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1-1
Capítulo seis
Distribuciones probabilísticas
discretas
OBJETIVOS
Al terminar este capítulo podrá:
UNO
Definir los términos de distribución de probabilidad y variable aleatoria.
DOS
Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una continua.
TRES
Calcular la media, la variancia y la desviación estándar de una distribución
pobabilística discreta.
CUATRO
Describir las características y calcular las probabilidades usando la
distribución de probabilidad binomial.

1-1
Capítulo seis continuación
discretas
OBJETIVOS
Al terminar este capítulo podrá:
CINCO
Describir las cracterísticas y calcular las probabilidades usando la
dsitribución hipergeométrica.
SEIS
Describir las características y calcular las probabilidades usando la
distribución de Poisson.

Variables aleatorias
• Una variable aleatoria es un valor
numérico determinado por el resultado de
un experimento.
• EJEMPLO 1: considere un experimento
aleatorio en el que se lanza tres veces
una moneda. Sea X el número de caras.
Sea H el resultado de obtener una cara y
T el de obtener una cruz.
6-3

EJEMPLO 1 continuación
• El espacio muestral para este
experimento será: TTT, TTH, THT, THH,
HTT, HTH, HHT, HHH.
• Entonces, los valores posibles de X
(número de caras) son x = 0, 1, 2, 3.
6-4

EJEMPLO 1 continución
• El resultado “cero caras” ocurrió una vez.
• El resultado “una cara” ocurrió tres veces.
• El resultado “dos caras” ocurrió tres veces.
• El resultado “tres caras” ocurrió una vez.
• De la definición de variable aleatoria, la X
definida en este experimento, es una
variable aleatoria.
6-5

• Una distribución probabilística es la
enumeración de todos los resultados de
un experimento junto con las
probabilidades asociadas. Para el
EJEMPLO 1,
Número de caras Probabilidad de los resultados
0 1/8 = .125
1 3/8 = .375
2 3/8 = .375
3 1/8 = .125
Total 8/8 = 1
6-6

Características de una distribución porbabilística
• La probabilidad de un resultado siempre
debe estar entre 0 y 1.
• La suma de todos los resultados
mutuamente excluyentes siempre es 1.
6-7

Variable aleatoria discreta
• Una variable aleatoria discreta es una
variable que puede tomar sólo ciertos
valores diferentes que son el resultado de
la cuenta de alguna característica de
interés.
• EJEMPLO 2: sea X el número de caras
obtenidas al lanzar 3 veces una moneda.
Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3.
6-8

Variable aleatoria continua
• Una variable aleatoria continua es una
variable que puede tomar un número
infinito de valores.
• Ejemplos: la altura de un jugador de
básquetbol o el tiempo que dura una
siesta.
6-9

Media de una distribución probabilística discreta
• La media:
· indica la ubicación central de los datos.
· es el promedio, a la larga, del valor de
la variable aleatoria.
· también se conoce como el valor
esperado, E(x), en una distribución de
probabilidad.
· es un promedio ponderado.
6-10

Media de una distribución probabilística discreta
• La media se calcula con la fórmula:
• donde  representa la media y P(x) es la
probabilidad de los diferentes resultados x.
)]
(
*
[
=
)
(
= x
P
x
x
E
6-11


Variancia de una distribución probabilística
discreta
• La variancia mide la cantidad de dispersión
(variación) de una distribución.
• La variancia de una distribución discreta se
denota por la letra griega (sigma
cuadrada).
• La desviación estándar se obtiene
tomando la raíz cuadrada de .
 2
 2
6-12

Variancia de una distribución probabilística
discreta
• La variancia de una distribución de
probabilidad discreta se calcula a partir de
la fórmula
 
2 2
 
[( ) * ( )]
x P x
6-13

EJEMPLO 2
• Dan Desch,
propieatario de
College Painters,
estudió sus
registros de las
últimas 20
semanas y obtuvo
los siguientes
números de casas
pintadas por
semana:
# de casas pintadas Semanas
10 5
11 6
12 7
13 2
6-14

• Distribución probabilística:
Número de casas
pintadas, X
Probabilidad, P(X)
10 .25
11 .30
12 .35
13 .10
Total 1
6-15

EJUEMPLO 2 continuación
• Calcule el número medio de casas
pintadas por semana:
  
   

E x xP x
( ) [ ( )]
( )(. ) ( )(. ) ( )(. ) ( )(. )
.

