Física de vectores para ingenieros

1. Vectores
A
B
C
De aquí en adelante usaremos la siguiente notación para
indicar un vector: A, B y C (o sea, la letra en negrita)
Los vectores A, B y C tienen dos propiedades: magnitud y
dirección
|A| = magnitud del vector, que corresponde a la longitud de
la flecha que lo representa

2. Suma de vectores
A
B
A + B = C
C
A
B
C
B + A = C

3. A B A B
A + B = C A + B = 0
A
B
C
A+B+C
A+C+B
B+A+C
B+C+A
C+A+B
C+B+A
Combinaciones
posibles
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D

4. Resta de vectores
A
B
A - B = C
C
A
-B
C
A
-B
-B

5. Multiplicación de un vector por un escalar
( ) ¿Qué vectores y escalares físicos conocemos?
temperatura
viento
corriente marina
presión atmosférica
lluvia

6. Multiplicación de un vector por un escalar
A
2A
2A = A+A
Multiplicamos el vector
A por 2

7. x
y
x
y
r(t) = x(t) + y(t)ĵ
î
v
e
c
t
o
r
Este es un vector que tiene 2 componentes:
Una en el eje x y otra en el eje y
ĵ
î Vectores unitarios (tienen
magnitud igual a 1) que
indican la dirección y
sentido de la componente.
y
Notación vectorial (muy útil)

8. Es claro para ustedes que los ejes x e y son perpendiculares?
( )
O sea, son ortogonales
ĵ
î y
α
x
y
î
ĵ
¿Cuánto vale α?

9. x
y
r
y ĵ
xî
|r|2 = x2 + y2
Magnitud o módulo del vector r
α
x = |r| cos α
y = |r| sen α
tan α = y / x
OBS: en el caso del vector desplazamiento la
partícula está ahora en la punta de la flecha

10. x
y
δr
ri
rf
Vector desplazamiento ∆r
Movimiento en dos dimensiones
∆r = rf - ri
-ri

11. x
y
∆r = rf - ri
ri
-2
3
rf
4
5
ri 3î 2 ĵ
= -
rf 5î 4 ĵ
= +
Sólo se suman o restan los valores
(longitudes) de un mismo eje
∆r = (5 - 3) + (4 + 2)
î ĵ
∆r = 2 + 6
î ĵ
∆r
2
6

12. Velocidad media en 2D
∆r
∆t
=
Vector desplazamiento
Intervalo de tiempo
=
∆r = (xf – xi ) + (yf – yi) ĵ
î
∆y ĵ
∆xî
∆r = +
Entonces la velocidad media puede escribirse como:
∆r
∆t
=
∆y ĵ
∆xî
+
∆t ∆t
=
v
v

13. =
∆x
∆t
=
vy
∆y
∆t
vx
Notemos que
En general
=
v ĵ
î
vx vy
+
Todo lo que vimos en movimiento rectilíneo (1D) se cumple
en el caso 2D... por componente!
En el caso del vector velocidad, ahora tiene rapidez
(magnitud) y dirección.
,

14. x
y
2. Necesitamos un
sistema de referencia
Representación de una
pista de carrera
1. Un auto recorre la
pista con una rapidez
uniforme de 30 m s-1
3. Calcular la velocidad
instantánea en las
posiciones 1, 2, 3 y 4
1
2
3
4

15. x
y 3. Calcular la velocidad instantánea en las
posiciones 1, 2, 3 y 4
=
v ĵ
î
vx vy
+
pistas: i) como la velocidad
del auto es uniforme, su
velocidad media e
instantánea son iguales. ii)
la velocidad instantánea es
tangente a la trayectoria del
auto.
1
En 1: =
v 30 m s-1 ĵ
=
v -30 m s-1 ĵ
En 2:
2
En 3:
3
En 4:
4
=
v -30 m s-1 î
=
v 30 m s-1 î

