Este documento presenta varios ejemplos y definiciones relacionadas con distribuciones de probabilidad especiales como la binomial, la Poisson y la exponencial. Incluye teoremas y demostraciones sobre estas distribuciones. También presenta problemas resueltos sobre el cálculo de probabilidades usando estas distribuciones para modelar diferentes situaciones aleatorias.

1. Esperanza matemática Marzo 11-2013.
Ejemplo:
Sea x el tiempo que se tardan en atendernos en el banco Chafaamex, otra variable aleatoria con
distribución
¿En promedio cuanto tiempo se tardan en atender a los clientes en el banco?
Solución: La variable es continua

2. Ejemplo 2:
Ciertas mediciones codificadas del diámetro de avance de la cuerda de un ajuste tienen la
densidad de probabilidad
Determinar el valor esperado de esta variable aleatoria
Solución: La variable es continua

3. Valor esperado de lo que sea
Ejemplo:
El número de hijos en un edificio de departamentos
X 0 1 2 3 4
f(x)
Apoyo económico del Gobierno por número de hijos
 Encuentre el apoyo promedio para las familias de ese edificio.
Solución:
Ejemplo 2:
Sea x una variable aleatoria con distribución
X 3 5 7
f(x)

4. Valor esperado de lo que sea 13-Marzo-2013.
Ejemplo 1.
Sea x una variable aleatoria con distribución
X 3 4 5
f(x)
Ejemplo2:
Sea x una variable aleatoria con distribución
X -2 -1 0 1 2
f(x)

5. Teorema
El valor esperado es una transformación lineal, i.e, E[ax+b]=aE[x]+b
 Demostración
i) Sea x una variable aleatoria discreta. Sea f(x) una función de probabilidad
ii) Sea x una variable aleatoria continua. Sea f(x) una función de probabilidad
Corolario
E[b]=b
Ejemplo:
Sea x una variable aleatoria discreta con distribución
X -2 -1 0 1 2
f(x)
Encuentre:

6. Desviación estándar, Varianza. 14-Marzo-2013.
Definición:
Sea x una variable aleatoria. Sea f(x) una función de probabilidad. Se define la varianza de x,
denotada por Donde:
A la raíz cuadrada de la varianza le llamaremos desviación estándar, denotada por
Ejemplo 1:
Sea x el número de veces por semana que se cae el sistema en el SAES, una variable aleatoria con
distribución:
X 0 1 3 5 10
f(x)
Encuentre el número de veces que esperamos se cayera el sistema la próxima semana y la
desviación estándar de x.

7. Ejemplo2:
La variable es discreta. Número de niños por departamento con distribución siguiente:
X 0 1 2 3 4
f(x)

8. Para interpretar construimos un intervalo:
¿ ¿Cuál es el intervalo? ¿Qué significa…?
…Es donde se localizan el mayor número de datos.
X 0 1 2 3 4
f(x)
El intervalo real = (0,4)
Observación: La desviación estándar nos sirve para crear el intervalo en donde se localizan la
mayoría de los datos dado por . Para dar un intervalo real, en el límite
inferior tomaremos la parte entera y para el límite superior el siguiente entero.
Teorema:
 Demostración:
Nota: No se pueden obtener números negativos. El valor mínimo que podría tomar es cero.

9. Ejemplo 3:
El tiempo que se tardan en un verificentro es una variable aleatoria continua con distribución:
Encuentre la desviación estándar.
Lunes 01 de abril 2013

10. Ejemplo: Sea x el número de niños por departamento en un edificio con distribución
X 0 1 2 3 4
F(x) 1/11 2/11 4/11 3/11 1/11
Encuentre:
i) σ
ii) µ3
Solución:
La variable es discreta
¿P(Ω)= 1?
=
Existen en promedio 2 niños por departamento

11. Por cada departamento tienen entre 1 y 4 niños.
Disimetria de la estadística: Indica hacia donde se cargan los datos
Aquí solo interesa el signo, el resultado numérico no.
Tomamos estos datos a partir del promedio, en este caso es 2.
X 0 1 2 3 4
F(x) 1/11 2/11 4/11 3/11 1/11
Significa que hay mas de dos niños por departamento, se carga hacia 4 niños
Definición.-
Sea una variable aleatoria. Sea f(x) una función de probabilidad.
Se define como DISIMETRIA de una estadística al tercer momento, su signo algebraico de este

