Este documento describe el proceso para derivar las ecuaciones de continuidad y Maxwell a partir de la definición de corriente eléctrica y densidad de corriente. Primero se define la corriente como la variación de una magnitud física relevante con respecto al tiempo. Luego, usando el teorema de divergencia de Gauss y asumiendo la conservación de la magnitud, se obtiene la ecuación de continuidad general. Finalmente, aplicando este proceso a la carga eléctrica y usando las ecuaciones de Maxwell, se derivan la e

1. CORRIENTES Y LEYES DE
CONSERVACIÓN Y OBTENCIÓN DE
LAS ECUACIONES PRINCIPALES
DEL ELECTROMAGNETISMO.
José Manuel Gómez Vega.
(mayo 2.002)
IngeMek – Ingenieros
www.ingemek.es

2. CORRIENTES Y LEYES DE CONSERVACIÓN Y OB-
TENCIÓN DE LAS ECUACIONES PRINCIPALES DEL
ELECTROMAGNETISMO.
Este trabajo se va a dividir en dos partes. En la primera se va a
proceder a realizar la definición operacional de la corriente de una
magnitud física que se considera relevante (expresada como la variación
de la magnitud relevante con respecto al tiempo), que es la que permite
realizar las analogías y aplicaciones con otros sistemas. Esta misma
definición conlleva tener que definir la magnitud relevante a través de
su densidad y trabajar con la densidad de corriente superficial asociada
a la magnitud y luego con la ayuda del teorema de la divergencia de
Gauss se obtiene una ecuación de continuidad que es la que da cuenta
de la ley de conservación.
En la segunda parte vamos a obtener las principales ecuaciones del
electromagnetismo hasta llegar a las ecuaciones de Maxwell a través
de una síntexis.
La importancia de la ecuación de continuidad es grande. En campos
electromagnéticos permitió a James C. Maxwell resolver una incongru-
encia entre las ecuaciones diferenciales principales a la hora de resolver
problemas entre campos variables con el tiempo, solventando no solo
la coherencia entre las ecuaciones sino también la concordancia con la
experimentación de los fenómenos de tipo electromagnético.
1. CORRIENTES Y LEYES DE CONSERVACIÓN.
1.1. Planteamiento físico.
Supongamos que en un proceso físico determinado tenemos un volumen encerrado
en una superficie a través de la cual fluye una corriente de naturaleza desconocida
llamada  y en cuyo interior tenemos porciones infinitesimales de la magnitud
relevante () Es claro que conforme avanza el tiempo, la cantidad  con-
tenida va disminuyendo. Se trata de encontrar la ecuación de la continuidad y
expresar dichos resultados para varias ramas de la física observando las analogías
encontradas.

3. Para realizar las aplicaciones del modelo propuesto, se considera muy impor-
tante obtener una ecuación de continuidad para algunos tópicos que están dentro
del contexto de ramas de la física conectadas entre sí por parecidas ecuaciones;
en la Electrostática se ve la conservación de la carga eléctrica, en el Electromag-
netismo se observa la conservación de la energía electromagnética relacionando la
energía electromagnética del campo con la energía de las partículas cargadas, en
la Mecánica de Fluidos, se ve la conservación de la masa....
Para lograr los objetivos planteados en este trabajo, es conveniente definir la
corriente y densidad de corriente de una Magnitud Relevante () como sigue:
 = −
 ()

(1)
ecuación que relaciona la variación de  en el tiempo según observamos en
el dibujo, siendo el signo negativo porque se pierde 
También podemos relacionar  con el volumen  mediante:
 =
Z Z Z
 (2)
donde:
 =
()

(3)
2

4. También:
 =


(4)
donde:
 =
Z Z
 ·  (5)
1.2. Ecuación de Continuidad.
Para determinar la forma de la ecuación de continuidad, se relacionan las ecua-
ciones (5) y (1); esto permite escribir:
Z Z
 ·  = −
 ()

