libro de estadistica

1. Probabilidades 1
Capítulo 1. Probabilidades
1.1 Modelos matemáticos
La aplicación de las matemáticas para describir el universo es una práctica que ha dado muy
buenos resultados durante siglos. Las matemáticas conforman un lenguaje completamente lógico que
puede aplicarse a la descripción de la naturaleza porque los sucesos y los objetos de la naturaleza tie-
nen propiedades que ofrecen un paralelo suficiente a las matemáticas. Aunque la descripción de la na-
turaleza en términos matemáticos nunca es completamente exacta, hay suficiente concordancia entre
las formas de la naturaleza y las de la expresión matemática para que la descripción sea aceptable. La
aproximación es a menudo tan grande que una vez que se ha aplicado la descripción matemática, se
puede proseguir con esa lógica matemática para hacer deducciones que también se apliquen a la natu-
raleza.
1.1.1 Definiciones:
Se denomina experimento a la reproducción controlada de un fenómeno cualquiera que ocurre
en la naturaleza.
Un modelo matemático se emplea para describir un fenómeno que ocurre en la naturaleza, y
puede ser: determinístico o no determinístico.
Un modelo es determinístico cuando las condiciones bajo las cuales se verifica el experimento
determinan su resultado. Por ejemplo: si se deja caer un cuerpo en el vacío, desde una altura h, hasta el
piso, la velocidad que alcanza es:
gh
v 2
=
Este modelo determina la velocidad con que el cuerpo cae al piso todas las veces que se repita el
experimento, si se repiten las mismas condiciones del experimento.
Un modelo es no determinístico o probabilístico cuando las condiciones bajo las cuales se veri-
fica el experimento no determinan su resultado. Según el fenómeno que se estudie, es posible determi-
nar un modelo. Por ejemplo: si se quiere saber cuántos autos llegan a una gasolinera entre las 7 y las 8
a.m.; con base en datos históricos se puede diseñar un modelo que dé un resultado aproximado con
cierto grado de confiabilidad. La forma de diseñar este modelo se verá en el capítulo 4. Se sabrá, por
ejemplo, qué tan probable es que no llegue ningún vehículo, que lleguen menos de 5 vehículos, que
lleguen entre 6 y 10 vehículos, o que lleguen entre 11 y 15 vehículos, etc.
A diferencia del experimento anterior, no es posible mantener las mismas condiciones del expe-
rimento, pues no están al alcance del que investiga.
1.1.2 Características de un fenómeno probabilístico:
• Sin cambiar las condiciones bajo las cuales se verifica el experimento, se pueden obtener dis-
tintos resultados.
• Se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles.
• Inicialmente los resultados parecen ocurrir en forma caprichosa; pero cuando el experimento
se repite muchas veces, aparece un modelo definido de regularidad que hace posible la cons-
trucción de un modelo matemático preciso, con el cual se puede analizar el fenómeno.

2. Probabilidades
2
1.2 Permutaciones y combinaciones
Para calcular ciertas probabilidades es necesario calcular permutaciones y combinaciones. Para
un mejor entendimiento de estas definiciones se emplean ejemplos sencillos, muchos de los cuales tie-
nen relación con los juegos de azar, aunque puedan resultar poco útiles para efectos prácticos.
Una permutación es un arreglo, en un determinado orden, de un conjunto de elementos. Por
ejemplo, con las letras del abecedario se pueden formar las siguientes permutaciones de dos letras: ab,
ba, ac, ca, bc, cb,..., xy, yx, yz, zy.
Una combinación es un arreglo, sin que importe el orden, de un conjunto de elementos. Por
ejemplo, con las letras del abecedario se pueden formar las siguientes combinaciones de tres letras:
abc, abd, abe,..., bcd, bce, bcf,..., cde,..., xyz.
1.2.1 Teoremas relativos a permutaciones y combinaciones
TEOREMA 1: El número de permutaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un
conjunto de N elementos diferentes, es:
)!
(
!
)
,
(
r
N
N
r
N
P
−
=
Se demuestra este teorema de la siguiente manera: para escoger el primer elemento hay N posi-
bilidades, para escoger el siguiente hay (N – 1) posibilidades, luego (N – 2) posibilidades, y así suce-
sivamente. Se deduce que, para escoger el r-ésimo elemento hay N – (r – 1) posibilidades. El número
de formas en que se pueden permutar estas posibilidades es: N (N – 1) (N – 2)...N – (r – 1), que es
igual al cociente dado por el teorema.
Ejemplo 1:
¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos impares?
N = 5 (los dígitos impares son: 1, 3, 5, 7, 9)
r = 3
)!
3
5
(
!
5
)
,
(
−
=
r
N
P = 60
Pueden formarse 60 números diferentes con los dígitos impares.
Ejemplo 2:
Se va a realizar una prueba de atletismo con 6 participantes. ¿De cuántas formas se pueden en-
tregar las medallas para los tres primeros puestos?
N = 6
r = 3
)!
3
6
(
!
6
)
,
(
−
=
r
N
P = 120
Las medallas para los tres primeros puestos se pueden entregar de 120 formas diferentes.
COROLARIO 1: El número de permutaciones de N elementos que se pueden formar a partir de
un conjunto de N elementos diferentes, es:
!
)
,
( N
N
N
P =
Ejemplo:
¿Cuántos números de cinco dígitos pueden formarse con los dígitos impares?
N = 5 (los dígitos impares son: 1, 3, 5, 7, 9)

3. Probabilidades 3
120
!
5
)
,
( =
=
N
N
P
Pueden formarse 120 números diferentes empleando los cinco dígitos impares.
COROLARIO 2: Dado un grupo de N elementos, conformado por k grupos diferentes, de tal
forma que n1 elementos iguales conforman el primer grupo, n2 elementos iguales conforman el segun-
do grupo, ..., nk elementos iguales conforman el k-ésimo grupo, donde n1 + n2 + ... + nk = N ; el núme-
ro de permutaciones que pueden formarse, tomando los N elementos a la vez, es:
!
...,
!
!
!
)
...,
,
,
;
(
2
1
2
1
k
k
n
n
n
N
n
n
n
N
P =
Este corolario puede comprobarse siguiendo el siguiente razonamiento: si los elementos del
primer grupo fuesen diferentes, el número total de permutaciones que pueden formarse quedaría mul-
tiplicado por n1!; y si los elementos del segundo grupo también fuesen diferentes, el total anterior que-
daría multiplicado por n2!; y si, al igual que los grupos anteriores, los elementos del k-ésimo grupo
también fuesen diferentes, el total también quedaría multiplicado por nk!; resultando finalmente que el
número total de permutaciones con N elementos diferentes es N!, como era de esperarse.
Ejemplo:
¿Cuántos números pueden formarse con los siguientes dígitos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, to-
mando todos a la vez?
P(11; 4, 2, 1, 1, 3) = 11!/ 4! 2! 1! 1! 3! = 138 600
Pueden formarse 138 600 números diferentes.
TEOREMA 2: El número de permutaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un
conjunto de N elementos diferentes, si se admite repetición de los elementos, es:
r
R N
r
N
P =
)
,
(
La demostración es similar a la del teorema 1, con la diferencia de que, para escoger cada uno de
los r términos, hay siempre N posibilidades, resultando N × N × ... × N, (r veces), es decir, N r
permu-
taciones.
Ejemplo:
¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos impares, si se admite repetición
de cualquiera de los dígitos?
PR (5, 3) = 53
= 125 números
TEOREMA 3: El número de combinaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un
conjunto de N elementos diferentes, es:
)!
(
!
!
)
,
(
r
N
r
N
r
N
C
−
=
Se demuestra este teorema considerando que C(N, r) multiplicado por el número de permutacio-
nes que se pueden formar con los r elementos, r!, debe ser igual a P(N, r), es decir, N! / (N – r)!
Ejemplo:
Un profesor quiere escoger 8 alumnos de un conjunto de 15. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
Resulta evidente que no importa el orden en que se escogen los 8 alumnos

4. Probabilidades
4
)!
8
15
(
!
8
!
15
)
8
,
15
(
−
=
C = 6 435
El profesor puede escoger 8 alumnos de 6 435 formas.
TEOREMA 4: El número de combinaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un
conjunto de N elementos diferentes, si se admite repetición de los elementos, es:
)!
1
(
!
)!
1
(
)
,
(
−
−
+
=
N
r
r
N
r
N
CR
Se demuestra por inducción matemática:
Para un conjunto de N elementos, sea r = 2. Se podrán formar las siguientes combinaciones:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), …, (1,N) ⇒ N
(2,2), (2,3), (2,4), …, (2,N) ⇒ N – 1
(3,3), (3,4), …, (3,N) ⇒ N – 2 N +(N – 1)+(N – 2) + … + 1 =
2
)
1
( +
N
N
= 






