ECUACIONES I.doc

Segundo Año
Álgebra 1
INDICE
 Ecuaciones I …………………………. 03
 Ecuaciones II …………………………. 16
 Inecuaciones …………………………. 21
 Valor Absoluto ……………………….. 37
 Números Complejos …………………. 46
 Formulario …………………………….. 60
 Miscelánea ……………………………..73

Segundo Año
Álgebra 2
TEMA: ECUACIONES I
HISTORIA:
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde
fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas
(ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con
varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación
cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy enseñan.
También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Heron y Diofante continuaron con la tradición
de Egipto y Babilonia, aunque el libro “Las Aritméticas de Diofante” es de
bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para
ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución
de ecuaciones encontró a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde
se le llamo “Ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al – jabru,
que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el
matemático Al – Jwarizmi escribió uno de los primeros libro árabes de
álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de
ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX,
el matemático egipcio AbuKamil enuncio y demostró las leyes fundamentales
e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como
encontrar las x, y, z que cumplen: x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; xz = y2
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas
utilizando abreviaturas solo ocasionalmente: sin embargo; en la Edad Media,
los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la
incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque
sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y
extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del
teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khyyam
mostró como expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los
segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue
capaz de encontrar una formula para las raíces. La traducción al latín del
álgebra de Al – Jwarizmi fue publicada en el XII. A principios del siglo XIII, el
matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una
aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica: x3
+ 2x2 + cx = d.

Segundo Año
Álgebra 3
Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizo el
método arábigo de aproximaciones sucesivas.
DEFINICIÓN DE ECUACIÓN:
Una ecuación es una relación de igualdad que establece ente dos
expresiones matemáticas que pueden tomar un mismo valor para un
determinado conjunto de valores asignados a sus variables.
A(x; y; z; …; w) = B(x; y; z; …; w)
General
Forma
........
0
F
0
B
A
)
w
........;
;
z
;
y
;
x
(
)
w
;
....
;
z
;
y
;
x
(
)
w
;
....
;
z
;
y
;
x
(











 







 

Ejemplo:
x3 – xx – 2 =0
2
x
3
x
x 


SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Es aquel valor que, asignado a la variable de la ecuación, hace que la
igualdad se cumpla.
Ejemplo:
Si: x = 3 

solución
es
3
9
9
x
1
2
2
x







CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.) DE UNA ECUACIÓN:
Es la reunión de todos los valores que verifican una ecuación:
Ejemplos:
1. Sea: x3 = x
x = 1  13 = 1 ……… (V)
x = 0  03 = 0 ……… (V)
x = -1  (-1)3 = -1 ……… (V)
 C.S. = {-1 ; 0 ; 1}

Segundo Año
Álgebra 4
2. Sea: x2 = 1
 C.S. = {-1 ; 1}
3. Sea: 0
x
1

 C.S. =  = { }
Observación:
Resolver una ecuación significa hallar su C.S.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A SU ESTRUCTURA
1. ALGEBRAICAS
ECUACIÓN:
a) x5 + 2x4 – 6x + 2 = 0 …….. Polinomial
b)
2
x
1

+ x + 3 + x–2 = 0 …….. Fraccionaria
c) 3
1
x
2
2
x 

 = 0 …….. Irracional
2. NO ALGEBRAICAS O TRASCENDENTES
ECUACIÓN:
a) 2x + 1 = 0 …….. Exponencial
b) log(x + 3) – 1 = 0 …….. Logarítmica
c) Sen(Cos x) + 2 = 0 …….. Trigonométrica
d) 1 + x + x2 + x3 + …. + = 0 …. Etc.
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS AL NÚMERO DE SOLUCIONES

Segundo Año
Álgebra 5
LES
INCOMPATIB
ADA
INDETERMIN
A
DETERMINAD
S
COMPATIBLE
ECUACIONES
(C.S. = )
1. ECUACIONES COMPATIBLES
Cuando existe solución:
a) Determinada:
El número de soluciones es finito.
Ejemplos:
 (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
 C.S. = {1 ; 2 , 3}
b) Indeterminada:
El número de soluciones es infinito
Ejemplos:
 Ox = 0
 C.S. = R
 x + y = 2




.......
5
0
2
1
y
.......
3
2
0
1
x
C.S.= {(1 ; 1) ; (0 ; 2) ; (-3 ; 5)……}
2. ECUACIONES INCOMPATIBLES, INCONSISTENTES O ABSURDAS
Cuando no existe solución:
Ejemplos:
 Ox = 6
 C.S. = 

2
X
1
2
X
1
2
X





 C.S. = 

Segundo Año
Álgebra 6
SOLUCIÓN DE ECUACIONES
Para resolver cualquier tipo de ecuación debe tener presente las siguientes reglas:
1. Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos o restamos una
misma cantidad algebraica entera (o una constante), la nueva ecuación
será equivalente a la primera. Pero cuando la expresión algebraica que
se sume o reste es fraccionaria, la nueva ecuación será equivalente solo
si al reemplazar cada una de las soluciones de la primera ecuación, la
segunda siempre existe.
2. Si a ambos miembros de una ecuación se le multiplica o divide por un
mismo número, la nueva ecuación resultante será equivalente a la
primera.
3. Al multiplicar ambos miembros de una ecuación por otra expresión, la
nueva ecuación no es equivalente a la primera; sin embargo, admite
todas sus soluciones, introduce nuevas raíces a la ecuación resultante,
que no son raíces de la primera.
4. Al elevar ambos miembros de una ecuación a una misma potencia (o al
extraer la raíz del mismo índice), nos dará una nueva ecuación que no es
equivalente a la primera, pero en sus soluciones están incluidas las
soluciones de la primera ecuación.
ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:
b
ax 
Donde: a, b : Parámetros
x : variable
1. Compatible Determinada
0
a 

Ejemplo: 5x = 0
2. Compatible Indeterminada
0
b
0
a 




Segundo Año
Álgebra 7
Ejemplo: 0x = 0
3. Incompatible
0
b
0
a 



Ejemplo: 0x = 5
Ejercicio: Analizar la siguiente ecuación:
(a – 3)(b + 2)x = (a – 3)(b + 4)
Ec. Determinada:  a  3  b  –2
Ec. Indeterminada  a = 3
Ec. Incompatible  b = -2  a  3
Ejercicio: Hallar “a” para que la ecuación sea incompatible:
 Para que sea incompatible:
a3 – 6a2 + 11a – 6 = 0  6a – a2 – 8
(a – 1)(a – 2)(a – 3)x = (–a + 2)(a – 4)
 (a = 1 v a = 2 v a = 3)  6a –a2 – 8
 a = 1 v a = 3
ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO:
Son aquellas que tienen por denominador una expresión Polinómica, no
radical en uno o ambos miembros.
Ejemplos:
1
x
3
3
1
x
3
2



;
9
7
6
x
3
x
8
x
3
x 2




Método de Solución:
1. Se calcula el m.c.m. de los denominadores.
2. Se multiplica ambos miembros de la ecuación el m.c.m. obteniéndose
como resultado una ecuación entera.

Segundo Año
Álgebra 8
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. se verifica si la solución hallaba no hace que la ecuación se vuelva
indeterminada.
Ejemplo: Resolver: 0
3
x
2
4
7
4



Solución:
m.c.m. (7 ; 2x – 3) = 7(2x – 3)
Multiplicamos la ecuación original por el m.c.m.:
7(2x – 3) 0
3
x
2
4
7
4









Efectuando : 4(2x – 3) + 7(4) = 0
Reduciendo : 8x – 12 + 28 = 0
Transponiendo : 8x = -16
Dividiendo entre 8 : x = -2
Reemplazamos este
valor en la ecuación
Original : 0
3
)
2
(
2
4
7
4




0
7
4
7
4


Como el valor -2 lleva a la ecuación original a la indeterminación entonces su
solución.
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Dos o más ecuaciones forman un sistema cuando tiene las mismas soluciones.
La solución de un sistema de ecuaciones es todo conjunto de valores numéricos
de las incógnitas que satisface al mismo tiempo a todas las ecuaciones.
Métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado
1) Método de Sustitución:
Dado el sistema de ecuaciones con 2 incógnitas x e y:

Segundo Año
Álgebra 9
a1x + b1y = c1 ……… (1)
a2x + b2y = c2 ……… (2)
El método consiste en despejar de (1) ó (2) una incógnita. Así por
ejemplo:
De (1):
1
1
1
b
x
a
c
y


Luego, sustituir este valor en la otra ecuación:
En (2): a2x + b2 2
1
1
1 c
b
x
a
c








 
Obteniéndose una ecuación equivalente con una incógnita, que
despejada es:
1
2
2
1
2
1
1
2
b
a
b
a
c
b
c
b
x



Finalmente, para hallar y se sustituye el valor de x en una de las
ecuaciones:
En (1):
1
2
2
1
2
1
3
1
b
a
b
a
c
b
c
a
y



2) Método de reducción:
Dado el sistema:
a1x + b1y = c1 ……… (1)
a1x + b1y = c1 ……… (2)
El método de reducción consiste en buscar que la incógnita que se desea
eliminar tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, para lo cual se
procede como sigue:
(1) se multiplica por “b2”:

Segundo Año
Álgebra 10
 a1b2x + b1b2y = b2c1
(2) se multiplica por “b1”
 a2b1x + b1b2y = b1c2
Luego se restan ambas ecuaciones, miembro a miembro:
a1b2x – a2b1x = b2c1 – b1c2
(a1b2 – a2b1)x = b2c1 – b1c2
x =
1
2
2
1
2
1
1
2
c
b
c
b
c
b
c
b


Finalmente, reemplazando en (1) se obtiene:
1
2
2
1
1
2
2
1
b
a
b
a
c
a
c
a
y



Ejemplo: Resolver: 3x + 5y = 2 …. …. (1)
9x – 10y = 1 ……… (2)
Por el método de reducción:
(1) x “2”, da: 6x + 10y = 4
(2) x “1”, da: 9x – 10y = 1
Sumando: 15x + 0y = 5  x =
3
1
Reemplazando “x” en (1): 2
y
55
3
1
3 







 y =
5
1

Segundo Año
Álgebra 11
PROBLEMAS PARA LA CLASE
* Resolver las siguientes
ecuaciones:
01) 5(2x – 1) – 4(5x – 2) = 19 – 2(x
+ 12)
Rpta.:
02) 7(2x – 5) – (4x – 11) = 9(x – 6)
+ 29
Rpta.:
03) 23x + 17(x – 3) = 8(1 – 5x) – 59
Rpta.:
04)
5
4
x
4
3
x
3
3
x
2
1
x 






