Ejercicios detallados del obj 6 mat iii 733

Capitulo III
Matemática III (733)
Objetivo 6. Aplicar el producto escalar, vectorial y mixto en la resolución
de problemas.
Ejercicio 1

Demuestra que los vectores: a = i - j + 2k

, b = 4 j + 2k

y c = -10i - 2 j + 4k
son ortogonales.
Solución
Justificación: En esta guía estaremos desarrollando ejercicios sobre
vectores, por ello aclararemos algunos aspectos de importancia para saber que
es realmente un vector para trabajar con ellos.
Primero, un vector se representa con una letra escrita con una flecha en
su parte superior y se pueden escribir de varias maneras, por ejemplo el vector

a = i - j + 2k
, también se puede escribir a = (1,-1,2)
y respresenta exactamente

el mismo vector. La forma a = i - j + 2k
se llama canónica porque esta

compuesto por los vectores canonicos i ,
j

, mientras que la forma
y k

a = (1,-1,2)
se llama cartesiana, pero más alla de los nombres lo importante es
i
que sepas que representan el mismo vector, es decir, siempre la primera

componente es el coeficiente de , la segunda componente el coeficiente de j

.
y la tercera el coeficiente de k
Por otra parte, un vector es un segmento orientado, es decir, posee
módulo, dirección y sentido. Estas características dependen de la dimensión
que estes trabajando, 2 ℝ ó 3 ℝ .
El módulo: es la longitud del vector.
Dirección: es el ángulo que forma con el eje equis positivo. Si en un
ejercicio se te pide la dirección, te estan pidiendo el ángulo que forma con el
eje equis.
Sentido: Viene dado por la punta de la flecha.
Ilustremos estos 2 ultimos aspectos, dirección y sentido en el siguiente
gráfico, ya que es importante que comprendas muy bien estas características
de vectores:
a = 0º a = 90º a

Observa como en la figura anterior, en el destacado rojo, se indica el
extremo (punta de la flecha) y el origen de un vector, pues todods los vectores
tienen extremo y origen.
Ahora bien, ¿cómo calculamos estas características: módulo, dirección y
sentido?. La respuesta a esta pregunta dependera en la dimensión que se este
trabajando, observa:
Vectores en 2 dimensiones 2 ℝ

Vienen dados por 2 componentes, por ejemplo: a = (x, y)

Módulo: a = x2 + y2
Dirección:
y
a =   arctg
 
x
 
Sentido: Indicado por la punta de la flecha.

Vectores en 3 dimensiones 3 ℝ

Vienen dados por 3 componentes, por ejemplo: a = (x, y, z )

Módulo: a = x2 + y2 + z2
Dirección: Vienen dados por los cosenos directores, es decir, los ángulos
con respecto a cada eje coordenado:
Ángulo con el eje x: arccos
x
a
a
 
= 

 
 
Ángulo con el eje y: arccos
y
a
b
 
= 

 
 
Ángulo con el eje z: arccos
z
a
g
 
= 

 
 
Sentido: Indicado por la punta de la flecha.

Los vectores de pueden operarse:
1) Escalar por un vector:

3a = 20i - 3 j + 5k = 30i - 9 j +15k
2) Suma de vectores:
a + b = (20i - 3 j + 5k )+ (5i -3 j - k ) = 25i - 6 j + 4k

3) Resta de vectores:
a - b = (20i - 3 j + 5k )-(5i - 3 j - k ) =15i + 0 j + 6k

4) Producto escalar o producto punto:

a i b = (20i - 3 j + 5k ) i
(5i - 3 j - k ) = (20´5) + (-3´(-3)) + (5´(-1)) =100 + 9 - 5 =104
EL RESULTADO ES UN ESCALAR, ES DECIR, UN NÚMERO
Este producto escalar también se calcula así:

i
a b = a . b .cosa
También lo podemos encontrar escrito así:

a,b = a . b .cosa
Donde alfa (a ) es el ángulo entre los vectores a
y b
, con 0º £a £180º .
Observa que si los vectores son perpendiculares, se tiene:

i
a b = a . b .cos90º = a . b .0 = 0

Es decir, el producto escalar de vectores perpendiculares da como
resultado cero.
5) producto vectorial o producto cruz:

i j k
(20 3 5 ) (5 3 ) 20 3 5
a´b = i - j + k ´ i - j - k = -
- -
5 3 1

Fijate que se obtiene un determinante, y este se calcula así:
Menor de la i :
( ( )) ( ) ( ) ( ) 3 5
20
5 1
3 5 1 3 3 5 3 15 18
3 1
3
i i
j k
i
i
-
- = =  - × - - - × = + = - -
   - -

