Este documento resume tres distribuciones de probabilidad discretas: la distribución binomial, la hipergeométrica y la de Poisson. Explica que la distribución binomial modela experimentos con dos resultados posibles, la hipergeométrica experimentos de muestreo sin reposición de una población finita dividida en dos clases, y la de Poisson eventos aleatorios en el tiempo. Además, proporciona ejemplos y fórmulas para calcular probabilidades usando cada distribución.

1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL, HIPERGEOMÉTRICA, POISSON

2. Una distribución probabilística es la
enumeración de todos los resultados
de un experimento junto con las
probabilidades asociadas.
DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS

3. Distribución Probabilística
La distribución de una variable X se define
como una descripción del conjunto de valores
posibles de X, junto con la probabilidad
asociada con cada uno de estos valores
Para una variable aleatoria discreta la
distribución de probabilidad se describe
mediante una función de probabilidad,
representada por f(x). Donde esta función
define la probabilidad de cada valor de la
variable analizada

4. Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el
resultado de un experimento.
Ejemplo 1: considere un experimento aleatorio en el que se
lanza tres veces una moneda. Sea X el número de caras. Sea H
el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz.
El espacio muestral para este experimento será: TTT, TTH,
THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH.
Entonces, los valores posibles de X (número de caras) son x = 0,
1, 2, 3,
El resultado será: “cero caras” ocurrió una vez, “una cara”
ocurrió tres veces, “dos caras” ocurrió tres veces y “tres
caras” ocurrió una vez.
De la definición de variable aleatoria, la X definida en este
experimento, es una variable aleatoria.
VARIABLE ALEATORIA

5. Una variable aleatoria discreta es
una variable que puede tomar sólo
ciertos valores diferentes que son el
resultado de la cuenta de alguna
característica de interés.
Ejemplo 2: sea X el número de
caras obtenidas al lanzar 3 veces una
moneda. Aquí los valores de X son
x = 0, 1, 2, 3
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

6. 6
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (V. DISCRETAS)
• Asigna a cada posible valor de
una variable discreta su
probabilidad.
• Recuerda los conceptos de
frecuencia relativa y diagrama de
barras.
• Ejemplo
– Número de caras al lanzar 3
monedas. 0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
0 1 2 3

7. Si se mide algo, como el tamaño de
una pieza metálica, se dice que es
una variable aleatoria continua.
Puede tomar una cantidad infinita de
valores dentro de ciertas limitaciones.
Ejemplo 3: La presión de un
neumático en (lb/pulg2) podría ser
28.0, 28.6, 28.62, 28.624 y así
sucesivamente, dependiendo de la
exactitud del medidor.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

8. 8
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
• Es la función que asocia a cada valor de una variable, la
probabilidad acumulada de los valores inferiores o
iguales.
• A los valores extremadamente bajos les corresponden
valores de la función de distribución cercanos a cero.
– A los valores extremadamente altos les
corresponden valores de la función de distribución
cercanos a uno.
– Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en
forma de “p-valor”, significación,…

9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

10. Distribución Binomial
• Es una de las distribuciones de probabilidad
útiles. Sus áreas de aplicación incluyen
inspección de calidad, ventas,
mercadotecnia, medicina, investigación de
opiniones y otras. En un experimento el
resultado puede serla ocurrencia o la no
ocurrencia de un evento y se le llama ‘éxito’
a la ocurrencia del evento y ‘fracaso’ a su no
ocurrencia. Además sea p la probabilidad de
éxito y 1-p a la probabilidad de fracaso.

11. 1. Se ocupa de experimentos en donde cada
resultado puede tomar solo una de dos formas.
2. Cada resultado es mutuamente excluyente (esto
quiere decir que la respuesta no puede ser
verdadero y falso al mismo tiempo).
3. También puede ser denotado como éxito y
fracaso.
CARACTERISTICA DISTRIBUCION BINOMIAL

12. 4. Los datos recopilados son resultado de conteos.
Es por esta razón que la distribución binomial
se clasifica como discreta.
5. Que la probabilidad de un éxito permanece
igual de un ensayo a otro.
6. Es que un ensayo es independiente de otro. No
existe un patrón rítmico con respecto a los
resultados.

