Raices de ecuaciones_metodos_numericos_e

MEDIO AMBIENTE / FIIS METODOS NUMERICOS Y COMP./ANÁLISIS NUMÉRICO
RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Determine las raíces reales de   2
0.4 2.2 4.7f x x x   
a) Gráficamente
b) Empleando la fórmula cuadrática
c) Usando el método de bisección con tres iteraciones para determinar la raíz más grande. Emplee como
valores iniciales 1 5 10x y x  . Calcule el error estimado 0ε y el error verdadero 1ε para cada
iteración.
2. Determine las raíces reales de   2 3
2 7 5 6f x x x x     :
a) Gráficamente
b) Utilizando el método de bisección para localizar la raíz más pequeña. Use los valores iniciales
1 0x 0 y x 1  iterando hasta que el error estimado se encuentre debajo de 10%s 
3. Determine las raíces reales de   2 3 4 5
26 82.3 88 45.4 9 0.65f x x x x x x      
a)Gráficamente
b) Usando el método de bisección para localizar la raíz más grande con 10%s  . Utilice como valores
iniciales 1 0x 0.5 y x 1.0 
c) Realice el mismo cálculo en b), pero con el método de la falsa posición y sε 0.1%
4. Calcule las raíces reales de   2 3
11 22 17 2.5f x x x x     :
a)Gráficamente
b) Empleando el método de la falsa posición con un valor de s correspondiente a tres cifras significativas
para determinar la raíz más pequeña.
5. Localice la primera raíz no trivial de 2
senx x , donde x esta en radianes. Use una técnica gráfica y
bisección con un intervalo inicial de 0.5 a 1. Haga el cálculo hasta que a sea menor que 2%s  .
Realice también una prueba de error sustituyendo la respuesta final en la ecuación original.
6. Determine la raíz real de: 2
0.7lnx 
a) Gráficamente
b) Empleando tres iteraciones en el método de bisección con los valores iniciales 1 0.5 2ax y x 
c) Usando tres iteraciones del método de la falsa posición, con los mismos valores iniciales de b)
7. Determine la raíz real de  
0.9 0.4
:
x
f x
x


a) Analíticamente b) Gráficamente.
c) Empleando tres iteraciones en el método de la falsa posición. Con valores iniciales de 1 a 3. Calcule el
error aproximado a y el error verdadero t en cada iteración
8. Calcular la raíz cuadrada positiva de 15 usando el método de la falsa posición con 0.5%s  . Emplee
como valores iniciales 3 4l ax y x 
9. Encuentre la raíz positiva más pequeña de la función (x esta en radianes) 2
5x sen x  usando el método
de la falsa posición. Para localizar el intervalo en donde se encuentra la raíz. Grafique primero esta
función para valores de x entre 0 y 5. Realice el cálculo hasta que a sea menor que 1%s  .
Compruebe su respuesta final sustituyéndola en la función original.
10. Calcule la raíz real positiva de   2 3 2
8 36 462 1010f x x x x x     utilizando el método de la falsa
posición. Use una grafica para escoger el valor inicial y realice el cálculo con 1.0%.s 
11. Determine la raíz real de 3.3
79x  :
a) Analíticamente
b) Con el método de falsa posición para 0.1%s  . Use como valores iniciales de 3.0 a 4.0.
12. La velocidad de caída de un paracaidista está dada por: /
( )1 c mggm
v e
c

 

Donde 9.8g  para el paracaidista con un coeficiente de arrastre 14 /c kg s . Calcule la masa m de éste
de tal forma que la velocidad sea de 35 /v m s en 7t s . Con el método de la falsa posición determine
“m” a un nivel de 0.1%s  .
13. La concentración de saturación del oxigeno disuelto en agua se calcula con la ecuación (APHA, 1992)
5 7 10 11
2 3 4
1.575701 10 6.642308 10 1.243800 10 8.621949 10
ln 139.34411sf
a a a a
x x x x
o
T T T T
     
