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Integral definida


La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente,
una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de
las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la
ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo
de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René
Descartes, Newton, Gottfried e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los
aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que
propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
                                       Definición:

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral
definida, en el intervalo [a, b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje


OX y la gráfica de f(x) y se nota




Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a, b] entonces se define
la integral definida, en el intervalo [a, b], como el valor del área limitada por las
rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.
La integral definida. Propiedades:

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Entonces se
tiene:



  i.



 ii.     Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b] y c [a, b] entonces




iii.     Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] entonces




Métodos de Integración Aproximada:

        Método del trapecio

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del
Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se
conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad
considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos
no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la
integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral
definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud
deseada. En este apartado vamos a estudiar el método de integración
numérica: la Regla del Trapecio.

      Este es un método de integración numérico que se obtiene al integrar
la fórmula de interpolación lineal.
ba
                            f(a)  f(b)  E
           b
       I   f(x)dx 
           a             2                           Respuesta, (error).

                           Regla del
                           trapecio

Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área
descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de
trapecios.

 El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a
partir de la siguiente figura.




Eligiendo un espaciado




Se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados




Tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son




En cada intervalo (xi, xi+1) se sustituye la función f(x) por la recta que une
los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1) tal como se aprecia en la figura.

La parte sombreada, un trapecio, se toma como el área aproximada, su valor
se puede calcular fácilmente.
El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios
de anchura h




o bien, agrupando términos




Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos,
menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin
embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el
ordenador maneja números de precisión limitada.




   Tomando el siguiente calcularemos el área y luego utilizaremos el Método
   del Trapecio.

    Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas
     de x= 2 y x = 8




Despejamos la función: entonces nos vas a quedar y= 10-x.

Luego graficamos
Una vez realizado el mismo integramos para los extremos 2 y 8




Luego aplicamos el método del trapecio:

8

 (10  x)dx  Tn
2
                                     n=5


x0  2
x1  3.2
x 2  4 .4
x 3  5 .6
x 4  6 .8
x5  8


x   ba
         
2      n
           6
82    6       3
         5 
 5     5   2   5




3/5 (10-2)+2(10-3.2)+2(10-4.4)+2(10-5.6)+2(10-6.8)+ (10-8) =


    8+ 13.6+11.2+8.8+6.4+2   3/5= 30 u 2
Método de Simpson:

“Deducción a partir de la ecuación de la parábola”

Sabemos que la ecuación de una parábola tiene la siguiente forma




Esta parábola delimitada por los limites, uno inferior –h y otro superior h,
cuya mitad será 0, tal como se muestra en la siguiente figura




Procedemos a integrar dicha parábola entre los limites –h y h
Reemplazamos los limites tenemos




Suprimimos los paréntesis obtenemos




Simplificamos términos




Aplicamos algunos artificios matemáticos para acomodar la ecuación, en
este caso sacamos factor común a los dos miembros




Que es nuestra ecuación que denominaremos ecuación Ec.1
Ahora bien consideremos la figura anterior, en la que los límites que cortan
de nuestra curva f(x) coinciden a los puntos de nuestra parábola cortada
por Xi, entonces podemos decir:




Entonces para nuestra curva f(x) se puede decir que los valores de f (-h), f
(0), f (h) son los siguientes:
Que es lo mismo a decir




Entonces acomodando convenientemente los términos tenemos




Miramos la ecuación Ec.1, la podemos expresar de la siguiente manera, en
este caso descomponemos unos de sus factores:




Ahora vemos que podemos reemplazar Ec.2 y Ec.3 en Ec.4. Observemos los
términos iguales




Lo reemplazamos y obtenemos lo que buscamos




Bien con esta ecuación obtendremos el área aproximada de una figura, para
comprobar lo anterior haremos un ejemplo simple de un cálculo de área de
la siguiente figura
En donde:

X0=0
X1=2

El valor de su área utilizando el cálculo algebraico es el siguiente:




Reemplazando los límites




Ahora utilizamos el método de Simpson

Ejemplo:




En donde el valor para de h para nuestros límites es igual a
-h=0
h=1
f(x)=x 2

Reemplazamos:




            Sólidos de Revolución

 Definición: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a, b]
se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina
“área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama
“superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de
revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente
se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje
siempre se puede ubicar en esa posición.
 Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):


El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva
de f(x) en el intervalo [a, b] en que f(x) es continua es:




El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el

área del círculo se obtiene la expresión previa.


Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el

método de los discos y se le denomina método de las arandelas, en este caso

si f(x) ≥g(x) en [a, b] limitan la superficie, se tiene:
Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del
eje se puede verificar
que el volumen de una esfera es




Tomando la parte superior de la circunferencia                           y
haciendo rotar la región el eje alrededor del eje se obtiene




Ejemplo 2: La región limitada por la curva         el origen, la recta   el
eje rota
alrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido.




Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son
perpendiculares al eje “y”.

Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es                para


con lo cual
 Volumen de un sólido de revolución (método de los cascarones

        cilíndricos):




El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor del

eje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la gráfica de f(x),

tiene un volumen:




En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx y

altura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de

superficie 2πxf(x) y espesor dx.
Ejemplo1:

      Encontrar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región
       limitada por




Al hacer girar la figura sobre el eje “y”, podemos "cortar" discos de altura
    y el radio sería , entonces:
Al tener esto podemos ver que para encontrar el volumen del disco es lo
mismo que obtener el volumen a un cilindro.
Entonces:




Con esto tenemos el volumen de un disco, y para encontrar el volumen total
para n-discos:




Para optimizar hacemos que    sea más grande, haciéndola tender al infinito:




Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8.




Resolviendo nos queda
Mediante el método de los cascarones cilíndricos:




Ejemplo 2: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar la
circunferencia de
centro en el punto      y radio 2 alrededor de la recta        (Toro)
El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la c

E l volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la
que genera el volumen de la parte interior.
Sin embargo se facilita mucho utilizar capas cilíndricas (producidas por
rectángulos paralelos a la recta

El radio “r” es la distancia al eje de rotación desde cualquier ordenada es
decir r=y+1.

La altura h=2x,y el espesor       con lo cual          (     )(   )    conduce a la
integral.



                                  Integral que se calcula haciendo
                y al reemplazar




Con lo cual                                                           (unidades
cúbicas).


Bibliografía:

    http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/integral_defi
     nida_ejff/primera.htm
    http://www.compujuy.com.ar/postx.php?id=70

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  • 1.
  • 2. Integral definida La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Newton, Gottfried e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Definición: Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a, b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a, b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a, b], como el valor del área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.
  • 3. La integral definida. Propiedades: Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Entonces se tiene: i. ii. Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b] y c [a, b] entonces iii. Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] entonces Métodos de Integración Aproximada:  Método del trapecio Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar el método de integración numérica: la Regla del Trapecio. Este es un método de integración numérico que se obtiene al integrar la fórmula de interpolación lineal.
  • 4. ba f(a)  f(b)  E b I   f(x)dx  a 2 Respuesta, (error). Regla del trapecio Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de trapecios. El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a partir de la siguiente figura. Eligiendo un espaciado Se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados Tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son En cada intervalo (xi, xi+1) se sustituye la función f(x) por la recta que une los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1) tal como se aprecia en la figura. La parte sombreada, un trapecio, se toma como el área aproximada, su valor se puede calcular fácilmente.
  • 5. El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios de anchura h o bien, agrupando términos Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el ordenador maneja números de precisión limitada. Tomando el siguiente calcularemos el área y luego utilizaremos el Método del Trapecio.  Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas de x= 2 y x = 8 Despejamos la función: entonces nos vas a quedar y= 10-x. Luego graficamos
  • 6. Una vez realizado el mismo integramos para los extremos 2 y 8 Luego aplicamos el método del trapecio: 8  (10  x)dx  Tn 2 n=5 x0  2 x1  3.2 x 2  4 .4 x 3  5 .6 x 4  6 .8 x5  8 x ba   2 n 6 82 6 3   5  5 5 2 5 3/5 (10-2)+2(10-3.2)+2(10-4.4)+2(10-5.6)+2(10-6.8)+ (10-8) = 8+ 13.6+11.2+8.8+6.4+2 3/5= 30 u 2
  • 7. Método de Simpson: “Deducción a partir de la ecuación de la parábola” Sabemos que la ecuación de una parábola tiene la siguiente forma Esta parábola delimitada por los limites, uno inferior –h y otro superior h, cuya mitad será 0, tal como se muestra en la siguiente figura Procedemos a integrar dicha parábola entre los limites –h y h
  • 8. Reemplazamos los limites tenemos Suprimimos los paréntesis obtenemos Simplificamos términos Aplicamos algunos artificios matemáticos para acomodar la ecuación, en este caso sacamos factor común a los dos miembros Que es nuestra ecuación que denominaremos ecuación Ec.1
  • 9. Ahora bien consideremos la figura anterior, en la que los límites que cortan de nuestra curva f(x) coinciden a los puntos de nuestra parábola cortada por Xi, entonces podemos decir: Entonces para nuestra curva f(x) se puede decir que los valores de f (-h), f (0), f (h) son los siguientes:
  • 10. Que es lo mismo a decir Entonces acomodando convenientemente los términos tenemos Miramos la ecuación Ec.1, la podemos expresar de la siguiente manera, en este caso descomponemos unos de sus factores: Ahora vemos que podemos reemplazar Ec.2 y Ec.3 en Ec.4. Observemos los términos iguales Lo reemplazamos y obtenemos lo que buscamos Bien con esta ecuación obtendremos el área aproximada de una figura, para comprobar lo anterior haremos un ejemplo simple de un cálculo de área de la siguiente figura
  • 11. En donde: X0=0 X1=2 El valor de su área utilizando el cálculo algebraico es el siguiente: Reemplazando los límites Ahora utilizamos el método de Simpson Ejemplo: En donde el valor para de h para nuestros límites es igual a
  • 12. -h=0 h=1 f(x)=x 2 Reemplazamos:  Sólidos de Revolución Definición: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a, b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina “área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama “superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje siempre se puede ubicar en esa posición.
  • 13.  Volumen de un sólido de revolución (método de los discos): El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva de f(x) en el intervalo [a, b] en que f(x) es continua es: El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el área del círculo se obtiene la expresión previa. Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el método de los discos y se le denomina método de las arandelas, en este caso si f(x) ≥g(x) en [a, b] limitan la superficie, se tiene:
  • 14. Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del eje se puede verificar que el volumen de una esfera es Tomando la parte superior de la circunferencia y haciendo rotar la región el eje alrededor del eje se obtiene Ejemplo 2: La región limitada por la curva el origen, la recta el eje rota alrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido. Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son perpendiculares al eje “y”. Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es para con lo cual
  • 15.  Volumen de un sólido de revolución (método de los cascarones cilíndricos): El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor del eje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la gráfica de f(x), tiene un volumen: En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx y altura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de superficie 2πxf(x) y espesor dx.
  • 16. Ejemplo1:  Encontrar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región limitada por Al hacer girar la figura sobre el eje “y”, podemos "cortar" discos de altura y el radio sería , entonces: Al tener esto podemos ver que para encontrar el volumen del disco es lo mismo que obtener el volumen a un cilindro. Entonces: Con esto tenemos el volumen de un disco, y para encontrar el volumen total para n-discos: Para optimizar hacemos que sea más grande, haciéndola tender al infinito: Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8. Resolviendo nos queda
  • 17. Mediante el método de los cascarones cilíndricos: Ejemplo 2: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar la circunferencia de centro en el punto y radio 2 alrededor de la recta (Toro)
  • 18. El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la c E l volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la que genera el volumen de la parte interior. Sin embargo se facilita mucho utilizar capas cilíndricas (producidas por rectángulos paralelos a la recta El radio “r” es la distancia al eje de rotación desde cualquier ordenada es decir r=y+1. La altura h=2x,y el espesor con lo cual ( )( ) conduce a la integral. Integral que se calcula haciendo y al reemplazar Con lo cual (unidades cúbicas). Bibliografía:  http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/integral_defi nida_ejff/primera.htm  http://www.compujuy.com.ar/postx.php?id=70