teorema de Pitágoras

1. EL ÁLGEBRA Y SUS ECUACIONES PARA
SECUNDARIA Y BACHILLER
EL ÁLGEBRA
El Algebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad
considerada del modo más general posible.
En la actualidad existe gran cantidad de álgebras, unas muy distintas entre
sí. El álgebra de los números complejos es la mejor forma de darle una idea
al lector de qué es esa algebra de los números complejos, es mostrarle su
estructura. En realidad, el álgebra tiene una estructura muy sencilla,
conformada por los siguientes tres elementos:
• Un conjunto de elementos es el conjunto de números complejos. .
• Dos operaciones elementales, que llamaremos operaciones
algebraicas y que se aplican a los elementos del conjunto : la
adición y la multiplicación.
• Una serie de leyes que rigen el comportamiento de las operaciones
algebraicas al ser aplicadas a los números complejos.
HISTORIA DEL ÁLGEBRA
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde
fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas
(ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con
varias incógnitas. Los anticuados babilonios resolvían cualquier ecuación
cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se
enseñan. También fueron hábiles de solucionar ciertas ecuaciones
indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la
tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante
es de suficiente más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para
ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre
resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico,
en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. Los matemáticos
alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y
Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de suficiente más
nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones
indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de
ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se
le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”.
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas
utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad
media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier

2. potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los
polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía
multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el
conocimiento del teorema del binomio.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro,
Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en
función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari,
alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de
cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos
posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones
de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el
matemático noruego Abel Niels y el francés Évariste Galois demostraron la
inexistencia de dicha fórmula.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI,
de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias
algebraicas. La contribución más importante de Descartes a las
matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la
resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas
algebraicos.
En 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la
demostración de que toda ecuación polinómicas tiene al menos una raíz en
el plano complejo. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las
cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas
numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial.
Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés
William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números
complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de
la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.
Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann
Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter
abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra
vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que
Hamilton había hecho con las cuaternas.

3. Desde entonces, el álgebra moderna también llamada álgebra abstracta ha
seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han
encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas
otras ciencias.
PERSONAJES DEL ALGEBRA
Abel Henrik Niels (1802-1829): Abel publicó en 1823 escritos de
ecuaciones funcionales e integrales. En esto Abel dio la primera solución
de una ecuación integral. En 1824 probó que era imposible resolver
algebraicamente ecuaciones de quinto grado.
Abel revolucionó el entendimiento de las funciones elípticas por el estudio
de la función inversa de esa función.
Évariste Galois (1811-1832) Matemático Francés.
En 1829 y 1830 hace conocer sus primeros trabajos sobre fracciones
continuas, cuestiones de análisis, teoría de las ecuaciones y teoría de
números. En los libros escritos se asoma ya la idea de “cuerpo”, y que
luego desarrollan Rieman y Richard Dedekind, y que Galois introduce con
motivo de los hoy llamados “imaginarios de Galois”, concebidos con el
objeto de otorgar carácter general al teorema del número de raíces de las
congruencias de grado n de módulo primo. Es en estos escritos donde
aparecen por primera vez las propiedades más importantes de la teoría de
grupos.

4. En los grupo de substituciones que constituye el tema central de Galois,
estaba ya esbozada en los trabajos de Lagrange y de Alexandre Théophile
Vendermonde del siglo XVIII, y en los de Gauss, Abel, Ruffini y Cauchy
del XIX, implícita en problemas de teoría de las ecuaciones, teoría de
números y de transformaciones geométricas, pero es Galois quién muestra
una idea clara de la teoría general con las nociones de subgrupo y de
isomorfismo.
SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS
El propósito de esta sección es el de presentar algunas propiedades de las
matrices. Para ello, consideramos el sistema de ecuaciones algebráicas…
(A.13)
…que puede escribirse en forma matricial como:
(A.14)

5. La ecuación (E.14) puede interpretarse como el sistema de ecuaciones
algebráicas (E.13), como una transformación lineal , o en
general como una transformación lineal de un espacio vectorial de
dimensión a otro espacio vectorial de dimensión con
y .
Empleamos esta múltiple interpretación para hacer algunas definiciones y
obtener ciertas conclusiones acerca de la existencia y unicidad del sistema
de la solución del sistema de ecuaciones algebráicas.
¿Que es una ecuación?
Se llaman ecuaciones a las igualdades en las que aparecen números y letras
(incógnitas) relacionadas mediante operaciones matemáticas.
Ecuación de primer grado o lineal
Se dicen que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a
ninguna potencia (por tanto a 1). Ejemplo: 1 - 3x = 2x - 9
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas
fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro.
a) Sumar o restar a los dos miembros un mismo número.
b) Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número.
Sistemas de ecuaciones lineales
Para resolver este sistema se pueden utilizar tres métodos de resolución:
* Método de Igualación:
Primer paso: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Segundo paso: Se igualan las dos incógnita obtenidas en el paso
uno.
Tercer paso: Se resuelve la ecuación obtenida.

