Variables aleatorias

1. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE UNA VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
VARIABLE ALEATORIA Y
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
ESTADÍSTICA INFERENCIAL

2. RECORDEMOS:
VARIABLES
CUALITATIVAS CUANTITATIVAS
ORDINALES NOMINALES DISCRETAS CONTINUAS

3. VARIABLE
ALEATORIA
Una variable aleatoria o variable estocástica es
una función que asigna un valor, usualmente
numérico, al resultado de un experimento aleatorio.
EXPERIMENTO
ALEATORIO
Experimento cuyo resultado no se puede predecir,
existiendo un conjunto de resultados posibles

4. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA
Formalmente se define una función de probabilidades como aquella función que
asocia a cada elemento del espacio muestral (x) de una variable aleatoria (X) la
probabilidad que éste tenga.
Entonces, f ( x ) será una función de probabilidad de tal manera que 𝑓 𝑥 : ℝ →
0,1 tal que f ( x ) = P ( x ) , donde P ( x ) es la probabilidad del elemento x del
espacio muestral.

5. 1. Si se define la variable aleatoria X = “el número de hombres que una pareja puede
tener si tienen dos hijos”
Ω = {HH, HM, MH, MM}
P(X=2) = ¼
P(X=1) = ½
P(X=0) = ¼

6. 2. Se define la v.a. X = Sumar los puntos obtenidos al lanzar dos dados
Suma de
las caras
Probabilidad
f(x) = P(X=x)
2 1/36
3 2/36
4 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36
9 4/36
10 3/36
11 2/36
12 1/36
𝑓 𝑥 =
1
36
𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠 2 ó 12
2
36
𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠 3 𝑢 11
3
36
𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠 4 ó 10
4
36
𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠 5 ó 9
5
36
𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠 6 𝑢 8
6
36
𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑠 7

7. Graficando lo anterior…
0.03
0.06
0.08
0.11
0.14
0.17
0.14
0.11
0.08
0.06
0.03
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidad
V.A.
X= Suma de los puntos obtenidos al
lanzar dos dados

8. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
También llamada “probabilidad acumulada”, es la probabilidad de que la variable
tome valores iguales o inferiores a x, es decir: 𝐹 𝑥 = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑥)
Suma de las
caras
Probabilidad
f(x) = P(X=x)
Función distribución
𝐹 𝑥 = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑥)
2 P(X=2)= 1/36 𝑃 𝑋 ≤ 2 = 1/36
3 P(X=3)= 2/36 𝑃 𝑋 ≤ 3 = 3/36
4 P(X=4)= 3/36 𝑃 𝑋 ≤ 4 = 6/36
5 P(X=5)= 4/36 𝑃 𝑋 ≤ 5 = 10/36
6 P(X=6)= 5/36 𝑃 𝑋 ≤ 6 = 15/36
7 P(X=7)= 6/36 𝑃 𝑋 ≤ 7 = 21/36
8 P(X=8)= 5/36 𝑃 𝑋 ≤ 8 = 26/36
9 P(X=9)= 4/36 𝑃 𝑋 ≤ 9 = 30/36
10 P(X=10)= 3/36 𝑃 𝑋 ≤ 10 = 33/36
11 P(X=11)= 2/36 𝑃 𝑋 ≤ 11 = 35/36
12 P(X=12)= 1/36 𝑃 𝑋 ≤ 12 = 36/36

9. La gráfica de la función de distribución es:

10. ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
También llamada “valor esperado” o “media poblacional” de una variable
aleatoria X, formaliza la idea de “valor medio” de un fenómeno aleatorio”.
Se simboliza como 𝑬[𝒙] y se calcula de la siguiente forma:
Del ejemplo anterior tenemos que:
𝐸 𝑋 = 2 ∙
1
36
+ 3 ∙
2
36
+ 4 ∙
3
36
+ 5 ∙
4
36
+ 6 ∙
5
36
+ 7 ∙
6
36
+ 8 ∙
5
36
+ 9 ∙
4
36
+ 10 ∙
3
36
+ 11 ∙
2
36
+ 12 ∙
1
36
𝐸 𝑋 =
2
36
+
6
36
+
12
36
+
20
36
+
30
36
+
42
36
+
40
36
+
36
36
+
30
36
+
22
36
+
12
36
=
252
36
= 7
Por lo tanto el valor esperado al lanzar dos dados y sumar sus puntos es 7

11. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número
de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.
Una distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo
podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.
La distribución binomial de una variable aleatoria X, se calcula:
Donde:
n = Número de ensayos o experimentos
x = número de éxitos
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso (q = 1-p)
𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
Además, recordar que:

12. Por ejemplo:
Imaginemos que un 80% de personas en el mundo han visto el partido de la
final del último mundial de futbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a
conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto?
Definamos los datos del enunciado:
n = 4 (total de la muestra)
x = 3 (número de éxito, ya que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos la
hayan visto)
p = 0,8 (80% de probabilidad éxito, es decir, que hayan visto el partido)
q = 0,2 (1 - 0,8 = 0,2, probabilidad de fracaso, es decir, que no hayan visto el partido)
En la fórmula: 𝑃 3 = 4
3
∙ 0,83 ∙ 0,24−3
=
4!
3!∙ 4−3 !
∙ 0,83 ∙ 0,21
=
4!
3!∙1!
∙ 0,512 ∙ 0,2
=
24
6∙1
∙ 0,1024
= 4 ∙ 0,1024
= 0,4096 ≈ 0,41
∴ La probabilidad de que 3 de
los amigos hayan visto el partido
es de 41%
Como 0,41 ∙ 100 = 41
Recuerda que: 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙∙∙ 𝑛
Entonces 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6

13. ESPERANZA DE UNA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
𝜇 = 𝑛 ∙ 𝑝
VARIANZA DE UNA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
𝜎2
= 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞
DESVIACIÓN ESTÁNDAR O
DESVIACIÓN TÍPIA DE UNA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
𝜎 = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