Menor de la j :
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 20 5
20 5 1 20 5 5 20 25 45 45
5 1
3
3
5 1
j j j
i
j
j k
= = -  - × - ×  = -  - -  = - - = -
-
-
-

OJO: SOLAMENTE AL MENOR DE LA JOTA SE LE CAMBIA EL SIGNO
Menor de la k :
(( ) ) ( ) ( ) 20
5
1
3
20 3 3 20 3 5 60 15 45
5 3
5 3
k k k
i j k
- - = =  - × - - ×  = - +  = -
-
-   
-

Asi se obtiene como resultado el vector:

a´b =18i + 45 j - 45k
EL RESULTADO ES UN VECTOR
EL VECTOR OBTENIDO ES SIEMPRE PERPENDICULAR A LOS
VECTORES a
y b
Este producto vectorial también se calcula así:

a´b = a . b .sena
y b
.
Observa que si los vectores son paralelos, se tiene:

a´b = a . b .sen0º = a . b .0 = 0

Es decir, el producto vectorial de vectores paralelos da como resultado
cero.
Existe un vector muy útil, es llamado VECTOR UNITARIO, y se calcula
así:

Dado el vector a = (-2,1, 2)
hallar su vector unitario:

Primero calculas su módulo: ( )a = -2 2 +12 + 22 = 4 +1+ 4 = 9 = 3
Finalmente divides cada componente del vector entre este módulo:
 -  =  
 

2 1 2
, ,
3 3 3 a u
El modulo de este vector siempre es uno (1), por eso se llama unitario,
observa:
2 2 2 2 1 2 4 1 4 9
 -      =   +   +   = + + = = =
1 1
u
a  3   3   3 
9 9 9 9
Hecho estos comentarios, voy a desarrollar el ejercicio planteado:

Para demostrar que los vectores a = i - j + 2k

, b = 4 j + 2k
y

c = -10i - 2 j + 4k
son ortogonales, basta con multiplicar cada uno de ellos
escalarmente y verificar que el resultado es cero (0), tal como te lo comente en
el operador producto escalar de vectores.

1) a i b = (i - j + 2k ) i
(0i + 4 j + 2k ) = (0) + (-1´ 4) + (2´ 2) = 0 - 4 + 4 = 0

2) a i c = (i - j + 2k ) i
(-10i - 2 j + 4k ) = (1´(-10))+ (-1´(-2))+ (2´ 4) = -10 + 2 + 8 = 0

3)b i c = (0i + 4 j + 2k ) i
(-10i - 2 j + 4k ) = (0) + (4´(-2)) + (2´4) = -8 + 8 = 0
Por lo tanto los vectores dados son ortogonales.
Respuesta: Se demostro que a
, b
y c
son ortogonales.
Ejercicio 2
Determina, usando el producto mixto, la dependencia o independencia

lineal del conjunto {u,v,w}
donde:

u = (7,-1,5)

; v = (5,0,-7)

; w = (14,-2,10)
Solución

Justificación: Para saber si un conjunto de vectores es linealmente
dependiente o independiente, se aplica el producto mixto:
( )
7 1 5
5 0 7
14 2 10
u v w
-
´ = -
-

i
Si este producto mixto es cero, los vectores serán linealmente
dependientes, de lo contrario, es decir, que sea distinto de cero, los vectores
serán linealmente independientes.
El determinante se calcula por la regla de Sarrus o cualquier regla que
se te haga sencillo:
7 1 5
5 0 7 10 0 7 5 5 2 14 1 7 14 0 5 5 10 1 7 2 7
14 2 10
( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
-
- =  ´ ´ + ´ ´ - + ´ - ´ -  -  ´ ´ + ´ ´ - + ´ - ´ - 
-
7 1 5
5 0 7 0 50 98 0 50 98
14 2 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
-
- =  + - +  -  + - + 
-
7 1 5
5 0 7 [ 48 ] [ 48 ]
0
14 2 10
-
- = - =
-
Por lo tanto:
Respuesta: El conjunto de vectores {
u,v,w}
es linealmente dependiente.
NOTA: El producto mixto geometricamente es el volumen del paralelepipedo
formado por los 3 vectores.
Ejercicio 3

