parcial calculo diferencial

A-11 | P1-14 | g7-1 | L-5 Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.
En los ejercicios 1 a 3 complete en el espacio señalado. El
procedimiento no se tendrá en cuenta al calificar.
1. (12%) Marque si el enunciado es verdadero o falso.
(a) Si f(a) = g(a) = 0 entonces lim
x!a
f(x)
g(x)
no existe V F
(b) Si f0
(a) existe, entonces lim
h!0
f(a + h) = f(a). V F
(c) Dom(f) ✓ Dom(f0
). V F
(d) Si f es una función continua en x = ⇡, entonces
g(x) = f(cos(x)) es también continua en x = ⇡. V F
(e) La ecuación x + 2x
cos(⇡x) = 1 tiene solución en el
intervalo [ 1, 0]. V F
(f) Si Q(v) es el caudal en m3
/s de cierto r´ıo, como función
de la velocidad v del agua en m/s, entonces Q0
(v) tiene
unidades de área V F
2. (18%) Suponga que x(t) es la distancia recorrida desde
Medell´ın en Km después de t horas en un carro, y y(x) es la
altura en metros sobre el nivel del mar a una distancia de x
Km de Medell´ın. Además, sabemos que a las 2 horas el carro
está a 30 Km de distancia de Medell´ın, va a una velocidad de
40 Km/h, a una altura de 1200 msnm, y subiendo una loma
que por cada kilómetro avanzado sube 150 m.
Suponiendo que las funciones x, y son derivables,e invertibles,
calcule e indique las unidades de las siguientes cantidades:
(a) y0
(30) =
(b) (y x)0
(2) =
(c) (y 1
)0
(1200) =
3. (10%) Sea f la función dada en la figura. Use el plano que
se da abajo para esbozar la gráfica de f0
.
��
0 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5
-2
0
2
4
6
8
administrado por SiDEx.⌦©
Número Asignado: 1 Alvarez Bedoya Luis Eduardo

4. (20%) Para la siguiente función, calcule los l´ımites indicados
sin hacer uso la regla de L’Hospital.
f(x) =
p
x2 + 2x 6 3
x 3
(a) lim
x!3
f(x)
(b) lim
x!+1
f(x)
5. (6%) Calcule la derivada de la siguiente función. No es nece-
sario simplificar el resultado.
g(t) = cos
⇣p
t + ⇡2
⌘
e4t

6. Considere las funciones f, g dadas en la siguiente gráfica:
f(x) g(x)
x-3-6-7 0 3 6 8
-2
2
-5
(a) (10%) Use la definición de continuidad para determinar
si la función f(x) ⇥ g(x) es continua en x = 0?
(b) (6%) Calcule lim
x!3+
g(f(x))
7. (18%) Encuentre la parábola con ecuación y = ax2
+bx cuya
recta tangente en (1, 1) tiene ecuación y = 3x 2.

B-6 | P1-20 | g7-2 | L-3 Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.
(a) La ecuación 2 x
cos(⇡x) x = 1 tiene solución en el
intervalo [0, 1]. V F
(b) Si f es derivable en x = a entonces lim
x!a
f(x) f(a) = 0.
V F
(c) Dom(f0
) ✓ Dom(f). V F
(d) Si v(Q) es la velocidad del agua en m/s de un r´ıo como
función del caudal Q en m3
/s, entonces v0
(Q) tiene
unidades de área. V F
(e) Si f(a) = g(a) = 0 entonces lim
x!a
f(x)
g(x)
=
0
0
. V F
(f) Si f es una función continua en x = 1, entonces
g(x) = f(cos(x)) es continua en x = ⇡. V F
2. (18%) Suponga que D(t) es la distancia recorrida desde
Medell´ın en Km después de t horas en un carro, y H(x)
es la altura en metros sobre el nivel del mar a una distancia
de x Km de Medell´ın. Además, sabemos que a las 4 horas
el carro está a 60 Km de distancia de Medell´ın, va a una ve-
locidad de 80 Km/h, a una altura de 2400 msnm y subiendo
una loma que por cada kilómetro avanzado sube 300 m.
Suponiendo que las funciones x, y son derivables,e invertibles,
calcule e indique las unidades de las siguientes cantidades:
(a) H0
(60) =
(b) (H D)0
(4) =
(c) (H 1
)0
(2400) =
.
��
0 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
0
2
Número Asignado: 2 Aguilera Agreda Angie Tatiana

sin hacer uso la regla de L’Hospital
f(x) =
x 3
p
x2 + 2x 6 3
(a) lim
x!3
f(x)
(b) lim
x!+1
f(x)
g(t) = 2t
ln(
p
t + 1)

6. (18%) Encuentre la parábola con ecuación y = ax2
+bx cuya
recta tangente en ( 1, 1) tiene ecuación y = 3x 2.
f(x) g(x)
x-3-6-7 0 3 6 8
-2
2
-5
si la función
f(x)
g(x)
es continua en x = 0?
x! 6+
g(f(x))