Donde sfo Concentracion de saturación de oxigeno disuelto en agua a 1 atm (mg/lt) y Ta = temperatura
absoluta (K). Recuerde que 273.15.aT T  donde T=temperatura (°C). De acuerdo con esta ecuación la
saturación disminuye con el incremento de la temperatura. Para aguas naturales típicas en climas
templados. La ecuación sirve para determinar rangos de concentración de oxigeno desde 14.621 mg/L
hasta °0 a 6.949 mg/L hasta 35°C. Dado un valor de concentración de oxigeno, esta fórmula y el método
de bisección son útiles para resolver la temperatura en °C.
a) Si los valores iniciales se fijan en 0 y 35°C. ¿Cuántas iteraciones del método de bisección se requieren
para determinar la temperatura con un error absoluto de 0.05°C?
b) Con base en a), desarrolle y pruebe un programa de bisección para determinar T como función de una
concentración de oxigeno dada. Pruebe el programa para 8,10 14sfo y mg/L. Compruebe sus
resultados.
14. Con el método de iteración simple de punto fijo localice la raíz de   ( )f x sen x x  . Use un valor
inicial de ox 0.5 y haga iteraciones hasta que 0.01%a  .
15. Utilice a) la iteración de punto fijo y b) el método de Newton-Raphson para determinar la raíz de
  2
0.9 1.7 2.5f x x x    usando 0 5x  .Efectué el cálculo hasta que oε sea menor que sε 0.01%.
También realice una prueba de error en su respuesta final.
16. Determine las raíces reales de   2 3
2.0 6 4 0.5 :f x x x x    
a) Gráficamente b) usando el método de Newton-Raphson que cumpla con 0.01%s 
17. Emplee el método de Newton-Raphson para determinar la raíz real de   2 3
2.0 6 4 0.5 ,f x x x x    
usando valores iniciales de a) 4.2 y b) 4.43. Discuta y use métodos gráficos y analíticos para explicar las
peculiaridades de los resultados.
18. Determine la menor raíz real de   2 3
11 22 17 25 :f x x x x     a) gráficamente y b) usando el método
de la secante para un valor de s con tres cifras significativas.
19. Localice la primera raíz positiva de:    2
cos 1 1f x senx x    ,donde x esta en radianes. Use cuatro
iteraciones con el método de La secante con valores iniciales de
a) 1 1.0 3.0,i ox y x y  
b) 1 1.5 2 5.i ix y x   Para localizar la raíz
c) Use el método grafico para verificar los resultados.
20. Calcule la raíz real de 3.3
79x  , con el método de la secante modificado que cumpla con 0.1%s  .
Intente diferentes valores de  y analice los resultados.
21. Determine la mayor raíz real de   3 2
6 11 6.1f x x x x    :
a) Gráficamente b) con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, ix 3.5 ) c) Utilizando el método
de la secante (tres iteraciones, i 1 ix 2.5 3y x .5   d) utilizando el método de la secante modificado
(tres iteraciones ix 3.5, δ 0.02 
22. Determine la menor raíz positiva de    7 1:x
f x e sen x
  a) gráficamente b) con el método de Newton-
Raphson (tres iteraciones , ix 0.3 ) c) utilizando secante (tres iteraciones, i 1 ix 0.5 y x 0.4))   d)
Usando el método de la secante modificado (cinco iteraciones ix 0.5, δ 0.03  ).
23. La función 3 2
x 2x 5x 3   tiene una raíz doble en 1x  . Use a) el método estándar de Newton-
Raphson b) el método de Newton-Raphson modificado de la ecuación para resolver en la raíz 1x  .
Compare y analice la velocidad de convergencia usando 0 0.2x  .

24. El balance de masa para un contaminante bien mezclado en un lago se escribe así
c
dc
v w Q Kv c
dt
  
Dados los valores de los parámetros 6 3 6 3 0.5 0.5
1 10 1 10 / , 0.2 ., / /v x m w x m año k m g años  
Use el método de la secante para determinar la concentración en estado estacionario. Emplee como
valores iniciales 3
4 /c g m y 0.5  . Realice dos iteraciones y determine el error relativo porcentual
después de la segunda iteración.
25. En el problema anterior la raíz puede localizarse con el método de iteración de punto fijo así:
2
( )cW Q
c
Kv

 o así:
W Kv c
c
Q

 solo una ecuación funciona siempre para un valor inicial de 1c 
Seleccione la correcta y demuestre porque siempre funciona.
26. El método de “divide y promedia”, es un antiguo método para aproximar la raíz cuadrada de cualquier
número positivo a. se puede formular como
/
2
x a x
x

 . Demuestre que esta fórmula es equivalente al
algoritmo de Newton-Raphson para resolver x a
27. a) Aplique el método de Newton-Raphson a la función   2
tanh( 9)f x x  para evaluar su raíz real ya
conocida en 3x  . Con valor inicial use 0 3.1x  y realice un mínimo de 4 iteraciones b) ¿El método
muestra convergencia hacia su raíz real? Dibuja una grafica con los resultados para cada iteración
efectuada.
28. El polinomio   2 3 2
0.0074 0.28 3.355 12.183 5f x x x x x     tiene una raíz real entre 15 y 20 .
Aplique a esta función el método de Newton Raphson usando como valor inicial 0 16.15x  .
Explique sus resultados.
29. Utilice el método de la secante con la función que describe un círculo 2 2
( 1) ( 2) 16x y    para
encontrar una raíz real positiva. Tome como valor inicial 3ix  y 1 0.5ix   . Aproxime la solución del
primer y cuarto cuadrante. Al encontrar la solución para ( )f x en el cuarto cuadrante asegúrese de tomar
el valor negativo de la raíz cuadrada. ¿Por qué la solución diverge?
30. Los reactores de flujo tipo tapón (es decir, aquellos que en el fluido va de un extremo al otro con una
mezcla mínima a lo largo del eje longitudinal) se usan para convertir reactantes en producto. Se ha
determinado que la eficiencia de la conversión algunas veces se mejora recirculando una porción de la
corriente del producto , de tal forma que regrese a la entrada para un paso adicional a través del reactor
(ver figura inferior). La razón de recirculando se define como:
Volumen de fluido que regresa a la entrada
volumen que sale del sis mate
R 
Suponga que se está procesando una sustancia química A para generar un producto B. Para el caso en que
A forma a B de acuerdo con una reacción autocatalítica (es decir , en la cual uno de los productos actúa
como catalizador o estimulante en la reacción). Es posible demostrar que una razón óptima de
recirculación debe satisfacer:
 