Determina los números 1 n y 2 n de modo que el vector 1 2 u - n a - n b
sea
ortogonal tanto a a
como a b
si:

u = (2,-1, 4), a = (2,-1,1), b = (1,1,2)
Solución

Justificación: Primero vamos a determinar el vector 1 2 u - n a - n b
, y

, así:
llamemos a este vector z

1 2 z = u - n a - n b
Sustituyendo los vectores conocidos

u = (2,-1, 4), a = (2,-1,1) y b = (1,1, 2)
, se tiene:

1 2 z = (2,-1, 4) - n (2,-1,1) - n (1,1,2)

1 1 1 2 2 2 z = (2,-1, 4) - (2n ,-n , n ) - (n ,n , 2n )
Sumando algebraicamente cada componente:

1 2 1 2 1 2 z = (2 - 2n - n ,-1+ n - n , 4 - n -2n )

sea perpendicular a a
y a b
, sabemos que debe
Como nos piden que z
cumplirse:

i y b z = 0
a z = 0

i
Por lo tanto:

i i
1) 1 2 1 2 1 2 a z = 0®(2,-1,1) (2 - 2n - n ,-1+ n - n ,4 - n -2n ) = 0
( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 - 2n - n - -1+ n - n + 4 - n -2n = 0
1 2 1 2 1 2 4 - 4n - 2n +1- n + n +4 - n -2n = 0
1 2 -6n -3n +9 = 0 (1)

i i
2) 1 2 1 2 1 2 b z = 0®(1,1, 2) (2 - 2n - n ,-1+ n - n ,4 - n -2n ) = 0
( ) 1 2 1 2 1 2 2 - 2n - n -1+ n - n +2 4 - n -2n = 0
1 2 1 2 1 2 2 - 2n - n -1+ n - n +8 - 2n -4n = 0
1 2 -3n - 6n +9 = 0 (2)
Asi hemos llegado a dos ecuaciones con dos incognitas, para resolver
este sistema de ecuaciones puedes hacer uso del método de reducción,
igualación, sustitución, Cramer, Gauss-Jordan, en fin el métddo que a ti amiga
y amigo estudiante se te haga más comodo.
Yo utilizare el método de reducción:
- - + = - - + = - - + =
 ®  ® - - + = - - - + =  + - =
6 n 3 n 9 0 3 6 n 3 n 9 0 18 n 9 n
27 0
1 2 1 2 1 2
3 n 6 n 9 0 6 3 n 6 n 9 0 18 n 36 n
54 0
1 2 1 2 1 2

n = n = =
Por lo tanto: 2 2
27
27 27 1
27
Como ya sabemos que 2 n =1, sustituimos este valor en cualquier
ecuación y despejamos 1 n , sustituyendo 2 n =1 en (1), se tiene:
( ) 1 2 1 1 1 1 -6n -3n + 9 = 0®-6n - 3 1 + 9 = 0®-6n - 3+ 9 = 0®-6n + 6 = 0®-6n = -6
n n
- = - = - =
1 1
6
6 6 1
-
6

Respuesta: Los números 1 n =1 y 2 n =1 hacen que el vector 1 2 u - n a - n b
sea ortogonal tanto a a
como a b
.
Ejercicio 4

lineal del conjunto {u , v , w}
donde:

u=( 3 , -4 , 10) ; v =(-1, 0 , -5) ; w=(4 , 3 , -1)
Solución
Justificación: Para saber si un conjunto de vectores es linealmente
dependiente o independiente, se aplica el producto mixto:
( )
3 4 10
1 0 5
4 3 1
u v w
-
´ = - -
-

i
Si este producto mixto es cero, los vectores serán linealmente
dependientes, de lo contrario, es decir, que sea distinto de cero, los vectores
serán linealmente independientes.
El determinante se calcula por la regla de Sarrus o cualquier regla que
se te haga sencillo:

3 4 10
1 0 5 1 0 3 5 4 4 3 1 10 4 0 10 4 1 1 3 3 5
4 3 1
( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ))
-
- - =  - ´ ´ + - ´ ´ - + ´ - ´  -  ´ ´ + - ´ - ´ - + ´ ´ -     
-
3 4 10
1 0 5 ( 0 ) ( 80 ) 10 3 ( 0 ) ( 4 )
15
4 3 1
-
- - =  + -  -  + - -   
-
3 4 10
1 0 5 80 10 3 [ 19 ]
80 10 3 19 99 10 3 0
4 3 1
-
- - =  -  - - = - + = - ¹  
-
Por lo tanto:
Respuesta: El conjunto de vectores {
u,v,w}
es linealmente
independiente.
Ejercicio 5

Sean a = (-4 , 0 , 3), b = (2 , -1 , 0) y c = (0 , 2 , 5)
.Demuestra que

a ´ (b ´ c ) ¹ (a ´ b ) ´
c
Solución
Justificación: En este caso desarrollamos cada lado de
a (b c ) (a b ) c

´ ´ ¹ ´ ´ , para demostrar que ciertamente dan diferente.
Para a ´ (b ´ c )
:

i j k
(2, 1,0) (0,2,5) 2 1 0
b´c = - ´ = -
0 2 5

Menor de la i :
( ( )) ( ) [ ] 1 0

1 0 1 5 2 (0) 5 0 5
2 5
2 5
2
0
i i i
i j k
- - = =  - × - ×  = - + = -

Menor de la j :

j k
- = = -  × - ×  = - - = - j = -
( ) ( ) [ ] [ ] 2 0
i

2 0 5 2 0 0 10 0 10 10
0 5
5
1
0 2
j j j

Menor de la k :
( ) ( ( )) [ ] 2 1

2 1 2 2 1 0 4 0 4
0 2
2
0
0 5
k k
j k
k
i
- - = =  × - - ×  = - =

Asi se obtiene como resultado el vector: bć = (-5,-10,4)
Ahora:

i j k
( ) ( 4,0,3) ( 5, 10, 4) 4 0 3
5 10 4
a´ bć = - ´ - - = -
- -

Menor de la i :
( ( )) ( ) [ ] 0 3
i k
0 3 4 0 3 ( 10) 0 30 30
10
4
4
5
4
10
i
j
= =  × - × -  i = + i = -
-
-
-

Menor de la j :
( ) ( ) [ ] [ ] 4 3
4 3 4 4 5 3 16 15 1 1
5 4
0
10
5 4
j
i k
j j
j
j
-
- = = - - × - -
-
 ×  = - - + = - - = -
-

Menor de la k :
( ( )) ( ( )) [ ] 4 0

4 0 4 10 5 0 40 0 40
0 4
10
5 1
3
5
k k k
i j k
- - = =  - × - - - ×  = - = - -
- -

Asi se obtiene como resultado el vector: a´(bć) = (30,1, 40)
Para (a ´ b )´ c
:

i j k
( 4,0,3) (2, 1,0) 4 0 3
a´b = - ´ - = -
-
2 1 0

Menor de la i :
( ( )) ( ) [ ] 0 3

-  -
4
2 0
0 3 0 0 3 ( 1) 0 3 3
1 0
1
i i i
i j k
= =  × - × -  = + =
-

Menor de la j :
( ( )) ( ) [ ] [ ] 4 3
4 3 4 0 3 2 0 6 6 6
2
0
1
0
2 0
j j j
i j
j
k
- - = = -  - × - ×  = - - = - =
-
  -

Menor de la k :

- 4 0
- = =  ( - × ( - )) - ( × ( )) -
 = [ - ] = i j k
4 0 1 4 2 0 4 0 4
2 1
3
2 1 0
k k k
-

