El documento presenta los conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones para obtener sus soluciones generales y cómo resolver problemas de valor inicial asociados a estas ecuaciones. Además, proporciona ejemplos para ilustrar los métodos de resolución.

2. Desarrollo de la clase
1.- Dudas clase anterior
2.- Revisión tarea
3.- Ecuación Lineal de Segundo Orden Homogénea
4.- Problemas de valor inicial

3. Una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes, es una
ecuación de la forma:
0´´´ cybyay
donde a,b,c son constantes reales, cuya solución es:
con
2211
ycycy con c1 c2 constantes reales
Esta ecuación diferencial tiene asociada la siguiente
ecuación de segundo grado (ecuación característica):
02
cbmam
cuyas soluciones vienen dada por la fórmula
a
b
m
2
cabcon 42

4. cab 42
realsoluciónúnicaunamatendráecuaciónlaSi 1
0
xm
ey 1
1
xm
xey 1
2
realessolucionescomomymatendráecuaciónlaSi 21
0
xm
ey 1
1
xm
ey 2
2
complejassolucionestendráecuaciónlaSi 0

5. Resuelva la ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes:
06´´´ yyy 2
m
a 1 b 1 c 6
cab 42
1 1 6
2
)( 4 25 0
a
b
m
2 12
251
2
51
2
51
1
m 3
2
51
2
m 2
1
m 6 0
24
1 25
12

6. solucioneshayComo 20
31
m 22
m
xm
ey 1
1
xm
ey 2
2
ey1
ey2
2211
ycycy
y
x3
x2
1
c x
e3
2
c x
e 2

7. Resuelva la ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes:
2
m
a 1 b 2 c 1
cab 42
1 2 1
2
)( 4 0
a
b
m
2 2
2
1
4
0´2´´ yyy m2 1 0
4
2 0
12

8. soluciónhayComo 10
11
m
xm
ey 1
1
xm
xey 1
2
ey1
xey2
2211
ycycy
y
x
ey1
x
xey2
x1
x1
1
c x
e 2
c x
xe

9. Resuelva la ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
de segundo orden con coeficientes constantes:
036´12´´ yyy 2
m
0))((
06m
m
xm
ey 1
1 ey1
xm
xey 1
2
xey2
2211
ycycy y
m12 36 0
m
m
6
6
m6
m6
m12
6
6m 6m
x6 x6
x
e 6
1
c 2
c x
xe 6

10. TAREA 17
Resuelva la ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes:
05´´ yy

11. Determine una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes, que tenga
como solución xx
ececxy 2
2
2
1
)(
1
y x
e2
2
y x
e 2
1
m 2
m
0))(( mm
2 22 2
xmxm
eyey 21
21
0)2)(2( mm
2
m
042
m
´´y
m2 m2 4 0
y4 0
2211
ycycy
0´´´ cybyay
02
cbmam

12. Determine una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes, que tenga
como solución xx
ececxy 2
21
)(
1
y x
e 2
y
x
e 2
1
m 2
m
0))(( mm
21 2
xmxm
eyey 21
21
0)2)(1( mm
2
m
0232
mm ´´y
m2 m 2 0
´3y y2 0
1
0´´´ cybyay
02
cbmam

13. Determine una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes, que tenga
como solución xx
xececxy 3
2
3
1
)(
1
m
xmxm
xeyey 11
21
x
ey 3
1
0))(( mm
2
m
0962
mm
´´y
x
xey 3
2
333
m3 m3 9 0
´6y y9 0
0´´´ cybyay
02
cbmam

14. TAREA 18
x
eccxy 6
21
)(
Determine una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes, que tenga
como solución

15. Resolver el problema de valor inicial 02´´´ yyy
4)0´(1)0( yycon
2
m
21
m
0))((
xm
ey 1
1
ey1
xm
ey 2
2
ey2
2211
ycycy
y
1)0(ycomo
x
1
0
2
0
1
1 ecec 21
1 cc
´y
xx
ececy 2
2
1
2´
4)0´(ycomo 0x
21
24 cc
4
m 2 0
m
m
2
1
m2
m
m
2m 1m
12
m
x2 x
1
c x
e2
2
c x
e
0
y 1
1
c e2 0
2
c e
0
1
c x
e2
2 2
c
x
e 1
4´y
1
2c e 02
2
c 0
e

16. 21
1 cc
21
24 cc
Resolviendo
3
2
3
5
21
cc
xx
ececy 2
2
1
y
3
5 x
e2
3
2 x
e

17. Resolver el problema de valor inicial y´´+6y´-7y=0
Con y(0)=0 y´(0)=4
2
m
0)1)(7( mm
x
ey1
72
m
07m
xx
ececy 7
21
´y
xx
ececy 7
21
7´
0)0(ycomo
0
21
0 cc
4)0´(ycomo
4
21
74 cc
021
cc
47 21
cc
resolveral
2
1
2
1
21
cc
y
m6 7 0
01m
11
m
x
ey 7
2
1
c x
e 2
c x
e 7
)7(
1
c 0
e 2
c 07
e
1
c 0
e 2
7c 07
e
2
1 x
e
2
1 x
e 7

18. TAREA 19
Resolver el problema de valor inicial y´´- 3y´- 10y = 0
Con y(0)=1 y´(0)=10