Rpta.:
05) 2
a
b
x
b
a
x




Rpta.:
06) 7(2x – 1 )(x + 3) + 5x + 47 =
14(x + 1)2
Rpta.:
07)
25
)
5
x
(
2
15
6
x
5
x 



Rpta.:
08) 0
44
x
33
66
11
x
3
55
x





Rpta.:
09)
5
x
3
2
x
7
3
x
10





Rpta.:
10)
9
x
4
12
3
x
2
3
x
2
3
x
2
3
x
2
2







Rpta.:
11)
1
x
16
1
x
1
x
1
x
1
x
2







Rpta.:
12)
5
8
x
2
1
)
x
1
(
4



Rpta.:
13)
ab
)
b
a
(
2
b
x
b
a
x
a 




Rpta.:
14)







3
y
x
7
y
x
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 12
15)







19
y
2
x
5
13
y
4
x
7
Rpta.:
16)







9
y
3
x
7
27
y
6
x
Rpta.:
17)















3
5
2
y
2
4
x
0
4
4
y
3
3
x
Rpta.:
18)

















3
2
2
1
y
3
1
x
36
13
3
1
y
2
1
x
Rpta.:
19)















10
3
y
x
4
y
x
5
6
y
x
8
y
x
Rpta.:
20)















2
z
y
2
x
3
9
z
7
y
5
x
2
6
z
y
4
x
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 13
PROBLEMAS PARA LA CASA
ecuaciones:
01) 19 – 15(3x + 1) = 36 – 6(5x – 3)
– 5(x + 7)
a) -3/2 b) 1/2
c) 1/3 d) 1/8
e) 3/4
02) (13x – 4)(x + 2) = (3x + 1)(5x –
3) – (2x2 + 5)
a) 1 b) 0
c) -1 d) -2
e) 1/2
03)
2
5
x
2
x
2
x
x




a) 7,5 b) 3,5
c) 4,5 d) 2,5
e) 2
04)
2
x
4
x
7
1
x
8
x
5





a) 20 b) 15
c) 30 d) 35
e) 40
05)
4
x
2
3
x


a) -20 b) -24
c) -30 d) 40
e) 24
06) 1
5
x
4
x


a)
9
10
b)
9
30
c)
9
20
d)
3
40
e) N.A.
07) 3(x + 1) + 2(x + 3) = 5(x + 1) +
2(x + 2)
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
08)
5
x
3
1
2
1
5
1
3
x
2
x





a) -1 b) 0
c) 1 d) 2
e) 3
09) Resolver l ecuación en “x”:
ax2 – a = b2 x – b; a  b  a  -b
a)
b
a
1

b)
2
b
a
3

c)
b
a
1

d)
2
2
b
a
1

e)
bc
a
1


Segundo Año
Álgebra 14
10) Después de vender los 3/4 de
una pieza de tela quedan 30m.
¿Cuál era la longitud inicial de
la tela?
a) 140m b) 10m
c) 100m d) 120m
e) 310m
11) El triple de un número excede
en 48 al tercio del mismo
número. Hallar el número.
a) 15 b) 16
c) 17 d) 14
e) 18
12)







19
y
12
x
5
16
y
5
x
6
Rpta.:
13)







4
x
5
y
20
3
y
4
x
10
Rpta.:
14)













3
13
y
7
x
12
x
3
2
y
x
4
y
x
Rpta.:
15)


















a
b
a
a
a
y
b
a
x
b
b
a
b
b
y
a
b
x
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 15
TEMA: ECUACIONES II
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Conocida también como ecuación cuadrática y que tiene la forma general:
0
a
;
0
c
bx
ax2 



Ejemplos: 2x2 + x + 1 = 0; x2 + 2 = 0
PROPIEDADES
I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES
Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a  0
Se define el discriminante ():
ac
4
b2 

 ; a, b, c  R
1er
CASO
)
UNICA
SOLUCION
(
múltiple
raíz
o
iguales
e
reales
raíces
2
0 


Ejemplo: 4x2 – 4x + 1 = 0
 = (-4)2 – 4(4)(1) = 0 







2
1
.
S
.
C
2do
CASO
diferentes
e
reales
raíces
2
0 


Ejemplo: x2 – 4x – 12 = 0  C.S. = {6 ; -2}
 = 16 – 4(1)(-12) > 0
3er
CASO
conjugadas
y
s
imaginaria
,
complejas
raíces
2
0 



Segundo Año
Álgebra 16
II. OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES
Sea: ax2 + bx +c = 0 ; a  0
SUMA DE RAÍCES:
a
b
x
x 2
1 


PRODUCTO DE RAÍCES:
a
c
x
x 2
1 


DIFERENCIA DE RAÍCES:
2
1
2
2
1
2
2
1 x
x
4
)
x
x
(
)
x
x
( 



Reconstrucción de la ecuación de 2do grado a partir de sus raíces:
0
x
x
x
)
x
x
(
x
raices
de
oducto
Pr
2
1
Raices
de
Suma
2
1
2 











TEOREMA:
Sean las ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0……… (1) ; a  0
mx2 + nx + p = 0 ……. (2) ; m  0
Estas ecuaciones serán equivalentes, es decir tienen el mismo C.S. si se
cumple:
p
c
n
b
m
a



Segundo Año
Álgebra 17
ecuaciones:
01) x2 + 6 = 5x
02) 6x2 + 19x + 10 = 0
03) 3
)
2
x
)(
1
x
(
10
1



04) (x – a + 2)(x – a + 3) = 42
05) (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2
06) (x + a)2 – b2 = 0
07) (2x – 1)(2x – 3) = 63
08) (3x – 1)2 + (3x – 2)2 = 9x2
09) 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x)
10) 9x + 1 = 3(x2 – 5) – (x– 3)(x– 2)
11) (z – 16)(z + 2) = 25(z + 2)2
12) 2 – 3y =
3
1
(y – 4)(y + 4)
13)
a
4
x
2
a
x
x
3
a
x
2





 Encuentre la suma y el producto
de la raíces de las siguientes
ecuaciones:
14) x2 – 6x – 7 = 0
15) x2 + 7 + 10 = 0
16) 5x2 – 15x + 40 = 0
* Encuentra la ecuación que dio
origen a:
17) x1 + x2 = 5 ; x1x2 = 6
18) x1 + x2 = 11 ; x1x2 = 10
19) x1 – x2 = 5 ; x1x2 = 150
20) x1 + x2 = -1 ; x1 – x2 = 5

Segundo Año
Álgebra 18
* Resolverlas siguientes ecuaciones:
01) 3x2 + 2 = 5x
a)






1
;
3
2
b)  
2
;
1
c)






1
;
5
2
d)






2
;
3
2
e)






3
2
;
3
1
02) 6x2 = x + 222
a)







3
7
;
6 b)







8
7
;
4
c)







6
37
;
6 d)







6
7
;
3
e)







6
7
;
6
03) 8x + 5 = 36x2
a)






2
3
;
1 b)  
18
5
;
2
1 
c)






3
2
;
2
1
d)







18
1
;
18
5
e) N.A.
04) x2 + 15x = -56
a) {-8 ; -7} b) {-3 ; -6}
c) {-2 ; 5} d) {-8 ; 7}
e) {7 ; -6}
05) (5x – 2)2 – (3x + 1)2 = x2 + 60
a) {19 ; 5}
b)  
4
13
;
2
19

c)






 3
;
15
19
d)







5
19
;
8
19
e) N.A.
06)
10
3
2
x
5
x2


a)







2
3
;
2
1
b)






 3
;
2
1
c) {1 ; 2} d) {-1 ; 23}
e) N.A.
07) (x–5)2 – (x– 6)2 = (2x–3)2 – 118
a)






 7
;
2
7
b)






 2
;
4
7
c)







2
7
;
3 d)







2
7
;
4
7
e) N.A.

Segundo Año
Álgebra 19
08) 4x2 + 3x = 22
a) {-7 ; 2} b)






 2
;
2
7
c)







2
1
;
4
7
d)






 2
;
4
11
e)






 4
;
2
11
* Encontrar la suma y el
producto de las raíces de:
09) 3x2 – 5x + 4 = 0
a)
3
5
S  ;
3
4
P 
b)
2
5
S  ;
4
3
P 
c) S = 5 ; P = 3
d) S = 5 ; P = ¾
e) N.A.
10) 2x2 – 6x + 18 = 0
a) S = 3 ; P = 8
b) S = 4 ; P = -9
c) S = 3 ; P = 9
d) S = -3 ; P = -9
e) N.A.
* Encontrar la ecuación que dio
origen a:
11) x1 + x2 = 3 ; x1x2 = 4
a) x2 – 3x + 4 = 0
b) 2x2
2 – 3x + 8 = 0
c) x2 + 3x – 4 = 0
d) x2 – 3x – 4 = 0
e) N.A.
12) x1 + x2 = -5 ; x1x2 = 25
a) x2 – 5x + 25 = 0
b) x2 + 5x + 25 = 0
c) x2 – 3x + 15 = 0
d) x2 – 3x + 25 = 0
e) N.A.
13) x1 + x2 = -2 ; x1 – x2 = 4
a) x2 + 2x – 3 = 0
b) 6x2 + 3x – 2 = 0
c) x2 + x – 2 = 0
d) 3x2 + 5x + 2 = 0
e) N.A.
14) x1 + x2 =
12
5

; x1x2 =
6
1

a) 3x2 + 5x + 2 = 0
b) 6x2 + 3x – 2 = 0
c) 12x2 + 5x – 2 = 0
d) 3x2 + 5x + 2 = 0
e) N.A.
15) x1 + x2 =
2
13
; x1x2 =
2
21

a) 2x2 – 13x – 21 = 0
b) 2x2 – 3x + 1 = 0
c) 2x2 – 3x – 21 = 0
d) 2x2 – 13x + 11 = 0
e) N.A.

