trabajo realizado por estudiantes de la unp.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad : Ciencias
Escuela: Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones
Asignatura: Calculo III
Integrantes : LEANDRO SAID CASTILLO CASTILLO
AGURTO QUIROGA BRYAN DANIEL
BAILON FIORENTINI IGOR JEAN PIER
DELGADO OJEDA DIEGO ADOLFO
PERICHE RUIZ ELVIS JOEL
VILCHEZ YACILA GABRIELAALESSANDRA

2. INTEGRAL DE LINEA

3. INTRODUCCION
Bueno en el presente trabajo, exhibiremos las integrales de línea o también llamadas integrales
curvilíneas, las cuales sirven para calcular la longitud de una curva en el plano o en el espacio
tridimensional. También veremos cómo son usadas para deducir el trabajo que realiza un cuerpo o móvil a
lo largo de una trayectoria definida, pero teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, que
son representadas por vectores. Además, apreciaremos como ayuda esta integral para definir los conceptos
de masa, centro de gravedad y momentos de un cuerpo.
Definiremos los conceptos matemáticos y su interpretación geométrica de la integral de línea, sus
propiedades, restricciones, recomendación y ejemplos prácticos para poder identificar correctamente
cuando se esta trabajando con esta integral y como se aplica en diferentes área.
Discutiremos las definiciones matemáticas e interpretación geométrica de los tipos de integral de
línea, los cuales son: integral de línea para campos vectoriales, integral de línea para campos escalares y
integral de línea para campos conservativos.

4. MARCO TEORICO
Una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre
una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo,
se llama también integral de contorno.
• Para la integral de línea se usa el
calculo de la longitud de una
curva en el espacio
• O también para el calculo del
trabajo que se realiza para
mover algún objeto a lo largo de
una trayectoria.

5. Definimos en general a una integral que es
similar o semejante a una integral definida.
El integrando es un campo
vectorial y que el dominio de
integración es una curva definida
en el plano o en el espacio
Estos integrales fueron desarrollados a
principios del siglo XIX para resolver muchos
problemas de física que involucran flujo de un
fluido, fuerzas, electromagnetismo, etc.
𝐹. 𝑑𝑟
𝐹. 𝑑𝑟
Integrando campo
vectorial
Dominio de
integración

6. TRABAJO:
Cuando la fuerza es constante en magnitud y
dirección.
Cuando la fuerza es variable en magnitud
punto a punto de la trayectoria
𝑊 = 𝐹. 𝐷
𝑊 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥

7. ¿Cuál es el trabajo realizado por F,
variable en magnitud y dirección
cuando su punto de aplicación se
desplaza a lo largo de la curva C,
del punto A al punto B?

8. 1. La curva C se divide en “n”
subarcos. En cada uno de ellos la
fuerza en un punto intermedio es una
fuerza constante

9. 2. El trabajo en cada subarco, como
vamos a tomar la fuerza constante, ya
que estos subarcos tienden a cero es:
𝐹 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 . ∆𝑠𝑖 ≡ 𝐹 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 . ∆𝑟𝑖
𝑝𝑢𝑒𝑠 ∆𝑠𝑖 → 0
3. Se suma sobre cada subarco, quedando así el trabajo sobre el
arco AB aproximadamente igual a
𝑖=1
𝑛
𝐹(𝑥𝑖,𝑦𝑖). ∆𝑟𝑖

10. 4. Se toma el limite
∆𝑟 = 𝑚𝑎𝑥 ∆𝑟𝑖 → 0
𝑛 → ∞
𝑊 = lim
∆𝑟 →0
𝑖=1
𝑛
𝐹(𝑥𝑖,𝑦𝑖). ∆𝑟𝑖 =
𝑎
𝑏
𝐹 𝑥, 𝑦 . 𝑑𝑟 =
𝑐
𝐹. 𝑑𝑟
Integral de línea de
campos vectoriales

11. INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO ESCALAR
A continuación estaremos trabajando las integrales de línea es decir
“integrales sobre una curva”
𝑐
𝐹 𝑥, 𝑦 𝑑𝑠 = lim
𝑛→∞
𝑖=1
𝑛
𝐹(𝑥𝑖, 𝑦𝑖 )∆𝑠𝑖
como estamos en 2 variables y hacemos
una partición en la curva en varias partes,
encontraremos el ∆𝑠𝑖 y ahí estará la función
evaluada en “i”, entonces la longitud del
intervalo será el área

12. Entonces la integral de línea se definirá de la siguiente
manera:
𝑎
𝑏
𝑓(𝑟 𝑡 ) 𝑟´(𝑡) 𝑑𝑡
• a y b: limites del parámetro “t” de la curva
• r(𝑡):una parametrizacion de la curva
• 𝑟´(𝑡) : es el 𝑑𝑠.
Donde 𝑑𝑠 = (𝑑𝑥)2+(𝑑𝑦)2
= (𝑑𝑥)2+(𝑑𝑦)2∗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)2+(
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)2∗ 𝑑𝑡
= 𝑟´(𝑡) 𝑑𝑡
r´ 𝑡 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 )

