Autor: Azucena M.D Zelaya, Edson D. de Carvalho, Jozué V. Filho, Member IEEE.

1. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
1

Resumen—De los resultados de la teoría algebraica de
números, se propone una metodología eficiente basada en la
estrategia de compute-and-forward para la cuantización de los
coeficientes de canal por medio de alineación de interferencia
sobre reticulados. Esta propuesta es basada en la partición de la
cadena de reticulados – Eisentein, los cuales están desarrollados
bajo las herramientas algebraicas de cuerpos ciclotómicos.
Índices—Estrategia compute and forward, Reticulados-
Eisentein, Teoría de números algebraicos.
I. INTRODUCCIÓN
STE documento está dirigido a la detección de
interferencia de problemas en redes wireless, usando la
estrategia de compute-and-forward (CF) [4], un nuevo
paradigma en comunicaciones. La ventaja de la estrategia
compute-and-forward es su habilidad en transformar la
interferencia en un beneficio para el usuario. Una manera de
manipular la interferencia es usando la alineación de
interferencia (AI), atreves de la estrategia CF. AI desarrolla
una pre-codificación de la interferencia y transmite esta
interferencia sobre múltiples dimensiones como bloques de
frecuencia, espacios de tiempo y antenas. Como resultado, la
suma de velocidad brindada por AI puede alcanzar la
capacidad deseada con una relación señal ruido (SNR, signal
noise relation) alta [6].
La estrategia usada en [4] es basada en códigos reticulados
anillados, los cuales son códigos con una estructura lineal. La
estructura lineal de los códigos reticulados garantizar que las
combinaciones de palabras códigos son palabras código.
Como consecuencia, los relays tratan de decodificar las
combinaciones lineales sobre palabras código formadas por
coeficientes enteros, de acuerdo a los autores Nazer, Gasper
[4], el procedimiento corresponde a decodificar
Azucena M. D. Zelaya en el Departamento de Ingenieria Electrica,
UNESP, Ilha Solteira, Brasil 15385-000 (e-mail
azucenaduarte23@gmail.com)
Edson D. de Carvalho en el Departamento de Matematicas, UNESP, Ilha
Solteira, Brasil 15385-000 (e-mail edson@mat.feis.unesp.br)
Jozue V. Filho, Curso de Telecomunicaciones, UNESP, S.J. da Boa Vista,
Brasil 13870-090 (e-mail jozue.vieira@sjbv.unesp.br)
combinaciones lineales sobre cuerpos finitos.
Un importante resultado demostrado por Erez y Zamir [3]
es que los códigos reticulados anillados con la combinación de
decodificadores puede alcanzar la máxima capacidad de
transmisión en el canal.
Trinca [5] desarrolla una nueva metodología para cuantizar
los coeficientes del canal por aproximaciones, mediante AI en
cadenas de reticulados anillados sobre  i usando la
estrategia CF [4]. Este esquema de codificación requiere que
cada relay conozca los coeficientes del canal de cada
transmisor en si mismo. Específicamente, el relay m necesita
conocer mh solamente. Cada transmisor necesita conocer
únicamente la velocidad de mensaje deseado, no el desarrollo
de todo el canal.
Es por eso, que los autores [5] muestran una manera de
encontrar una partición infinita de reticulados anillados de
dimensión 2
2s
N 
 , por ello, haciendo uso de cuerpos
ciclotómicos  2s de grado 2
2s
N 
 sobre  i .
Los autores muestran que esta partición infinita de
reticulados anillados corresponde a la Construcción A la cual
asocia los códigos cíclicos binarios y es obtenida a partir de la
“estructura cubica” de la forma  
N
i . Sin embargo, estos
reticulados no son densos porque su distancia mínima
cuadrática  2
mind  es igual a 2.
Forney [9] también muestra que existen reticulados densos
y códigos buenos obtenidos de la “construcción cubica” de la
manera  
N
 que incluye lo códigos Galois y los reticulados
Leech, donde 1/ 2 3 / 2i    y 3.2n
N  Estos
reticulados corresponde a Construcción A .
Tunali [1] prueba la existencia de la secuencia de
dimensión infinita de los reticulados anillados sobre
  , lo cual es simultáneamente bueno para la
cuantización y codificación de canal AWGN basado en la
estrategia CF. También Tunali demuestra que la velocidad de
información alcanzada con los códigos reticulados anillados
  puede ser mayor que aquellas velocidades obtenidas
de los códigos de reticulados anillados sobre  i [4].
Cuantización de Coeficientes de Canal
Basados en Teoría de Números
Algebraicos
Azucena M. D. Zelaya, Edson D. de Carvalho, Jozué V. Filho, Member, IEEE
E

2. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
2
A partir de lo anterior, proponemos una metodología
alternativa para cuantizar por aproximación los coeficientes
del canal utilizando AI dentro de cadenas de códigos de
reticulados anillados sobre   basado en la estrategia
de CF [4],[1]. Este esquema de codificación requiere
únicamente que cada relay conozca los coeficientes del
canal para cada transmisor mismo del mismo modo cada
relay necesita conocer la velocidad del mensaje deseada,
no el desarrollo del canal.
Es por eso que se desarrolla una manera de encontrar la
partición infinita de reticulados anillados de dimensión
2
3.2s
N 
 , usando un cuerpo ciclotómico  9.2s de grado
2
3.2s
N 
 sobre   .
II. PRELIMINARES: RESULTADOS ALGEBRAICOS BÁSICOS
Sea F y L cuerpos tales que F L . Se dirá que L es una
extensión de cuerpos finitos de F si la dimensión de L ,
como espacio vectorial sobre F , es finito. Sea L un cuerpo
de números algebraicos de grado n , por ejemplo,  L   ,
con   una raíz del polinomio irreductible    p x x .
Las n distintas raíces de  p x , nombradas como, 1 2, ,..., n  
son las conjugaciones de  . Se tiene de ese modo, n distintos
 -homomorfismos :i L C  , tal que  i j   para todo
1,2,...,i n y para todo 1,2,...,j n .
El grupo Galois  /Gal L F asociado a la extensión finita
de /L F es definido como el conjunto de todos los
automorfismos de  de F que realiza un arreglo en cada
elemento de L . El orden del grupo Galois satisface que
   / :Gal L F L F . La extensión del cuerpo es Galois si
vale la inecuación anterior y es llamada de Abeliano (cíclico)
si el grupo Galois es Abeliano.
El conjunto { L: es un entero algebraico}L    es
llamado anillos enteros sobre L . Puede ser demostrado
que L , es un módulo sobre  , tiene por base 1{ ,..., }n 
sobre  , llamada base de enteros, lo que quiere decir que
cada L  puede ser escrito únicamente como
1
n
i i
i
a 

 
donde ia  para todo 1,2,..., .i n
Ejemplo 1: [11] Sea L un cuerpo de numero ciclotómico de
la forma  L   , donde
   
2
9.2
9.2
cos 2 9.2 sin 2 9.2
s
s
i
s s
e i

      
Para algún entero 0,s  esto es, 9.2s es una 9.2s
-esima
raíz de la unidad. Además se tiene que:
1)   1
: 3.2s
L 
 y   2
: 3.2s
L  
   , donde
1 2 3 2i    (mayor detalle ver [11]).
2)    1
/ , ,..., N
Gal L ìd   
  , donde
2
3.2s
N 
 y  denota el homomorfismo
 /j Gal L   que satisface la condición
   9.2 9.2
donde 9.2 , 1s s
j s
j MDC j    .
3) La base de 9.2sL     es dada por
 1
9.2 9.2
1, ,...,s s
N
  
, donde 2
3.2s
N 
 .
A partir de la familia de cuerpos ciclotómicos
 9.2ssL   con 0s  , puede ser obtenidos subcuerpos y
relaciones entre las raíces de la unidad como sigue:
1) Fácilmente, puede verificarse:
1
2
9.2 9.2s s  
Lo que hace sentido reescribir
 1 9.2ss sL L 
Como consecuencia, se obtiene una cadena de
extensión de cuerpos del tipo:
1 2 1/ / .../ /s sL L L L
Satisfaciendo la relación
     1 1 2 4 3: : ... :s s s sL L L L L L L     
Y
 3 2: 3L L  ,  2 1: 2L L 
Donde
1L   y  2L   .
2) El polinomio mínimo   1sp x L  asociado al
elemento primitivo de 9.2s escrito de la forma:
    2 2
9.2 9.2 9.2s s sp x x x x      
donde  9.2
1, s es la base de sL sobre 1sL  .
3) El grupo Galois asociado a la extensión de cuerpos
1/s sL L  es dado por:
   1/ ,s s sGal L L ìd  
Con 2
s id  , donde id es la identidad y s es
determinado por  9.2 9.2s ss    .
4) Sea sL un cuerpo de extensión finita   para
2s  . Como consecuencia del grado de la extensión
de los cuerpos sL sobre   es 2
3.2s
,
  sGal L  es cíclico con cardinalidad 3.2s
,
entonces puede ser escrito   9.2ssL    donde:
 2 1
9.2 9.2 9.2
1, , ,...,s s s
N
   

3. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
3
Es base de los cuerpos sL , vista sL como espacio
vectorial sobre   , donde 2
3.2s
N 
 .
5) El polinomio mínimo de  p x sobre   asociado
al elemento primitivo 9.2s es dado por:
   
1
9.2
0
s
N
k
k
p x x 


 
,
Las raíces complejas de  p x , define los distintos N
homomorfismos de cuerpo sobre   dados por:
     2 1
29.2 9.2 9.2 9.2 9.2 9.2
, ,...,s s s s s s
N
Nid         
  
.
Otro importante resultado asociado a la extensión de
cuerpos de L sobre  es dado por un numero entero para
todo Lx , donde L es el anillo de enteros de L ,
   
1
0
N
i
L
i
N x x


  (1)
Se tiene también que
     L F L F L FN xy N x N y (2)
Desde que / /L K F es una extensión finita de cuerpos, ara
todo
    L F K F L KN N N  (3)
Se tomaran en cuenta algunos resultados básicos acerca de
reticulados complejos. Se dice que  es un reticulado
complejo de rango N si  es un conjunto de puntos discretos
dados por N -tuplas en N -espacios complejos N
 . Los
reticulados complejos de rango N tienen una estructura
aditiva de grupo asociativo. Los reticulados complejos 
pueden ser representados por medio de su matriz generadora
M .
Se define  como un subreticulado de los reticulados
complejos  si  es escrito como:
  |x BM      ,
Para alguna matriz compleja B de rango N , donde i  o
 .
Desde que  tiene una estructura aditiva de grupo, 
tiene una estructura de subgrupo en  . Se refiere un grupo
cociente   como la partición de reticulados [9]. La
cardinalidad de la partición de los reticulados   es
llamada índice de los subreticulados  . El índice es
calculado como:
 
 
 det
vol
B
vol

   

(4)
Sea L una extensión de cuerpos de números cíclicos de
grado N sobre el cuerpos de números F , donde  F i  o
  .
Pueden ser obtenidos, los reticulados algebraicos complejos
   que corresponden al ideal L  , por medio de una
proyección compleja relativa definida por el siguiente
homomorfismo:
        1
0: , con ,...,N N
L x x id x x    
   (5)
Donde
1
0 1 1... N
Nx x x x  
    ,
 , 0,..., 1ix i N    ,
 / , 0,..., 1i Gal L F i N     .
Consecuentemente, si  es un ideal del anillo L y
 1 11, ,..., N   es una base-   , se obtiene la matriz
generadora M de los reticulados complejos  como
 
 
1
1
1 1
(1) 1
( )
N
N
N N
id
M
id

  


 
 
 
  
 
 

  

(6)
Donde i  o  .
III. ESTRATEGIA COMPUTE-AND-FORWARD BASADA EN
RETICULADOS  
Tunali [1] desarrolla un nuevo esquema para la estrategia
CF basado en códigos reticulados sobre   .
Este resultado es obtenido como consecuencia de la
Construcción A para reticulados sobre   , por ejemplo,
reticulados que son obtenidos por las proyecciones de códigos
lineales sobre cuerpos finitos q en n
 o 2
n
 , desde que n es
impar. Por esto, se describe resultados básicos de anillos
enteros L y reticulados sobre   .
Sea f reticulado de dimensión n sobre   y  sea
un subreticulado de dimensión n sobre   ,  es anillados
en f si f   .
Otro importante hecho es que  y f son escalonados tal
que el segundo momento de  es igual a 2P . Finalmente, se
obtiene que los códigos de reticulados dados por  f V  ,
donde  V  es la región de Voronoi asociada a los
reticulados  .
Sea q un número primo de potencia o potencia de un

4. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
4
número primo   . Es conocido de la literatura que el grupo
cociente    q   es isomorfo a los cuerpos finitos q .
De lo que cual se obtiene un anillo de homomorfismo
     : qq        con   qa  para todo
 a  . Este anillo de homomorfismo  se puede extender
a los elementos de los vectores de una manera directa por
mapeando de los elementos del vector componente a
componente hacia otro vector.
El reticulado   de dimensión n , puede ser escrito en
términos de la matriz generadora compleja n k
B 
 :
  :
k
Be e     (7)
Dado n , k , q ; enteros que satisfacen la condición k n .
Puede ser obtenida la matriz generadora G con elementos en
n
q .
Los pasos descritos a continuación son una manera de
obtener códigos de reticulados de dimensión n cuando es
aplicada la Construcción A .
1) Los conjuntos de códigos  son obtenidos como
 : k
qx Gy y   .
2) La generación del reticulado sobre   de dimensión
n ,     :
n
        , es obtenida por el
mapeamiento  de los códigos  en  
n
 ,
3) Escalar  con 1
 
