2. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
1. Variable aleatoria
2. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias
discretas
3. Ejemplos de distribuciones discretas:binomial, Poisson,
hipergeométrica
4. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias
continuas
5. Ejemplo de distribuciones continuas: la normal
6. Aproximación de la distribución normal a la binomial
4. Variables aleatorias
Definición 1. Una variable aleatoria es una regla que asocia
un número real a cada elemento del espacio muestral.
Nota: es una función en la que el dominio es el espacio muestral y el
rango es el conjunto de números reales.
EJEMPLO: Definimos “X”
(variable aleatoria)= número
de caras obtenidas al arrojar
dos monedas.
SS
SC
CS
CC
Espacio
muestral (E)
0
1
2
RX
𝑋: 𝐸 → ℝ
5. • Utilizamos letras mayúsculas, tales como W, X, Y y Z para
denotar las variables aleatorias.
• Utilizamos letras minúsculas, como x, para representar
algún valor particular de la variable aleatoria
correspondiente.
• La notación X(s) = x significa que x es el valor asociado
con el resultado s por la v.a. X.
Variables aleatorias
6. Definición 2. Si un espacio muestral contiene un
número finito de elementos o bien pueden enumerarse
en una secuencia infinita, se conoce como espacio
muestral discreto.
Definición 3. Si un espacio muestral contiene un
número infinito igual al número de puntos en un
segmento de la recta real, se conoce como espacio
muestral continuo.
Variables aleatorias
7. Definición 4. Cualquier variable aleatoria cuyos únicos
valores posibles son 0 y 1 se llama variable aleatoria de
Bernoulli.
Definición 5. Una variable aleatoria discreta es aquella
que se define sobre un espacio muestral discreto.
Una variable aleatoria continua es aquélla que se
define sobre un espacio muestral continuo.
Variables aleatorias
8. ___Nota
Una variable aleatoria continua cumple con las dos
condiciones siguientes:
1) Su conjunto de valores posibles puede estar
compuesta de uno o todos los números que hay en
un solo intervalo de recta o de la unión excluyente
de dichos intervalos.
2) Ningún valor posible de la variable aleatoria tiene
probabilidad positiva, esto es, P(X = c) = 0 para
cualquier valor posible de c.
10. Definición 6. Una variable aleatoria da una descripción
numérica de los resultados de un experimento. La
distribución de probabilidad de una variable aleatoria
describe cómo se reparten las probabilidades entre los
valores que toma dicha variable. En toda variable aleatoria
discreta, x, su distribución de probabilidad se define
mediante una función de probabilidad, que se denota f(x) y
la cual da la probabilidad que corresponde a cada valor de la
variable aleatoria.
Distribución de probabilidad para v.a discretas
11. Distribución de probabilidad para v.a discretas
Definición 7. El conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑓 𝑥 ) es
una función de probabilidad de la variable aleatoria
discreta 𝑥, si para cada resultado posible de 𝑥,
Nota
Nombres equivalentes:
Función de probabilidad de una v.a
discreta = Distribución de probabilidad de
una v.a discreta = Función masa de
probabilidad (fmp) de una v.a discreta.
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0,
2.
𝑥
)𝑓(𝑥 = 1,
)3. 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓(𝑥
13. Función de distribución acumulada para una v.a discreta
La función de distribución acumulada 𝐹 𝑥 de una
variable aleatoria discreta 𝑋 con distribución de
probabilidad 𝑓 𝑥 es
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =
𝑡≤𝑥
𝑓 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 − < 𝑥 <
17. Jacob Bernoulli, fue un notable científico y
matemático de origen suizo que lograría
trascender gracias a sus aportes, durante la
segunda mitad del siglo XVII. Las primeras
contribuciones importantes de Jacob Bernoulli
fueron unos documentos sobre los paralelismos
entre la lógica y el álgebra, un trabajo sobre
probabilidad y otro sobre geometría.
Actualmente describe una variedad de procesos
de interés para los administradores; y haciendo
uso de datos discretos, no continuos, que son
resultado de un experimento conocido como
proceso de Bernoulli.