 +
2
1
N
…
(N,N) ⇒ 1
Para r = 3 se podrán formar las siguientes combinaciones:
Cuando el primer dígito es 1:
(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,1,4), …, (1,1,N)
(1,2,2), (1,2,3), (1,2,4), …, (1,2,N)
(1,3,3), (1,3,4), …, (1,3,N) 






 +
2
1
N
…
(1,N,N)
Cuando el primer dígito es 2:
(2,2,2), (2,2,3), (2,2,4), …, (2,2,N)
(2,3,3), (2,3,4), …, (2,3,N)
(2,4,4), …, (2,4,N) 







2
N
…
(2,N,N)
Cuando el primer dígito sea 3, resultará: 






 −
2
1
N
Y así, cuando el primer dígito sea N, resultará: 







2
2
= 1
Considerando la siguiente propiedad:








k
N
= 







−
−
1
1
k
N
+ 







−
−
1
2
k
N
+ … + 







−
−
1
1
k
k
El número de combinaciones para r = 3 será:







 +
2
1
N
+ 







2
N
+ 






 −
2
1
N
+ … + 1 = 






 +
3
2
N

5. Probabilidades 5
Por inducción, el número de combinaciones, para r = 4 será: 






 +
4
3
N
Y así, para r, el número de combinaciones será: 






 −
+
r
r
N 1
=
)!
1
(
!
)!
1
(
−
−
+
N
r
r
N
Ejemplo:
Un club está conformado por ingenieros, administradores, médicos, contadores y economistas.
Considerando estas profesiones, ¿de cuántas formas se puede formar un comité de tres profesio-
nales?
N = 5
r = 3
)!
3
7
(
!
3
!
7
)
3
,
5
(
−
=
R
C = 35
Problemas resueltos
1) Se extrae una “mano” de 5 cartas de una baraja completa.
a) ¿Cuántas “manos” distintas se pueden obtener?
960
598
2
!
5
!
47
!
52
)
5
,
52
( =
=
C
b) ¿En cuántas de estas “manos” habrán tres ases?
Se tiene que calcular el número de formas en que se pueden escoger 3 ases de un total de 4 y
luego 2 cartas cualesquiera (sin considerar el as que queda) de las 48 restantes.
512
4
!
2
!
46
!
48
!
1
!
3
!
4
)
2
,
48
(
)
3
,
4
( =
×
=
×C
C
2) ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una banca, de tal manera que dos de ellas,
Elena y Graciela, nunca estén juntas?
Para conseguir esto, conviene suponer que Elena y Graciela conforman un solo elemento, para
calcular así el número de formas en que se pueden permutar 5 elementos, multiplicado por 2,
pues Elena y Graciela pueden permutarse. Este resultado se resta del número de formas en que
se pueden permutar 6 elementos.
480
240
720
)
5
,
5
(
2
)
6
,
6
( =
−
=
− P
P
3) ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité de 4 personas de un grupo de 10 personas, de tal
manera que esté el único abogado del grupo?
Primero se calculará el número de formas en que se puede escoger el único abogado y luego el
número de formas en que se puede escoger las 3 personas restantes, de las 9 que quedan.
84
)
3
,
9
(
)
1
,
1
( =
×C
C
4) En un aula de 30 alumnos hay 20 deportistas, de los cuales 8 practican deportes individuales y
12 deportes colectivos.
a) ¿Cuántos grupos de 5 alumnos se pueden formar?
Como no importa si los 5 alumnos son o no deportistas, el número de grupos de 5 alumnos
que se pueden formar es:
C(30, 5) = 142 506
Se pueden formar 142 506 grupos de 5 alumnos.

6. Probabilidades
6
b) ¿En cuántos grupos todos son deportistas?
Ahora hay que calcular el número de formas en que se pueden escoger 5 deportistas de un
total de 20.
C(20, 5) = 15 504
Se pueden formar 15 504 grupos donde todos son deportistas.
c) ¿En cuántos grupos hay 3 que practican deportes colectivos?
Como hay 12 alumnos que practican deportes colectivos y el resto no, hay que calcular el
número de formas en que se puede escoger 3 de esos 12 alumnos, y luego 2 de los restantes
18.
C(12, 3) × C(18, 2) = 33 660
Se pueden formar 33 660 grupos donde haya tres alumnos que practican deportes colectivos.
d) ¿En cuántos de los grupos donde todos son deportistas hay 3 que practican deportes colecti-
vos?
Considerando sólo los grupos donde todos los alumnos son deportistas, hay 12 alumnos que
practican deportes colectivos y el resto, 8, deportes individuales; se calcula entonces el nú-
mero de formas en que se puede escoger 3 de esos 12 alumnos y luego 2 de los 8 restantes.
C(12, 3) × C(8, 2) = 6 160
De los grupos donde todos son deportistas, hay 6 160 grupos donde 3 practican deportes co-
lectivos
e) ¿En cuántos grupos hay al menos un alumno que no practica deportes individuales?
Resulta más práctico calcular el número de grupos donde no haya ningún alumno que no
practique deportes individuales (todos practican deportes individuales) y restarlo del total de
grupos que se pueden formar.
C(30, 5) – C(8, 5) = 142 450
Se pueden formar 142 450 grupos donde al menos un alumno no practica deportes indivi-
duales
5) Las letras a, b, b, c, d, d, d se distribuyen al azar.
a) ¿Cuántos arreglos distintos pueden hacerse?
Considerando los 4 subgrupos que hay:
P(7; 1, 2, 1, 3) = 420
Se pueden hacer 420 arreglos distintos.
b) ¿En cuántos de estos arreglos las 3 letras “d” quedan juntas?
Si las 3 letras “d” quedan juntas, pueden considerarse como un solo elemento:
P(5; 1, 2, 1, 1) = 60
En 60 arreglos las 3 letras “d” quedan juntas.
6) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, si se admite repetición?
N = 2
r = 3
N r
= 23
= 8
Se pueden formar 8 números.

7. Probabilidades 7
1.3 Experimentos y eventos
Como ya se ha definido, un experimento es la reproducción controlada de un fenómeno. En Es-
tadística sólo se consideran experimentos que se pueden representar mediante modelos probabilísticos.
A los resultados de los experimentos se les denomina eventos, los cuales pueden ser simples o
compuestos. Los eventos compuestos pueden contener dos o más eventos simples.
1.4 Espacio muestra.
Es la representación de todos los eventos posibles de un experimento. Esta representación puede
ser gráfica o analítica, como se ve en los siguientes ejemplos.
1.5 Variable aleatoria.
Es una función definida sobre un espacio muestra S, donde a cada evento del espacio muestra le
corresponde un número real:
X(ei) = xi
Una variable aleatoria puede ser:
ƒ Discreta: si el número de eventos posibles es finito o numerablemente infinito.
ƒ Continua: si el número de eventos posibles es infinito (no numerable).
Dado un espacio muestra, se pueden definir varias variables aleatorias, como se verá en los si-
guientes ejemplos.
Problemas resueltos
1) Un experimento consiste en lanzar 2 monedas. La moneda puede mostrar cara (C) o sello (S).
El espacio muestra, que consta de 4 eventos simples, será:
S = {CC, CS, SC, SS}
Gráficamente, este espacio muestra se puede representar de dos formas (figura 1.1):
Figura 1.1. Representaciones de espacio muestra del lanzamiento de dos monedas
Un evento compuesto puede ser, por ejemplo, el resultado “una cara y un sello”: E = {CS, SC}
Para el espacio muestra S se podrían definir las siguientes variables aleatorias:
X = Número de caras
Cara
Sello
Cara
Sello
Cara
Sello
Primer
lanzamiento
Segundo
lanzamiento
Primer
lanzamiento
Segundo
lanzamiento
Cara Sello
Cara
Sello

