10
24
= 12 + 9 +10
24
= 31
24
c. Adición de números mixtos
Para realizar la suma de números mixtos,
suma, por separado, la parte entera y la parte
fraccionaria.
Simbólicamente:
a b
c
+ d e
f
= (a + d) + b
c
+ e
f
Ejemplo:
2 1
5
+ 3 2
7
= (2+3) + 1
5
+ 2
7
1
5
+ 2
7
= 7 + 10
35
= 17
35
Entonces:
2 1
5
+ 3 2
7
= 5 + 17
35
= 192
35
Luciano es un agricultor que trabaja en la serra-
nía del Perú. Él dispone de un inmenso terreno
en el cual siembra los principales tubérculos,
entre ellos: papa, camote, yuca y olluco. Si para
la temporada de alta demanda, él decide sem-
brar: 1/2 del terreno de papa, 1/8 de camote, 1/16
de yuca; y el resto de olluco. Si el terreno consta
de 4800 m2, ¿qué fracción de terreno está sem-
brada por olluco?, ¿cómo obtuviste el resultado
de dicha operación?
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33. Unidad
2
Propiedades para la adición de fracciones
1. Clausura
La suma de dos números racionales es siempre
un número racional.
Simbólicamente:
∀ p
q
; r
s
∈ ℚ ⟹ p
q
+ r
s
∈ ℚ
Ejemplo:
1
4
∈ ℚ; 1
3
∈ ℚ ⟹ 1
4
+ 1
3
= 7
12
∈ ℚ
2. Conmutativa
El orden de los sumandos, no altera el resulta-
do de la suma.
p
q
+ r
s
= r
s
+ p
q
Ejemplo:
1
2
+ 1
3
= 1
3
+ 1
2
5
6
= 5
6
3. Asociativa
La forma en la que se agrupan los sumandos,
no altera el resultado de la suma.
p
q + r
s
+ t
u
=
p
q + r
s
+ t
u
Ejemplo:
1
2
+ 1
3
+ 1
6
= 1
2
+ 1
3
+ 1
6
5
6
+ 1
6
= 1
2
+ 3
6
1 = 1
4. Elemento neutro
Toda fracción sumada con 0, da como resulta-
do la misma fracción.
p
q
+ 0 =
p
q
Ejemplos:
• 3
4
+ 0 = 3
4
• 5
9
+ 0 = 5
9
• 1
2
+ 0 = 1
2
• 2
7
+ 0 = 2
7
5. Inverso aditivo
El inverso aditivo de una fracción es el opuesto
aditivo. La suma de una fracción con su opues-
to es siempre igual a cero.
p
q
+ – p
q
= 0
Ejemplos:
• 7
4
+ – 7
4
= 0 • 3
5
+ – 3
5
= 0
Sustracción de fracciones
La sustracción de dos fracciones
p
q
y r
s
se define
como la suma de p
q
con el opuesto aditivo de
r
s
, es decir:
p
q
– r
s
= p
q
+ – r
s
Elementos de la sustracción de fracciones
Al igual que en la sustracción de números ente-
ros, los elementos son los mismos, veamos:
p
q
– r
s
= p
q
+ – r
s
Minuendo
Sustraendo Diferencia
Ejemplos:
• 1
2
– 3
8
= 1 × 4
2 × 4
– 3
8
= 4 – 3
8
= 1
8
• 3
5
– 2
10
= 3 × 2
5 × 2
– 2
10
= 6
10
– 2
10
= 4
10
= 2
5
Ejercicios resueltos
1. Efectúa las siguientes operaciones.
• 1
8
+ 15
8
: 1 + 15
8
= 16
8
= 2
• 2
5
+ 7
5
+ 6
5
: 2 + 7 + 6
5
= 15
5
= 3
• 4
7
+ 5
7
– 2
7
: 4 + 5 – 2
7
= 7
7
= 1
• 8
3
– 1
6
: 48 – 3
18
= 45
18
= 5
2
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34. Multiplicación de fracciones
Para efectuar la multiplicación de dos o mas frac-
ciones se multiplican los numeradores y los deno-
minadores entre sí.
Simbólicamente:
p
q ×
r
s
×
t
u
=
p × r × t
q × s × u
Ejemplos:
• Determina
1
2 ×
2
3
×
3
4
×
4
5
×
5
6
1
2
×
2
3
×
3
4
×
4
5
×
5
6
=
1×2×3×4×5
2×3×4×5×6
=
1
6
• Efectúa
30
6 ×
12
4
×
21
7
30
16 ×
12
4
×
21
7
=5×3×3=45
Multiplicación de un número entero por una
fracción
Para multiplicar un número entero por una frac-
ción, se expresa el entero como fracción y se mul-
tiplica como en el caso anterior.
