Series de tiempo

1. Econometría
Introducción a las Series de Tiempo
Profesora: María Elisa Farías
maria.fariase@usm.cl

2. Series de Tiempo
2
Estudios requieren conocer el comportamiento de la población o
de ciertos fenómenos en el tiempo. Qué determina el
crecimiento de una economía? Cuál es el efecto de la pandemia
en las ventas de una empresa? Qué determina los niveles de
inflación?
Ejemplo: Serie de PIB trimestral para Chile entre 2013 y 2022
Problemas frecuentes?
• Autocorrelación
• Estacionalidad
• No Estacionariedad?

3. Serie PIB Trimestral:
2013 - 2022
0
10,000
20,000
30,000
40,000
50,000
60,000
2013.1
2013.2
2013.4
2014.1
2014.2
2014.3
2014.4
2015.1
2015.2
2015.3
2015.4
2016.1
2016.2
2016.3
2016.4
2017.1
2017.2
2017.3
2017.4
2018.1
2018.2
2018.3
2018.4
2019.1
2019.2
2019.3
2019.4
2020.1
2020.2
2020.3
2020.4
2021.1
2021.2
2021.3
2021.4
2022.1
PIB Trimestral
2 per. Mov. Avg. (PIB Trimestral)

4. Estacionariedad
4
Una serie de tiempo se dice estacionaria si su distribución de
probabilidad no cambia en el tiempo (es invariante). Por otra
parte, si la serie es estacionaria, tanto el valor medio como la
varianza son constantes en el tiempo.
A su vez, la covarianza entre rezagos no depende de un periodo
de tiempo específico, sino que de la distancia entre estos
periodos.

5. Ejemplo
5
El proceso autorregresivo de primer orden, AR(1)
ut = 0,5ut-1 + et
Con 0 < r < 1, E(et ) = 0 y Var(et) = 3
La serie estacionaria cumple con:
• Esperanza constante: E(ut) = E(ut-1) = 0
• Varianza constante: Var(ut) = Var(ut-1)
Demostrar…

6. Estacionalidad
6
Se refiere a un comportamiento recurrente de una serie de
tiempo, por ejemplos, aumentos del consumo para fiestas
patrias o Navidad en Chile. Caídas de la actividad económica
durante el verano.

7. Rezagos
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Los rezagos de una variable son los valores que toma la
variable en periodos previos. Ejemplo, el modelo para el PIB en
datos trimestrales:
PIBt = b0 + b1PIBt-1 + ut
Rezagos de la variable dependiente PIBt
• Un trimestre anterior: PIBt-1
• Dos trimestres anteriores: PIBt-2
• ….
• j:trimestres anteriores: PIBt-j
El operador de rezagos: LYt = Yt-1; L2Yt = Yt-2 ;…, LjYt = Yt-j

8. Autocorrelación
8
o La autocorrelación es un problema frecuente en los modelos
de series de tiempo. En el modelo:
Yt = b0 + b1Xt + ut
Se dice que existe autocorrelación de los errores cuando la
covarianza entre distintos periodos de tiempo es distinta de
cero. Esto quiere decir que los errores están correlacionados
en el tiempo…
Cov(ut,ut-1) ≠ 0
Ejemplo: Los errores están correlacionados con su primer
rezago, tal que el proceso es autorregresivo de primer orden,
AR(1).
ut = rut-1 + et

9. Porqué se produce?
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1. Inercia de los fenómenos: ejemplo, inflación.
2. Sesgo de especificación: variables excluídas o forma
funcional errónea.
3. Fenómeno de Cobweb: producción agrícola reacciona con
rezago a los cambios de precios. Minería.
4. Modelos con rezagos: Ejemplo,
log Precio Cobret = a + blog Precio Cobret-1 + ut
5. Manipulación de datos: extrapolación o interpolación.

10. Autocorrelación
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Correlación de la serie entre un periodo y sus rezagos:
Corr(ut, ut-j) = cov(ut, ut-j)/ var(ut) var(ut−j)
• Correlación(ut, ut-j) = rj
• Autocovarianza(ut, ut-j) = gj
• Varianza(ut) = g0

11. Ejemplo de Autocorrelación
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o Sea el modelo:
Yt = b0 + b1Xt + ut
En que los errores están correlacionados de la forma, AR(1).
ut = 0,7ut-1 + et
Con Var(et) = 9.
a. Encontrar E(u).
b. Obtenga Var(u).
c. Tres primeras auto-covarianzas de u.

12. Formas de la Autocorrelación
12
o La autocorrelación suele tener formas particulares dadas por
el comportamiento de las series de tiempo. Por ejemplo, en el
modelo:
Yt = b0 + b1Xt + ut
La autocorrelación está dada por el proceso autorregresivo
AR(1):
ut = rut-1 + et
Con E(et ) = 0, cov(et et-j) = 0, para todo j≠0 y, var(et) = se
2
Pero también podría estar dada por el proceso de medias
móviles, MA(1):
ut = et + qet-1

13. Efecto de la Autocorrelación en el Estimador MCO?
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En el modelo:
Y = Xb + u
u ~ N(0, s2W)
El estimador 𝛽 = (X’X)-1X’Y
Es insesgado, consistente, pero ya no es eficiente!!!!