8. Probabilidades
8
Y = Número de sellos
Z = Número de caras – Número de sellos
W = 2(Número de caras) + (Número de sellos)2
…
etc.
En todos estos casos la variable aleatoria es discreta.
2) Un experimento consiste en lanzar 2 dados (o lanzar un dado dos veces).
El espacio muestra será en este caso: S = {(1, 1),(1, 2),...,(1, 6), ...,(6, 6)}. En la figura 1.2 se re-
presenta gráficamente este espacio muestra.
Figura 1.2. Representación de un espacio muestra
Cada intersección de la figura 1.2 representa un evento simple. Hay, por lo tanto, 36 eventos
simples, es decir, 36 posibles resultados.
Para este espacio muestra, la variable aleatoria se podría definir de las siguientes formas:
X = suma de lo que muestran los dos dados.
Y = (Número que muestra el dado 1) – (Número que muestra el dado 2).
… etc.
En todos estos casos la variable aleatoria es discreta.
3) Un experimento consiste en pesar el contenido de café de una bolsa extraída al final de un pro-
ceso de llenado automático.
El espacio muestra será: S = {0,...,700}, suponiendo que las bolsas nunca pueden llegar a pesar
más de 700 gr.
Gráficamente, este espacio muestra se representa en la figura 1.3.
Primer
lanzamiento
Segundo
lanzamiento
1 3
2 6
5
4
6
5
4
3
2
1

9. Probabilidades 9
Figura 1.3. Representación del espacio muestra de una variable aleatoria continua.
En este caso la variable aleatoria es continua.
1.6 Probabilidad
Se distinguen tres tipos de probabilidad: a priori, experimental y subjetiva.
1.6.1. Probabilidad a priori:
Si observamos algunos espacios muestra nos daremos cuenta de que, en la mayoría de los casos,
todos los eventos simples tienen la misma posibilidad de ocurrencia. Si cuantificamos estas posibilida-
des, llamándoles probabilidades, de tal forma que la suma de éstas sea la unidad, se puede entonces
definir la probabilidad de que ocurra un evento simple de la siguiente manera:
P(ei) = Número no negativo asociado al evento ei del espacio muestra S, de tal manera que:
∑ P(ei) = 1 y S = e1 ∪ e2 ∪ ... ∪ eN
Entonces, si, por ejemplo:
A = e1 ∪ e2 ∪ ... ∪ ek
se deduce que:
P(A) = P(e1) + P(e2) + ... + P(ek)
N
k
N
N
N
A
P =
+
+
+
=
1
...
1
1
)
(
De esta forma, se puede decir que la probabilidad de que ocurra un evento cualquiera es posible
calcularla empleando la siguiente fórmula:
total
eventos
de
n
éxito
eventos
de
n
N
k
P
°
°
=
=
Problemas resueltos:
1) Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5?
P = 1/6
2) Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 5?
P = 4/36 = 1/9
¿...de obtener suma menor que 5?
P = (1 + 2 + 3)/36 = 6/36 = 1/6
3) Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
Eventos posibles: {CC, CS, SC, SS} Eventos éxito: {CC}
P = 1/4
¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo una cara?
P = (1 + 1)/4 = 2/4 = 1/2
4) En un lote de 100 pernos hay 4 defectuosos. Si un comprador escoge 20 pernos aleatoriamente,
¿cuál es la probabilidad de que se lleve 2 pernos defectuosos?
Peso (gr)
700

10. Probabilidades
10
El comprador se lleva 2 pernos defectuosos, de un total de 4, y 18 pernos no defectuosos, de un
total de 96. Entonces:
1531
,
0
)
20
,
100
(
)
18
,
96
(
)
2
,
4
(
=
=
C
C
C
P
Ahora, el lector debe estar en condiciones de contestar la siguiente pregunta: ¿cuál es la proba-
bilidad de que el comprador se lleve al menos dos pernos defectuosos?
5) De una baraja completa de 52 cartas, se extrae una "mano" de 5 cartas. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener:
a) dos espadas, dos corazones y un diamante?
Hay que determinar el número de formas en que se pueden escoger 2 espadas de un total de
13, y luego 2 corazones de un total de 13 y luego un diamante de un total de 13.
0304
,
0
)
5
,
52
(
)
1
,
13
(
)
2
,
13
(
)
2
,
13
(
=
=
C
C
C
C
P
b) un póker? (cuatro cartas con la misma numeración o letra)
4
10
4
,
2
)
5
,
52
(
)
1
,
48
(
)
1
,
13
( −
×
=
=
C
C
C
P
1.6.2. Probabilidad experimental
En algunas ocasiones, los posibles resultados de un experimento no tienen la misma probabili-
dad de ocurrencia, lo cual dificulta la predicción de estas probabilidades.
Si un experimento de esta naturaleza se repitiera muchas veces, podríamos ver la frecuencia con
que ocurrirían los posibles resultados. Mientras más veces se repita el experimento, las frecuencias re-
lativas se aproximarán cada vez más a las verdaderas probabilidades de ocurrencia de cada uno de di-
chos resultados. Entonces:
N
f
erimento
el
repite
se
que
veces
de
n
resultado
un
ocurre
que
con
frecuencia
P =
°
=
exp
En la práctica, la mayoría de las probabilidades sólo pueden determinarse por la vía experimen-
tal. Si, por ejemplo, se quiere saber cuál es la probabilidad de que un foco funcione por lo menos las
horas que especifica el fabricante, se tendrá que tomar una muestra grande de focos (N) y ver cuántos
de éstos cumplen con dicha especificación (f). Cuanto más grande sea N, el cociente f / N se aproxima-
rá más a la probabilidad requerida. Como se ve, la única forma de calcular una probabilidad de este
tipo es mediante la experimentación.
En muchas situaciones no hace falta experimentar pues se cuenta con datos históricos suficien-
tes. Por ejemplo, ¿cómo calcularía un pastelero la probabilidad de que la demanda de sus pasteles de
manzana en un día sea de 10 a 15 unidades? Necesitaría datos de la demanda de N días, para determi-
nar en cuántas ocasiones (f) la demanda fue de 10 a 15 unidades. La probabilidad será f / N.
Una probabilidad que ha sido calculada "a priori" puede verificarse, con cierta aproximación,
repitiendo el experimento. Por ejemplo, si queremos comprobar que la probabilidad de obtener dos ca-
ras y un sello, al lanzar tres monedas, es igual a 0,375; tenemos que lanzar las tres monedas una gran
cantidad de veces. A continuación se muestra la frecuencia con que se obtuvo dicho resultado, luego
de N lanzamientos.
Número de lanzamientos (N) 10 20 100 200 500 1 000 10 000
Frecuencia observada (f) 5 9 34 76 162 367 3 738
Probabilidad (f /N) 0,5 0,45 0,35 0,385 0,352 0,365 0,3724

11. Probabilidades11
Se puede concluir entonces que, conforme N crece, la frecuencia relativa o probabilidad experi-
mental tiende al verdadero valor de la probabilidad. Esta tendencia se visualiza mucho más en el gráfi-
co de la figura 1.4, donde la línea horizontal representa la probabilidad real: 0,375.
Figura 1.4. Tendencia de una probabilidad experimental
1.6.3 Probabilidad subjetiva
En muchas ocasiones se necesita determinar la probabilidad de que ocurra un fenómeno que es
imposible repetir, o cuya repetición no tiene significado.
Por ejemplo, si se va a construir un puente en cierto lugar, ¿cómo determinar la probabilidad de
que, a 10 m. de profundidad el terreno no sea arenoso sino de arcilloso? En este caso, la probabilidad
de que ocurra dicho suceso no puede ser más que una medida subjetiva del grado de confianza que
tenga un especialista para predecirlo. Si él opina que dicha probabilidad es de 0,25; estará expresando
un grado de credibilidad de su juicio; pues el terreno será arcilloso o no, pero no será arcilloso en el
25% de las observaciones que se haga.
La precisión de una probabilidad subjetiva depende de la habilidad o conocimiento que tenga
una persona para juzgar una determinada situación.
La probabilidad subjetiva también puede aplicarse a fenómenos repetitivos. Por ejemplo, un ins-
pector que está revisando unos lotes de artículos producidos en una jornada, puede hacer caso omiso a
su experiencia previa, y decidir revisar más artículos, porque tiene el presentimiento de que este día
hay más artículos defectuosos de lo habitual.
Ahora que se entiende claramente el concepto de probabilidad, se ve que es correcto afirmar que
una probabilidad se puede interpretar como una proporción, como una fracción o como un por-
centaje. Por ejemplo, si, en un supermercado, la probabilidad de elegir aleatoriamente a un cliente con
un consumo mayor de $20, es 0,16; se puede afirmar que el 16% de los clientes gasta más de $20, o
que la proporción de clientes que gasta más de $20 es 0,16.
1.7 Teoremas de probabilidad.
En este apartado se verán una serie de teoremas que son útiles, y en algunos casos indispensa-
bles para calcular ciertas probabilidades.
1.7.1 Suma de probabilidades:
Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestra S. La probabilidad de que ocurra el
evento A o el evento B, o ambos, es:
)
(
)
(
)
(
)
( B
A
P
B
P
A
P
B
A
P ∩
−
+
=
∪
donde:
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
10 100 1000 10000
f/N
N