13. INTEGRAL DE UN CAMPO VECTORIAL
Un campo vectorial es una función de
𝑅𝑛
→ 𝑅𝑛
𝑋 → 𝑓 𝑥
Para calcular la integral de línea de un campo
vectorial, trabajaremos con esta función en el plano de
la siguiente forma.
𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑃 𝑥, 𝑦 ; 𝑄(𝑥, 𝑦)
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑗
NOTA: si estamos en 𝑅3
aparecerá otra variable
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑗 + 𝑅 𝑥, 𝑦 𝑘

14. También se puede definir de la siguiente manera
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Esta es la forma tradicional par encontrar las integrales de
línea de un campo vectorial.
Por lo tanto para calcular la integral se tiene que conocer la
curva para luego hallar el valor de “t” para lo colocar los
limites, reemplazar X e Y en la parametrizacion, se
reemplazara dx; lo mismo con Q(x,y) y así quedando la
integral de línea

15. Nota:
Sera la función 𝐹 un campo conservativo si se cumple lo siguiente
𝑑𝑃
𝑑𝑦
=
𝑑𝑄
𝑑𝑥

16. TEOREMA DE GREEN
El teorema de Green es uno de los mas importantes en el calculo de
integral de línea.
se define al teorema de Green como una integral cerrada.
𝑐
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑥
−
𝑑𝑃
𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦

17. El la figura se tiene una curva C, siempre
cerrada simple y el R es lo que esta por
dentro de la curva incluyendo al C. por
eso se convierte en una integral doble

18. Tipos de Integral de línea
CAMPOS ESCALARES CAMPOS
VECTORIALES

19. Integral de línea de campos
escalares en dos dimensiones
Primero para poder entender que es una integral de línea , primero debemos saber el concepto sobre el campo escalar . El campo escalar es
un función que va de 𝑅𝑛
→ 𝑅 , es decir , a cada punto 𝑅2
se le asigna un numero en 𝑅.
La integral de línea de campos escalares , consiste en tomar una trayectoria sobre el plano XY , esta representa el intervalo de integración ,
ahora si tomamos un punto cualquiera sobre una curva cualquiera en el plano XY podemos calcular cual es su imagen , pocas palabras su
punto sobre la grafica , evaluamos el punto en la función y tomamos así obtenemos el punto que le corresponde a la superficie . Después de
tomar todos los puntos de la curva nos dará otra curva que esta contenida sobre la superficie.
Ahora si unimos verticalmente cada punto de la curva contenida en la
superficie con la curva que se encuentra en XY formaremos como una
especie de valla , lo que haremos es mover ese segmento de valla a lo largo
de la curva y así obtendremos una superficie vertical que esta representado
de color verde , esta esta contenida entre esas dos curvas . Finalmente lo
que debemos hacer es calcular el área de esa superficie vertical utilizando
integral de línea . En resumen una integral de línea lo que hace es calcular
el área de una superficie vertical que esta contenida entre dos curvas .

20. Definición matemática integral
de línea campos escalares
Calcularemos el área mediante sumas de Riemann , lo que haremos es partir la superficie vertical en rectángulos para luego sumarlos ,
entre mas delgados los rectángulos y hallan mas rectángulos , en pocas palabras el limite de los “n” rectángulos tienda al infinito donde
esa área será , el área de la superficie vertical .
Para hacer este proceso de la suma de Riemann ,tomamos un rectángulo ,
como se muestra en la figura , y calculamos su área 𝐴𝑖= 𝑏𝑖. ℎ𝑖 . Primero
tomamos un punto de la curva como se muestra en la figura , lo
reemplazamos en la función f(x,y) que nos dará un punto en la curva
contenida en la superficie f(𝑥𝑖, ℎ𝑖) , este punto será nuestra altura . Para
hallar la base tomamos un diferencial ∆𝑠𝑖 como se muestra en la imagen .
Quedando la ecuación de la siguiente manera , 𝐴𝑖= ∆𝑠𝑖 . f(𝑥𝑖, ℎ𝑖) , esta
ecuación corresponde a un solo triangulo , por ello haremos una sumatoria
de los “n” triángulos quedando de esta manera :

21. Definición matemática integral
de línea campos escalares
Para calcular de forma mas practica la
integral de línea para campos escalares sin
utilizar la suma de Riemann vamos a
parametrizar la curva
Vamos a usar ∆𝑠𝑖 como una línea que
representa la hipotenusa de un triangulo
rectángulo.

22. Integrales de línea de
campos vectoriales

23. Teniendo en cuenta a la curva parametrizada r(t):
Se concluye que:
A pesar de todo este cálculo matemático estar
evaluado en 𝑅3
, puede ser extensible a
𝑅2
obviamente quitando la variable z.
Se define a F(t) como vector o campo de
fuerzas.
Recordar cada componente depende de t, al
ser una partícula en movimiento tiene que
variar su posición con respecto al tiempo para
que el trabajo tenga un valor.
Denotar que el vector tangente unitario se ve
reemplazado en la última ecuación para
demostrar la validez y aplicación de la misma,
en circulación.

