Didáctica de la Matemática

1. Universidad Central del
Ecuador
Didáctica de las Matemáticas
Qué es un problema y cómo resolverlo
Integrantes:
Bianca Palacios
Jerry Reyes
Pedro Menéndez

2. Qué es un problema?
Un problema suele ser un asunto del que se espera una solución, aunque ésta lista
no siempre sea obvia. En matemática, un problema es una pregunta sobre objetos y
estructuras matemáticas que requiere una explicación y demostración.
Características de un problema
Suponen un reto.
La finalidad es profundizar en los conocimientos y experiencias.
Requieren más tiempo.
Pueden tener una o más soluciones.
Explorar un problema significa procurar soluciones alternativas, además de la natural
y analizar estas soluciones desde diferentes puntos de vista matemático

3. Entre los fines de la resolución de problemas tenemos:
• Hacer que el estudiante piense productivamente
• Desarrollar su razonamiento
• Enseñarle a enfrentar situaciones nuevas
• Darle la oportunidad de involucrarse con las aplicaciones de la
matemática
• Hacer que las clases de matemática sean más interesantes y
desafiantes
• Equiparlo con estrategias para resolver problemas
• Darle una buena base matemática

4. GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
George Polya nació en Hungría en 1887. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del
descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para
entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza
enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios
apropiados.
Método de Cuatro Pasos para resolver problemas.
Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los
siguientes cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás

5. La finalidad del método es que la persona examine y remodele sus
propios métodos de pensamiento, de forma sistemática, eliminando
obstáculos y llegando a establecer hábitos mentales eficaces; lo que Pólya
denominó pensamiento productivo. Pero seguir estos pasos no
garantizará que se llegue a la respuesta correcta del problema, puesto que
la resolución de problemas es un proceso complejo y rico que no se limita
a seguir instrucciones paso a paso que llevarán a una solución como si
fuera un algoritmo. Sin embargo, el usarlos orientará el proceso de
solución del problema. Por eso conviene acostumbrarse a proceder de un
modo ordenado, siguiendo los cuatro pasos

6. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece
importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema".
Ejercicio
Uno aplica un procedimiento rutinario que lo
lleva a la respuesta
Se ve claramente que hay que hacer
Generalmente tienen una sola solución
Nos ayuda a aprender conceptos. Propiedades
y procedimientos
Problema
Uno hace una pausa, reflexiona y
hasta puede ser que ejecute
pasos originales que no había
ensayado antes para dar la
respuesta
Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan
pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.

7. Para resolver un problema se necesita:
Paso 1: Entender el problema
En esta fase el estudiante debe determinar, del enunciado, los datos que proporciona, lo
que preguntan (incógnita), es decir, a lo que se le va a dar respuesta y establecer las
relaciones que hay entre los datos y la incógnita. Se sugiere que se le vaya direccionando
el trabajo a los estudiantes con preguntas como:
• ¿Entiendes todo lo que dice?
• ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
• ¿Distingues cuáles son los datos?
• ¿Sabes a qué quieres llegar?
• ¿Hay suficiente información?
• ¿Hay información extraña?
• ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
• Cabe aclarar que esta etapa no se debe dar respuesta a la pregunta.

8. Paso 2: Configurar un plan
Para Pólya en esta etapa del plan el problema debe relacionarse con problemas
semejantes. También debe relacionarse con resultados útiles, y se debe determinar si
se pueden usar problemas similares o sus resultados (aquí se subraya la importancia de
los problemas análogos). Esta etapa busca que los estudiantes determinen que pasos
van a seguir para llegar a la respuesta de la pregunta que plantea el problema. Algunas
interrogantes útiles en esta etapa son:
• ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo
problema planteado en forma ligeramente diferente?
• He aquí un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto ya. ¿Puedes
utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace
falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?
• ¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma
diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.

9. Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún
problema similar.
• ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un
problema más general?
• ¿Un problema más particular?
• ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos?
• ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la
incógnita?
• ¿Puedes cambiar la incógnita?
• ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de
tal forma que estén más cercanos entre sí?

10. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un
artificio ingenioso que conduce a un final).
1. Ensayo y Error (Conjeturar y
probar la conjetura).
2. Usar una variable.
3. Buscar un Patrón
4. Hacer una lista.
5. Resolver un problema similar más
simple.
6. Hacer una figura.
7. Hacer un diagrama
8. Usar razonamiento directo.
9. Usar razonamiento indirecto.
10. Usar las propiedades de los
Números.
11. Resolver un problema
equivalente.
12. Trabajar hacia atrás.
13. Usar casos
14. Resolver una ecuación
15. Buscar una fórmula.
16. Usar un modelo.
17. Usar análisis dimensional.
18. Identificar sub-metas.
19. Usar coordenadas.
20. Usar simetría.

11. Paso 3: Ejecutar el plan
Pólya plantea que se debe hacer un uso intensivo de esta serie de preguntas en cada
momento. Estas preguntas van dirigidas sobre todo a lo que él llama problema por
resolver y no tanto los problemas por demostrar. Cuando se tienen problemas por
demostrar, entonces, cambia un poco el sentido. Esto es así porque ya no se habla
de datos sino, más bien, de hipótesis. En realidad, el trabajo de Pólya es
fundamentalmente orientado hacia los problemas por resolver.
En síntesis: al ejecutar el plan de solución debe comprobarse cada uno de los pasos y
verificar que estén correctos.
Es aquí donde los estudiantes aplican las operaciones pertinentes estipuladas en el
plan y el docente es un guía que está pendiente y direcciona el trabajo con
interrogantes como: ¿puede ver claramente que el paso realizado es correcto?,
¿Acompañó cada operación matemática de una explicación contando lo que hizo y
para qué lo hizo?.

12. • Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos.
• Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar
completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar
un nuevo curso.
• Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes
éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento
(¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).
• No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo
fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

13. Paso 4: Examinar la solución obtenida. Examinar y validar
Una vez, resueltos los problemas propuestos, se les hace énfasis a los estudiantes, de que el
problema no se termina cuando se llega a una respuesta; es aquí donde se trabaja la cuarta y
última etapa de la metodología “visión retrospectiva”. Los estudiantes realizan un análisis y
reflexión de todo el proceso resolutivo, y para ello, el docente guía esta etapa formulando
preguntas como:
• ¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?
• ¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes
emplear el resultado o el método en algún otro problema?
• ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
• ¿Adviertes una solución más sencilla?
• ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Pólya plantea que cuando se resuelve un problema (que es en sí el objetivo inmediato),
también, se están creando habilidades posteriores para resolver cualquier tipo de problema.
En otras palabras, cuando se hace la visión retrospectiva del problema que se resuelve, se
puede utilizar tanto la solución que se encuentra como el método de solución.

15. EL PAPEL DEL DOCENTE EN EL PROCESO
Un aspecto muy relevante en todo este proceso es la función que tiene el docente.
Según Pólya, el papel del maestro es “ayudar al alumno”, pero esto debe ser entendido con mucho cuidado.
La ayuda que de un profesor debe ser la suficiente y la necesaria. Por ejemplo, no se puede plantear un
problema muy difícil y abandonar al estudiante a su propia suerte pero, tampoco, plantear un problema y que
el mismo docente lo resuelva. Si se hace lo último no se enseña nada significativo al estudiante; en otras
palabras: es importante que el alumno asuma una parte adecuada del trabajo.
Hacer preguntas que se le hubieran podido ocurrir al alumno es, también, crucial en el proceso. Es por eso
que Pólya plantea constantemente que el profesor debe ponerse en los zapatos del estudiante.
Allí surge una serie de circunstancias que apuntan al profesor como la única persona capaz de encontrar el
mecanismo de solución para el problema:
• Preguntar y señalar el camino de distintas formas.
• Usar las preguntas para ayudar a que el alumno resuelva el problema y desarrollar en él la habilidad de
resolver problemas.

16. Pólya recalca el interés.
Según él, para resolver un problema lo que se tiene que tener fundamentalmente al inicio es interés de
resolver el problema, por ello se debe buscar la manera de interesar al alumno a resolver problemas.
Entonces, es relevante el tiempo que se dedique a exponer el problema: el profesor debe atraer a los
estudiantes hacia el problema y motivar la curiosidad de los muchachos.
Un método que suele resultar útil es el de la imitación: el profesor debe ser un modelo para la
Resolución de Problemas. Entonces, él mismo debe hacer las preguntas cuando resuelve un problema
en la clase.
Ahora bien, es importante preparar con cuidado los ejemplos, no se debe proponer ahí problemas que
parezcan imposibles, sino que realmente sean adecuados y que se encuentren al nivel del estudiante.
No consiste en dar una lista interminable de ejercicios para que resuelvan y punto, de lo contrario: se
trata de sembrar la curiosidad y el interés por el problema.