La distribución binomial
18. La distribución binomial
Un experimento binomial es el que contiene las siguientes
características:
1. El experimento consiste en n intentos idénticos.
2. Cada intento resulta en uno de dos resultados: éxito o fracaso.
3. La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a p y es de
un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a (1-p)=
q.
4. Los intentos son independientes.
5. Estamos interesados en x, el número de éxitos observados
durante los n intentos, para x= 0, 1, 2, …, n.
19. Ejemplos típicos de distribución binomial
de probabilidad
• Un sociólogo está interesado en la
proporción de maestros de escuelas
elementales que sean hombres.
• Una comerciante en bebidas gaseosas está
interesada en la proporción de quienes
toman refresco de cola y que prefieren la
marca de ella.
20. • Un genetista está interesado en la
proporción de la población que posee un gen
vinculado a la enfermedad de Alzheimer.
• Un tratamiento médico puede o no resultar
efectivo.
Ejemplos típicos de distribución binomial
de probabilidad
21. 𝑓 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
Donde:
X= 0, 1, 2, …, n
p= éxito
q= fracaso
Función de distribución binomial
n= número de ensayos o experimentos
p= probabilidad de éxito
x= número de éxitos
q= probabilidad de fracaso
22. Ejemplo numérico para distribución binomial
1. La compañía Motor Ford Company está probando un nuevo
material para la nueva línea de camiones todo terreno en el cual la
empresa desea lograr que dichos componentes sean de alta
resistencia en colisiones de gran impacto, por lo que definen la
probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una
prueba de choque es de 75%. Encontrar la probabilidad de que
sobreviva exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se
prueben.
Suponga que las pruebas son independientes y como p= .75 para cada una de las
4 pruebas, obtenemos:
P(2; 4, 3/4)=
4
2
0.75 2
0.25 2
=
4!
2!2!
3 2
4 2 = 27/128 = 0.2109375
• p= ¾
• q= ¼
• n= 4
• x= 2
23. 2. La probabilidad de que un paciente se recupera
de la enfermedad Metahemoglobinemia (conocida
como “plan pitufo” o “piel azul”) sanguínea es de
0.4. Si se sabe que 15 personas contraen esa
enfermedad ¿Cuál es la probabilidad de que
sobrevivan al menos 10?
Sépase que al menos nos indica la cantidad mínima, por lo que
procederemos a calcular la sumatoria de las probabilidades de que
la variable sea mayor o igual que 10.
Ejemplo numérico para distribución binomial
P(X≥10)= 1- P(X<10) continúa…
24. Nota Démonos cuenta que podemos instar al cálculo de
las probabilidades menores que 10, y consecuentemente,
restárselo a 1 (suma total de probabilidades) y de esa
manera, obtener el resultado de lo que nos solicita el
planteamiento del problema.
Ejemplo numérico para distribución binomial
P(X=0) =
15
0
0.4 0 0.6 15−0= 0.0004701849846
P(X=1) =
15
1
0.4 1
0.6 15−1
= 0.004701849846
P(X=2) =
15
2
0.4 2 0.6 15−2= 0.021941965
x=0
P(X≥10)= 1- Ʃ(x; 15, 0.4)
9
P(X=3) =
15
3
0.4 3
0.6 15−3
= 0.063387901
P(X=4) =
15
4
0.4 4
0.6 15−4
= 0.126775803
P(X=5) =
15
5
0.4 5
0.6 15−5
= 0.185937844
continúa…
26. Considere una situación que se diera en la escuela primaria
Kerr, en la que los estudiantes suelen llegar tarde. Cinco
alumnos están en el jardín de niños. La directora ha
estudiado la situación durante cierto periodo y ha
determinado que hay una probabilidad de 0.4 de que
cualquier estudiante llegue tarde y que las llegadas de los
estudiantes son independientes entre sí. ¿Cómo podríamos
trazar la probabilidad que ejemplifique las probabilidades de
que 0, 1, 2, 3, 4 o 5 estudiantes lleguen tarde
simultáneamente?.