14. Cómo detectar la autocorrelación?
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o Método Gráfico
o Test de Durbin Watson
o Test de Breusch-Godfrey

15. Método Gráfico-Correlograma del PIB Real

16. Test de Durbin Watson (d)
16
o Asume una autocorrelación de primer orden (AR(1)) para los
errores. En un modelo simple con una variable explicativa no
no estocástica, que no incluye rezagos de la variable
dependiente, se tiene:
Yt = b0 + b1Xt + ut
ut = rut-1 + et
Al estimar el modelo por MCO y obteniendo los residuos, se
construye el coeficiente de autocorrelación:
𝜌 = Setet-1/Set
2

17. Test de Durbin Watson
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H0: r = 0 vs H1: r ≠ 0
Bajo la prueba de Durbin Watson (d):
d = 2(1 - 𝜌)
Los valores críticos (tabla): dL, du.
• Si d < dL se rechaza H0
• Si dL < d < du, la prueba es incierta
• Si d > du, no se rechaza H0

18. Ejemplo de Test de Durbin Watson
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o Sea el modelo:
𝑌t = 1,7152 + 0,7152Xt
R2 = 0,4174; n = 31
d = 1,5886 = 2(1 –r) > du = 1,496
(1 –r) = 1,5886/2; r = 1- 1,5886/2 = 0,206 < 0,5
Existe autocorrelación?
dL = 1,363; du = 1,496

19. Test de Breusch-Godfrey
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• Asume distintos tipos de autocorrelación.
• Válido para procesos autorregresivos y de medias móviles.
H0: r1 = r2 = r3 … = rp = 0 vs H1: rj ≠ 0
La prueba de BG:
BP = (n – p)R2 ~ c(p)
Si BP > c2(p), se rechaza H0

20. Para Corregir: Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG)
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En el modelo:
Y = Xb + u
u ~ N(0, s2W)
El estimador eficiente: 𝛽MCG = (X’W-1X)-1X’W-1Y

21. Cómo Corregir? Cuando se conoce el coeficiente de autocorrelación
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En el modelo,
Yt = b0 + b1Xt + ut
Se conoce:
ut = 0,5ut-1 + et
(ut - 0,5ut-1 ) = et
Se transforma el modelo:
0,5Yt-1 = 0,5b0 + 0,5b1Xt-1 + 0,5ut-1
Yt – 0,5Yt-1 = b0 - 0,5b0 + b1Xt - 0,5b1Xt-1 + (ut – 0,5ut-1)
El modelo transformado:
Y*t = b*0 + b*1X*t + u*t

22. Ejemplo
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En un estudio sobre participación factorial del trabajo en la
producción se estimaron los siguientes modelos con una
muestra de 16 observaciones:
Modelo 1:
𝑌t = 0,4529 – 0,0041t R2 = 0,5284
d = 0,8252
Modelo 2:
𝑌t = 0,4786 – 0,0127t + 0,0005t2
R2 = 0,6629
d = 1,82
a. Existe autocorrelación en los modelos? Cuál sería la
magnitud?
b. Cómo se corregiría?

23. Si no se conoce el coeficiente de autocorrelación
23
En procesos AR(1):
Yt = b0 + b1Xt + ut
ut = rut-1 + et
Se transforma el modelo diferenciando:
Yt-1 = b0+ b1Xt-1 + ut-1
Yt - Yt-1 = b1Xt - b1Xt-1 + ut - ut-1
Se estima:
DYt = b*1DXt + Dut

24. Alternativamente: Metodo Iterativo de Cochrane Orcutt
24
• El modelo a estimar:
Yt = b0 + b1Xt + ut
ut = rut-1 + et
Se obtienen los residuos y se estima:
et = r1et-1 + et
Se corrije utilizando r1 y se examina la autocorrelación.

25. Ejercicio
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Suponga que Yt es una serie de tiempo estacionaria, que está
autocorrelacionada con su primer rezago:
Yt = 2,5 + 0,7Yt-1 + et
En que, E(et) = 0, Var(et) = 9.
a. Encontrar el valor esperado de la serie de tiempo.
b. Obtener las dos primeras autocovarianzas.
c. Obtener las dos primeras autocorrelaciones.
d. Si YT = 102,3; obtenga YT+1/T .

26. Modelos Autoregresivos y de Medias Móviles
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o Modelos Autoregresivos: AR(p)
Contienen un número determinado (p) de rezagos de la
variable, más un término de error.
ut = r1ut-1 + r2ut-2 + r3ut-3 + …+rput-1 + et
o Modelos de Medias Móviles: MA(q)
Suma ponderada de q rezagos de una variable aleatoria (ruido
blanco).
ut = et + q1et-1 + q2et-2 + q3et-3 + …+ qqet-q

27. Series Estacionarias y No Estacionarias

28. Procesos Estacionarios y No Estacionarios

29. Procesos Estacionarios y No Estacionarios
29
Muchas variables económicas no son estacionarias, por ejemplo,
el PIB y precios de acciones. Porqué?
Se dice que una serie es estacionaria, si cumple con:
• El valor esperado es constante
• La varianza es constante
• La covarianza entre rezagos no depende del tiempo, sino del
largo de los rezagos
Una serie no estacionaria podría causar regresiones espúreas
y problemas graves de predicción.