12. Probabilidades
12
A
S
A ∩ B
B
B ∩ A’
P(A) representa la probabilidad de ocurra A,
P(B) representa la probabilidad de ocurra B,
P(A ∪ B) representa la probabilidad de ocurra A o B, o ambos, y
P(A ∩ B) representa la probabilidad de ocurran A y B conjuntamente.
Cuando dos o más eventos están definidos de tal manera que la ocurrencia de uno imposibilita la
ocurrencia de los demás, se dice que son mutuamente excluyentes, y la probabilidad de que ocurran
conjuntamente es entonces igual a cero.
Se puede deducir que, para dos eventos mutuamente excluyentes, por ejemplo Q y R:
Q = {e1,e2,e3} ; R = {e4,e5} ;
Es evidente que:
P(Q) = P(e1) + P(e2) + P(e3)
P(R) = P(e4) + P(e5)
y por lo tanto:
P(Q ∪ R) = P(e1) + P(e2) + P(e3)+ P(e4) + P(e5) = P(Q) + P(R)
Si dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el diagrama de Venn
de la figura 1.5, se puede deducir que:
Figura 1.5. Eventos A y B no excluyentes
P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A')
P(B) = P(A ∩ B) + P(B ∩ A')
Sustituyendo P(B ∩ A') de la segunda ecuación en la primera, resulta:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
con lo que queda demostrado el teorema.
Ejemplo:
Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una suma igual a 10 ó una dife-
rencia igual a 1?
Sean los eventos: A: suma igual a 10
B: diferencia igual a 1
Dado que A y B son mutuamente excluyentes (es fácil darse cuenta), se puede emplear la si-
guiente fórmula:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 3/36 + 10/36 = 13/36

13. Probabilidades13
En el gráfico de la figura 1.6 se aprecia que los dos eventos compuestos: el evento A, represen-
tado por círculos, y el evento B, representado por aspas, son mutuamente excluyentes.
Figura 1.6. Eventos A y B mutuamente excluyentes
¿Y cuál será la probabilidad de obtener una suma igual a 8 ó una diferencia igual a 2?
Sean los eventos: C: suma igual a 8
D: diferencia igual a 2
En el gráfico de la figura 1.7 se aprecian estos dos eventos compuestos: el C, representado por
círculos, y el D, por aspas. Se puede apreciar que hay dos eventos simples que pertenecen a am-
bos eventos C y D; se concluye entonces que los eventos C y D no son excluyentes.
Figura 1.7. Eventos C y D no mutuamente excluyentes
Dado que C y D no son mutuamente excluyentes:
P(C ∪ D) = P(C) + P(D) – P(C ∩ D) = 5/36 + 8/36 – 2/36 = 11/36
Primer
lanzamiento
Segundo
lanzamiento
1 3
2 6
5
4
6
5
4
3
2
1
Primer
lanzamiento
Segundo
lanzamiento
1 3
2 6
5
4
6
5
4
3
2
1

14. Probabilidades
14
El teorema de la suma se puede generalizar de la siguiente manera: la probabilidad de que ocurra
el evento E1, o el evento E2, ..., o el evento EN, es:
)
...
(
...
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
...
(
2
1
2
1
2
1
N
k
j
i
j
i
N
N
E
E
E
P
E
E
E
P
E
E
P
E
P
E
P
E
P
E
E
E
P
∩
∩
±
−
∩
∩
∑
+
∩
∑
−
+
+
+
=
∪
∪
Ejemplo:
Suponga que, en la ciudad de Piura, el 25 % de la población adulta lee el diario El Tiempo, el
40% lee el diario Correo, el 10% lee el diario República y el 25% restante lee otros diarios.
Además, se sabe que el 10% lee El Tiempo y Correo, el 5% lee El Tiempo y República, el 5%
lee El Tiempo y otros, el 8% lee Correo y otros, y el 3% lee El Tiempo, Correo y otros. Si se se-
lecciona aleatoriamente un poblador, ¿cuál es la probabilidad de que lea Correo, El Tiempo u
otros?
Aunque el diagrama de Venn de la figura 8 es suficiente para visualizar y determinar esta proba-
bilidad, a continuación se hace el cálculo aplicando el teorema generalizado de la suma:
P(Correo ∪ El T. ∪ otros) = P(Correo) + P(El T.) + P(otros) – P(Correo ∩ El T.)
– P(Correo ∩ otros) – P(El T. ∩ otros) + P(Correo ∩ El T. ∩ otros)
= 0,40 + 0,25 + 0,25 – 0,10 – 0,08 – 0,05 + 0,03 = 0,70
Dicha probabilidad se puede corroborar elaborando un diagrama de Venn, como el de la figura
1.8, e incluso se pueden calcular otras probabilidades con suma facilidad.
Figura 1.8. Diagrama de Venn del problema de los diarios.
1.7.2 Probabilidad condicional y regla de la multiplicación:
Sean dos eventos A y B:
)
(
)
(
)
(
B
P
B
A
P
B
A
P
∩
=
donde P(A B) representa la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido el
evento B, y se le denomina probabilidad condicional.
Ejemplo:
Se lanzaron dos dados y se sabe que la suma resultó igual a 8. ¿Cuál es la probabilidad de que la
diferencia sea igual a 2?
Sean los eventos: A: diferencia igual a 2
B: suma igual a 8
Si la suma es 8, entonces el espacio muestra queda restringido a:
SB = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}

15. Probabilidades15
por lo tanto, si de los 5 eventos posibles, se tendría éxito en 2 de ellos, (3, 5) y (5, 3):
5
/
2
B)
( =
A
P
Como se ve en la figura 1.7, el numerador "2" representa el número de veces en que pueden
ocurrir A y B conjuntamente, y el denominador "5" representa el número de veces en que puede
ocurrir B.
Entonces se puede deducir:
)
(
)
(
/
)
(
/
)
(
)
(
)
(
B)
(
B
P
B
A
P
N
B
N
N
B
A
N
B
N
B
A
N
A
P
∩
=
∩
=
∩
=
Aplicando esta fórmula al problema, se tiene el mismo resultado:
5
2
36
/
5
36
/
2
B)
( =
=
A
P
De la definición de probabilidad condicional se puede deducir que:
P(A ∩ B) = P(B) × P(A B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B A)
Estas expresiones resultan muy útiles para determinar una probabilidad conjunta, que usualmen-
te es más difícil de determinar que la probabilidad condicional.
Ejemplo:
Una caja contiene 4 canicas blancas y 6 negras. Si se extraen dos aleatoriamente, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a) las dos sean blancas?
Sean los eventos:
1B: canica blanca en la primera extracción
2B: canica blanca en la segunda extracción
P(1B ∩ 2B) = P(1B) × P(2B1B) = (4/10) × (3/9) = 2/15
b) la primera sea blanca y la segunda negra?
Sea el evento 2N: canica negra en la segunda extracción
P(1B y 2N) = P(1B) × P(2N1B) = (4/10) × (6/9) = 4/15
c) una sea blanca y la otra negra?
Sea el evento 1N: canica negra en la primera extracción
Hay dos formas excluyentes de obtener una canica blanca y una negra:
P = P(1B) × P(2N1B) + P(1N) × P(2B1N) = 4/15 + 4/15 = 8/15
Sean los eventos E1
, E2
,..., EN
; se puede generalizar la regla de la multiplicación:
)
...
(
...
)
(
)
E
(
)
(
)
...
( 1
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1 −
∩
∩
×
×
∩
×
×
=
∩
∩ N
N
N E
E
E
E
P
E
E
E
P
E
P
E
P
E
E
E
P
En el primer miembro se expresa la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos E1,
E2,..., EN. Si la probabilidad de que ocurran estos N eventos, en cualquier orden, es siempre la misma;
entonces esa probabilidad se puede obtener multiplicando )
...
( 2
1 N
E
E
E
P ∩
∩ por el número de for-
mas en que se pueden permutar los N eventos.

