RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD DE RAZONAMIENTO?

II Congreso Internacional
sobre profesorado
principiante e inserción
profesional a la docencia
El acompañamiento a los docentes noveles:
prácticas y concepciones
Buenos Aires, del 24 al 26 de febrero de 2010

II Congreso Internacional sobre profesorado principiante e inserción profesional a la docencia
Andino, Gabriela Beatriz - Quiroga Villegas, Fernando Javier
Baracco, Marcela Natalia - Miro Edermann, Silvia Marcela 2
Eje temático: Investigaciones y experiencias de iniciación a la docencia.
Particularidades de los diferentes ámbitos de inserción
Reporte de investigación
RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD
DE RAZONAMIENTO?
Andino, Gabriela Beatriz
DNI 17493056
gandino@fices.unsl.edu.ar
Quiroga Villegas, Fernando Javier
DNI 23202715
javierqv@fices.unsl.edu.ar
Baracco, Marcela Natalia
DNI 24990255
mbaracco@ fices.unsl.edu.ar
Miro Edermann, Silvia Marcela
DNI 92645101
smiro@fices.unsl.edu.ar
Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico Sociales (FICES)
Universidad Nacional de San Luis (UNSL)
Palabras clave: resolución de problemas, experiencia docente, habilidad de
razonamiento.
Resumen
«Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada
encuentra una excusa». (Proverbio chino)
El presente trabajo refleja la experiencia y resultados alcanzados al incorporar a
un grupo de trabajo, auxiliares de docencia que se inician en carreras de Ingeniería que
se dictan en la FICES de la UNSL. Ante la falta de recursos humanos para el curso de
nivelación en Matemáticas se insertaron nuevos auxiliares de docencia en el “Curso de
nivelación en Matemática para ingresantes con metodología de Resolución de
Problemas” (presentado y aprobado por PROMEI II) implementado para alcanzar los
estándares establecidos en el CONFEDI. El trabajar con una nueva metodología y la
renovación del equipo docente brindó a la modalidad una visión diferente a la
desarrollada en el primer año del proyecto (2007), ésto permitió detectar, aportar
alternativas y actividades para el desarrollo del proyecto basado en 4 pasos propuestos
por Pólya para la resolución de problemas: 1. Entender el problema. 2. Configurar un
plan. 3. Ejecutar el plan. 4 Verificar la respuesta. Observamos que a partir de la
resolución de diferentes situaciones problemáticas se pusieron en juego la integración de

distintos conocimientos, algunos matemáticos otros no, mecanismos personales,
motivaciones y dedicación, logrando al final del proceso una situación placentera
reflejada en la producción de los alumnos y en el replanteo del proyecto original
concluyendo en las potencialidades que brinda la resolución de problemas para aprender
a razonar y mejorar la habilidad de razonamiento. Siendo esta última una incumbencia
requerida para un futuro profesional de ingeniería.

RESOLVER PROBLEMAS ¿MEJORA LA HABILIDAD
DE RAZONAMIENTO?
Introducción
Esta experiencia de trabajar en el Curso Nivelación con una nueva metodología
comenzó en el año 2007. El proyecto fue presentado y aprobado por el PROMEI II
teniendo como objetivo principal el cumplir con los estándares establecidos por el
CONFEDI y el obtener mejores resultados en los ingresantes en cuanto a su nivel
académico en matemática al iniciar una carrera universtaria. Este curso se dictó a las
carreras de Ingeniería Industrial e Ingeniería Electrónica.
Ante todo, debemos tener en claro la diferencia entre lo qué es un ejercicio y lo
qué es un problema. Para resolver un ejercicio, se ejecuta un procedimiento de rutina con
el objeto de llegar a una respuesta. En cambio, para resolver un problema, se requiere
una pausa, reflexionar y se pueden realizar pasos originales para obtener la respuesta.
Dichos pasos originales pueden ser muy creativos, siempre y cuando se respete la teoría
matemática con sus leyes, teoremas, principios, propiedades; no interesa si son
pequeños o grandes esos pasos creativos, en sí esos pasos creativos constituyen la
característica que diferencia un problema de un ejercicio.
Realizar ejercicios tiene su valor en el aprender matemáticas y lo que se aprende
con ellos (conceptos, propiedades, procedimientos), se podrá poner en práctica en la
resolución de problemas.
Este curso se pensó en la metodología de resolución de problemas basado en los
cuatros pasos de Pólya, a saber: 1. Entender el problema. 2. Configurar un plan. 3.
Ejecutar el plan. 4 Verificar la respuesta. También se consideró la Teoría del Aprendizaje
Significativo de David Ausel. Y finalmente se integraron estos conceptos con la habilidad
de razonamiento con el fin de contestar la pregunta que titula la experiencia realizada:
Resolver problemas ¿mejora la habilidad de razonamiento?
Retomando los 4 pasos de Pólya, se presentan las preguntas pertinentes a cada
uno de los ellos:
Paso 1: Entender el Problema
1.- ¿Entiendes todo lo que dice?
2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3.- ¿Distingues cuáles son los datos?
4.- ¿Sabes a qué quieres llegar?
5.- ¿Hay suficiente información?