Segundo Año
Álgebra 20
TEMA: INECUACIONES
Para entender apropiadamente la teoría de inecuaciones, es necesario
estudiar previamente el tema de desigualdades. A continuación tocaremos
algunos conceptos en torno a las desigualdades.
DESIGUALDADES
Es aquella comparación que se establece entre dos números reales mediante
los símbolos de desigualdad: < , > ,  , . Luego, si a y b son números reales,
entonces a < b, a > b , a  b y a  b se llaman desigualdades, y se leen:
a < b : “a menor que b” a  b : “a menor o igual que b”
a > b : “a mayor que b” a  b : “a mayor o igual que b”
El siguiente acápite es de mucha importancia para las desigualdades e
inecuaciones
Recta Numérica Real:
Es la forma geométrica que permite ordenas los números reales. Existe una
correspondencia bunivoca entre R y la recta.
0
a b
- +











R
b
,
a
b
c
a
/
R
c
:
Densidad
b
0
a
:
Orden
opiedades
Pr
2
1
4
1
8
1
0 1
DEFINICIONES:
Sea a  R.
1) “a” es positivo  a > 0
2) “a” es negativo  b < 0
3) a > b  a – b > 0
4) a < b  a – b < 0
Ejm: -8 > -10  -8 – (-10) = 2 > 0
2 < 12  2 – 12 = -10 < 0

Segundo Año
Álgebra 21
5) a  b  a > b  a = b
6) a  x  b  x  a  x  b
  : Intersección ()
 : Unión ()
INTERVALO: Es un subconjunto de los números reales que generalmente
poseen extremos.
Intervalo Extremo
Superior
Cotas
Superiores
Cotas
Inferiores
Extremo
Inferior
I R
CLASIFICACIÓN:
INTERVALO
ACOTADO NO ACOTADO
ABIERTO
CERRADO
SEMIABIERTO
1) ACOTADOS O FINITOS
a. Intervalo Abierto
   
b
x
a
/
R
x
b
;
a
b
;
a
A 







INFIMO SUPREMO
a b
INFIMO: Es la mayor cota inferior. Si el ínfimo pertenece al
intervalo, se llama MÍNIMO.

Segundo Año
Álgebra 22
SUPREMO: Es la menor cota superior. Si el supremo pertenece al
intervalo, se le llama MÁXIMO.
b. Intervalo Cerrado
   
b
x
a
/
R
x
b
;
a
C 




MINIMO MAXIMO
a b
c
c
b
c
a

c. Intervalo Semiabierto:
 b
;
a
A  
b
;
a
B 
MINIMO
a b
MAXIMO
a b
SUPREMO
INFIMO
2) NO ACOTADOS O INFINITOS
  
a
x
/
R
x
;
a
A 






a
A
 
b
x
/
R
x
b
;
B 






B
b
R
;
C 





C

Segundo Año
Álgebra 23
OPERACIONES CON DESIGUALDADES:
Sean:
1) A = -3 ; 2 ; B = -1 ; 6
B
-3 -1 2 6
A  B = -3 ; 6
A  B = -1 ; 2
A – B = -3 ; 1
B – A = 2 ; 6
A’ = CA = - ; -3  2 ; +
B’ = CB = - ; -3  6 ; +
2) A = { x  R / x  2  x  3 }
B = { x  R / -2  x  3 }
3
-2
B
A A
A  B = R
A  B = {-2; 3}
INECUACIONES:
Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas
(incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las
incógnitas, o tal vez nunca se verifica.
Inecuación
y
seny
y
x
2
x
d
Desigualda
e
3













Segundo Año
Álgebra 24
Conjunto Solución (C.S.)
Ejemplos:
1) 2x + 1 > 7
x > 3  C.S. = 3 ; +
2) Sen (x + 1) + 2 > 4  C.S. = 
3) x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + … + (x + 100)2 + 3 > 0  C.S. = R
Punto Crítico
En la inecuación:
0
P
ó
0
P
ó
0
P
ó
0
P )
x
(
)
x
(
)
x
(
)
x
( 



P(x) : Polinomios
Los puntos críticos son las raíces de P(x), es decir:
0
P
crítico
punto
es
"
" )
x
( 


Ejemplo:
P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0
 Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En la inecuación polinomial
a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0
1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1.
2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.
+ +
xn x3 x2 x1
......
)
(
POSITIVA
ZONA
.
S
.
C
0
P
ó
0
P
:
Si
)
x
(
)
x
(











Segundo Año
Álgebra 25
)
(
NEGATIVA
ZONA
.
S
.
C
0
P
ó
0
P
:
Si
)
x
(
)
x
(










Ejemplos:
Resolver las sgtes. inecuaciones
1) x2 – 5x + 6  0
(x – 2)(x – 3)  0
Puntos críticos: 2 ; 3
+ +
3
2
 C.S. = 2; 3
2) (2 – x)(x + 5) < 0
Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0
+ +
2
-5
 C.S. = - ; -5  2 ; +
INECUACIONES POLINOMIALES
1) INECUACION LINEAL
0
a
;
0
b
ax 


RESOLUCIÓN
b
ax
)
b
(
0
)
b
(
b
ax
0
b
ax
b
0






















Segundo Año
Álgebra 26
a
b
x
0
a
Si
*
a
b
x
0
a
Si
*








Ejemplo:
a2x + b < b2x +a
Si: 0< a < b  a – b < 0
Solución:
b
a
1
x
1
x
)
b
a
(
)
b
a
(
x
)
b
a
)(
b
a
(
)
(
)
(










2) INECUACION CUADRATICA
0
a
;
0
c
bx
ax
P 2
)
x
( 




Resolución:
1) PERFECTO
CUADRADO
TRINOMIO
0 


Donde:  : discriminante
 = b2 – 4ac
Ejemplos:
1. –4x2 – 4x + 1 < 0
 = 0
 (2x – 1)2 < 0  C.S. = 
2. (2x – 3)2 > 0  C.S. = R







2
3
3. (-2x + 4)2  0  C.S. = R
4. (-5x + 20)2  0  C.S. = {4}

Segundo Año
Álgebra 27
+ +
4 9
2) CRITICOS
PUNTOS
LOS
DE
METODO
0 


Ejemplos:
1) x2 – 13x + 36 < 0 (x – 4)(x – 9) < 0  C.S. = 4 ; 9
x  -9
x -4
2) x2 – 2x – 2  0
  = 12 > 0. Hallamos los puntos críticos: x2 – 2x – 2 = 0
3
1
2
12
2
x




C.S. = - ; 1 3
   1 + 3 ; +
3) TEOREMAS
LOS
APLICAR
0 


a) Teorema del Trinomio Positivo
Sea: P(x) = ax2 + bx + c ; a  0
 < 0  a > 0  P(x) > 0
 x  R
b) Teorema del Trinomio
Negativo
 < 0  a < 0  P(x) < 0
 x  R
c)   0  a > 0  P(x)  0
 x  R
d)   0  a < 0  P(x)  0
 x  R
+ +
3
1
3
1

Segundo Año
Álgebra 28
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Resolver: 5x + 2 > x – 6
Solución:
Pasamos “x” al 1er miembro: 5x + 2 – x > – 6
 4x + 2 > – 6
Ahora, pasamos “2” al 2do miembro: 4x > – 6 – 2
 4x > –8
Pasamos “4” al 2do miembro como
esta multiplicando, pasará dividiendo. Así:
4
8
x 

 x > -2
 x  -2 ; +
2) Resolver: 3 – x < 5 + 3x
Solución:
Pasamos “3x” al 1er miembro: 3 – x – 3x < 5
 3 – 4x < 5
Ahora, pasamos “3” al 2do miembro: –4x < 5 – 3
 –4x < 2
Pasamos “4” al 2do miembro
(Como esta multiplicando, pasara dividiendo)
4
2
x



2
1
x 

Cambia el sentido, ya que esta dividiendo por
una cantidad negativa
 x  

 ;
2
1

Segundo Año
Álgebra 29
3) Resolver:
3
1
2
x
3
2
3
x
2
2
x 




Solución:
Multiplicamos ambos miembros por “6” (m.c.m. de 3 y 2), tendremos:
6 (x – 2)  6 





 2
3
x
2
< 6 






3
1
2
x
3
……… (*)
En (*), resolveremos por partes (I) y (II):
6x – 12  4x – 12 < 9x – 2
(I) (II)
Entonces, tendremos:
Si: 6x – 12  4x – 12
)
I
(
...
..........
0
2
1
0
0
12
12
x
4
x
4
x
x
2
2
1
x
2
12
x
2
12
x
4
x
6
























Si: 4x – 12 < 9x – 2
)
II
(
..........
2
x
5
10
5
1
10
10
12
2
2
0
2
x
9
x
9
x
)
x
5
(
5
1
x
5
12
12
x
5
12
x
5
12
x
9
x
4






































Interceptando (I) y (II)
x  -2 ; 0

Segundo Año
Álgebra 30
4) Resolver: x2
– 3x – 4 > 0
Solución:
Factorizando se tiene que: (x – 4)(x + 1) > 0

















 *)
.........(
0
1
x
0
4
x
)
ii
ó
0
1
x
0
4
x
)
i
0
)
1
x
)(
4
x
(
Sabemos: Si: a . b >  a > 0  b > 0
ó
a < 0  b < 0
De i): x > 4  x > –1
 x > 4 ……… (I)
De ii): x < 4  x < –1
 x < –1 ……… (II)
La solución será la unión de (I) y (II):
x  - ; -1  4 ; +
5) Resolver: x3
+ x2
– 2x > 0
Solución:
Factorizando “x”, tenemos: x(x2 + x – 2) > 0
Factorizando el trinomio: x(x + 2)(x – 1) > 0
Los puntos críticos son: x = 0; x + 2 = 0  x = -2
x – 1 = 0  x = 1
Los intervalos serán:
+ +
-2 0 1
Como el sentido indica “>”, tomaremos los intervalo positivos y
consideramos los puntos críticos como “abiertos” (O)
x  -2 ; 0  1 ; +

Segundo Año
Álgebra 31
6) Resolver: (1 – x)(x – 3)(x + 1)(2x – 1)  0
Solución:
Vemos que el factor (1 – x) no contiene a “x” con coeficiente positivo, por
eso multiplicamos por (-1):
(1 – x)(x – 3)(x + 1)(2x – 1)  0
Luego; obtenemos los puntos críticos:
x = 1 ; x = 3 ; x = -1 ; x = 1/2
Los intervalos serán:
+ +
+
-1 ½ 1 3
x  - ; -1  





1
;
2
1
 3 ; +
7) Resolver: (x2
+ 4)(x + 3)(x – 1) 






4
1
x  0
Solución:
Simplificamos el factor (x2 + 1); no lo incluimos en la solución; ya que
siempre será positivo para todo x  R.
Entonces tenemos: (x + 3)(x – 1) 