12. La estadística es POSITIVAMENTE DISIMETRICA
La estadistica es NEGATIVAMENTE DISIMETRICA
La estadística es SIMETRICA
La disimetría de una estadística nos indica hacia donde están cargados los datos
Observación:
entonces

13. Miércoles 10 abril 2013
DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE PROBABILIDAD
Definición.- Sea x una variable aleatoria
Se dice que x tiene una DISTRIBUCION BINOMIAL, si x tiene solamente dos posibles resultados
llamados ÉXITO y FRACASO.
La función de distribución de una variable binomial está dada por:
x= 0,1 ,2 ,3 … n
F(x) =
0 otro caso
En donde:
n: Número de experimentos simples
p: Probabilidad de éxito en un experimento
q: Probabilidad de fracaso en un experimento
x: Número de éxitos
Ejemplo:
Se lanzan 15 monedas al aire, Cuál es la probabilidad de obtener:
i) 8 águilas
ii) Entre 6 y 9 águilas
iii) Al menos dos águilas
Solución:
i)

14. n: 15
p: ½
q: ½
ii)
iii)
2.- La probabilidad de que un semidios desarrolle un sistema que no funcione es de 5%. ¿Cuál es la
probabilidad de que 8 sistemas desarrollados por un egresado de ESCOM, fallen 3?
Solución:
n: 8
p: 0.05
q: 0.95
x: 3

15. 3.- Un examen de confusión multiple consta de 8 preguntas, con 4 posibles respuestas a cada
pregunta. Para aprobarlo con calificación minima hay que contestar 7 preguntas. Si se esta
adivinando, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar dicho examen?
Solución:
Datos:
n: 8
p: ¼
q: ¾
x ≥ 7

16. Jueves 11 abril 2013
1.- El 20 % de los zapatos fabricados por la zapateria “El Huarache Veloz” son defectuosos, ¿Cuál
es la probabilidad de que en un lote de 20 pares de zapatos haya 8 defectuosos?
Solución:
n: 20
p: 0.2%
q: 0.8%
x = 8
Teorema
La distribución binomial es un espacio de probabilidad
Demostración. Por demostrar que P(Ω)= 1
Deberíamos saber que
Si a = p b = q
ya que
Distribución Binomial

17. 2.- El 30% de los vasos de precipitados que se venden en el laboratorio son Laguer, el 20% son Sol
y el resto son Indio. ¿Cuál es la probabilidad de que en un servicio de 15 vasos de precipitados se
vendan 5 Indios?
Solución:
n: 15
p: 0.5%
q: 0.5%
x = 5
3.- El 30% de los alumnos de ESCOM son mujeres. Si se seleccionan aleatoriamente a 12 alumnos,
¿Cuántas mujeres esperaríamos que hubiera en esa selección?
Solucion:
n: 12
p: 0.3
q: 0.7
+ + +
+ 4 + + + +
8 + + + +
ii) ¿Y en un grupo de 5 alumnos?
+ + + + 4 +

18. 15-Abril-2013
Sea x una variable binomial
Demostración
Demostración

19. Ejemplo
1. Se lanzan 32 monedas al aire calcule :
i)
ii)
Solución
n =32
p =1/2
q =1/2
Teorema
Sea x una variable binomial
Demostración
Parte uno
Parte dos

20. Parte tres

21. Ejemplos
1. El 25% de los zapatos fabricados por la zapatería 2el huarache veloz “son
defectuosos.
En un lote de 80 pares, cuantos defectuosos esperaríamos encontrar y en ue
intervalo están la mayoría de los defectuosos?
Solucion
n =80
p=.25
q=.75
2. El 20% de las personas que asistan la teatro se quedan dormidas ¿Cuál es las
probabilidad de que la quinta persona observada en un teatro sea la segunda que
este dormida ?
Solución
con binomial negativa