Asi se obtiene como resultado el vector: a´b = (3,6, 4)
Ahora:
i j k
( ) (3,6, 4) (0, 2,5) 3 6 4
0 2 5
a´b ´c = ´ =

Menor de la i :
k
= =  × - ×  = - =
( ( )) ( ) [ ] 6 4

6 4 6 5 2 4 30 8 22
2
3
0
5
2 5
i
i
j
i i

Menor de la j :
( ) ( ) [ ] [ ] 3 4
i j k

3 4 5 3 0 4 15 0 15 15
0 5
0
6
2 5
= = -  × - ×  j = - - j = - j = - j

Menor de la k :

( ) ( ( )) [ ] 3 6
3 6 2 3 6 0 6 0 6
0 2
0 2
4
5
i
k k
j k
= =  × - ×  = - k =

Asi se obtiene como resultado el vector: (a´b)ć = (22,-15,6)

Se observa claramente que ciertamente a´(bć) = (30,1, 40)
es diferente

de (a´b)ć = (22,-15,6)
.

Respuesta: Se demostro que: (a´b)ć ¹ a´(bć)
.
Ejercicio 6
Calcula el área del paralelogramo con los lados adyacentes formados
u = - + = + -
por ˆ
kjˆ
iˆ
jˆ
; v 2 4 iˆ
.
Solución
Justificación: El área del papalelorgramo cuyos lados son los vectores a
y b
Es el módulo del producto vectorial:

A = a´b
Por lo tanto, en nuestro caso se tiene:

i j k
u ´v = -
1 1 0
1 2 4
-

Menor de la i :
( ) ( ) [ ] 1 0
1 0 4 1 2 0 4 0 4
2 4
2 4
1
1
i i
i j
i
k
= =  - × - ×  = - - = - -
-
-

Menor de la j :

- 1 0
- = = - -
 ( - × ( - )) - ( × )  = - [ - ] = - [ ] = - 1 0 4 1 0 1 4 0 4 4
1
1
2
4
1 4
j j
i j k
j j
-

Menor de la k :
( ( )) ( ) [ ] 1 1
1 1 2 1 1 1 2 1 3
1 2
1 2
0
4
k
i
k
j k
k
- - = =  × - 
-
 - ×  = - - = -

Asi se obtiene como resultado el vector: u ´v = (-4,-4,-3)
Por lo tanto el área del paralelogramo es:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 A = u ´v = -4 + -4 + -3 = 16 +16 + 9 = 41
Respuesta: El área del paralelogramo es: A = 41
Ejercicio 7

Halla todos los vectores unitarios 1 2 3 u = u i + u j + u k
tales que el ángulo
entre u

y v = 2i + j
u
sea igual al ángulo entre y w = 2i + 4
j
.
Solución
Justificación:
El ángulo entre dos vectores se calcula con la definición de producto
escalar, ya mencionada en el ejercicio1, a saber:

i
a b = a . b .cosa
y b
, con 0º £a £180º .
Ahora bien, tenemos 2 ángulos que deben ser iguales según las
condiciones del ejercicio, denominemos estos ángulos por:
1) Ángulo entre u
y v será: a
2) Ángulo entre u y w
será: q
Entonces:
cos
u v
u v
.
a =

i

Como 1 2 3 u = u i + u j + u k

y v = 2i + j
, entonces:

( ) ( ) 1 2 3 , , 2,1,0
cos
.
u u u
u v
a =
i

u Como es unitario se tiene: u =
1
, por lo tanto:
( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2
, , 2,1,0 a = = 2 + = 2
+
u u u u u u u
2 2
cos
. 1. 2 1 5
u v
+
i

Por otro lado:
cos
u w
u w
.
q =

i

Como 1 2 3 u = u i + u j + u k

y w = 2i + 4 j
, entonces:
( ) ( ) 1 2 3 , , 2, 4,0
cos
.
u u u
u v
q =
i

u Como es unitario se tiene: u =
1
, por lo tanto:
( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 1 2
q = = + = + = +
, , 2, 4,0 2 4 2 4 2 4
u u u u u u u u u
2 2
cos
. 1. 2 4 4 16 20
u v
+ +
i