4
1
x  0
Los puntos críticos serán: x = -3 ; x = 1 ; x = 1/4
+ +
-3 1/4 1
 x 
4
1
:
3



  1 ; +

Segundo Año
Álgebra 32
01) Si a + 3  0. Calcular el mínimo
valor de (a + 5)
Rpta.:
02) Si x  3 ; 9 calcular el
máximo valor entero de “x”
Rpta.:
03) Calcular la suma de los
números enteros (x), tal que:
2  x  7
Rpta.:
04) Resolver la inecuación:
x + 8 < 3x + 4
Rpta.:
2x + 4 > 5x – 8
Rpta.:
3x + 7x – 5 < 5x + 20
Rpta.:
07) Dar el intervalo de variación de
(6x – 5), si: x  2 ; 8]
Rpta.:
08) Dar el intervalo de variación de
(-3x + 2), si x  2 ; 8]
Rpta.:
09) Dar el intervalo de variación de:
2
x
3


, si x  2 ; 8
Rpta.:
10) Sean:
A = {x  R / -2 < x  15}
B = {x  R / -5  x < 10}
Hallar A  B
Rpta.:
11) Del problema anterior, hallar
A  B
Rpta.:
12) Resolver: –x + 2 < 3x – 9
Rpta.:
13) Determinar el mayor valor
entero que verifica:
2
17
28
x
28
17
x




Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 33
14) Resolver:
(x – 2)(x + 3)(x – 4) > 0
Rpta.:
15) Resolver:
(x – 4)(3x – 1)(5 – x)  0
Rpta.:
16) Resolver:
x2 – 3x – 4 < 0
Rpta.:
17) Resolver:
x2 – 2x – 2  0
Rpta.:
18) x2 – 6x + 9  0
Rpta.:
19) Resolver:
(x – 4)2 > 0
Rpta.:
20) Resolver:
(3x – 1)2  0
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 34
01) Calcular la suma de los
números enteros (x) tal que:
2  x  7
a) 27 b) 22
c) 23 d) 25
e) 29
02) Resolver:
5x + 13  16 + 2x
a) x  1 b) x  2
c) x  1 d) x < 2
e) x > 1
03) Hallar el mayor valor de “x” que
verifica:
4x – 56  16 – 2x
a) 11 b) 12
c) 14 d) 16
e) 18
04) Si x  2 ; 3, entonces (x + 5)
pertenece al intervalo:
a) 1 ; 2] b) [2 ; 8
c) [3 ; 8 d) 7 ; 8
e) [7 ; 8]
05) Si x  [2; 5]. Calcular el mínimo
valor de (x – 3)
a) 0 b) -1
c) 2 d) 1
e) 3
06) Si (x + 3)  [3 ; 7]. Calcular el
máximo valor de “x”
a) 4 b) 3
c) 2 d) 1
e) 0
07) Resolver:
4
6
7
x
2
2
3
8
4
x
2




a) x > 13 b) x < 13
c) x > -14 d) x < -14
e) x > 0
08) Si “x” es un número entero y
además 5 < x < 7, calcular
(x + 3)
a) 7 b) 9
c) 11 d) 13
e) 15
09) Si: x  -1 ; 2  3x – 5 >
2x – 4, por lo tanto x pertenece
al intervalo:
a) -2 ; 1 b) -1 ; 2
c) [2 ; 4 d) 1 ; 2
e) N.A.
10) Resolver:
(x + 1)2 + 3 > 0
a) 0 b) {0 ; 1}
c) R– d) R+
e) R

Segundo Año
Álgebra 35
11) Si x  [-2 ; 3], hallar: a + b, si
a  2 – 3 x  b
a) 1 b) 2
c) -1 d) -2
e) 3
12) Resolver:
2[x2 – 7x + 12] < [x2 – 4x + 3]
a) 7 ; 3 b) 3 ; 5
c) 3 ; 7 d) 10 ; 12
e) 
13) Resolver:
(x2 – 3) (x + 1) – (x2 + 3) (x - 1) < 0
a) R b) 0 ; 3
c) [0 ; 3] d) R–0 ; 3
e) 
14) Hallar m + 2n, si el conjunto
solución de la inecuación
cuadrática en x:
x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 3
;
1

a) 4 b) -6
c) 6 d) -8
e) 8
15) Resolver:
x2 + x + 3 > 0
a) R b) Z
c) N d) Z–
e) Q

Segundo Año
Álgebra 36
TEMA: VALOR ABSOLUTO
Definición: El valor absoluto de un número real x es aquel número positivo
denotado por |x| y definido así:







0
x
;
x
0
x
;
x
|
x
|
Ejemplos:
 |6| = 6 1
x
)
1
x
(
|
1
x
| 4
4
)
(
4 














 |-2| = -(-2) = 2 1
x
x
|
1
x
x
| 2
0
a
0
2 











 |-5,3| = -(-5,3) = 5,3











3
x
;
)
3
x
(
3
x
;
3
x
|
3
x
|
 4
x
|
4
x
| 2
)
(
2 








Interpretación Geométrica:
El valor absoluto de “x”, representa la distancia que existe de x al cero.
-x 0 x
|x|
|-x|
TEROREMAS:  x  R
1) |x|  0
2) |x| = |-x|
3) |xy| = |x| |y|
4)
|
y
|
|
x
|
y
x
 ; y  0
5) |x|2 = x2
6) |
x
|
x2 
7) n
n
|
x
|
x 
8) |xn| = |x|n
9) |x + y|  |x| + |y| (Desigualdad triangular)

Segundo Año
Álgebra 37
Ejemplos:
 |9| = |-9| = 9
 |x (x – 1)| = |x| |x – 1|
 |3(x2 – 4)| = |3| |x2 – 4| = 3|x2 – 4|
 |x|2 = 9  x2 = 9  x = 3 v x = -3
 2
|
8
|
8 3
3




ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
a
x
a
x
|
a
|
|
x
|
)
a
x
a
x
(
0
a
a
|
x
|














Ejemplos: Resolver:
 |x| = 4 7
|
x
| 


 x = 4 v x = -4 C.S. = 
C.S. = {-4 ; 4}
  )
x
2
x
x
2
x
(
0
x
|
2
x
|
1
x
x
0
2
)
(
)
(






























 C.S. = 
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
2
2 a
x
|
a
|
|
x
|
a
x
a
x
a
|
x
|
a
x
a
0
a
a
|
x
|

























Ejemplos: Resolver:
 |x| < 4
 -4 < x < 4
C.S. = -4 ; 4
-4 4
0

Segundo Año
Álgebra 38
 |x| > 3
 x < -3 v x > 3
C.S. = - ; -3  3 ; +
 |x2 + x – 20| > -2
Al ojo:  C.S. = R
 |5x + 3| < 8
 -8 < 5x + 3 < 8
-11 < 5x < 5
1
x
5
11


  1
;
5
11
.
S
.
C 
 |6x – 5| > 1
 6x – 5 < x – 1 v 6x – 5 > 1
6x < 4 6x > 6
x < 2/3 x > 1
x  - ; 2/3  1 ; +
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Resolver: |4x + 3| = 7
Solución:
2
/
5
x
10
x
4
7
3
x
4
1
x
4
x
4
7
3
x
4
7
|
3
x
4
|

















 .C.S =






 1
;
2
5
2) Resolver: |2x – 3| = 0
Solución:
|2x – 3| = 0  x2 – 3 = 0
-3 3
0

Segundo Año
Álgebra 39
2x = 3
x = 3/2
 .C.S = {3/2}
3) Resolver: |x2
– 2x| = 0
Solución:
|x2 – 2x| = 0  x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 v x = 2
x = 0 v x = 2
 .C.S = {0 ; 2}
4) Resolver: |x + 3| = 2x – 7
Solución:
|x + 3| = 2x – 7
 2x – 7  0  [x + 3 = 2x – 7 v x + 3 = – (2x – 7)]
 2x  7  [10 = x v x + 3 = -2x + 7]
 x  7/2  [x = 10 v 3x = 4]
 x  7/2  [x = 10 v x = 4/3]
 C.S. = {10 ; 4/3}
5) Resolver: |x2
+ 2| = 2x + 1
Solución:
|x2 + 2| = 2x + 1
]
1
x
[
]
v
1
x
[
]
2
)
1
x
(
v
0
1
x
[
]
0
2
)
1
x
(
v
0
)
1
x
[(
]
0
3
x
2
x
v
0
1
x
2
x
[
)]
1
x
2
(
2
x
v
1
x
2
2
x
[
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
1
0
x
x
x
x
x
2
1
x
2
2
2
2
2
2
2
2













































 C.S. = {1}

Segundo Año
Álgebra 40
6) Resolver: |x + 3| = |2x + 1|
Solución:
|x + 3| = |2x + 1|
3
/
4
x
v
2
x
0
4
x
3
v
2
x
0
1
x
2
3
x
v
x
2
)
1
x
2
(
3
x
v
1
x
2
3
x



















 C.S. =






 2
;
3
4
7) Resolver: |5x – 1| < 4
Solución:
|5x – 1| < 4  -4 < 5x – 1 < 4
-4 + 1 < 5x – 1 + 1 < 4 + 1
-3 < 5x < 5
-3/5 < x < 1
 x  1
;
5
3

8) Resolver: |x2
– 4x| < 8
Solución:
|x2 – 4x| < 8  -8 < x2 – 4x < 8




































































12
2
;
12
2
x
0
)
12
2
x
)(
12
2
x
(
0
2
)
2
x
(
0
12
)
2
x
(
0
12
)
2
x
(
0
8
4
4
x
4
x
0
8
4
x
8
x
4
x
R
x
R
x
4
)
2
x
(
0
4
)
2
x
(
0
8
4
4
x
4
x
0
8
x
4
x
8
x
4
x
x
4
x
8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 C.S. = 



 12
2
;
12
2

Segundo Año
Álgebra 41
9) Resolver: 4
3
x
2
2
x



Solución:
–4 <
3
x
2
2
x


< 4
i) ii)
i) -4 <
3
x
2
2
x


 0 <
3
x
2
2
x


+ 4
 0
3
x
2
12
x
8
2
x





 0
3
x
2
10
x
9



De donde: x 
9
10
;

  

;
2
3
…….. (I)
ii) 4
3
x
2
2
x



 0
4
3
x
2
2
x




 0
3
x
2
12
x
8
2
x





 0
3
x
2
x
7
14



De los cual: x 
2
3
;

  

;
2 …….. (II)
La solución será la intersección de (I) y (II):
 x 
9
10
;