Ejemplo gráfico para distribución binomial
continúa…
27. Solución. Para hallar los resultados utilizamos procedimientos
abarcados anteriormente.
Para P(X=0) =
5
0
0.4 0 0.6 5= 0.07776
Para P(X=1)=
5
1
0.4 1
0.6 4
= 0.2592
Para P(X=2)=
5
2
0.4 2
0.6 3
= 0.3456
Para P(X=3)=
5
3
0.4 3
0.6 2
= 0.2304
Para P(X= 4)=
5
4
0.4 4 0.6 1= 0.0768
Para P(X=5)=
5
5
0.4 5
0.6 0
= 0.01024
Ejemplo gráfico para distribución binomial
continúa…
𝛴 𝑥=1
5
(x; 0.4, 5)
28. Ejemplo gráfico para distribución binomial
0.1
0.2
0.3
0.4
0 1 2 3 4
Número de llegadas tarde
Probabilidad
p= 0.4
q= 0.6
n= 5
5
Gráfico de probabilidad de llegadas
impuntuales
29.
30. Debe su nombre a Simeón Denis Poisson
(1781-1840).
Fue un físico y matemático francés al que
se le conoce por sus diferentes trabajos en
el campo de la electricidad y por sus
publicaciones acerca de la geometría
diferencial y la teoría de probabilidades.
Poisson dedicó su vida a la investigación y
enseñanza de las matemáticas. De su mano
surgieron numerosas memorias con
aportaciones originales en muchos campos.
Distribución de Poisson
31. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución
de Poisson con parámetro λ (λ > 0) si la función de masa de
probabilidad de X es:
p (x; λ) =
𝑒−𝜆 𝜆 𝑥
𝑥!
x= 0, 1, 2, 3…
El valor de λ es con frecuencia un valor por unidad de tiempo o
por unidad de área.
La letra 𝑒 en p(x; ) representa la base del sistema de logaritmos
naturales; su valor numérico es aproximadamente 2.71828.
Distribución de Poisson
32. Distribución de Poisson
El hecho de que 𝑘=0
𝑛
𝑝 𝑥; λ = 1 es una consecuencia de la expansión de
la serie infinita de Maclaurin de 𝑒λ , la cual aparece en la mayoría de los
textos de cálculo.
𝑒λ = 1 + λ +
λ2
2!
+
λ3
3!
+ ⋯
𝑘=0
𝑛
λ 𝑥
𝑥!
Si los dos términos extremos de la expresión se multiplican por 𝑒−λ y luego
𝑒−λ se coloca dentro de la suma, el resultado es:
1=
𝑘=0
𝑛
𝑒−λ λ 𝑥
𝑥!
Lo que demuestra que 𝑝 𝑥; λ satisface la segunda condición necesaria para
especificar una función masa de probabilidad.
33. La distribución de Poisson se usa cuando se quiere
obtener la probabilidad de x ocurrencias de un evento en
un determinado intervalo de tiempo o de espacio. Para
que se emplee la distribución de Poisson deben
satisfacerse las condiciones siguientes:
1. La probabilidad de una ocurrencia del evento es la
misma para cualesquier dos intervalos de la misma
longitud.
2. La ocurrencia o no–ocurrencia del evento en un
determinado intervalo es independiente de la ocurrencia
o no–ocurrencia del evento en cualquier otro intervalo.
Distribución de Poisson
34. 1. Sea x el número de criaturas de un tipo
particular capturadas en una trampa
durante un periodo determinado. Suponga
que x es una distribución de Poisson con
λ= 4.5, así que en promedio las trampas
contendrán un promedio de 4.5 criaturas.
La probabilidad de que una trampa
contenga cinco criaturas es:
Ejemplo numérico de distribución Poisson
continúa…
35. P(X=5)= 𝑒−4.5 (4.5)5
5!
