El documento presenta modelos matemáticos y ecuaciones para describir la caída libre de objetos, incluyendo la segunda ley de Newton. Explica cómo usar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración y velocidad de un objeto en función de la fuerza, masa y tiempo, derivando una ecuación para la velocidad terminal. Aplica esta ecuación a un problema para calcular la velocidad de un paracaidista antes de abrir el paracaídas basado en su masa y el coeficiente de arrastre.
Similar a Ac fr ogd8t-tdzd8xf5cxil0hubbnsknf5u5u-03pgwcqslf7dum3fpp9ybix084pvqpql20zu_a4d7jtmutfskgqen1tgcb0-8ca20knvdlewbvbuhj2gvaxpeoxf8muzzmby_l4quf2lb9wquop
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2. INTRODUCCION
Un modelo matemático es una ecuación que expresa
las características esenciales de un proceso
Vd = f(vi,params,ie)
Donde:
vd= variable dependiente
vi= variables independientes
params= parámetros
ie= influencias externas
3. Segunda Ley de Newton
F = ma
Donde:
F= fuerza actuando sobre el cuerpo (N ó kg m/s2)
m= masa del objeto (kg)
a= aceleración (m/s2)
Despejando la aceleración
𝑎 =
𝐹
𝑚
Donde:
a= variable dependiente
F= influencia externa
m= parámetro
4. Segunda Ley de Newton para calcular la velocidad terminal
de un objeto en caída libre
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝐹
𝑚
La aceleración aumenta si la fuerza es positiva
La aceleración disminuye si la fuerza es negativa
La velocidad es constante si la fuerza es cero
Es posible expresar F en términos de dos fuerzas opuestas
F = FD + F U
FD = mg
FU =−cd v
Donde:
g=9.81 cd = coeficiente de arrastre (kg/s)
5. Combinando las ecuaciones
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝐹
𝑚
F = FD + F U
Se tiene:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
FD + F U
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
mg−cdv
𝑚
𝑑𝑣
mg−cd 𝑣
=
dt
𝑚
න
𝑑𝑣
mg−cd 𝑣
= න
dt
𝑚
−
1
cd
𝑙𝑛 mg−cd 𝑣 =
t
𝑚
+ 𝐶 𝑣 =
𝑚𝑔 − 𝑒
𝑡
𝑚 ∗ 𝑒 𝑐
cd
6. › 𝑣 =
𝑚𝑔−𝑒
cd 𝑡
𝑚 ∗𝑒 𝑐
cd
Para v = 0 y t = 0
𝑚𝑔 = 𝑒 𝑐
𝑣(𝑡) =
𝑚𝑔(1 − 𝑒
cd 𝑡
𝑚 )
cd
Problema: Un paracaidista de masa 68.1kg salta de un globo estacionario. Encuentre su
velocidad antes de abrir el paracaídas. El coeficiente de arrastre es igual a 12.5 kg/s.
Solución
𝑣 𝑡 =
68.1 ∗ 9.81 1 − 𝑒
12.5 𝑡
68.1
12.5
= 53.39 1 − 𝑒−0.18355𝑡