para obtener  1

   .
Los autores en [1] usan una propuesta similar a la técnica
propuesta en [4] generando los reticulados sobre   como
sigue:
i. HEX : Region fundamental de Voronoi de los
reticulados  
n
 .
ii. HEX GRID : Los reticulados  1 n
q 
 , donde q es un
número primo o potencia de uno, en un anillo de
enteros   .
iii.    mod HEX mod
n
x x x x x
    , donde
n
x y   significa aproximarse a los vectores
enteros más cercanos pertenecientes a  
n
 .
iv. mod HEX
  , donde  es el conjunto en n
 y
el mod operación HEX es hecho por elementos
racionales.
v.  0    donde n
  , n
  o n
q  .
vi.  : un reticulado anillado sobre   de dimensión n
en HEX GRID , por ejemplo, HEX GRID  .
vii.  Vol  : Volumen cerrado en n
 .
viii. HEX GRID : HEX GRID HEX

Por estas definiciones, Tunali [1] demostró la existencia de
reticulados para la cuantizacion y la codificación del canal
AWGN puede ser obtenida atreves de la Construcción A , los
autores lo establecen en el resultado del Teorema 1.
Antes, será presentado la definición de computation rate
entre los coeficientes del canal mh y los coeficientes de la
ecuación ma .
Defincion 1: computation rate  ,m mh a se logra si para
algún 0 y n suficientemente mayor, existen codificadores
y decodificadores, 1,..., L  y 1,..., L  , tal que, todos los
relays pueden recuperar la ecuación deseada con una media de
probabilidad de error  , siempre y cuando la velocidad del
mensaje 1,..., LR R satisfaga que  : 0 ,mll m a m mR min h a  .
Teorema 1: [1] Un relay m , dado mh y ma , la computation
rate es
 
12
2
2
, log
1
H
m m
m m m
m
P h a
h a a
P h


  
        
 (8)
Donde  ma  , es obtenido.
IV. CONSTRUCCIÓN DE RETICULADOS ANILLADOS SOBRE
  PARA LA APROXIMACIÓN DEL CANAL
En esta sección, se presentara un nuevo esquema basado en
la codificación de la partición sobre la cadena de reticulados
sobre   en orden de realizar la cuantización de los
coeficientes del canal.
Se requiere que los relay únicamente conozcan sus
coeficientes de canal para la transmisión del mensaje. Por eso,
se supone que la interferencia del canal es un valor complejo
dado por  mla    .
En [1], los autores muestran y garantizan la existencia de
códigos reticulados anillados sobre   . Como
consecuencia, se puede obtener un canal equivalente inducido
por la transformación del modulo-  . En este modelo de canal
“virtual” cada relay analiza los puntos de los reticulados sobre
  dado por las combinaciones ml la t corrompido por el
ruido eficiente ,eq mz , esto es,
,
1
L
m ml l eq m
l
y a t z

  (9)
De esta manera, al aplicar U al vector receptor de (9) para

5. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
5
obtener
,
1
L
m m ml l eq m
l
y Uy a Ut Uz

   (10)
Como ,eq mz es i.i.d ruido complejo simétrico circular
Eisentein y U es unitaria, entonces obtenemos (10). Ahora,
observando los vectores de la forma ml la Ut . Por simplicidad
de notación, se denota:
x h U x   (11)
Donde lx t es un punto del reticulado transmitido
considerando por el usuario y mlh a los coeficientes del
canal. Pueden reescribirse como:
0 0
0 0
0 0
h
h
U x H U x
h
 
 
     
 
 
 


   

(12)
En este punto, se requiere cuantizar la diagonal de la matriz
H . Para esto, cuantizamos la matriz H por el ruido Eisentein
con la matriz unitaria U que satisface (9), (10) y (11).
Bajo esta dirección, se considera  un elemento generador
del ideal  I en el anillo de enteros   de los cuerpos
ciclotómicos   de grado finito N sobre   , tal que,
 

.
Para cada 1k  , independientemente del ideal K
I que se
toma, puede ser escrita la matriz kM
como 0k kM M M 
 .
En otras palabras, se tiene:
     
     
1
1
1 1 1 1
k
N
k k k
N
k k k
N N N N
k k k
M
    
       
       


   
 
 
 
  
 
  
 


   

 
 
   
   
1
1
1
1 1 1
10 0
10 0
0 0 1
N
k
N
k
N
N N N
k
 
    
     



  
                     