16. x
y
4. Si el auto tarda 40 s
en ir entre 1 y 3, cuya
separación es de 300 m,
¿cuál será su rapidez
media durante este
intervalo?
1
2
3
4
300 m
500
m
r1 0î 0 ĵ
= +
r2 150 î 500ˆj
= +
r3 300 î 0 ˆ
j
= +
r4 150 î 500ˆj
= -
1 punto

17. r1 0î 0 ĵ
= +
r2 150 î 500ˆj
= +
r3 300 î 0 ˆ
j
= +
r4 150 î 500ˆj
= -
=
∆x
∆t
=
vy
∆y
∆t
vx
ii. Podemos calcular también la
velocidad en cada componente
300 m
40 s
= = 7.5 m s-1
0 m
40 s
= = 0 m s-1
Luego
=
v ĵ
î
vx vy
+
=
v ĵ
î
7.5 0
+ m s-1
Entre 1 y 3 se movió con una
rapidez media de 7.5 m s-1
∆r = (xf – xi ) + (yf – yi) ĵ
î
i. Calculemos el desplazamiento:
|r|2 = x2 + y2
∆r = (300–0) + (0 – 0) ĵ
î
∆x ∆y
pero
2 2
300 0
+
|r| = = 300 m
|∆r|
∆t
=
|v|
300 m
40 s
= = 7.5 m s-1

18. 5. ¿y la velocidad media
entre 1 y 2? ∆t=20 s
r1 0î 0 ĵ
= +
r2 150 î 500ˆj
= +
r3 300 î 0 ˆ
j
= +
r4 150 î 500ˆj
= -
∆r = (150–0) + (500 – 0) ĵ
î
∆x ∆y
=
∆x
∆t
=
vy
∆y
∆t
vx
300 m
20 s
= = 15 m s-1
500 m
20 s
= = 25 m s-1
Luego
=
v ĵ
î
vx vy
+
=
v ĵ
î
15 25
+ m s-1
|v|2 = vx
2 + vy
2
También se cumple que
|v| = 29.1 m s-1

19. Aceleración en 2D
En notación vectorial la aceleración de un vector se escribe
como:
=
a
En general
=
a ĵ
î
ax ay
+
=
∆vx
∆t
=
ay
∆vy
∆t
ax
(vfx – vix ) (vfy – viy) ˆj
î
∆t ∆t
+
∆v
∆t
=
a
donde ,

20. x
y
1
3
¿Calcular la aceleración entre 1 y 3?
∆t ∆t
=
v1 30 m s-1 ĵ
=
v3 -30 m s-1 ĵ
=
a
(vfx - vix ) (vfy - viy) ˆj
î
+
∆t = 40 s
=
a
(0 - 0 ) (-30 - 30) ˆj
î
∆t ∆t
+
0 - 60 m s-1
40 s
î ˆj
=
a
0 - 1.5 m s-2
î ˆj
=
a

21. x
y
1
3
¿Calcular la aceleración entre 1 y 3?
0 - 1.5 m s-2
î ˆj
=
a
Por lo tanto, la aceleración media
entre 1 y 3 es de –1.5 m s-2 y se
dirige en - (hacia abajo en la
figura)
ˆj
Existe aceleración, pues hay cambio de
dirección del vector velocidad. Es fácil
verlo si nos damos cuenta que ese
cambio se observa en las componentes...
v1
v3
v3 - v1
a

22. Esta curva representa la trayectoria
seguida por una partícula. En el
instante t1 el vector velocidad es v1 y
en t2 el vector velocidad es v2. Son
vectores tangentes a la trayectoria.
v1
v2 = v1 + ∆v
v
2
=
v
1
+
∆
v v1
∆v
a
∆v
∆t
=

23. x = xi + vix ∆t + ½ aox ∆t2
Modelo de movimiento con aceleración uniforme en 2D
y = yi + viy ∆t + ½ aoy ∆t2
vx = vix + aox ∆t
vy = viy + aoy ∆t
¿Esto les
parece
complicado?