22. 17-Abril-2013
Ejemplo
1. el 30% de las personas expuestas a una infección pulmonar mueren del
corazón. Si en el hospital “Ruben el ñero” hay 8 personas infectadas , ¿Cuál es
la probabilidad de que ?
i) 5 personas mueran?
ii) La octava persona contagiada sea la quinta en morir?
Solución
i)
ii)
Definición sea X una variable binomial
Si en el experimento n queremos que suceda exactamente el éxito X, estamos hablando de
una DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA, y su función esta dad por
Ejemplo
2. La probabilidad de aprobar un ETS de probabilidad es de el 40% ¿Cuál es la
probabilidad de que en el quinto experimento tengamos el segundo exito?
NOTA: este problema pues no se puede resolver por que no se puede llegar al
segundo éxito ,por que desde el primero se termina todo. Ya pasa el ETs desde el
primer intento, para que haría un segundo examen

23. Definición
Sea X una variable binomial
Si lo que nos interesa obtener es el éxito en el experimento n, estamos
hablando de una DISTRIBUCION GEOMETRICA, y su función esta dado por:
Ejemplo
3. La probabilidad de aprobar un ETS de probabilidad es de 40% ¿Cuál es la
probabilidad de aprobar un ETs en?
i) intento
ii) intento
ii) intento
solución

24. i)
ii)
iii)
Teorema
La DISTRIBUCION GEOMETRICA es una distribución de probabilidad
Demostración

25. 18- Abril-2013
Ejemplos
1. El grupo 3 ro B de 30 alumnos tiene 8 niñas, si se seleccionan 10 alumnos . cual es
la probabilidad de seleccionar 4 niñas?
Solución
N =30
n = 10
K=8
X=8
2. un lote de maquinitas contiene 2 defectuosas, si seleccionamos 4 maquinitas ¿Cuál
es la probabilidad de seleccionar una defectuosa?
N =10
n = 4
K=2
X=1
Definición sea X una variable binomial
Si de una población tomamos una muestra y queremos X éxitos en la muestra,
estamos hablando de una DISTRIBUCION HIEPERGEOMETRICA

26. Sea x una variable binomial
Si entonces emplearemos la DISTRIBUCION DE POISSON , cuya
función esta dada por :
La probabilidad de que un alumno que viene de Batís apruebe análisis vectorial en el
primer caso es de el 10% ¿cual es la probabilidad de que 20 de los 150 alumnos que tiene
de Batís aprueben análisis vectorial?
n =150
p=0.1
X=20
=.0418 o 4.2 %
22- Abril-2013
Ejemplos
1. El 3 % de los sospechosos por terrorismo son terroristas
Si el FBI captura a 87 sospechosos ¿Cuál es la probabilidad de que 4 sean
terroristas?
Solución

27. Teorema
La DISTRIBUCIÓN DE POISSON es de probabilidad
Demostración
Solución:

28. Ejemplos
1. En promedio una secretaria de control escolar comete 5 errores por pagina
inscrita. ¿Cuál es la probabilidad de que en la próxima página la secretaria cometa
entre 4 y 7 errores?
Solución
Np=5=
2. En promedio el departamento de formación básica recibe 4 llamadas x hpora a
tiempo de exámenes ¿ cual es la probabilidad de que las próximas 3 horas se
reciban de 10 a 12 llamadas?
Solución
Definición sea X una variable binomial, se dice que x tiene DISTRIBUCION EXPONENCIAL, si
su función esta dada por:
En donde

29. 24- Abril-2013
Teorema
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad
Demostración
Teorema
Sea X una variable exponencial
Demostración
Tiempo de espera

30. Ejemplos
1. Si el numero de automovilistas que corra a alta velocidad que un radar detecta por
hora es la avenida insurgentes es una variable aleatoria exponencial con
cual es la proabilidad de tener un tiempo de espera menor de 10 minutos entre
automovilistas que circulan a alta velocidad?
Solución
06-Mayo-2013
Ej.1 Sea x el tiempo en días que se tardan en Control Escolar para dar una baja temporal, con una
media de 45 días y desviación estándar de 10 días. Cuál es la probabilidad de que den una baja
temporal entre 46 y 50 días?
Solucion.