Preparación para la PC1 de Dinámica UPC

1. Dinámica 2023-2
Seminario Preparatorio para la PC1 1

3. .....( )
dv
a II
dt
= .....( )
vdv
a III
dx
=
.....( )
dx
v I
dt
=

4. * La resistencia aerodinámica al movimiento de un auto es
proporcional al cubo de su velocidad, de modo que la
aceleración “a” del automóvil cuando se desplaza se expresa
por a = -2v3 (m/s2), donde b es una constante que depende de
la configuración mecánica del auto. El auto tiene una velocidad
inicial v0 =4 m/s en t = 0, cuando x = 0. Indicar el valor de la
respuesta correcta en cada una de las siguientes proposiciones,
justificando su respuesta:
I.- Cuando t = 3s, la magnitud de la velocidad del auto (en m/s)
aproximadamente es:
a.- 0,144 b.- 0,154 c.- 0,183 d.- 0,204 e.- 0,288
II.- La distancia D recorrida por el automóvil para t = 3s (en m),
aproximadamente es:
a.- 0,858 b.- 0,91 c.- 1,079 d.- 1,2 e.- 1,612
3
2
vdv
v
dx
= −
3
2
dv
v
dt
= −
0
3
0
2
t
v
v
v dv dt
−
= −
 
0
2
0
2
x
v
v
v dv dx
−
= −
 

5. Resumiendo en 2D:
r
v
2 2
ˆ ˆ
r xi yj
r x y
= +
= +
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
X Y
dX dY
v i j
dt dt
v Xi Yj
v v i v j
= +
= +
= +
( ) ( )
2 2
X Y
v v v
= +
a
2 2
2 2
ˆ ˆ
d X d Y
a i j
dt dt
= +
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
X Y
X Y
a Xi Yj
a v i v j
a a i a j
= +
= +
= +
( ) ( )
2 2
X Y
a a a
= +
3/2
2
2
2
1 ( )
dy
dx
d y
dx

 
+
 
 
=
c+

: radio de curvatura
( )
y f x
=
ˆ
xi
ˆ
yj
Y
v
X
v
v
a
a
X
a
Y
a
O
v
A
dy
m tg
dx

= =
Trayectoria
absoluta de A

6. De la figura tenemos algunas propiedades importantes:
t
v a
a
v
•
=
n
v a
a
v

=
3
v
v a
 =

2 2
t n
a a a
= +
3/2
2
2
2
1 ( )
dy
dx
d y
dx

 
+
 
 
=

 . .
v a v aCos
• =


.
t
v a
a a Cos
v
 =
•
=
.
a Cos
v a
v
 =
•
2
ˆ ˆ
t n
v
a ve e

= +
t
dv
a v
dt
= =
2
n
v
a

=
( )
y f x
=
a
O
t
a
n
a n
a
t
a
a 

7. Cuando una partícula (cohete) A, alcanza una altitud
de 40 m, comienza a viajar a lo largo del camino
parabólico 𝑦 − 40 2 = 160𝑥, donde las coordenadas se
miden en metros. Si la componente de velocidad del
cohete en la dirección vertical es 180 m/s constante.
Cuando el cohete alcanza una altitud de 80m, determine:
I.- La magnitud de la velocidad de la partícula A.(m/s)
II.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje x.(m/s2)
III.- La magnitud de la aceleración normal de A.(m/s2)
IV.- La magnitud de la aceleración tangencial de A.(m/s2)

8. X Y
dt dt
v = i + j
v = Xi + Yj
 dX ˆ dY ˆ
 ˆ ˆ

v = v iˆ+ v ˆj
( ) ( )
2 2
X Y
v
v= + v
dy
dx
d2
y
dx2
 
3/2
1+ ( )2


 = 
ay = y= 0
Ecuación Dato:
Datos:
DATO INDIRECTO
CON QUE HERRAMIENTAS O INSTRUMENTOS MATEMATICOS CONTAMOS:
PREGUNTA: Para y = 80m
I.- La magnitud de la velocidad de la partícula A.(m/s)
𝑦 − 40 2 = 160𝑥
vy = y= 180m / s = cte
x2
r = xiˆ + yˆj
r = + y2