Ejemplo:
• Efectúa: 4 ×
16
24
4×
16
24
=
4
1
×
16
24
=
4 × 16
1 × 24
=
64
24
=
8
3
• Efectúa: 5 ×
1
15
×
30
24
5×
1
15
×
30
24
=
5
1
×
1
15
×
30
24
=
5×1×30
1×15×24
=
5
12
Multiplicación y división en ℚ
Multiplicación de números mixtos
En este caso, primero se transforma los números
mixtos a fracciones y luego se efectúa el producto
de fracciones con las técnicas anteriores.
Ejemplos:
• Efectúa el siguiente producto
2
1
2
×
4
3
× 1
2
3
2
1
2
×
4
3
× 1
2
3
=
5
2
×
4
3
×
5
3
=
100
18
=
50
9
• Expresa como número mixto el resultado de:
1
2
× 3
3
5
× 4
1
2
1
2
× 3
3
5
× 4
1
2
=
1
2
×
18
5
×
9
2
=
81
10
81
10
= 8
1
10
Propiedades para la adición de fracciones
1. Clausura
El producto de dos fracciones, también es otro
número racional.
∀ p
q
; r
s
∈ ℚ →
p × r
q × s
∈ ℚ
Ejemplo:
2
3
∈ ℚ; 9
16
∈ ℚ → 2 × 9
3 × 16
= 3
8
∈ ℚ
Una tradición seguida en la mayoría de fami-
lias es repartir la herencia de los padres entre
la cantidad de hijos. Luis tiene un terreno en la
ciudad de Huaral, ubicada al norte de Lima, este
es repartido por igual entre sus 4 hijos: Carlos,
Roberto, Janet y Jesús; Carlos decide repartir su
terreno por igual entre sus tres hijos, ¿qué frac-
ción del terreno original le corresponde a cada
hijo de Carlos?, ¿cuál es el método para efectuar
la división entre fracciones?
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35. Unidad
2
2. Conmutativa
En una multiplicación, el orden de los factores
no altera el producto.
p
q
× r
s
= r
s
× p
q
Ejemplo:
4
3
× 5
9
= 5
9
× 4
3
4 × 5
3 × 9
= 5 × 4
9 × 3
20
27
= 20
27
3. Asociativa
El orden en el que se agrupan los factores de
una multiplicación, no altera el resultado final.
p
q × a
b
× c
d
=
p
q × a
b
× c
d
Ejemplos:
•
3
5
×
1
2
×
4
6
=
3
5
×
1
2
×
4
6
=
3
10
×
4
6
=
1
5
•
1
8
×
5
2
×
3
4
=
1
8
×
5
2
×
3
4
=
5
16
×
3
4
=
15
64
4. Distributiva
El producto de una fracción por la suma de dos
fracciones es la suma de los productos de la
fracción con cada uno de los sumandos.
p
q × a
b
+ c
d
=
p
q × a
b
+
p
q × c
d
Ejemplo:
•
3
5
×
1
2
+
1
3
=
3
5
×
1
2
+
3
5
×
1
3
⟹
3
5
×
1
2
+
1
3
=
3
10
+
1
5
=
5
10
=
1
2
5. Elemento neutro
El producto de una fracción por la unidad (ele-
mento neutro) da como resultado la misma
fracción.
p
q
× 1 = p
q
Ejemplos:
• 3
4
× 1 = 3
4
• 5
11
× 1 = 5
11
6. Inverso multiplicativo
En los números racionales, toda fracción tiene
un inverso multiplicativo (también es una frac-
ción) de manera que al multiplicarlos, nos da
como producto la unidad.
p
q
× q
p
= 1
Ejemplos:
• 3
5
× 5
3
= 1 • 8
9
× 9
8
= 1
División de fracciones
Para efectuar la división entre dos fracciones, se
multiplica el dividendo por el inverso multiplicati-
vo del divisor, es decir:
a
b
÷ c
d
= a
b
× d
c
= a × d
b × c
Ejemplo:
3
5
÷ 6
8
= 3
5
× 8
6
= 3 × 8
5 × 6
= 4
5
Método de los productos o sándwich
Podemos expresar la división de fracciones de la
siguiente manera:
p
q
÷ r
s
=
p
q
r
s
=
p × s
q × r
Donde:
• p, s: términos extremos
• q, r: términos medios
Ejemplo:
3
5
÷ 6
8
=
3
5
6
8
=
3 × 8
5 × 6
= 24
30
= 4
5
Ejercicios resueltos
1. Expresa el resultado de las siguientes
operaciones como fracción irreductible.
• 4
5
× 10
8
: 4 × 10
5 × 8
= 40
40
= 1
• 2
8
× 16
24
: 2 × 16
8 × 24
= 32
192
= 1
6
• 1
2
÷ 1
256
: 1
2
× 256
1
= 1 × 256
2 × 1
= 256
2
= 128
35
Aritmética
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