Af )
Af Af
1 R(1 X R 1
R(1 X ) R 1 R(1 X )
ln
  

  
Donde AfX es la fracción del reactante A que se convierte en el producto B. La razón óptima de
recirculación corresponde a un reactor de tamaño mínimo necesario para alcanzar el nivel deseado de
conversión. Utilice un método numérico para determinar la razón de recirculación necesaria, de manera
que se minimice el tamaño del reactor para una conversión fraccional de AfX 0.9
Reactor de flujo
Tipo tapón
Reciclaje
ProductoAlimentación

Representación esquemática de un reactor de flujo tipo tapón con recirculación
31. En un proceso de ingeniería química el vapor de agua 2(H O) se calienta a temperaturas lo
suficientemente altas para que una porción significativa del agua se disocie, o se rompa, para formar
oxigeno 2(O ) e hidrogeno 2(H ) :
2 2 2
1
H O H O
2

Si se asume que esta es la única reacción que se lleva a cabo la fracción molar x de 2H O que se disocia se
representa por: t2Px
1 x 2 x
K 
 
Donde k= la constante de equilibrio de la reacción y tP  la presión total de la mezcla. Si
tP 3 atm y k 0.05  , determine el valor de x que satisfaga la ecuación anterior.
32. La siguiente ecuación permite calcular la concentración de un químico en un reactor donde se tiene una
mezcla completa:
0.04t 0.04t
o(1 e ) C eentC C  
  
Si la concentración inicial es oC 4 y la concentración de entrada es entC 10 . Calcule el tiempo
requerido para que C sea el 93% de entC .
33. Una reacción química reversible : 2A B C , se caracteriza por la relación de equilibrio e
2
a b
C
C C
K 
Donde la nomenclatura nC representa la concentración del componente N. Suponga que se define una
variable x que representa el número de moles de C producido. La conservación de la masa se utiliza para
reformular la relación de equilibrio como:
co
2
ao bo
(C x)
(C 2x) (C x)
K


 
Donde el subíndice o indica la concentración inicial de cada component.e.
Si 0.015. 42. 30 4ao bo coK C C y C    , calcule x.
34. Las siguientes reacciones químicas se llevan a cabo en un sistema cerrado
2A B C
A D C


En equilibrio estas pueden caracterizarse por 1 2
c
a b
C
K
C C

Donde la nomenclatura nC representa la concentración del componente N. Si 1x y 2x son el número de
moles de C que se producen debido a la primera y segunda reacciones, respectivamente, emplee un
método para reformular las relaciones de equilibrio en términos de las concentraciones iniciales de los
componentes. Después, use el método de Newton Raphson para resolver el par de ecuaciones simultaneas
no lineales para 1x y 2x si 4 2
1 24 10 , K 3.7x10 ,K x  
  ao boC 50, C 20  , co doC 5 y C 10  Utilice el
método grafico para proponer los valores iniciales.
35. La ecuación de estado de Redlich-Kwong está dada por:
RT a
v b v(v b) T
p  
 
donde R= la constante universal de los gases =0.518KJ/Kg.°K. T=temperatura absoluta (°K). p=presión
absoluta (KPa) y v=volumen de un Kg de gas ( 3
m / )Kg .
Los parámetros a y b se calculan mediante:
2 2.5
0.427 c
c
R T
a
P
 , 0.0866 c
c
T
b R
P

Donde 4600 1 1P 9c ckPa y T K   ,como ingeniero, se le pide determinar la cantidad de combustible
metano que se puede almacenar en un tanque de 3
3m a una temperatura de -40°C con una presión de

65000 kPa. Emplee el método de localización de raíces de su elección para calcular v y luego determine la
masa de metano contenida en el tanque.
36. El volumen V de un líquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio r y longitud L está
relacionado con la profundidad del líquido h por:
2 1 2
( 2
r h
V r cos r h rh h L
r
  
     
  
Determine h para r =2 m , L=5 m, y V= 3
8m .Observe que si usted utiliza un lenguaje de programación o
herramienta de software, el arco coseno se puede calcular como:
1 1
2
π x
tan ( )
2 1 x
cos x 
 

37. El volumen V del líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionado con la profundidad
“h” del líquido por:
2
πK (3r h)
3
V

 . Determine h para r=1 m y V =0.5
38. Para el tanque esférico del problema anterior es posible desarrollar las siguientes formulas para el
método de punto fijo:
3
23
(3 / )
, 3( )
3
h V V
h h rh
r
 
  

Si r = 1 m y V=0.5 determine si cualquiera de las dos alturas es estable y el rango de valores iniciales
para los que sí son estables.
39. La ecuación de Ergun, que se da abajo sirve para describir el flujo de un líquido a través de un lecho
empacado. P es caída de presión,  es la densidad del fluido , 0G es la velocidad másica (el cociente
del flujo de masa dividido entre el área de la sección transversal), pD es el diámetro de las partículas
dentro del lecho,  es la viscosidad del fluido, L es la longitud del lecho y  es la fracción vacía del lecho.
3
p
2
p oo
PρD ε (1 ε)
150 1.75
D GG L(1 ε)
( )
μ

 

Dados los siguientes valores para los parámetros encuentre fracción vacía  del lecho
p o p
2
o
D G PρD
1000 ; 10
μ D L
 
40. Una mezcla liquida de benceno y tolueno esta en equilibrio con su vapor en un sistema cerrado. ¿A qué
temperatura la composición en la fase de vapor de benceno y de tolueno estaría 50% en equilibrio,
considerando que la presión que la presión en el tanque cerrado es 1.4 atm?
Para calcular la presión de vapor de cada componente, usando la ecuación de Antoine, se utilizan las
siguientes constantes:
Benceno Tolueno
A 10.4 9
B 3740 3500
c 5.8 10
Recuerde que la ecuación de Antoine es: sat
B
lnP A
T C
 

Los valores de las constantes están dados de manera que las unidades de satP son atm y las de T son K.
Suponga que la solución y la fase de vapor son ideales.
41. Las siguientes tres reacciones tienen lugar en un gasificador de carbón.
2 2 2
2
2 2
0.5
0.5
H O H O
C O CO
C O CO






Las expresiones de equilibrio se dan abajo .
Si 6 8 14
1 2 3 1 2 320 , 10 , 10 , 10 , 3.38 ; ,totalP atm K K K n mol e e ye     representan el número de moles de
2H formadas en la reacción 1, número de moles de CO formadas en la reacción 2 y número de moles de

2CO formadas en la reacción 3, respectivamente. Usando -0.95, 1.95 y 0.01 como valores iniciales para
1 2 3,e e ye respectivamente, establezca un esquema iteractivo y encuentre 1 2 3,e e ye
0.5
1)( 1
1 0.5 0.5
1 2 3 1
0.5
2
2 0.5 0.5
1 2 3 1
3
3 0.5
1 2 3
(1 0.5 0.5)
(2 0.5 0.5 ) (0.38 ( )
(2 0.5 0.5 ) ( 0.5 0.5)
(2 0.5 0.5 )
ntotal
total
e e
K
e e e e P
e P
K
e e e n e
e
K
e e e
  

   

    

  
42. La operación de un reactor de flujo tipo tapón con densidad constante, para la producción de una
sustancia, mediante una reacción enzimática se describe con la ecuación dad abajo, donde V es el
volumen del reactor, F la velocidad de flujo de reactivo C. ent salC y C son, respectivamente, las
concentraciones del reactivo que entran y salen del reactor, K y maxK son constantes para un reactor de
100L, con una concentración de entrada entC 0.1 M y una velocidad de flujo de entrada de 80 L/s,
3 1
maxK 10 s y K 0.1 M, 
  determine la concentración C a la salida del reactor.
Csal
C max maxent
V K 1
dC
F K C K
  
43. El desplazamiento de una estructura está definido por la siguiente ecuación para una vibración
amortiguada: 8 k
y e cosw

Donde 0.5 3k yw  a) utilice el método grafico para realizar una primera estimación del tiempo
requerido para que el desplazamiento disminuya a 4 b) Use el método de Newton-Raphson para calcular
la raíz con sε 0.01% c) con el método de la secante determine la raíz al sε 0.01%
44. La fórmula que define la fuerza por unidad de area : P/A, que causa un máximo esfuerzo mσ en una
columna que tiene una relación de esbeltez cL / r es:
m
2
e
σP
A 1 (ec / r )sec 0.5 P / (EA)(L / r)