17. El método de interrogar del profesor.
El docente debe comenzar con una pregunta general o una sugerencia, ir poco a poco a preguntas
más precisas hasta obtener respuestas de los alumnos; luego debe realizar preguntas y sugerencias
simples y naturales.
Características de las preguntas y sugerencias
La generalidad
Las preguntas y sugerencias no están restringidas a un determinado tema. Ya sea un problema
algebraico o geométrico, una adivinanza, o cualquier tipo de situación que nosotros queramos
enfrentar, Pólya plantea que las preguntas son aplicables. Señala que cualquier tipo de persona se
puede interesar en la Resolución de Problemas.
El sentido común
Las preguntas tienen que ser naturales, sencillas: es lo que dice Pólya constantemente ver en la
pregunta ¿cuáles son sus datos? ¿Cuáles son sus posiciones? En realidad, este tipo de preguntas
aplican a cualquier ámbito del saber y no necesariamente a la matemática. Sugieren ellas una cierta
conducta que debe presentarse en forma natural en la mente de cualquiera que tenga un cierto
sentido común.

18. ¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA?
Pólya insiste mucho en empezar por el enunciado, visualizar el problema como un todo. Lo natural es que
primero se deba familiarizar con el problema como un todo; esto estimula la memoria. Ya visualizado se
tiene claro qué se tiene que resolver, y, una vez que suceda este proceso, se comprende el problema; aquí ya
se aíslan las partes y se comienza a resolver por partes el problema.
Una idea útil: comenzar por lo principal, verlo desde diferentes perspectivas, conectarlo con conocimientos
anteriores, buscar algo familiar y útil en lo que ha hecho antes. Si se tiene una idea incompleta se debe
considerar a fondo. Verificar en qué la idea le pueda servir y en qué no, ayudará a concebir el problema en
forma global.
Ejecución del plan: inicie con la idea que lo lleve a la solución cuando esté seguro de poder suplir todos los
detalles. Asegúrese de que cada paso es correcto. Si es posible divida el proceso en pequeños y grandes
pasos.
Visión retrospectiva: una vez que se resuelve el problema es importante no dejar de lado que siempre hay un
aprendizaje para analizar lo que se hizo; evidentemente se aplica posteriormente. El mismo problema puede
ser útil en otro problema, no solo por el tipo de problema sino por el método de solución.

19. Las estrategias en la resolución de problemas.
Para resolver problemas, necesitamos desarrollar determinadas estrategias que, en general, se aplican a un
gran número de situaciones. Es importante que los estudiantes perciban que no existe una única estrategia,
ideal e infalible de resolución de problemas. Asimismo, que cada problema amerita una determinada
estrategia y muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias estrategias.
Algunas de las estrategias que se pueden utilizar son:
-Tanteo y error organizados (métodos de ensayo y error):
Esta estrategia consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema a
esos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible.
- Resolver un problema similar más simple:
Para obtener la solución de un problema muchas veces es útil resolver primero el mismo problema con datos
más sencillos y, a continuación, aplicar el mismo método en la solución del problema planteado, más
complejo.
- Hacer una figura, un esquema, un diagrama, una tabla:
En otros problemas se puede llegar fácilmente a la solución si se realiza un dibujo, esquema o diagrama; es
decir, si se halla la representación adecuada. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo de
imágenes que con el de palabras, números o símbolos.

20. Ejemplo:
a) CUYES Y GALLINAS
Juan cría en su chacra solamente cuyes y gallinas. Un día, jugando, le dijo a su hijo:
“Contando todas las cabezas de mis animales obtengo 60 y contando todas sus patas obtengo 188.
¿Cuántos cuyes y cuántas gallinas tengo?”
Resolución:
Paso 1: Comprendiendo el problema.
Tenemos que hallar cuántos cuyes y cuántas gallinas tiene el papá de Juan.
Se sabe que hay 60 cabezas y 188 patas. También se sabe que un cuy tiene 4 patas y una gallina 2
patas.

21. Paso 2: Elaborando un plan.
Plan A: Estrategia: Tanteo y error organizados.
Se intenta hallar la solución dando valores al azar a la cantidad de cuyes y a partir de ellos
obtener el número de gallinas. Para verificar si la respuesta es correcta se calcula el total de
patas con esos valores. Se puede construir una tabla para que el trabajo sea más ordenado.
Plan B: Estrategia: Plantear ecuaciones.
Cantidad de cuyes: x
Cantidad de gallinas: y
Cantidad de cabezas: x + y = 60
Cantidad de patas: 4x + 2y = 188
Hemos traducido el problema en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x e y.
Para hallar la solución del problema, tenemos que resolver este sistema de ecuaciones.