= 0.1708
La probabilidad de que una trampa contenga cuando mucho
cinco criaturas es:
P(X≤5)= 𝑘=0
5
𝑒−4.5 (4.5)5
5!
𝑒−4.5
1 + 4.5 +
4.52
2!
… +
Ejemplo numérico de distribución Poisson
Tomado de:
Devore J. Estadística para ingeniería y ciencias. Séptima edición. Página 122
36.
37. La distribución de probabilidad hipergeométrica está
estrechamente relacionada con la distribución binomial.
Pero difieren en dos puntos: en la distribución
hipergeométrica los ensayos no son independientes y la
probabilidad de éxito varía de ensayo a ensayo.
Distribución hipergeométrica
En la notación usual en la distribución hipergeométrica, k
denota el número de elementos considerados como éxitos
que hay en una población de tamaño N, y N-k denota el
número de elementos considerados como fracasos que hay
en dicha población.
38. La función de probabilidad hipergeométrica se usa para
calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de
n elementos, seleccionados sin reemplazo, se tengan x
éxitos y n-x fracasos. Para que se presente este resultado,
debe tener x éxitos de los k éxitos que hay en la población y
n-x fracasos de los N-k fracasos. La siguiente función de
probabilidad hipergeométrica proporciona f(x), la
probabilidad de tener x éxitos en una muestra de tamaño n.
Función de distribución hipergeométrica
39. 𝑓 𝑋 = 𝑥 =
𝑘
𝑥
𝑁 − 𝑘
𝑛 − 𝑥
𝑁
𝑛
Función de distribución hipergeométrica
con x un entero que satisface máx (0, n - N +k) ≤x ≤ mín(n, K).
Si X es el número de éxitos (E) en una muestra
completamente aleatoria de tamaño n extraída de la
población N compuesta de k éxitos y (N - k) fallas, entonces
la distribución de probabilidad de X llamada distribución
hipergeométrica, es
40. La fábrica de focos Philips distribuye a todas las ferreterías
de la zona sur del estado, por lo que cada ferretería
adquiere una producción de lotes de 10. Para la entrega la
compañía PHILIPS considera que el lote es aceptable si no
contiene más de un artículo defectuoso. Algunos lotes se
muestrean y el plan de muestreo implica muestreo
aleatorio y comprobar 3 partes de cada 10. Si ninguna de las
3 están defectuosas, se acepta el lote. Comentario: si 2 de 10
están defectuosos son inaceptables.
P(x=0)=
2
0
8
3
10
3
= 0.467
Ejemplo numérico de distribución hipergeométrica
x=0 N=10
k=2 n=3
41. Resumen de las distribuciones discretas que
hemos revisado
43. Un momento de reflexión sobre variables aleatorias que se
encuentran en el mundo real debe convencernos de que
no todas las variables aleatorias de interés son discretas.
Variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria que puede
tomar cualquier valor en un
intervalo se denomina continua.
44. • La producción de un antibiótico en un
proceso de fermentación.
• La duración de vida útil en años de una
maquina lavadora
Ejemplos típicos de variables aleatorias continuas
45. • Estaturas de los hombres entre 20 y 22
años del ITSSY.
• El porcentaje de ganancia en cierta
inversión.
Ejemplos típicos de variables aleatorias continuas
46. Distribuciones de probabilidad para v.a continuas
Definición 8. La función f (x) es una función de densidad de
probabilidad (fdp) para la variable aleatoria continua X,
definida en el conjunto de los números reales, si
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ 𝑅
2. −∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1.
3. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
48. Probabilidad de un intervalo: P(a < X < b)
La probabilidad de que una v.a. continua tome un valor particular es cero.
49. 49
Función de distribución acumulativa
Definición 9. La función de distribución acumulativa F(x),
de una variable aleatoria continua X con función de
densidad f (x), es
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =
−∞
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑥 < ∞
53. Distribución normal
Varios matemáticos han atribuido a su desarrollo, entre los
que podemos contar al astronómico-matemático del siglo
XIX Karl Gauss, un matemático, y físico alemán que
contribuyó significativamente en muchos campos, incluida
la teoría de números, el análisis matemático, la geometría
diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia,
el magnetismo y la óptica.