   
Si 200000E KPa , 2
/ r 0.2ec  y mσ 250 KPa . Calcule para / 100.cL r  Recuerde que
secx=1/cosx.
45. Un cable catenario es aquel que cuelga entre dos puntos que no están en la misma línea vertical. Como
se muestra en la figura no está sujeto a otras cargas más que a su propio peso. Así que su peso
( / )w N m actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable. Un diagrama de
cuerpo libre de una sección AB se representa en la figura inferior, donde AT y BT son las fuerzas de
tensión en sus extremos. Considerándolos equilibrios de fuerzas horizontal y vertical, se puede obtener
el siguiente modelo de ecuación diferencial:
22
2
1
A
d y dyw
T dxdx
 
   
 
Puede emplearse el cálculo para resolver esta ecuación para la altura “y” del cable como función de la
distancia “x”
0coshA A
A
T Tw
y x y
w T w
 
   
 
donde  cosh
2
x x
e e
x



Calcule TA , si w=12, y0=6, y=15, x=50

46. En la figura que se muestra se tiene una viga uniforme sujeta a una carga distribuida creciente
linealmente. La ecuación para calcular la curva elástica resultante es :
5 2 3 40
( 2 )
120
w
y x L x L x
EIL
  
Utilice el método de la bisección para determinar el punto de máxima deflexión (es decir el valor de x
donde / 0dy dx  . Después sustituya este valor en la ecuación dada para determinar el valor de
máxima deflexión. Use los siguientes valores de los parámetros en sus cálculos: 450L cm ,
2
50000 /E kN cm , 4
30000I cm y 0 1.75 /w kN cm
47. En ingeniería ambiental, la siguiente ecuación sirve para calcular el nivel de oxigeno en un rio aguas
abajo desde una descarga de aguas residuales:
0.2 0.75
10 20( )x x
C e e 
  
Donde x es la distancia aguas abajo en kilómetros. Determine la distancia aguas abajo donde el nivel de
oxigeno se encuentra a una lectura de 5. (Sugerencia: este valor esta dentro de los 2 km de la descarga)
Determine una respuesta con un 1% de error.
48. La concentración de bacterias contaminantes “ c ” en un lago decrece de acuerdo con la relación
1.5 0.075
70 25t t
c e e 
  .
Determine el tiempo requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 usando
a) el método grafico y
b) el método de Newton-Raphson
49. En ingeniería marítima, la ecuación de una ola estacionaria reflejada en un puerto está dada por
16  , 12t  , 48v  , 0
2 2
cos xx tw
h h sen e     
          
Encuentre el valor positivo más bajo de x
si: 00.4h h

50. La carga en un circuito RLC serie esta dada por  
2
/(2 )
0
1
cos
2
Rt L R
q t q e t
LC L

 
       
 
suponga q/q0 =
0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6
F. Encuentre el valor de la Resistencia R usando el método de Newton.
51. La carga en un circuito RLC paralelo la impedancia esta dada por
2
2
1 1 1
wC
Z wLR
 
   
 
suponga R = 225, L = 0.5H y C = 0.610-6
F y Z = 75 Ohms.
Encuentre el valor de la frecuencia w usando el método de Newton y secante.
52. El valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularse con la ecuación de anualidad vencida
A = P[(1 + i )n
- 1 ] / i
En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita periódicamente e i es la tasa
de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero le gustaría tener una cuenta de
ahorros con un monto de $ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar
$ 1,500 dólares mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puede
invertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuesto mensual?
53. Si se compra una pieza de un equipo que cuesta $20000 al contado y en pagos de $4000 al año durante 6
años, ¿Qué tasa de interés se está pagando? La fórmula que la relaciona el valor presente P, los pagos
anuales A el número de años “n” y la tasa de interés es:
(1 )
(1 ) 1
n
n
i i
A P
i


 
54. Supongamos que la oscilación de una estructura, dotada de un sistema de amortiguación, ante un
movimiento oscilatorio, viene dada por la función 210 cos 2
t
y e t , ¿ en que instante t la posición de la
estructura es : y(t) =4?. Utilice el punto fijo para resolver el problema con tolerancia=0.001
55. Supongamos que tenemos una bola como la de la foto de radio R=1m y que está sumergida hasta una
profundidad H. Determinar cuánto se hunde la bola si el peso de la niña es de 25kg y la bola de plástico
pesa 2kg. La densidad del agua es a=1000kg/m3
. El error máximo cometido ha de ser de un milímetro. Si
la ecuación esta dada por  2 3
3 0.027
3
H H

 
56. Encuentre el máximo de la función
log
( ) , 0
1
x
f x x
x
 

. Utilice bisección con tolerancia de 0,001

57. La función de densidad de Cauchy tiene la forma
  2
1
( ) ,
1
f x x R
x
 
   
, donde " " es un
parámetro
a) Genere 50 valores usando 1  y graficarlo usando Matlab.
b) Trate los datos que conseguió en el paso anterior como si fuesen simples observaciones de la función de
distribución de Cauchy con un " " desconocido . Graficar la función de probabilidad logarítmica asociada:
  2
1
( ) ln ln 1 ,
n
i
i
l n x R

