Apuntes ingenieria control_cuarto_ingeniero_industrial

Depto. de Ingenier´ıa de Sistemas y Automática
APUNTES DE INGENIERÍA DE CONTROL
Daniel Rodr´ıguez Ram´ırez
Carlos Bordóns Alba
Rev. 4/05/2007

Índice general
Lista de figuras XIII
1. Introducción al control por computador 1
1.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Ventajas e inconvenientes de un sistema de control por computador . . 2
1.3. Funciones de un sistema de control por computador . . . . . . . . . . . 3
1.4. Estructuras de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Instrumentación espec´ıfica de los sistemas de control por computador . 9
1.6. Software de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Secuencias y transformada Z 13
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Secuencia de ponderación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Transformada en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Transformadas de algunas señales t´ıpicas . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Propiedades de la transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
i

ii ÍNDICE GENERAL
2.5. Transformada Z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1. Serie infinita de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2. Descomposición en fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6. Función de transferencia en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Proceso de muestreo 25
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Repaso de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Muestreo de sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Reconstrucción de una señal muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5. Aliasing o enmascaramiento de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6. Obtención de la función de transferencia pulsada . . . . . . . . . . . . . 32
4. Análisis de sistemas muestreados 35
4.1. Estabilidad en sistemas de control por computador . . . . . . . . . . . 35
4.1.1. El criterio de estabilidad de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos . . . . . . . . . 41
4.3. Errores en regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1. Errores en regimen permanente para sistemas en bucle cerrado . 50
4.4. Caracter´ısticas frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y el plano z 52
4.4.1. Otras correspondencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ÍNDICE GENERAL iii
5. Diseño de controladores discretos 59
5.1. Discretización de reguladores continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1. Aproximación rectangular hacia delante (Euler I) . . . . . . . . 60
5.1.2. Aproximación rectangular hacia atras (Euler II) . . . . . . . . . 62
5.1.3. Aproximación bilineal (trapezoidal o Tustin) . . . . . . . . . . . 63
5.2. Correspondencia s ↔ z para las aproximaciones de la integral . . . . . 64
5.2.1. Rectangular hacia delante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.2. Rectangular hacia atrás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.3. Trapezoidal o Bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3. Estabilidad de las aproximaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . 66
5.4. Método de diseño directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.2. Estabilidad Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4.3. Errores en régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5. Control en un número finito de intervalos. Control dead-beat . . . . . . 76
6. Control de sistemas discretos en el espacio de estados 79
6.1. Representación de sistemas discretos en el espacio de estados . . . . . . 79
6.2. Obtención de la representación de en espacio de estados de sistemas
discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.1. Método de programación directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

iv ÍNDICE GENERAL
6.2.2. Método de programación anidada . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3. La representación en espacio de estados de un sistema no es única . . . 84
6.4. Resolución de las ecuaciones del espacio de estados . . . . . . . . . . . 85
6.4.1. Procedimiento recursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4.2. Matriz de transición de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.3. Método basado en la transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4.3.1. Procedimiento alternativo para calcular (zI − G)−1
. . 88
6.5. Discretización de las ecuaciones de estado continuas . . . . . . . . . . . 90
6.6. Controlabilidad y Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6.1. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6.2. Controlabilidad de la salida completa . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6.3. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6.4. Principio de Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.7. Transformación de un sistema en formas canónicas . . . . . . . . . . . 97
6.7.1. Obtención de la forma canónica controlable . . . . . . . . . . . 98
6.7.2. Obtención de la forma canónica observable . . . . . . . . . . . . 98
6.8. Colocación de polos mediante realimentación del vector de estados . . . 99
6.8.1. Condición necesaria y suficiente para la colocación arbitraria de
polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.8.2. Procedimientos para calcular K . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.8.2.1. Procedimiento alternativo: la fórmula de Ackermann . 102

ÍNDICE GENERAL v
6.8.3. Control Dead-Beat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.9. Observadores del estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.9.1. Procedimiento iterativo para la estimación del estado . . . . . . 106
6.9.2. Observador del estado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.9.2.1. Cálculo de Ke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.9.2.2. Comentarios acerca del papel de Ke . . . . . . . . . . 112
6.9.2.3. Efectos de la adición del observador . . . . . . . . . . . 113
6.9.3. Observador de orden m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.10. Control óptimo LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.10.1. Solución de la ecuación de Riccatti . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.11. Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7. Modelos de procesos y perturbaciones 123
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2. Perturbaciones deterministas a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3. Procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4. Modelos de procesos con ruidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8. Introducción a la identificación de sistemas 129
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2. Ideas básicas sobre identificación de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . 130

vi ÍNDICE GENERAL
8.2.1. Planificación de los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.2.2. Selección del tipo de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2.3. Elección de un criterio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2.4. Estimación de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2.4.1. Identificación en l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2.4.2. Identificación fuera de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2.5. Validación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2.6. Resumen del proceso de identificación . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.3. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3.1. Excitación persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3.2. Convergencia e identificabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.3.2.1. Identificación en bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3.3. Niveles de supervisión y acondicionamiento . . . . . . . . . . . . 140
9. Identificación por m´ınimos cuadrados 141
9.1. El método de los m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2. Algoritmo recursivo para identificación en linea . . . . . . . . . . . . . 143
9.3. Interpretación estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4. M´ınimos cuadrados ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.5. M´ınimos cuadrados extendidos y generalizados . . . . . . . . . . . . . . 149
9.6. Estimación de los valores de continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

ÍNDICE GENERAL vii
9.6.1. Utilización de los incrementos de las variables . . . . . . . . . . 151
9.6.2. Cálculo de los valores medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.6.3. Estimación de una constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.7. Importancia del orden del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.8. Identificación de sistemas con retardo o no lineales . . . . . . . . . . . . 155
9.9. Consideraciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.Control de sistemas con grandes retrasos 159
10.1. Sistemas con retraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.1.1. Representación matemática del retraso . . . . . . . . . . . . . . 161
10.1.2. Problemática del control de sistemas con retraso . . . . . . . . . 162
10.2. El Predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2.1. Efecto de los errores de modelado en el Predictor de Smith . . . 170
10.2.2. El Predictor PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.2.3. El Predictor de Smith para sistemas en tiempo discreto . . . . . 172
10.3. Control de sistemas con respuesta inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.Control de procesos con perturbaciones medibles 177
11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.2. Control en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.2.1. Estructura de un sistema de control en cascada . . . . . . . . . 179

viii ÍNDICE GENERAL
11.2.2. Sintonización de controladores en cascada . . . . . . . . . . . . 180
11.3. Control anticipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.3.1. Consideraciones prácticas sobre los controladores anticipativos . 183
12.Control de procesos multivariables 185
12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.2. Sistemas multivariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.3. Medida de las interacciones. Método de Bristol . . . . . . . . . . . . . . 188
12.4. Control de procesos multivariables mediante desacoplo . . . . . . . . . 192
13.Introducción al control adaptativo 199
13.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
13.1.1. Clasificación grosso modo de los sistemas de control adaptativo . 201
13.2. Justificación del uso de control adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.3. Control adaptativo por modelo de referencia (MRAC) . . . . . . . . . . 205
13.3.1. La regla del MIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
14.Reguladores Autoajustables (STR) 211
14.1. Introducción. Estructura general de los STR . . . . . . . . . . . . . . . 211
14.1.1. Algoritmos con estructura impl´ıcita y expl´ıcita . . . . . . . . . . 213
14.2. Control por M´ınima Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
14.2.1. El regulador de m´ınima varianza generalizado . . . . . . . . . . 217

ÍNDICE GENERAL ix
14.3. Asignación de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
14.3.1. Algoritmo con estructura impl´ıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . 221
14.3.2. Algoritmo con estructura expl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
15.Controladores PID con autoajuste y Ajuste por tabla 223
15.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
15.2. Función de autoajuste (autotuning) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
15.3. Funciones de autoajuste para PIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
15.3.1. Técnicas de ajuste basadas en la respuesta transitoria . . . . . . 226
15.3.2. Métodos basados en las oscilaciones producidas al realimentar
con un relé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
15.4. La técnica de ajuste por tabla o gain scheduling . . . . . . . . . . . . . 228
15.5. Controladores adaptativos industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
15.5.1. SattControl ECA40 y Fisher-Rosemount DPR900 . . . . . . . . 233
15.5.2. Foxboro EXACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
15.5.3. ABB Novatune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.Control Predictivo Basado en Modelo (MPC) 235
16.1. Perspectiva histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
16.2. Conceptos básicos de control predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16.3. Estrategia de los controladores predictivos . . . . . . . . . . . . . . . . 237
16.4. Elementos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

x ÍNDICE GENERAL
16.4.1. Modelo de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.4.1.1. Respuestas libre y forzada . . . . . . . . . . . . . . . . 243
16.4.2. Función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
16.4.3. Obtención de la ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
16.5. Revisión de los principales algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
16.5.0.1. Dynamic Matrix Control . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
16.5.0.2. Model Algorithmic Control . . . . . . . . . . . . . . . 249
16.5.0.3. Predictive Functional Control . . . . . . . . . . . . . . 249
16.5.0.4. Extended Prediction Self Adaptive Control . . . . . . 250
16.5.0.5. Extended Horizon Adaptive Control . . . . . . . . . . 251
16.5.0.6. Generalized Predictive Control . . . . . . . . . . . . . 252
17.Controladores predictivos 253
17.1. Dynamic Matrix Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
17.1.1. Predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
17.1.2. Perturbaciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
17.1.3. Algoritmo de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
17.1.3.1. El caso con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
17.1.3.2. Extensión al caso multivariable . . . . . . . . . . . . . 259
17.2. Control Predictivo Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
17.2.1. Formulación del Control Predictivo Generalizado . . . . . . . . 260

ÍNDICE GENERAL xi
17.2.1.1. Predicción óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
17.2.1.2. Obtención de la ley de control . . . . . . . . . . . . . . 265
17.2.2. Ejemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
17.2.3. Caso multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
18.Otros aspectos del Control Predictivo 269
18.1. Restricciones en Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
18.1.1. Tratamiento convencional de restricciones . . . . . . . . . . . . 269
18.1.2. Restricciones en Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . 271
18.1.3. Resolución del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
18.1.4. Gestión de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
18.1.4.1. Técnicas de búsqueda de soluciones factibles . . . . . . 275