6. Cuarto paso: Se sustituye el valor obtenido en el paso tres en unas
de las incógnitas obtenidas en el paso uno.
Ejemplo: 2x + 3y= 16
x-y= 3 1º) x= 16-3y/2
x= 3+y
2º) x= 16-3y/2= 3+y
3º) 16-3y= (3+y) · 2
16-3y= 6+2y 
 16-6= 2y + 3y 
 10/5 = 5y/5 
 y= 2
4º) x= 3+2 = 5  x=5
* Método de Sustitución:
Primer paso: Se despeja una de las incógnitas en una de las
ecuaciones.
Segundo paso: La expresión obtenida al despejar se sustituye en la
otra ecuación.
Tercer paso: Se resuelve la ecuación obtenida de primer grado con
una incógnita.
Cuarto paso: Se averigua el valor de la otra incógnita a partir de la
expresión obtenida en el paso 1.
Ejemplo: x + 4y = 20
x - 2y = 8 1º) x= 20 - 4y
2º) (20 – 4y) – 2y = 8
3º) -4y -2y = 8 – 20 
 -6y = -12 
 y= -12/-6 = 2
4º) x= 20 – 4 · 2= 20 – 8 = 12
* Método de Reducción:
Primer paso: Se multiplica las dos ecuaciones por los números
adecuados para igualar los coeficientes de una de las dos incógnitas con
signos contrarios.
Segundo paso: Se suman las dos nuevas ecuaciones obtenidas en el
paso uno, para que así se elimine una de las dos incógnitas.

7. Tercer paso: Se resuelve la ecuación de primer grado con una
incógnita obtenida en el paso dos.
Cuarto paso: Se sustituye en una de las dos ecuaciones del sistema
original, la incógnita obtenida en el paso tres.
Ejemplo: 3x – 2y = 12
2x + 7y = 33 1º) 7 · (3x – 2y= 12) 21x – 14y= 84
2 · (2x + 7y = 33)  4x + 14y= 66
2º) 21x – 14y= 84
4x + 14y= 66
____________
25x = 150
3º) 25x/ 25 = 150/ 25  x = 6
4º) 3 · 6 -2y= 12
 -2y= 12 – 18
-2y= -6  y= -16/-2 = 3
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación
polinómicas donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la
expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se
expresa en la forma canónica:
…
…donde “a” es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre
distinto de 0, “b” el coeficiente lineal o de primer grado y “c” es el término
independiente.
La ecuación de segundo se clasifica en:
-Completa: Tiene la forma canónica donde los
tres coeficientes “a”, “b” y “c” son distintos de cero.
-Incompleta pura: Es de la forma donde los valores
de “a” y de “c” son distintos de cero.
-Incompleta mixta: Es de la forma donde los valores
de “a” y de “b” son distintos de cero.
Solución general de la ecuación de segundo grado
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones,
no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o
complejas, dadas por la fórmula general

8. , donde el símbolo "±" indica que los dos
valores
y , son
soluciones. Es interesante observar que esta fórmula celebérrima tiene las
seis operaciones racionales del álgebra elemental.
Si observamos la expresión dentro de la raíz cuadrada:
Podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:
1.- Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la
parábola cruza dos veces el eje x).
2.- Una solución real doble, si el discriminante es cero (la parábola sólo
toca en un punto al eje x).
3.- Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo
(la parábola y el eje x no se intersectan).
Deducción de la fórmula general
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo
grado y las raíces del mismo, podemos resolver la ecuación
algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.
Dada la ecuación: , donde para garantizar que
sea realmente una ecuación polinómicas de segundo grado.
1. Como “a” es distinto de cero, podemos dividir entre “a” cada término
de la ecuación:
2. Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la
igualdad:
3. Para completar el trinomio cuadrado perfecto, se suma el cuadrado de
la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos en ambos
miembros de la ecuación:

9. 4. Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo y
hacemos la operación indicada del derecho:
5. Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:
6. Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:
7. Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:
8. Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:
9. Despejamos la incógnita que buscamos:
10. Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado
derecho y obtenemos la fórmula general:
ECUACIÓN DE TERCER GRADO
Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se
puede poner bajo la forma canónica: ,
donde “a”, “b”, “c” y “d” (a ≠ 0) son números que pertenecen a un
cuerpo, usualmente a “R” ó “C”.
Sea “K” un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces,
propiedad que hará posible resolver la ecuación.
En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de
grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el
Teorema Fundamental del Álgebra.
Los pasos de la resolución son:
1. Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:

10. , con , , .
2. Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el
término cuadrado. En efecto, al desarrollar con la
identidad procedente, vemos aparecer el término ,
compensado exactamente por que aparece en . Se
obtiene:
, con “p” y “q” números del cuerpo.
Ecuación de cuarto grado
Una ecuación cuartica con una incógnita es una ecuación que se puede
poner bajo la forma canónica:
donde “a”, “b”, “c”, “d” y “e” (siendo ) son números que
pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales o los complejos .
En un cuerpo algebraicamente cerrado, todo polinomio de cuarto grado
tiene cuatro raíces.
Para resolver la ecuación de cuarto grado se debe seguir los siguientes
pasos:
1. Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:
, donde , ,
y

11. 2. Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el
término cúbico. En efecto, al desarrollar con la identidad
precedente, vemos aparecer el término , compensado exactamente
por que aparece en . Tras sustituir x y operando con las
identidades notables, se obtiene:
, con p, q y r números del cuerpo.
3. Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en
, lo que es posible porque no hay z³ en el
polinomio.