22. Paso 3: Ejecutando el plan.
Plan A:
En total hay 60 animales.
Todos no pueden ser gallinas porque entonces habría 120 patas.
Tampoco todos pueden ser cuyes porque entonces habría 240 patas.
Debe haber exactamente 188 patas.
Para poder continuar razonando vamos a hacer una tabla:
Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.
Este problema pudo ser resuelto mediante esta estrategia porque se ha trabajado con números
relativamente pequeños. Sin embargo, si se tratase de números mayores y más complejos necesitaríamos
realizar una mayor cantidad de tanteos y podríamos no llegar a la solución.

23. Plan B:
Resolviendo el sistema de ecuaciones por
el método de sustitución:
x + y = 60 (1)
4x + 2y = 188 (2)
De (1) se obtiene: x = 60 - y (3)
Sustituyendo el valor de x en (2):
4(60 - y) + 2y = 188
240 – 4y + 2y = 188
240 – 2y = 188
-2y = 188 – 240
-2y = - 52
2y = 52
y = 52/2
y = 26
Sustituyendo el valor de y en (3):
x = 60 − y
x = 60 − 26
x=34
Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.

24. Paso 4. Hacer la verificación.
Sustituimos los valores de x e y para confirmar
que se cumplan las igualdades que hallamos
al inicio:
x + y = 60 4x + 2y = 188
34 + 26 = 60 es correcto. 4(34) + 2(26) = 188
136 + 52 = 188 es correcto.

25. b) CONSTRUYENDO UN MURO
Antonio tiene un terreno grande que quiere dividir en dos partes. Para esto tiene que
construir un muro. En el primer día de construcción usó 3/8 de los adobes que tenía; en el
segundo día usó 1/6 de los adobes que tenía. Entonces contó los adobes que le quedaban
para usar en el tercer día y eran 55. ¿Cuántos adobes tenía cuando comenzó a construir el
muro?
Resolución:
Paso 1: Comprende el problema.
- ¿Qué pide el problema?
La cantidad de adobes que tenía al comenzar a construir el muro.
- ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?
Antonio tiene cierta cantidad de adobes.
En el primer día utiliza 3/8 de esa cantidad.
En el segundo día utiliza 1/6 de esa cantidad.
Le quedan 55 de adobes para el tercer día.

26. Paso 2: Elabora un plan.
Plan A: Estrategia: Hacer un esquema.
Observa que la suma de las fracciones que representan al número de adobes que se utiliza cada día es
igual a la unidad, la cual representa la cantidad total de adobes que tenía para trabajar los 3 días. Hallamos
la fracción que representa a los adobes que se utilizan el primer y segundo día, mediante una suma de
fracciones. Luego hallamos la fracción que representa a los adobes que se utilizan el tercer día, restando a
la unidad la fracción anterior. Finalmente, reducimos a la unidad y hacemos el cálculo.
Plan B: Estrategia: Utilizar una ecuación.
Total de adobes: x
Adobes utilizados en el primer día: 3/8 x
Adobes utilizados en el segundo día: 1/6 x
Adobes utilizados en el tercer día: 55
El total de adobes es igual a la suma de los adobes utilizados cada día:
3/8 x +1/6 x + 55 = x

27. Paso 3: Ejecuta el plan.
Plan A:
Fracción que representa la cantidad de adobes utilizados en el primer y segundo días:
Fracción que representa la cantidad de adobes utilizados el tercer día:
Como el número de adobes que quedaron para el tercer día es 55, se puede afirmar que: 11/24 equivalen
a 55
Por lo tanto: 1/24 equivalen a 55/11 = 5
Finalmente, como 1 =24/24 entonces 24/24 equivalen a 5 x 24 = 120
O entonces, completando la unidad, de un modo más esquemático:
Respuesta: Antonio tenía 120 adobes cuando comenzó a construir el muro.

28. Plan B:
Resolviendo la ecuación que hallamos en el paso anterior:
Respuesta: Antonio tenía 120 adobes cuando comenzó a construir el muro.

29. Paso 4. Hacer la verificación.
Cantidad de adobes utilizados en el primer día: