El documento presenta una introducción a los números complejos y funciones analíticas, incluyendo definiciones de funciones derivables, analíticas y armónicas. Explica las condiciones de Cauchy-Riemann y cómo se pueden expresar en coordenadas polares. También menciona aplicaciones de las funciones analíticas en física y la relación entre funciones analíticas y armónicas. El objetivo general es proponer una línea educativa sobre variable compleja dirigida a estudiantes universitarios.

1. 6
TEMATICA:
Algunos Elementos de Variable Compleja;
Un Paseo de Lectura a través del Entorno Inédito, como Pre-Propuesta de Educación.
Mynor Rios. riosmynor37@gmail.com
Departamento de Matemática y Estadística. Facultad de Ciencias y Tecnología.
Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, UNAN-León.
PALABRAS CLAVE: Numero Complejo, Imaginario, Función Analítica, Derivada, Serie, Transformación,
Holomorfismo, Homeomorfismo, Fractal, Caos.
OBJETIVO: Desarrollar una Pre-Propuesta de línea Educativa como Lectura sobre Elementos de Interés del
Estudio de Variable Compleja.
RESUMEN
Durante el transcurso de la historia, se ha observado que las matemáticas proporcionan respuestas y
formas de interpretar el comportamiento de los objetos que rodean el habitad del hombre, y una de estas
formas la cual fue misteriosa un par de siglos atrás hasta los días en que matemáticos como Newton,
Bomberil, Euler, Cardano, Argand, entre otros, se embarcaron al desafío de comprender fenómenos con un
proceder limitado en el conjunto de números reales, siendo así que se llegó a un descubrimiento que
amplificó el abecedario del lenguaje matemático, hoy en día se conoce como “Teoría de Funciones de
Variable Compleja”. Dada aquella necesidad seste articulo propone una línea a seguir que emplea nociones
necesarias para comprender esta temática, con el propósito de mostrar un mecanismo técnico para su
comprensión, la cual está dirigida a estudiantes universitarios, usuarios de las matemáticas, o bien al
público interesado para que se obtenga una asimilable recepción de este conocimiento que a menudo se
brinda de forma abstracta. Entre las aplicaciones se muestra un menú de áreas Esenciales como:
Ecuaciones Diferenciales (Temperatura, Oscilaciones y transformada de Laplace), Física (Óptica) y
Programación (Serie y Transformada Rápida de Fourier).
DESARROLLO:
El concepto de número complejo apareció, en primer lugar, como resultado de la necesidad de sistematizar
los cálculos, para utilizarlos desde épocas relativamente tempranas, Inclusive las más sencillas operaciones
algebraicas se salen del marco del campo de los números reales.
Es conocido que no toda ecuación algebraica puede ser resuelta con números reales; por consiguiente, es
necesario renunciar a la aplicación automática de los métodos de solución establecidos y en cada caso
investigar minuciosamente las posibilidades de aplicación de dichos métodos o ampliar el campo de los
números reales, de manera que las operaciones algebraicas fundamentales sean siempre aplicables. Tal
ampliación es, precisamente, el concepto de número complejo. (José Miguel Marín Antuña, 2014)
El estudio de Variable compleja extiende parte de su riqueza con el estudio de funciones analíticas, siendo
este el caso, se define el concepto de función analítica y de ahí a las aplicaciones respectivas que proceden
de ella.

2. 7
Definición 1 (Función Analítica): La función f(z) de una variable compleja z se llama analítica en el dominio
D si es derivable en todos los puntos de D y su derivada es continua en D. Las funciones analíticas se
conocen también con los nombres de funciones regulares o monógamas.
Si el dominio es analítico en D es finito, se dice que la función es holomorfa. Si el dominio analítico en D es
todo el plano complejo, la función analítica se llama entera. Entonces se considera provechoso recordar lo
siguiente:
Definición 2 (Función Derivable): Sea D el dominio de la función de variable compleja f(z) y sea z0 un punto
de dicho dominio. Si existe el límite:
lim
∆z→0
f(Z0+∆z)−f(Z0)
∆z
Entonces la función f(z) se dice que es derivable en el punto z0 con respecto a la variable compleja z.
Teorema 1: Si la función compleja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es diferenciable (derivable) en el punto z0 = x0
+ i y0, entonces en el punto (x0, y0) existen las derivadas parciales de u(x, y) y v(x, y) las cuales satisfacen
en (x0, y0) las ecuaciones:
ux = vy , uy = −vx (1.0)
Estas se conocen con el nombre de condiciones de Cauchy-Riemann.
Demostración (Teorema 1): Tomando como hipótesis la “definición 2” f(z) es derivable en z0. Como existe,
este límite es independiente de la trayectoria por la que se tome el incremento △z. Tómese, pues, un
incremento paralelo al eje Ox: △z = △x (y = c), donde c es constante. Entonces se tiene que:
f(Z0 + ∆z) − f(Z0)
∆z
=
u(x0 + ∆x, y) − u(x0, y0)
∆x
+ i
v(x0 + ∆x, y) − v(x0, y0)
∆x
Como el límite de la izquierda existe, existirá el límite de la parte derecha cuando △z = △x ⟶ 0. Tomando
dicho límite se obtiene:
df(z)
dz
=
∂u(x0,y0)
∂x
+ i
∂v(x0,y0)
∂x
(1.1)
Tómese ahora un incremento paralelo al eje Oy: △z = i△y (x = c). Entonces:
f(Z0 + ∆z) − f(Z0)
∆z
=
u(x0,y0 + ∆y) − u(x0, y0)
∆iy
+ i
v(x0,y0 + ∆y) − v(x0, y0)
∆iy
Que también puede expresarse como:
f(Z0 + ∆z) − f(Z0)
∆z
=
v(x0,y0 + ∆y) − v(x0, y0)
∆y
− i
u(x0,y0 + ∆y) − u(x0, y0)
∆y
De nuevo, el límite de la izquierda existe, por lo que existirán los límites de la parte derecha. Como el límite
de la izquierda existe, es independiente de la trayectoria y de nuevo da la derivada de f(z) respecto a z, de
manera que se obtiene cuando △y ⟶ 0:
df(z)
dz
=
∂v(x0,y0)
∂y
− i
∂u(x0,y0)
∂y
(1.2)