       
 
(13)
La matriz H puede ser aproximada por:
 
 1
0 0
0 0
0 0
k
k
k
N
k
M

 
 
 
 
  
 
  
 


   

(14)
Note
 
 
   
   
0
1
1
1
1 1 1
10 0
10 0
0 0 1
k
T
N
k
N
k
N
N N N
k
M M
 
    
     



  
 
                     


       
 
(15)
   
   
1
1
0
1 1 1
1
1
1
k k
N
N
T
N N N
M M M 
 
   
   


  
 
 
 
   
 
  
 


   

(16)
Donde kM
es una matriz de orden N cuyas entradas
pertenecen anillo   .
Esto significa que si k
ku  genera el ideal  k
  ,
entonces la matriz kM
es la matriz generadora de los
reticulados, ella es el resultado de la proyección canoníca del
ideal K
I , cuyas posiciones comparadas con el reticulado
 
n
 son iguales a k .
Desde que 1k  se puede obtener:
 
 
   
   
1
1
1
1 1 1
10 0
10 0
0 0 1
N
N
N
N N N
 
    
     



  
                     


       
 
   
   
1
1
0
1 1 1
1
1
1
N
N
T
N N N
M M M 
 
   
   


  
 
 
 
   
 
  
 


   

(17)
Resulta fácil comprobar, por la inducción, que
 1 0 0
kT T
M M M M
  , para 1k  ; esto es,  k
k
M M
 , para
1k  .
Los coeficientes del canal son aproximados por la matriz
diagonal kM
 cuyos elementos iim están dados por  
kk
  y
    Gal     donde    :N       .
Desde que     Gal    es ciclico de orden N , se
obtiene k r
  , donde modk r N ,  0 r N  .
Como consecuencia, se obtiene una cadena infinita de
reticulados sobre   por KI
periódico, o como existen
N  , tal que, la cadena de reticulados sobre   satisface
  0 1
0 1 1 1
, ,..., ,
, ,...,
N N
N N N N
 
   
     
      
II I I
II I I I

(18)

6. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
6
Lo que también satisface
  1... N      I I (19)
En la próxima sección, se presentara el cuerpo ciclotómico
que satisface todos los requerimientos necesarios para obtener
la aproximación de los coeficientes del canal.
A. Construcción de la Cadena de Reticulados sobre  
Para reticulados complejos se obtiene códigos cíclicos sobre
los cuerpos finitos 3 como lo define Forney [10], loa autores
en [11] construyen una familia de reticulados complejos sobre
  ,
9.2s 
  

son isomorfos a los reticulados  
N
 , donde
2
3.2s
N 
 . Este resultado es establecido por la familia de
anillos enteros 9.2s   de los cuerpos ciclotómicos
 9.2s , donde 2s  .
Estos resultados son obtenidos como consecuencia de:
Proposición 1: [11] La matriz 0
1
NM M
N
 
  
 
es unitaria,
por ejemplo, 0 0
T
M M Id , donde 0
T
M denota la transpuesta
conjugada sobre   y NM denota la matriz generadora
asociada a los reticulados complejos
9.2s 
  

.
Nuestro interés es usar las herramientas algebraicas de los
cuerpos ciclotómicos  9.2s ; el principal objetivo de la
parte algebraica de este trabajo es definir la cadena de
reticulados anillados sobre   de los reticulados
9.2s 
  

isomorfos a los reticulados sobre  
N
 , que satisface los
requerimientos de (18).
Desde,     Gal    es cíclico de 2
3.2s
N 
 , se
puede presentar la Observación 1.
Observación 1: Sea la secuencia de ideales en un anillo de
enteros 9.2s   en listados por 9.2s
r r
    I  , donde I
es generado por elementos 9.2
1 s   (ver más detalle en
Apéndice).
Por la proyección canónica de los ideales en N
 , se obtiene
una secuencia de reticulados complejos en
9.2s 
  

enlistados
por rI
, cuya base está sobre   y la matriz generadora es
dada por  1
9.2 9.2
, ,...,s s
r r r N
     
y
     
     
1
9.2 9.2
1
2 2 29.2 9.2
1
9.2 9.2
s s
s s
k
s s
r r r N
r r r N
r r r N
n n n
M
    
       
       



 
 
 
  
 
  
 


   

(20)
Proposición 2:
1) Cada reticulado complejo ideal rI
es un subreticulado
de los reticulados complejos ideales
9.2s 
  

, cuyos
índices asociados a las particiones de los reticulados son
dados por
9.2
: 3r
s
r
 
  
 