30. PIB y Precio del Cobre

31. Caminata Aleatoria
31
Serie que depende solo de sus valores pasados y de un término
de error (ruido blanco).
Yt = Yt-1 + ut
En que,
• E(ut) = 0
• Var(ut) = s2
• Cov(utut-j) = 0, para todo j ≠ 0

32. Ejemplo
32
Encontrar el valor esperado, la varianza y la covarianza de la
caminata aleatoria.
Yt = Yt-1 + ut

33. Algunos Conceptos
33
• Tendencia: movimiento persistente (largo plazo) de una
variable en el tiempo. Las series de tiempo fluctúan alrededor
de su tendencia.
• Raíz unitaria: una serie tiene una raíz unitaria, cuando el
coeficiente del rezago es 1. La solución al polinomio
característico de los rezagos tiene una raíz unitaria.
• Regresión espúrea: cuando existe una “falsa” relación entre
dos variables. Por ejemplo, entre la variable dependiente y su
rezago.

34. Ejemplo
34
Caminata aleatoria con tendencia constante (drift):
Yt = a + Yt-1 + ut
Valor esperado, varianza?

35. Tendencia
35
o Determinística: función no estocástica que determina el
movimiento de la variable en el largo plazo. Por ejemplo, el
logaritmo del PIB:
log 𝑃𝐼𝐵t = 𝛽0 + 𝛽1log PIB t-1 + 0,75t
o Aleatoria: tendencia estocástica que cambia en el tiempo. Por
ejemplo, la tendencia del log del PIB puede tener periodos de
crecimiento y otros de caídas. El crecimiento puede ser mayor
en algunos periodos que en otros…

36. Raíz Unitaria
36
o Sea el modelo:
Yt = b0 + b1Y t-1 + b2Y t-2 + ut
Se busca la solución a la ecuación característica:
C(z) = 1 - b1z - b2 z2 = 0
Si alguna de las raíces de z “cae” dentro del círculo unitario,
se dice que la serie tiene al menos una raíz unitaria.

37. Ejemplo
37
𝑌t = 0,749 + 0,5Yt-1+ 0,2Yt-2
Encontrar las raíces del polinomio característico de la serie.

38. Pruebas de Estacionariedad
38
o En las pruebas de estacionariedad se busca verificar si él o
los coeficientes de correlación de la serie de tiempo son
iguales a uno o distintos de uno. En el modelo
Yt = rYt-1 + ut
Si r = 1, la serie no es estacionaria. Entonces se dice que
tiene una “raíz unitaria”.
Dos pruebas:
• Correlograma
• Test de Dickey Fuller

39. Correlograma: Estadístico Q (Box y Pierce)
39
o La función de autocorrelación:
rk = Cov(Yt Yt-k)/Var(Yt)
La hipótesis nula:
H0: r1 = r2 = r3 …. rk = 0 vs H1: Existe rj ≠ 0
Para verificar: Estadístico Q:
Q = nSk = 1,m𝜌2 ~ c2(m)
Si Q > c2(m), se rechaza H0

40. Alternativa: Estadístico LB (Ljung-Box)
40
o La función de autocorrelación:
rk = Cov(Yt Yt-k)/Var(Yt)
La hipótesis nula:
H0: r1 = r2 = r3 …. rk = 0 vs H1: Existe r1 ≠ 0
Para verificar: Estadístico LB:
LB = n(n + 2)Sk = 1,m(𝜌2 /(n-k))~ c2(m)
Si LB > c2(m), se rechaza H0

41. Test de Raíz Unitaria (Dickey Fuller)
41
o En la caminata aleatoria (random walk) se sabe que la serie
no es estacionaria. Luego, el test busca verificar si la serie
tiene una raíz unitaria, que es lo mismo decir que no es
estacionaria. Sea el modelo:
DYt = (r -1)Yt-1 + ut
DYt = dYt-1 + ut
Con d = r - 1
La hipótesis nula:
H0: d = 0 vs H1: d ≠ 0
Para verificar: Prueba de Dickey Fuller (DF)

42. Prueba de Dickey Fuller
42
o Examina la significancia estadística de coeficiente d del
rezago de la variable dependiente:
DYt = dYt-1 + ut
t = 𝛿/Var(𝛿)0,5
Si t > t*, se rechaza H0 y se dice que la serie es estacionaria.
Pero si t ≤ t*, la serie no es estacionaria…

43. Ejemplo
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o Sea el modelo:
DPIBt = 28,2054 – 0,0014PIBt-1
t = (1,1576) (-0,2192)
R2 = 0,0018; DW = 1,3520
Verificar la estacionariedad del PIB si t* al 5% = -2,8951

44. Prueba de Dickey Fuller Aumentada
44
o Otras formas del modelo del test de estacionariedad:
DYt = b0 + dYt-1 + ut
DYt = b0 + b1t + dYt-1 + ut