9. X Y
dt dt
v = i + j
v = Xi + Yj
 dX ˆ dY ˆ
 ˆ ˆ

v = v iˆ+ v ˆj
( ) ( )
2 2
X Y
v
v= + v
ay = y= 0
Ecuación Dato:
Datos:
DATO INDIRECTO
PREGUNTA: Para y = 80m
I.- La magnitud de la velocidad de la partícula A.(m/s)
𝑦 − 40 2 = 160𝑥
vy = y= 180m / s = cte
y =12,6491𝑥 Τ
1 2
+ 40
Derivamos implícitamente la función respecto de t,
Para hallar vx :
(y − 40)2
=160x
ⅆ𝑦
ⅆ𝑡
= 12,6491
ⅆ 𝑥 Τ
1 2
ⅆ𝑡
+
ⅆ 40
ⅆ𝑡
ⅆ𝑦
ⅆ𝑡
= 12,6491
1
2
𝑥 − Τ
1 2
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
ሶ
𝑦 = 6,346 𝑥 − Τ
1 2
ሶ
𝑥

10. X Y
dt dt
v = i + j
v = Xi + Yj
 dX ˆ dY ˆ
 ˆ ˆ

v = v iˆ+ v ˆj
( ) ( )
2 2
X Y
v
v= + v
ay = y= 0
Ecuación Dato:
Datos:
DATO INDIRECTO
PREGUNTA: Para y = 80m
I.- La magnitud de la velocidad de la partícula A.(m/s)
vy = y= 180m / s = cte
y =12,6491𝑥 Τ
1 2
+ 40
x =10m
ሶ
𝑦 = 6,346 𝑥 − Τ
1 2
ሶ
𝑥
80 =12,6491𝑥 Τ
1 2
+ 40
Tenemos 𝑣𝑦, para calcular V, necesitamos determinar 𝑣𝑥 = ሶ
𝑥
180 = 6,346 10 − Τ
1 2 ሶ
𝑥
𝑣𝑥 = ሶ
𝑥 = 90𝑚/𝑠

11. X Y
dt dt
v = i + j
v = Xi + Yj
 dX ˆ dY ˆ
 ˆ ˆ

v = v iˆ+ v ˆj
( ) ( )
2 2
X Y
v
v= + v
ay = y= 0
Ecuación Dato:
Datos:
DATO INDIRECTO
PREGUNTA: Para y = 80m
I.- La magnitud de la velocidad de la partícula A.(m/s)
vy = y= 180m / s = cte
y =12,6491𝑥 Τ
1 2
+ 40
( ) ( )
2 2
X Y
v= v + v
vx = x= 90m /s
vy = y= 180m /s
ˆ ˆ
v = 90i +180 j

ˆ ˆ
X Y j
v = v i + v

v = (90)2
+(180)2
v = 201,2461m / s
Velocidad Magnitud de la velocidad

12. vy = y= 180m /s
ay = y= 0
Datos:
= cte
DATO INDIRECTO
Ecuación Dato:
1
y =12,6491x2 + 40
PREGUNTA: Para y = 80m x =10m x= 90m /s
y= 6, 3246(x) 2.(x)
−
1
1 dx
dt
−
3
−
1
2 (

y
 = 6,3246(− (x)
2
)(x) + (x) 2 .(x))
1 −
3
−
1
0 = 6,3246(− (10) 2 (90)2
+ (10) 2.(x))
2
x
a = x= 405m /s2
2 2
2
3 1
− −
(x) (x
) + (x) .(x))
2

y= 6,3246(−
1
a = (405)2
+(0)2
a = 405m /s2
X Y
a v i + v j
a = aX iˆ+ aY
ˆj

a = Xiˆ+ Yˆj

=  ˆ  ˆ

( ) ( )
2 2
X Y
a
a = + a
Derivamos implícitamente vy respecto de t, para hallar ax :
II.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje x.(m/s2)

13. vy = y= 180m /s
ay = y= 0
Datos:
= cte
DATO INDIRECTO
Ecuación Dato:
1
y =12,6491x2 + 40
a

III.- La magnitud de la aceleración normal de A.(m/s2)
IV.- La magnitud de la aceleración tangencial de A.(m/s2)
PREGUNTA: Para y = 80m X Y
a = a iˆ+ a ˆj

CON QUE HERRAMIENTAS O INSTRUMENTOS MATEMATICOS CONTAMOS:
t
v
a =
v •a
n
a
v
=
v  a
 
v3
 =
v  a
 
v2

a = veˆt +

eˆn
t
dt
a =
dv
= v
2
n
a

=
v
v = 90iˆ +180ˆj

v = 201,2461m/ s
ˆ
a = 405i

dy
dx
d2
y
dx2
 
3/2
1+ ( )2


 = 

14. vy = y= 180m /s
ay = y= 0
Datos:
= cte
DATO INDIRECTO
Ecuación Dato:
1
y =12,6491x2 + 40
a

III.- La magnitud de la aceleración normal de A.(m/s2)
IV.- La magnitud de la aceleración tangencial de A.(m/s2)
PREGUNTA: Para y = 80m
v = 90iˆ +180ˆj