Como a =q , también será cosa = cosq , por lo tanto se tiene:
u u u u a = + = q = +
1 2 1 2 2 2 4
cos cos
5 20
u + u = u + u
1 2 1 2 2 2
5 20
Resolviendo esta igualdad:
u + u = u + u ® u + u = u + u ® u + u = u + u ® u + u 1 2 2 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2
5 4.5 5 4 5 5 2 5 5
= u + u
2 5
+ = 2 u + 4
u
u u ® u + u = u + u ® u + u = u +
u
1 2 ( )
2 2 2 2 4 4 2 2 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 1 2 2 1 2 4u - 2u = 4u - 2u ®2u = 2u ® 2 1 u = 2 2 1 2 u ®u = u
Por lo tanto los vectores u
que cumplen con la condición a =q son
aquellos cuyas primeras componentes son iguales, es decir:

( ) 1 2 3 1 1 3 u = u i + u j + u k = u ,u ,u

Y no dependen de la tercera componente, por lo tanto esta tercera
componente 3 u puede ser un número real cualquiera.
Como u
es unitario se expresará en forma unitaria, para ello calculemos
primero su módulo:
u = u1 + u1 + u3 = 2u1 + u3
2 2 2 2 2

Luego u
es de la forma:
 =  u u u

1 , 1 ,
3
  2 2 + 2 2 2 + 2 2
2 + 2
  1 3 1 3 1 3

u
u u u u u u

Respuesta: Los vectores u
son aquellos de la forma:
 =  u u u

1 , 1 ,
3
  2 2 + 2 2 2 + 2 2
2 + 2
  1 3 1 3 1 3

u
u u u u u u

Ejercicio 8

Calcula dos vectores ortogonales a los vectores a y b
si
.
a = iˆ + 2 kˆ y b = - iˆ + 2 ˆj + kˆ
Solución
Justificación: Sabemos que el producto vectorial de 2 vectores genera
a c coo resultado un vector perpendicular a ambos, es decir, si multiplicamos

vectirialmente a y b
obtendremos un vector perpendicular tanto a como a

b
. Efectuemos dicho producto vectorial:

i j k
1 0 2
1 2 1
a´b =
-

Menor de la i :
( ) ( ) [ ] 0 2
0 2 0 1 2 2 0 4 4
2 1
2 1
1
1
i i
i j k
= =  × - ×  = i
-
  - = -

Menor de la j :
( ) ( ( )) [ ] [ ] 1 2

1 2 1 1 2 1 1 2 3
1 2 1
0 3
1 1
j j
i
j
j k
= = -  × - × -  = - + = - = - j -
-

Menor de la k :
( ) ( ( )) [ ] 1 0

1 0 2 1 0 1 2 0 2
1 2
1
2
2 1
i
k k
k
k
j
= =  × - × -  = - = -
-

Asi se obtiene como resultado el vector: a´b = (-4,-3, 2)

Puedes comprobar el resultado multiplicando a´b
, escalarmente por a
y b
, pues recuerda que dichos productos deben ser ceros si realmente son
perpendiculares, así:
(
a i a´b) = (1,0, 2) i
(-4,-3,2) = -4 + 0 + 4 = 0
(
b i a´b) = (-1,2,1) i
(-4,-3, 2) = 4 - 6 + 2 = 0
Ahora falta orto vector que sea perpendicular a a
y b
, para ello observa
el siguiente gráfico:

Fijate que el vector azul a´b
es perpendicular a a
y b
, y cuando se
nos pide un segundo vector perpendicular a y caemos en la cuenta que

debe ser un vector paralelo al vector azul a´b
ya obtenido, como por ejemplo
b a

b a el morado que llame ,

de hecho, cualquier vector perpendicular al plano
amarillo es perpendicular también a los vactores y c .

En fin, nuestro problema radica en hallar un vector paralelo al vector:

a´b = (-4,-3, 2)
, y esto es sencillo.
Para calcular un vector paralelo a otro simplemente multiplicas el vector
por un escalar distinto de cero cualquiera, así:

c = 7(-4,-3, 2)
Aquí tome el número 7, puedes tomar un escalar o número cualquiera,
tanto positivo como negativo.
Por lo tanto otro vector perpendicular a a
y b
será:

c = (-28,-21,14)
Realmente este problema tiene infinitas soluciones, debido a los infinitos
escalares que puedes tomar arbitrariamente.

Respuesta: Los siguientes 2 vectores: a´b = (-4,-3, 2)
y

c = (-28,-21,14)

son perpendiculares a a y b
.
Ejercicio 9
Determina el número k (si es posible) de modo que los vectores

u = (5 , 12 ) , v=(1 , k )
formen un ángulo de
p radianes.
3
Solución
Justificación: El ángulo entre dos vectores se calcula con la definición de
producto escalar, ya mencionada en el ejercicio1, a saber:

i (1)
u v = u . v .cosa
y b
, con 0º £a £180º .
Sustituyendo los datos del ejercicio, con
p = 180º
= 60º
en la ecuación
3 3
(1) se tiene:
(5,12)i(1, k ) = 52 +122 . 12 + k2 cos (60º)
De esta ecuación debemos obtener, de ser posible, el valor de k , así:
2 1
5 12 25 144. 1
2
+ k = + + k

+ = + ® + = +
( )
2
2 169 1
5 12 2 5 12 13 1
2
k
k k k
( ) ( )2
10 + 24k =13 1+ k 2 ® 10 + 24k 2 = 13 1+ k2 (se elevo al cuadrado ambos
miembros para eliminar la raíz cuadrada)
( ) ( ) 100 + 480k + 24k 2 =169 1+ k 2 ®100 + 480k + 576k2 =169 +169k 2
100 + 480k + 576k 2 -169 -169k 2 = 0®407k2 + 480k - 69 = 0
Aplicando la ecuación de segundo grado se tiene:
( )( )
+ - = ® = - ± 2 - - ± 2
- - =
2 4 480 480 4 407 69
( )
407 480 69 0
b b ac
2 2 407
k k k
a
( )( )
480 4802 4 407 69 480 230400 112332 480 342732
( )
2 407 814 814
k
- ± - - - ± + - ± = = =
 = - 480 + 585, 43 = 105, 43
= = - ±  =  1


 = - = - 2
0,13
480 585,43 814 814
814 1065,43
1,3
814
k
k
k
Para decidir cual de los dos valores cumple con la condición del ejercicio
se procede así:
Para 1 k = 0,13.
u =(5,12) , v = (1 ; 0,13 )

i , se tiene:
De u v = u . v .cosa
arccos

i

u v
u v
.
a
 
=  
 
 
a = p = , verifiquemos:
El resultado debe ser: 60º
3
( ) ( )
2 2 2 2
 5,12 1 ; 0,13    = = 5 + 1,56
arccos arccos
    5 + 12 . 1 + 0,13    25 + 144. 1 + 0,0169

a
i
6,56 6,56 6,56
arccos arccos arccos
( )
169. 1,0169 13. 1,0084 13,1092
a
     
=   =   =        
a = arccos (0,5004) = 59,97º » 60º

La pequeña diferencia, es por no tomar todos los decimales cuando
calculamos k , pero se concluye que k1 = 0,13 cumple con la condición del
ejercicio.
Veamos si 2 k = -1,3 también cumple:
u =(5,12) , v = (1 ; -1,13 )

i , se tiene:
De u v = u . v .cosa
arccos

i

u v
u v
.
a
 
=  
 
 
a = p = , verifiquemos:
El resultado debe ser: 60º
3
  ( 5,12 ) i
(  1 ; - 1,13 )
  = = 5 - 13,56
 arccos arccos
 