Considerado «el príncipe de los matemáticos» y «el matemático más grande
desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos
campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los
matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Por tanto, en su
honor también suele llamarse distribución gaussiana (distribución normal).
54. Una distribución de probabilidad continua que es muy
importante es la distribución normal.
Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una
distribución normal con parámetros µ y σ (o µ y σ2), donde -
< µ < y σ> o, si la función de densidad de probabilidad de X es
𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎) =
1
2𝜋𝜎
𝑒
− 𝑥−𝜇 2
2𝜎2
.
• En donde μ ∈ R y σ > 0 son dos parámetros.
• Escribimos entonces X ∼ N(μ, σ2).
Distribución normal
55. Su gráfica, denominada curva normal, es la curva con forma
de campana.
Distribución normal
56. La curva de cualquier distribución continua de probabilidad
o función de densidad se construye de manera que el área
bajo la curva limitada por las dos ordenadas x = x1 y x = x2
sea igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X
tome un valor entre x = x1 y x = x2.
Distribución normal
Fuente: Walpole, et. al. Probabilidad y
Estadística para ingeniería y ciencias. 2012
57. En particular, decimos que la variable aleatoria X tiene una
distribución normal estándar si tiene una distribución
normal con parámetros 𝜇= 0 y 𝜎2
= 1. En este caso la
función de densidad se reduce a la expresión:
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋
𝑒
−𝑥2
2
Distribución normal
58. Estandarización
Cuando no contamos con los parámetros µ= 0 y σ2=1,
tendemos a manipular la curva.
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎2
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
σ
A la operación anterior se le conoce con el nombre de
estandarización, y bajo tal transformación se dice que la
variable X ha sido estandarizada. De esta manera podemos
hablar de una distribución normal estándar Z~𝑛(0,1).
60. Las siguientes son observaciones importantes acerca de las
propiedades de las distribuciones normales.
1. Toda la familia de distribuciones normales se diferencia por medio de dos
parámetros: la media μ y la desviación estándar σ.
Propiedades de la Distribución normal
61. 2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual
coincide con la mediana y la moda.
Distribución normal
62. 3. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo,
positivo o cero.
Distribución normal
𝜇1 = −, 0, +
𝜇2 = − 0, +
63. 4. La distribución normal es
simétrica, siendo la forma de la
curva normal al lado izquierdo de la
media, la imagen especular de la
forma al lado derecho de la media.
Las colas de la curva normal se
extienden al infinito en ambas
direcciones y en teoría jamás tocan
el eje horizontal. Dado que es
simétrica, la distribución normal no
es sesgada; su sesgo es cero.
Distribución normal
64. 5. La desviación estándar determina qué tan plana y ancha es la curva normal.
Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas más planas y más
anchas, lo cual indica mayor variabilidad en los datos. A continuación se
muestran dos curvas normales que tienen la misma media pero distintas
desviaciones estándar.
Distribución normal
65. 6. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan
mediante áreas bajo la curva normal. Toda el área bajo la curva de una
distribución normal es 1. Como esta distribución es simétrica, el área bajo la
curva y a la izquierda de la media es 0.50 y el área bajo la curva y a la derecha
de la media es 0.50.
Distribución normal
0.50 0.50
66. 1. Dada una distribución normal estándar, encuentre el
valor de k tal que:
a) P (Z>k) = 0.3015 b) P (k<Z< - 0.18) = 0.4197
Ejemplo numérico de distribución normal estándar
continúa…Fuente: Walpole, et. al. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. 2012
67. a) En la curva a) vemos que el valor de k que deja un área
de 0.3015 a la derecha debe dejar entonces un área de
0.6985 a la izquierda. Es posible observar que k= 0.52
b) En el área total de la izquierda de -0.18 es igual a 0.4286,
es posible ver que el área entre k y -0.18 es 0.4197, de
manera que el área de la izquierda de k debe ser
0.4286- 0.4197= 0.0089. por lo tanto, k= -2.37
Ejemplo numérico de distribución normal estándar
68. 2. Dada una variable aleatoria X que tiene una distribución
normal con µ= 50 y σ= 10, encuentre la probabilidad de
que X tome un valor entre 45 y 62.
