1. 1
Teoría de las redes.- Sirve para tratar problemas de
carácter combinatorio que aparecen en dominios
económicos, sociológicos o tecnológicos.
Es en la rama de la teoría de los conjuntos la que
promete dar más frutos tanto para el matemático “puro”
como para el ingeniero, el organizador , el biólogo, el
psicólogo, el sociólogo.
Puntos y arcos.- Consideremos un conjunto de puntos,
de número finito o no, pero distintos y numerables,
como los puntos A, B, C, D, E, F, G. En esa figura esos
puntos llamados “vértices”, están unidos por líneas
orientadas que llamaremos “arcos”. Representemos
esto graficamente

2. 2
Podemos presentar estructuras muy diversas mediante una red, como por
ejemplo: 1) Un sistema de caminos o calles. 2) Un sistema eléctrico. 3) Un
grupo humano con relaciones psicosociales. 4)Circulación de información en
un sistema.
A
B
C
F
G
D
E

3. 3
Aplicación de un conjunto en sí mismo.- Veamos como se
define una red. Empecemos por definir un conjunto de 7 puntos
{A,B,C,D,E,F,G}. A cada uno de los objetos de este conjunto
hacemos corresponder más objetos del mismo conjunto;
llamando τ a la ley que realiza estas correspondencias, define
una red para el conjunto y su ley de correspondencia.
Supongamos que en el conjunto de siete objetos la ley de
correspondencia sea la siguiente:
τ(Α)={B,D,E}
τ(D)={D,E,F,G}
τ(F)={C,F,G}
τ(Β)={A,C}
τ(E)={D,E}
τ(G)=
τ(C)={E}

4. 4
Τ(A)={B,E,D}
A
B
CC
FG
E
D

5. 5
Principales conceptos.- Conceptos orientados.-
Camino.- Es una sucesión de arcos adyacentes que permiten
pasar de un vértice a otro siguiendo los arcos.
Circuito.- Es un camino en el cual el vértice inicial coincide con el
final.
Longitud de un camino o circuito.- es el número de arcos en el
camino o circuito.
Lazo.- Es un circuito de longitud 1.
Red simétrica.- Si un vértice X está conectado a un vértice Y,
entonces Y debe estar conectado con X.
Red antisimétrica.- Si un vértice X está conectado a un vértice
Y, entonces Y no debe estar conectado con X.
Red fuertemente conectada.- Cualquiera que sean los vértices
X e Y (X distinto de Y) considerados, existe un camino de X a Y.

6. 6
Conceptos sin orientación.-
Arista.- Diremos que existe una arista entre 2 vértices X e Y si
existe un arco de X a Y y/o de Y a X.
Cadena.- Es una secuencia de aristas consecutivas.
Ciclo.- Es una cadena cerrada.
Red conectada.- Cualesquiera que sean los vértices X e Y
considerados, existe una cadena entre X e Y.
Red completa.- Cualesquiera sean los vértices X e Y
considerados, existe una arista entre ellos.
Red parcial y subred.-
Red parcial.- Si en una red suprimimos uno o más arcos
obtenemos una red parcial de la red de referencia.
Subred.- Si en una red se suprimen uno o más puntos, así como
los arcos que ahí llegan o de ahí parten, la red resultante es una
subred de la red original.

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Camino Económico.- Acá se trata de minimizar los kilómetros a
caminar cuando se quiere ir de un lugar a otro. Para ello vamos a
usar el algoritmo de Ford.
A
B C
D E
F
7
7
4
3
5
2
8
9
6

8. 8
Nótese que la unión de los nodos se hace con aristas que no
tienen dirección. La dirección saldrá del proceso del algoritmo.
Colocamos en los vértices los siguientes valores: 0 en el A
y en los demás, valores lo suficiente grandes como para superar
los valores de las aristas; en este caso les damos a los demás el
valor 100. Como es lógico se empieza por el vértice A y se
analiza la diferencia entre los valores extremos de cada arco. Al
relacionar B – A se ve que 100 – 0 = 100, como este valor es
mayor que el valor del arco ( 7 ) se realiza la operación de darle al
nodo B el valor 0 + 7 = 7. Entonces se tacha el 100 y se pone un
7. Luego se considera el arco A – D y por la misma razón se pone
en el nodo D el valor 8. De la misma manera se considera el arco
D – B y como de los 2 extremos el mayor es D se hace la
diferencia 8 – 7 = 1 y como el valor es menor que el valor del arco
( 2 ) todo se deja como está. Actuando así se llega a la siguiente
situación que se grafica.

9. 9
0
100 / 7 100 / 16 / 13
100 / 8 100 / 19/ 11
100 / 17
7
9
2
8
5
3
4
7
6

10. 10
A partir de este gráfico se hace el siguiente razonamiento:
Para cada arista se busca la diferencia entre el valor más grande
y el menor tomando los extremos, si la diferencia es igual al valor
original del arco, se marca más fuerte y se pone como una flecha
en dirección del menor valor hacia el mayor. Volvamos a la figura
anterior. Las rayas rojas indican los caminos más cortos desde A
hasta cada una de las ciudades.

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Arbol de conexión.- Se sabe que existe un árbol cuando existen
distintos arcos sin que se encuentre ningun ciclo. Este ejercicio
tiene por objeto dada una red de arcos tratar de comunicar a
todas las ciudades sin que se forme ciclo y al costo total mínimo.
Arbol de conexión.- Se sabe que existe un árbol cuando existen
distintos arcos sin que se encuentre ningun ciclo. Este ejercicio
tiene por objeto dada una red de arcos tratar de comunicar a
todas las ciudades sin que se forme ciclo y al costo total mínimo.
A
B
C
D
E
F
7
8
9
4
3
6
10
2

12. 12
Se demuestra que si las ciudades son n el número de
arcos necesarios son n – 1. para resolver el problema se
usa la matriz de Kruskal que se hace así:
A B C D E F
A 8 7
B 10 9
C 6
D 2 3
E 4
F
Como se ve es una media matriz en la cual se van
buscando los valores de menor a mayor tratando de que
no formen ciclo, haciendo el análisis en la figura.
Primero elegimos el 2 y lo marcamos en la matriz y
en el gráfico, luego el 3, y siguiendo hasta tener 5 aristas
que no formen ciclo.

13. 13
Se ve que el tercer valor 4 no se aceptó ya que formaba ciclo con
los dos primeros y por ello se lo pasa de largo y no se lo tiene en
cuenta. Se puede deducir fácilmente que si se comienza por el
mayor valor y se va decreciendo se resolverá el problema pero
con una idea de maximizar.
Máximo flujo a traves de una red.- Para resolver este problema
se usa el algoritmo de Ford-Fulkerson.
B
D E
F
7
7 4
3
5
2
8
9
6
4
2
2
2
2
2
2
2
4

14. 14
Mayor flujo a través de una red.-
Para solucionar este tipo de problema se usa el algoritmo de
Ford-Fulkerson. Este algoritmo está dividido en tres etapas a
saber:
1.- Flujo compatible.- Es aquel flujo que es igual o menor que la
capacidad máxima del arco y que en cada nodo todo lo que entra
es igual a todo lo que sale.
2.- Flujo completo.- se cumple cuando todos los caminos que van
del comienzo al fin tienen por lo menos un arco saturado. Se dice
que un arco está saturado cuando su flujo es igual a su capacidad
máxima.
3.- Optimización.- Se busca algún camino entre alfa y beta con
alguna flecha de contramano. Se hace lo mismo que en la etapa
anterior con la diferencia que el valor que se suma a los arcos en
mano se resta a los de contramano.