  

;
2

Segundo Año
Álgebra 42
01) Resolver: |3x – 5| = 8
Rpta.:
02) Resolver: |x| = 
Rpta.:
03) Resolver: |x – 2| = |3x + 1|
Rpta.:
04) Resolver: |3x + 7| = |2x – 5|
Rpta.:
05) Resolver: |3x| = 18
Rpta.:
06) Resolver: |x + 5| = 20
Rpta.:
07) Resolver: |x2 + x – 5| = x2 + 5
Rpta.:
08) Resolver: |x2 + 6x + 9| = 0
Rpta.:
09) Resolver: |2x + 1| = 5x + 3
Rpta.:
10) Resolver: |2x2–2x + 5| = |x2 + 2|
Rpta.:
11) Resolver: |x2 – 1| = –x
Rpta.:
12) Resolver: |x| > 3
Rpta.:
13) Resolver: |x2 + x – 20| > -2
Rpta.:
14) Resolver: |5x + 3| < 8
Rpta.:
15) Resolver: |6x – 5| > 1
Rpta.:
16) Resolver: |2x – 1| < x + 1
Rpta.:
17) Resolver: |x–2|2– 2|x–2|–15 < 0
Rpta.:
18) Resolver: |x + 2| > 2x – 3
Rpta.:
19) Resolver: |3x – 1| < 5x – 3
Rpta.:
20) Resolver: |x + 3| < |3x – 4|
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 43
01) Resolver: |6x – 7| = 5
a) {2 ; 1/3} b) {-2 ; 1}
c) {3 ; 1/3} d) {2 ; -1/3}
e) {4 ; -1/3}
02) Resolver: |3x – 2| = x
a) {-1 ; 2} b) {1 ; 1/3}
c) {1 ; 1/2} d) {1 ; 2}
e) {1 ; -1/2}
03) Resolver: |2x + 5| = |3x – 2|
a) {-1/2 ; 5} b) {7 ; -3/5}
c) {-2 ; 5} d) {7 ; -3}
e) {-7 ; 3/5}
04) Resolver: |4x – 9| = |5x + 2|
a) {7/9 ; -11} b) {9/7 ; 11}
c) {-13 ; 7} d) {7 ; -11}
e) {7/8 ; -11}
05) Resolver: ||x2 – x| – x| = x
a) {1 ; 2} b) {0 ; 1}
c) {0 ; 1 ; 3} d) {-1 ; 2}
e) {-1 ; 2 ; 3}
06) Resolver: |2x + 8| = x + 4
a) {0} b) {-2}
c) {-4} d) {-3}
e) {-8}
07) Resolver: |x – 1| = |2x + 1|
a) {-2 ; 0} b) {1 ; 0}
c) {-2 ; 2} d) {-3 ; 0}
e) {-2 ; 1}
08) Resolver: |||x| – 2| + 1| = 4
a) {1 ; -1} b) {2 ; -2}
c) {5 ; -5} d) {3 ; -5}
e) {5 ; -3}
09) Resolver: |2x2 – 3|  4x + 3
a) x  [0 ; 3]
b) x  0 ; 3
c) x  0 ; 2]
d) x  [0 ; 2]
e) x  [0 ; 8]
10) Resolver: |x – 5| < 4
a) x  1 ; 8
b) x  [4 ; 8
c) x  1 ; 9]
d) x  [1 ; 8
e) N.A.
11) Resolver: |x2 – 1| < 2
a)  3
 ; 3 
b)  2 ; 3 
c)  3
 ; 2 
d)  3 ; 5 
e) N.A.

Segundo Año
Álgebra 44
12) Resolver: 1
x
5
x
4
x2



a) x  - ; 1/2  1/2 ; +
b) x  - ; 1/12  1/2 ; +
c) x  - ; 1  1 ; +
d) x  - ; 2  3 ; +
e) N.A.
13) Resolver: |2x2 + 3x – 15| > -1
a) 1 ; 2 b) [2 ; +
c) [3 ; + d) R
e) 1 ; 3
14) Resolver: 4
3
x
2
2
x



a) x  - ; 10/9  2 ; +
b) x  - ; 10  3 ; +
c) x  - ; 10  12 ; +
d) x  - ; 1  2 ; +
e) N.A.
15) Resolver: |2x2 – 3|  4x + 3
a) x  - ; 0  [3 ; +
b) x  [3/4 ; 5]  [3 ; +
c) x  [-3/2 ; 0]  [5 ; +
d) x  [-3/4 ; 0]  [3 ; +
e) N.A.

Segundo Año
Álgebra 45
TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción:
A lo largo de toda la historia los conjuntos numéricos fueron apareciendo
progresivamente de acuerdo a la necesidad; así fue por ejemplo llegamos al
problema de resolver la ecuación:
x2 + 1 = 0
Donde vemos que no hay valor real que verifique dicha igualdad. Debido a
este problema surge la necesidad de crear un nuevo campo numérico que
contenga a números que resuelvan este tipo de ecuaciones. Ahora sabemos
que existe un número de la forma: i = (0 ; 1), llamado unidad imaginaria; que
es un número complejo que verifica dicha ecuación:
Actualmente el campo de los números complejos se ha desarrollado
enormemente que forma las bases de los diferentes avances de la ciencia
especialmente en los campos de las electrónica, telecomunicaciones y de la
navegación espacial.
Definición: El sistema de números complejos es un conjunto de pares
ordenados de la forma: (a ; b) donde a y b  R, además en dicho conjunto
están definidas las operaciones de adición, multiplicación y una relación de
igualdad.
Al conjunto de números complejos que es denotada por C, también se el
denomina campo pues dicho conjunto se cumple los axiomas de los números
reales.
C = {(a ; b) / a  R ; b  R}
Notación:
Sea Z un número complejo; entonces:
Z = (a ; b)
a : PARTE REAL
b : PARTE IMAGINARIA también se denota así:

Segundo Año
Álgebra 46
b
Im
a
Re
)
Z
(
)
Z
(


Ejemplo:
* z = (3 ; -4) 






4
)
z
Im(
3
)
z
Re(
* w = (1 ; 0) 





0
)
w
Im(
1
)
w
Re(
Relación de Igualdad
Sean: z = (a ; b) y w = (c ; d) entonces:
Si : d
b
c
a
w
z 




Operaciones en el Campo Complejo
Sean: z = (a ; b)
w = (c ; d)
 Adición
z + w = (a + c ; b + d)
 Multiplicacion
)
c
b
d
a
;
d
b
c
a
(
w
z 







Ejemplos:
Sean: z = (3 ; 4)
w = (2 ; 1)
Entonces:
z + w = (3 + 2 ; 4 + 1) = (5 ; 5)

Segundo Año
Álgebra 47
Además Re(z + w) = 5
Im(z + w) = 5
z . w = (3 x 2 – 4 x 1 ; 3 x 1 + 4 x 2 )
= (2 ; 11)
Re(z . w) = 2
Im(z . w) = 11
Nota: En el campo de los complejos; no se puede hablar de relación de
orden; es decir; no se puede afirmar que un número complejo sea mayor que
otro o viceversa.
Clasificación de los Complejos:
A. Complejo Real
Sea: z = (a ; b) ser complejo real si:
Im(z) = b = 0  a  0
Es decir: z = (a ; 0)
B. Complejo Imaginario Puro
Sea: z = (a ; b) será imaginario puro si:
Re(z) = a = 0  b  0
Es decir: z = (0 ; b)
C. Complejo Nulo
Sea: z = (a ; b) será complejo nulo si:
Re(z) = a = 0
Im(z) = b = 0
Es decir: z = (0 ; 0)

Segundo Año
Álgebra 48
RELACIÓN ENTRE COMPLEJOS
A. Complejos Conjugados
Sea: z = (a ; b) entonces su conjugada denotada por: Z será:
Z = (a ; -b)
 Propiedades de la conjugada
Sea: z y w números complejos:
1. w
z  = w
z 
2.  2
z = 




 2
z
3. w
z  = w
z 
4.

z = z
B. Complejos Opuestos
Sea: z = (a ; b) entonces su opuesto estará denotado por –z = z* y será:
-z = z* = (-a ; -b)
PROBLEMAS APLICATIVOS
1. Demostrar la propiedad w
z  = w
z 
Solución:
Sean: z = (a ; b)
w = (c ; d)
 w
z  = )
bc
ad
;
bd
ac
( 

= (ac – bd ; -ad – bc) …….. (I)
 w
z  = (a ; -b) . (c ; -d)
= (ac – (-b)(-d) ; a(-d) + (-b)c)
= (ac – bd ; -ab – bc ) …….. (II)

Segundo Año
Álgebra 49
Ahora comparando (I) y (II) podemos deducir que:
w
z  = w
z 
2. Si “z” es un número complejo; marque la verdad o falsedad de cada una
de las siguientes preposiciones:
I. Si Re(z) = z  z es un complejo real
II. Si Im(z) = z  z es un complejo imaginario puro
III. Re(z) – Re  
z = 0
IV. Im(z) + Im  
z = 0
Solución:
La I y la II proposición la realizaremos mas adelante cuando hayamos
definido la unidad imaginaria
I. Sea z = (a ; b)
 z = (a ; -b)
Re(z) – )
z
Re( = 0
a – a
0 = 0  Es verdadera
II. Sea z = (a ; b)
 z = (a ; -b)
Im(z) – )
z
Im( = 0
b – (-b)
0 = 0  Es verdadera

Segundo Año
Álgebra 50
3. Si z = (a . b ; ab) y z = (12 ; 9)
Hallar a y b
Solución:
Sabemos que z = (ab ; -3b) = (12 ; 9)
 ab = 12 …….. (I)
-3b = 9 …….. (II)
3
b 

Reemplazando b en la ecuación (i)
a(-3) = 12
4
a 

4. Si z = (a ; b) y además
z + z . z* = (3 – a2 ; 1)
Entonces hallar a y b
Solución:
Hallando el primer termino de la ecuación
z + z . z*
(a ; b) + (a ; -b)(-a ; -b)
(a ; b) + (a(-a) – (-b)(-b) ; a(-b) + (-a)(-b))
(a ; b) + (-a2 – b2 ; -ab + ab)
(a – a2 – b2 ; b) = z + z . z*
Ahora comparando con el segundo miembro:
(a – a2 – b2 ; b) = (3 – a2 ; 1)
 1
b 
a – a2 – b2 = 3 – a2