C-2 | P1-38 | g16-1 | L-1 Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.
(a) Si f(a) = g(a) = 0 entonces lim
x!a
f(x)g(x) = 0 V F
(b) Si f0
es creciente y negativa, entonces f es cóncava hac´ıa
abajo. V F
(c) La ecuación ex
x = 2 tiene al menos una solución en
el intervalo [1, 2]. V F
(d) Si f es una función continua y su gráfica no tiene esquinas
o picos, entonces f0
existe en todas partes V F
(e) Si f es una función creciente y g es decreciente, entonces
f/g es creciente V F
2. (18%) Un alpinista sube por un camino empinado, de man-
era que cuando ha recorrido x Km horizontalmente, y(x) es
la altura en metros sobre el nivel del mar en su posición. La
temperatura del aire depende de la altura y la denotamos
T(y). Suponga que cuando el alpinista ha caminado 10 Km
de distancia horizontal, se encuentra a una altura de 3500
msnm y va subiendo una loma de pendiente del 100%. La
temperatura en su altura es 5 C pero disminuye en 1 C por
cada 100 m de altura.
Suponiendo que las funciones y, T son derivables e invert-
ibles, calcule e indique las unidades de las siguientes can-
tidades:
(a) T0
(3500) =
(b) (T y)0
(10) =
(c) (T 1
)0
(5) =
.
��
0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
0 1 2 3 4 5
-2
0
2
4
6
8
Número Asignado: 7 Agudelo Palacio Antonio Jose

f(x) =
p
x2 + 2x 4 2
x 2
(a) lim
x!2
f(x)
(b) lim
x!+1
f(x)
g(t) =
2 cos(t2
)
p
1 + et

f(x) g(x)
x-3-6-7 0 3 6 8
-2
2
-5
si la función f(x) + |g(x)| es continua en x = 0?
x!6
g
✓
1
g(x)
◆
7. (18%) Considere la parábola p(x) = 4 x2
. Halle el punto
de intersección de las rectas que son tangentes a la gráfica
de la parábola en los puntos donde ésta corta al eje x.

D-1 | P1-33 | g13-1 | L-1 Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.
(a) Si f0
es decreciente y positiva, entonces f es cóncava
hac´ıa arriba. V F
(b) Si f es una función decreciente y g es creciente, entonces
g/f es creciente V F
(c) La ecuación e x
+ x = 2 tiene al menos una solución en
el intervalo [ 2, 1]. V F
(d) Si f(a) = g(a) = 0 entonces lim
x!a
f(x)g(x) = 0 V F
(e) Si f es una función continua y su gráfica no tiene esquinas
o picos, entonces f0
existe en todas partes V F
2. (18%) Un alpinista sube por un camino empinado, de man-
era que cuando ha recorrido x Km horizontalmente, y(x) es
la altura en metros sobre el nivel del mar en su posición. La
temperatura del aire depende de la altura y la denotamos
T(y). Suponga que cuando el alpinista ha caminado 10 Km
de distancia horizontal, se encuentra a una altura de 3500
msnm y va subiendo una loma de pendiente del 100%. La
temperatura en su altura es 5 C pero disminuye en 1 C por
cada 100 m de altura.
Suponiendo que las funciones y, T son derivables e invert-
ibles, calcule e indique las unidades de las siguientes can-
tidades:
(a) T0
(3500) =
(b) (T y)0
(10) =
(c) (T 1
)0
(5) =
.
��
0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
0 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
0
2
Número Asignado: 8 Acevedo Angel Estefania Manuela

f(x) =
x 2
p
x2 + 2x 4 2
(a) lim
x!2
f(x)
(b) lim
x!+1
f(x)
g(t) =
p
1 + et
2 cos(t2)

f(x) g(x)
x-3-6-7 0 3 6 8
-2
2
-5
si la función f(x) ⇥ |g(x) 1| es continua en x = 3?
x!3
g(g(x))
7. (18%) Considere la parábola p(x) = 9 x2
. Halle el punto
de intersección de las rectas que son tangentes a la gráfica
de la parábola en los puntos donde ésta corta al eje x.

A-0 Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.
(a) Si las funciones f y g son crecientes y diferenciables en
x = a entonces podemos afirmar que f g también es
creciente en x = a. V F
(b) Si f(1) = 0 y f es continua en todo su dominio, entonces
lim
x!1
1
f(x)
no existe V F
(c) Si f00
(b) = 0, entonces f tiene un punto de inflexión en
x = b. V F
2. (8%) Sea f(x) = xg(x2
), donde g es una función doblemente
diferenciable. Entonces f00
(x) es:
(a) 2g0
(x2
) + xg00
(x2
).
(b) 4x3
g00
(x2
).
(c) 6xg0
(x2
) + 4x3
g00
(x2
).
(d) xg00
(x2
).
3. (6%) Sea f una función diferenciable. Si la recta tangente
a la gráfica y = f(x) en el punto (4, 2) pasa por el punto
(1, 5), entonces:
f(4) =
f0
(4) =
4. A continuación se muestra la gráfica de la derivada de una
función f.
(a) (6%) En qué intervalos es f0
continua?
(b) (12%) Suponiendo que f es continua y que f( 3) = 0,
use el siguiente plano cartesiano para esbozar la gráfica
de f
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
3
4
SUPLETORIO

5. (20%) Suponga que usted trabaja para una empresa que ex-
porta café. La cantidad Q en lb que se vende depende del
precio unitario p de cada libra, que tiene unidades de $/lb.
Un estudio de mercadeo mostró que Q depende de p según
la siguiente función
Q(p) =
2700
p2
+
1800
p
.
(a) Calcule Q0
(3), incluyendo sus unidades, y explique su sig-
nificado.
(b) Sea I(p) el ingreso total en $ por las ventas de café cuando
el precio unitario es de p $/lb. Calcule las siguientes fun-
ciones indicando las unidades.
I(p) =
I0
(p) =
sin hacer uso la regla de L’Hospital.
f(x) =
p
1 + x
p
1 x
x
(a) lim
x!0
f(x)
SUPLETORIO

(b) lim
x!+1
f(x) 7. (15%) Sea f(x) = 1
x2 , calcule f0
(x) mediante la deﬁnici´on
de derivada.
SUPLETORIO

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