3. 8
Luego, comparando ambas expresiones (1.1) y (1.2) y en virtud de que dos números complejos son iguales
sí y solo sí, son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, se obtienen las ecuaciones (1.0). Así
queda demostrado el teorema 1.
Ejemplo 1: Probar que la función w = kz donde k es una constante real, es continua.
Se tiene que w = k(x + iy) = kx + iky. Por lo tanto, u(x, y) = kx y v(x, y) = ky. Ahora calcúlense las derivadas
parciales de u y v para determinar dónde son continuas y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann,
condición necesaria y suficiente para que la derivada respecto a z exista. Así: ux = k, uy = 0, vx = 0, vy = k
Por tanto se verifica que las condiciones de Cauchy-Riemann (1.0), se cumplen para toda x y toda y. Así
pues, la derivada de w = kz respecto a z existe para toda z y es igual a w' = ux + ivx = k + i · 0 = k
Ejemplo 1.1: Probar que la función w=z2 es continua.
Como z= x+iy entonces z2 =x2+2ixy−y2, ahora tomando partes reales e imaginarias, se tiene: u(x, y) = x2
− y2; v(x, y) = 2xy. Luego calculando sus derivadas parciales queda: ux = 2x, uy = −2y, vx = 2y, vy = 2x. Así
pues, se verifica el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann (1. 0) para toda x y toda y, de
manera que la derivada de w respecto a z existe para toda z y esto es: w' = ux + ivx = 2x + i2y = 2(x + iy)
= 2z
Ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden reescribir en coordenadas polares de la siguiente manera.
Partiendo de que un número complejo z se puede representar como
z = x + i·y, o bien z = |z|eiϑ, con |z| ≠ 0, por lo cual se tiene que:
x = |z| cos(ϑ) = r cos(ϑ) , y = |z| sen(ϑ) = r sen(ϑ),
Lo que permite separar a la función w = f(z) en sus componentes real u e imaginaria v para poder escribir
f(z) como: f(z) = f(r, ϑ) = u(r, ϑ) + i v(r, ϑ).
Si se supone que las derivadas parciales de primer orden de u y de v con respecto a x y y existen en una
vecindad no nula de z0 y que son continuas en dicho punto, entonces las derivadas parciales respecto a r y
ϑ tienen esas propiedades; es por esto que:
∂u
∂r
=
∂u
∂x
∂x
∂r
+ i
∂u
∂y
∂y
∂r
;
∂u
∂ϑ
=
∂u
∂x
∂x
∂ϑ
+ i
∂u
∂y
∂y
∂ϑ
Es decir: ur = uxcos(ϑ) + uysen(ϑ) y uϑ = r(−uxcos(ϑ) + uysen(ϑ))
Similarmente, para la componente imaginaria v, se tiene:
vr = vxcos(ϑ) + vysen(ϑ) y vϑ =r(−vxcos(ϑ) + vysen(ϑ))
Ahora tomando las ecuaciones (1.0) se pueden escribir como:
vr = −uycos(ϑ) + uxsen(ϑ) y vϑ =r(−uysen(ϑ) + uxcos(ϑ))
Luego: uϑ = −r(−uycos(ϑ) + uxsen(ϑ)) =−rvr y vϑ = r(uysen(ϑ) + uxcos(ϑ)) =rur
Por tanto se deduce que las ecuaciones de Cauchy Riemann se pueden escribir como:

4. 9
vr(r0 , ϑ0 ) =
1
r0
uϑ (r0 , ϑ0 ) y ur(r0 , ϑ0 ) =
1
r0
vϑ (r0 , ϑ0 )
Fórmula de De Moivre: Si z es un complejo no nulo, ϑ es un argumento de z y n es un número entero, se
verifica que:
zn = |z|n (cos(nϑ) +i sen(nϑ)); z ∈ C*, ϑ ∈ Arg(z).
Ejemplo 1.2: w=z2 en coordenadas polares.
w = f(z) = z2 , entonces f (reiθ) = (reiθ)2 = r2ei2θ = r2 cos(2ϑ) + ir2 sen(2ϑ).
En consecuencia, u(r, ϑ) = r2 cos(2ϑ); v(r, ϑ) = r2 sen(2ϑ).
Funciones conjugadas armónicas
Las funciones analíticas también influyen en la solución de problemas matemáticos, como en las distintas
aplicaciones de la variable compleja a la Física y a otras disciplinas.
Definición 3. Una función real H de dos variables x y y se dice armónica en un dominio dado del plano xy
si sobre ese dominio tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden que satisfacen la
ecuación: Hxx(x, y) + Hyy(x, y) = 0; también conocida como Ecuación de Laplace.
Teorema 2: Si una función f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) es analítica en un dominio D, sus funciones
componentes u y v son armónicas en D.
Demostración: Supuesta f(z) analítica en D, se deben cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ux(x, y)
= vy(x, y) y uy(x, y) = -̵̶vx(x, y) ahora derivando las ecuaciones anteriores respecto a x, se tiene:
(2.1) uxx(x, y) = vyx(x, y) ; uyx(x, y) = -̵̶vxx(x, y) (2.2)
Similarmente, al derivar respecto a y, se tiene:
(2.3) uxy(x, y) = vyy(x, y) ; uyy(x, y) = -̵̶ vxy(x, y) (2.4)
Ahora, igualando las ecuaciones (2.1) y (2.4), y (2.2), (2.3), se puede escribir:
(2.5) uxx(x, y) + uyy(x, y) =0. ; vxx(x, y) + vyy(x, y) =0. (2.6)
Con estos resultados [ecuaciones (2.5), y (2.6)] se puede ver que u y v son armónicas en D, con lo que se
demuestra el teorema.
Como las derivadas parciales de u y v son continuas por definición de función analítica, las segundas
derivadas parciales cruzadas son iguales entre sí, por lo que, sumando estas dos expresiones, se obtiene
para la función u la así llamada ecuación de Laplace:
∇2u ≡ uxx(x, y) + uyy(x, y) =0.
También, se puede obtener la misma ecuación de Laplace para la función v(x, y).
Es decir, la parte real y la parte imaginaria de la función f(z) analítica en D son solución de (satisfacen) la
ecuación de Laplace en D. pues, son lo que se conocen con el nombre de funciones armónicas en D y, como
son la parte real y la parte imaginaria de una función analítica, se les llama funciones “conjugadas
armónicas”.