Índice de figuras
1.1. Selección de que datos se deben guardar, con que frecuencia y en que
formato en los históricos de un sistema de control por computador. . . 4
1.2. Todos los sistemas de control por computador presentan m´ımicos más o
menos realistas con la información de la planta. . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Herramientas para creación de m´ımicos en un sistema de control por
computador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Los históricos presentan información relevante sobre la evolución de las
variables monitorizadas bien en forma gráfica o numérica. . . . . . . . 6
1.5. Tareas de un sistema de control por computador . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Sistema de control con estructura centralizada. . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. Sistema de control con estructura distribuida. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8. Sistema de control con estructura jerárquica. . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9. Esquema de un sistema de control por computador . . . . . . . . . . . 10
1.10. Simulink es un lenguaje gráfico que se puede utilizar para programar
algoritmos de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Secuencia de ponderación de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Secuencias de entrada, salida y ponderación de un sistema. . . . . . . . 24
xiii

xiv ÍNDICE DE FIGURAS
3.1. Esquema de un sistema de control por computador. . . . . . . . . . . . 25
3.2. Muestrador mediante impulsos y mantenedor o retenerdor de orden cero. 26
3.3. Muestreador mediante impulsos como moduador. . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Espectro en frecuencia de una señal muestreada, observándose como se
repite el espectro original atenuado cada ωs = 2π
T
. . . . . . . . . . . . . 29
3.5. Uso de un filtro paso banda para obtener el espectro en frecuencia de la
señal original a partir del de la muestreada. . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6. Espectro en frecuencia de una señal muestreada con una frecuencia de
muestreo insuficiente (tiempo de muestreo demasiado alto) para poder
reconstruir la original. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7. Repeticiones en frecuencia del espectro de una señal muestreada en las
que el tiempo de muestreo es el l´ımite para poder reconstruir. . . . . . 30
3.8. Ilustración del aliasing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1. Evolución de una secuencia de la forma (4.3) para distintos valores de pi. 37
4.2. Frontera de la región de estabilidad en el plano z. . . . . . . . . . . . . 37
4.3. Región del espacio de coeficientes de un polinomio de la forma z2
+a1z+
a2 = 0 en la que las raices están dentro del c´ırculo unidad. . . . . . . . 42
4.4. Respuestas transitorias correspondientes a la localización de varios polos
complejos conjugados en el plano s (a). Respuestas transitorias a los
correspondientes polos discretos (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5. Respuestas transitorias correspondientes a la localización de varios polos
complejos conjugados en los l´ımites de las franjas periodicas del plano s
(c). Respuestas transitorias a los correspondientes polos discretos (d). . 44
4.6. Respuestas ante un impulso para un sistema con un polo en el eje real. 45

ÍNDICE DE FIGURAS xv
4.7. Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados en el
eje imaginario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.8. Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados dentro
del circulo unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9. Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados en el
circulo unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.10. Regiones de interes en el plano s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.11. Puntos de interes en la franja primaria del plano s. . . . . . . . . . . . 54
4.12. Lugares de atenuación constante en el plano s y z. . . . . . . . . . . . 55
4.13. Lugares de frecuencia constante en el plano s y z. . . . . . . . . . . . . 56
4.14. Lugares de amortiguación y frecuencia natural constante en el plano s. 57
4.15. Lugares de amortiguación constante en el plano z. . . . . . . . . . . . 57
4.16. Lugares de amortiguación y frecuencia natural constante en el plano z. 58
5.1. Aproximación rectangular hacia delante de la integral. . . . . . . . . . 60
5.2. Aproximación rectangular hacia detras de la integral. . . . . . . . . . . 62
5.3. Aproximación bilineal de la integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4. Integral de u(t) para un periodo de muestreo. . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5. Región de estabilidad en el plano s (sombreada). . . . . . . . . . . . . 67
5.6. Transformación en el plano z de la región de estabilidad del plano s al
aplicar la aproximación rectangular hacia delante (sombreada). . . . . 67
aplicar la aproximación bilineal (sombreada). . . . . . . . . . . . . . . 68

xvi ÍNDICE DE FIGURAS
aplicar la aproximación rectangular hacia atrás (sombreada). . . . . . 69
6.1. Diagrama de bloques de la representación en espacio de estados de un
sistema LTI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2. Diagrama de bloques de un sistema controlado por una realimentación
del vector de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3. Diagrama de bloques de un sistema LTI controlado mediante una reali-
mentación del vector de estados que estima el estado con un observador. 109
6.4. Diagrama de bloques de un observador de orden completo. . . . . . . . 109
7.1. Procesos estocásticos: realizaciones y variables aleatorias. . . . . . . . 125
7.2. Modelo de Box-Jenkins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.1. Esquema de la identificación en l´ınea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2. Diagrama de flujo del proceso de identificación. . . . . . . . . . . . . . 135
8.3. Ejemplo de señal de entrada del tipo PRBSS. . . . . . . . . . . . . . . 137
9.1. Diagrama de flujo del proceso de identificación mediante m´ınimos cuadra-
dos recursivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2. Diagrama de Bode de un sistema de segundo orden (linea continua) y
de un modelo de primer orden estimado para una entrada senoidal de
frecuencia ω = 0,2 rad × s−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3. Misma situación que en la figura 9.2 pero con una señal de entrada
senoidal de frecuencia ω = 1 rad × s−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.4. Evolución de los parámetros identificados en un caso de sobreparametrización.
154

ÍNDICE DE FIGURAS xvii
9.5. Evolución de unos parámetros frente a otros para el modelo sobreparametriza-
do. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.1. Ejemplo de sistema con retraso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.2. Sistema de control realimentado para un proceso con retraso tm. . . . . 161
10.3. Diagrama de Bode para distintos valores de un retraso puro e−tms
. . . . 162
10.4. Diagrama de Bode para distintos valores de un retraso puro tms para el
sistema C(s)G(s)e−tms
con C(s) = 1 y G(s) = 10
1+s
. . . . . . . . . . . . 163
10.5. Diagrama de Bode para distintos valores de tms para el sistema de la
figura 10.4 con C(s) = 0,2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.6. Sistema de control realimentado para un proceso con retraso donde el
sensor se ha dispuesto antes del retardo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.7. Sistema de control en donde se realimenta la predicción de la salida
mediante un modelo en bucle abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.8. Estructura del Predictor de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.9. Bode de C(s)G(s) para el ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.10.Bode de C(s)G(s) para el ejemplo, desintonizando el controlador de
manera que la ganancia sea cuatro veces menor. . . . . . . . . . . . . . 169
10.11.Respuesta del sistema en bucle cerrado con el controlador desintonizado
de manera que la ganancia sea cuatro veces menor. . . . . . . . . . . . 169
10.12.Respuesta del sistema en bucle cerrado con el predictor de smith (trazo
solido) comparada con la del lazo simple (trazo discontinuo). . . . . . . 170
10.13.Respuestas del sistema en bucle cerrado con el predictor de smith cuando
se tienen diversos errores en la estimación del retardo. . . . . . . . . . . 172
10.14.Estructura del Predictor PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

xviii ÍNDICE DE FIGURAS
10.15.Algoritmo del Predictor de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.16.Estructura de control para procesos con respuesta inversa. . . . . . . . 175
10.17.Ejemplo de control de un sistema de fase no m´ınima con un PI usando
un lazo simple de realimentación (trazo discontinuo) y la estructura de
control para procesos con respuesta inversa propuesta en la figura 10.16. 176
11.1. Ejemplo de sistema con perturbación a la entrada. . . . . . . . . . . . . 178
11.2. Ejemplo de sistema con perturbación a la entrada. . . . . . . . . . . . . 179
11.3. Ejemplo de sistema con perturbación a la salida. . . . . . . . . . . . . . 182
11.4. Sistema con perturbación a la salida controlado con un lazo simple de
realimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.5. Sistema con perturbación a la salida controlado con un control anticipativo.183
11.6. Sistema con perturbación a la salida controlado con un control antici-
pativo con control realimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.1. Respuesta de un sistema multivariable de dos entradas y dos salidas
cuando se aplican escalones en sus entradas. Pueden observarse las in-
teracciones en el hecho de que las salidas var´ıan cuando las entradas
respectivas están en reposo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.2. Representación de un sistema multivariable de orden 2. . . . . . . . . . 186
12.3. Representación de un sistema multivariable de orden 2 en bucle cerrado
con dos controladores multivariables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.4. Representación de un sistema multivariable controlado por desacoplo. . 194
12.5. Respuesta del sistema multivariable del ejemplo cuando se aplican escalones
en sus entradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.6. Respuesta del sistema multivariable desacoplado cuando se aplican escalones
en sus entradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

ÍNDICE DE FIGURAS xix
12.7. Simulación del sistema multivariable en bucle cerrado. . . . . . . . . . . 197
13.1. Configuración genérica de un controlador adaptativo. . . . . . . . . . . 200
13.2. Sistema realimentado con actuador con caracter´ıstica v = f(u). . . . . 203
13.3. Sistema realimentado con actuador con caracter´ıstica v = f(u). . . . . 203
13.4. Respuestas en bucle abierto (izquierda) y cerrado (derecha) del sistema
dado en (13.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
13.5. Respuestas en bucle abierto (izquierda) y cerrado (derecha) del sistema
dado en (13.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.6. Configuración genérica de un controlador adaptativo por modelo de re-
ferencia (MRAC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
14.1. Configuración genérica de un regulador o controlador autoajustable. . 212
14.2. Configuración genérica de un regulador o controlador autoajustable. . 213
14.3. División de polinomios para el ejemplo 14.2. . . . . . . . . . . . . . . . 217
14.4. Estructura para la asignación de polos y ceros. . . . . . . . . . . . . . 219
15.1. PID industrial moderno con función de autoajuste (ABB modelo ECA). 225
15.2. Determinación de T y L por áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
15.3. Estructura usada en el método basado en oscilaciones de relé. . . . . . 228
15.4. Configuración genérica de un controlador adaptativo con adaptación en
bucle abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
15.5. Curva de pH para una solución de HCl 0.001 M y NaOH 0.001 M. . . 230
15.6. Caracter´ıstica aproximada de una sonda lambda . . . . . . . . . . . . 231

xx ÍNDICE DE FIGURAS
15.7. La herramienta Novatune se comercializa actualmente con el sistema
Advant 410 de ABB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
16.1. Estrategia del Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.2. Estructura básica del MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
16.3. Respuesta impulsional y ante escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
16.4. Respuestas libre y forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
16.5. Trayectoria de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
16.6. Puntos de coincidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17.1. Ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.2. Punto de operación óptimo de un proceso t´ıpico . . . . . . . . . . . . . 258
18.1. Restricciones y punto de operación óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18.2. Restricciones en la señal de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
18.3. Gestión de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Cap´ıtulo 1
Introducción al control por
computador
1.1. Conceptos básicos
El control por computador surge de la evolución del control análogico clásico (usado
extensivamente en sistemas mecánicos, eléctricos y electrónicos), en la cual el computa-
dor se ve como medio para ampliar las capacidades y funcionalidades de los sistemas
de control. Esa incorporación del computador digital comienza ya en etapas tan tem-
pranas del desarrollo de los computadores como la década de 1950. En esa época el
uso que se le daba al computador en los sistemas de control era el de supervisor de los
lazos de control análogico tradicional. El siguiente paso es el de sustituir directamente
a los controladores análogicos (habitualmente de tipo PID) en lo que se vino a llamar
el Control Digital Directo. En este tipo de control el computador calcula la señal de
control que se aplicará directamente al proceso.
La década de los 70 ve la aparición de los microprocesadores como sustitutos en un
solo circuito integrado de los principales componentes de un computador. La dramática
reducción de costes, espacio y consumos unido a la escalada en prestaciones hace que
se contemple dedicar un sistema basado en microprocesador a cada lazo de control,
descargando de tareas al computador central. Esto lleva a la aparición de los sistemas
de control distribuidos en los que diversos computadores se reparten las distintas tareas
de control de una planta. Esos computadores se conectarán entre si mediante diferentes
topolog´ıas de red, propiciando la aparición de normas de interconexión espec´ıficas de
los entornos industriales: los buses de campo. Dentro de las redes se pueden establecer
1

