DIAPOSITIVAS SOBRE CALCULO INTEGRAL

1. UNIVERSIDAD POLITECNICA
SALESIANA
INGENIERIA ELECTRÓNICA
CÁLCULO INTEGRAL
Helmut Josué Pinto Tamayo
Tema:
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
DEFINIDAD

2. OBJETIVO GENERAL
• a) Comprender los conceptos fundamentales del cálculo integral para la
deducción de ecuaciones que gobiernan sistemas básicos de ingeniería y
su aplicación a la solución de problemas prácticos y proporcionar bases
para cursos posteriores de física y matemáticas.
•
• b) Analizar las propiedades principales de la integral definida e
indefinida. Los principios que rigen su comportamiento y los criterios de
solución de tales integrales. Examinando funciones especiales de una
variable y sus aplicaciones en problemas diversos.
• .

3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Conocer y manejar los métodos de integración. •
• Calcular, usando integrales, áreas de superficies planas y de revolución, volúmenes de sólidos de
revolución, longitud de un arco, masa, centro de masas, momento estático y de inercia de una lámina
plana, el trabajo realizado por una fuerza.
• Conocer y aplicar criterios de convergencia para calcular sumas de series y desarrollar funciones en series
de potencias.
• Representar geométricamente rectas, planos y superficies y determinar sus propiedades de intersecciones,
simetrías y extensión.
• Conocer y aplicar las operaciones con vectores del plano y del espacio.
• Calcular el límite de una función escalar y analizar su continuidad en un punto. Operar con límites y
funciones continuas.
• Calcular e interpretar las derivadas parciales y direccionales la diferencial y el gradiente de una función
escalar.
• Calcular e interpretar el valor de una integral iterada de una función escalar
• Invertir el orden de integración. Calcular áreas y volúmenes por medio de integración iterada.

4. INTEGRAL DEFINIDA
Es un concepto matemático introducida a la
misma por Newton y Leibniz, pero fue Riemann
quien dio una mejor definición de esta, la cual
es usada hasta nuestros tiempos, dándonos
nociones de esta, como la suma de Riemann.

5. NOTACION SIGMA
La notación sigma o sumatorias, es el
operando matemático que no nos permite
representar sumas de muchos sumandos,
hasta infinitos sumandos está expresado con
la letra griega sigma . La operación se da
de la siguiente manera:

6. SUMA DE RIEMANN
Esta considera una función f(x) definida
entre un intervalo (a, b). Suponga una
partición del intervalo en n sub-intervalos
por medio de los puntos a = x<x1<x2<xn-
1<xn=b y sea ∆xi = xi - xi-1. En cada sub-
intervalo [xi-1, xi ] selecciónese un punto
(que puede ser un punto frontera); el punto
muestra para el i-ésimo sub-intervalo.

7. la ecuación queda definida por .
Resumiendo queda como un área definida bajo una curva de función
f(x), entre los intervalos (a, b), partido n veces.

8. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Existen algunas propiedades y teoremas básicos de
las integrales definidas que ayudan a evaluarlas con
más facilidad.
• Si donde c es una constante
• Si f y g son integrables en [a, b] y c es una
constante, entonces:
• Si x está definida para x = a entonces = 0
• Si f es integrable en [a, b] entonces
• Propiedad de aditividad del intervalo: si f es
integrable en los dos intervalos cerrados definidos
por a, b y c

9. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
INTEGRAL
Este teorema nos india que la derivada
de la función integral de la función
continua f(x) es la propia f(x). Es decir:
F’(x)=f(x), entonces mediante esta
afirmación se puede decir que la
derivación y la integración son
operaciones opuestas.

10. METODO DE TRAPECIO
Este método es muy simple, se puede entender mediante la imagen:
El área total aproximada es la suma de las áreas
de los n trapecios que se usaron con ancho h.
Cuanto mayor sea el número de divisiones del
intervalo [a, b] , menor será h, y más nos aproximaremos
al valor exacto de la integral.

11. METODO DE SIMPSON
En este procedimiento, se toma el
intervalo de un ancho 2h,
comprendido entre xi y xi+2, y se
sustituye la función f(x) por la
parábola que pasa por tres puntos (xi,
yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2).
Fórmula:

12. INTEGRALES IMPROPIAS
• Se conoce como integrales
impropias al tipo que no tiene cotas
o que no esta cerrado por u
intervalo definido. Estas pueden
darse de dos formas:
• Funciones definidas en intervalos
no acotados.
• Funciones no acotadas.