    I
, para cada 1,..., 1r N  .
2) Cada reticulado complejo ideal 1rI
es un subreticulado
del reticulado complejo ideal rI
, cuyos índices
asociados a las particiones de los reticulados son dados
por 1: 3r r    I I
, para cada 1,..., 1r N  .
Demostración:
1) Note le hecho que rI
es un subreticulado de los
reticulados complejos
9.2s 
  

, directamente consecuente
con la Observación 1, Cuando se calcula el índice de los
reticulados complejos rI
por los reticulados complejos
9.2s 
  

, se obtiene
 
9.2
9.2
:
r
r
s
s
vol
vol


 
  
 
  

  
 
 
 
I
I

(21)
Para el caso 1r  se obtiene
 
 
9.2
9.2
3 :
r
s
s
vol
N
vol 

 
  

      
 
 
 I
I I
(22)
Por tanto,
9.2
: 3r
s 
  
   I
.
Para el caso general, se usa la propiedad multiplicativa de la
norma relativa.
Consecuentemente, se obtiene
 
 
9.2
3 :
r
s
r r r
L
vol
N
vol  
  

  
 
 
 
I
I I
(23)
Por lo tanto
9.2
: 3r
s
r
 
  
   I
, desde que  3 N I
2) El grado de los reticulados complejos ideales rI
por los

7. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
7
reticulados complejos
9.2s 
  

son dador por
 
 
9.2
1
1
9.2
1
3
: 3
3
r
s
r r
r
s
r
r
vol
vol
vol
vol




 
  

 
  

 
 
     

 
 
 


I
I I
I
(24)
Note que para cada ideal en 9.2s   son enlistado y dados
por k
I para 0,1,..., 1k N  , se obtienen particiones de
reticulados sobre   dadas por (25)
2 2 1
9.2
/ / / ../ /N N
s
 
 
  
     I I I I (24)
Donde 1 3 1,..., 1r r r N     I I
y también satisface
(25) como sigue:
1
9.2
... N
s

 
  
      I I (25)
Por lo tanto, para cada grado, se obtiene
  0 1
0 1 1 1
, ,.., ,
, ,.., ...
N N
N N N N
 
   
      
      
 II I I
II I I I
(26)
Observación 2:
1) Note que para obtener, los
9.2s 
  

isomorfos a los
reticulados  
N
 , por la Proposición 1, necesitamos
normalizar por N , donde 2
3.2s
N 
 .
2) Para obtener la matiz generadora asociada a kI
la
transformación necesaria en (8), es necesario normalizar la
matriz generadora asociada para los reticulados sobre
  por 1 3k
N para 0,..., 1k N  .
B. Construcción de la Cadena de Reticulados sobre
  desde el Inverso Ideal
El inverso ideal de I es un ideal de 9.2s   definido
como   1
9.2 9.2
|s sx x 
     I . 1
I es un L -
submodulo,  1 1 1
9.2s    
    I desde que
  L  I  y 1
L

 II .
Puede ser comprobado que
       1 1 1
9.2s
k k kk k
       
      I I (27)
Y los reticulados complejos 9.2s   son subreticulados de
k
I .
Sea la secuencia de ideales en el anillo de eneros 9.2s  
conformadas por 9.2s
r r
    I , donde I es un ideal primo
totalmente ramificado en la extensión de cuerpos
   9.2s   . Por la proyección canoníca de estos ideales
en N
 , se puede obtener una secuencia de reticulados
complejos en
9.2s 
  

conformados por rI
cuya base sobre
  es dada por
 1
9.2 9.2
, ,...,s s
r r r N
     
(28)
Se puede identificar que puede ser escrita la matriz
generadora kM de los reticulados kI
sobre   cómo
0k kM M M   , donde
 
 
   
   
1
1
2 22
0
1
10 0
10 0 0
0 0 1
k
N
k
N
k
N
N k
N N
M
M

 
    
     




 
                      

       
 
(29)
Se esta manera se presenta;
Proposición 2: Cada reticulado complejo
9.2s 
  

es un
subreticulado complejo de los reticulados complejos ideales
kI
cuyo índice asociado a esta partición de reticulados es
dado por
9.2
: 3k
s

 
  
 
    I
para cada 1,..., 1k N  .
Demostración:
Se puede verificar que kI
son subreticulados de los
reticulados complejos
9.2s 
  

. Por la ecuación (22), se
obtiene  1: det 3r r k
k
M    I I
.
Como consecuencia, se obtiene una cadena infinita de
reticulados sobre   compuesta por kI
periodos
     11 1... ...N N             III I (30)
V. APÉNDICE: PRIMOS IDEALES TOTALMENTE RAMIFICADOS
EN LA EXTENSIÓN DE CUERPOS    9.2s  
Sea L un cuerpo de numero ciclotómico, en el cual L es
una extensión algebraica finita de   .
Cada ideal  del anillo de enteros L , es factorizado

8. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
8
únicamente como un producto de primos ideales dados por
1 2
1 2 ... nee e
L n I I I (31)
El exponente de cualquier iI que aparezca en la
factorización de L es llamado el índice de ramificación de
iI sobre   y denotado por  |i ie eI  .
Si algún 2ie  , puede decirse que  es ramificado en L .
Si n
L  I , puede decirse que  es totalmente ramificado
en L .
El interés se centra en encontrar ideales en L , tal que, para
cada entero primo  pueda ser escrito el ideal  como
N
L L I  , donde I es un ideal primo en L y N es igual
a la dimensión de la extensión del cuerpo  L  .
Sea  y I , donde    1     y  9.2
1 s L I 
son ideales bajo los anillos de enteros   , L
respectivamente. Se demostrara que el ideal I es totalmente
ramificado en la extensión de cuerpos  L  .
Proposición 3: Sea 9.2s la 2
9.2 -esíma raíz de la unidad,
para 2s  y  9.2sL   , se obtiene los siguientes
resultados:
1)    1     es un primo ideal en el anillo de enteros
  .
2) La norma relativa es
      1
19.2 9.2
9.2 9.2
1 1s s
s s
N  
  

   
.
Demostración:
1) Note que al aplicar la norma relativa  N  
sobre 1 
(el elemento generador del ideal  ), se obtiene
        2
1 1 1 1 3N id            
.
Por tanto,    1     es un ideal primo en   .
2) Cuando se aplica la norma relativa
   19.2 9.2s s
N    
sobre
 9.2
1 s , se obtiene
         
  
19.2 9.2
1
9.2 9.2 9.2
2
9.2 9.2 9.2 9.2
1 1 1
1 1 1 1
s s s
s s
s s s s
rN id 
   
   


   
      
 
(32)
Proposición 4: La norma relativa
   9.2s
N   
aplicada
sobre el elemento 9.2
1 s es dado por
   
 9.2
9.2
1 1 , 2s
s
N s 
      
.
Demostración:
1) Para 0s  , se cumple que
         
  
9 9 9 3 9
2
9 9 9
1 1 1
1 1 1 1
N id 
   
   
   
      
 
(33)
2) Por inducción sobre 1s  , se cumple que
   
 1
19.2
9.2
1 1s
s
N  
 

    (34)
Note
     
  
19.2 9.2
1
9.2
9.2
2
9.2 9.2 9.2
1
1 1 1 1
s
s s
s s s
s
N  

   


 
     
 
(35)
Por la propiedad de la extensión de la norma relativa en la
extensión finita dada por (31) se obtiene que
   
 
         
9.2
1 19.2 9.2 9.2
9.2
9.2
1
1
s
s
s
s s s
N
N N
 
   


 
 
 
 
 
 
   
(35)
Como consecuencia del punto número 2, de la Proposición
4 se concluye que
   
 9.2
9.2
1 1s
s
N  
     (35)
Proposición 5: La norma relativa es
   9.2
9.2
1 3, 2s
s
N s
    
Demostración:
1) Para 0s  se cumple que  9L   . Como consecuencia
de la propiedad de extensión de la norma relativa en
extensiones finitas y en demostración del punto número 1
de la Proposición 4, se obtiene
   
            
9
9
9
9
1
1 1 3
N
N N N

  

 
 
   
 
    
(36)
2) Por inducción sobre 1s  , se cumple que
   1
19.2
9.2
1 3s
s
N 
 

   (37)
Note, se tiene que
   
       
1
19.2
1 19.2 9.2 9.2
9.2
9.2
1
1
s
s
s
s s s
N
N N

  




 
 
 
 
 
 
   
(37)
Note
   1 1
19.2
9.2 9.2
1 1s s
s
N 
  

    (38)
Esto por consecuencia de la inducción sobre 1s  se
obtiene

9. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
9
       1
19.2 9.2
9.2 9.2
1 1 3s s
s s
N N 
  