16. Probabilidades
16
Ejemplo 1:
En un lote de 100 pernos hay 4 defectuosos. Si un comprador escoge 20 pernos aleatoriamente,
¿cuál es la probabilidad de que se lleve 2 pernos defectuosos? (Esta probabilidad a priori ya fue
calculada en el ejemplo 4 del apartado 1.6.1).
Si el comprador se lleva 2 pernos defectuosos, de un total de 4; se llevará también 18 pernos no
defectuosos, de un total de 96.
1531
,
0
!
18
!
2
!
20
81
79
...
96
94
97
95
98
96
99
3
100
4
=
×






×
×
×
×
×






×
=
P
Ejemplo 2:
De una baraja completa de 52 cartas, se extrae una "mano" de 5 cartas. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener: (Estas probabilidades ya fueron calculadas en el ejemplo 5 del apartado 1.6.1).
a) dos espadas, dos corazones y un diamante?
0304
,
0
!
1
!
2
!
2
!
5
48
13
49
12
50
13
51
12
52
13
=
×






×






×
×






×
=
P
b) un póker?
00024
,
0
!
1
!
4
!
5
48
48
49
1
50
2
51
3
52
52
=
×






×






×
×
×
=
P
1.7.3 Eventos independientes
Se dice que dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia (o no ocurrencia) de uno de
ellos no influye en la ocurrencia (o no ocurrencia) del otro. Es decir:
P(A B) = P(A) y P(B A) = P(B)
Si se cumple una de estas dos ecuaciones, también se verifica la otra. Por ejemplo, si:
P(A B) = P(A)
Entonces:
P(B)
A)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
P
B
A
P
A
P
×
=
∩
=
Por lo tanto:
P(B A) = P(B), tal como se quería demostrar.
Finalmente se concluye que, para que dos eventos sean mutuamente independientes, es condi-
ción necesaria y suficiente que:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Inversamente, si dos eventos A y B son mutuamente independientes, entonces es válida la ecua-
ción anterior.
Generalizando, la probabilidad de que ocurran conjuntamente N eventos independientes es:
P(E1 ∩ E2 ∩ ... ∩ EN) = P(E1) P(E2)...P(EN)
Problemas resueltos:
1) Una fábrica elabora los productos A, B, C y D mediante cuatro procesos que son independientes
entre sí. Usualmente son defectuosos el 3%, 5%, 5% y 4% de los productos A, B, C y D respec-
tivamente. Si se extrae aleatoriamente un producto de cada tipo, ¿cuál es la probabilidad de que:

17. Probabilidades17
a) los cuatro sean defectuosos?
6
10
3
04
,
0
05
,
0
05
,
0
03
,
0 −
×
=
×
×
×
=
P
b) A y B sean defectuosos, y C y D no lo sean?
3
10
368
,
1
96
,
0
95
,
0
05
,
0
03
,
0 −
×
=
×
×
×
=
P
2) De una ciudad donde fuman el 30% de los ciudadanos mayores de edad, se toma una muestra de
6 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos fumen?
Se calcula la probabilidad de que los tres primeros fumen y los tres últimos no fumen, y se mul-
tiplica por el número de formas en que se pueden ordenar tres fumadores y tres no fumadores.
1852
,
0
!
3
!
3
!
6
7
,
0
7
,
0
7
,
0
3
,
0
3
,
0
3
,
0 =
×
×
×
×
×
×
=
P
3) Un sistema consta de seis relés que están conectados en serie y en paralelo, tal como se muestra
en la siguiente figura 1.9.
Figura 1.9. Relés conectados en serie y paralelo
La probabilidad de que cada relé esté cerrado es 0,90. Si los relés funcionan independientemen-
te, ¿cuál es la probabilidad de que pase la corriente de A a B?
Sea Ci el evento: cerrado el i-ésimo relé. Para que pase la corriente de A a B debe pasar por el
relé 1, luego por el relé 2 ó por el relé 3, y luego por los relés 4 y 5 ó por el relé 6. Por lo tanto:
P = P[C1 ∩ (C2 ∪ C3) ∩ [(C4 ∩ C5) ∪ C6 ] ]
La probabilidad de que la corriente pase por 2 ó 3 (o por ambos) se puede calcular fácilmente
como: 1 – P(no pase por 2 ni 3). De la misma forma se puede calcular la probabilidad de que
pase por 4 y 5, o por 6, como se muestra a continuación:
P = (0,90)[1 – (0,10)(0,10)][1 – (1 – 0,90×0,90)(0,10)] = 0,874
4) Una persona lanza dos dados indefinidamente hasta obtener una suma igual a 2. ¿Cuál es la pro-
babilidad de que sea necesario realizar un quinto lanzamiento?
Para que sea necesario realizar el quinto lanzamiento, en los 4 primeros no debe haber salido
suma igual a 2. Por lo tanto:
P = (35/36)4
= 0,893
1.7.4 Teorema de suma y multiplicación: particiones
Sean los eventos E1, E2, E3 ... ,EN una partición del espacio muestra S, es decir, todos mutua-
mente excluyentes, de tal forma que la unión de todos conformen el espacio muestral S. Sea además
un evento E, perteneciente a S, como se muestra (sombreado) en la figura 1.10.
Entonces podemos decir:
P(E) = P(E ∩ S) = P [E ∩ (E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ EN)]
P(E) = P(E ∩ E1) ∪ P(E ∩ E2) ∪ ... ∪ P(E ∩ EN)
P(E) = P(E1)P(E E1) + P(E2)P(E E2) + ... + P(EN)P(E EN)
P(E) = ∑ P(Ei)P(E Ei)
2
6
5
3
4
1
A B

18. Probabilidades
18
Figura 1.10. Particiones de S.
Ejemplo 1:
Una empresa produce un componente mecánico. De la experiencia adquirida se ha determinado
que el 10% de la producción es defectuosa. La producción es sometida a un control de calidad
que acepta con una precisión del 95% los componentes que realmente son buenos, y rechaza
con una precisión del 85% los componentes que realmente son defectuosos. Determine la pro-
babilidad de que un componente sea aceptado.
Sean:
P(B) = 0,90 = probabilidad de que un componente sea bueno
P(D) = 0,10 = probabilidad de que un componente sea defectuoso
P(A) = probabilidad de que un componente sea aceptado
P(R) = probabilidad de que un componente sea aceptado
P(A B) = 0,95 ; P(R B) = 0,05
P(A D) = 0,15 ; P(R D) = 0,85
En la figura 1.11 se representa un diagrama de árbol donde se ve que un componente puede ser
aceptado de dos formas (mutuamente excluyentes): siendo bueno o siendo defectuoso.
Figura 1.11. Diagrama de árbol del problema de los componentes mecánicos
En la figura 1.12 se representa el mismo problema mediante un diagrama de Venn. En este caso
la probabilidades son representadas como porcentajes. El área sombreada representa el porcen-
taje de componentes mecánicos que han sido aceptados en el control de calidad, ya sean com-
ponentes buenos o defectuosos. Si el 95% de los componentes buenos son aceptados, se deduce
que el porcentaje de componentes aceptados y buenos será el 95% del 90%. Si el 15% de los
componentes defectuosos son aceptados, se deduce que el porcentaje de componentes aceptados
Bueno
Defectuoso
Aceptado
Aceptado
Rechazado
Rechazado
0,9
0,1
0,95
0,05
0,15
0,85

