El documento trata sobre ecuaciones de recurrencia, relaciones lineales y no lineales, funciones generadoras, números combinatorios y desarreglos. Explica que una ecuación de recurrencia define una sucesión cuyos elementos dependen de elementos anteriores y casos iniciales, y que solucionarla implica encontrar una expresión cerrada independiente de otros valores de la sucesión. También define funciones generadoras como series formales que codifican información sobre una sucesión.

1. Steven Samuel Báez Mariñez ............................................. 21-0414
Roderick Beriguete Alcántara ….......................................19-0719
Matemática Discreta
Sección 01
Dra. Rina Familia

2. Relaciones
Recurrencia
Lineales

3. Ecuaciones d
e recurrencia
Una ecuación de recurrencia es una expresión finita que
define implícitamente una sucesión, en la cual un elemento de
la sucesión se determina por medio de otros elementos más
sencillos, que incluyen casos iniciales o básicos.
Solucionar una ecuación de recurrencia consiste en encontrar
una expresión cerrada para una sucesión que satisfaga la
ecuación, i.e., una expresión en la que los valores de los
elementos de la sucesión no dependan de otros valores de la
sucesión. Para el caso del análisis de algoritmos, es deseable
contar con esta clase de expresiones cerradas, puesto que, a
partir de formulaciones recurrentes para funciones de
complejidad, resulta difícil establecer órdenes de crecimiento
asintótico correspondientes.

4. Ejemplos:
Para las siguientes ecuaciones
de recurrencia la solución se
obtiene de forma elemental.

5. Funciones
generadoras
Una función generadora es una serie formal de
potencias cuyos coeficientes codifican
información sobre una sucesión an cuyo índice
corre sobre los enteros no negativos.
Hay varios tipos de funciones generadoras:
funciones generadoras ordinarias, funciones
generadoras exponenciales, la serie de
Lambert, la serie de Bell y la serie de Dirichlet;
de las cuales abajo se ofrecen definiciones y
ejemplos. Cada sucesión tiene una función
generadora de cierto tipo. El tipo de función
generadora que es apropiada en un contexto
dado depende de la naturaleza de la sucesión
y los detalles del problema que se analiza.

6. Las funciones generadoras son expresiones
cerradas en un argumento formal x. A veces,
una función generadora se «evalúa» en un
valor específico x=a pero hay que tener en
cuenta que las funciones generadoras son
series formales de potencias, por lo que no
se considera ni se analiza el problema de la
convergencia en todos los valores de x.
Por lo mismo es importante observar que las
funciones generadoras no son realmente
funciones en el sentido usual de ser mapeos
entre un dominio y un codominio; el nombre
es únicamente el resultado del desarrollo
histórico de su estudio.
Se pueden crear nuevas funciones generadoras
expandiendo otras funciones generadoras más simples.
Por ejemplo, comenzando con:

7. Ejemplo: Funciones generadoras

8. Ecuación de Recurrencia
Lineal

9. Una ecuación Lineal es una ecuación que diferencialmente hablando
tiene un comportamiento que puede asemejarse a un polinomio.
Esa es una ecuación de carácter Lineal, porque si nos damos cuenta
estamos trabajando en pasos contables o pasos de carácter lineal, pero
viéndolo como si fuese a correlación de resta o suma aritmética.

10. Ecuación de
Recurrencia Lineal
Homogénea

11. • Si g(n) ≡ 0, la relación de recurrencia lineal se llama homogénea.
• Una sucesion recurrente lineal de segundo orden homogenea es: (!) !
an = c1an−1 + c2an−2 , n ≥ 2 a0 = b0 , a1 = b1
• Una solución homogénea para la ecuación de recurrencia lineal con
coeficientes constantes de la forma: , donde se conoce como una raíz
característica y A es una constante determinada por los valores
iniciales.

12. Ecuacion Recurrente No homogenea

13. • Una relación de recurrencia lineal no homogénea de orden k ≥ 1 es
una relación de la forma
• an = c1an−1 + c2an−2 + ... + ck an−k + g(n) , para todo n ≥ k
• En general, tendremos recurrencias de la forma:a0t(n) + a1t(n-1) akt(n-
k) = b1np1(n) + b2np2(n) + ...Y la ecuación característica será:(a0xk +
a1xk ak)(x-b1)G(p1(n))+1(x-b2)G(p2(n))+1... = 0

14. Números
Combinatorios

15. • Los números combinatorios o binomiales se definen por la fórmula
• Equivalen al número de combinaciones sin repetición de n elementos
tomados de r en r.
• Su conjunto ordenado en forma de triángulo toma el nombre de
Triángulo de Pascal, de Tartaglia o Aritmético

16. Desarreglos
• Es un Tipo de Permutación en las que la imagen de cada elemento es
distinta del mismo. Por ejemplo, S=3412, es un desarreglo, pues
S(1)=2, S(2)=4, S(3)=1, S(4)=2.
• Si llamamos S a un desarreglo, se deberá cumplir que S(i) sea distinta
de i para todo i del conjunto.

17. Bibliografía
https://profesores.virtual.uniandes.edu.co/~isis1105/dok
uwiki/lib/exe/fetch.php?media=enlaces:2-ecurecu.pdf
http://www.kramirez.net/Discretas/Material/Presentacion
es/Ecuaciones_de_recurrencia_02-03.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generador
a#:~:text=Es%20com%C3%BAn%20usar%20la%20exp
resi%C3%B3n,Ejemplo.&text=es%20la%20sucesi%C3
%B3n%200%2C1,13%2C21%2C...&text=y%20los%20c
oeficientes%20de%20tal,8%2C13%2C...
https://i.ytimg.com/vi/6G_i8NUdODU/maxresdefault.jpg
https://www.youtube.com/watch?v=ywWg8bk6FLE&ab_
channel=PedroGuillermoFeijooGarcia
http://mate.cucei.udg.mx/matdis/3rec/3rel3.htm
https://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apunte
s/MD_Tema5_Recurrencias.pdf