Mecánica clasica

1. Mecánica Clásica
Movimiento en una dimensión
Francisco Alonso Espinosa Chávez
23 de Enero de 2015
Clase #2

2. Objetivos de clase
 Propiedades de vectores
 Vectores de posición, velocidad y aceleración
 Cinemática unidimensional
 Movimiento con aceleración constante
 Cuerpos en caída libre

3. Cinemática: Vectores
 La importancia de los vectores para la física se debe a las características de los
mismos.
 Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo número y
tiene el mismo valor para todos los observadores.
 Un vector es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se
mide dicha magnitud, su dirección y su sentido (que distingue el origen del
extremo).

4. Representación de un vector
Forma cartesiana
Forma polar
F = (Fx, Fy)
F = Fx
ˆi + Fy
ˆj
F = (F, q)
F = F ˆF +q ˆq
Θ
Fx
Fy
F = (10,4)N
d = (-3,2)m
v = (2,-1)
m
s
a = (3m
s,60º)
d = (1m,3rad)
F = (40N,0.5rev)

5. Vectores en forma polar y su relación con coordenadas
cartesianas
 Para obtener la componente en “y” sabemos
que senα=CO/h, así que CO=h(senα)
 Para obtener la componente en “x” sabemos
que cosα=CA/h, así que CA=h(cosα)
 En el caso de la figura h=r, CO=ry & CA=rx
r = (r,q)Ûr =(r cosq,rsinq)

6.  Obtén la representación del vector en forma polar y luego transforma el vector a
coordenadas cartesianas. Tomen las unidades que más le agrade.
ACTIVIDAD

7. Vectores en forma cartesiana y su relación con coordenadas
polares
 Para obtener la magnitud usamos el
Teorema de Pitágoras c2=a2+b2.
 Para obtener el ángulo usamos que
tanα=CO/CA y así α=arctan(CO/CA)
F = (Fx,Fy)Û F = Fx
2
+ Fy
2
,arctan
Fy
Fx
æ
è
ç
ö
ø
÷

8.  Obtén la representación del vector en forma cartesiana y luego transforma el
vector a coordenadas polares. Tome las unidades que más le agrade.
ACTIVIDAD

9. Suma de vectores: método gráfico
 ¿Cómo le harías para sumar 3 o más
vectores?
 ¿Cómo deduces la resta de vectores?
 ¿Cómo le harías para restar 3 o más
vectores?
Para 2 vectores: Método del paralelogramo
Para más de 2 vectores: Método del polígono

10. Suma de vectores: método analítico
Podemos ver a un vector como
un punto en el plano
P1(5,2)
P2(2,4)
P=P1+P2
P(5+2,2+4)=P(7,6)
y
x

11. Multiplicación de un vector por un escalar
𝑎=(x,y)
2 𝑎=(2x,2y)
-0.5 𝑎=(-0.5x,-0.5y)
-3 𝑎=(-3x,-3y)

12. Vector de posición
𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘
∆ 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1
z
x
y
∆ 𝑟
𝑟2
𝑟1

13. Vector de velocidad
𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆ 𝑟
∆𝑡
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆ 𝑟
∆𝑡
𝑣 =
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
𝑑 𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑘
𝑣 𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑣𝑧 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑣 𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
𝑣 = 𝑣 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘
𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
( 𝑣1 + 𝑣2)
2

14. Vector de aceleración
𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆ 𝑣
∆𝑡
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆ 𝑣
∆𝑡
𝑎 =
𝑑 𝑣
𝑑𝑡
𝑎 𝑦 =
𝑑𝑣 𝑦
𝑑𝑡
𝑎 𝑧 =
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
𝑎 𝑥 =
𝑑𝑣 𝑥
𝑑𝑡

15. Ejemplos
 Conducimos un coche por una carretera por 5.2km a 43km/hr, y en ese momento
se os acaba la gasolina. En 27min caminamos 1.2km más hasta la estación más
cercana. ¿Cuál es nuestra velocidad promedio desde el momento en que
llegamos a la estación de gasolina?
 Una partícula se desplaza en el plano xy, de modo que sus coordenadas x & y
varían con el tiempo según:
x(t)=At3+Bt
y(t)=Ct2+D
donde A=1.00m/a3, B=-32.0m/s, C=5.0m/s2 y D=12.0m. Calcular su posición,
velocidad y aceleración cuando t=3s.

16. Ecuaciones de Movimiento
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡
𝑣0
𝑣
𝑑𝑣′ = 𝑎
0
𝑡
𝑑𝑡
𝑣 − 𝑣0 = 𝑎t
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎t

17. Ecuaciones de Movimiento
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 + 𝑎𝑡 𝑑𝑡
𝑥0
𝑥
𝑑𝑥′ =
0
𝑡
(𝑣 𝑥 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡′ = 𝑣 𝑥
0
𝑡
𝑑𝑡 + 𝑎
0
𝑡
𝑡𝑑𝑡
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣 𝑥t + a
𝑡2
2
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣 𝑥t + a
𝑡2
2

18. Cinemática Unidimensional: Sin movimiento en absoluto
x(t)=A
v(t)=0
a(t)=0
A
x(t)
t
0
v(t)
t
0
a(t)
t

19. Cinemática Unidimensional: Velocidad constante
x(t)= A + B t
v(t)=B A
x(t)
t
0
a(t)
t
B
v(t)
t

20. Cinemática Unidimensional: Movimiento aceleración
constante
x(t)=A+Bt+Ct2
v(t)=B+2Ct
a(t)=2C
Tomando C>0
B
v(t)
t
A
x(t)
t
2C
a(t)
t

21. Cinemática Unidimensional: Movimiento acelerado varía con
el tiempo
x(t)=Dcos(ωt)
v(t)=- ω Dsen(ωt)
a(t)=- ω2Dcos(ωt)
Tomando D>0
0
x(t)
t
D
-D
0
v(t)
t
ω D
- ω D
0
a(t)
t
ω2 D
-ω2 D

22. Cinemática Unidimensional: Combinación

23. Cinemática Unidimensional: Caída libre
𝑦 = −g
𝑡2
2
= (−9.81m/𝑠2)
𝑡2
2
𝑣 = −𝑔𝑡 = (−9.81m/𝑠2
)t𝑣 = 𝑣0 + 𝑎t
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣 𝑥t + a
𝑡2
2

24. t
a(t)
Cinemática Unidimensional: Bola que rebota
y(t)
t
t
v(t)
x(t)=v0t-gt2/2
v(t)=v0-gt
Cuando rebota la
velocidad cambia
de dirección (signo)
en un intervalo
muy pequeño de
tiempo.
-10.0
-5.0
0.0

25. Análisis de clase
 Repaso de vectores y sus propiedades
 Vectores posición, velocidad y aceleración
 Movimiento en 1D:
 En reposo
 A velocidad constante
 Acelerado
 Ecuaciones de movimiento