5. 10
La ecuación de Laplace aparece en Física al estudiar los fenómenos relacionados con procesos
estacionarios (no dependientes del tiempo). Así, para la Física es elemental el dominio de la teoría y de los
métodos de las funciones de variable compleja.
Ecuación de Hooke: En el cálculo diferencial e integral se denomina ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden a una ecuación diferencial de la forma:
𝑚
𝜕2 𝑦
𝜕𝑡2
+ 𝑐
𝜕𝑦
𝜕𝑡
+ 𝑘𝑦 = f(t) La cual es homogénea, ahora en el caso elemental con f(t) = 0 y expresada en
notación de primas es: my''+cy'+ky = 0, la ecuación auxiliar para se denota por: mw2 + cw + kw = 0.
Luego se presentan 3 casos en los cuales:
La solución general se muestra como la combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes
por lo tanto posee dos constantes de integración c1 y c2 cuyos valores pueden determinarse mediante el
análisis de las condiciones iniciales del problema. Nota: Mediante transformadas de Laplace puede
resolverse un tipo de ecuaciones diferenciales de orden n, llamadas ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes.
Definición 4. (Matriz Hermitiana): Se dice que una matriz A = [aij] es hermitiana si es igual a su traspuesta
hermitiana, A* = A, es decir, a*ji = aij.
De igual manera una matriz A = [aij] es antihermitiana si A* = −A, es decir, a*ji = −aij.
En el caso de una matriz A hermitiana, para i = j se tiene que a*ii = aii, lo cual implica que todos los
elementos que se encuentran en la diagonal principal son números reales.
En el caso de una matriz A antihermitiana, para i = j se tiene que a*ii = −aii, implica que todos los elementos
que se encuentran en la diagonal principal son números imaginarios o ceros.
También cabe mencionar que: Dada cualquier matriz cuadrada A, la matriz que resulta de la suma A + A*
es hermitiana, mientras que la diferencia A – A* es antihermitiana. De aquí se die que cualquier matriz
cuadrada A, puede escribirse de manera única como la mitad de la suma de la hermitiana y la mitad de la
suma de antihermitiana: A = (A + A*)/2 + (A – A*)/2.
La Función exponencial Compleja
𝑒 𝑧
= ∑
1
𝑛!
∞
𝑛=0
𝑧 𝑛
, (𝑧 ∈ ℂ)
Propiedades:
(1) (e(z))' = e(z) para todo z ∈ C.
(2) e(0) = 1
w1 ≠ w2, raíces reales y diferentes y = c1ew1x + c2ew2x
w1 = w2 = w, raíces reales e iguales y = c1ewx + c2xewx
w1 ≠ w2, raíces complejas y = eax(c1cos(bx) + c2sen(bx) )

6. 11
(3) e(x) para x ∈ R coincide con la exponencial real, esto es, la exponencial compleja extiende a la
exponencial real. Esto justifica el uso de la notación e(z) = ez.
(4) Las propiedades (1) y (2) caracterizan a la función exponencial, esto es, si j ∈ H (C) es tal que φ(z)
= φ(z) para cada z ∈ C y φ(0) = 1 entonces φ(z) = e(z).
(5) Adición: e(z+w) = e(z)·e(w)
(6) Fórmula de Euler: Dado t ∈ R se cumple e(it) = cost +i·sent. En particular tenemos la igualdad eiπ
+1 = 0.
(7) Dado z = Re(z)+i Im(z) ∈ C entonces ez = eRe(z)cos(Imz)+i sen(Imz). Por tanto |ez| = eRe(z), Imz ∈
Arg(ez).
(8) La exponencial compleja no se anula nunca.
(9) La exponencial compleja es una función periódica de periodo 2π concretamente ez = ew si, y sólo si,
z−w ∈ 2πZ.
(10) La exponencial compleja es una función analítica.
Demostración.
(1) Puesto que la exponencial está definida en términos de una serie de potencias convergente basta
derivar término a término la serie para obtener la derivada de la exponencial.
Así: (ez
)′ = ∑
n
n!
∞
n=1 zn−1
= ∑
n
(n−1)!
∞
n=1 zn−1
= ∑
1
n!
∞
n=0 zn
= exp (z)
(2) Evidentemente al hacer z = 0 en la serie que define a la exponencial se anulan todos los términos
menos el primero que es 1.
(3) Para x ∈ R se sabe que 𝑒 𝑥
= ∑
1
n!
∞
n=0 xn
.
(4) Tomemos a ∈ C y llamemos h(z) = φ(a−z)e(z), luego h′(z) = − φ (a−z) e(z) + φ(a−z)e(z) = 0. luego
h es constante, en particular, h(0) = h(a), es decir, φ(a) = e(a) Puesto que a es un número complejo
arbitrario la igualdad es válida para todo a ∈ C.
(5) Sea a ∈ C y consideremos la función H(z) = e(a - z) e(z). Si derivando resulta H′(z) = 0 luego H es
constante y H(0) = H(z), esto es, e(a) = e(a - z) e(z) para todo z ∈ C. Dados z,w ∈ C, sustituyendo a =
z+w se obtiene que e(z + w) = e(z) e(w).
(6) De la definición de la exponencial compleja se sigue que:
eit
= ∑
1
n!
∞
n=0
(it)n
= lim
n→∞
∑
1
k!
n
k=0
(it)k
= lim
n→∞
∑
1
k!
2n+1
k=0
(it)k
= lim
n→∞
(∑
(−1)k
(2k)!
n
k=0 t2k
+ i ∑
(−1)k
(2k+1)!
n
k=0 t2k+1
) = cos (t) + isen(t) .
(7) Sea z = Re(z) + i·Im(z) un número complejo cualquiera. Tenemos e(z) = e (Re(z)+i·Im(z)) = eRe(z) e(i·Im(z))
= eRe(z) cos(Imz)+ i·sen(Imz).
(8) Consecuencia de que | e(z) | = eRe(z) > 0.
(9) Sea z ∈ C un número complejo cualquiera: e (z+2π)
= eRe(z+2π)[cosIm(z+2pi)+i senIm(z+2π)] = eRe(z+2π)[cos(Imz+2π)+i sen(Imz+2π)) ] =
eRe(z+2π)[cos(Imz)+i·sen(Imz)) ] = e(z).
(10) Tómese a ∈ C, por la adición e(z) = e(a) e(z−a), esto es
𝑒z
= 𝑒a ∑
(z−a)n
n!
∞
n=1 = ∑
𝑒a
n!
∞
n=1 (z − a)n
. Para todo z ∈ C.