( )2 2 2 2
5 12 . 1 1,13 25 144. 1 1, 2769
a
 + + -   + +   
8,56 8,56 8,56
arccos arccos arccos
( )
169. 2,2769 13. 1,5089 19,6157
a
 -   -   - 
=   =   =        
a = arccos (-0, 4363) =115,86º
Fijate que el resultado no es el esperado, es decir,
p = 180º
= 60º
. En
3 3
conclusión este valor 2 k = -1,3 no cumple con la condición del ejercicio.
Respuesta: El valor de k = 0,13 es el que hace que los vectores

u = (5 , 12 ) , v=(1 , k )
formen un ángulo de
p radianes.
3
Ejercicio 10
Usa el producto mixto para hallar el volumen del tetraedro que tiene por
vértices ( ) 1 P = -5,1,0 , ( ) 2 P = 0,3,6 , ( ) 3 P = 2,-1, 4 y ( ) 4 P = 1,7,0 .
Solución
Justificación: Ya mencionamos en una nota del ejercicio 2 de esta guía
que el producto mixto representa el volumen del paralelepipedo formado por los
3 vectores.
Ahora bien, la sexta parte de este volumen, es precisamente el volumen
de un tetraedro, por lo tanto el volumen de un tetraedro viene dado por:

1 ( )
V = a .
b´c
6

Donde los vectores a
, b
y c
son los lados del tetraedro:
FIGURA 1
Cuando te den puntos, como en este caso, y se te pida calcular un
vector, solo debes restar el punto del extremo (punta o flecha) menos el punto
del origen, en nuestro caso, observando la figura 1, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 a = P P = P - P = -5,1,0 - 0,3,6 = -5 - 0,1- 3,0 - 6 = -5,-2,-6

( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 b = P P = P - P = 2,-1, 4 - 0,3,6 = 2 - 0,-1- 3, 4 - 6 = 2,-4,-2

( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 c = P P = P - P = 1,7,0 - 0,3,6 = 1- 0,7 - 3,0 - 6 = 1, 4,-6
Sustituyendo en la formula del volumen de un tetraedro, se tiene:
( )
5 2 6
1 1
. 2 4 2
6 6
1 4 6
V a b c
- - -
= ´ = - -
-

1 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
V =  - 6 ´ - 4 ´ - 5 + 1 ´ - 2 ´ - 2 + 4 ´ 2 ´ - 6  -  1 ´ - 4 ´ - 6 + 2 ´ - 2 ´ - 6 + 4 ´ - 2 ´ - 5

6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
V =  - 120 + 4 + - 48  -  24 + 24 + 40

6
[ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 252 126
V = - + - + = - - = - = = =
168 4 48 40 164 88 252 42
6 6 6 6 3
Respuesta: V = 42

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Determina cuales de los siguientes vectores son unitarios:

 


1
- 
 








2
6
,
1
6
,
6
c)
1
2
b) 2 , 1 ,
3
,
2
2
1
a)
Ejercicio 2
Halla un vector con magnitud 2 y en la misma dirección del vector

v = (1, -1, 2)
.
Ejercicio 3

lineal del conjunto {u , v , w}
donde:
3

 = - - = -

v ; ) 3 , 1 , 5 ( u - = 
, 0 , 7 ; w (1 , 12, 5)
2

.
Ejercicio 4
Demuestra que los vectores:

v1 = (1, -1, 2) ,v2 = (1, 0 ,1) y v3 = (2 ,1, 0)
forman una base de IR3.
Ejercicio 5

Dados los vectores:

u = ( - 3 , 5 , 0) ; v = (2 , -1 , 1) ; w = (0 , 1, 1)

´ ´ = -
verifica que u ( v w) u , w v u , v w
Ejercicio 6
Determina el número n (si es posible) de modo que los vectores:

u = 3i - 4 j

, v = 2i + n j
sean paralelos.
Ejercicio 7
Halla el área del paralelogramo para el cual los vectores:
k ˆ

2 i ˆ
u=3 + + = + +
3 j ˆ
2 i ˆ
v y k ˆ
j ˆ
son sus lados adyacentes.
Ejercicio 8
a) Dados los vectores u = iˆ - 2 ˆj + kˆ; v = iˆ + 3 kˆ prueba que:

u ´ v =2 11
b) Da el significado geométrico del resultado dado en la parte a).
Ejercicio 9
Considera el siguiente conjunto de vectores linealmente independientes:
{(0, 2, 1) , (0, - 1 , 4) , (1 , - 1, 0)}
Construye un conjunto de vectores ortonormales siguiendo el proceso de
Gram- Schmidt.
Ejercicio 10
Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P(0,1,2),
Q(2,-1,5) y R(4,1,-1).

Ejercicios detallados del obj 6 mat iii 733

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