10 25 11 30 12 35 13 10
113
6-16

• Calcule la variancia del número de casas
pintadas por semana:
 
2 2
4225 0270 1715 2890
91
 
   

[( ) ( )]
. . . .
.
x P x
6-17

Distribución probabilística binomial
• La distribución binomial tiene las
siguientes características:
· un resultado de un experimento se clasifica en
una de dos categorías mutuamente
excluyentes -éxito o fracaso.
· los datos recolectados son resultados de
contar.
· la probabilidad de éxito es la misma para cada
ensayo.
· los ensayos son independientes.
6-18

• Para elaborar una distribución binomial,
sea
· n el número de ensayos
· x el número de éxitos observados
· la probabilidad de éxito en cada ensayo

6-19

• La fórmula para la distribución de
probabilidad binomial es:
P x
n
x n x
x n x
( )
!
!( )!
( )


 
 
1
6-20

EJEMPLO 3
• La Secretaría del Trabajo del estado de
Alabama reporta que 20% de la fuerza de
trabajo en Mobile está desempleada. De
una muestra de 14 trabajadores, calcule
las siguientes probabilidades con la
fórmula de la distribución binomial (n=14,
=.2, ):
· tres están desempleados: P(x=3)=.250

6-21

• Nota: éstos también son ejemplos de
distributions probabilísticas acumulativas:
· tres o más están desempleados:
P(x  3)=.250 +.172 +.086 +.032
+.009 +.002=.551
· al menos un trabajador está
desempleado: P(x  1) = 1 - P(x=0) =1 -
.044 = .956
· a lo más dos trabajadores están desem-
pleados: P(x  2)=.044 +.154 +.250
=.448
6-22

Media y variancia de la distribución binomial
• La media está dada por:
• La variancia está dada por:
 
 n
  
2
1
 
n ( )
6-23

EJEMPLO 4
• Del EJEMPLO 3, recuerde que  =.2 y
n=14.
• Así, la media = n  = 14(.2) = 2.8.
• La variancia = n  (1 -  ) = (14)(.2)(.8)
=2.24.
6-24

Población finita
• Una población finita es una población que
consiste en un número fijo de individuos,
objetos o medidas conocidos.
• Los ejemplos incluyen: el número de
estudiantes en esta clase, el número de
automóviles en el estacionamiento.
6-25

Distribución hipergeométrica
• Fórmula:
• donde N es el tamaño de la población,
S es el número de éxitos en la
población, x es el número de éxitos de
interés, n es el tamaño de la muestra, y
C es una combinación.
P x
C C
C
S x N S n x
N n
( )
( )( )
  
6-26

Distribución hipergeométrica
• Use la distribución hipergeométrica para
encontrar la probabilidad de un número
específico de éxitos o fracasos si:
· la muestra se selecciona de una
población finita sin reemplazo (recuerde
que un criterio para la distribución
binomial es que la probabilidad de éxito
es la misma de un ensayo a otro).
· el tamaño de la muestra n es mayor que
5% del tamaño de la población N.
6-27

EJEMPLO 5
• La National Air Safety Board tiene una
lista de 10 violaciones a la seguridad
reportadas por ValueJet. Suponga que
sólo 4 de ellas son en realidad
violaciones y que el Safety Board sólo
podrá investigar cinco de las
violaciones. ¿Cuál es la probabilidad de
que tres de las cinco violaciones
seleccionadas al azar para investigarlas
sean en realidad violaciones?
6-28

P
C C
C
( )
* *
.
3
4 15
252
238
4 3 6 2
10 5
  
N=10
S=4
x=3
n=5
6-29

Distribución de Poisson
• La distribución de probabilidades binomial
se hace cada vez más sesgada a la
derecha conforme la probabilidad de
éxitos disminuye.
• La forma límite de la distribución binomial
donde la probabilidad de éxito  es muy
pequeña y n es grande se llama
distribución de probabilidades de Poisson.
6-30

• La distribución de Poisson se puede
describir matemáticamente por la fórmula:
• donde  es la media aritmética del número
de ocurrencias en un intervalo específico
de tiempo, e es la constante 2.71828 y x
es el número de ocurrencias.
P x
e
x
x u
( )
!



6-31

• El número medio de éxitos  se puede
determinar en situaciones binomiales por
n , donde n es el número de ensayos y 
la probabilidad de éxito.
• La varianza de la distribución de Poisson
también es igual a n .
6-32

EJEMPLO 6
• La Sylvania Urgent Care se especializa en
el cuidado de lesiones menores, resfriados
y gripe. En las horas de la tarde de 6-10
PM el número medio de llegadas es 4.0
por hora.
• ¿Cuál es la probabilidad de 4 llegadas en
una hora? P(4) = (4^4)(e^-4)/4!=.1954.
6-33

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