(6)
Usando (2) obtenemos:
Z Z
 ·  = −
Z Z Z


 (7)
Utilizando el teorema de la divergencia y suponiendo que el volumen no cambia
en el tiempo se obtiene:
Z Z Z
∇ ·  = −
Z Z Z


 (8)
Dado que el volumen es distinto de cero, comparando términos se encuentra
que la ecuación de continuidad está dada por
∇ ·  +


= 0 (9)
La ecuación anterior da cuenta de la conservación de la magnitud física rele-
vante.
El estado en el cual se cumple que:
∇ ·  = 0
recibe el nombre de estado estacionario.
3

5. 1.3. Aplicaciones.
Para realizar las aplicaciones, se considerará que algunas de estas magnitudes
relevantes () pueden ser las siguientes:
MR ={carga, energía, masa,...}
1.3.1. Corriente eléctrica de carga y densidad de corriente eléctrica.
En este caso la magnitud física relevante es la carga eléctrica  y las ecuaciones
asociadas son las siguientes:
 = −


 =
R R R

 =


 =
R R
 · 
De donde por analogía y similitud con el modelo teórico anterior, se obtiene
una ecuación equivalente a la (9) dada por
∇ ·  +


= 0 (10)
Ecuación que da cuenta de la conservación de la carga eléctrica.
1.3.2. Ecuaciones de Maxwell y ecuación de continuidad (conservación
de la carga).
La ecuación (9) puede ser obtenida en forma más rigurosa, mediante la utilización
de las ecuaciones de Maxwell.
Las leyes básicas del electromagnetismo están contenidas en cuatro ecuaciones
que se conocen con el nombre de Ecuaciones de Maxwell, las cuales escritas en
forma diferencial toman la forma:
∇ ·  =

0
(M - 1)
∇ ·  = 0 (M - 2)
∇ ×  = −
 

(M - 3)
4

6. ∇ ×  =  + 0
 

(M - 4)
donde 0 y 0 representan la permitividad y permeabilidad del vacío (o el
espacio libre) respectivamente.
Las ecuaciones M - 1 y M - 4 también suelen escribirse así:
∇ ·  =  (M - 1 bis)
∇ ×  =  +
 

(M - 4 bis)
y cuya mayor ventaja es la independencia de los términos 0 y 0 donde no
hay que definir el medio material ni conocerlo.
En lo siguiente se supone que el medio material es el vacío o espacio libre.
La ecuación de continuidad en electromagnetismo puede ser obtenida a partir
de las ecuaciones de Maxwell, en la forma siguiente. Apliquemos la divergencia a
la ecuación de Maxwell (M-4):
∇ ·
³
∇ × 
´
= ∇ ·  + 0∇ ·
Ã
 

!
Dado que la divergencia de un rotacional es cero,
∇ ·
³
∇ × 
´
= 0
entonces:
∇ ·  + 0∇ ·
Ã
 

!
= 0 (11)
Sabiendo que:
0∇ ·
Ã
 

!
= 0


³
∇ · 
´
La ecuación (11) se escribe:
5

7. ∇ ·  + 0


³
∇ · 
´
= 0
Teniendo presente (M -1), se encuentra:
∇ ·  +


= 0 (12)
que es la ecuación de continuidad.
Para el caso de estados estacionarios ∇ ·  = 0, se encuentra la conservación
de la carga eléctrica (y de la masa).
1.3.3. Corriente de flujo electromagnético y conservación de la Energía
(Electromagnética).
También a partir de las ecuaciones de Maxwell se puede obtener e interpretar una
ecuación del tipo continuidad para la conservación de la energía electromagnética.
Multiplicando escalarmente por el campo eléctrico la ecuación (M-4), se tiene:
 ·
³
∇ × 
´
=  ·
Ã
 + 0
 

!
(13)
Utilizando la propiedad vectorial:
∇ ·
³
 × 
´
=  ·
³
∇ × 
´
−  ·
³
∇ × 
´
o despejando:
 ·
³
∇ × 
´
= −∇ ·
³
 × 
´
+  ·
³
∇ × 
´
Sustituyendo se encuentra que:
−∇ ·
³
 × 
´
+  ·
³
∇ × 
´
=  ·  +  · 0
 