Segundo Año
Álgebra 51
a – (1)2 = 3
4
a 
5. Si z = (a ; b)
w = (c ; d)  2
)
v
w
(
3
v
z
w
z 




v = (e ; f)
Entonces hallar
v
w
z

Solución:
La idea no es reemplazar los valores de z, w, y v en la ecuación; sino que
utilizaremos las propiedades de la conjugada.
Ojo: Cabe señalar que los números complejos cumplen con todas las
propiedades de los números reales excepto la relación de orden por
tanto se les puede sumar, dividir, factorizar, sustraer, potencias, etc.
2
)
v
w
(
3
v
z
w
z 




Por la propiedad: w
z
w
z 


2
)
v
w
(
3
v
z
w
z 




Por la propiedad: v
v 
2
)
v
w
(
3
v
z
w
z 




Por la propiedad: 2
2
z
z 





 y factorizando el primer miembro
2
)
v
w
(
3
v
z
w
z 




Por la propiedad: w
z
w
z 


2
)
v
w
(
3
)
v
w
(
z 



Segundo Año
Álgebra 52
2
)
v
w
(
3
)
v
w
(
z 


3
)
v
w
(
)
v
w
(
z
2



3
v
w
z
3
v
w
z





Notas:
1. El número complejo real Z = (a ; 0) equivale al número real “a”; es decir:
z = (a ; 0) = a = Re(z)
2. Dado el número complejo z = (a ; b) y k una constante que pertenece a
los reales (k  R)
 kz = k(a ; b) = (ka ; kb)
3. Siendo Z un complejo de la forma Z = (a ; b); entonces:
z + z* = (0 ; 0) = 0
z + z = 2(a ; 0) = 2a
6. Si z = (a + b ; a – b + 1) y z + 3 = 9; además z es un complejo real.
Hallar el complejo z.
Solución:
* Como z es un complejo real entonces:
Re(z) = z = a + b ……. (1)
Im(z) = a – b + 1 = 0 ……. (2)

Segundo Año
Álgebra 53
Reemplazando (1) en la ecuación propuesta
z + 3 = 9
a + b + 3 = 9
a + b = 6 …… ()
De la ecuación (2)
a – b + 1 = 0
a – b = -1 …… ()
Sumando () + ()
2
/
5
a
5
a
2
1
b
a
6
b
a










Restando () – ()
2
/
7
b
7
b
2
)
1
b
a
(
6
b
a











Por lo tanto
z = (a + b ; a – b + 1)
z = (5/2 + 7/2 ; 5/2 – 7/2 + 1)
)
0
;
6
(
z 
7. Si z = (2m + 5 ; n + 2) y
Re(z*) = -13
Im( z ) = -8

Segundo Año
Álgebra 54
Hallar z
Solución:
Primero hallamos z y z*
z = (2m + 5 ; -n – 2)
z* = (-2m – 5 ; -n – 2)
Ahora Re(z*) = -2m – 5 = -13
-2m = -8
4
m 
También Im( z ) = -n – 2 = -8
-n = -6
6
n 
Por lo tanto: z = (2m + 5 ; n + 2)
z = (2(4) + 5 ; 6 + 2)
)
8
;
13
(
z 
Otra forma de resolver:
)
2
n
;
5
m
2
(
z
b
a





 


Entonces: z = (a ; b)
Ahora z = (a ; -b)
z* = (-a ; -b)
Pero Re(z*) = -13 = -a  a = 13
Im( z ) = -8 = -b  b = 8
 z = (13 ; 8)
Como vemos amigo lector existen muchas formas de resolver un mismo
problema, todo depende de la capacidad de cada alumno.

Segundo Año
Álgebra 55
8. En esta parte resolveremos el problema N° 6 de una manera mas rápida.
Solución:
)
1
b
a
;
b
a
(
z
n
m







 



Llamemos:
 Como z es un complejo real  n = 0
y Re(z) = m = z  m + 3 = 9
m = 6
 z = (m ; n)
z = (6 ; 0)
9. Hallar w si, z = (3 ; 2) y R = (4 ; 5) y T = (1 ; 6), además w = 2z + R .T – R
Solución:
w = 2z + R .T – R
w = 2 (3 ; 2) + (4 ; 5) (1 ; 6) – (4 ; 5)
w = (6 ; 4) + (4 – 30 ; 24 + 5) – (4 ; 5)
w = (6 ; 4) + (-26 ; 29) – (4 ; 5)
w = (-20 ; 33) – (4 ; 5)
w = (-24 ; 28)
)
7
;
6
(
4
w 

10. Hallar z, si w = (3 ; 2) ; m = (2 ; 4) y z = 5 + w2 + wm – w + m
Solución:
z = w2 + wm + m – w + 5
z = (3 ; 2)(3 ; 2) + (3 ; 2)(2 ; 4) + (2 ; 4) – (3 ; 2) + 5
z = (9 – 4 ; 5 + 6) + (3 x – 2 x 4 ; 3 x 4 + 2 x 2) + (-1 ; 2) + 5
z = (5 , 12) + (-2 ; 16) + (-1 ; 2) + 5
z = (5 – 2 – 1 ; 12 + 16 + 2) + 5
z = (2 ; 30) + 5 Es un complejo real; se puede expresar así: (5 ; 0)
z = (2 ; 30) + (5 ; 0)
)
30
;
7
(
z 

Segundo Año
Álgebra 56
01) Simplificar: i23
Rpta.:
02) Simplificar: i8
Rpta.:
Rpta.:
Rpta.:
05) Hallar: i–1
Rpta.:
06) Hallar: i–2
Rpta.:
07) Hallar: i–3
Rpta.:
08) Hallar: i2000
Rpta.:
09) Hallar el conjugado de: 5 + 3i
Rpta.:
10) Hallar el conjugado de: 1 – i
Rpta.:
11) Hallar el opuesto de: 8 – 4i
Rpta.:
12) Hallar el opuesto de: 9 + 6i
Rpta.:
13) Hallar el módulo de: 3 – 4i
Rpta.:
14) Hallar el módulo de: z = 1+ i
3
Rpta.:
15) Hallar el módulo de: z = 5i
Rpta.:
16) Calcular xy, si:
(x – 3) + 4i = 2 + (y – 2)i
Rpta.:
17) Sean: z = 3 + 4i y
w = 6 – i
Hallar z . w
Rpta.:
18) Del problema anterior, hallar
w
z
Rpta.:
19) Calcular: (1 + i)4
Rpta.:
20) Calcular:
)
i
1
(
)
i
1
(


Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 57
a) 1 b) -1
c) –i d) i
e) 0
a) 1 b) -1
c) i d) –i
e) 0
a) -1 b) 2
c) i d) –i
e) 1
04) Hallar: i–4
a) 1 b) 0
c) -1 d) i
e) –i
05) Hallar: i–17
a) i b) –i
c) 1 d) -1
e) 0
06) Hallar el conjugado de: z = 3–8i
a) 4 + 8i b) 13 + 8i
c) 1 – i d) 3 + 8i
e) –8i
07) Hallar el conjugado de: z = 4i
a) –4i b) i
c) 1 – 4i d) 4i
e) 4
08) Hallar el módulo de: z = 10+10i
a) 10 b) 15
c) 2
10 d) 100
e) 20
09) Hallar el módulo de: z = 8 – 15i
a) 16 b) 17
c) 25 d) 40
e) 15
10) Hallar el opuesto de: z = 2 – i
a) 2 + i b) –2 + i
c) –2 – i d) 1 + i
e) 2 – i
11) Sean los complejos:
Z = 4 + 3i
W = 2 + 2i
Hallar: z . w
a) 2 + 14i b) 2 – 14i
c) 14i d) 1 + 7i
e) N.A.

Segundo Año
Álgebra 58
12) Del problema anterior, hallar:
w
z
a) 7 – i b) 8 – 7i
c)
8
i
8
7
 d) i
7
8
1

e) 7 – 8i
13) Calcular “ab”, si se cumple:
i
2
bi
2
a



/ a, b  R
a) 3 b) 2
c) 1 d) 6
e) 5
14) Calcular: (1 – i)2
a) –2i b) 2i
c) 1 d) i
e) 3i
15) Calcular: (1 + i)8 + (1 – i)8
a) 16 b) 16i
c) 21i d) 32
e) N.A.

Segundo Año
Álgebra 59
FORMULARIO
LEYES DE EXPONENTES
n P
m
p
n m
n m
m
n
m
n
n m
n
n
n
n
n
n
n m
n
m
n
n
n
n
n
n
m
n
n
m
n
m
n
n
n
m
n
m
n
m
n
m
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
.
a
b
a
a
a
a
b
b
a
b
a
b
a
)
b
a
(
a
a
a
a
a
1
a
1
a
a
a
a
a
a
a







































































Segundo Año
Álgebra 60
PRODUCTOS NOTABLES:
)
te
tan
impor
(
abc
3
c
b
a
)
ac
bc
b
(
2
c
b
a
:
cumple
se
entonces
;
0
c
b
a
:
Si
*
abc
3
)
ac
bc
ab
)(
c
b
a
(
3
c
b
a
)
c
b
a
(
)
c
a
)(
c
b
)(
b
a
(
3
c
b
a
)
c
b
a
(
Gauss
de
Identidad
).......
ac
bc
ab
c
b
a
)(
c
b
a
(
abc
3
c
b
a
.
Legendre
de
Identidad
........
xy
4
)
y
x
(
)
y
x
(
)
y
x
(
2
)
y
x
(
)
y
x
(
y
xy
3
y
x
3
x
)
y
x
(
xy
3
y
x
3
x
)
y
x
(
)
y
x
(
xy
3
y
x
y
xy
3
y
x
3
x
)
y
x
(
yz
2
xz
2
xy
2
z
y
x
)
z
y
x
(
d
´
Argan
de
Identidad
........
y
y
x
x
)
y
xy
x
)(
y
xy
x
(
)
y
xy
x
)(
y
x
(
y
x
)
y
xy
x
)(
y
x
(
y
x
ab
x
)
b
a
(
x
)
b
x
)(
a
x
(
b
a
)
b
a
)(
b
a
(
b
ab
2
a
)
b
a
(
b
ab
2
a
)
b
a
(
3
3
3
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2























































































