24. Proyectiles
Si consideramos despreciable la resistencia del aire (al igual que
en el caso de caída libre), el movimiento de un proyectil sólo se
ve influido por la aceleración de gravedad g
y
x
1 punto
vx
vy
¿qué componente del
vector velocidad es
función del tiempo?
¿cuál no?

25. Luego
aox = 0 No hay aceleración en la horizontal
aoy = −g En la vertical actúa la aceleración de gravedad
x = xi + vox ∆t
y = yi + viy ∆t - ½ g ∆t2
vx = vox
vy = viy - g ∆t

26. Una bala dejada caer desde
el reposo y una proyectada
hacia delante caen al
mismo tiempo.

27. Distancia horizonal o alcance del proyectil
y
x
alcance
alcance
El alcance (R) es el punto en la
horizontal donde el proyectil toca el
suelo.
alcance
Por simplicidad (lo que quiere decir que ustedes
necesitan conocer los conceptos básicos y saber
resolver problemas clásicos de mecánica), sólo
veremos el caso cuando yi está a nivel del suelo
(curva roja en la figura).

28. y
x
alcance
α
viy = |vi| senα
vox = |vi| cosα
y = yi + viy ∆t - ½ g ∆t2 (1)
x = xi + vox ∆t (2)
∆y = |vi| senα ∆t - ½ g ∆t2
(1) se puede reescribir como
Cuando el proyectil toque nuevamente el suelo ∆y = 0, por
lo que (1) queda como
0 = (|vi| senα - ½ g ∆t) ∆t
R = ∆x = x - xi

29. Como ∆t no puede ser igual a cero (luego que recorrió el alcance
R), la ecuación anterior queda como
0 = |vi| senα - ½ g ∆t
2 |vi| senα = g ∆t
∆t = 2 |vi| senα / g vox = |vi| cosα
Recordar que
Se sustituye en (2) x = xi + vox ∆t
∆x = vox ∆t
∆x = |vi| cosα 2 |vi| senα / g
R = |vi|2 sen2α / g
sen2α
∆x = |vi|2 2 cosα senα / g

30. Se da un puntapié a una pelota desde el suelo con una velocidad de
25 m s-1 y un ángulo de 30° con respecto al suelo (horizontal):
a) ¿Cuándo se alcanza la altura máxima?, b) ¿En que posición se
encuentra en ese instante?, c) ¿Cuál es el alcance R?
a) Cuando la altura es máxima, vy es igual a cero
vy = viy - g ∆t
viy = |vi| senα
vy = |vi| senα - g ∆t
vy = 0
|vi| = 25 m s-1
∆t = |vi| senα / g
sen(30°)= 0.5
Por lo tanto ∆t = 1,28 s
g = 9,8 m s-2

31. b) Cuando se pide la posición... ¿qué se está pidiendo?
ymax = yi + viy ∆t - ½ g ∆t2
|vi| = 25 m s-1
sen(30°)= 0.5
g = 9,8 m s-2
viy = |vi| senα
ymax = yi + |vi| senα ∆t - ½ g ∆t2
yi = 0 m
∆t = 1,28 s
ymax = 0 + (25) (0,5) (1,28) – (½) (9,8) (1,28)2
En y:
= 7,97 m
ymax = 7,97 m

32. En x:
x = xi + vox ∆t
vox = |vi| cosα
x = xi + |vi| cosα ∆t
|vi| = 25 m s-1
cos(30°)= 0,866
xi = 0 m
∆t = 1,28 s
xa mitad de camino = 0 + (25) (0,866) (1,28)
xa mitad de camino = 27,6 m

33. x
r = ĵ
î
xa mitad de camino +
xa mitad de camino
ymax
Respuesta en notación vectorial
ymax
Cuando alcanza la altura máxima, el proyectil se
encuentra en el vector posición:
r = ĵ
î
27,6 + 7,97 m

34. R = |vi|2 sen2α / g
c) El alcance del proyectil es
|vi| = 25 m s-1
sen(60°)= 0,866
g = 9,8 m s-2
R = (25)2 (0,866) / 9,8
R = 55,2 m