13. • Las dos suposiciones claves para la
distribución Binomial son:
La probabilidad de éxito p permanece
constante para cada ensayo.
Los n ensayos son independientes entre sí.

14. • Para obtener la función de distribución Binomial
primero se determina la probabilidad de tener n
ensayos, x éxitos consecutivos seguido de n-x
fracasos consecutivos, dado que los n ensayos
son independientes
xnx
pppppppp 
 )1()1)...(1)(1.(....
X términos (n-x) términos

15. Definición
• Sea X una variable aleatoria que representa el
número de éxitos en ensayos y p la
probabilidad de éxito con cualquiera de estos
se dice entonces que x tiene una distribución
binomial con función de probabilidad.
xnx
pp
xxn
n 


)1(
!)!(
!
0 para cualquier otro valor: 0 ≤ p ≤ 1,
Para n entero
X = 0,1,2,…n
p(x;n,p)

16. 16
Ejemplo 1: Si una décima parte de personas tiene cierto
grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre
100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas
pertenezcan a este grupo sanguíneo?
928
10110
8
100
8
810010
1
).-().()p(
x;n;.p
p)(p
x
n
p(x) xnx














 

17. 17
Ejemplo 2: ¿Y si la pregunta es 8 como máximo?




















8
0
100
8
0
9.0)1.0(
100
18
x
xx
x
xnx
)(
x
p)(p
x
n
)p(x

18. 18
Ejemplo 3: Calcula la probabilidad de obtener al menos
dos seises al lanzar un dado cuatro veces.
p = 1/6, q = 5/6, n = 4
4322
6
1
4
4
6
5
6
1
3
4
6
5
6
1
2
4

















































132.0
1296
171
)154256(
6
1
4

Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4.
P(2) + P(3) + P (4)
),....1,0()( nkqp
k
n
kP knk






 

19. 19
Ejemplo 4 Supongamos que la probabilidad de encontrar
una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar
joven es del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una
muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo
encontremos 3 estrellas con m* >10 M?
...).-().()p(
x;n;.p
p)(p
x
n
p(x)
-
xnx
0060967004300401040
3
10
3
310040
1
3103














 

20. 20

21. 21
Consideremos una población finita con
N elementos, divididos en dos clases una
con M elementos (M<N) y la otra con N-
M elementos. Llamemos “éxito” a la
primera clase y fracaso a la segunda
N - MM

22. Ejemplos
• Un lote de N elementos de una
producción, se divide en defectuosos
con M elementos y no defectuosos con
N-M elementos.
• Un salón de clase con N estudiantes, de
los cuales M tienen cierta enfermedad,
y N-M no tienen dicha enfermedad.

23. 23
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
• N Tamaño de la población
• M Número de éxitos en la población
• x Número de éxitos que interesan (0,1,2,3,...)
• n Tamaño de la muestra
• C Símbolo de la combinación
Pr =
(MCx)*(N-MCn-x)
(NCn)

24. 24
ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE
HIPERGEOMETRICA
µ = E(X) = n*M
N
VARIANZA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA
σ2= E[(X - µ)2]

25. 25
Ejemplo 1:
Una empresa durante la semana
fabricó 50 DVDs (N=50). Operaron
sin problemas 40 (M=40) y 10
tuvieron al menos un defecto. Se
selecciona al azar una muestra de 5
(n=5). Utilizando la fórmula
hipergeométrica ¿Cuál es la
probabilidad que cuatro (x=4) de los
cinco operarán sin problemas?
(Observar que se hace sin reposición
y que el tamaño de muestra de 5 es
de 10% de la población. Esto es mayor
que la condición de 5%).