X Y
a = a iˆ+ a ˆj

ˆ
a = 405i

v2

a = veˆt +

eˆn
v = 201,2461m/ s
n
a
v
=
v  a
 
t
v
a =
v • a
CON QUE HERRAMIENTAS O INSTRUMENTOS MATEMATICOS CONTAMOS:

15. vy = y= 180m /s
ay = y= 0
Datos:
= cte
DATO INDIRECTO
Ecuación Dato:
1
y =12,6491x2 + 40
a

III.- La magnitud de la aceleración normal de A.(m/s2)
IV.- La magnitud de la aceleración tangencial de A.(m/s2)
PREGUNTA: Para y = 80m
v = 90iˆ +180ˆj

X Y
a = a iˆ+ a ˆj

ˆ
a = 405i

t
v
a =
v •a
n
v a
v
a =



v = 201,2461m/ s
201, 2 4 6 1
n = 3 6 2 , 2 4 3 m / s 2
(90iˆ + 1 8 0 ˆj) (405iˆ)
a =
201,2461
t
a =
(90iˆ +180 ˆj)• (405iˆ)
= 181,1215m / s2

16. Cuando una partícula (cohete) A, alcanza una altitud de 40 m, comienza
a viajar a lo largo del camino parabólico 𝑦
𝑦 − 40 2 = 160𝑥𝑥, donde las
coordenadas se miden en metros. Si la componente de velocidad del
cohete en la dirección vertical es 180 m/s constante.
Cuando el cohete alcanza una altitud de 80m, determine:
I.- La magnitud de la velocidad de la partícula A.(m/s)
II.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje x.(m/s2)
III.- La magnitud de la aceleración normal de A.(m/s2)
IV.- La magnitud de la aceleración tangencial de A.(m/s2)
Nota.- Rellene sus respuestas en el Cuadro adjunto, de lo contrario sus cálculos, no serán considerados
RESULTADOS BLOQUE A
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION (no llenar)
a vP 201,2461 m/s
b aX 405 m/s2
c anA 3 6 2 , 2 4 3 m/s2
d atA 181,1215 m/s2

17. 2
( )
r
a r r
= −
( 2 )
a r r
  
= +
r
v r
=
v r
 
=
r
r
r



=
=
=
=
=
=
La bolita P se mueve hacia arriba con una rapidez como se
muestra en la figura, si  = 6t2 (rad), y r = 2Sen (m), para el
instante t =0,2 s, determine:
a) La magnitud de la velocidad radial de P. (m/s)
b) La magnitud de la velocidad transversal de P. (m/s)
c) La magnitud de la aceleración radial de P. (m/s2)
d) La magnitud de la aceleración transversal de P. (m/s2)



r

18. La bolita P se mueve hacia arriba con una rapidez como se muestra en la figura, si  = 6t2 (rad), y r = 2Sen (m), para el
instante t=0,2 s, determine:
a.- La magnitud de la velocidad radial de P.(m/s)
b.- La magnitud de la velocidad transversal de P.(m/s)
c.- La magnitud de la aceleración radial de P.(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleración transversal de P.(m/s2)



r
2
2
0.24 13,751
2
0,4754
4,6624 /
20,5738
,
12 /
/
4 /
m
m s
r rad
rad
m
s
r
s ad
r
r s



=  
=
=
=
=
=
2
6t
 =
12t
 =
12 cte
 = =
2
r Sen
=
2 Cos
r  
=
( )
2
2 Cos
r Sen
   
 
= −
 
 
( )
2
6 0,2
 = 0.24 13,751
rad
 =  
( )
12 0,2
 = 2,4 /
rad s
 = +
2 13,751
r Sen
=  0,4754
r m
=
( )
2 2,4 Cos13,751
r =  4,6624 /
r m s
=
( ) ( )
2
2 12 Cos13,751 2,4 13,751
r Sen
 
= − 
 
2
20,5738 /
r m s
=
180
S R
 

=
180 R
S



=

19. 2
2
0.24 13,751
2
0,4754
4,6624 /
20,5738
,
12 /
/
4 /
m
m s
r rad
rad
m
s
r
s ad
r
r s