Segundo Año
Álgebra 61
FACTORIZACIÓN
1. Factorización y/ o agrupación de términos.-
Se agrupan los términos que tienen algún factor común y se extrae el que
está elevado al menor exponente.
Si no todos los términos tienen algún factor común, entonces debe
agruparse convenientemente los términos con la finalidad de lograr
nuevos factores comunes.
2. Identidades.-
En muchos problemas, se debe emplear adecuadamente el criterio de los
productos notables, con el fin de agrupar los términos que presenten
alguna de las formas vistas en los productos notables.
3. Aspas.-
 Aspa Simple: Se aplica a trinomios de la forma:
c
bx
ax2


A1X
A2X
C1
C2
Donde debe cumplirse: bx
C
x
A
C
x
A 1
2
2
1 

Luego, los factores serán: )
C
x
A
)(
C
x
A 2
2
1
1 

 Aspa Doble: Se aplica a polinomios de la forma:
F
Ey
DX
Cy
y
BX
AX n
n
n
2
n
n
n
2






Segundo Año
Álgebra 62
Donde debe verificarse:
F
Ey
DX
Cy
y
BX
AX n
n
n
2
n
n
n
2





A1X
n
C1 yn
F1
A2X
n
C2 yn
F2
2
1 2
3
Una vez comprobadas las aspas 1, 2 y 3 los factores serán:
)
F
y
C
x
A
)(
F
y
C
x
A
( 2
n
2
n
2
1
n
1
n
1 



 Aspa Doble Especial: Se aplica a polinomios de la forma:
E
DX
CX
BX
AX 2
3
4




A1X
2
C1X E1
A2X
2
C2X E2
2 3
2
1
Al resultado de la aspa 1 se compara con el término central del polinomio
y lo que falte o sobre se le descompone en las partes centrales de los
nuevos dos factores, siempre y cuando se verifiquen las aspas 2 y 3.

Segundo Año
Álgebra 63
M. C. D. y M. C. M.
Para hallar el M.C.D. y el M.C.M de dos o más polinomios, se debe tener en
cuenta que:
1. Se deben factorizar las expresiones.
2. El M.C.D. se halla multiplicando sólo factores comunes, pero elevados a
su menor exponente.
3. El M.C.M se obtiene al multiplicar primero los factores comunes a todas
las expresiones pero elevados a su mayor exponente, para luego
multiplicarlo por los no comunes.
Propiedades:
1. El M.C.D. de dos o mas polinomios primos entre si es la unidad y el
M.C.M. es el producto de ellos.
2. Para 2 polinomios A y B se cumple que: AxB
M
.
C
.
xM
D
.
C
.
M )
B
,
A
(
)
B
,
A
( 
Factorial de un Número:
N
n
donde
,
n
.....
3
.
2
.
1
!
n 

Propiedades:
1. )!
1
n
(
n
!
n 

2. Por definición: 1! = 1
Por convención: 0! = 1
3. Si a! = 1  a = 0  a = 1
4. a! = b!  a = b
Números Combinatorios:
)
n
m
(
N
m
!
n
)!
n
m
(
!
m
n
m
C
m
n














Segundo Año
Álgebra 64
Propiedades de los Números Combinatorios:
1) 1
Cm
o 
2) m
Cm
1 
3) 1
Cm
m 
4) m
n
m
m
n C
C 
 (combinaciones complementarias)
Degradación de Índices:
5) 1
n
1
r
n
r C
r
n
C 


6) n
1
r
n
r C
r
1
r
n
C 



7) 1
n
r
n
r C
r
n
n
C 


8) 1
n
r
n
r
n
1
r C
C
C 
 

9) Si: n
r
p
r
p
C
C n
r
n
P 





Desarrollo del Binomio de Newton con Exponente Natural (n  N)
n
n
n
2
2
n
n
2
1
n
n
1
n
n
o
2
a
C
.......
a
X
C
a
X
C
x
C
)
a
x
( 




 


Segundo Año
Álgebra 65
Triángulo de Pascal: (está conformada por los coeficientes del desarrollo del binomio)
1
6
15
20
15
6
1
)
a
x
(
1
5
10
10
5
1
)
a
x
(
1
4
6
4
1
)
a
x
(
1
3
3
1
)
a
x
(
1
2
1
)
a
x
(
1
1
)
a
x
(
1
)
a
x
(
6
5
4
3
2
1















Calculo del Término General:
K
K
n
n
k
1
K a
X
C
t 
 
Propiedades del desarrollo de n
)
a
x
( 
1. # de términos = n +1
2. Los términos del desarrollo son completos y ordenados respecto a sus
dos bases.
3. Signos de los términos en el desarrollo de:
,.....
,
,
,
)
a
x
(
,....,
,
,
)
a
x
(
n
n












4. Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son
iguales.
5.  coeficientes de n
n
2
)
a
x
( 

 Coeficientes de 0
)
a
x
( n



Segundo Año
Álgebra 66
RADICACIÓN
1. Para transformar radicales dobles a simples:
2
C
A
2
C
A
B
A





Donde : B
A
C 2


Además : 
 B
A2
Cuadrado perfecto.
Regla Práctica:
b
a
ab
2
b
a 


 , donde a > 0
2. Para racionalizar denominadores, debemos tener en cuenta:
racional
.)
R
.
F
(
M
.
R
.
F
.
R
.
F
x
Irracional
M
F 

NÚMEROS COMPLEJOS, CANTIDADES IMAGINARIAS
Unidad Imaginaria:
1
i
1
i 2 




Potencias de Unidad Imaginaria:
.
1
i
1
i
.
i
i
i
i
.
1
i
1
i
i
i
i
i
i
i
8
4
7
3
6
2
9
5
1














Segundo Año
Álgebra 67
Propiedades:
0
i
i
i
1
0
i
i
i
i
i
i
1
i
3
2
4
3
2
r
r
K
4
K
4












Corolario: 0
i
i
i
i 3
n
2
n
1
n
n 


 


NÚMEROS COMPLEJOS (C)
Forma General: Z = a  bi a y b Son números reales
Donde: a = Re (Z)  b = Im (Z)
Si:
al
Re
º
N
un
Es
:
a
Z
0
b
Puro
imaginario
º
N
:
bi
Z
0
a






Si: Z = a + bi
bi
a
*
Z
:
Z
de
Opuesto
bi
a
Z
:
Z
de
Conjugado






Si: a + bi = c + di =  a = c  b = d

Segundo Año
Álgebra 68
Representación de un Número Complejo
Im
Z(a;b)
Re
a
r
b
Z = a + bi = r (Cos  + i Sen  ) = r Cis 
Donde: r  módulo;   argumento
2
2
b
a
r 

Propiedades:
i
i
1
;
i
i
1
i
1
;
i
i
1
i
1









)
n
Sen
i
n
Cos
(
r
Z n
n



 : Formula de Moivre
Radicación:











 








 



n
K
2
Sen
i
n
K
2
Cos
r
Z n
n
donde: 

 


 

Valores
n
)
1
n
(
....,
,.........
2
,
1
,
0
K 


Segundo Año
Álgebra 69
Forma Exponencial de un Nº Complejo:
Sea: 





 Cis
r
Z
)
Sen
i
Cos
(
r
Z
Euler
de
Notación
.......
..........
re
Z io


Forma Fasorial:
Si: 



 r
Z
Cis
r
Z
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Forma General: P(x) = ax + b = 0
Donde:
a
b
X 

Estudio de las Raíces:
Si: a  0  La ecuación es determinada y presenta solución única.
Si: a = 0  b  0  La ecuación es incompatible o absurda y no admite
Solución alguna
Si: a = 0  b = 0  La ecuación es indeterminada y tendrá infinitas
Soluciones.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Forma General: 0
a
0
c
bx
ax
)
x
(
P 2






Se demuestra que:
a
2
ac
4
b
b
X
2





Segundo Año
Álgebra 70
Estudios de las Raíces:
Sea: ante
min
discri
:
ac
4
b2



Si:
onjugadas
y
complejos
son
raíces
las
0
iguales
son
raíces
las
0
diferentes
y
reales
son
raíces
las
0









Propiedades de las Raíces:
Sean: X1 y X2 , raíces de una ecuación cuadrática.
1) )
Raíces
de
Suma
(
a
b
X
X 2
1



2) )
Raíces
de
Diferencia
(
a
X
X 2
1



3) )
Raíces
de
oducto
(Pr
a
c
X
.
X 2
1 
4)













oducto
Pr
2
1
Diferencia
2
2
1
Suma
2
2
1 X
X
4
)
X
X
(
)
X
X
( 



Reconstrucción de una Ecuación de 2do
grado
Se deben conocer las raíces de la ecuación: X1 y X2 , entonces, tenemos que
la ecuación original es:
0
)
Raíces
de
oducto
(Pr
X
)
Raíces
de
Suma
(
X
ó
0
)
X
X
(
X
)
X
X
(
X
2
2
1
2
1
2








Segundo Año
Álgebra 71
Propiedad Adicional:
Sean las ecuaciones:
0
p
nX
mX
0
c
bX
aX
2
2






Si estas ecuaciones admiten las mismas raíces o soluciones, entonces se
demuestra que:
p
c
n
b
m
a


VALOR ABSOLUTO:







0
a
si
,
a
0
a
si
,
a
a
Propiedades:
1) R
a
;
0
a 


2) 0
a
0
a
:
Si 


3) b
a
b
.
a 
4) R
a
;
a
a 



5) R
a
;
a
a 2
2



6) a
a2

7)
b
a
b
a
b
a
0
b
:
Si







8) b
a
b
a
b
a
:
Si 




9)
b
a
b
a
b
a
0
b
:
Si







b
a
b
b
a
0
b
:
Si







Segundo Año
Álgebra 72
MISCELÁNEA
01) Luego de operar:
2
3
3
2
4
5
7
2
3
7
2
3 






 se
obtiene:
Rpta.:
02) Reducir la siguiente expresión:
[5a + 4b+2c – (b – c) – (a – (b + c))]
Rpta.:
03) Si x3 = 8, donde x  N.
Calcular: (x2 + x4) x–3
Rpta.:
04) Si xn = 3; n  N – {1}. Reducir:
x2n – 9
Rpta.:
05) Hallar “x” en: 9
2
x
3
x  ;
si x  N
Rpta.:
06) Reducir:
3
3
11
27
2
)
33
(


Rpta.:
07) Indique el exponente de xx en:
x5x
Rpta.:
08) Simplificar:
n
n
1
n
3
3
3 