         .
c) Calcular el máximo valor de la función anterior usa el método de falsa posición para hallar un estimador de
" " con tolerancia de 0.0001 (para hacer esto se requiere de la derivada :
  21
'( ) ,
1
n
i
i
i
x
l R
x
 
  
  
y graficarla).
58. La función de distribución de Weibull es de la forma:
  1 exp , 0
( )
0, en otrocaso
x si x
F x
    
 

, donde ,  son
parámetros positivos.
a) Genere 50 números aleatorios de la función de distribución de Weibull con 1.8 , 1   
b) Adicione 3 números más a los ya calculados anteriormente. Trate a los 53 datos como si fuesen
observaciones de la función de Weibull con un  desconocido , pero mantenga 1  . Plotee la función de
probabilidad y la de probabilidad logarítmica (dependiente de  ). Considere las funciones de probabilidad:
1
11
( ) .exp
n n
n
k k
kk
L x x



   
       
  
y la función de densidad de probabilidad logarítmica
1 1
( ) .ln ( 1) ln
n n
k k
k k
l n x x 
 
       
c) Use el método de Newton para hallar el máximo estimador de probabilidad  . Para hacer esto, necesitamos
resolver la ecuación '( ) 0l   , para los puntos estacionarios. Considere que la primera y segunda derivada de
( )l  son:
 
1 1
2
2
1
'( ) . ln ln
''( ) . ln
n n
k k k
k k
n
k k
k
n
l x x x
n
l x x

 


    

    

(Use el criterio de la segunda derivada para probar que es un máximo).
59. Muchos campos de la ingeniería requieren estimaciones exactas de la población, por ejemplo, los
ingenieros en transporte pueden considerar necesario determinar por separado la tendencia del
crecimiento demográfico de una ciudad y de los suburbios adyacentes. Si la población del area urbana
disminuye con el tiempo de acuerdo con:   .
k t
max minP t P e P
 
   
Mientras que la población suburbana crece de acuerdo con:  
 
.
. 01 / 1
s max
s K ts
s max
P
P t
P P e

 
Donde . . 0, , ,max s max sP k P P y K  son parámetros obtenidos en forma empírica. Determine el tiempo y los
valores correspondientes de ( ) , ( )sP t P t cuando la población en la ciudad sea 20% mayor que la
suburbana. Los valores de los parámetros son μmaxP 75000 , μK 0.045 / año ,

μminP 100000 personas , s.maxP 300000 personas, 0P 10000 personas, sK 0.08 / año
. Para obtener las soluciones, use a) un método grafico, b) el método de la falsa posición y c) el
método de la secante modificada.
60. Una corriente alterna en un circuito eléctrico se describe mediante 9 (2 ),t
I e sen t
  donde “t” esta en
segundos. Determine todos los valores de t tales que 3.5I  . Use punto fijo y falsa posición.
61. La resistividad  de un silicon revestido depende de la carga “q”en un electron, la densidad del electron
“n”y la movilidad del electrón ” ”. La densidad del electrón está dada en términos de la densidad de
revestimiento “N” y la densidad portadora intrínseca “ in ”.La movilidad del electrón está definida por la
temperatura ”T”, la temperatura de referencia “ 0T ” y la movilidad de referencia “ 0 ”. Las ecuaciones
necesarias para calcular la resistividad son:
1
qn
 

Donde 2 21
( 4 )
2
in N N n   y 2.42
0
0
( )
T
T

  
Determine N, dados 0 300T K , 1000T K ,  2
0
1
1350cm Vs
  , 19
1.7 10q x C
 , y
9 3
6.21 10in x cm
 una resistividad deseada 6
6.5 10 /x Vscm C  Use los métodos a) de bisección y
b) de la secante
62 . Una carga total Q se distribuye en forma uniforme alrededor de un conductor con forma de anillo
circular con radio “a”. Una carga q se localiza a una distancia x del centro del anillo (ver figura). La fuerza
ejercida sobre la carga por el anillo está dada por:
2 2 3/2
0
1
4 ( )
qQx
F
e x a

 
Donde 12 2 2
0 8.85 10 / ( ).e x C Nm
 Encuentre la distancia “x” donde la fuerza es de 1 N si “q” y ”Q” son
5
2 10x C para un anillo de 0.8m
63. En la figura inferior se muestra un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor en paralelo. Las
reglas de Kirchhoff sirven para expresar la impedancia del sistema como:
2
2
1 1 1
( )wC
Z wLR
  
Donde  Z impedancia Ω y w=la frecuencia angular. Encuentre  para que la impedancia resultante
sea de 100Ω, usando los métodos de la bisección y de la falsa posición con valores iniciales de 1 y 1000 para
los siguientes parámetros: 225R  Ω , 6
0.6 10C x F
 y 0.5L H