=  
=
=
=
=
=
2
r
a r r
= −
2
a r r
  
= +
r
v r
=
v r
 
=
4,6624 /
r
v m s
=
( )
0,4754 2,4
v = 1,141 /
v m s
 =
( )
2
20,5738 0,4754 2,4
r
a = − 2
17,8355 /
r
a m s
=
( ) ( )( )
0,4754 12 2 4,6624 2,4
a = + 2
28,0843 /
a m s
 =
La bolita P se mueve hacia arriba con una rapidez como se muestra en la figura, si  = 6t2 (rad), y r = 2Sen (m), para el
instante t=0,2 s, determine:
a.- La magnitud de la velocidad radial de P.(m/s)
b.- La magnitud de la velocidad transversal de P.(m/s)
c.- La magnitud de la aceleración radial de P.(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleración transversal de P.(m/s2)



r

20. En el instante considerado, el punto B se desliza y acelera hacia
abajo y el cilindro hidráulico AB tiene una longitud L = 5 m, y esta
longitud aumenta momentáneamente con una velocidad de 5 m/s y
también acelera con 6 m/s2. Se sabe que: vB = 6 m/s, aB =8 m/s2
y  = 37 °. Determine:
a.- La magnitud de la velocidad del punto A.(m/s)
b.- La rapidez angular de la barra AB.(rad/s)
c.- La aceleración del punto A.(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleración angular de la barra AB.(rad/s2)

21. 5m
=
/
/ e
A B SM B
A B r lA
v
v v R

= +  +
/
relA O
v
SM

/
A B
R
/ 3 ˆ
4
ˆ
A B j
i
R −
=
)
ˆ 5( )
0
ˆ ˆ ˆ
6 4 0,
ˆ 8
ˆ ˆ
(3 ,6
SM
A
v j
i i i
k j j

− − −
= +  +
0
ˆ
0,6 ˆ
8
ˆ , j
i
 −
=
6
B
v = 8
B
a = 37
 = 
̂
/ 5
relA B
v =
/ 6
relA B
a =
ˆ
ˆ ˆ ˆ
3 4 3
ˆ ˆ
6 4
SM SM
A j j j
v i i i
 
+ + −
= +
−
Eje Y: 0 10 3 SM

−
= +
Eje X: 4(3,3333) 3
A
v +
= +
3,3333 /
SM rad s
 = +
16,3333 /
A
v m s
+
=
Análisis de Velocidad
/ 3 ˆ
4
ˆ
relA B j
i
v = −
ˆ
3,3333
SM k
 = +
/ )
ˆ
2 2(3,3333 ( 4
ˆ ˆ
) 3
SM relA B k j
i
v
  = −

/ 6
2 ˆ
26,6 6 20
6 ˆ
SM relA B j
v i
 = +


22. 5m
=
/
relA O
v
SM

/
A B
R
/ 3 ˆ
4
ˆ
A B j
i
R −
=
0
ˆ
0,6 ˆ
8
ˆ , j
i
 −
=
̂
/ 6
relA B
a =
Eje Y: 3 51,6436 0
SM
 + =
Eje X: 3,0671
4 SM
A
a 
= −
3,3333 /
SM rad s
 = +
2
17,21 /
45
SM rad s
 = −
/ 5
relA B
v = / 3 ˆ
4
ˆ
relA B j
i
v = −
ˆ
3,3333
SM k
 = +
/ 6
2 ˆ
26,6 6 20
6 ˆ
SM relA B j
v i
 = +

2
)
ˆ ˆ ˆ 6
( ) (3, 4
333 ) ˆ ˆ
3 3 26,66 6 3,6
( ˆ
ˆ ,
3 )
ˆ ˆ ˆ ˆ
8 4 ( 20 (
) 4 8
A SM
a i
j j j j
k
i i i j
i

− − +
= +  +
− + −
−
SM

/ /
2
/ /
( ) 2
A B SM A B SM A B relA B
SM relA B a
v
a a R R
  
= +  − +
+ 
/ 4
ˆ
3, ˆ
,
6 8
relA B j
a i −
=
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 33, 4
3337
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
8 3 4 ,4436 20
26,6666 3 4
, ,8
6
A SM SM
j j j j j
a i i i i i

 + −
− + −
+
+
= + +
ˆ ˆ
3 51,
ˆ 643
ˆ 6
ˆ 4 3,0671
A SM
SM j
a j
i i i

 + −
= +
/
relA B
a
2
71,9 2 /
25
A
a m s
= −
1
4( 17,21 6
45) 3,0 7
A
a −
= − A
a
Análisis de Aceleraciones

23. En la figura mostrada, el disco no desliza sobre la
superficie, la distancia del punto A al centro del disco es
1,5 m, el ángulo 𝜃 = 37°, si la velocidad angular del
disco es 𝜔2 = 4 [rad/s] y la aceleración angular del disco
es 𝛼2 = 4 [rad/s2] son en sentido antihorario, determine:
1,5m
a) La rapidez angular de la barra AB. (rad/s)
b) La magnitud de la velocidad del punto B. (m/s)
c) La magnitud de la aceleración del punto A. (m/s2)
d) La magnitud de la aceleración angular de la
barra AB. (rad/s2)
e) La magnitud de la aceleración del punto B. (m/s2)