2 VENTAJAS E INCONVENIENTES DE UN SISTEMA DE CONTROL POR COMPUTADOR
jerarqu´ıas entre los diversos controladores y computadores conectados. As´ı se establecen
diversos niveles de supervisión y control.
En épocas más reciente, los sistemas de control han ido ocupando cada vez más
campos de aplicación de los controladores clásicos como por ejemplo el sector de au-
tomoción y los sistemas de control de vuelo. Por otra parte el abaratamiento y sim-
plificación de estas tecnolog´ıas han hecho que acaben aplicando incluso en el entorno
doméstico dentro del campo de la domótica.
El avance de este tipo de sistemas de control es tal que hoy en dia ya no se concibe
ninguna aplicación de control automático de cierta complejidad en la que no se haga
uso del control por computador como tecnolog´ıa principal. Esta tecnolog´ıa tiene su
propia idiosincracia, diferente a la de la tecnolog´ıa clásica, de ah´ı que surja una teor´ıa
espec´ıfica que trata con estos sistemas: la teor´ıa del control por computador.
1.2. Ventajas e inconvenientes de un sistema de
control por computador
Toda tecnolog´ıa nueva suele venir cargada de ventajas pero también suele presentar
nuevos inconvenientes. En esta sección se describirán brevemente ambas caracter´ısticas.
Dentro de las principales ventajas del control por computador podemos encontrar:
Los sistemas de control por computador son más eficientes a la hora de controlar
sistemas complejos. Además al ser sistemas programables, se pueden incorporar
algor´ıtmos de control más sofisticados que los que se pueden realizar con compo-
nentes analógicos.
Mayor flexibilidad a la hora de cambiar la sinton´ıa o incluso el algoritmo de
control de un lazo determinado. Esta mayor flexibilidad viene dada por el hecho
de que el software es intr´ınsecamente más flexible que el hardware.
Mayor precisión en los cálculos. Con instrumentación analógica alcanzar una alta
precisión en los cálculos es muy caro, mientras que con los computadores digitales
la precisión en muchos casos es arbitraria.
Invariabilidad de los cálculos. No hay envejecimiento ni derivas ya que los cálculos
se realizan usando aritmética digital.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCI ÓN AL CONTROL POR COMPUTADOR 3
Centralización de la información en un sistema que coordina todas las funciones.
Información con marcas precisas de tiempo.
Los sistemas de control por computador presentan muchas funciones adicionales
y complementarias como por ejemplo visualización de la información, gestión de
históricos, alarmas, cálculos estad´ısticos sobre el rendimiento, etc. . .
Por otra parte los sistemas de control por computador también presentan inconve-
nientes, entre ellos:
Coste elevado. Este coste es además muy dependiente del número de lazos de
control que se hayan de implementar.
Problemas de fiabilidad. Si hay mucha centralización, todo depende de un com-
putador. Se ha de usar un equipo de respaldo (backup) que releve al computador
principal en caso de fallo de este. Las estructuras de control distribuido palian
este problema al no existir un computador central que deba ocuparse de todo.
1.3. Funciones de un sistema de control por com-
putador
Las tareas que un sistema de control por computador realiza van más allá de las de
control que realiza un sistema de control clásico.
El primer grupo de funciones que se pueden enumerar es la de adquisición y tratamien-
to de datos. El sistema adquiere las señales y realiza operaciones de adecuación entre
las que se encuentran:
Filtrado de señales.
Linealización de la caracter´ıstica de sensores y actuadores.
Conversión a unidades de ingenier´ıa.
Además de esas funciones de tratamiento de la señal se realizan otras tareas entre las
que se incluyen:

4 FUNCIONES DE UN SISTEMA DE CONTROL POR COMPUTADOR
Almacenamiento de los datos adquiridos en históricos. Se seleccionan que datos
se almacenarán y en que formato (ver figura 1.1).
Cálculos auxiliares: rendimientos, consumos, etc. . .
Análisis estad´ısticos.
Figura 1.1: Selección de que datos se deben guardar, con que frecuencia y en que formato en los
históricos de un sistema de control por computador.
Otra de las tareas más importantes de un sistema de control es la de presentar la
información disponible del sistema al operador. El objeto de esta información es el de
la monitorización y supervisión de la planta. Esta tarea se realiza dentro del interfaz
hombre-máquina (MMI o HMI) que desempeña entre otras las siguientes tareas de
comunicación con el usuario:
Presentación de la información de la planta (medidas de sensores, valores en
los actuadores, etc. . . ) mediante un m´ımico o sinóptico (ver figura 1.2). Estos
m´ımicos se refrescan en tiempo real por lo que el operador tiene en todo momento
una visión clara de lo que ocurre en la planta. Todos los sistemas de control por
computador incluyen librer´ıas y herramientas para crear m´ımicos más o menos
realistas de la planta que se controla (ver figura 1.3).
Otra de las tareas del MMI es la gestión de alarmas ante condiciones anormales de
operación de la planta y su presentación al operador. Las alarmas se traducen en avisos
al operador y se pueden tratar en función de su importancia. Además las incidencias y
alarmas se almacenan en las bases de datos del sistema de control por computador.

Figura 1.2: Todos los sistemas de control por computador presentan m´ımicos más o menos realistas
con la información de la planta.
Figura 1.3: Herramientas para creación de m´ımicos en un sistema de control por computador.

6 FUNCIONES DE UN SISTEMA DE CONTROL POR COMPUTADOR
Los sistemas de control por computador son capaces además de ayudar o asistir en
la toma de decisiones sobre la manera de operar el sistema. Suele ser habitual el uso
de simuladores que permiten ensayar y ver el efecto de cambios en la planta sin tener
que realizarlos sobre el sistema real. Complementando a los simuladores se pueden
encontrar en algunos sistemas de control por computador programas de inteligencia
artificial como los sistemas expertos, que tienen la misión de sugerir cual es la posible
solución a cualquier incidencia que se presente o indicar los puntos de funcionamiento
o modos de operación que sean más productivos. Es decir, un sistema experto emula
el conocimiento de un ((experto humano)).
Otra de las funciones mas importantes de un sistema de control por computador es
la de almacenar históricos (ver figura 1.4) de todas las variables (sensores, actuadores,
etc. . . ) que se considere necesario (no necesariamente sólo las que se muestran en
los m´ımicos). Esta información es de gran utilidad para analizar el funcionamiento del
proceso, estudiar el efecto de cambios en la operación del sistema y averiguar las causas
de fallos y alarmas.
Figura 1.4: Los históricos presentan información relevante sobre la evolución de las variables monitor-
izadas bien en forma gráfica o numérica.
Además de las tareas de adquisición de datos y de monitorización otras dos tareas
fundamentales de un sistema de control por computador son el telemando y el control en
s´ı mismo (figura 1.5. El telemando consiste en la posibilidad que se le da al operador de
modificar manualmente desde el puesto de control los valores de actuadores, etc. . . Por
otra parte en la tarea de control, el computador cierra el bucle de realimentación
dejando al operador la tarea de cambiar los puntos de consigna o referencia a seguir.

Figura 1.5: Tareas de un sistema de control por computador .
1.4. Estructuras de los sistemas de control
Los sistema de control por computador presentan distintos tipos de estructuras en
función de la forma en la que se conectan los distintos elementos, de la concentración
de funciones en ellos y de las tareas asignadas.
Una de las primeras estructuras en emplearse fue la estructura centralizada. En esta
estructura un sólo computador central realiza todas las tareas antes mencionadas (ver
figura 1.6). Aunque esta estructura estaba plenamente justificada cuando los computa-
dores eran muy costosos, presenta bastantes problemas. En primer lugar se depende de
un sólo equipo para todas las tareas. Si éste falla todo falla. Por tanto la fiabilidad de
esta estructura es baja. Por otra parte la instalación es costosa en el sentido de que el
cableado se complica mucho al tener que conectarse todos los elementos de la planta
al computador. En la práctica además es necesario tener un computador de reserva o
al menos paneles de controladores convencionales. Esta estructura es bastante r´ıgida y
dificil de ampliar.
Figura 1.6: Sistema de control con estructura centralizada.

8 ESTRUCTURAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Una estructura alternativa es la estructura distribuida. En esta estructura (ver figu-
ra 1.7), diversos elementos de control y computadores se conectan a traves de una
red (llamada bus de campo) que reparte datos y señales entre ellos. Esta estructura es
más fiable y redundante por lo que hay una mayor seguridad ante fallos. Las tareas
y responsabilidades se reparten entre los distintos elementos y se obtiene mayor rapi-
dez de procesamiento y respuesta. Además el coste de instalación es menor pues los
controladores se situan más cerca de los elementos de medida y control. Sin embargo
se impone la necesidad de definir y usar estándares de interconexión y protocolos de
comunicaciones.
Figura 1.7: Sistema de control con estructura distribuida.
Finalmente, en los sistemas de control distribuidos puede además imponerse una
estructura jerárquica (ver figura 1.8), en las que se definen distintos niveles de compleji-
dad en los elementos de control y en las tareas que estos realizan. Los niveles más bajos
vendrán ocupados por controladores de bajo nivel, sensores inteligentes y actuadores.
Los niveles intermedios estarán ocupados por controladores programables, autómatas
y computadores con software de control. Los niveles más altos estarán ocupados por
máquinas más complejas y computadores con el software más complejo. Es de destacar
que los tiempos de ciclo de estos elementos son más largos cuanto más alto sea el nivel.

Figura 1.8: Sistema de control con estructura jerárquica.
1.5. Instrumentación espec´ıfica de los sistemas de
control por computador
Los sistemas de control por computador poseen instrumentación espec´ıfica diferente
de aquella que encontramos en los sistemas convencionales (ver figura 1.9). Algunos de
esos elementos son inherentes a la naturaleza digital de estos sistemas, por ejemplo los
convertidores analógico/digital y digital/analógico. Estos convertidores traducen las
señales analógicas de los sensores a valores numéricos entendibles por el computador (y
al reves) y lo hacen de manera cuantizada con una resolución que viene determinada
por el número de cifras binarias (bits) asignadas a cada medida proporcionada por el
convertidor. Por otra parte un sistema de control por computador lee los valores de los
sensores y manda los valores correspondientes a los actuadores sólo en determinados
instantes de tiempo generalmente separados por un intervalo de tiempo fijo (intervalos
de muestreo). Es decir son elementos muestreados y discretos. Para mantener la apli-
cación de los valores en los actuadores se emplean mantenedores de señal. El tipo más
común es el mantenedor de orden cero (MOC) que mantiene la señal constante entre
intervalos de muestreo.
Aparte de los elementos anteriormente mencionados en un moderno sistema de
control por computador podemos encontrar otros elementos más sofisticados como
sensores inteligentes que proporcionan las medidas ya tratadas, filtradas y/o digital-
izadas. Además pueden realizar operaciones con distintas medidas o inferir magnitudes
indirectamente a partir de otras.

10 SOFTWARE DE CONTROL
SINCRONÍA
C. D/A +
M.O.C.
PLANTA C. A/DCOMPUTADOR
REF ERROR ENTRADA SALIDA
PLANTA DISCRETIZADA
Figura 1.9: Esquema de un sistema de control por computador .
Finalmente hay que recordar que los distintos componentes se conectan a traves de
redes de comunicaciones digitales llamadas buses de campo. Esas redes están regidas
por diferentes protocolos de comunicaciones estandarizados.
1.6. Software de control
Ya se han comentado las funciones de un sistema de control por computador. A la
hora de programar un controlador hay que tener en cuenta que el programa se ejecuta
siempre de manera c´ıclica, repitiéndose siempre tres bloques de acciones:
1. Medir u obtener las medidas de los sensores.
2. Calcular los valores que se aplicarán a los actuadores.
3. Mandar los valores a los actuadores.
Otro factor a tener en cuenta es que los sistemas operativos han de cumplir diversas
caracter´ısticas para ser válidos en sistemas de control. Estos requisitos están normal-
mente relacionados con la temporización de tareas y la necesidad de garantizar que
los programas que implementan algoritmos de controlador se ejecutarán en el tiempo
necesario a toda costa. Los sistemas que cumplen esto son los que se suelen denominar
sistemas operativos para operación en tiempo real o sistemas en tiempo real.
Finalmente hay que destacar que existen diferentes posibilidades a la hora de pro-
gramar un controlador, pudiéndose elegir entre implementarlo en un lenguaje de bajo
nivel, en un lenguaje de proposito general, en un lenguaje espec´ıfico del sistema de
control o incluso un lenguaje gráfico (ver figura 1.10).