Al hacer uso de la tabla de distribución normal
obtenemos:
𝑧1=
45−50
10
= -0.5, Y 𝑧2=
62−50
10
= 1.2
Los valores z que corresponden a 𝑥1= 45 y 𝑥2= 62 son: -0.5
y 1.2
Ejemplo numérico de distribución normal estándar
continúa…
69. Ejemplo numérico de distribución normal estándar
Obtenemos el área bajo la curva normal:
P(45< X <62)= P(-0.5< Z <1.2 )
La P(-0.5< Z <1.2 ) se muestra por el área de la
región sombreada como se muestra en la
figura. Esta área se puede encontrar al restar el
área de la izquierda de la ordenada Z= -0.5 de
toda el área a la izquierda de Z= 1.2. con eso
obtenemos:
P(45< X <62)= P(-0.5< Z <1.2 )= P(Z < 1.2)- P(Z<
- 0.5)=
= 0.8849- 0.3085= 0.5764Fuente: Walpole, et. al. Probabilidad y Estadística para
ingeniería y ciencias. 2012
71. Desde un punto de vista teórico,
algunas distribuciones convergen a la
normal a medida que sus parámetros
se aproximan a ciertos limites.
Aproximación de la distribución normal a la binomial
La distribución normal es una distribución de aproximación
conveniente, ya que la función de distribución acumulativa
se tabula con mucha facilidad. La distribución binomial se
aproxima bien por medio de la normal en problemas
prácticos cuando se trabaja con la función de distribución
acumulativa.
72. Si X es una variable aleatoria binomial con media μ = np y
varianza σ2 = npq, entonces la forma limitante de la
distribución de
conforme n → ∞, es la distribución normal estándar
n(z; 0, 1).
𝑍 =
𝑋 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
Aproximación de la distribución normal a la binomial
73. Resulta que la distribución normal con μ = np y σ2= np(1–p)
no solo ofrece una aproximación muy precisa a la
distribución binomial cuando n es grande y p no está
extremadamente cerca de 0 o de 1, sino que también
brinda una aproximación bastante buena aun cuando n es
pequeña y p está razonablemente cerca de 1/2.
Aproximación de la distribución normal a la binomial
74. Ejemplo
Para ilustrar la aproximación normal a la distribución
binomial primero dibujamos el histograma para el siguiente
ejemplo: b(x; 15, 0.4), y después superponemos la curva
normal particular con
la misma media y varianza que la variable binomial X.
Es decir, dibujamos una curva normal con:
μ = np = (15)(0.4) = 6 y σ2 = npq = (15)(0.4)(0.6) = 3.6.
continúa…
76. Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n y p.
Para una n grande, X tiene aproximadamente una
distribución normal con μ = np y σ2 = npq = np(1 – p) y
Aproximación de la distribución normal a la binomial
𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =
𝑘=0
𝑥
𝑏(𝑘; 𝑛, 𝑝)≈ area bajo la curva normal
a la izquierda de x + 0.5
=𝑃(𝑍 ≤
𝑥+0.5−𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
NOTA: Es evidente que si buscamos el área bajo la curva normal hacia la izquierda de, digamos x, es mas preciso utilizar
x + 0.5. Esto es una corrección para dar cabida al hecho de que una distribución discreta se aproxima mediante una
distribución continua. La corrección +0.5 se llama corrección de continuidad.
77. El grado de exactitud, que depende de que tan bien se
ajuste la curva al histograma, se incrementa a medida que
aumenta n. Esto es particularmente cierto cuando p no esta
muy cerca de 1/2 y el histograma ya no es simétrico.