6.- ¿Hay información extraña?
7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una
estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2.- Usar una variable.
3.- Buscar un Patrón.
4.- Hacer una lista.
5.- Resolver un problema similar más simple.
7.- Hacer un diagrama
8.- Usar razonamiento directo.
9.- Usar razonamiento indirecto.
10.- Usar las propiedades de los Números.
11.- Resolver un problema equivalente.
12.- Trabajar hacia atrás.
13.- Usar casos.
14.- Resolver una ecuación.
15.- Buscar una fórmula.
16.- Usar un modelo.
17.- Usar análisis dimensional.
18.- Identificar sub-metas.
19.- Usar coordenadas.
20.- Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el
problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita
una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el
foco cuando menos lo esperes!).
3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una
nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Verificar la respuesta.
1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
2.- ¿Adviertes una solución más sencilla?
3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

En el proceso de aprendizaje, es importante conocer la estructura cognitiva del
alumno, no sólo la cantidad de información que posee sino también los conceptos,
proposiciones que maneja. Con respecto a esto, Ausubel dice: “Si tuviese que reducir
toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría éste: El factor más importante
que influye en el aprendizaje es lo que alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese
consecuentemente”.
Un aprendizaje es significativo cuando los contenidos son relacionados con lo que
el alumno ya sabe. Las ideas se conectan con algún aspecto existente de la estructura
cognoscitiva del alumno, como una imagen, un símbolo, un concepto o una proposición.
O sea que, se debe considerar lo que el individuo ya sabe, de forma tal que
realice una relación con lo que debe aprender. El proceso de aprendizaje tendrá lugar,
siempre y cuando existan en la estructura cognitiva del alumno ideas, proposiciones
estables y definidos con los cuales la nueva información podrá interactuar.
Esta interacción entre la nueva información y los conocimientos más importantes
de la estructura cognitiva, es la característica más relevante del aprendizaje significativo.
Actualmente, los estudiantes se están desenvolviendo en un ámbito educativo que
no es satisfactoriamente óptimo para el desarrollo de las habilidades de pensamiento
lógico: pensar, entender, analizar. Se observan limitaciones educativas que no favorecen
la elaboración de conceptos y procesos de pensamiento como: análisis, síntesis y la
solución de problemas.
La resolución de problemas juega un papel muy importante en la enseñanza-
aprendizaje de la matemática, permite el desarrollo de la capacidad de resolver
problemas y el desarrollo del pensamiento lógico y creador.
Además de los cuatro pasos de Polya, es interesante tener en cuenta las
siguientes sugerencias realizadas por alumnos que han tenido éxito en la integral tarea y
no tan sencilla, de resolver problemas:
1.- Acepta el reto de resolver el problema.
2.- Reescribe el problema en tus propias palabras.
3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar…
4.- Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias.
5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no
dudes en tomarte un descanso –el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de
nuevo.
7.- Analiza el problema desde varios ángulos.
8.- Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar.