Figura 1.10: Simulink es un lenguaje gr´aﬁco que se puede utilizar para programar algoritmos de
control.

Cap´ıtulo 2
Secuencias y transformada Z
2.1. Introducción
En un sistema de control por computador el algoritmo de control se concreta en
un programa que calcula la salida del controlador cada cierto tiempo y lee (muestrea)
la salida de la planta cada cierto tiempo. Las acciones ocurren por tanto cada cierto
periodo de muestreo T:
u(kT), y(kT) k = 0, 1, . . .
Nótese que no solo el tiempo está discretizado sino que debido a la naturaleza digital
del elemento de control (el computador) los valores de ambas señales son también
discretos. El sistema de control por computador es por tanto un sistema discreto que
recibe señales yk
1
y genera salidas uk. Los valores de esas señales a lo largo del tiempo
forman secuencias, por ejemplo:
{yk} = {0, 0, 1, 1, . . .} {uk} = {1, 1, 0, −2, . . .}
Estas secuencias están relacionadas por ecuaciones en diferencias (análogas en sistemas
discretos a las ecuaciones diferenciales en sistemas continuos):
yk = a1yk−1 + a2yk−2 + · · · + anyk−n + b0uk + b1uk−1 + cdots + bmuk−m
Estas ecuaciones en diferencias constituyen una forma muy común de modelar sistemas
discretos.
1
Nótese que con la notación yk se está indicando y(kT), de manera que yk−1 = y((k − 1)T) y
as´ı sucesivamente. Por otra parte es habitual utilizar también la notación y(k),y(k − 1), etc. . .
13

14 SECUENCIA DE PONDERACI ÓN
2.2. Secuencia de ponderación
Denominaremos secuencia de ponderación {gk} = {g0, g1, · · ·} a la secuencia obteni-
da a la salida de un sistema discreto cuando a la entrada hay una secuencia de impulso
unitario {δk} = {1, 0, 0, · · ·} (ver figura 2.1). Este es un concepto análogo al de re-
Sistema
Discreto
{ k}={1,0,0,…} {gk}={g0,g1,g2,…}
g0
g1
g2
...
Figura 2.1: Secuencia de ponderación de un sistema.
spuesta impulsional y como veremos a continuación, permite caracterizar la salida de
un sistema lineal.
Nótese que cualquier secuencia {uk} puede expresarse de la forma:
{uk} =
l=∞
l=−∞
ul · {δk−l}
aunque en general consideraremos que l comienza en 0. As´ı, por ejemplo, la secuencia
{7, 4, 5} se puede poner como:
{7, 4, 5} = 7 · {1, 0, 0} + 4 · {0, 1, 0} + 5 · {0, 0, 1}
donde u0 = 7, {δk} = {1, 0, 0}, u1 = 4, {δk−1} = {0, 1, 0}, u2 = 5, {δk−2} = {0, 0, 1}.
Nótese que la secuencia {δk−i} es la secuencia {δk} retrasada i tiempos de muestreo, y
vale 1 en el instante de tiempo k = i y cero en los demás.
Si a un sistema lineal se le excita con una secuencia de entrada {uk} (por ejemplo
la ley de control calculada en cada instante por el computador), tal que
{uk} =
l=∞
l=0
ul · {δk−l}
se obtendrá una secuencia de salida:
{yk} =
l=∞
l=0
ul · {gk−l}

CAPÍTULO 2. SECUENCIAS Y TRANSFORMADA Z 15
pues por el concepto de secuencia de ponderación, a la secuencia {δk−l} le corresponde
a la salida la secuencia {gk−l}, que es la secuencia de ponderación {gk} retrasada l
tiempos de muestreo. Esa expresión se puede desarrollar de manera que se obtiene:
{yk} = u0 · {g0, g1, g2, · · ·} + u1 · {0, g0, g1, · · ·} + u2 · {0, 0, g1, · · ·} + · · ·
= u0g0 + u0g1 + u0g2 + · · · + u1g0 + u1g1 + · · · + u2g0 + · · ·
= g0 · {uk} + g1 · {uk−1} + g2 · {uk−2} + · · ·
llegándose a:
{yk} =
l=∞
l=0
gl · {uk−l}
Esto implica que conociendo la secuencia de ponderación de un sistema podemos cal-
cular la salida para cualquier secuencia de entrada. La expresión anterior es equivalente
a:
{yk} =
l=∞
l=0
gl · {uk−l} = {gk} {uk} (2.1)
donde indica la operación de convolución entre la secuencia {gk} y la secuencia {uk}.
Este resultado sin embargo no esconde que trabajar directamente con secuencias como
aqu´ı se ha mostrado es muy engorroso, al tener que estar enumerando los valores que
toman dichas secuencias. Para resolver esto surge la transformada Z, que se verá a
continuación.
2.3. Transformada en Z
La transformada en Z cumple el mismo papel en sistemas discretos que la transfor-
mada de Laplace en sistemas continuos. Permite obtener la solución de ecuaciones en
diferencias y por tanto representar señales y secuencias de una manera más compacta.
Para entender la transformada en Z se parte de una señal continua x(t). Esta señal es
muestreada con un tiempo de muestreo T. Eso implica que se registra una secuencia:
x(0), x(T), x(2T), · · · , x(kT)
Teniendo en cuenta que la función delta de Dirac δ(t − kT) vale 1 para t = kT y cero
en todos los demás casos, es claro que la señal muestreada es igual a:
x∗
(t) =
∞
k=0
x(kT)δ(t − kT)

16 TRANSFORMADA EN Z
La transformada de Laplace de x∗
(t) se calcula como:
X(s) = L {x∗
(t)} =
∞
0
x∗
(t)e−st
dt
=
∞
0
∞
k=0
[x(kT)δ(t − kT)] e−st
dt
=
∞
k=0
∞
0
[x(kT)δ(t − kT)] e−st
dt
=
∞
k=0
x(kT)e−kTs
Se define ahora una nueva variable z como:
z = eTs
y haciendo el cambio de variable la transformada Z de una secuencia {xk} queda como:
Z {xk} = X(z) =
∞
k=0
xkz−k
(2.2)
que como puede verse por el desarrollo anterior se ha obtenido de la transformada de
Laplace de la señal muestreada.
2.3.1. Transformadas de algunas señales t´ıpicas
Calcular la transformada Z puede ser bastante complejo, de ah´ı el uso de tablas con
las transformadas de las señales más comunes. Algunas de las señales más sencillas si
pueden calcularse fácilmente.
Señal impulso. Esta señal tiene como secuencia asociada
{δk} = {1, 0, 0, · · ·}
En este caso la transformada Z se calcula facilmente como:
Z {δk} =
∞
k=0
δkz−k
= δ0z0
= 1
Señal escalón. En este caso la señal es
{uk} = {1, 1, 1, · · ·}

En este caso la transformada Z se calcula fácilmente2
como:
Z {uk} = U(z) =
∞
k=0
ukz−k
=
∞
k=0
z−k
=
1
1 − z−1
=
z
z − 1
Señal {ak
}:
Z ak
=
∞
k=0
ak
z−k
=
∞
k=0
a
z
k
=
1
1 − a
z
=
z
z − a
Señal {e−ak
}. En este caso se aplica el resultado anterior con a = e−a
obteniéndose
Z e−ak
=
z
z − e−a
Aplicando consideraciones similares se puede ir obteniendo la transformada Z de las
secuencias más habituales. En las tablas 2.1 y 2.2 se enumeran las transformadas Z de
dichas secuencias y sus equivalentes en transformada de Laplace.
2.4. Propiedades de la transformada Z
En esta sección se verán las propiedades más importantes de la transformada Z.
1. Linealidad. Se verifica que
Z {a · {xk} + b · {yk}} = aX(z) + bY (z)
2. Desplazamiento en k. Con este nombre se recogen dos resultados relacionados:
a) Z {xk+n} = zn
X(z). La demostración es muy sencilla. Basta tener en cuenta
que:
Z {xk+n} =
∞
k=0
xk+nz−k
tomando l = k + n
=
∞
l=n
xlz−(l−n)
= zn
X(z) −
n−1
l=0
xlz−l
= zn
X(z) − zn
n−1
l=0
xlz−l
2
Este resultado es válido siempre que 1
z < 1.

18 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Cuadro 2.1: Tabla con las transformadas Z m´as usuales.

Cuadro 2.2: Tabla con las transformadas Z m´as usuales (continuaci´on).

20 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
el término zn
n−1
l=0
xlz−l
son condiciones iniciales (análogo a lo que ocurre en
la transformada de Laplace), con lo que el resultado queda demostrado.
b) Z {xk−1} = z−1
X(z) y en general Z {xk−n} = z−n
X(z). La demostración
pasa por considerar una secuencia {yk} = {xk−1}. La transformada Z de
esta secuencia es:
Y (z) =
∞
k=0
ykz−k
=
∞
k=0
xk−1z−k
= z−1
∞
k=0
xk−1z−(k−1)
tomando k = k − 1
= z−1
∞
k =−1
xk z−k
= z−1
x−1z +
∞
k =0
xk z−k
teniendo en cuenta que x−1 = 0
= z−1
X(z)
Por tanto Z {xk−1} = z−1
X(z) y en general se puede demostrar que Z {xk−n} =
z−n
X(z). Nótese que z−1
X(z) se corresponde con la secuencia {xk} retrasa-
da en un tiempo de muestreo. Por tanto, se entiende que a z−1
se le conozca
también como operador retraso. Análogamente, z−n
X(z) se corresponde con
la secuencia {xk} retrasada n tiempos de muestreo.
3. Convolución. Se cumple que:
Z {{xk} {yk}} = Z
k
l=0
xlyk−l = X(z)Y (z) (2.3)
4. Teorema del valor final. El valor en k = ∞ de la secuencia {xk} viene dado por:
x∞ = l´ım
k→∞
xk = l´ım
z→1
(z − 1)X(z)
Nota: en algunos textos aparece como l´ım
z→1
(1 − z−1
)X(z). Por otra parte este
teorema es válido si el l´ımite existe.
Ejemplo 2.1
Sea
X(z) =
z
z − 1
El valor final será
x∞ = l´ım
z→1
z = 1
Este resultado es congruente con el hecho de que la secuencia es un escalón
unitario.

5. Teorema del valor inicial. El valor inicial para k = 0 de la secuencia {xk} viene
dado por:
x0 = l´ım
z→∞
X(z)
Ejemplo 2.2
Sea {xk} un escalón unitario. En este caso
x0 = l´ım
z→∞
z
z − 1
= l´ım
z→∞
1
1 − 1
z
= 1
2.5. Transformada Z inversa
En esta sección trataremos el problema de obtener la representación temporal de un
señal a partir de la transformada Z. Esto se hace a través de la llamada transformada
Z inversa:
Z−1
{X(z)} = {xk}
La transformada inversa Z puede calcularse de diversas maneras. Además de usar
tablas, se expondrán aqu´ı dos métodos para calcularla: el método de división larga
(también llamada de serie infinita de potencias) y el método por descomposición en
fracciones simples.
2.5.1. Serie infinita de potencias
El método consiste en realizar la división entre el numerador y el denominador de
la transformada Z de manera que el cociente sea un polinomio en potencias de z. Los
coeficientes de ese polinomio serán la representación temporal de la secuencia.
Ejemplo 2.3
Sea
X(z) =
z
z − c
obtener la representación temporal por el método de la división larga. En este caso, al
realizar la división se obtiene:
z
z − c
= 1 + cz−1
+ c2
z−2
+ c3
z−3
+ · · ·

22 TRANSFORMADA Z INVERSA
es decir, los coeficientes forman la secuencia:
{xk} = {1, c, c2
, c3
, · · ·} = {ck
}
Ejemplo 2.4
Sea
X(z) =
0,1z2
z2 − 1,9z + 0,9
Si se realiza la división se obtiene:
0,1z2
z2 − 1,9z + 0,9
= 0,1 + 0,19z−1
+ 0,271z−2
+ · · ·
por lo que la secuencia ser´ıa {xk} = {0,1, 0,19, 0,271, · · ·}.
2.5.2. Descomposición en fracciones
El método consiste en descomponer la representación en transformada Z en frac-
ciones simples y aplicar las equivalencias correspondientes a cada fracción. Para ello
basta con buscar en las tablas de la transformada Z. Un detalle a tener en cuenta es
que cuando la transformada Z tiene en su numerador un termino z es mejor descom-
poner X(z)
z
en lugar de X(z) directamente. Si ese término no está presente se puede
descomponer directamente, de manera análoga a lo que se hace con la transformada
de Laplace inversa para sistemas continuos.

Ejemplo 2.5
Sea
X(z) =
(1 − e−aT
)z
(z − 1)(z − e−aT )
Aplicar el método de la descomposción en fracciones simples. Como se tiene el factor
z en el numerador expandimos X(z)
z
:
X(z)
z
=
A
z − 1
+
B
z − e−aT
Se obtiene que A = 1 y B = −1, por tanto
X(z) =
z
z − 1
−
z
z − e−aT
Mirando en la tabla de transformadas Z y sustituyendo se obtiene:
{xk} = {1 − e−akT
}
Ejemplo 2.6
Sea
X(z) =
(1 − e−aT
)
(z − 1)(1 − e−aT )
La descomposición resulta ser
X(z) =
(1 − e−aT
)
(z − 1)(1 − e−aT )
=
1
z − 1
−
1
z − e−aT
Nótese que
1
z − 1
= z−1 z
z − 1
es decir corresponde a un escalón unitario retrasado, {1k−1}. Aplicando al otro término
esta consideración se ve que corresponde con {e−aT(k−1)
}. Por tanto:
{xk} = {1k−1 + e−aT(k−1)
}
Nótese que este tipo de términos aparecerá siempre en sistemas con retardo (en este
caso el retardo es 1).

24 FUNCI ÓN DE TRANSFERENCIA EN Z
2.6. Función de transferencia en Z
La función de transferencia en sistemas discretos cumple el mismo papel que su
homónima en sistemas continuos, es decir, se busca una forma de relacionar la entrada
de un sistema discreto con su salida a través de sus transformadas en Z. Sea un sistema
cuya secuencia de ponderación es {gk} y cuyas secuencias de entrada y salida son {uk}
y {yk} respectivamente (ver figura 2.2). Si denotamos las transformadas Z como
{gk}
{uk} {yk}
Figura 2.2: Secuencias de entrada, salida y ponderación de un sistema.
Y (z) = Z {yk} U(z) = Z {uk} G(z) = Z {gk}
Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.1) y (2.3) se obtiene:
Y (z) = Z {yk} = Z
∞
l=0
gl · {uk−l} = G(z)Y (z)
Luego la relación entre las transformadas en Z de la entrada y la salida es
G(z) =
Y (z)
U(z)
que es la función de transferencia del sistema en transformada Z .
En la práctica, la función de transferencia se puede obtener tomando transformadas
Z en la ecuación en diferencias que modela al sistema:
yk = a1yk−1 + a2yk−2 + · · · + anyk−n + b0uk + b1uk−1 + · · · + bmuk−m
Como esta ecuación se cumple para todo k, se verifica que:
{yk} = a1 ·{yk−1}+a2 ·{yk−2}+· · ·+an ·{yk−n}+b0 ·{uk}+b1 ·{uk−1}+· · ·+bm ·{uk−m}
Usando la transformada Z , se obtiene:
Y (z) = a1z−1
Y (z) + a2z−2
Y (z) + · · · + anz−n
Y (z) + b0U(z) + · · · + bmz−m
U(z)
Sacando factor común se llega a:
G(z) =
Y (z)
U(z)
=
b0 + b1z−1
+ · · · + bmz−m
1 − a1z−1 − · · · − anz−n
Nótese que la función de transferencia es una función racional.

Cap´ıtulo 3
Proceso de muestreo
3.1. Introducción
En este cap´ıtulo se estudiará como se muestrea un sistema continuo al ser controlado
mediante un esquema de control por computador y como este muestreo afecta a la
dinámica del proceso que es percibida por el sistema de control. También se verá como
es posible reconstruir una señal a partir de su equivalente muestreada. Comenzaremos
recordando el esquema de un sistema de control por computador tal y como se muestra
en la figura 3.1. Puede observarse, además de los convertidores digital/analógico y
SINCRONÍA
C. D/A +
M.O.C.
PLANTA C. A/DCOMPUTADOR
REF
SALIDA
PLANTA DISCRETIZADA
T
T
{ek
} {uk
}
MUESTREO
u(t)
y(t)e(t)
Figura 3.1: Esquema de un sistema de control por computador.
analógico/digital que adaptan la señal de formato, dos elementos fundamentales en el
proceso de muestreo: en primer lugar la señal de error solo llega al computador en
determinados instantes de tiempo separados por un tiempo T. Por otra parte la salida
del computador, es decir la señal de control sólo se conecta a la planta en esos mismos
instantes de tiempo. Entre un instante y el siguiente se usa un mantenedor de orden cero
que mantiene la señal de control que se aplica a la planta constante. Por tanto la señal
25

26 REPASO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
de control sólo cambia en los instantes en los que la salida del computador se conecta
a la planta. Esos instantes son los intervalos de muestreo y a T se le llama tiempo de
muestro. La figura 3.2 ilustra el muestreo de una señal continua y la aplicación de un
mantenedor o retenedor de orden cero a la señal muestreada.
Figura 3.2: Muestrador mediante impulsos y mantenedor o retenerdor de orden cero.
En resumen en cuanto al proceso de muestreo hay que:
1. Muestrear la señal continua.
2. Mantener la salida (señal de control) hasta el siguiente periodo de muestreo.
3.2. Repaso de la transformada de Fourier
La transformada de Fourier es un instrumento matemático que resulta útil en el
estudio de señales y sistemas de control. Recordemos que la transformada de Fourier
de una señal periodica fT (t) de periodo T se calcula como:
FT (ωn) =
T
2
−T
2
fT (t)e−jωnt
dt donde ωn =
2π
T
n n = 0, ±1, . . . (3.1)
Por otra parte, la transformada de Fourier inversa o antitransformada, se calcula como:
fT (t) =
1
T
∞
−∞
FT (ωn)ejωnt
=
1
2π
∞
−∞
FT (ωn)ejωnt
∆ω donde ∆ω =
2π
T
(3.2)
En el caso de que la señal a transformar no fuese periódica se considera que el periodo
T tiende a infinito por lo que el sumatorio de la antitransformada se aproxima por una

CAPÍTULO 3. PROCESO DE MUESTREO 27
integral y el término ∆ω se sustituye por dω, de manera que queda:
F(ω) =
∞
−∞
f(t)e−jωt
dt (3.3)
f(t) =
1
2π
∞
−∞
f(ω)ejωt
dw (3.4)
Nótese que F(ω) es un número complejo, por lo que a la hora de representarla se
utilizarán dos gráficas, una para el módulo y otra para la fase.
La transformada de Fourier nos da información sobre la distribución de la energ´ıa
de una señal a lo largo del espectro de frecuencias que esta ocupa. Una diferencia
entre la transformada de una señal periodica y la de otra que no lo es, es que una señal
periódica tiene un espectro de frecuencia finito, mientras que una no periodica presenta
energ´ıa (en mayor o menor medida) en todas las frecuencias.
3.3. Muestreo de sistemas continuos
Considerese el muestreador mediante impulsos que se muestra en la figura 3.2. El
interruptor se cierra cada T segundos. Este esquema funciona de manera que a la salida
se obtiene el resultado de modular la señal original x(t) (llamada señal moduladora)
con un tren de impulsos de periodo T. A este tren de impulsos se le denomina señal
portadora (ver figura 3.3).
Figura 3.3: Muestreador mediante impulsos como moduador.

28 MUESTREO DE SISTEMAS CONTINUOS
La señal portadora tendrá la forma:
p(t) =
∞
−∞
δ(t − kT)
donde δ(t − kT) vale 1 para t = kT y cero en otro caso. La señal muestreada x∗
(t) se
calculará como:
x∗
(t) =
∞
k=0
x(t)δ(t − kT) = x(t) · p(t) (3.5)
Nótese que a la señal x(t) se le corresponde su transformada de Fourier X(ω), mien-
tras que a la señal portadora, por ser periódica le corresponde como transformada de
Fourier:
P(ωn) =
T
2
−T
2
δ(t)e−jωnt
dt = 1 ωn =
2π
T
n
¿ Cual será la relación entre el espectro de la señal muestreada y el espectro de la
señal original ? Según se ha visto en (3.5):
x∗
(t) = p(t) · y(t)
Esto lo podemos usar al hallar X∗
(w):
X∗
(w) =
∞
−∞
x∗
(t)e−jωt
dt =
∞
−∞
x(t) · p(t)e−jωt
dt (3.6)
Teniendo en cuenta que P(ωn) = 1, usando la antitransformada se infiere que
p(t) =
1
T
∞
−∞
ejωnt
LLevando esto a (3.6) se tiene que:
X∗
(w) =
∞
−∞
x(t)
1
T
∞
−∞
ejωnt
e−jωt
dt =
1
T
∞
n=−∞
∞
−∞
x(t)e−j(ω−ωn)t
dt (3.7)
lo que finalmente equivale a:
X∗
(w) =
1
T
∞
n=−∞
X(ω − ωn) ωn =
2π
T
n (3.8)
Lo anterior se puede interpretar como que

El espectro en frecuencia de la señal muestrada x∗
(t) tiene la misma forma
que la de la señal sin muestrar x(t), atenuada por un factor 1
T
y repetida
en la frecuencia cada ∆ω = 2π
T
radianes por segundo.
Esto se ilustra en la figura 3.6. Nótese que para n = 0 entonces ωn = 0 y X∗
(ω0) =
1
T
X(ω).
Figura 3.4: Espectro en frecuencia de una señal muestreada, observándose como se repite el espectro
original atenuado cada ωs = 2π
T .
3.4. Reconstrucción de una señal muestreada
Cuando se habla de reconstruir una señal muestreada se está aludiendo a la tarea de
obtener x(t) a partir de x∗
(ω), es decir a obtener la señal temporal original a partir del
espectro de la muestreada. El proceso desde un punto de vista conceptual ser´ıa simple:
bastar´ıa con poner un filtro paso banda idela de ganancia T centrado en ω0 y esto nos
dar´ıa el espectro en frecuencia de la señal original, es decir X(ω). Este procedimiento
se ilustra en la figura 3.5. A partir de ah´ı, aplicar´ıamos la antitransformada de Fourier
para obtener x(t).
1 |X( )|
T
1/T
Filtro
|X*( )|
Figura 3.5: Uso de un filtro paso banda para obtener el espectro en frecuencia de la señal original a
partir del de la muestreada.

30 RECONSTRUCCI ÓN DE UNA SE ÑAL MUESTREADA
Nótese que este proceso es posible siempre que las repeticiones de X(ω) estén su-
ficientemente separadas. Las repeticiones aparecen cada 2π
T
radianes por segundo, por
lo que si el tiempo de muestreo T crece la separación disminuirá, hasta que llegue un
momento en el que las repeticiones se ((montarán)) unas sobre otras, solapándose y
dejando irreconocible el espectro original (ver figura 3.6). En ese caso no ser´ıa posible
reconstruir la señal original.
Figura 3.6: Espectro en frecuencia de una señal muestreada con una frecuencia de muestreo insuficiente
(tiempo de muestreo demasiado alto) para poder reconstruir la original.
¿ Cual es el tiempo de muestreo máximo a partir del cual se da el solape de las
repeticiones ? Tal y como se ha visto en la sección anterior y se ilustra en la figura 3.4,
las ((centros)) de las repeticiones están separados por ωs = 2π
T
radianes por segundo.
Por otra parte esas repeticiones contendrán energ´ıa hasta una determinada frecuencia
ωc. La figura 3.7 muestra la situación l´ımite a partir de la cual el solape comenzar´ıa a
imposibilitar la reconstrucción. Claramente si ωs es menor que dos veces la mitad de
1/T
|X*( )|
c sc
0
Figura 3.7: Repeticiones en frecuencia del espectro de una señal muestreada en las que el tiempo de
muestreo es el l´ımite para poder reconstruir.
la ((banda de frecuencias)) que ocupa el espectro de la señal original (es dedir que ωc)
se producirá el solape. Por tanto la condición que buscamos es que:
ωs ≥ 2ωc

Este resultado se enuncia en el Teorema de Shannon (tambien llamado teorema del
muestreo):
Teorema 3.1 Teorema de Shannon : La frecuencia ωs a la que debe muestrearse una
señal debe ser al menos el doble de aquella frecuencia más alta ωc para la que el sistema
tiene alguna energ´ıa
Evidentemente como ωs = 2π
T
la condición para que el tiempo de muestreo sea tal que
permita la reconstrucción de la señal es:
T ≤
π
ωc
(3.9)
Por tanto el teorema de Shannon lo podemos reescribir como:
Si una señal no contiene componentes en frecuencias superiores a ωc, puede
ser completamente caracterizada por los valores muestreados en instantes
de tiempo separados por T ≤ π
ωc
.
.
Como regla práctica este resultado no se lleva al l´ımite, pues los filtros distan mucho
de ser ideales, de manera que se suele usar un tiempo de muestreo entre 10 y 20 veces
más rápido que la constante de tiempo caracter´ıstica del sistema continuo.
3.5. Aliasing o enmascaramiento de frecuencias
Este fenómeno se da bajo ciertas condiciones cuando se muestrea una señal a una
tasa inferior a la dictada por el teorema de Shannon y se intenta reconstruir después.
Es evidente que la reconstrucción no será perfecta. El enmascaramiento se da cuando
no sólo no se reconstruye la señal original si no que aparece reconstruida otra señal con
diferente frecuencia. Mas especificamente este problema se da cuando los valores que
se obtienen al muestrear de dos señales diferentes son identicos. Claramente si para dos
señales diferentes se obtienen los mismos valores muestreados, al reconstruir la señal
no se podrán diferenciar entre ellas, de ah´ı el termino ((aliasing)), pues una de ella es
alias de la otra.

32 OBTENCI ÓN DE LA FUNCI ÓN DE TRANSFERENCIA PULSADA
Veamos esto con un ejemplo. Considérese la señal x(t) = sen(t). Si muestreamos la
señal con un tiempo de muestreo T = 3
2
π, por encima del tiempo l´ımite (en este caso
ser´ıa T ≤ π), y reconstruimos la señal (por clarida en este caso uniendo con una linea,
no con un mantenedor) se obtiene lo que se ve en la figura 3.8. Como se puede observar,
0 10 20 30 40 50 60
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 3.8: Ilustración del aliasing.
la señal que se obtiene al muestrear no coincide con la original. Es más su frecuencia es
aproximadamente un quinto de la original y los valores obtenidos coinciden con los que
se obtendrian muestreando la señal x(t) = sen(1
5
t). Por lo tanto la señal x(t) = sen(1
5
t)
ser´ıa una señal alias de la original con este tiempo de muestreo.
3.6. Obtención de la función de transferencia pul-
sada
En esta sección veremos como obtener la función de transferencia discreta G(z)
para un sistema dinámico cuya función de transferencia continua es G(s) y al que se
le muestrea con tiempo T y un mantenedor de orden cero. El hallar directamente la
transformada Z de G(s) no es la solución a esto pues no se está teniendo en cuenta que
hay un mantenedor antes del sistema continuo tal y como ilustra la figura 3.1.
El procedimiento ser´ıa el siguiente:
1. Dado G(S) obtener g(t) mediante la transformada de Laplace inversa.

2. Formar la secuencia de ponderación {gk} = g(kT).
3. Obtener la transformada Z como G(z) = gkz−k
.
En el primer paso hay que tener en cuenta que la función de transferencia G(s) se
obtiene multiplicando la función de transferencia del sistema por la del mantenedor de
orden cero, que es:
H(s) =
1 − e−sT
s
Un procedimiento más cómodo pero menos riguroso ser´ıa el siguiente:
1. Dado G(s) obtener G (s) = G(s)
s
.
2. Obtener la transformada Z de G (s), es decir G (z) (para esto se puede recurrir
a las tablas 2.1 y 2.2).
3. Obtener G(z) = (1 − z−1
)G (z).
Existen en la literatura tablas que directamente obtienen la función de transferencia
pulsada a partir de la función de transferencia continua del sistema.
Ejemplo 3.1
Sea el sistema cuya función de transferencia en continuo es
1
s + a
Obtener la función de transferencia pulsada en discreto.
Ha de tenerse en cuenta la función de transferencia del mantenedor por lo que
G(s) =
1 − e−sT
s
1
s + a
El primer paso será obtener g(t):
g(t) = L−1 1
s(s + a)
−
e−sT
s(s + a)
= L−1 1
s(s + a)
− L−1 e−sT
s(s + a)
Nótese que en la expresión anterior, las funciones a las que se aplica la antitransformada
son la misma, excepto que la segunda es la primera retrasada un tiempo T,por lo

34 OBTENCI ÓN DE LA FUNCI ÓN DE TRANSFERENCIA PULSADA
que calcularemos la primera expresión y luego le restaremos (ya en el dominio z) la
retrasada. La antitransformada se calcula como:
g1(t) = L−1 1
s(s + a)
= L−1 1
a
1
s
−
1
a
1
s + a
=
1
a
(1 − e−at
)
Luego
{g1k
} =
1
a
1 − e−akT
Aplicamos la transformada Z a lo anterior obteniéndose (en este caso se pueden usar
directamente las tablas):
G1(z) =
1
a
Z {1} −
1
a
Z e−akT
=
1
a
z
z − 1
−
z
z − e−aT
Y usando este resultado se puede calcular la función de transferencia pulsada del sis-
tema original:
G(z) = (1 − z−1
)G1(z) = (1 − z−1
)
z
a
1
z − 1
−
1
z − e−aT
=
1
a
1 − e−aT
z − e−aT

Cap´ıtulo 4
Análisis de sistemas muestreados
4.1. Estabilidad en sistemas de control por com-
putador
En esta sección se procederá a presentar un estudio de estabilidad para sistemas
muestreados análogo al que se hace paras sistemas en tiempo continuo. En el caso que
nos ocupa la transformada de Laplace se sustituye por la transformada Z. De la misma
manera, el controlador analógico se sustituye por un computador digital.
En primer lugar recuérdese que la función de transferencia de un sistema expresada
en el dominio Z nos dice que
Y (z) = G(z)U(z) (4.1)
siendo G(z) la función de transferencia el cociente de polinomios
G(z) =
Y (z)
U(z)
=
b0 + b1z−1
+ · · · + bmz−m
1 + a1z−1 + · · · + anz−n
Supóngase asi mismo que la señal de entrada U(z) es otro cociente de polinomios, es
decir
U(z) =
Nu(z)
Du(z)
Teniendo en cuenta las expresiones anteriores en la ecuación (4.1) se tiene que
Y (z) =
b0zn
+ b1zn−1
+ · · · + bmzn−m
zn + a1zn−1 + · · · + an
·
Nu(z)
Du(z)
=
N(z)
(z − p1) · · · (z − pn)
·
Nu(z)
(z − pu1 ) · · · (z − pum )
35

36 ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL POR COMPUTADOR
Descomponiendo en fracciones simples se obtiene que
Y (z) =
A1
z − p1
+
A2
z − p2
+ · · · +
An
z − pn
+
Bu1
z − pu1
+ · · · +
Bum
z − pum
(4.2)
Por otra parte es conocido que la antitransformada Z de la expresión
z
z − a
es la secuencia
ak
Este resultado lo podemos explotar para obtener la secuencia correspondiente a las
fracciones simples obtenidas en (4.2) pues es evidente que
Ai
z − pi
= Aiz−1 z
z − pi
Multiplicar por Ai implica un escalado, mientras que multiplicar por z−1
supone atrasar
en un tiempo de muestreo la secuencia, luego la antitransformada de las fracciones
simples de (4.2) es
Aipk−1
i (4.3)
Luego cada la antitransformada de Y (z), es decir la secuencia {yk} será igual a la suma
de una serie de términos de la forma (4.3).
A partir de estos resultados ¿como determinar si un sistema es estable o inestable?
Dado que la secuencia {yk} es la suma de una serie de términos, dicha secuencia será es-
table si todos los términos son a su vez estables. Con solo un término inestable la
secuencia {yk} ser´ıa inestable. ¿De que depende la estabilidad de cada término? La
respuesta a esta pregunta es que la estabilidad de cada término depende del valor de
pi, es decir del valor de los polos. La figura 4.1 muestra la evolución de una secuencia
de la forma (4.3) para distintos valores de pi. Puede observarse que los términos que
se amortiguan son aquellos en los que −1 < p < 0 y 0 < p < 1. Se comprueba que
pk
= signo(p)k
· |p|k
y para que esa expresión tienda a cero debe cumplirse que el módulo de p sea menor
que uno (esto también es válido por supuesto para polos complejos). Este resultado lo
resumimos en la siguiente propiedad.
Propiedad 4.1 Un sistema descrito por una función de transferencia G(z) es estable
si y sólo si el módulo de todos sus polos es menor que uno, es decir si todos los polos
pertenecen estrictamente al c´ırculo unidad (c´ırculo de radio uno centrado en p = 0)
ilustrado en la figura 4.2.

CAPÍTULO 4. AN ÁLISIS DE SISTEMAS MUESTREADOS 37
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 < p < 1
0 2 4 6 8 10
1
1.5
2
2.5
3
p > 1
0 2 4 6 8 10
−0.5
0
0.5
1
−1 < p < 0
0 2 4 6 8 10
−3
−2
−1
0
1
2
3
p < −1
Figura 4.1: Evolución de una secuencia de la forma (4.3) para distintos valores de pi.
Figura 4.2: Frontera de la región de estabilidad en el plano z.

Si hay un polo fuera del c´ırculo unidad, es decir |pi| > 1, el término correspondiente
no se amortiguará con lo que el sistema no será estable.
En el estudio de sistemas continuos el resultado de estabilidad más conocido es-
tablece que un sistema es estable si todos sus polos tienen parte real negativa. ¿Es esto
equivalente al resultado enunciado en la propiedad 4.1? Recuérdese que
z = eTms
Tómese un punto de la frontera de estabilidad del plano s, es decir un punto en el eje
imaginario del plano s. Estos puntos son los que cumplen que
s = jω
es decir con parte real igual a cero. Esto supone que
z = eTmjω
= 1∠Tmω
es decir, z es un número complejo de módulo unidad y argumento Tmω. Por tanto un
punto en la frontera de estabilidad del plano s se transforma en un punto en la frontera
de estabilidad del plano z.
¿ Que ocurre si tenemos un punto en el plano s con parte real distinta de cero ? Ese
punto tendrá la forma s = σ + jω, por lo que su correspondencia en el plano z será
z = eTms
= eTm(σ+jω)
= eTmσ
· eTmjω
lo que implica que
z = eTmσ
∠Tmω
o lo que es lo mismo un número complejo con módulo eTmσ
y argumento Tmω. Si
consideramos que σ es constante y variamos ω, esto nos da un c´ırculo de radio eTmσ
. Si
σ es mayor que cero, el punto en el plano s corresponde a la zona inestable. El c´ırculo
correspondiente en el plano z tendr´ıa módulo mayor que la unidad, pues eTmσ
> 1 para
σ > 0. Si σ es menor que cero, entonces es facil ver que eTmσ
< 1, por que e estar´ıa
elevado a un exponente negativo. Por tanto el c´ırculo asociado ser´ıa de modulo inferior
a la unidad y por tanto el punto en la región estable del plano s se transformar´ıa en
un punto estable en el plano z.
¿ Que ocurre para el caso de s = 0 ? En este caso z = eTm·0
= 1, por lo que se
transforma en z = 1. Esto nos indica que un polo en cero en continuo, es decir un
polo integrador, corresponde a un polo en z = 1 para un sistema en tiempo discreto.
Análogamente es fácil ver que si s = −∞, la transformación correspondiente es z =
0. Finalmente partiendo de estos dos resultados se puede comprobar, que, la parte
negativa del eje real en el plano s (es decir todos los valores reales de s desde s = 0
hasta s = −∞), se transforma en la parte del eje real del plano z que va desde z = 1
hasta z = 0.

4.1.1. El criterio de estabilidad de Jury
Tal y como se ha explicado anteriormente, un sistema en tiempo discreto es estable
si todas las raices del denominador están dentro del c´ırculo unidad ¿Como averiguar si
esta condición se cumple? Hallar todas las raices del polinomio y comprobar su valor es
la respuesta más evidente a esta pregunta, pero no siempre es posible. En esta sección
se verá el criterio de Jury, debido a Schur, Cohn y Jury. Dicho criterio lo podemos ver
como el equivalente en tiempo discreto al criterio de Routh-Hurwitz. Su propósito es
el de aseverar si todas las raices de un determinado polinomio en z están dentro del
c´ırculo unidad sin tener que calcularlas. Sea un polinomio en z
A(z) = a0zn
+ a1zn−1
+ · · · + an = 0
El criterio de Jury se basa en la construcción de una tabla, cuyas dos primeras filas
son los coeficientes de A(z) en orden directo e inverso, es decir
a0 a1 · · · an−1 an
an an−1 · · · a1 a0
Una tercera fila se calcula restando a los elementos de la primera fila los de la
segunda multiplicados cada uno por αn = an
a0
, resultando
a0 a1 · · · an−1 an
an an−1 · · · a1 a0
an−1
0 an−1
1 · · · an−1
n−1 0
A continuación se añade una cuarta fila formada por los coeficientes de la tercera
fila (excepto el último) escritos en orden inverso:
a0 a1 · · · an−1 an
an an−1 · · · a1 a0
an−1
0 an−1
1 · · · an−1
n−1 0
an−1
n−1 an−1
n−2 · · · an−1
0
Una quinta linea se obtiene restando a la tercera fila los elementos de la cuarta
multiplicados por αn−1 =
an−1
n−1
an−1
0
, obteniendo:

a0 a1 · · · an−1 an
an an−1 · · · a1 a0
an−1
0 an−1
1 · · · an−1
n−1 0
an−1
n−1 an−1
n−2 · · · an−1
0
an−2
0 an−2
1 · · · 0
El proceso continuar´ıa añadiendo una sexta fila formada por los coeficientes de la
quinta (menos el último) escritos en orden inverso, etc . . . hasta que al final se obtendr´ıa
una tabla con 2n + 1 filas:
a0 a1 · · · an−1 an
an an−1 · · · a1 a0
an−1
0 an−1
1 · · · an−1
n−1 0
an−1
n−1 an−1
n−2 · · · an−1
0
an−2
0 an−2
1 · · · 0
an−2
n−2 an−2
n−3 · · ·
...
a0
0
En general los elementos de la tabla se calculan mediante la expresión:
ak−1
i = ak
i − αkak
k−i siendo αk =
ak
k
ak
0
Teorema 4.1 Si a0 > 0 entonces el polinomio A(z) tiene todas las raices dentro del
c´ırculo unidad si y solo si todos los ak
0 con k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 son positivos. Además,
si ningún ak
0 es cero, entonces el número de valores ak
0 negativos es igual al número de
raices de A(z) que están fuera del c´ırculo unidad.
Corolario 4.1.1 Si todos los ak
0 para k = 1, . . . , n − 1 (nótese que se excluye k = 0)
son positivos, entonces la condición a0
0 > 0 es equivalente a las condiciones:
A(1) > 0 (−1)n
A(−1) > 0
Estas condiciones son necesarias para la estabilidad, por lo que se pueden usar antes
de formar la tabla.

Ejemplo 4.1
Estabilidad de un sistema de segundo orden genérico. Considérese la ecuación carac-
ter´ıstica:
A(z) = z2
+ a1z + a2 = 0
Se forma la tabla:
1 a1 a2
a2 a1 1
α2 = a2
1 − a2
2 a1(1 − a2) 0
a1(1 − a2) 1 − a2
2
α1 = a1
1+a2
1 − a2
2 −
a2
1(1−a2)
1+a2
0
De esta tabla se desprende que todas las raices estarán en el c´ırculo unidad si
1 − a2
2 > 0
1 − a2
2 −
a2
1(1−a2)
1+a2
> 0
que a su vez es equivalente a
a2 < 1
a2 > −1 + a1
a2 > −1 − a1
Estas condiciones se cumplen en un triangulo en el espacio de coeficientes del polinomio
caracter´ıstico. Dicho triángulo se ilustra en la figura 4.3.
4.2. Respuesta transitoria: relación con el diagrama
de polos
En esta sección se verá los distintos tipos de respuesta transitoria de sistemas dis-
cretos en función de la posición de los polos. Como ya se ha visto en la sección 4.1,
los sistemas cuyos polos estén fuera del circulo unidad son inestables y sus respuestas
transitorias son inestables. Los que estén dentro del circulo unidad serán estables y la
respuesta se amortigua, mas o menos lentamente dependiendo de lo cerca que estén
de la frontera de estabilidad. Los que esten en la frontera de estabilidad producirán
una respuesta oscilatoria estable en el sentido de que permanece acotada pero no se
amortiguará. Las figuras 4.4 y 4.5 muestran las distintos casos para polos en el plano

42 RESPUESTA TRANSITORIA: RELACI ÓN CON EL DIAGRAMA DE POLOS
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
a
1
a
2
Figura 4.3: Región del espacio de coeficientes de un polinomio de la forma z2
+ a1z + a2 = 0 en la que
las raices están dentro del c´ırculo unidad.
s y sus equivalentes en el plano z. Puede observarse que las respuestas la forma de las
respuestas se preserva al muestrear pero también como la posición de los polos cambia.
Por otra parte, es interesante también observar como va variando la respuesta im-
pulsional de un sistema en función de la localización de sus polos. En la figura 4.6 puede
observarse que en el caso de que los polos estén en el eje real, la respuesta impulsional
será oscilatoria en la parte negativa y no oscilatoria en la parte positiva. Como es lógico
fuera del c´ırculo unidad la respuesta es siempre inestable. Por otra parte si los polos son
complejos conjugados en el eje imaginario, puede observarse (ver figura 4.7) que son
siempre oscilatorios, tardándose más en amortiguar la respuesta conforme se acercan
a la frontera de la región de estabilidad. En el caso de sistemas en los que los polos
sean complejos conjugados y estén dentro del circulo unidad la respuesta será siem-
pre estable y oscilatoria (ver figura 4.8), salvo en el caso en el que la parte real sea
positiva, en el que conforme la parte imaginaria se hace más pequeña el caracter oscila-
torio disminuye. Finalmente, cuando los polos están en el cirtulo unidad la respuesta
es oscilatoria y no se amortigua, aunque la frecuencia de las oscilaciones depende de la
posición de los polos (ver figura 4.9). Fuera del circulo unidad la respuesta impulsional
será oscilatoria e inestable.

Figura 4.4: Respuestas transitorias correspondientes a la localizaci´on de varios polos complejos con-
jugados en el plano s (a). Respuestas transitorias a los correspondientes polos discretos (b).

Figura 4.5: Respuestas transitorias correspondientes a la localizaci´on de varios polos complejos conju-
gados en los l´ımites de las franjas periodicas del plano s (c). Respuestas transitorias a los correspon-
dientes polos discretos (d).

Figura 4.6: Respuestas ante un impulso para un sistema con un polo en el eje real.

Figura 4.7: Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados en el eje imaginario.

Figura 4.8: Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados dentro del circulo
unidad.

Figura 4.9: Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados en el circulo unidad.

4.3. Errores en regimen permanente
En esta sección se estudiará el error en regimen permanente que presenta un sistema
frente a distintos tipos de entradas. Considérese un sistema cuya función de transfe-
rencia es G(z) y que tiene como entrada una secuencia {rk} que provoca la aparición
a la salida de la secuencia {yk}. Se define como secuencia de error {ek} la secuencia
diferencia entre las dos anteriores, es decir , la que cumple que
ek = rk − yk
Aplicando la transformada Z y teniendo en cuenta el concepto de función de transfe-
rencia se obtiene
E(z) = R(z) − Y (z) = R(z) − G(z)R(z) = (1 − G(z))R(z)
Aplicando el teorema del valor final, se tiene que
e∞ = l´ım
z→1
(1 − z−1
)ek
Supóngase que se aplica al sistema como entrada un escalón unitario, cuya transformada
Z es
R(z) =
z
z − 1
El error en regimen permanente lo calcularemos como
erpescalón = l´ım
z→1
z
z
(1 − z−1
)(1 − G(z))R(z) = l´ım
z→1
z−1
z
(1 − G(z)) z
z−1
= l´ım
z→1
(1 − G(z)) = 1 − l´ım
z→1
b0+b1z+···+bmzm
a0+a1z+···+anzn
= 1 −
m
i=0
bi
n
i=0
ai
Ejemplo 4.2
Sea el sistema
G(z) =
0,2
z − 0,9
El error en regimen permanente frente a una entrada escalón es
erpescalón = 1 −
0,2
1 − 0,9
= −1