24. Si consideramos como vector tangente unitario:
Con respecto a Circulación
Una tendencia notoria a crearse
remolinos ya que el campo de fuerzas
hace que cierta gota minúscula, se mueva
a lo largo de dicha trayectoria que
encierra esa área diferencial haciéndola
girar sobre su misma curva.
Esto explica la tendencia a crear
remolinos y lo relacionadas que están la
circulación y el rotacional.

25. Ejemplo

27. Aplicación de la integral de línea de campo escalar:
Masa
Calcule la masa de un alambre que este contenido en la intersección de las superficies S1 y S2
dentro del 1er octante. la densidad en cada punto del alambre es numéricamente igual a la
distancia de dicho punto al plano zy. Donde S1: 𝑦2 + 𝑧2 = 1 𝑦 𝑆2: 𝑥 − 𝑧 = 1
Masa: 𝒎 = 𝒄
𝛒 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒔
Densidad: 𝛒 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒔 = 𝒙
Parametrizamos la curva.
C: 𝑦2 + 𝑧2=1
𝑥 − 𝑧 = 1
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔(𝒕)
C: 𝒁 = 𝒔𝒆𝒏(𝒕) t ∈ (0, [ 𝝅/𝟐 ]
𝑿 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒕(𝒕)

28. 𝑅(𝑡) =< 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑡(𝑡), 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑠𝑒𝑛(𝑡) >
𝑅’(𝑡) =< 𝑐𝑜𝑠(𝑡), −𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑐𝑜𝑠(𝑡) >
∣ ∣ r’(t) ∣ ∣= 1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)
𝒎 =
𝒂
𝒃
𝛒 𝒓(𝒕) . ∣ ∣ r’(t) ∣ ∣ dt
𝒎 = 𝟎
𝜋
2 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏(𝒕). 1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑡) dt
𝒎 = 𝟎
𝜋
2 𝟏 +
0
𝜋
2
𝒔𝒆𝒏(𝒕). 1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑡) dt
𝒎 =
(𝜋+ 2+ln(1+ 2)
2
𝒎 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖 𝒖. 𝒎

29. Ejercicios de Integral de línea

30. 𝑅(𝑡) =< 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑡(𝑡), 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑠𝑒𝑛(𝑡) >
𝑅’(𝑡) =< 𝑐𝑜𝑠(𝑡), −𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑐𝑜𝑠(𝑡) >
∣ ∣ r’(t) ∣ ∣= 1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)
𝒎 =
𝒂
𝒃
𝛒 𝒓(𝒕) . ∣ ∣ r’(t) ∣ ∣ dt
𝒎 =
𝟎
𝝅/𝟐
𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒕(𝒕). 1 + 𝑐𝑜𝑠2(𝑡)
𝒎 = 𝟑. 𝟎𝟔 𝒖. 𝒎

31. 1) ∫c (x+y)ds donde σ es el borde del triángulo con vértices (0,0),(1,0),(0,1)

32. 2) ∫c √(𝑥2
+ 𝑦2
) ds dónde σ es la circunferencia 𝑥2
+𝑦2
=ax(a>0)

33. 3) Calcular la integral curvilínea de un par de funciones: 6𝑥2𝑦 ; 10𝑥𝑦2,
a lo largo de una curva plana 𝑦 = 𝑥3
entre los puntos M(1;1) y N(2;8)
𝑀
𝑁
6𝑥2𝑦𝑑𝑥 + 10𝑥𝑦2 𝑑𝑦
→𝒚=𝒙𝟑
→𝒙=𝒙;𝒚=𝒙𝟑
→𝒙’𝒙 =𝟏;𝒚’𝒙 =𝟑𝒙𝟐
𝑥1 =1
𝑥2 =2

34. • Luego
• 𝑀
𝑁
6𝑥2
𝑦𝑑𝑥 + 10𝑥𝑦2
𝑑𝑦
• 1
2
6𝑥2. 𝑥3 . 1 + 10𝑥. 𝑥6 . 3𝑥2dx
• 1
2
6𝑥5
+ 10𝑥9
𝑑𝑥 = (𝑥6
+ 3𝑥10
) 1
2
• 26 + 3(2)10 − 16 − 3(1)10
• 64 + 3072 − 1 − 3
• 60 + 3072
• 3132

35. • Gómez, P. (21 de enero de 2019). Universidad Politécnica de Cartagena . Obtenido de
https://www.dmae.upct.es/~plgomez/archivos%20docencia/teoria-
CalculoI/tema%206.%20integral%20de%20linea-a.pdf
• Martínez, E. M. (5 de Junio de 2018). Universidad Politecnica de Valencia. Obtenido de
https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/122409/Martínez%20-
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• Universidad de Granada . (3 de Noviembre de 2009). Universidad de granada . Obtenido de
https://www.ugr.es/~rpaya/documentos/Teleco/Fund-Mat04.pdf
BIBLIOGRAFIA