9.- Muchos problemas se pueden resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar
una para tener éxito.
10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de
ellos, su confianza crecerá.
12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que
realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo
dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza
en el trabajo de solución.
13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso
clave en tu solución.
14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas
entenderla si la lees 10 años después.
15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran
ayuda para uno mismo. No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias
significativas.
16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.
El rol del docente en el aula es muy importante, no sólo como guía del alumno,
sino también promoviendo actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico. No se les
debe proporcionar absolutamente toda la información, el conocimiento, las herramientas
para llegar exitosamente a la solución del problema o determinar que no existe solución o
que es un problema de solución abierta. El estudiante debe ir haciendo sus propias
conjeturas, e ir avanzando hacia la solución del problema. Hay que permitirles aprender a
conjeturar y a comprobar. El docente guía debe enseñarles a descubrir el patrón general
presente en la situación problemática que están tratando de resolverla, con el fin de que
lo utilizado y/u obtenido sea útil en otros problemas futuros.
Metodología
Las clases de este curso se dictan tres días a la semana. Generalmente, en cada
día, primero se da la teoría y luego la práctica, según las actividades realizadas por los
alumnos. Los temas que se desarrollan: números reales, ecuaciones de primer grado con
una variable y trigonometría plana, conceptos básicos, son dictados por la profesora
responsable; dichos temas son revisión de la escuela media.
El material elaborado se basa en el texto de Rodríguez Ahumada, José;
Caraballo, Angel; Cruz, Teresa; Hernández, Omar. (2000). Razonamiento Matemático:

Fundamentos y Aplicaciones, Segunda Edición. Thomson Internacional Publising /
Wadsworth, Inc., California.
Se pide en este curso: asistencia y puntualidad (80% mínimo de asistencia),
registro de actividades aúlicas individuales y grupales, realización de tareas extra-aúlicas,
evaluaciones de actividades tanto individuales como grupales, uso de recursos
tecnológicos como calculadora y computadora.
Para las clases prácticas, los alumnos se dividen en dos grupos y trabajan con
una guía teórico-práctica elaborada por los integrantes que dictan el curso. En cada
clase, se les indica cuáles actividades deben realizar en clase y cuáles deben entregar la
próxima clase. En el aula se les permite trabajar en grupo, reconociendo el
enriquecimiento que se logra con esta modalidad en cada uno de los participantes del
grupo.
Las actividades que se requieren, son corregidas por lo docentes encargados de
la práctica y son devueltas a los alumnos, con el fin de que tomen conocimiento de sus
aciertos y desaciertos. Se arma un portfolio de cada alumno y se tiene cuenta para la
aprobación del curso juntamente con una evaluación final y su recuperatorio. Dicha
evaluación debe aprobarse para cursar las asignaturas de matemática de primer año de
la carrera elegida.
Además de las clases de teoría y práctica, los alumnos tienen clases de consultas
en días y horarios específicos.
Experiencia
El grupo de docentes que dictan este curso de nivelación, está integrado por una
profesora responsable de la teoría y cuatro auxiliares a cargo de la práctica. Cuatro de los
cinco auxiliares, son ingenieros químicos y el otro auxiliar, licenciado en administración
de empresas. No es casualidad que la mayoría de los integrantes sean ingenieros, ya
que cuando fueron invitados varios docentes del área a formar parte de un grupo a
iniciarse en la resolución de problemas, los más interesados fueron los ingenieros, ya que
conocen muy de cerca, la falencia en la resolución de problemas que se plantean a la
largo del cursado de las distintas carreras de ingeniería. Y esto está relacionado con la
habilidad de razonamiento, con el pensamiento lógico y crítico.
El primer encuentro con los alumnos es el día de la prueba diagnóstico, los
estudiantes que la aprueban no es necesario que realicen el curso de nivelación. Se
sugiere que lo hagan, aunque hayan aprobado, porque ser éste, un curso de nivelación
no tradicional y considerando que puede brindarles interesantes herramientas para el
futuro.

El primer día de clase, antes de iniciarse propiamente, se hacen a los estudiantes
dos preguntas:
1.- ¿Qué es un problema?
2.-¿Qué es resolver un problema?
Esas mismas preguntas se realizan el último día de clase, y se observa una cierta
evolución en los estudiantes al comparar las respuestas dadas al inicio y al final del
curso.
Al inicio del curso, la mayoría de los alumnos presentan un cierto grado de
desconcierto ante las preguntas a contestar, no saben concretamente de lo que se trata,
pero con su mejor disposición, contestan como pueden, de la mejor manera posible, con
un lenguaje poco preciso, lo que evidencia la falta de apropiación del lenguaje
matemático.
Al concluir el curso se observa lo siguiente:
32 alumnos en este año 2009 responden dos preguntas y contestan:
¿Qué es un problema?
• La mayoría contesta que un problema es una situación que debe resolverse a
partir de ciertos datos y llegar a un resultado.
• No consideran como solución decir: “no tiene solución o tiene varios resultados
posibles”
• Sólo dos alumnos emplean el término “recursos” y “estrategia” como medio para
resolver un problema.
¿Qué es resolver un problema?
• Todos contestan, de una u otra manera, haciendo referencia a los pasos de Polya
o en la búsqueda de métodos, estrategias para resolver un problema.
Las mismas preguntas, en el curso 2008, 31 alumnos contestan:
¿Qué es un problema?
• Que es una incógnita o varias incógnitas que requieren una solución.
• Pocos lo definen como una situación.
• Consideran que la matemática es una herramienta que permite llegar a la solución
del problema.
¿Qué es resolver un problema?
• Muy pocos consideran el buscar estrategias para resolver un problema.
• Piensan que se debe llegar a un resultado.
• Demuestran las respuestas que no se han apropiado del vocabulario específico.

• No mencionan los pasos de Polya, salvo un alumno, como método de resolución
de problemas.
Conclusiones:
Aspectos positivos:
• Todos los temas abordados del curso se pueden revisar a partir de la resolución
de problemas.
• Es posible motivar al alumno a la búsqueda de una solución a la situación
problemática planteada partiendo de sus conocimientos previos.
• La tarea que implica la resolución de problemas, fortalece la confianza en sí
mismo.
• Los estudiantes, a medida que se involucran con el problema, aplican estrategias
conocidas y/o generan estrategias nuevas que pueden utilizarse en futuros
problemas.
• El trabajo grupal es enriquecedor.
• Las tareas individuales ayudan a desarrollar la habilidad del razonamiento.
• La inclusión de auxiliares nuevos, renuevan las expectativas del grupo
responsable del curso y le confiere una nueva mirada a esta propuesta.
• Se permite la utilización de herramientas tecnológicas como la calculadora y la
computadora.
• Los alumnos aprenden a integran varios conocimientos matemáticos.
Aspectos negativos:
• El tiempo de dictado no es el suficiente (sólo cuatro semanas) como tampoco el
crédito horario semanal.
• El nivel académico de los ingresantes es más bajo que el requerido,
especialmente para esta modalidad.
• Los alumnos carecen, en su gran mayoría, de un espíritu crítico.
• Presentan dificultad en la apropiación del lenguaje matemático.
Creemos que esta modalidad de curso de nivelación basada en la resolución de
problemas, es una propuesta interesante y muy efectiva para facilitar el desarrollo de la
habilidad del razonamiento, del pensamiento lógico y crítico, lo cual es una característica
primordial a tener en cuenta en las carreras de ingeniería, especialmente.

Bibliografía
• Ausubel – Novak - Hanesian. (1978) Psicología Educativa: Un punto de vista
cognoscitivo. México. Editorial Trillas. Segunda edición. [1983]
• Pérez Pantaleón Guillermo A. (2009): La enseñanza y el Aprendizaje de la
formulación y la Resolución de Problemas Matemáticos. Tucumán, Argentina.
Editorial FAU-UTN.
• Polya. (1965). Cómo Plantear y Resolver Problemas. Editorial Trillas. México.
• Rodríguez Ahumada, José; Caraballo, Angel; Cruz, Teresa; Hernández, Omar.
(2000). Razonamiento Matemático: Fundamentos y Aplicaciones. Wadsworth,
Inc., California. Editorial Thomson Internacional Publising. Segunda Edición.
[2002].

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