13. Aplicaciones de integrales definidas
Las aplicaciones de las integrales son varias, estas son:
• El área de una región plana.
• Volúmenes de sólidos.
• Volúmenes de sólidos de revolución.
• Longitud de una curva plana.
• Trabajo.
• Fuerza de un fluido.
• Momentos y centro de masa.

14. ARÉA Integración respecto a X e Y
Dependiendo de la región del plano se pueden
dar de las siguientes maneras:
• Una región por arriba del eje x Supóngase que
y = f(x) determina una curva en el plano x y y,
supóngase que f es continua y no negativa en el
intervalo (a , b. Su área A(R) está dada por:

15. Una región debajo del eje x : El área es un
número no negativo. Si la gráfica de y = f(x)
está por debajo del eje x, entonces:
es un número negativo y, por lo tanto, no
puede ser un área. Sin embargo, sólo es el
negativo del área de la región acotada por y
= f(x), x = a, x = b y y = 0.

16. VOLÚMENES
Se considera un sólido del cual su transversal
perpendicular a una recta dada tiene área
conocida. Supóngase que la recta es el eje x y
que el área de la sección transversal en x es
A(x), a≤x≤b, posteriormente, pasamos planos
perpendiculares al eje x, dividimos el sólido
en capas delgadas. El volumen ∆Vi de una
rebanada debe ser aproximadamente el
volumen de un cilindro; esto seria:

17. El volumen del solido
debe darse
mediante la suma de
Riemann.
Cuando hacemos que la norma de la partición tienda
a cero, obtenemos una integral definida; ésta se
define como el volumen del sólido.

18. SOLIDOS DE REVOLUCION
Método de discos
𝑣 = 𝑏
𝑎
𝜋𝑓(𝑥)2
dx
S Se usa cuando el solido se da por girar una figura
2D alrededor de un eje

19. METODO DE ARANDELAS.
Se da cuando al rebanar un sólido de
revolución se obtienen discos con
agujeros en medio.
Por consiguiente se
usa:
𝑣 =
𝑏
𝑎
𝜋[𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ]2
dx
Donde g(x) y f(x), son
las funciones correspondientes que
dan forma a la figura 2D, que se obtiene
al cortar el solido de revolución.

20. Método transversal: Encontrar el volumen también se
puede dar para sólidos cuyas secciones transversales
son cuadrados o triángulos, todo lo que se necesita es
que las áreas de las secciones transversales puedan
determinarse, ya que, en este caso, también podemos
aproximar el volumen de la rebanada una capa con esta
sección transversal. Entonces, el volumen se encuentra
mediante integración.

21. LONGITUD DE ARCO

22. Trabajo
Recordemos que trabajo se define como
W=f*d
Pero en la practica no siempre la fuerza será
constante, por ende mediante resoluciones
lógicas, y aplicando la definición de integrales
se llega a la formulación:

23. Fuerza ejercida por un líquido
Consideremos que la fuerza ejercida de un fluido
sobre un recipiente seria igual a:
F=δh*A
Esta es la misma en todas las direcciones del
recipiente, siempre y cuando los puntos se sitúen en
la misma profundidad, pero no siempre esta fuerza
seria la misma, por ello se recurre a un aproximación
que nos dejaría como resultado:
F= δh∗A

24. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA
Supóngase que dos masas se
encuentran en constante movimiento
dentro de un plano(sube y baja), la
condición de equilibrio seria:
X1M1=X2M2
Si tomáramos el fulcro, como eje de
coordenadas se diría que para un
equilibrio:
X1M1+X2M2=0

25. Entonces generalizando seria:
M=0
Si no esta claro la posición del centro de masa se puede hallar
mediante:
Ahora consideremos que a lo largo de la recta se
quiere distribuir una masa, con densidad variable,
suponiendo que la densidad de x es igual a δ(x). Se obtendría
primero la masa total y luego el momento total obteniendo así que el
centro de masa:

26. CONCLUSIONES
• Se estudió correctamente la definición y propiedades de la
integral definida.
• Los métodos aprendidos para la aplicación de la integral son los
mas relevantes.
• Se estudió correctamente las aplicaciones de la integral.

27. BIBLIOGRAFIA
• Larson, R., & Edwars, B. (s.f.). Calculo 1 de una variable (Novena ed.).
McGraw-Hill.
• Varberg, D., Rigdon, S., & Purcell, E. (2007). Calculo diferencial e
integral (Novena ed.). México: Pearson Prentice Hall.
• Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An
Introduction (6thedición). McGraw-Hill. p. 359.
• Ludwing Salazar, Hugo Bahena, Francisco Vega: Cálculo integral,
Publicaciones Cultural, 2007.
• http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-
elsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.pdf