Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales

1. SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.

2. Definición
ini nii bxaxaxa =+++ ...2211
Una ecuación lineal con n incógnitas x1, x2, …, xn es una ecuación de la
forma







=+++
=+++
=+++
mnm nmm
nn
nn
bxa...xaxa
..... ... .. ... .... ..... ... .
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
2222 212 1
1121 211 1
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales
con n incógnitas de la forma siguiente:
Siendo ai1, ai2, …, ain números reales, que se denominan coeficientes

3. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
ini nii bxaxaxa =+++ . ..2211
El conjunto de números reales c1, c2, …, cn es una solución de la
ecuación







=+++
=+++
=+++
mnm nmm
nn
nn
bxa...xaxa
. .. ...... ... .. ..... .. .....
bxa. ..xaxa
bxa...xaxa
2211
2222 212 1
1121 211 1
Si al sustituir en ella cada xi por ci i = 1,2,…, n la igualdad resultante es
una identidad
El conjunto de números reales c1, c2, …, cn es una solución del sistema S
Si c1, c2, …, cn es
solución de cada ecuación
de S

4. Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si tienen el mismo
conjunto de soluciones
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
Determinados
Con solución única
Incompatibles
Si no tienen solución
Compatibles
Si tienen solución
Indeterminados
Con infinitas soluciones

5. Representación matricial y vectorial
puede escribirse en forma matricial
como sigue:







=+++
=+++
=+++
mnm nmm
nn
nn
bxa...xaxa
..........................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
2222 212 1
1121 211 1














=




























mnm nmm
n
n
b
. ..
b
b
x
. ..
x
x
.
a. . .aa
. ... . .. ... ..
a. . .aa
a. . .aa
2
1
2
1
21
22 22 1
11 21 1
O abreviadamente A . X = B ,
siendo :














m nmm
n
n
a.. .aa
. .... ... .. ..
a.. .aa
a.. .aa
21
22 22 1
11 21 1
A=














nx
...
x
x
2
1
X =














mb
. ..
b
b
2
1
y B =
El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente:

6. se denomina matriz ampliada u orlada de S.
Si llamamos a1 , a2, …, an a los vectores columna de A :
La matriz A se llama matriz de coeficientes de S














mm nmm
n
n
ba...aa
...............
ba...aa
ba...aa
21
222 22 1
111 21 1
y la matriz A* =
aj
=














m j
j
j
a
.. .
a
a
2
1
si j = 1, 2,…, n, S puede escribirse como :
x1 . a1 + x2 . a2 +…..+ xn. an = B que es la expresión vectorial de S.

7. Teorema de Rouché - Fröbenius
El sistema de ecuaciones lineales S tiene solución ⇔ el rango de la
matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada
(rango A = rango A : B)

8. Discusión de un sistema general:
Consideremos el sistema general :
Puede ocurrir:














=




























mnm nmm
n
n
b
.. .
b
b
x
. ..
x
x
.
a. ..aa
.. .. .... .. ..
a. ..aa
a. ..aa
2
1
2
1
21
22 22 1
11 21 1
Rango A = rango A* = n = nº de incógnitas ⇒ S compatible determinado.
Rango A = rango A* = r < nº de incógnitas⇒ S es compatible indeterminado.
Rango A ≠ rango A* ⇒ S es incompatible.

9. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN
SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES
CON TRES INCÓGNITAS
π1
π2
Cada ecuación lineal con tres incógnitas, representa a
un plano en el espacio
π1
π2
π1 = π2
Si el sistema es compatible
indeterminado, con
rango A = rango A* = 2
los dos planos son secantes.
Si el sistema es compatible
indeterminado y
rango A = rango A* = 1
los dos planos son coincidentes.
Si el sistema es incompatible, los
dos planos son paralelos.

10. S sistema compatible determinado ⇔ los tres
planos tienen un único punto P común.
Si x = x0, y = y0, z = z0 es la solución del
sistema ⇒
(x0, y0, z0) son las coordenadas del punto P
común.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA
DE 3 ECUACIONES LINEALES CON 3 INCÓGNITAS

11. S sistema compatible
indeterminado y
rango A = rango A* = 2
⇒ los tres planos pasan
por una misma recta r

12. S sistema compatible
indeterminado
rango A = rango A* = 1
⇔ los tres planos
coinciden .

13. S sistema incompatible con
rango A =2 , rango A* =3
ningún subsistema de dos
ecuaciones incompatible ⇔ planos
secantes dos a dos

14. S sistema incompatible con
rango A =2 , rango A* =3
y exactamente un subsistema de dos
ecuaciones incompatible ⇔ dos
planos secantes y el tercero
paralelo a uno de los anteriores

15. S sistema incompatible con rango A =1 , rango A* =2
y los tres subsistemas de dos ecuaciones incompatibles ⇔
los tres planos son paralelos