(14)
teniendo presente la ecuación de Maxwell (M-3), la definición del vector de
Poynting:
 =  ×  (15)
6

8. y la definición de la densidad de energía electromagnética:
 =
1
2
µ
02
+
1
0
2
¶
(16)
podemos escribir:
∇ ·  +


= − ·  (17)
Analicemos lo que representa el término  · 
De la expresión de la fuerza electromagnética de Lorentz:
 = 
³
 +  × 
´
se tiene:
 =


−  ×  (18)
Y recordando que la densidad de corriente de convección se puede escribir
como  = , se tiene que:
 ·  =
Ã


−  × 
!
· () =
 · 

Es decir, hemos llegado a:
 ·  =
 · 

(19)
La expresión anterior muestra que el término  ·  representa la potencia
mecánica por unidad de volumen (densidad de potencia mecánica).
Dado que el trabajo es una forma de energía, se puede escribir:
 =  ·  =⇒


=  · 
donde hemos cambiado la notación habitual de trabajo  por .
Finalmente podemos escribir:
7

9.  ·  =
 · 

=
1

µ


¶

(20)
Por lo tanto el término  ·  representa la variación de la energía mecánica de
las partículas cargadas encerradas en el volumen por unidad de tiempo.
Con esto la ecuación (17) toma la forma:
∇ ·  +


= −
1

µ


¶

(21)
donde:
 =
1
2
µ
02
+
1
0
2
¶
es la densidad de energía electromagnética en el volumen.
 =  × 
representa la potencia por unidad de área, es la energía electromagnética por
unidad de tiempo a través de la superficie.
Cabe destacar que existe una ecuación que relaciona el módulo del vector
Poynting (Irradiancia) con el promedio temporal de la densidad de energía y la
velocidad de la luz en el vacío.
¯
¯
¯
¯
¯
¯ =  hi
La ecuación anterior es la que permite establecer una analogía con la típica
ecuación que relaciona la densidad superficial de alguna corriente, la densidad
volumétrica y la velocidad, esto es:
 = 
Por otro lado, integrando la ecuación (21) en el volumen se tiene:
Z Z Z
∇ ·   +
Z Z Z


 = −
Z Z Z
1

µ


¶

 (22)
8

10. Z Z Z
∇ ·   = −


Z Z Z
 −


Z Z Z
  (23)
donde:
 =
1


Definiendo:
 =
Z Z Z
 
 =


Z Z Z
 
Utilizando el teorema de la divergencia de Gauss se encuentra:
I

 ·  = −


( + ´) (24)
Definiendo una corriente de flujo electromagnético en la forma:
 =
Z Z Z
 ·  (25)
se encuentra:
 = −


( + ´) (26)
1.3.4. Comentarios.
Teniendo presente lo anterior, y suponiendo que el volumen no cambiara en el
tiempo, entonces la ecuación (21) se puede escribir como una ecuación de con-
tinuidad del tipo
∇ ·  +


( + ) = 0 (27)
donde:
 =
1


9

11. Esto nos indica que para que exista una divergencia del vector del Poynting
(vector que entrega la dirección y la magnitud de la rapidez del flujo de energía
electromagnética, por unidad de área y por unidad de tiempo), es necesario que
exista una densidad de energía electromagnética (energía en el volumen) variando
en el tiempo, y una energía de las partículas cargadas variando en el volumen.
1.3.5. Ecuación de continuidad y conservación de la masa.
La ecuación de Euler es una de las tres ecuaciones básicas de la hidrodinámica
y corresponde a la conservación del momento. Otra ecuación básica también es
la que da cuenta de la conservación de la masa la cual es llamada la ecuación de
continuidad. Esta puede ser obtenida desde las siguientes consideraciones.
Asumiendo que el campo de densidad de masa está dado por:  = (   )
entonces:


=  · ∇ +


(28)
Utlizando la relación diferencial:


= ∇ · () − ∇ ·  +


(29)
Por otro lado, consideremos un sistema con volumen constante  y con una
densidad , el cual es movido durante un intervalo  a lo largo de alguna dirección.
Después de ese tiempo la densidad en el volumen ha cambiado al valor  + .
El incremento de masa en el volumen puede ser debido solamente a la corriente
material de flujo en el volumen.
Esto permite escribir:


= −∇ · 
sustituyendo esta condición en la ecuación (29) se obtiene:


+ ∇ · () = 0 (30)
que es la ecuación de continuidad.
Definiendo una densidad de corriente superficial como  = , se puede escribir
la ecuación de continuidad:
10

12. 

+ ∇ ·  = 0 (31)
Para el caso de estados estacionarios
³
∇ ·  = 0
´
, se obtiene la ley de con-
servación de la masa, que afirma que si ésta dentro de un sistema permanece
constante (no hay corriente de masa), entonces:


= 0
y como:
 = 
se tiene:


= 0 = ˙
Las ecuaciones (10), (12), (27), (31) que corresponden a las aplicaciones de
los casos analizados, son consistentes con la ecuación (9) del modelo propuesto, y
muestran que la densidad de corriente  y la densidad volumétrica  no son mag-
nitudes independientes, sino que están relacionadas en cada caso por una ecuación
diferencial, llamada ecuación de continuidad. Esta misma ecuación proporciona la
información que para los estados estacionarios ∇ ·  = 0, se cumple que


= 0,
de donde se encuentra que ya sea la carga eléctrica, la energía electromagnética,
la masa, ... se conservan en el tiempo.
También es importante concluir que cualquiera que sea el tipo de corriente
 , ésta no se crea de manera espontánea, pues para que ello se produzca, es
necesario que exista alguna de las respectivas magnitudes relevantes variando en el
tiempo dentro del volumen; obviamente si la corriente es cero (estado estacionario)
entonces las magnitudes se conservan.
2. OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES PRINCIPALES
DEL ELECTROMAGNETISMO.
Vamos a seguir el método deductivo del libro base Cheng. Se trata de hacer un
resumen secuencial de las principales ecuaciones que se condensarán en las Leyes
11

13. de Maxwell. Empezamos definiendo  como el campo eléctrostático, invariante
en el tiempo, según:
 =


donde  es la fuerza electrostática y  una carga de prueba. Por ser  invari-
ante en el tiempo, es conservativo, y se puede expresar:
∇ ×  = 0 (32)
por lo que existe un campo potencial que es su gradiente (en este caso negativo
por la definición)
 = −∇ (33)
Además, aplicando el th. de Stokes a la ecuación (32), resulta:
I

 ·  = 0
que es una expresión de la Ley del Voltaje de Kirchhoff, indicando que la suma
algébrica de las caídas de voltaje en un circuito cerrado es nula.
Mediante métodos experimentales a través de la Ley de Coulomb se deduce
que la otra ecuación para  es:
∇ ·  =

0
(34)
siendo dicha Ley:
 = 12
12
40
12
(35)
Para poder deducir dicha ecuación de la divergencia de  es preciso recurrir
al cálculo del campo mediante la Ley de Coulomb. De esta forma se pudo obtener
la ecuación (34). Si consideramos una superficie gaussiana (cerrada hipotética)
donde hay simetría y permanece constante y calculamos  para una carga puntual
no situada en el origen y en el espacio libre tomando coordenadas esféricas, resulta
aplicando la Ley de Gauss:
12