19. Probabilidades19
y defectuosos será el 15% del 10%. El porcentaje de componentes aceptados será entonces la
suma de 95×90/100 + 15×10/100, es decir 87%.
Figura 1.12. Diagrama de Venn del problema de los componentes mecánicos
Aplicando el teorema de suma y multiplicación se llega a la misma respuesta:
P(A) = P(B)P(A B) + P(D)P(A D)
P(A) = (0,90)(0,95) + (0,10)(0,15) = 0,87
Es decir, el 87% de los componentes mecánicos son aceptados por el control de calidad.
Otra forma de visualizar este problema, expresando las probabilidades como porcentajes, se
muestra en la siguiente tabla, donde se resaltan los datos del problema.
Aceptado Rechazado Total
Bueno 0,95 × 90 = 85,5 0,05 × 90 = 4,5 90
Defectuoso 0,15 × 10 = 1,5 0,85 × 10 = 8,5 10
Total 85,5 + 1,5 = 87 4,5 + 8,5 = 13 100
La probabilidad de que el componente sea aceptado o de que sea rechazado puede calcularse
sumando las columnas correspondientes.
Ejemplo 2:
Un método muy empleado por investigadores estadísticos para obtener información es el de
efectuar encuestas personales. A menudo resulta importante investigar sobre temas muy perso-
nales, que pondrían en aprietos al sujeto encuestado, ocasionando que dé respuestas falsas o que
no conteste, deformando así los resultados de la encuesta. Para aminorar este problema, Warner
ideó la "Técnica de la respuesta aleatoria", que permite que el encuestado escoja al azar una de
dos preguntas: la pregunta personal, motivo de la encuesta, o una pregunta de control. Así, sólo
él sabrá qué pregunta contestó en realidad, y se mantiene su privacidad. Por ejemplo, supóngase
que se desea estimar el porcentaje de alumnos secundarios de una ciudad que no resuelven por
su cuenta las tareas para la casa. Se hacen 1000 encuestas con las siguientes instrucciones: An-
tes de contestar lance una moneda: si sale cara conteste la pregunta A, y si sale sello conteste la
pregunta B. Sólo conteste SÍ o NO.
A: ¿resuelve usted las tareas para la casa por su cuenta?
B: ¿nació su padre en enero, febrero, marzo, abril o mayo?
Supóngase que, una vez efectuadas las encuestas, hay 455 respuestas afirmativas y 545 negati-
vas. ¿Qué porcentaje de alumnos no resuelve por su cuenta las tareas para la casa? Esto equivale
a calcular la probabilidad de que un alumno no resuelva por su cuenta las tareas para la casa.
Sean: P(NO) = probabilidad de contestar NO a cualquiera de las dos preguntas.
P(A) = probabilidad de que al alumno conteste la pregunta A (que obtenga cara).
P(B) = probabilidad de que al alumno conteste la pregunta B (que obtenga sello).
Buenos
90%
Defectuosos
10%
Aceptados
Rechazados
95%
15%
85%
5%

20. Probabilidades
20
Considerando que se puede contestar NO de dos formas diferentes (a las dos preguntas), mu-
tuamente excluyentes, se plantea:
P(NO) = P(A)P(NO A) + P(B)P(NO B)
0,545 = (0,5)P(NO A) + (0,5)(7/12)
P(NO A) = 0,5067
En la figura 1.13 se traza un diagrama de árbol que nos permite visualizar con suma facilidad el
planteamiento anterior.
Figura 1.13. Diagrama de árbol del problema de las encuestas
Se concluye que, aproximadamente, el 50,67 % de los alumnos secundarios de la ciudad no re-
suelve por su cuenta las tareas para la casa.
De la misma forma que con el problema anterior, se puede plantear la siguiente tabla:
SI NO Total
A 455 – 208,33 = 246,67 545 – 291,67 = 253,33 500
B 5/12 × 500 = 208,33 7/12 × 500 = 291,67 500
Total 455 545 1000
Como se ve, los datos de la primera fila pueden obtenerse restando los de la segunda fila del to-
tal. Se deduce entonces que la probabilidad de contestar NO, dado que se trata de la pregunta A
es: 253,33/500 = 0,5067. Esto equivale a decir que 50.67 % de los alumnos secundarios de la
ciudad no resuelve por su cuenta las tareas para la casa
Ejemplo 3:
Supóngase que el 35% de los alumnos de una universidad que estudian una carrera de ciencias
provienen de los estratos socioeconómicos A y B, y que el 55% de los que no estudian una ca-
rrera de ciencias también provienen de los estratos socioeconómicos A y B. Si el 40% de los
alumnos estudian una carrera de Ciencias, ¿qué porcentaje de alumnos provienen de los estratos
socioeconómicos A y B?
Sean: P(A y B) = probabilidad de un alumno provenga de los estratos A y B.
P(C) = probabilidad de que un alumno estudie Ciencias.
P(N) = probabilidad de que un alumno no estudie Ciencias.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( N
B
y
A
P
N
P
C
B
y
A
P
C
P
B
y
A
P ×
+
×
=
= 0,40 × 0,35 + 0,60 × 0,55 = 0,47
Por lo tanto, el 47% de los alumnos provienen de los estratos socioeconómicos A y B.
El lector estará ahora en condiciones de completar la siguiente tabla para calcular la probabili-
dad o porcentaje requerido:
A
B
SI
SI
NO
NO
0,5
0,5
?
?
5/12
7/12

21. Probabilidades21
C N Total
A y B
No A y B
Total 40 60 100
Aunque no haga falta para contestar la pregunta del problema, se podría completar también la
segunda fila de la tabla. Como ya se ha calculado previamente, el porcentaje de alumnos que
provienen de los estratos A y B debe resultar 47%.
1.7.5 Teorema de Bayes
Dada la misma partición conformada por los eventos E1, E2, ... ,EN; y el evento E, comentados en
el teorema de suma y multiplicación, se puede deducir fácilmente:
)
(
)
(
)
(
E
P
E
E
P
E
E
P k
k
∩
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
i
i
k
k
k
E
E
P
E
P
E
E
P
E
P
E
E
P
Σ
=
Se trata de una probabilidad condicional, que incluye las reglas de suma y multiplicación de
probabilidades. Tiene mucha importancia pues ha servido para desarrollar la inferencia o estimación
bayesiana, que, mediante el empleo de datos experimentales llega a estimar probabilidades subjetivas
con buena precisión.
Ejemplo 1:
Suponga que el concesionario de la cafetería de la UDEP está tratando de reducir el número de
clientes no pagan sus cuentas al final del año. Él está dispuesto a cancelarles el crédito a los
clientes que se demoren más de una semana en los pagos que deben realizar a fin de cada mes.
El concesionario ha visto en sus archivos que, de todos los clientes que finalmente no pagaron
sus cuentas al final del año, el 95% se habían demorado más de una semana en sus pagos men-
suales. Además, sabe que el 4% de los clientes que tienen crédito no pagan su cuenta, y que, de
los que sí pagan su cuenta a fin de año, el 35% se ha demorado alguna vez más de una semana.
Determine la probabilidad de que un cliente que se ha demorado alguna vez más de una semana
en sus pagos mensuales, no pague su cuenta al final del año.
Los datos de este problema se pueden interpretar de la siguiente forma:
P(No pague) = 0,04; P(Sí pague) = 0,96
P(Haya demorado No pagó) = 0,95 ; P(No haya demorado No pagó) = 0,05
P(Haya demorado Sí pagó) = 0,35 ; P(No haya demorado Sí pagó) = 0,65
La probabilidad de que un cliente no pague, dado que se demoró será:
=
∩
=
)
(
)
(
)
/
(
Demore
P
Demore
pague
No
P
Demoró
pague
No
P
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
pagó
No
Demore
P
pague
No
P
pagó
Sí
Demore
P
pague
Sí
P
pagó
No
Demore
P
pague
No
P
+
=
1016
,
0
374
,
0
038
,
0
95
,
0
04
,
0
35
,
0
96
,
0
95
,
0
04
,
0
=
=
×
+
×
×
=
La probabilidad de que un cliente que se ha demorado alguna vez más de una semana en sus pa-
gos mensuales no pague su cuenta al final del año es 0,1016. O sea que el 10,16% de los moro-
sos no pagan al final su cuenta.

22. Probabilidades
22
Nuevamente, se puede plantear este problema mediante una tabla, como la que se completa a
continuación:
Demore No demore Total
Pague 0,35 × 96 = 33,6 0,65 × 96 = 62,4 96
No pague 0,95 × 4 = 3,8 0,05 × 4 = 0,2 4
Total 33,6 + 3,8 = 37,4 62,4 + 0,2 = 62,6 100
Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente que se ha demorado alguna vez más de una sema-
na en sus pagos no pague su cuenta al final del año es: 3,8/37,4 = 0,1016.
Ejemplo 2:
Con los datos del ejemplo 1 del apartado 1.7.4, determine la probabilidad de que un componente
que ha sido aceptado sea bueno.
9827
,
0
87
,
0
855
,
0
87
,
0
95
,
0
90
,
0
)
(
)
/
(
)
(
)
/
( =
=
×
=
=
A
P
B
A
P
B
P
A
B
P
Antes del control de calidad se tenía una certeza del 90% de producir un componente no defec-
tuoso. Después del control de calidad, se tiene una certeza del 98,27% de escoger un componen-
te no defectuoso.
Este mismo resultado se puede obtener a partir de la tabla que se elaboró en el problema 1 del
apartado 1.7.4. Verifique el lector este resultado.
Ejemplo 3:
Una persona tiene dos dados: uno normal que marca 1,2,3,4,5,6 en sus caras y otro anormal que
marca 2,2,4,4,6,6 en sus caras. Si se escoge un dado al azar, se lanza dos veces y en las dos oca-
siones se obtiene un número par, ¿cuál es la probabilidad de que el dado escogido sea el anor-
mal?
8
,
0
1
5
,
0
25
,
0
5
,
0
1
5
,
0
)
,
(
)
/
,
(
)
(
)
,
/
( =
×
+
×
×
=
=
par
par
P
Anormal
par
par
P
Anormal
P
par
par
Anormal
P
donde: P(par, par) = P(Anormal) P(par, par / Anormal) + P(Normal) P(par, par / Normal)
Como era de esperarse, en vista del resultado de los dos lanzamientos, es más probable que el
dado escogido haya sido el dado anormal: 0,8 > 0,5.