64.Para el flujo de fluidos en una tubería, la fricción se describe mediante un número adimensional: el factor
de fricción de Fanning f, el cual depende de varios parámetros relacionados con el fluido y el tamaño de la
tubería, que se pueden representar por otra cantidad adimensional: el número de Reynolds Re. Una
fórmula que predice f dado Re es la ecuación de von Karman:
 10
1
4 0.4log Re f
f
 
Los valores típicos del número de Reynolds para un flujo turbulento van de 10000 a 500000, y los del
factor de fricción de Fanning van de 0.001 a 0.01. Desarrolle un subprograma para calcular f si el usuario
introduce valores entre 2500 y 1000000.
65. Los sistemas mecánicos reales llegan a involucrar la deflexión de resortes no lineales. En la figura P8.34,
una masa m se suelta desde una distancia h sobre un resorte no lineal. La fuerza de resistencia F del
resorte está dada por: 3/2
1 2( )F k d k d  
Con la conservación de la energía se demuestra que:
5/2
22
1
2 1
0
5 2
k d
k d mgd mgh   
Encuentre dados los siguientes valores de los parámetros: 2
1 4000 /. 0k g s , 2 5
2 / ( )k g s m ,
98m g , 2
9.8 /g m s y 0.43h m .
66.Los ingenieros mecánicos, así como los demás ingenieros, usan la termodinámica en su trabajo. El
siguiente polinomio se puede usar para relacionar el calor específico a presión cero del aire seco,
/ ( ),pc kJ kg K con la temperatura.
4 8 2 11 3 14 4
0.99403 1.671 10 9.7215 10 9.5838 10 1.9520 10pc x T x T x T x T   
    
Determine la temperatura que corresponda a un calor especifico de 1.2 / ( )kJ kg K .
67.Los ingenieros en aeronáutica suelen calcular las trayectorias de proyectiles como los cohetes. Un
problema relacionado con dicho tema es la descripción de la trayectoria de una pelota. La trayectoria de
una pelota lanzada por un jugador que se encuentra en el jardín derecho está definida por las coordenadas
(x,y) como se presenta en la fig P8.36. La trayectoria se puede modelar como:
  2
0 2 2
0 0
1.8
2
g
y tan x x
v cos
   


68. La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la siguiente fórmula:
0
0
m
v ln gt
m qt
  
Donde v velocidad hacia arriba,  la velocidad con que el combustible sale del cohete, 0m masa
inicial del cohete en el tiempo, 0t  , q  el consumo de combustible y la aceleración hacia abajo
debido a la gravedad (considere la gravedad constante = 9.8m/s2
. Si 2200 /m s  ,
0 160000 2680 /m kg yq kg s  , calcule el tiempo en que 1000 /v m s (Sugerencia: “t”está entre 10 y
50 segundos). Determine el resultado dentro del 1% del valor verdadero. Compruebe su respuesta.
69. En un tanque mezclador entran dos líquidos a diferente temperatura y salen a la misma temperatura. La
capacidad calorífica del fluido A está dada por:
2 6 2
3.381 1.804 10 4.300 10pc x T x T 
  
Y la capacidad calorífica del fluido B está dada por: 1 5 2
8.592 1.290 10 4.078 10pc x T x T 
  
Donde las unidades de son /cal mol K , y las de T esta en unidades de K Recuerde que:
2
1
Δ
T
p
T
H c dT 
El fluido A entra al mezclador a 400°C y el B entra al mezclador a 700 °C. La cantidad de A que entra al
mezclador es el doble de la cantidad de B. ¿A qué temperatura salen los dos fluidos del mezclador?
70. Un compresor está operando con una razón de compresión cR , de 3.0 (la presión del gas que sale es
tres veces mayor que la presión que el gas que entra). Los requerimientos de energia del compresor Hp,
se determina mediante la ecuación dada abajo. Suponiendo que los requerimientos de energia del
compresor son exactamente igual a 1 /zRT MW , encuentre la eficiencia politropica n del compresor.
El parámetro z es la compresibilidad del gas bajo las condiciones de operación del compresor, R es la
constante de los gases, T1 es la temperatura del gas a la entrada del compresor y MW es el peso
molecular del gas.
1
1
1
1
n
n
c
zRT n
Hp R
MW n

 
  
   

71. Una viga que descansa libremente en dos soportes, recibe una carga como se muestra en la figura P8.24.
Usando funciones de singularidad, se puede expresar el esfuerzo cortante a lo largo de la viga mediante la
ecuación.  
4 2 0
20 0 5 15 8 57V x x x x       
 
La función de singularidad se define como:
 
0 ,
,
n
n x a x a
x a
x a
    
   
  
Encuentre el (los) punto (s) donde el esfuerzo cortante sea igual a cero.
72. En la viga de la figura 8.24 el momento a lo largo de la viga. M(x) está dado por.
 