14. I
 ·  =
1
0
Z Z Z
 =

0
(36)
en donde se ha aplicado el Teorema de la divergencia.
 = 

40
¯
¯
¯ − 0
¯
¯
¯
2 =

³
 − 0
´
40
¯
¯
¯ − 0
¯
¯
¯
3 (37)
Si no se puede aplicar una superficie gaussiana se deberá calcular directamente,
partiendo de:
 =
0
40
¯
¯
¯ − 0
¯
¯
¯
2 (38)
suponiendo una carga volumétrica y coordenadas esféricas, variando sensi-
blemente la notación si se trata de cargas lineales, superficiales o coordenadas
cartesianas o cilíndricas.
Obsérvese que  es también posible hallarse mediante (34) siendo muchas
veces incluso más fácil.
En medios dieléctricos tenemos las densidades superficial y volumétrica de
carga de polarización equivalente.
 =  ·   = −∇ ·  (39 y 39 bis)
Entonces tenemos la ecuación (34) con la introducción de la densidad volumétrica
de carga de polarización equivalente (39 bis):
∇ ·  =
1
0
¡
 + 
¢
=⇒ ∇ ·
³
0
 + 
´
= 
Definiendo el desplazamiento eléctrico  así:
 =
³
0
 + 
´
o también:
 = 
tenemos:
13

15. ∇ ·  =  (40)
que es una de las ecuaciones de Maxwell.
De esta forma la Ley de Gauss generalizada queda, aplicando el th. de la
divergencia
I
 ·  =
Z Z Z

∇ ·  =
Z Z Z

 = 
En resumen, las fórmulas básicas de la electrostática son (32) y (40).
Comencemos un breve repaso a las ecuaciones de la magnetostática que más
importancia tienen a la hora de determinar las ecuaciones de Maxwell.
Definimos en la electrostática una fuerza eléctrica relacionada con el campo y
la carga:
 =   (41)
Si una carga está en movimiento dentro de un campo de densidad de flujo
magnético  se produce una fuerza magnética  según:
 =  ×  (42)
donde la fuerza de Lorentz es la suma de las dos:
 =   +
³
 × 
´
(43)
A partir de la ecuación de la fuerza magnética que es de tipo empírico y
otros experimentos que han sido refrendados se ha podido enunciar los postulados
fundamentales de la magnetostática en el espacio libre.
En los campos magnéticos estáticos no hay fuentes y tenemos:
∇ ·  = 0 (44)
lo que indica que  es solenoidal y es otra de las ecuaciones de Maxwell.
Por otra parte:
∇ ×  = 0
 (45)
14

16. Haciendo
∇ ·
³
∇ × 
´
= 0 =⇒ ∇ ·  = 0
Aplicando el th. de la divergencia a (44), resulta:
I

 ·  = 0
que expresa la ley de conservación del flujo magnético, pues el flujo magnético
total de salida que atraviesa una superficie cerrada es cero.
Realizando el th. de Stokes a (45) queda:
Z

³
∇ × 
´
·  =
I

 ·  = 0
Z

 ·  = 0
que es la Ley circuital de Ampère en medios no magnéticos.
Al igual que en el caso electrostático, definimos las densidades superficial y
volumétrica de corriente de magnetización:
 =  ×
 = ∇ ×  (46 y 47)
donde  es la magnetización.
Entonces:
1
0
∇ ×  =  +  =  + ∇ ×  =⇒ ∇ ×
Ã

0
− 
!
Si definimos ahora la intensidad de campo magnético  como:
 =

0
−  (48)
también tenemos:
 =


resulta:
∇ ×  =  (49)
15

17. Ahora realizando la integral de superficie y luego mediante el th. de Stokes,
obtenemos:
Z

³
∇ × 
´
·  =
Z

 ·  =
I

 ·  = 
y llegamos a la ley circuital generalizada de Ampère para corrientes estacionar-
ias válida para medios magnéticos y no magnéticos.
Los planteamientos anteriores están realizados para campos electrostáticos,
primero, y campos magnetostáticos, después.
Consideremos ahora los campos electromagnéticos que varían con el tiempo,
en el que veremos como algunas ecuaciones cambian sustancialmente.
Para inducción electromagnética tenemos:
∇ ×  = −
 

(50)
que es el postulado fundamental y una de las ecuaciones de Maxwell, y como
se observa no existe un campo potencial que es gradiente de  como ocurría en
el caso electrostático por ser el rotacional nulo.
Tomando la integral de superficie en (50) y aplicando el th. de Stokes.
I
 ·  = −
Z

 

· 
Hasta ahora tenemos las siguientes ecuaciones:
∇ ×  = −
 

(50) ∇ ×  =  (49)
∇ ·  =  (40) ∇ ·  = 0 (44)
Sabemos que se debe verificar el principio de conservación de la carga, donde
tenemos la siguiente expresión de la ecuación de continuidad:
∇ ·  = −


(51)
Examinando las 4 ecuaciones anteriores junto con la (51) observamos una
inconsistencia en situación de variabilidad con el tiempo.
Tomando la divergencia a la ecuación (49), resulta:
16

18. ∇ ·
³
∇ × 
´
≡ 0 =⇒ ∇ ·
³
∇ × 
´
= ∇ ·  = 0 (52)
pues con independencia del tipo de campo  como se sabe, la divergencia del
rotacional siempre es cero.
Ahora bien, a través de la ecuación (51) se observa que la divergencia de la
densidad de corriente no siempre es nula cuando es variable con el tiempo, por lo
que las ecuaciones anteriores son incompletas para el caso del cambio temporal,
como ocurre en los fenómenos electromagnéticos generales.
Para obtener la corrección podemos introducir el valor de (51) en (52) re-
spetando la identidad nula, de tal forma que resulta
∇ ·
³
∇ × 
´
= 0 = ∇ ·  +


(53)
Como tenemos , podemos relacionar la ecuación (40) para introducirla en la
(53)
∇ ·
³
∇ × 
´
= ∇ ·
Ã
 +
 

!
o también
∇ ×  =
Ã
 +
 

!
(54)
El término
 

se llama densidad de corriente de desplazamiento y su intro-
ducción en la ecuación ∇ ×  indica que aunque no exista un flujo de corriente
libre, es decir  = 0 un campo eléctrico variable con el tiempo producirá un
campo magnético.
De esta forma salvamos la imprecisión matemática que existía con la ecuación
que teníamos anteriormente. Por otra parte, resolvemos el hecho experimental de
la inducción de un campo magnético partiendo de campos eléctricos variables en
el tiempo. También resolvemos el problema de la ecuación de continuidad. Se
observa cómo se generaliza la Ley circuital de Ampère y constantando que la exis-
tencia de campos eléctricos variables con el tiempo producen campos magnéticos
y también campos magnéticos variables con el tiempo producen campos eléctricos
por lo que dichos campos están ”acoplados”.
17

19. Además observamos que para campos no variables con el tiempo, los términos
 

y
 

son nulos por lo que las expresiones para el rotacional de  y el
rotacional de  vuelven a ser los de antes, fijándonos en que dichas ecuaciones
generales engloban los casos primeros.
En definitiva, las ecuaciones de Maxwell quedan:
∇ ×  = −
 

(50) ∇ ×  =  +
 

(54)
∇ ·  =  (40) ∇ ·  = 0 (44)
donde  es la densidad volumétrica de cargas libres y  es la densidad de
corrientes libres, donde pueden ser tanto de conducción como de convección.
La base de la teoría electromagnética está formada por las 4 ecuaciones ante-
riores, la ecuación de continuidad (51) y la ecuación de la fuerza de Lorentz (43)
pues se pueden usar estas ecuciones para explicar todos los fenómenos electromag-
néticos macroscópicos.
A continuación se enumeran las formas diferenciales anteriores y las integrales
de la ecuaciones de Maxwell.
Forma diferencial Forma integral Ley física
∇ ×  = −
 

H

 ·  = −


Ley de Faraday
∇ ×  =  +
 

H

 ·  =  +
R

 

Ley circuital de Ampère
∇ ·  = 
H

 ·  =  Ley de Gauss
∇ ·  = 0
H

 ·  = 0 No hay carga magnética aislada
Bibliografía:
[1] K.Cheng: ”Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería”.
[2] Chorbadjian y otros : ”Corrientes y leyes de conservación”
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