23. Probabilidades23
Problemas propuestos.
1. Carmen y Mario lanzan 3 y 4 monedas, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que Mario
obtenga exactamente el doble de sellos que Carmen?
2. Un comerciante quiere comprar un lote de 25 piñas, y decide comprarlo solamente si al seleccio-
nar 3 aleatoriamente, ninguna está malograda. Supóngase que realmente hay 4 piñas malogradas
(el comerciante no lo sabe), ¿cuál es la probabilidad de que no compre el lote?
Respuesta: 0,4217
3. José, Bruno y Mónica lanzan sucesivamente una moneda. Si el primero en obtener cara gana el
juego:
a) ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar el juego si cada uno lanza sólo una vez?
Respuesta: P(gane José) = 1/2
P(gane Bruno) = 1/4
P(gane Mónica) = 1/8
b) ¿Cuáles son sus respectivas probabilidades de triunfo si, en caso sea necesario, el juego conti-
núa hasta un máximo de dos lanzamientos para cada uno?
Respuesta: P(gane José) = 9/16
P(gane Bruno) = 9/32
P(gane Mónica) = 9/64
4. Supóngase que, en Piura, la probabilidad de que un día sea nublado es 1/18 en verano y 5/54 en
cualquier otra estación. ¿Qué porcentaje de días del año se espera que sean nublados?
5. Se extraen aleatoriamente k boletos premiados de una urna que contiene n boletos enumerados 1,
2, ..., n. Determine la probabilidad de que:
a) El número premiado más alto sea el r.
b) El número premiado más alto sea el r y el más bajo sea el s.
AYUDA: Primero resuelva ambos apartados para n = 10; k = 5; r = 8; s = 2.
6. Suponga que hay tres semáforos entre la casa de Quique y la UDEP. Al llegar a cada uno de ellos,
éstos pueden estar en rojo (R) o verde (V). Considérese que el ámbar dura un tiempo despreciable.
Quique ha verificado que, en el primer semáforo, el rojo dura tanto como el verde; pero en el se-
gundo, el rojo dura el doble que el verde; y en el tercero, el verde dura el doble que el rojo. ¿Cuál
es la probabilidad de que en el siguiente viaje a la UDEP:
a) Tenga que parar por exactamente una luz roja?
Respuesta: 7/18
b) Tenga que parar al menos por una luz roja?
Respuesta: 8/9
7. Cuatro canicas A, B, C, D, se pueden colocar en cinco vasijas numeradas del 1 al 5. Por ejemplo,
A1,B2,C3,D1 significa que A está en la vasija 1, B en la vasija 2, C en la 3 y D en la 1. ¿De cuán-
tas formas se pueden colocar las 4 canicas en las 5 vasijas, si en cada una caben hasta:
a) 4 canicas?
Respuesta: 625
b) 3 canicas?
Respuesta: 620
8. Se eligen 5 cartas de una baraja completa de 52. La baraja está conformada por cuatro “palos” (co-
razones, espadas, tréboles y cocos) y por trece denominaciones (1, 2, ..., 13). ¿Cuál es la probabi-
lidad de que:
a) Todas las cartas sean del mismo palo?
b) Haya dos “1” y tres “13”?
c) Haya dos cartas de una denominación y tres de otra?

24. Probabilidades
24
d) Todas las cartas sean de distintas denominaciones?
9. En el curso de Estadística hay 5 alumnos del IV ciclo, 34 del V, 21 del VI, 5 del VII y 2 del VIII.
Si se eligiera un comité de 5 personas, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) todos los ciclos estén representados en el comité?
Respuesta: 0,00369
b) sólo el VI ciclo tenga miembros en el comité?
Respuesta: 0,0021
10. Una familia tiene 5 hijos. Suponiendo que la probabilidad de que un hijo sea varón o mujer es la
misma, determine la probabilidad de que:
a) Los 5 sean del mismo sexo.
Respuesta: 1/16
b) Cuatro sean varones.
Respuesta: 0,15625
11. Se extraen tres cartas de una baraja. Determine la probabilidad de que:
a) Las tres sean de distinta figura.
Respuesta: 0,3976
b) Al menos dos números sean iguales.
Respuesta: 0,171764
12. Una urna contiene canicas numeradas 1, 2, ..., n. Si se escogen dos canicas al azar, ¿cuál es la pro-
babilidad de que los dos números sean consecutivos? Nota: Puede resolver este problema de dos
formas: dividiendo eventos éxito entre eventos totales o aplicando algún teorema.
13. Se lanzan tres monedas, y, si se obtienen 2 caras y un sello, se extraen dos canicas, aleatoriamente,
de una urna que contiene canicas numeradas del 1 al 100. Si las tres monedas muestran el mismo
resultado (tres caras o tres sellos), se extraen dos canicas, de otra urna que contiene canicas nume-
radas del 1 al 50. ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan dos canicas que muestren dos núme-
ros consecutivos?
Respuesta: 7/400
14. Una persona elige 10 números de una lista de números del 1 al 80. Luego, de una urna donde hay
80 canicas enumeradas del 1 al 80, se extraen 20 canicas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la se-
gunda extracción no se extraiga ninguno de los 10 números elegidos al principio?
15. Una caja contiene nueve etiquetas numeradas consecutivamente del 1 al 9. Si se extraen dos de
estas etiquetas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 8?
16. Dos amigos compraron pasajes para viajar en un pequeño ómnibus. El ómnibus consta de 48
asientos, en filas de 4, con 24 asientos al lado izquierdo y 24 al lado derecho. Si los asientos fue-
ron asignados aleatoriamente, determine la probabilidad de que los dos amigos,
a) Se sienten en el mismo lado.
Respuesta: 0,48936
b) Se sienten en la misma fila.
Respuesta: 0,06383
c) Se sienten juntos (uno al lado del otro o uno detrás del otro).
Respuesta: 0,06028
17. Hay 8 amigos solteros y la probabilidad de que cualquiera de ellos se case en los próximos 15 años
es 1/4. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno se case?
Respuesta: 0,8999
18. ¿De cuántos modos puede dividirse una tarea de 10 ejercicios, en dos tareas de 5 ejercicios cada
una?
Respuesta: de 252 formas