50 ERRORES EN REGIMEN PERMANENTE
Ejemplo 4.3
Sea un sistema de primer orden cualquiera
yk = ayk−1 + buk−1
determinar las condiciones para que tenga error en regimen permanente nulo frente a
una entrada escalón.
En este caso la función de transferencia es
G(z) =
b
z − a
Y el error en regimen permanente será
erpescalón = 1 −
b
1 − a
=
1 − a − b
1 − a
luego el error será cero si b = 1 − a.
4.3.1. Errores en regimen permanente para sistemas en bucle
cerrado
El caso más interesante es el de los errores para sistemas en bucle cerrado. Supong-
amos un sistema cuya función de transferencia en bucle abierto es G(z) y que se coloca
en la configuración usual de bucle cerrado con realimentación unitaria. En este caso se
cumple que
Y (z) = G(z)E(z) donde E(z) = R(z) − Y (z)
y de ah´ı se deduce que
E(z) = R(z) − G(z)E(z) que reordenando es igual a E(z) =
1
1 + G(z)
R(z)
Supongamos una entrada en escalón. En este caso el error en regimen permanente
será
erpescalón = l´ım
z→1
z−1
z
E(z) = l´ım
z→1
z−1
z
1
1+G(z)
R(z)
= l´ım
z→1
z−1
z
1
1+G(z)
z
z−1
= 1
1+ l´ım
z→1
G(z)
Definimos Kp = l´ım
z→1
G(z) y la expresión del error en régimen permanente frente a
entrada escalón será
erpescalón =
1
1 + Kp

Nótese que Kp es en realidad la ganancia estática del sistema, por lo que según la
expresión anterior a mayor ganancia, menor error en régimen permanente. Por otra
parte si se desea que el error en regimen permanente frente a escalón sea cero, Kp debe
ser infinita. Eso se consigue si G(z) tiene un polo en z = 1. Este tipo de sistemas se
llama sistemas de tipo 1, y de manera más general se considera la siguiente definición:
Definición 4.1 Se llama tipo de un sistema al número de polos en z = 1 que tiene
dicho sistema.
Nótese que un polo en z = 1 se corresponde con un polo en s = 0 para sistemas en
tiempo continuo, por lo que esta definición es congruente con la que se da para sistemas
continuos.
Veamos a continuación el error en régimen permanente cuando la entrada es una
rampa. En este caso la transformada Z de la señal de entrada es:
R(z) =
zT
(z − 1)2
por lo que el error en regimen permanente se puede calcular como:
l´ım
z→1
z − 1
z
1
1 + G(z)
zT
(z − 1)2
= l´ım
z→1
1
(z−1)
zT
+ (z−1)G(z)
zT
=
1
l´ım
z→1
(z−1)G(z)
zT
=
1
Kv
donde Kv = l´ım
z→1
(z−1)G(z)
zT
. Veamos cuanto vale el error en función del tipo del sistema.
Si el sistema es tipo 0, no tendrá ningún polo en z = 1, por lo que el factor (z − 1) no
se cancela y Kv = 0. Esto implica que el error en regimen permanente es infinito. Si el
sistema es tipo 1, el factor (z − 1) se cancela y Kv tiene un valor distinto de cero pero
finito. Por tanto el error en regimen permanente es finito. Por otra parte si el sistema
es de tipo 2 Kv = ∞ y el error en regimen permanente es nulo en este caso.
Otra señal de entrada común es la entrada en parábola. Siguiendo los procedimientos
anteriores se puede demostrar fácilmente que en este caso se puede definir:
Ka = l´ım
z→1
1
T2
(z − 1)2
G(z)
y comprobar que el error en regimen permanente es infinito para sistemas de tipo 0 y
1, 1
Ka
para sistemas de tipo 2 y cero para sistemas de tipo superior. Todo lo anterior
se puede resumir en la siguiente tabla:
Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2
errpescalón
1
1+Kp
0 0
errprampa ∞ 1
Kv
0
errpparábola ∞ ∞ 1
Ka

52CARACTERÍSTICAS FRECUENCIALES. CORRESPONDENCIA ENTRE EL PLANO S Y EL PLANO Z
4.4. Caracter´ısticas frecuenciales. Correspondencia
entre el plano s y el plano z
Recuérdese que por definición
z eTs
por lo que es evidente que los valores de z que corresponden a un valor dado de s
dependen del tiempo de muestreo. Por otra parte la variable compleja s es equivalente
a s = σ + jω, por tanto
z eT(σ+jω)
= eTσ
· ejωT
Es decir el módulo de s es eTσ
y la fase ejωT
. Por las propiedades de los números
complejos:
z eTσ
· ej(ωT+2πk)
k = 0, ±1, ±2, . . .
Considérese ahora la frecuencia de muestreo ωs = 2π
T
. Sea un número s1 del plano s, y
sea s2 otro número que se diferencia de s1 por un múltiplo de la frecuencia de muestreo
en el eje imaginario, es decir
s2 = s1 +
2π
T
j
El valor en el plano z que le corresponde a s2 será
z2 = eTs2
= eTs1
e2πj
= z1e2πj
= z1
Luego
A puntos del plano s que difieran en múltiplos de la frecuencia de muestreo
en el eje imaginario le corresponden el mismo lugar en el plano z. Cualquier
punto en el plano z tiene infinitos equivalentes en el plano s.
Este resultado tiene como consecuencia que sólo una determinada región del plano
s es la que resulta de interés. Esta región conocida como franja primaria es la que
está entre j ωs
2
y −j ωs
2
o lo que es lo mismo entre los números con fase 2π
2T
T = π y −π
(ver figura 4.10). Por encima y por debajo de esa franja tendr´ıamos infinitas franjas
complementarias en la que los números tienen los mismos equivalentes en z que los
correspondientes en la franja primaria.
Centrando la atención en la franja primaria, considérese la figura 4.11a. Se definen
en ella una serie de puntos de interes en el plano s, de los que veremos cual es su
equivalente en el plano z. Dichos puntos ser´ıan:

Figura 4.10: Regiones de interes en el plano s.
1. El punto s = 0 se transforma en z = e0
= 1.
2. El punto s = j ωs
2
se transforma en z = ej ωs
2
T
= ejπ
o lo que es lo mismo un punto
con módulo uno y fase π (180 grados).
3. Un punto s = −∞ + j ωs
2
se transforma en z = e−∞
ej ωs
2
T
, es decir un número con
módulo tendiendo a cero y fase π.
4. Un punto s = −∞ − j ωs
2
se transforma en z = e−∞
e−j ωs
2
T
, es decir un número
con módulo tendiendo a cero y fase −π.
5. El punto s = −j ωs
2
se transforma en z = e−jπ
, es decir un punto con módulo uno
y fase −π.
Estos puntos equivalentes se muestran en la figura 4.11b. Si se repite esta análisis para
puntos equivalentes en otras franjas se verá que el resultado es el mismo.
4.4.1. Otras correspondencias
Veamos algunas correspondencias interesantes.

Figura 4.11: Puntos de interes en la franja primaria del plano s.

Eje imaginario. Como ya se ha visto anteriormente la frontera de la región de
inestabilidad del plano s se transforma en el circulo unidad, que es la frontera de
la región de estabilidad del plano z (ver figura 4.2).
Eje real. En el eje real del plano s se cumple que s = σ. Si σ ≥ 0 entonces
z = eσT
luego el módulo de z es eσT
> 1 y la fase es cero. En caso de que σ < 0
entonces el módulo de z está entre 0 y 1 y la fase sigue siendo 0. Esto implica
que el eje real del plano s se transforma en la parte positiva del eje real del plano
z de manera que de 0 a 1 está la parte negativa del eje real en s y a partir de 1
la parte positiva.
Lugares de atenuación constante. La atenuación, calculada como δ · ωn
está relacionada con el tiempo de establecimiento (calculado como 3
δ·ωn
. En el
plano s los lugares de atenuación constante son, como se ilustra en la figura 4.12,
son l´ıneas verticales con parte real σ1 y parte imaginaria desde −∞ a ∞. Eso
implica que se transforma en números z cuyo módulo es eσ1T
y fase de 0 a 2π.
El lugar geométrico del plano z es por tanto una circunferencia de radio eσ1T
y
centrada en z = 0 (ver figura 4.12). El interior de la circunferencia corresponde
a los puntos de s con atenuación inferior a σ1. Por otra parte si la atenuación
es superior a cero el radio es superior a 1, mientras que en el caso de de ser la
atenuación inferior a cero, el radio es inferior a 1.
zs
1 =
1 1
Figura 4.12: Lugares de atenuación constante en el plano s y z.
Lugares de frecuencia constante. En este caso los números en el plano s
forman una l´ınea horizontal (ver figura 4.13) de la forma s = σ + jω1. Estos
números se transforman en z = eσT
·ejω1T
. Esto es una recta (ver figura 4.13) que
parte de z = 0 con ángulo determinado por la fase omega1T y que para σ = −∞

le hace corresponder z = 0 mientras que conforme σ crece el módulo del número
z correspondiente sobre la recta crece.
zs
j
1
1T
∞=σ
−∞=σ
Figura 4.13: Lugares de frecuencia constante en el plano s y z.
Lugares de factor de amortiguamiento ζ constante. El factor de amor-
tiguamiento ζ en sistemas continuos de segundo orden está relacionado con el
denominador de la función de transferencia:
D(s) = s2
+ 2ζωns + ω2
n
Los lugares de amortiguamiento constante en el plano s son rectas (ver figura
4.14) dadas por s = −ζωnT + jωdT, donde ωd = 1 − ζ2ωn. La transformación
en z es z = e(−ζωn+jωd)T
, cuyo módulo y fase resulta ser:
|z| = e
− 2πζ√
1−ζ2
ωd
ωs
∠z = 2πωd
ωs
donde ωs = 2π
T
. La curva que describen estos números al variar ωn se llama espiral
logar´ıtmica. Dicha curva, representada para frecuencias entre 0 ≤ ω ≤ 1
2
ωs y
diversos valores de ζ, se muestra en la figura 4.15. Para valores de la frecuencia
entre −1
2
ωs ≤ ω ≤ 0, las curvas son imágenes especulares de 4.15.
Lugares de frecuencia natural ωn constante. Como se muestra en la figura
4.14 los lugares de frecuencia natural constante en el plano s son c´ırculos per-
pendiculares a los lugares de amortiguación constante. La transformación de s
en z es un mapeo conforme que preserva los ángulos entre lugares, por lo que
los lugares de frecuencia natural constante serán también perpendiculares en z.
La figura 4.16 muestra ambos lugares en el plano z para diversos valores de ζ y
ωn. Nótese que los lugares para frecuencias entre −1
2
ωs ≤ ω ≤ 0, también son
imágenes especulares de 4.16.

Figura 4.14: Lugares de amortiguaci´on y frecuencia natural constante en el plano s.
Figura 4.15: Lugares de amortiguaci´on constante en el plano z.

Figura 4.16: Lugares de amortiguaci´on y frecuencia natural constante en el plano z.

Cap´ıtulo 5
Diseño de controladores discretos
5.1. Discretización de reguladores continuos
A la hora de diseñar un controlador en tiempo discreto es frecuente partir de un
controlador continuo obtenido mediante los métodos clásicos y discretizar éste último,
en lugar de realizar el diseño directamente en tiempo discreto. El resultado de esta
discretización es implementado despues en forma de programa en un computador.
El caso más común (y el que trataremos aqu´ı) es el de los controladores PID, cuya
expresión en tiempo continuo es
u(t) = Kp

e(t) +
1
Ti
t
0
e(τ)dτ + Td
de(t)
dt


donde u(t) es la entrada que se aplica en el instante t y e(t) = y(t) − ref(t), es decir
la diferencia entre la salida y la referencia a seguir en t. Es importante destacar que el
resultado que se obtiene al aplicar la discretización es una aproximación del controlador
original. Para obtener dicha aproximación se pueden usar diferentes alternativas.
Comentario 5.1 En este tema se supone que el lector está familiarizado con la sin-
ton´ıa de controladores PID continuo, que normalmente se suele hacer a partir de las
reglas de Ziegler-Nichols. Estas reglas se resumen en la siguiente tabla:
59

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