Actividad 12: Investigacion Grupal Dra. Ing. Rina Familia

1. Relaciones de Recurrencia
Lineales
Ramny Casado 21-0926
Osnel Lara 20-0916

2. Relaciones de Recurrencia
Definicion: Una relación de recurrencia para una sucesión {an} = (a0, a1, a2, ....,
an, ...) es una expresión que relaciona an con uno o más términos precedentes
a0, a1, a2, ...., an−1 , para cualquier n entero mayor o igual que un entero inicial m.
Los valores de los primeros términos necesarios para empezar a calcular se
llaman condiciones iniciales.
Resolver una ecuación recurrente es encontrar una función de n explicita f(n)
tal que an = f(n) ∀n ≥ 0 an = f(n) ∀n ≥ 0.

3. Relaciones de Recurrencia
Relaciones de recurrencia lineales y homogéneas con coeficientes
constantes.
Dada la relación:
an = c1an−1 + c2an−2 + ... + cman−m + g(n) ∀n ≥ m
donde c1, ..., cm son constantes y cm = 0, decimos que que esta relación de
recurrencia es lineal de orden m y de coeficientes constantes. Si además g(n) = 0
diremos que la relación es homogénea.

4. Relaciones de Recurrencia
ECUACIONES DE RECURRENCIA LINEALES Y HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO
ORDEN
Dada la relación de recurrencia con condiciones iniciales:
{an = c1an−1 + c2an−2∀n ≥ 2, (∗)}
a0 = b0 a1 = b1
donde la ecuación característica de la recurrencia (∗) es : x 2 − c1x − c2 = 0. Entonces
tenemos que la solución de la relación de recurrencia con condiciones iniciales:

5. Relaciones de Recurrencia
1) Si α y β son las ra´ıces distintas de la ecuación característica, entonces la
solución es: an = k1α n + k2β n
{ con {b0 = k1 + k2
{b1 = k1α + k2β
2) Si α es raíz doble de la ecuación característica, entonces la solución es:
an = k1α n + k2nαn
{ con { b0 = k1
{b1 = (k1 + k2)α

6. Relaciona de Recurrencia
ECUACIONES DE RECURRENCIA LINEALES Y HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTE CONSTANTES
Dada la relación de recurrencia lineal homogénea con condiciones iniciales:
an = c1an−1 + c2an−2 + ... + cman−m∀n ≥ m (∗)
a0 = b0, a1 = b1, .....am−1 = bm−1,

7. Relaciones de Recurrencia
donde la ecuación característica de la recurrencia (∗) es:
q(x) = xm − c1xm−1 − c2xm−2 − ... − cm = 0
Si q(x) = (x−r1) e1 (x−r2) e2 ...(x−rk) ek entonces la solución general de la
ecuación homogénea es
an = p1(n)r n 1 + p2(n)r n 2 + ....pk(n)r n k
donde ∀i, pi(n) es un polinomio de grado ei − 1 (= multiplicidad de la raíz ri menos
uno) y cuyos coeficientes se determinan imponiendo las condiciones iniciales.

8. Relaciones de Recurrencia
ECUACIONES DE RECURRENCIA LINEALES Y NO HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES
La relación siguiente es una relación de recurrencia lineal no homogénea de
orden m con condiciones iniciales:
an = c1an−1 + c2an−2 + ... + cman−m + g(n) ∀n ≥ m (∗)
a0 = b0, a1 = b1, .....am−1 = bm−1,

9. Relaciones de Recurrencia
Pasos para resolver la ecuacion no homogenea:
1. Hallar la soluci´on general h(n) de la relación homogénea asociada (sin imponer
condiciones iniciales).
2. Hallar una solución particular p(n) de la recurrencia inicial(sin imponer condiciones
iniciales).
3. La suma de ambas soluciones, h(n)+ p(n) es una solución general de la relación no
homogénea.
4. Obtener la solución específica correspondiente a las condiciones iniciales dadas.

10. Relaciones de Recurrencia
¿Cómo obtener una solución particular p(n)?
Siendo q(n) un polinomio de grado m.

11. Relaciones de Recurrencia
Ejemplo 1.
Sea la relación de recurrencia con condiciones iniciales:
an = an−1 + 6an−2 + 2n (∗)
a0 = 0, a1 = 1

12. Relaciones de Recurrencia
1. La ecuación característica es x 2 − x − 6 = 0 y tiene dos raíces simples, -2 y 3.
La solución general de la ecuación homogénea asociada a (∗) h(n) = k13^n +
k2(−2)^n
2. Dado que la parte no homog´enea es g(n) = 2^n, y además 2 no es raíz de la
ecuación característica, la solución particular es :
p(n) = C2^n
Imponemos que p(n) es solución de la ecuación(∗):
C2^n = C2^n−1 + 6C2^n−2 + 2^n , de donde C = −1 y la solución particular es
p(n) = −2^n

13. Relaciones de Recurrencia
3. La solución general de la relación no homogénea es
an = h(n) + p(n) = −2^n + k13^n + k2(−2)^n
4. Imponemos condiciones iniciales
0 = −1 + k1 + k2 1 = −2 + 3k1 − 2k2 ¾ =⇒ ½ k1 = 1 k2 = 0
la solución de la recurrencia es an = −2^n + 3^n