24. A
v
2

R
I.- ANALISIS DE VELOCIDADES: 2 4 /
rad s
 = +
( )
2 ˆ
3,
ˆ
4 9
ˆ
1,
A j
v i
k − +
= 
2 /
A P
A r
v 
= 
37
 = 
37
/
A G
r
1,5m
1,2m
0,9m
/
ˆ
0,
ˆ 9
1,2
A G j
r i +
−
=
/
ˆ
3
G P j
r = +
/ / /
A P G P A G
r r r
+
=
( )
/ ,
ˆ ˆ
3 0 9
ˆ
1 2 ,
A P j j
r i
− +
+
+
=
/
ˆ
3,
ˆ 9
1,2
A P j
r i +
−
=
4
ˆ
1 ˆ
,8
5,6
A j
v i −
−
=
16,322 /
A
v m s
=
Análisis del DISCO

25. 2 4 /
rad s
 =
/
A B A
B A B
v r
v 
= + 
37
 = 
/
B A
r
B
v
A
v
4
ˆ
1 ˆ
,8
5,6
A j
v i −
−
=
/ 6 ˆ
8
ˆ
B A j
r i
− −
=
( ) ( )
,
ˆ ˆ ˆ
0 8
15, 4
6
ˆ ˆ ˆ
8
6
ˆ
A
B B
v j j j
i i i
k

= +
− − −
− 
−
,
ˆ ˆ ˆ
0 4
15 ˆ
,
ˆ ˆ
6 8
8 6
B B AB
A
v j j j
i i i
 
− − + −
−
=
Eje Y:
Eje X:
4,8 6
B AB
v 
− = − −
0 15,6 8 AB

= − +
16,5 /
B
v m s
=
1,95 /
AB rad s
 =
I.- ANALISIS DE VELOCIDADES:
Análisis de la BARRA AB

26. A
a
2 4 /
rad s
 = + 37
 =  /
ˆ
0,
ˆ 9
1,2
A G j
r i +
−
=
G
a
2
ˆ
4k
 = +
2
2
2 /
/ A
A P A G G
r r
a a  
+  −
= 
2
G
a r

= 
9
ˆ
3,6 ˆ
1 ,2
A i j
a −
=
ˆ
12
G i
a −
=
2
1 /
4 3 2
G
a m s

= =
ˆ ˆ ˆ
12 3,6 19
ˆ ˆ
4,8 1
,2 4,4
A j j
i
a i i
− − + −
= −
( ) ( )
2
ˆ ˆ ˆ
12 4
ˆ ˆ ˆ
4 1,2 0 1,2 0,
9 9
,
A i i j
k j
a i

− −
− + +
+ −
= 
I.- ANALISIS DE ACELERACIONES:
Análisis del DISCO
/
ˆ
0,
ˆ 9
1,2
A G j
r i +
−
=

27. 1,95 /
AB rad s
 = 37
 = 
/
B A
r
B
a
A
a
/ 6 ˆ
8
ˆ
B A j
r i
− −
=
( ) ( ) ( ) ( )
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
0 ˆ
3,6 6 9
ˆ , 6
1
ˆ ˆ
19 5
,2 8 8
A
B B
a j j
i i i j i
k
j 
+ −
= −  −
− − −
− 
Eje Y:
Eje X:
2
31,031 /
B
a m s
=
2
3,301 /
AB rad s
 =
2
/
/
B
A AB B
A
B AB A
r r
a
a 
  −
= + 
9
ˆ
3,6 ˆ
1 ,2
A i j
a −
=
AB

AB
 Nuestra hipótesis es
que Ԧ
𝛼𝐴𝐵 gira en
sentido horario, y la
Ԧ
𝑎𝐵 es hacia arriba
ˆ
AB ABk
 
= −
ˆ ˆ ˆ ˆ
0 3,6 8 22,
ˆ ˆ ˆ ˆ
19,2 6 0
81 3 ,4
5 2
B AB AB
a j j j j
i i i i


+ − +
− +
= +
0 3,6 8 22,815
AB

− +
=
19,2 6 30,42
B AB
a 
−
= + +
I.- ANALISIS DE ACELERACIONES:
Análisis de la BARRA AB
ˆ
B B
a a j
= +

29. THE END!
THANK SO MUCH DEAR STUDENTS
Higher Education:
Let’s make it all that it can be and needs to be!
Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!
Profesor: MSc. Ing. Hans Vilchez