Este documento describe cómo modelar matemáticamente el vaciado de un tanque utilizando una ecuación diferencial. Presenta el planteamiento del problema de vaciar una pipa que recibe suero, resuelve la ecuación diferencial obtenida para relacionar la altura del líquido con el tiempo, y realiza una simulación para ilustrar los resultados.

1. VACIADO DE
TANQUES
EQUIPO 6
Maravilla Veloz Hugo Jair
Padilla Vázquez Cesar Rey
Palacios Sánchez Reydi Alexaí
Revuelto Vicencio Melina Isaura
Ecuaciones Diferenciales

2. Es importante predecir el tiempo que demora en vaciarse total o parcialmente el contenido de un tanque o conocer
la cantidad de volumen que se desaloja o queda a un determinado tiempo. En algunas oportunidades, se requiere
conocer, el momento en el que se puede descargar una cantidad especial de líquido, o si es el caso realizar una
mezcla, o interactuar con un sistema de control de nivel. El vaciado de Tanques, así como la transferencia de
líquidos entre recipientes, son comunes en plantas de producción de hidrocarburos, industrias procesadoras de
alimentos (bebidas, lácteos, etc.). Permitiendo con lo anterior llevar a cabo diferentes procesos de planeación.
Por medio de este trabajo, se permite dar un ejemplo de las aplicaciones de Ecuaciones diferenciales.

3. OBJETIVOS
• Objetivo general
 Establecer una ecuación diferencial que permita describir el vaciado de una pipa
con dimensiones establecidas, así como su respectiva simulación.
• Objetivos específicos
 Aplicar lo aprendido en el curso de ecuaciones diferenciales
 Hacer uso de distintas herramientas informáticas para la elaboración de la
simulación
 Entender la gran aplicabilidad que tienen las ecuaciones diferenciales en la vida
cotidiana

4. ANTECEDENTES
En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad v
del flujo (salida) del agua a través de un orificio en la parte lateral
o en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o
profundidad) ℎ es igual a la velocidad de un objeto (en este caso
una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es
2𝑔ℎ donde g es la aceleración de la gravedad.
Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética
𝑚𝑣2
2
con la energía potencial, 𝑚𝑔ℎ, luego de despejar 𝑣.

5. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero,
por la acción de la gravedad. Se desea determinar la profundidad, h, del
agua que queda en el tanque en el momento t. Si el área transversal del
agujero es 𝐴𝑜 , y la velocidad del agua que sale del tanque es 2𝑔ℎ, el
volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es 𝐴𝑜 2𝑔ℎ.
En este caso particular, el orificio se considera orificio de pared delgada.
Para el cálculo del gasto también se considera un coeficiente de descarga C
cuyo valor teórico es igual a 0.61.

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
La empresa Cremería Covadonga S.A de C.V recibe suero de la
empresa Nestlé en pipas con la forma y dimensiones que se observan
en la imagen. Si se considera que la pipa está completamente llena y se
considera un coeficiente de descarga C=0.61, además, el agujero por
donde se descarga el suero tiene un diámetro de 6 cm (considere que se
encuentra al fondo). Determine:
a) Una ecuación diferencial apropiada para este caso, y su respectiva
solución donde relacione la altura (h) con el tiempo (t)
b) El tiempo en el que la pipa estará vacía completamente
c) Cree una simulación para el problema

7. SOLUCIÓN
Sabemos que para el vaciado de tanques se cumple la siguiente
ecuación diferencial:
𝐴 ℎ 𝑑ℎ = −𝐴𝑜. 𝐶. 2𝑔ℎ . 𝑑𝑡
 Sabemos que 𝐴𝑜 no es más que el área del orificio de descarga
por lo que transformamos el diámetro de cm a m:
6𝑐𝑚 𝑥
1𝑚
100𝑐𝑚
= 0.06𝑚 → 𝐴𝑜 =
(0.06𝑚)2𝜋
4
= 0.00282𝑚2
 Si observamos detenidamente, los cortes transversales de la pipa
tienen forma rectangular, sabemos que el área de un rectángulo
es base x altura. En el caso de la pipa, el área queda definida
como sigue:
𝐴 ℎ = 4 𝑥 2𝑟 = 8𝑟 . Ahora debemos expresar r en términos de
h.

9.  Procedemos a hacer un dibujo de la elevación de la pipa,
a través de éste, podemos observar el punto 𝑃(𝑟, ℎ)
pertenece a la circunferencia, además de que ésta tiene
centro 𝐶 0,1 𝑦 𝑟 = 1 . Sabemos que la ecuación de una
circunferencia con centro fuera del origen está dada por:
(𝑥 − ℎ)2
+(𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
(𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠)
(𝑟)2+(ℎ − 1)2=
12
(𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠)
𝑟2
+ ℎ2
− 2ℎ = 0 → 𝑟 = 2ℎ − ℎ2

10.  Sustituimos la igualdad obtenida anteriormente:
𝐴 ℎ = 8 2ℎ − ℎ2
 Sustituimos en la ecuación diferencial original
8 2ℎ − ℎ2 . 𝑑ℎ = −𝐶. 𝐴𝑜 . 2𝑔ℎ . 𝑑𝑡 → −
8
𝐶. 𝐴𝑂. 2𝑔
2ℎ−ℎ2 .𝑑ℎ
ℎ
=
𝑑𝑡 →
−
8
𝐶. 𝐴𝑂. 2𝑔
2 − ℎ 𝑑ℎ = 𝑑𝑡 → −
8
𝐶. 𝐴𝑂. 2𝑔
2 − ℎ 𝑑ℎ = 𝑑𝑡
→
−
8
𝐶. 𝐴𝑂. 2𝑔
−
2
3
2 − ℎ
3
2 = 𝑡 + 𝑐 →
16
3 𝐶. 𝐴𝑂. 2𝑔
2 − ℎ
3
2 = 𝑡 + 𝑐
 Sabemos que ℎ 0 = 2 ahora sustituimos y
encontramos la constante c:
16
3 𝐶. 𝐴𝑂. 2𝑔
2 − 2
3
2 = 𝑐 → 𝑐 = 0
 Así, obtenemos la respuesta del inciso a:
16
3 𝐶. 𝐴𝑂. 2𝑔
2 − ℎ
3
2 = 𝑡
 Para responder el inciso b, solamente sustituimos
ℎ = 0 y los valores ya conocidos:
16
3 0.61. 0.00282. 19.62
2 − 0
3
2 = 𝑡 →
699.95526 2
3
2 = 𝑡 →
𝑡 = 1,979.772 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 ≅ 33 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠.

11. RESULTADOS DE LA
SIMULACIÓN

12. CONCLUSIÓN
El trabajo realizado nos permitió relacionar todo el curso aprendido de
ecuaciones diferenciales con un problema del mundo real, lo cual
garantiza no sólo el aprendizaje de los distintos métodos para
solucionar una ecuación diferencial, sí nos permitió mejorar la
habilidad de plantear la ecuación diferencial y entender en qué
situaciones es posible aplicar esta herramienta matemática y generar un
modelo. Por último, nos permitió practicar el aprendizaje adquirido en
el curso de programación, lo cual hace énfasis en la enorme
aplicabilidad que tienen las ecuaciones diferenciales.