Estadistica

1. TEMA 4:
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Ma. Isabel Chávez Castro

2. EJEMPLO 1
• A continuación se da una serie de experimentos y su variable
aleatoria correspondiente. En cada caso determine qué
valores toma la variable aleatoria y diga si se trata de una
variable aleatoria discreta o continua.

3. EJEMPLO 1
Haciendo un análisis tendremos:
a) Es una variable aleatoria discreta. Puede tomar valores de 0
a 20.
b) Es una variable aleatoria discreta. Puede tomar valores de 0
a infinito
c) Es una variable aleatoria discreta. Puede tomar valores de 0
a 50
d) Es una variable aleatoria discreta. Puede tomar valores de 0
a 8
e) Es una variable aleatoria continua. Puede tomar valores de
0 a infinito en un intervalo que permita fraccionar.

4. EJEMPLO 2
• Considere las ventas de automóviles en DiCarlo Motors en
Saratoga, Nueva York. Durante los últimos 303 días de
operación, los datos de ventas muestran que hubo 57 días en
los que no se vendió ningún automóvil, 117 días en los que se
vendió 1 automóvil, 72 días en los que se vendieron 2
automóviles, 42 días en los que se vendieron 3 automóviles,
12 días en los que se vendieron 4 automóviles y 3 días en los
que se vendieron 5 automóviles. Sea el experimento
seleccionar un día de operación en DiCarlo Motors y se define
la variable aleatoria de interés como x número de
automóviles vendidos en un día. ¿Cuál será la distribución de
probabilidad de esta variable?
Paso 1: Determinar el valor de la variable aleatoria
En este caso es 0, 1, 2, 3, 4 y 5

5. EJEMPLO 2
Paso 2: Identificar las probabilidades que correspondan a estos
valores
Usamos la definición clásica de probabilidad, para lo cual debemos
encontrar el número total de casos y el número de casos favorables
para cada valor.
No. total de casos: Suma de todos los días = 303
P(0) =
57
303
= 0,1802
P(1) =
117
303
= 0,3861
P(2) =
72
303
= 0,2376
P(3) =
42
303
= 0,1386
P(4) =
12
303
= 0,0396
P(5) =
3
303
= 0,0099

6. EJEMPLO 2
Paso 3: Los datos los
colocamos en una
tabla y los graficamos
Gráfica:

7. EJEMPLO 3
• Es frecuente que los empleados lleguen tarde a trabajar a la
Farmacia Económica (hay cinco empleados en ella). El propietario ha
estudiado la situación durante cierto periodo y determinó que hay
una probabilidad de 0.4 de que cualquier empleado llegue tarde y
que las llegadas de los mismos son independientes entre sí. ¿Cuál es
la probabilidad de que tres empleados inspeccionados al azar hayan
llegado tarde?
Paso 1: Identificar que tipo de distribución de probabilidad es
En este caso sería analizar si cumple con las condiciones de binomial
ya que solamente hay dos opciones de valor de variable: llega tarde o
no llega tarde. Si no cumpliera tocaría ver si cumple la condición para
hipergeométrica.
Cumple con la existencia de dos opciones
Se determinó que el evento presenta una probabilidad de «éxito»
constante (0,4)
El evento puede repetirse muchas veces

8. EJEMPLO 3
Se trata de una distribución de probabilidad binomial, en donde
el «éxito» será llegar tarde y el «fracaso» será no llegar tarde.
Utilizaremos la ecuación:
𝑃 𝑥 =
𝑛!
𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!
𝜋𝑥
(1 − 𝜋)𝑛−𝑥
Paso 2: Identificar los datos que proporciona el ejemplo
n=5
x=3
π=0,4
1-π=1-0,4=0,6
Paso 3: Encontramos la probabilidad buscada

9. EJEMPLO 3
𝑃 𝑥 =
𝑛!
𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!
𝜋𝑥
(1 − 𝜋)𝑛−𝑥
𝑃 3 =
5!
5 − 3 ! 3!
0,43
(1 − 0,4)5−3
𝑃 3 =
5!
2 ! 3!
0,43
(0,6)2
𝑃 3 = 0,2304
Es decir que la probabilidad al azar de que 3 empleados lleguen
tarde es de 0,2304 o su forma porcentual 23,04%
Si se desea graficar esta distribución de probabilidad, deberá
buscarse las probabilidades para los valores de la variable
aleatoria 0, 1 ,2, 4 y 5 completando así la distribución.
El gráfico nos debería dar:

10. EJEMPLO 3
retardos = llegar tarde

11. EJEMPLO 4
• En un grupo de 12 estudiantes 8 son sobresalientes. Por lista
se ha escogido 9 al azar, ¿cuál es la probabilidad de que entre
los seleccionados hayan 5 sobresalientes?
Paso 1: Identificar que tipo de distribución de probabilidad es
En este caso tenemos un grupo pequeño y se observa que los
valores de la variable aleatoria son dos («ser sobresaliente» es el
éxito y «no ser sobresaliente» es el fracaso) pero pueden variar
en función de la muestra que se tome por lo tanto es
hipergeométrica.
Paso 2: Identificamos los datos que nos ofrece el ejercicio
La fórmula que ocuparemos será:
𝑃 𝑥 =
𝑟𝐶𝑥 ×(𝑁−𝑟) 𝐶(𝑛−𝑥)
𝑁𝐶𝑛

12. EJEMPLO 4
r= 8 (es el número de la población señalado como éxito)
x= 5 (es el número de la muestra señalado como éxito)
N=12 (población)
n= 9 (muestra)
Paso 3: Encuentro la probabilidad buscada
𝑃 𝑥 =
𝑟𝐶𝑥 ×(𝑁−𝑟) 𝐶(𝑛−𝑥)
𝑁𝐶𝑛
𝑃 5 =
8𝐶5 ×(12−8) 𝐶(9−5)
12𝐶9
𝑃 5 =
8𝐶5 ×4 𝐶4
12𝐶9
Encontrando por separado cada combinación:

13. EJEMPLO 4
8𝐶5=
8!
8−5 !5!
=
8!
3!5!
= 56
4𝐶4=
4!
4−4 !4!
=
4!
4!0!
= 1
12𝐶9=
12!
12−9 !9!
=
12!
3!9!
= 220
𝑃 5 =
56(1)
220
=
14
55
= 0,2545
Es decir que la probabilidad de que en la muestra de 9
estudiantes haya 5 sobresalientes es del 0,2545 o su valor
porcentual: 25,45%
Si deseamos graficar esta distribución deberemos calcular
las probabilidades del resto de valores de la variable
(0,1,2,3,4,6,7,8) tomando como n=9

14. EJEMPLO 5
• El promedio de llamadas que pasan por una central telefónica
en un minuto es igual a tres. Hallar la probabilidad de que en
dos minutos se hagan:
a) 4 llamadas
b) Menos de 4 llamadas
Paso 1: Identificar que tipo de distribución se trata
Como se observan es una distribución que se produce en el
tiempo, y en esa lógica lo mejor es usar Poisson.
Paso 2: Identificar los datos que nos proporciona el ejercicio
𝑃 𝑥 =
(𝜇𝑡)𝑥
𝑒−𝜇𝑡
𝑥!
μ=3 min
t= 2 min
x=4 (en el primer caso)
x<4 (en el segundo caso)

15. EJEMPLO 5
Paso 3: Encontramos el valor de la probabilidad para cada
caso
Caso a)
𝑃 𝑥 =
(𝜇𝑡)𝑥𝑒−𝜇𝑡
𝑥!
𝑃 4 =
(3 × 2)4𝑒−(3×2)
4!
=
64𝑒−6
4!
= 0,135
Es decir la probabilidad de que lleguen en 2 minutos 4 llamadas
es 0,135 o su forma porcentual de 13,5%

16. EJEMPLO 5
Caso b)
Nos pide MENOS DE 4 llamadas, esto quiere decir que hay que
considerar todas las opciones menores a 4. Por lo tanto habrá que
calcular las probabilidades de que haya:
0 llamadas, 1 llamada, 2 llamadas y 3 llamadas
Y para obtener la probabilidad buscada, debemos sumar las 4
anteriormente mencionadas.
𝑃 0 =
(3 × 2)0
𝑒−(3×2)
0!
=
60
𝑒−6
1
𝑃 1 =
(3 × 2)1
𝑒−(3×2)
1!
=
61
𝑒−6
1
𝑃 2 =
(3 × 2)2
𝑒−(3×2)
2!
=
62
𝑒−6
2
𝑃 3 =
(3 × 2)3
𝑒−(3×2)
3!
=
63
𝑒−6
6

17. EJEMPLO 5
Sumando todas las probabilidades tenemos que:
P(x<4) =
1×𝑒−6
1
+
6×𝑒−6
1
+
36×𝑒−6
2
+
216×𝑒−6
6
P(x<4) =𝑒−6
(1 + 6 + 18 + 36)
P(x<4) = 0,1525
Es decir que la probabilidad de que lleguen menos de 4 llamadas
en dos minutos es del 0,1525 o su forma porcentual 15,25%.