7. 12
Logaritmos complejos
El comportamiento periódico de la exponencial compleja se traduce, como se ve enseguida, en la ecuación
ew = z, donde z es un número complejo no cero, y tendrá infinitas soluciones w ∈ C. Como ew = eRe(w) (cos
(𝙸𝚖(w))+i sen(𝙸𝚖(w)))
Para que ew = z es necesario y suficiente que:
1. |ew|=|z|, esto es, eRe(w) = |z|, es decir, Re(w)= log|z| (logaritmo natural del número real positivo |z|).
2. Arg(ew) = Arg(z), esto es, 𝙸𝚖(w) ∈ Arg(z) y esto se cumple si, y sólo si 𝙸𝚖(w) = arg(z)+2kπ, con k ∈ Z.
Se ha probado que: {w ∈ C : ew = z} = {log|z|+i(arg(z)+2kπ), k ∈ Z}
Por tanto, existen infinitos números complejos w que satisfacen la ecuación ew = z. Cualquiera de ellos se
llama un logaritmo de z. El conjunto de todos ellos se representa por Log(z). Log(z) =
{log|z|+i(arg(z)+2kπ), k ∈ 𝒁} = log|z|+iArg(z) (z ∈ C∗). De entre todos ellos se elige uno, llamado
logaritmo principal, definido por Log(z) = log|z|+i·Arg(z) (z ∈ C∗). Obsérvese que cualquier otro logaritmo
de z es de la forma log(z)+i·2kπ para algún entero k. Además, para z ∈ R+ el logaritmo principal, log(z),
coincide con el logaritmo natural de z. También se señala que la igualdad log(zw) = log(z) + log(w) es
válida para los logaritmos de los números reales positivos, pero no es siempre cierta para números
complejos. Por ejemplo:
log(−1 + i√3) = log2 +
i2π
3
, log(−√3 + i) = log2 +
i5π
6
= log((−1 + i√3)(− √3 + i)) = log(−4i) =
log4 −
iπ
2
=log4 −
iπ
6
= log2 +
i2π
3
+ log2 + i
5π
6
= log4 + i
3π
2
Lo que está claro es que log(z)+log(w) ∈ Log(zw) , es decir, log(z)+log(w) es un logaritmo de zw pero no
tiene por qué ser el logaritmo principal de zw.
Terna Pitagórica: Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros
positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma: (2pq, p^2 - q^2, p^2
+ q^2)
El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los
elementos de la misma por un número. Una terna: (a, b, c) que satisface la igualdad a^2 +b^2 = c^2 puede
generarse mediante a= p^2 - q^2, b=2pq, y c= p^2 + q^2. Al obtener el valor de la hipotenusa se habla de
la distancia que hay entre el origen y un punto de coordenadas (x,y) lo cual puede observarse en el plano
de Argand como la medida del vector que se dirige a un punto z.
Comentario de Transformaciones
La ecuación w = 1/z establece una correspondencia uno a uno entre puntos no
ceros de los planos z y w. Así z·mod(z) = |z|2, puede describirse Z = z /|z|2 , w =
mod(Z). La primera transformación es una inversión del circulo unitario, |z| = 1;
eso es, la imagen del punto no cero z es el punto Z con propiedades |Z| = 1; |z| y
argZ = arg z.
Los puntos exteriores del circulo |z| = 1. Son mapeados en puntos no ceros del circulo cualquier punto del
circulo puede ser mapeado en sí mismo. Ahora la segunda transformación es una reflexión de la abscisa
real.

8. 13
Si se escribe la transformación T(Z) =1/z, z no cero. Puede definirse T en el origen o en un punto del
infinito, esto extiende el plano complejo. Así: limz⟶0 T(z) = ∞, y limz⟶0 1/T(z) = limz⟶0 z = 0.
limz⟶∞ T(z) = 0, limz⟶0 T(1/z) = limz⟶0 z = 0. T es continuo en el plano complejo, es decir T(0) = ∞, T(∞)
= 0 y T(z) = 1/z.
Cuando un punto w = u + iv es la imagen de un punto no cero z = x + iy en el plano finito bajo la
transformación w = 1/z , se escribe w= mod(z)/|z|2 revela que:
u = x/(x2 + y2) ; v = −y/(x2 + y2), también puede ser: z= 1/w = mod(w)/|w|2 entonces x = u/(u2 + v2) ;
y = −v/(u2 + v2).
Ejemplo 2: Ahora pruébese el mapeo de w = z2, el cual puede hacerse como una transformación de u = x2
− y2, v = 2xy, del plano xy al plano uv; usualmente este tipo de mapeo se utiliza para encontrar las
imágenes de las hipérbolas.
Así las ramas de la hipérbola son: x2 − y2 = c1 (c1 > 0), y u= c1, al despejar x en esta ecuación y
sustituyendo se obtiene la otra rama v= 2y√(y2 +c1), v= c2. (−∞ < y < ∞)
Puede notarse que c2=2xy, es y= c2/2x, revela la representación paramétrica de la imagen de las ramas;
u= x2– (c2)2/4x2, v= c2 (0 < x < ∞). O bien c2=2xy, es y= c2/2x; u= (c2)2/4x2 –y2, v= c2 (−∞ < y < 0).
Ejemplo 2.1: Considere ahora la función exponencial f (z)=ez. Como es holomorfa en todo C y su derivada
es ella misma (y no anula en C), entonces es conforme en todo C.
Ahora, para las rectas verticales x = a en su dominio, escribiéndolas como z = a+iy, con a fijo, se tiene que
f (z) = exp(a+iy) = eaeiy = reiy con r = ea > 0 fijo. Así, f transforma la recta x = a en el círculo con centro el
origen y radio r = ea. Similarmente, para las rectas horizontales y = b en su dominio, escribiéndolas como
z = x+ib, con b fijo, se tiene que f (z) = exebi = ex(cosb+i senb) que es una semi-recta (rayo) a partir del
origen (pero no incluye al origen) con ángulo de inclinación b:

9. 14
La transformación de Jukowski es el resultado de conjugar la función cuadrado h(z) = z2 con la
transformación de Moebius: T(z) = (z − 1) /(z + 1); es decir: g(z) = T−1(h(T(z))) = T−1 o h o T(z), Se debe
resaltar que las transformaciones de Moebius son los automorfismos del plano complejo completado ℂ─ =
ℂ⋃∞ sobre sí mismo. Son transformaciones conformes que a circunferencias de ℂ─ (es decir, rectas y
circunferencias) hacen corresponder circunferencias de ℂ─. En lo que sigue usaremos la notación U = 𝜁z >
0, L = 𝜁z < 0. La demostración de las propiedades que siguen es consecuencia de las observaciones
precedentes.
Conjuntos Fractales
La palabra “fractal” proviene del latín “fractus”, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente
“roto” o “quebrado”, apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por
Benoît Mandelbrot en 1977, el cual publicó en su libro “The Fractal Geometry of Nature”; es por ende, que
al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de auto similitud a cualquier escala, su dimensión
no es entera, y el hecho de que goce de auto similitud significa que el objeto fractal no depende del
observador para ser en sí, es decir, al tomar algunos tipos de fractales puede comprobarse que al mirar
muy de cerca una porción de sí mismos se notara que es similarmente consecutivo. Además también se
definen como aquellos que están formados por los números complejos, y que debido a esto se les designa
el término de caóticos. Estos fractales son generados por computadoras y creados por el hombre, como lo
son el Conjunto de Mandelbrot y el Conjunto de Julia, entre otros.
Fractales Lineales: La auto similitud es perfecta, es decir, cada porción de un objeto tiene exactamente las
mismas características del objeto completo. Su dimensión fractal es fácil de calcular, el número de copias
(escala o razón de semejanza) dimensión se crean a partir de un generador o de un algoritmo de repetición
ejemplos de este tipo de fractales son: Polvo de Cantor, triángulo y alfombra de Sierpinski y curva y copo
de nieve de Koch
Fractales Complejos: La auto similitud es estadística, es decir, cada región de un objeto conserva, de manera
estadísticamente similar, sus características globales.
Su dimensión fractal es difícil de calcular y normalmente se calcula utilizando programas informáticos. Se
crean a partir de un número complejo por iteraciones en el plano complejo. Ejemplos de este tipo son el
conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Julia.
Fractales Caóticos: La auto similitud es estadística. Se requieren unos métodos de medición más complejos
que la dimensión fractal. Se generan a partir de sistemas de ecuaciones diferenciales. Un ejemplo de este
tipo es el Atractor de Lorenzt, que modela el clima meteorológico. ”Las nubes no son esferas, las montañas
no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son lisas y los relámpagos no viajan
en una línea recta”.
La Dinámica Holomorfa es una rama de las matemáticas que estudia el comportamiento asintótico de
puntos en el plano complejo bajo iteración de funciones holomorfas. Los orígenes esta dinámica se remonta
a 1920 con los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia, dando los fundamentos a la teoría de
iteraciones”(Dimensión y conjuntos de Julia).

10. 15
Dado un sistema dinámico complejo, se define el Conjunto de Julia asociado a f, J(f), como el conjunto de
puntos periódicos repulsivos, existen varias técnicas asociadas a cada sistema dinámico (dependiendo de
la función f). Determínense los Conjuntos de Julia asociados a los sistemas dinámicos complejos
cuadráticos, que son los basados en la función f(z) = z2 + c, siendo c un numero complejo.
Los trabajos de Julia y Fatou, estuvieron motivados por un problema propuesto que propuso el matemático
británico Sir Arthur Cayley, el cual consistía en encontrar cuencas de atracción de los ceros del polinomio
z3 − 1 = 0 en el plano complejo por el método de Newton. Las soluciones (ceros) del polinomio son: {1,
e2π/3, e4π/3}.
El Conjunto de Julia es la iteración de una función Zn+1 = Z n
2
+ C, mientras que el Conjunto de Mandelbrot es
la iteración de infinitas funciones. Además, sabemos que el valor c determina si el conjunto es conexo o
disconexo, entonces el conjunto de todos los valores de c, tales que sus correspondientes Conjunto de Julia
son conexos, forman en el plano complejo el Conjunto de Mandelbrot, siendo el Conjunto de Julia, un sub-
conjunto de este.
A continuación se muestra el conjunto de Mandelbrot: Zn+1 = Z n
m + C o bien Z= Zm + C
Z = z2 + c Z = z3 + c

11. 16
Z = z5 + c Z = z2 + z + c
La geometría tradicional distingue las siguientes dimensiones:
Dimensión -1: Representa el Vacío.
Dimensión 0: Un punto no tiene dimensión alguna porque no tiene longitud, anchura o profundidad.
Dimensión 1: Una línea (formada por infinitos puntos) es unidimensional ya que solo tiene longitud. Si se
divide por la mitad un objeto unidimensional se obtienen dos de idéntica apariencia al original.
Dimensión 2: Un plano es bidimensional porque tiene longitud y anchura, si estas se dividen se obtienen 4
planos.
Dimensión 3: Un cubo es tridimensional ya que tiene longitud, anchura y profundidad, al dividirse se
obtienen 8 cubos más pequeños.
Consecuentemente de estas observaciones ocurre una razón exponencial de 2, 4, 8 y así sucesivamente, de
forma aritmética se puede expresar como: p = nd (porciones obtenidas del número de divisiones elevado
a la dimensión).
Ahora observando lo anterior desde un punto de vista similar, para el caso fractal obsérvese que al tomar
un trozo de cuerda, y luego juntar a uno de sus extremos otra cuerda de igual longitud, se ha duplicado su
medida. Sin embargo al intentar duplicar la medida de un cuadrado de papel, se necesitan 4 copias iguales
para ello. Y para hacerlo con un dado, se necesitarían 8 copias iguales para duplicar su medida, o dicho de
otra manera; para tener un hipercubo de dimensión d cuyas medidas sean el doble de las del otro, se
necesitan una cierta cantidad de copias para construirlo, se puede expresar como: c = 2d, en general c = kd
Curva de Koch
Uno de los primeros fractales fue definido por Helge von Koch (1870-1924) en 1904 y es conocido como
curva de Koch. Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un segmento.
Koch construyó la curva tomando como base un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividir
este segmento en tres intervalos iguales y construir un triángulo equilátero sobre el intervalo central,
eliminando la base de dicho triángulo. El segundo paso consiste en hacer lo mismo que se ha hecho en el
primer paso sobre cada uno de los 4 intervalos que han resultado en el paso anterior. El proceso se repite
infinitas veces. La curva de Koch es la curva a la que se van aproximando las sucesivas poligonales que

12. 17
resultan en cada paso. Al repetirse el proceso indefinidamente se deduce que la longitud de la curva Koch
tiende a infinito a medida que crece el número de iteraciones.
En relación con el conocido copo de nieve, tiene particiones de 3, presentando a 4 iteraciones o bien copias
se tiene: 4 = 3d → d = log4/log3 = 1.2618…
Triangulo Sierpinski
El matemático polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) creó el triángulo fractal más famoso del mundo. Su
construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero. El primer
paso consiste en dividir el triángulo equilátero inicial en cuatro triángulos equiláteros iguales y eliminar el
triángulo central. El segundo paso consiste en aplicar el mismo método a cada uno de los 3 triángulos
anteriores. Al repetir el proceso indefinidamente (iteración) se obtiene como resultado final el objeto
fractal conocido como triángulo de Sierpinski.
El resultado final es una superficie que tiende a cero y con un perímetro que tiende a infinito a medida que
aumenta el número de iteraciones.
Su dimensión es: 3 = 2d → d = log3/log2 = 1.5849…
Dragón de Heighway
Esta curva fue construida por un físico de la N.A.S.A. (John E. Heighway) alrededor de 1970. Heighway
ilustró la construcción mediante el doblado de una hoja. Se puede intentar Tomando una larga tira de papel
(cuanto más larga mejor), esta construcción consiste en doblar por la mitad una y otra vez la tira de papel
y luego abrir los dobleces en ángulo recto. Es un ejemplo de curva que llena una superficie y cuyo borde es
una curva fractal. En general el término dragón se utiliza para curvas que llenan una superficie con una
curva fractal como borde. La dimensión es: d = log(1/2)/log(1/sqrt(2)) = 2

13. 18
Atractor de Lorenz
En 1963, Edward Lorenz (1917-2008), muy interesado por el problema de la convección en la atmósfera
terrestre, simplifica drásticamente las ecuaciones Navier Stokes de mecánica de fluidos, famosas por su
complejidad. La atmósfera es un fluido, formada fundamentalmente por gases, el trabajo de Lorenz
consistía en hacer modelos más simples de la atmósfera con los cuales acercarse a su comportamiento real
APLICACIONES
Aplicación 1. Óptica. Encontrar la temperatura φ dentro de la lente que está acotada
por los círculos | z – 1 | = 1 y | z – i | = 1, y tal que sobre el círculo | z – 1 | = 1, la
temperatura φ = 0 y sobre | z – i | = 1, φ = 1.
Primero se transformará la región en una región más simple; Por ejemplo T(z) =
z/ [z – (1 + i)] manda los dos círculos en dos rectas que se intersectan en 0, pues
T(0) = 0 y T(1 + i) = ∞. Ahora T(2) = 2 /(1–i), T(2i) = 2i /[i (–1–i)] =1–i.
Ecuación de Laplace Rotando esta región un ángulo de –3π/4, es decir; aplicar la
función z → e–3π/4z, y finalmente se eleva al cuadrado.

14. 19
La función total es ϕ(z) = { e–3π/4z/[z – (1 + i)]}2 .
La solución para el semiplano superior está dado por propuesta de Dirichlet, es decir:
u(x, y) = 1/π ∫
yf(η)dη
(x−η)2+y2
+∞
−∞
ahora; 𝑓(𝑥) = {
1, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0, si x < 0
por lo que;
u(x, y) = 1/π ∫
ydη
(x−η)2+y2
+∞
0
= 1/π ∫
ydη
(η−x)2+y2
+∞
0
= 1/πy ∫
ydη
(
η−x
𝑦
)
2
+y2
+∞
0
Sea 𝑡 =
η−x
𝑦
, dη = ydt entonces: u(x, y) = 1/π ∫
ydt
(t)2+1
+∞
0
= 1/π arcTan(t)|∞
−
𝑥
𝑦
=
1/π (π /2 – ArcTan(–x/y)) = 1/2 – 1/π ( Arg(–iz ) ) = 1/2 – 1/π (– π /2 Arg(z ) )
=1– 1/π Arg(z) , 0≤Arg(z) ≤ π, u es la solución para H+, por lo que la solución al problema original es:
φ(x, y) = u(ϕ(z)) = u ((
e
−
3πi
4 z
z−(1+i)
)
2
) = 1 −
1
π
Arg ((
e
−
3πi
4 z
z−(1+i)
)
2
)
Aplicación 2. Temperatura. Para un problema de transferencia de calor las curvas de nivel de una función
armónica corresponde a las isotermas, y una derivada normal cero corresponde al aislamiento térmico.
Para ilustrar estas ideas, se considera el problema simple de transferencia de calor en estado estacionario
que se muestra esquemáticamente en la figura 1.

15. 20
Se tiene una tubería cilíndrica con cavidad cilíndrica descentrada por la que pasa el vapor a 100º C. La
temperatura exterior de la tubería es de 0º C. El radio del círculo interior es 3/10 del radio de círculo
exterior, así que si se elige el radio exterior como unidad de longitud, el problema puede ser formulado
como el de encontrar una función armónica T(u, v) tal que:
𝛛 𝟐 𝑻
𝛛𝐱 𝟐
+
𝛛 𝟐 𝑻
𝛛𝐲 𝟐
= 𝟎
En la región donde los círculos │z│=1 y │z–0.3│= 0.3, T = 0 sobre │z│=1,
T = 100 sobre │z–0.3│= 0.3. El mapeo: 𝑤 =
z−3
3z−1
transforma el círculo
│z│= 1 en el círculo │w│=1 y de igual manera │z–0.3│= 0.3 en │w│= 3.
Así el problema es transformado en un problema de simetría axial en el plano w que consiste en encontrar
una función armónica T(u, v) =100 en │w│= 1 y T(u, v) = 0 en │w│=3. Las funciones armónicas con tal
simetría axial tienen la forma general:
T(u,v) = A*ln(u2 + v2) + B donde A y B son constantes.
Aquí se requiere, además de la simetría axial, que T(u,v) =100 en u2 + v2 =1, T(u,v) =0 en u2 + v2 =9,
B=100, A=–100ln(9), y la solución en el plano w es:
T(u, v) =
100ln[1 − ln(u2
+ v2)]
ln (9)
Se necesita la solución en el plano z, que en general significa que se debe obtener u y v en términos de x e
y, sin embargo, es un poco más fácil ya que
|𝑤2| = |
z − 3
3z − 1
|
2
=
|(z − 3)|2
|(3z − 1)|2
=
(𝑥 − 3)2
+ 𝑦2
(3𝑥 − 1)2 + 9𝑦2
Así: T(u, v) =
100
ln(9)
{1 − 𝑙𝑛[(𝑥 − 3)2
+ 𝑦2] − ln[(3𝑥 − 1)2
+ 9𝑦2]} .
Aplicación 3. Física. Una masa de 5kg se sujeta a un resorte suspendido del techo y ocasiona que el resorte
se estire 2 metros al llegar al reposo en equilibrio. Se eleva luego la masa 1 metro sobre el punto de
equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de ⅓ m/seg. Determine:

16. 21
a) La ecuación del movimiento armónico simple de la masa.
b) La posición del objeto en t = π/4 segundos.
𝑚
𝜕2 𝑦
𝜕𝑡2 + 𝑐
𝜕𝑦
𝜕𝑡
+ 𝑘𝑦 = f(t)
Como no hay amortiguador C=0, además no existe fuerza perturbadora que se aplique al sistema por lo
tanto f(t)=0, la posición inicial de la masa es 1 metro sobre la posición de equilibrio por lo tanto si tomamos
el eje de referencia positivo hacia arriba la posición inicial de la masa será 1 metro. Y la velocidad es 1/3
m/seg.
La ecuación diferencial que representa al sistema es: 5
𝜕2 𝑦
𝜕𝑡2 + 𝑘𝑦 = 0, se debe encontrar el valor de k. Como
la masa es 5kg y si se asume la gravedad 10m/seg2, el peso será de 50 Newton, al sujetar el resorte la masa
se estira 2 metros, lo que me indica de manera implícita la constante del resorte que se la puede calcular
mediante: F = k∆l , donde F es el peso del objeto y ∆l la longitud del estiramiento. Despejando k se obtiene
k=25N/m.
Para resolver esta ecuación diferencial se aplica la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:
ℒ [5
𝜕2 𝑦
𝜕𝑡2 + 𝑘𝑦] = ℒ[0]; entonces 5s2⋎(5) –5sy(0) –5y'(0) +25y(5) =0.
La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=1/3: Reemplazando las
condiciones se obtiene:
5s2y(5) – 5s–5/3 + 25y(5) = 0; (5s2+25)y(5) = 5s+5/3; (s2+5)y(5) = 5+1/3;
y(s) = s/(s2+5)+1/3(s2+5); y(t) = ℒ–1[s/(s2+5) + 1/3(s2+5)]
= ℒ–1[s/(s2+5)] + ℒ–1[1/3(s2+5)]; y(t) = cos(5t) + sen(5t).
La posición del objeto en π/4 segundos es:
Y(π/4) = cos(5 *π/4) – (1/15)*sen(5* π/4); Y(π/4) = (√2/2) – (1/15)( √2/2)
= –(√2/2) (1 + 1/15) = –(√2/2)(16/15) = –(8√2/15).
Aplicación 4. Electricidad. Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería
que transmite un voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después

17. 22
de 10 segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada
definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determinar
La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5s, y t=20s.
LQ''+RQ'+(1/c )*Q = ԑ(t) = 20u(t–10)–(t–30)
ℒ (LQ'')+ ℒ (RQ')+ ℒ ((1/c )*Q) = ℒ (ԑ(t)) = s2Q(s) +12sQ(s) +100Q(s)
=20[(e–10s – e–30s)/s ] = (s2 +12s+100) Q(s) =20[(e–10s)/s –( e–30s)/s ]
= Q(s) = 20[(e–10s)/s(s2 +12s+100) – ( e–30s)/s (s2 +12s+100)],
Luego; A/s + (Bs+Cs)/ (s2 +12s+100)] entonces: As2+12Bs+Cs=1, con A=1/100,
B=–1/100, C=–12/100.
(1/100)/s – (1/100)*(s+12)/( s2 +12s+100).
Q(s) = 1/5 {e10s *[1/s – (s+6)/( s+6)2+64 – 6/( s+6)2+64 ] – e–30s *[1/s – (s+6)/( s+6)2+64 – 6/(
s+6)2+64 ]}
Q(t) = ℒ–1 Q(s)
Q(t) = 1/5 {[ 1– e–6(t–10) *cos8(t–10) – 3/4 * e–6(t–10) *sen8(t–10)]U10(t) – [ 1– e–6(t–30) *cos8(t–30) – 3/4
* e–6(t–30) *sen8(t–30)]U30(t).
Cuando t=5s, entonces Q(5) = 0. (Condensador Cargado)
Cuando t=20s:
Q(t) = 1/5 – 1/5 * e–6(t–10) *cos8(t–10) – 3/20 * e–6(t–10) *sen8(t–10)
Q(20) = 1/5 – 1/5 * e–60 *cos80 – 3/20 * e–60 *sen80
Q(20) = 1/5 – 1/5 * e–60 *(–0.110) – 3/20 * e–60 *(–0.993)
Q(20) = 2. 08*10–25 coulombs.
Aplicación 5. Ecuaciones Diferenciales. Una varilla de longitud L coincide con el eje X en el intervalo [0, L],
tal que la temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0ºC en cualquier instante y la temperatura
inicial de toda la varilla está dada por f(x) =x(L–x). Determina la temperatura u(x, t), de la varilla.
{
𝑘
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, 0 ≤ x ≤ L, t > 0
𝑢(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0
𝑢(𝑥, 0) = x(L − x), 0 ≤ x ≤ L
Para resolver esta ecuación en derivadas parciales se procede a usar el método de separación de variables,
se asume la solución de la siguiente manera: U(x, t) =X(x)T(t).
Se obtiene las correspondientes derivadas de la ecuación, usando la solución que se asume: ∂u/∂t =
X(x)T'(t), ∂2u/∂t2 = X''(x)T (t).
Reemplazando en la ecuación en derivadas parciales se obtiene:

18. 23
k X''(x)T (t) = X(x)T'(t). Despejando la ecuación: X''(x)/ X(x) = T'(t)/k T (t) = λ
Se obtiene dos ecuaciones diferenciales: X''(x)/ X(x) = λ ⟶ X''(x) – λ X(x) = 0, la solución para esta
ecuación se asume que es: X(x) = erx .
Se obtiene r2 – λ = 0, Como el valor de es una constante, entonces se analiza de la siguiente forma: Para
λ>0 , r2 = λ , por tanto las raíces son: r1,2 = ±√ λ, Por lo tanto, para este caso la solución es: X(x) = Ae√Ax
+ Be–√Ax ,
Se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera: u(0, t) = u(L, t) =0. u(0, t) =0 entonces
X(x) =0, u(L, t) =0 entonces x(L) =0.
Siendo así; X(0) = A+B = 0, x(L) = Ae√AL + Be–√AL , Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde
A=B=0, por lo tanto, la solución queda la trivial: X(x) =0 , entonces u(x, t) = 0T(t) = 0.
Para λ = 0, r2 = 0 por tanto las raíces son: r1,2 = 0.
Por lo tanto, para este caso la solución es: X(x) = A + Bx
Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera:
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(0, t) = 0 entonces X(x) = 0, u(L, t) = 0 entonces x(L) = 0,
X(0) = A = 0, x(L) = A+BL = 0.
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda la trivial:
X(x) = 0, entonces u(x,t) = 0T(t) = 0.
Para λ < 0, Se indica que λ es un valor negativo poniendo el singo menos dentro del radical. Así las
raíces son: r1,2 = ±√ –λi, para este caso la solución es:
X(x) = Acos(x√–λ) +Bsen(x√–λ)
Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera:
u(0, t) =0 entonces X(x) =0, u(L, t) =0 entonces x(L) =0,
X(0) = A = 0, x(L) = Acos(L√–λ) +Bsen(L√–λ) = 0.
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A =0, por lo cual queda:
Bsen(L√–λ) = 0, donde el valor de B no puede ser cero para que no quede la solución trivial, por lo tanto
lo que si puede suceder es que sen(L√–λ) = 0. Donde (L√–λ) = nπ ∀ n≥1.
Ahora la solución para la 2da ecuación diferencial:
T'(t)/ kT(t) = λ, ⟶ T'(t) –k λ,T(t) = 0, se asume que T(t) = ert, entonces r– λk = 0
r= λk = –(nπ/L)2 *k, con esto la solución es T(t) =ce –( n π /L)2 *kt ,
como: u(x,t) = X(x)T(t), entonces: u(x,t) = Ansen[(nπ/L)x]* e –( n π /L)2 *kt ∀n≥1.
Expresando en sumatoria:
u(x,t) = ∑∞n=1 Ansen[(nπ/L)x]*e –( n π /L)2 *kt , y con la condición inicial:

19. 24
x(L–x) = ∑∞n=1 Ansen[(nπ/L)x]
Donde 𝐴 𝑛 =
2
𝐿
∫ x(L– x)sen [(
nπ
L
) x] dx
𝐿
0
y se procede a integrar por partes:
𝐴 𝑛 =
2
𝐿
∫ x(L–x)sen [(
nπ
L
) x] dx =
2
𝐿
∫ (xL– x2)sen [(
nπ
L
) x] dx
𝐿
0
𝐿
0
u= xL–x2, du= (L–2x)dx, dv = sen[(nπ/L)x]dx, v = –(L/nπ)* cos[(nπ/L)x]
∫ (xL– x2)sen [(
nπ
L
) x] dx =– (
L(xL–x2)
nπ
) cos [(
nπ
L
) x] + ∫ (
L(L–2x)
nπ
) cos [(
nπ
L
) x]
L
0
L
0
dx
∫ (xL– x2)sen [(
nπ
L
) x] dx = (
(x2−xL2)
nπ
) cos [(
nπ
L
)x] + ∫ (
(L2–2x)
nπ
) cos [(
nπ
L
)x]
L
0
L
0
dx
Otra vez por partes:
u= (L2– 2Lx) , du=–2Ldx, dv= (1/nπ)*cos(nπ/L)x*dx, v= L/(nπ)2 *sen[(nπ/L)x]
∫(xL– x2)sen [(
nπ
L
) x] dx = (
(x2−xL2)
nπ
) cos [(
nπ
L
) x] +
L(L2−2Lx)
(nπ)2
+ ∫
(2L2)
(nπ)2
sen [(
nπ
L
) x] dx
∫ (xL– x2)
L
0
sen [(
nπ
L
)x] dx = (
(x2−xL2)
nπ
) cos [(
nπ
L
) x] |L
0
+
(L3−2L2x)
(nπ)2
−
(2L3)
(nπ)3
cos [(
nπ
L
) x] |L
0
∫ (xL– x2)
L
0
sen [(
nπ
L
) x] dx = [(
L3
− L3
nπ
) cos(nπ) − 0] + [0 −
(2L3)
(nπ)3
cos (
2L3
(nπ)3
)]
∫ (xL– x2)
L
0
sen [(
nπ
L
)x] dx =
(2L3)
(nπ)3
[1 − cos(nπ)]
𝐴 𝑛 =
2
𝐿
∗
(2L3)
(nπ)3
[1 − cos(nπ)] =
(4L2)
(nπ)3
[1 − cos(nπ)]. Así la solución es:
u(x, t) = ∑
(4L2)
(nπ)3
∞
n=1 [1 − cos(nπ)]sen [(
nπ
L
)x] e
−(
nπ
L
)
2
kt
.
COMENTARIO FINAL:
Queda propuesto un camino de lectura, señalado para aventurarse en el plano complejo, se observa que las
nociones de función holomorfa son esenciales para trabajar con aplicaciones ya sean mencionadas las de
transformaciones complejas (tanto Conformes, de Laplace y de Fourier), considerándose que esto se
percibe con más facilidad para los usuarios de las matemáticas omitiendo el lenguaje abstracto y utilizando
pasos técnicos para una buena comprensión que lleva al estudiante a afrontar retos prácticos y a manejar
nociones con cálculos en variable compleja. Además en el marco del comportamiento de la vida, el hombre
muchas veces no ve a primera vista una cantidad imaginaria o compleja, pues estas cuantías pueden
comportarse tan ínfimas en un espacio, así como demasiado grandes, tal caso permite percibir que se vive
atrapado en una dimensión de números complejos que la mayor parte del tiempo es común ver las cosas
que se interpretan desde z = x + 0*i*y, eso es tan solo una porción de la dimensión compleja, o también
llámese del plano complejo extendido.
NOTA: Los gráficos fueron generados a través del software Scilab.

20. 25
BIBLIOGRAFÍA
Alvarez, F., Dávila, J. D., Cominetti, R., & C., H. R. (Agosto, 2005). Cálculo Vectorial, Variable Compleja y
Ecuaciones en Derivadas Parciales. Santiago de Chile, Chile: UNIVERSIDAD DE CHILE.
Borda, J. V., Castro Korgi, R., & Charris Castañeda, J. (2000). Fundamentos del Análisis Complejo de una
Variable. Santa Fe, Bogota DC, Colombia, Colombia: Academia Colombiana de Ciencias Exactas,
Físicas y Naturales.
Brown, J. w., & Churchill, R. (2009). Complex Variables and Applications (Octava Ed. ed.). USA, United
States: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Derríck, W. R. (1987). Variable Compleja con Aplicaciones. (M. e. Quevedo, Ed., & D. M. M., Trad.) México
DF, México: Grupo Editorial Iberoamérica.
José Miguel Marín Antuña. (2014). Teoría de Funciones de Variable Compleja (Primera edición ed.). La
Habana, Cuba: Editorial Universitaria,.
Martínez, A. S. (2007). Números complejos y Álgebra Lineal con Aplicaciones. Ecatepec, México:
Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec.
Wunsh, A. D. (1999). Variable Compleja con Aplicaciones (Segunda Ed. ed.). (S. d. Regules, Trad.)
Massachuset, Estados Unidos USA: Pearson Education.
Strogatz, S. H. (2007). Nonlinear Dynamics And Chaos (1 ed.). India: Levant Books ( Indian Publisher).