Aproximación de la distribución normal a la binomial
78. El grado de exactitud, que depende de qué tan bien se
ajuste la curva al histograma, se incrementa a medida que
aumenta n. Esto es particularmente cierto cuando p no
esta muy cerca de 1/2 y el histograma ya no es simétrico.
Histograma para b(x; 6, 0.2) Histograma para b(x; 15, 0.2).
Aproximación de la distribución normal a la binomial
NOTA
Es evidente que una curva normal se ajustara mucho mejor al histograma cuando n = 15 que
cuando n = 6.
79. Ejemplo numérico
1. Un paciente que padece una rara enfermedad de
la sangre tiene 0.4 de probabilidad de recuperarse.
Si se sabe que 100 personas contrajeron esta
enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que
sobrevivan menos de 30?
Representemos con la variable binomial X el numero de pacientes que sobreviven.
Como n = 100, deberíamos obtener resultados muy precisos usando la
aproximación de la curva normal con
μ = np = (100)(0.4) = 40 y σ = √npq = √(100)(0.4)(0.6)= 4.899.
Para obtener la probabilidad que se desea, tenemos que calcular el área a la izquierda
de x = 29.5.
continúa…
80. El valor z que corresponde a 29.5 es:
𝑍 =
29.5 − 40
4.899
= −2.14
Ejemplo numérico
La probabilidad de que menos de 30 de los 100 pacientes
sobrevivan esta dada por la región sombreada.
continúa…
81. Por lo tanto,
P (X < 30) ≈ P (Z <−2.14) = 0.0162.
Ejemplo numérico
Fuente: Walpole, et. al. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. 2012
82. Ejemplo numérico
2. Un examen de opción múltiple tiene
200 preguntas, cada una con 4
respuestas posibles, de las que solo una
es la correcta. ¿Cual es la probabilidad
de que solamente adivinando se
obtengan de 25 a 30 respuestas
correctas para 80 de los 200 problemas
sobre los que el estudiante no tiene
conocimientos?
continúa…
83. La probabilidad de adivinar una respuesta correcta para cada una de las 80
preguntas es p = 1/4. Si X representa el numero de respuestas correctas solo
porque se adivinaron, entonces,
P (25 ≤ X ≤ 30) = 𝑥=25
30
𝑏(𝑥; 80,
1
4
)
Al usar la aproximacion de la curva normal con
μ = np =(80) (1/4) = 20 y
σ = 𝑛𝑝𝑞 = 80
1
4
(
3
4
) = 3.873,
Ejemplo numérico
continúa…
84. Necesitamos el área entre x1=24.5 y x2 =30.5.
Los valores correspondientes son:
z1 =
24.5−20
3.873
= 1.16 y z2 =
30.5−20
3.873
= 2.71.
La probabilidad de adivinar correctamente de 25 a 30 preguntas es
dada por la región sombreada
P (25 ≤ X ≤ 30) = 𝑥=25
30
𝑏 𝑥; 80, 0.25 ≈ P (1.16 < Z < 2.71)
= P (Z < 2.71) −P (Z < 1.16) = 0.9966 −0.8770 = 0.1196.
Ejemplo numérico
Fuente: Walpole, et. al. Probabilidad y Estadística para ingeniería y
ciencias. 2012
85. Necesitamos el área entre x1=24.5 y x2 =30.5.
Los valores correspondientes son:
z1 =
24.5−20
3.873
= 1.16 y z2 =
30.5−20
3.873
= 2.71.
La probabilidad de adivinar correctamente de 25 a 30 preguntas es
dada por la región sombreada
P (25 ≤ X ≤ 30) = 𝑥=25
30
𝑏 𝑥; 80, 0.25 ≈ P (1.16 < Z < 2.71)
= P (Z < 2.71) −P (Z < 1.16) = 0.9966 −0.8770 = 0.1196.
Ejemplo numérico
Fuente: Walpole, et. al. Probabilidad y Estadística para ingeniería y
ciencias. 2012
86. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
Blanca Parra Campos, Arturo Alvarado Segura y Guadalupe Manuel Pool Cen
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico Superior del Sur del Estado de Yucatán