26. 26
Solución:
• N = 50
• M = 40
• x = 4
• n = 5
Pr =
(40C4)*(50-40C5-4)
(50C5)
= 0.431
NÚMERO QUE FUNCIONÓ CORRECTAMENTE PROBABILIDAD
0 0.000
1 0.004
2 0.044
3 0.210
4 0.431
5 0.311

27. 27
DISTRIBUCION
HIPERGEOMETRICA
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
1 2 3 4 5 6
x
P

28. 28
Ejemplo 2:
Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs (N=50).
Operaron sin problemas 40 (S=40) y 10 tuvieron al menos
un defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 (n=5).
Utilizando la fórmula hipergeométrica ¿Cuál es la
probabilidad que cuatro (r=3) de los cinco operarán sin
problemas? (Observar que se hace sin reposición y que el
tamaño de muestra de 5 es de 10% de la población. Esto
es mayor que la condición de 5%).
Solución: • N=50;M= 40;x= 3; n = 5
Pr =
(40C3)*(50-40C5-3)
(50C5)
= 0.210

29. 29
Ejemplo 3:
Se acaba de recibir un embarque de
10 TV. Poco después de recibirlos, el
fabricante llamó para informar que
por descuido se habían enviado tres
aparatos defectuosos.
Se decidió probar dos de estos ¿Cuál
es la probabilidad que ninguno de los
dos este defectuoso?

30. 30
Solución:
• N = 10
• M = 7
• x = 2
• n = 2
Pr =
(7C2)*(10-7C2-2)
(10C2)
= 0.466667
NÚMERO QUE FUNCIONÓ
CORRECTAMENTE
PROBABILIDAD
0 0.0666667
1 0.466667
2 0.466667

31. 31
Ejemplo 4:
• Considerando que en la urna
hay un total de 10 objetos, 3 de
los cuales son defectuosos, si
de seleccionan 4 objetos al azar,
¿cuál es la probabilidad de que
2 sean defectuosos?
•

32. 32
Solución:
• N = 10
• M = 3
• x = 4
• n = 2
Pr =
(3C2)*(10-3C4-2)
(10C4)
= 0.30
NÚMERO QUE FUNCIONÓ
CORRECTAMENTE
PROBABILIDAD
0 0.166667
1 0.500000
2 0.300000

33. 33
Ejemplo 5:
Para evitar que lo descubran en la aduana,
un viajero ha colocado 6 tabletas de
narcótico en una botella que contiene 9
píldoras de vitamina que son similares en
apariencia. Si el oficial de la aduana
selecciona 3 tabletas aleatoriamente para
analizarlas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero
sea arrestado por posesión de narcóticos?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea
arrestado por posesión de narcóticos?.

34. 34
Solución:
• N = 15; M = 6 ; x = 1,2,3; n = 3
a)
Pr =
(6C1)*(15-6C6-1)+
(15C3)
(6C2)*(15-6C6-2)+ (6C3)*(15-6C6-3)
NÚMERO QUE FUNCIONÓ CORRECTAMENTE PROBABILIDAD
0 0.184615
1 0.474725
2 0.296703
3 0.043956
0.815384SUMAMOS Y……
b) Pr =
(6C0)*(15-6C3-0)
(15C3)
= 0.184615

35. 35
Ejemplo 6:
De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar
y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles
defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la
probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al
menos 2 no exploten?
Solución:
• N = 10; M= 7 ;x = 4 ;n = 4
a)
Pr =
(35)*(1)
(210)
=0.16667

36. 36
b)
= 0.333333
Pr =
(3C2)*(10-3C4-2)
(10C4)
(3C3)*(10-3C4-3)+
Pr =
(3)*(21)
(210)
(1)*(7)+
Pr =
63
210
7+

37. 37
EjERCICIO PROPUESTO:
Una compañía manufacturera utiliza un esquema
para la aceptación de los artículos producidos
antes de ser embarcados. El plan es de dos
etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque
y se selecciona una muestra de 3 para verificar si
tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra
uno, la caja entera se regresa para verificarla al
100%. Si no se encuentra ningún artículo
defectuoso, la caja se embarca. a)¿Cuál es la
probabilidad de que se embarque una caja que
tiene tres artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la
probabilidad de que una caja que contiene solo
un artículo defectuoso se regresa para
verificación?