       (39)
Proposición 6: El ideal  es totalmente ramificado en la
extensión de Galois    9.2s   .
Demostración
La proposición 5 establece elemento 9.2
1 s es primo en
9.2s   . Consecuentemente, el ideal  es un primo en
9.2s   . Como consecuencia de la Proposición 6, se puede
reescribir el ideal  como N
 I , donde N es el grado de
la extensión finita de    9.2s   .
Por lo tanto, se concluye que  es totalmente ramificado
en la extensión finita    9.2s   .
VI. CONCLUSIONES
Se propone una nueva metodología para la aproximación de
coeficientes del canal sobre la interferencia en reticulados
sobre   desde el mismo modelo de canal de la estrategia
CF [4]. Para esto, se obtiene una doble cadena de partición de
reticulados anillados infinitos desde la Construcción A que
corresponde a una doble cadena de reticulados infinita de la
partición de reticulados anillados sobre   .
VII. AGRADECIMIENTOS
Agradecimiento a CAPES y CNPq, por el soporte financiero a
la investigación científica.
VIII. REFERENCIAS
[1] N. E. Tunali; K. R. Narayanan; J. J. Boutros and Y.C.
Huang, Lattices over Eisentein integer for compute-and-
forward, Fiftieth Annual Conference Allerton House, UIUC,
Illinois, USA, October 1-5, 2012, pp. 33-40.
[2] J. H. Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings,
Lattices and Groups, New York: Springer-Verlag, 1988.
[3] U. Eres, S. Litsyn and R. Zamir, Lattices which are
good for (almost everything), IEEE Trans. Inform. Theory,
51(10), (2005) 3401-3416.
[4] B. Nazer and Gastpar, Compute-and-Forward:
Harnessing Interference through structured codes, IEEE Trans.
Inform. Theory, 57(10), (2011) 6463-6486.
[5] C. C. Trinca, A contribution to the study of channel
communication systems, Phd dissertation FEIS-UNESP,
February - 2013.
[6] O. Ayech, S W. Peter, R. W. Heath, The Practical
Challenges of Interference Alignment, IEEE Wireless
Communications, (2013) 35-42.
[7] L. Washington, Introduction to cyclotomic fields.
Springer-Verlag, New-York (1982).
[8] I. N. Stewart, D. O. Tall, Algebraic number Theory,
Chapman and Hall (1987).
[9] G. D. Forney, “Coset Codes - Part I: Introduction and
Geometrical Classification," EEE Trans. Inform. Theory, v.
34, pp. 1123–1151, September 1988.
[10] G. D. Forney, “Coset Codes - Part II: binary lattices
and related codes,"IEEE Trans. Inform. Theory, v. 34, pp.
1152–1187, September 1988.
[11] X. Giraud; E. Boutilon and J. C. Belfiore, Algebraic
tools to built modulation schemes for fading channels, IEEE
Trans. Inform. Theory, 43(3), (1997) 938-952.
IX. BIOGRAFÍAS
AZUCENA MIREYA
DUARTE ZELAYA
Graduada de Ingeniería Eléctrica
Industrial, por la UNAH-
Tegucigalpa, Honduras (2011),
cursando maestría en la Facultad
de Ingeniería Eléctrica en
UNESP-Ilha Solteira, Brasil.
Experiencia en el área de Ingeniería Eléctrica con enfoque en
Telecomunicaciones.
EDSON DONIZETE DE
CARVALHO
Graduado en Licenciatura en
Matemática por la UNESP-Rio
Preto, Brasil (1994), maestría en
Matemática IMECC-UNICAMP,
Brasil (1997), doctorado en
Ingeniería Eléctrica por FEEC-
UNICAMP, Brasil (2002), pos-doctorado en Matemática por
la UNESP-Rio Preto, Brasil. Actualmente profesor doctorado
en la UNESP-Ilha Solteira, Brasil.
Experiencia en el área de matemática con enfoque en la Teoría
Algebraica de los Números y la Teoría Algebraica de Códigos.

10. “III CONGRESO INTERNACIONAL DE TELECOMUNICACIONES TELCON-UNI 2014”
10
JOZUE VIEIRA FILHO
Graduado en Ingeniería Eléctrica
por la UFPB, Brasil (1987),
maestría y doctorado en
Ingeniería Eléctrica y
Computación de UNICAMP,
Brasil (1990) (1996). Carrera
como docente en Junio 1992
UNESP-Ilha solteira,
Junio 1994 Investigador en
Center National dEtude des Telecomunications (CNET) de
Francia Telecom, Francia. Julio 1998 Investigador en CPqD-
Telebrás. Octubre 2000 trabajo como Ingeniero de desarrollo
en Motorola Industrial. 2010 desarrollo actividades en
Virginia tech en el Center for Intelligent Material System and
Structur (CIMSS). Actualmente profesor de la Facultad de
Ingeniería Eléctrica UNESP-Ilha Solteira, Brasil.
Experiencia en el área de Ingeniería Eléctrica, con enfoque en
Electrónica y Telecomunicaciones.