; n  N
Rpta.:
09) Si el coeficiente principal de:
P(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x +a, es
cinco. Calcular su término
independiente.
Rpta.:
10) Sea: P(x) = xa+ x2 + x + 1, un
polinomio de tercer grado.
Calcular: P(2)
Rpta.:
11) Si: P(x) = ax + b; a  0.
Además P(2) = a; calcular:
a + b
Rpta.:
12) Si Q(x) = x + 3 y Q(a) = b.
Calcular: b – a
Rpta.:
13) Sea: P(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3,
hallar: P(0) + P(1)
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 73
14) Sea: P(x) = x2 + x – a2; además
P(a) = 3; calcular el termino
independiente de P
Rpta.:
15) Si: (x + y + 1)(x + y – 1) = 1,
calcular: (x + y)2
Rpta.:
16) Si: (a2 + 1)2 = 2. Calcular:
a4+ 2a2
Rpta.:
17) Si: 3
a
1
a 
 , calcular: a2 + a–2
Rpta.:
18) Si a + b = 2  ab = 1; calcular:
x2 + 2x – 2
Rpta.:
19) Si: 4a2 – 4a + 1 = 0. Calcular;
4a + 3
Rpta.:
20) Si: (a + 3b)(a – 3b) = 0; b  0.
Calcular:
2
b
a






Rpta.:
21) Si: (x + y + 1)(x + y – 1) = 1;
calcular: (x + y)2
Rpta.:
22) Si: 3
2
3
2
x 


 ,
hallar: x2
Rpta.:
23) Si se cumple: a2 + b2 = 3ab;
reducir:
2
2
2
2
)
b
a
(
)
b
a
(
)
b
a
(
)
b
a
(






Rpta.:
24) Efectuar:
2
3
2
3
2
3
2
3





Rpta.:
25) Si m + n = p. Calcular:
m3 – p3 – 3mp(m – p) + n3
Rpta.:
26) Indicar el residuo de la
siguiente división:
2
x
3
x
2
x
4
x
2 6
7




Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 74
27) Efectuar la siguiente división:
1
x
4
x
4
x
5
x
6 2
3




Indicar el residuo de dicha
división:
Rpta.:
28) Indicar el término
independiente del resto en la
siguiente división.
1
x
2
x
3
6
x
2
x
x
6
2
2
3





Rpta.:
29) Reducir:
1
x
7
x
4
x
)
1
x
6
x
4
(
2
2
2
2





Rpta.:
30) Calcular “n”, si el resto en la
división:
n
x
2
n
x
4
nx
x
2 2
3




es (-15)
Rpta.:
31) Indicar un factor primo de:
P(x) = 2x4 – 7x2 – 4
Rpta.:
32) Resolver la ecuación lineal:
)
1
4
(
2
)
2
2
(
x
3
3


 e
indica la solución:
Rpta.:
33) Resolver:
2
7
2
3
2
x
2
3
x
3
2
x







Rpta.:
34) Si x0 es una solución de la
ecuación:
(2x + 3)2 = 4x2 + 5x – 5
Indicar
2
o
X
Rpta.:
35) Hallar el valor de “m”, si en la
ecuación:
3x2 – (m – 7)x + 9 = 0;
La suma de las raíces es 5
Rpta.:
36) En la ecuación cuadrática:
x2 – 3(2x + 1) = –n
Si una raíz es el doble de la
otra. Hallar el valor de “n”
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 75
37) Luego de resolver la ecuación:
0
10
2
x
5
1
x
2
6
9
x
4
2
3
x








Indicar la solución aumentada
en 5
Rpta.:
38) Indicar la suma de raíces de la
ecuación:
2x2 + (x + 1)(x – 1) + 7x = 0
Rpta.:
39) En la ecuación:
3x2 – kx + k = 0
Una raíz es 2. Indicar la
segunda raíz.
Rpta.:
40) En la ecuación en x:
x2 + (3 – x1)x + 5x2 = 0
Las raíces son x1 y x2. Indicar
x1 – x2
Rpta.:
41) En la ecuación en x:
2x2 – kx + k + 1 = 0
Suma de raíces es 4, indicar el
producto de dichas raíces
multiplicado por cuatro.
Rpta.:
42) Resolver la ecuación en “x”:
a2x – a = b2x – b; a  b  a  -b
Rpta.:
43) Si a un número le adicionamos
cuatro, se obtiene el triple de
este número, calcular dicho
número.
Rpta.:
4
6
7
x
2
2
3
8
4
x
2




Rpta.:
45) Si x + 2  7, calcular el máximo
valor de “x”
Rpta.:
46) Si (x + 3)  [3 ; 7]. Calcular el
Rpta.:
47) Si x  2 ; 3, entonces ¿A que
intervalo pertenece (x + 5)?
Rpta.:
48) Simplificar:
n
m
p
m
p
p
n
n
m
)
15
(
)
21
(
)
35
(
7
5
3



 


Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 76
49) Reducir la expresión:
16
8
4
2
3
3
3
3
E 
Rpta.:
50) Al racionalizar:
2
3
3
2


, se
obtiene: 6
q
5  .
Indicar: 5q + 3
Rpta.:
51) Simplificar la expresión:
3
2
2
3
3
x
2
y
3
y
2
x


























; si xy  0
Rpta.:
52) Si: P(x) = 2x4(1 + x2) – 3x6 – 7,
hallar:
2
)
1
(
P
)
1
(
P 

Rpta.:
53) P(x) es un polinomio lineal tal
que cumple: P(1) = 3 y P(2) = 4;
calcular: P(3)
Rpta.:
54) Sea:
12
1
x
6
1
x
2
1
)
x
(
P 2


 ,
indicar: p(1) . q(3).
Donde: q(x) = 12p(x) – 5x2 – 4x
Rpta.:
55) Si: a +b + c = 9. Calcular:





 

3
c
b
a
P ; donde:
P(x) = x3 – 3x2 + 1
Rpta.:
56) Reducir la expresión:
E = (x – 2y + z)2 – 3[(x – y) +
(z – y)]2 + [(y – z) + (y – x)]2 +
[z +x – 2y]2
Rpta.:
57) Simplificar:
)
n
m
)(
b
a
(
)
bm
an
(
)
bn
am
(
2
2
2
2
2
2





Rpta.:
58) Simplificar:
2
2
2
2
2
2
)
bm
an
(
)
bn
am
(
abmn
4
)
n
m
)(
b
a
(






Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 77
59) Si: a + b = 1 ; ab = 2, calcular:
a2 + b2
Rpta.:
60) Dado el polinomio:
P(x) = 2(1 + x)(x – 1)
Indicar:
2
)
x
(
P
)
x
(
P
)
x
(
q



Rpta.:
61) Si: P(x2) = (x2 + 1)2 + 1 – 2(x2 + 1)
P(x) será igual a:
62) Si: P(x + 1) = (x + 2) x (2 + x) +
2(2 + x)2 ; indicar p(9)
Rpta.:
63) Sea: D(x) = (1+x)(x2+1) + x2+x;
; indicar el cociente de dividir:
D(x) por; x + 1
Rpta.:
64) Si: P(x) = (3x2 – 1)(x + 3) +
2x + 1, calcular el resto de
dividir: P(x) +2 – x entre: 3x2– 1
Rpta.:
65) Encontrar el resto de dividir:
D(x) = x3 – 7x + 6
Por: (x – 2)(x + 3)
Rpta.:
66) Hallar el resto en:
1
x
1
x
x
)
1
x
( 2
3
3





Rpta.:
67) Dados los polinomios:
P(x) = 2x2 – 5x – 3 ;
q(x) = 2x2 + 7x + 3
Indicar un factor común
Rpta.:
68) En el siguiente esquema del
aspa simple:
P(x) = 6x2 + x + 12
4
nx
rx
p
x
2
Calcular: n – p + r
Rpta.:
69) Al factorizar:
P(x) = x5 + x + x3 + x2 + x4 + 1
Indicar el número de factores
cuadráticos.
Rpta.:
70) Si:
P(x) = (1 + x) [(x + 2)(x + 3) – 2]
Indicar un factor primo
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 78
71) P(x) = (x +a)2 – 5(x + a) + 6,
indicar la suma de los términos
independientes de sus factores
primos.
Rpta.:
72) Si las dimensiones de una caja
están en progresión aritmética
de razón 2 y la suma de las
áreas de 3 caras diferente es
23. Indicar la menor arista.
Rpta.:
73) Resolver al ecuación:
(x+ 3)(2x + 5) + 30 = (2x + 3)(x + 5)
Rpta.:
74) Resolver:
)
2
(
..
..........
5
x
4
7
4
7
3
5
x
)
1
(
..
..........
3
x
2
5
3
5
2
3
x






Hallar: C.S. (1) – C.S. (2)
Rpta.:
75) Resolver: (x + 3)3 = (x + 2)3 + 1
Rpta.:
76) Resolver: 3x2 – 28 = –1
Rpta.:
77) Si: x  -1 ; 2  3x – 5 > 2x – 4
Entonces x pertenece al
intervalo:
Rpta.:
78) Resolver: (x + 1)2 + 3 > 0
Rpta.:
79) Si: x  [-2 ; 3], hallar: a + b si:
a  2 – 3x  b
Rpta.:
80) Resolver:
2[x2 – 7x + 12] < [x2 – 4x + 3]
Rpta.:
81) Resolver:
(x2 – 3)(x + 1) – (x2 + 3)(x – 1) < 0
Rpta.:
82) Hallar m + 2n, si el conjunto
solución de la ecuación
cuadrática en x:
x2 + mx +n < 0 es:
C.S. = -1 ; 3
Rpta.:

Segundo Año
Álgebra 79
83) Dar el valor de verdad de las
siguiente proposiciones: a, b, c,
 R;
I. Si a > b, entonces:
a + c > b +c
II. Si a > b, entonces: a2 > ab
III. Si a + c > b, entonces:
a > b – c
Rpta.:
84) La suma de cuatro números
consecutivos es 14. Calcular el
menor de ellos.
Rpta.:
85) Resolver la ecuación:
2
x
5
2
5
2
1
2
x
3
2
x




Rpta.:
86) Si: x  [2 ; 5]. Calcular el
mínimo valor de (x – 3)
Rpta.:
87) Si: (x + 3)  [3 ; 7]. Calcular el
Rpta.:
88) Resolver la ecuación:
3(x+1) + 2(x+3) = 5(x+1) + 2(x+2)
Rpta.:
89) Si: x + 3 > 5, Calcular el
mínimo valor entero de “x”
Rpta.:
90) Después de vender los ¾ de
una pieza de tela, quedan 30m.
¿Cuál era la longitud inicial de
tela?
Rpta.:

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