2 2 1 0
10 0 5 15 8 150 7 57M x x x x x x          
 
Encuentre el (los) punto(s) donde el momento sea igual a cero
73. En la viga de la figura 8.24, la pendiente a lo de la viga esta dado por:
  3 3 2 1 210 15 57
0 5 8 150 7 238.25
3 2 2
d
x x x x x x
dx
            
 
Encuentre el(los) punto(s) donde la pendiente sea igual a cero.
74. En la viga de la figura 8.24 el desplazamiento a lo largo de la viga esta dado por:
4 4 35 15
0 5 8
6 6
s x x x        
 
Encuentre el (los) punto(s) donde el desplazamiento sea igual a cero
75. Calcule las raíces de las siguientes ecuaciones simultáneas no lineales usando a) el método de iteración del
punto fijo y b) el método de Newton-Raphson:
2 2
0.5 , 5x y x y x xy    
Emplee los valores iniciales de x=y=1.0 y analice los resultados.
76. Determine las raíces de la ecuaciones simultáneas no lineales
2 2 2 2
( 4) ( 4) 4 , 16x y x y      .Utilice una aproximación grafica para obtener los valores
iniciales. Determine una mejor aproximación con el método de Newton Raphson.
77. Un fluido de baja viscosidad se bombea en la tubería que se muestra en la figura P8.41. Una bomba
peristáltica inyecta el fluido en la tubería. Todas las secciones de la tubería tienen la misma longitud y el
mismo diámetro. Los balances de masa y de energía mecánica en el sistema de tubos se pueden
simplificar para obtener el sistema de ecuaciones no lineales que se presenta abajo. Escriba un programa
(o desarrolle un algoritmo) que le permita calcular el flujo en cualquier parte de la tubería, dado el
diámetro del tubo. D, el flujo total, iQ , la viscosidad,  , y la densidad, .

     
     
   
3 4 2
5 6 4
7 6
1 2 3
3 4 5
5 6 7
2Δ Δ Δ 0
2Δ Δ Δ 0
3Δ Δ 0
P Q P Q P Q
P Q P Q P Q
P Q P Q
Q Q Q
Q Q Q
Q Q Q
  
  
 
 
 
 
Donde Δ P es la caída de presión a través de una sección del tubo y está relacionada con el factor de
fricción. , y la velocidad del fluido: .v g es la constante de gravedad (en unidades inglesas).
2
Δ
2
pv
P f
D g

Además el factor de fricción, f, está relacionado con el número de Reynolds. Re, el número adimensional
que se describe abajo, donde D es el diámetro del tubo. Se encuentra una ecuación que relaciona la
fricción del número de Reynolds.
D v
Re



,  1
4.0log 0.4Re f
f
 
78. En el termo que se muestra en la figura P8.42, el compartimiento interior está separado del
compartimiento intermedio por vacio. Alrededor del termo hay una última capa, que está separada de
la capa intermedia por una delgada capa de aire. La parte exterior de la última capa está en contacto
con el medio ambiente. La transferencia de calor del compartimiento interior a la siguiente capa, 1q , es
solo por radiación (ya que se espacio esta vacio). La transferencia de calor entre la capa intermedia y la
capa final, 2q , es por convección en un espacio reducido. La transferencia de calor de la última capa al
medio ambiente. 3q es por convección natural. El flujo de calor desde cada región del termo debe
ser igual, es decir , 1 2 3q q q  encuentre las temperaturas 1T y 2T en estado estacionario, si 0T es
500°C y 3T , es 25 °C.
9 4 4
1 0 1
2 1 2
4/3
3 2 3
10 ( 273) ( 273)
4( )
1.3( )
q T T
q T T
q T T
     
 
 

79. Dos intercambiadores de calor están conectados en serie como se muestra en la figura P8.43. El fluido
caliente tiene una temperatura 1T (100 C) y el fluido frio tiene una temperatura 1t (20°C). Encuentre
2 3 2 3, , ,T T t t . Las ecuaciones que describen los balances de energía y las transferencias de calor son:
     
     
   
 
   
 
1 2 2 11 2
2 3 3 21 2
1 1 2 2
1 21
1 1
2 2)
2 2 3 3
2 31
2 2
3 3)
( )
mcp T T mcp (t t )
μA T t (T t )
mcp T T
(T t )
ln
(T t
μA T t (T t )
mcp T T
(T t )
ln
(T t
mcp T T mcp t t  
  
      


      


Donde m es el flujo de masa, cp es la capacidad calorífica del fluido,  es el coeficiente de
transferencia de calor. A es el área de la superficie para la transferencia de calor, y T y t son las
temperaturas de las corrientes caliente y fría, respectivamente. Considere que
2 1 1( ) ( ) / ( )mcp mcp y A mcp son 0.2 y 1.15, respectivamente.

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