Cap 3

1. Movimiento en dos
dimensiones
Curso de Física I
Ing. Walter Jerezano
Semana 2

2. Contenido
 Desplazamiento
 Velocidad promedio
 Velocidad instantánea
 Aceleración promedio
 Aceleración instantanea
 Aceleración constante
 Movimiento de proyectiles
 Movimiento circular
 Movimiento relativo

3. El desplazamiento de
la partícula cuando se
mueve de P a Q en el
intervalo de tiempo Dt
= tf -ti es igual al
vector Dr = rf - ri.
P, ti
Q, tf
rf
ri
Dr
x
y
Trayectoria de la
partícula
O
Desplazamiento

4. Vector de posición en 2D y
3D
Podemos separar el vector de posición en sus componentes en
2 y 3 dimensiones
r = x(t)i + y(t)j en 2D
r = x(t)i + y(t)j + z(t)k en 3D

5. Ejemplo
Las coordenadas x, y de un carrito están dadas por:
x(t) = 0.2t2 + 5.0t + 0.5 m
y(t) = –t2 + 10.0t + 2.0 m
Determinar los vectores de posición en t = 1.0s y 3.0 s y el vector
desplazamiento entre estos dos tiempos.

6. Ejemplo
En t = 1
x(1) = 0.2(1)2 + 5.0(1) + 0.5 = 5.7 m
y(1) = –(1)2 + 10.0(1) + 2.0 = 11 m
En t = 3
x(1) = 0.2(3)2 + 5.0(3) + 0.5 = 17.3 m
y(1) = –(3)2 + 10.0(3) + 2.0 = 23 m
r(1) = 5.7i + 11j
r(3) = 17.3i + 23j
Dr = r(3) – r(1) = 11.6i + 12j

7. La velocidad promedio de una
partícula durante el intervalo de
tiempo Dt es la razón entre el
desplazamiento y el intervalo de
tiempo.
La velocidad promedio es un
vector paralelo al vector Dr.
t
D
D

r
v
Dr
v
Velocidad promedio
ri
rf

8. La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la
velocidad promedio, Dr/Dt, conforme Dt tiende a cero.
dt
d
t
t
r
r
v 
D
D


D
lim
0
La velocidad
instantánea tiene la
dirección de la
tangente a la
trayectoria en el punto
P.
Q
Q’
Q’’
Dr1
Dr3
Dr2
P
Dirección de v en P
x
y
O
Velocidad instantánea
r1
r2
r3
r
v

9. continuación
v = vxi + vyj
o
v = vx + vy
j
i
r
v
dt
dy
dt
dx
dt
d



2
2
y
x v
v
v 


10. ejemplo
Determine la velocidad promedio e instantánea en t=3 con los
datos del ejemplo anterior.
Dr = r(3) – r(1) = 11.6i + 12j
m/s
6
8
.
5
s
2
12
6
.
11
j
i
j
i
r
v 



D
D

t
 
   
  m/s
10
2
5
2
.
0
2 j
i
j
i
v 





 t
t
dt
dy
dt
dx
En t = 3
v = (6.2i + 4j) m/s

11. Tarea
Las coordenadas x, y de un carrito están dadas por:
x(t) = 4t2 + 2t + 1 m
y(t) = –6t2 + 3 m
Determinar los vectores de posición en t = –1.0s y 4.0 s y el vector
desplazamiento entre estos dos tiempos.
Encuentre la velocidad promedio en el intervalo
Encuentre la velocidad instantánea en t = 2.5 s

12. La aceleración
promedio de una
partícula cuando se
mueve de P a Q se
define como la razón de
cambio del vector
velocidad instantánea,
Dv, en el tiempo
transcurrido Dt.
t
D
D

v
a
Dv
-vi
vf
y
O
x
P
ri
rf
vi
vf
Q
Aceleración promedio

13. La acelarción de una partícula puede ocurrir de varias
maneras.
•La magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar
con el tiempo como en el movimiento en línea recta.
•Sólo la dirección del vector velocidad puede cambiar con el
tiempo cuando la magnitud permanece constante, como en
una trayectoria curva.
•Tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad
pueden cambiar con el tiempo como en un péndulo.

14. La aceleración instantánea, a, se define como el límite de la
razón, Dv/Dt, cuando Dt tiende a cero:
dt
d
t
t
v
v
a 
D
D


D
lim
0
Aceleración instantánea

15. Ejemplo
Calcule la aceleración instantánea en t =1 s y t = 3 s con los
datos del ejemplo anterior. Calcule magnitud y dirección.
  2
m/s
4
.
0
5
4
.
0 


 t
dt
d
dt
dv
a x
x
  2
m/s
2
10
2 




 t
dt
d
dt
dv
a y
y
    m/s
10
2
5
4
.
0 j
i
v 



 t
t
2
m/s
2
4
.
0 j
i
a 

Magnitud y ángulo














79
0
.
5
4
.
0
2
tan
m/s
04
.
2
16
.
4
2
4
.
0 2
2
2
2
2


x
y
y
x
a
a
a
a
a

16. Representación de
trayectorias
v
a
ax
ay
y
x
v
a
a 
a
y
x
Componentes rectangulares Componentes paralela y
perpendicular

17. Tarea
Las coordenadas x, y de un carrito están dadas por:
x(t) = 4t2 + 2t + 1 m
y(t) = –6t2 + 3 m
Encuentre la aceleración instantánea. Encuentre la magnitud y dirección de
la aceleración. Dibuje el vector que representa a la aceleración.

18. Las ecuaciones de cinemática para la aceleración constante en
forma vectorial son:
v = v0 + a t r = r0 + 1/2(v + v0)t r = r0 + v0t + 1/2 a t2
Aceleración constante
y
x
v
at
v0
ayt
vy0
vx0
axt
vy
vx
y
1/2at2
r
v0t
1/2ayt2
vy0t
vx0t
1/2axt2
y
x

19. Movimiento de proyectiles
Para el movimiento de proyectiles
supondremos que la aceleración es
constante y dirigida hacia abajo,
además despreciaremos la resistencia
del aire.

20. Ecuaciones del movimiento
Las ecuaciones del movimiento de un
proyectil en cualquier tiempo son:
vx = vx0 = v0 cos 0 = const.
vy = vy0 – gt = v0 sen 0 – gt
x = vx0t = v0 (cos 0 )t
y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen 0)t – ½ gt2

21. Trayectoria de un proyectil
Trayectoria de un proyectil arrojado con una
velocidad inicial v0.

22. Vector desplazamiento en el
tiro parabólico
El vector desplazamiento r puede
escribirse como: r = v0t + ½gt2

23. Trayectoria
De las ecuaciones para x y y podemos obtener la ecuación de la trayectoria.
x = vx0t = v0 (cos 0 )t
y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen 0)t – ½ gt2
0
0 cos
v
x
t 
2
0
0
0
0
0
0
cos
2
1
cos
sen 












v
x
g
v
x
v
y
2
0
2
2
0
0
cos
2
tan x
v
g
x
y 










 Representa una parábola

24. Algunos parámetros del tiro
parabólico
g
v
h
2
sen 0
2
2
0 

g
v
R 0
2
0sen2


25. Máximo alcance
Trayectorias de un proyectil con
diferente ángulo inicial

26. Ejemplo
Un golfista golpea una pelota en un acantilado a la orilla del mar con una velocidad
de 48 m/s y un ángulo de 36°. El acantilado tiene una altura de 52 m. Encontrar la
distancia total que avanza la pelota y el tiempo total de vuelo.

27. Ejemplo (cont.)
Podemos calcular la coordenada x en que la pelota choca con el mar resolviendo la
ecuación de la trayectoria para y = –52 m, 0 = 36°, v0 = 48 m/s.
Sustituyendo obtenemos la siguiente ecuación:
–0.00325x2 + 0.72654x + 52 = 0
Las soluciones son:
x = –57.0272487 y x = 280.6225766
La raíz aceptable se la segunda. El tiempo de vuelo lo calculamos con:
t = 7.23 s
2
0
2
2
0
0
cos
2
tan x
v
g
x
y 











0
0 cos
v
x
t 

28. Ejercicio en clase
Un cañón dispara una bala con una velocidad de 670 m/s. Si se apunta con un
ángulo de 35° calcule a) la altura máxima que alcanza la bala, b) el alcance y c) el
tiempo de vuelo. Si el ángulo se cambia a un ángulo mayor de 45° de tal manera que
se tenga el mismo alcance, calcule d) el nuevo ángulo, e) el tiempo de vuelo en ese
caso y f) la máxima altura.