25. Probabilidades25
19. Una persona compra un boleto de la LOTTO todas las semanas. Siempre apuesta a los mismos 6
números, seleccionados entre los enteros del 1 al 36. Para ganar, los seis números seleccionados
deben coincidir con los que se escogen al azar en una urna. Determine:
a) El tamaño del espacio muestra.
b) La probabilidad de que gane en una semana particular.
c) La probabilidad de que gane en cada una de las próximas tres semanas.
d) La probabilidad de que gane por lo menos una vez durante las próximas 52 semanas.
20. La empresa CRAG S.A. es demandada por supuesta violación de patente sobre el proceso de ma-
nufactura de un producto. El asesor de la empresa, que es un ingeniero industrial que sabe de mé-
todos cuantitativos para la toma de decisiones, ha hecho el diagnóstico de este problema emplean-
do un árbol de decisiones. Dentro de su análisis estima que la probabilidad de ganar un juicio es X,
y que la probabilidad de perder es 1 – X. Si CRAG S.A. gana el juicio, los demandantes pueden
apelar o no, con probabilidades 0,90 y 0,10 respectivamente. Si pierde el juicio, estima que CRAG
S.A. puede apelar o no, con probabilidades de 0,20 y 0,80 respectivamente. Además, estima que
quien gana el juicio tiene 0,75 de probabilidad de ganar la apelación correspondiente.
a) Si la probabilidad de ganar el juicio (X) es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de ganar el litigio?
Respuesta: 0,34
b) Si la probabilidad de ganar el litigio fuese 0,10, ¿Cuál sería entonces la probabilidad de ganar
el juicio (X)?
Respuesta: 0,069
c) ¿Cuál es la máxima probabilidad de ganar el litigio?
Respuesta: 0,775
21. Un estudiante de Ingeniería ha estimado que en 4 horas puede estudiar un tema para el examen del
día siguiente. Comienza a estudiar a las 8 p.m. con el riesgo de que haya un "apagón" en cualquier
momento. ¿Cuál es la probabilidad de que, como consecuencia de un "apagón", lo que le falte es-
tudiar sea menos de la quinta parte de lo que haya estudiado? Asuma que el apagón puede ocurrir
en cualquier instante debido a problemas con el generador.
Respuesta: 1/6
22. Los compradores de grandes volúmenes de mercancías utilizan el muestreo de aceptación para ca-
lificar las mercancías que compran. Los lotes de mercancías son rechazados o aceptados con base
en los resultados obtenidos al inspeccionar una muestra del lote. Suponga que un inspector de una
planta procesadora de alimentos ha aceptado el 97% de los lotes que son de calidad “buena”, y ha
rechazado, incorrectamente, 3% de lotes que eran de calidad “buena”. Además se sabe que el ins-
pector acepta el 95% de todos los lotes y que sólo el 3% de los lotes son de “calidad mala”. En-
cuentre la probabilidad de que:
a) un lote sea de calidad “buena” y que además sea aceptado.
Respuesta: 0,9409
b) un lote sea de calidad “mala” y que sea aceptado.
Respuesta: 0,0091
c) un lote de calidad “mala”sea aceptado.
Respuesta: 0,3033
23. Una persona lanza un dado cuyas seis caras muestran: un "1", dos "2" y tres "3". Si obtiene "1" en
el primer lanzamiento, gana el juego. Si no obtiene "1" puede seguir lanzando el dado y gana si
repite el resultado del primer lanzamiento. Si obtiene "1" antes de repetir el resultado del primer
lanzamiento, pierde el juego. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? Nota: Puede ser útil la siguiente
fórmula: 1 + x + x2
+ x3
+ ... = 1/(1 – x), si 0 < x < 1.
Respuesta: 0,76388.
24. Una caja contiene 9 etiquetas numeradas consecutivamente del 1 al 9. Si se extraen dos de estas
etiquetas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean consecutivas o sumen ocho?
Respuesta: 11/36

26. Probabilidades
26
25. En un conocido juego con dados (timba) el jugador participante lanza dos dados. Si obtiene suma
siete, gana. Si no, debe seguir lanzando hasta obtener el mismo resultado del primer lanzamiento,
antes de que salga siete. Si sale siete antes de conseguir el mismo resultado del primer lanzamien-
to, pierde.
a) Si el jugador obtiene suma cuatro en el primer lanzamiento. ¿Qué probabilidad tiene de ganar?
Respuesta: 1/3
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador obtenga suma tres en el primer lanzamiento, y lue-
go pierda el juego?
Respuesta: 1/24
26. Una urna contiene cuatro canicas enumeradas del 1 al 4. Si se extraen sucesivamente las canicas,
una por una, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los números extraídos coincida
con el orden de extracción de la canica? (Por ejemplo, que la tercera canica tenga el número 3)
Respuesta: 15/24
27. En un examen de Estadística sólo hay que contestar verdadero (V) o falso (F), para cada una de las
cinco preguntas
a) ¿De cuántas formas se puede contestar el examen?
b) Si contestase al azar, ¿cuál sería la probabilidad de contestar todas bien?
c) Si un alumno estima que la probabilidad de que conteste bien cada pregunta es 2/3, ¿cuál será
la probabilidad de que conteste bien al menos cuatro preguntas?
28. Diga si se trata de una probabilidad a priori, experimental o subjetiva:
a) Probabilidad de que haya empate entre los dos candidatos a la presidencia de un comité.
Respuesta: Subjetiva.
b) Probabilidad de que una lata de conservas de pescado contenga algún objeto extraño.
Respuesta: Experimental.
c) Probabilidad de que dentro de tres años ocurra el fenómeno de El Niño.
Respuesta: Subjetiva
d) Probabilidad de que encontremos un semáforo en rojo.
Respuesta: A priori.
29. En una urna hay siete esferas, que tienen marcadas las siguientes letras: C, A, L, C, U, L, O. Si se
extraen, una por una, las siete esferas, y se van colocando de izquierda a derecha, ¿cuál es la pro-
babilidad de que se forme la palabra CALCULO?
Respuesta: 7,94 × 10–4
30. Un vendedor estima que la probabilidad de venderle a un cliente en su primera visita es 0,4, pero
que aumenta a 0,55 en la segunda visita, si en la primera no efectuó la venta. Calcule la probabili-
dad de que:
a) El vendedor venda a un cliente
b) El cliente no compre
31. En una urna se colocan n esferas blancas numeradas 1, 2, ..., n; y n esferas rojas numeradas 1, 2,
..., n. Si se extraen luego dos esferas aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Sean blancas y consecutivas?
b) Sean blancas o consecutivas?
c) Sean consecutivas de distinto color?
32. En una urna hay seis canicas blancas y seis negras. Se escogen nueve de éstas aleatoriamente y se
colocan en tres filas. Determine la probabilidad de que:
a) en cada fila haya sólo un color.
b) en cada fila hayan dos canicas blancas.

27. Probabilidades27
33. Una tabla para jugar está conformada por 15 casilleros. En 11 de éstos se encuentran las letras de
la palabra ESTADISTICA y los 4 restantes están en blanco. Un jugador debe escoger, descono-
ciendo lo que hay en cada casillero, casillero por casillero, hasta que conforme la palabra ESTA-
DISTICA, sin importar el orden. Por cada casillero en blanco que se escoja, al jugador se le quita
$20 de los $60 que le dan inicialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador:
a) Gane $60
Respuesta: 1/1365
b) Gane $40
Respuesta: 11/1365
c) Gane $20
Respuesta: 66/1365
d) No gane
Respuesta: 286/1365
e) Pierda $20
Respuesta: 1001/1365
34. ¿De cuántas formas puede un sindicato elegir entre sus 30 miembros a: un presidente, un vicepre-
sidente, un secretario y tres vocales?
Respuesta: de 71 253 000 formas
35. Se lanza una moneda cuya probabilidad de que el resultado sea cara es 2/3. Si aparece cara, se ex-
trae una canica de una urna que contiene dos rojas y tres verdes. Si el resultado es sello, se extrae
una canica de otra urna que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer
una canica roja?
36. De una baraja completa de 52 cartas se extrae una mano de 5 cartas al azar. ¿Cuál es la probabili-
dad de obtener una escalera? (5 números consecutivos).
37. Suponga que en una región se ha determinado que en un año lluvioso llueve aproximadamente el
50% de los días del año y en un año no lluvioso llueve aproximadamente el 25% de los días del
año. Un agricultor quiere tomar las previsiones del caso y, transcurrida la primera semana del año,
se percata de que ha llovido 2 días. ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de un año no lluvioso?
Supóngase que el 40% de los años son considerados lluviosos.
Respuesta: 0,7402
38. Se lanzan cinco monedas. Determine la probabilidad de que:
a) El número de caras exceda al número de sellos en 2 ó más.
b) Los 5 resultados sean iguales.
39. Suponga que se escribe aleatoriamente un número de 4 dígitos (se permiten dígitos repetidos).
¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún dígito repetido?
40. En una urna hay 15 canicas blancas y seis negras. Se extrae una canica y luego otra hasta que ésta
sea negra. Determine la probabilidad de que haya que realizar una cuarta extracción, si:
a) Las canicas se extraen sin sustitución.
b) Las canicas se extraen con sustitución.
41. Se sabe que el veredicto dado por un jurado es un 90% confiable cuando el sospechoso es culpable
y un 98% confiable cuando es inocente. En otras palabras, declara inocente al 10% de los culpa-
bles y declara culpable al 2% de los inocentes. El sospechoso se selecciona entre un grupo de per-
sonas, de las cuales sólo el 5% ha cometido un delito alguna vez. Si el jurado lo declara culpable,
¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea inocente?
Respuesta: 0,2969
42. Una urna contiene 3 canicas blancas y 5 negras. Si se extraen canicas al azar, una por una, hasta
que no quede ninguna, ¿cuál es la probabilidad de que las dos últimas canicas sean negras?

28. Probabilidades
28
Respuesta: 0,357
43. Doce estudiantes se disponen a sentarse en una sola fila, al azar. Si dos de ellos son hermanos,
¿Cuál es la probabilidad de que no se sienten juntos?
Respuesta: 5/6
44. Una asociación consiste en 14 miembros. Seis de los miembros son varones y los otros ocho
miembros son mujeres. Ellos desean seleccionar un comité de tres hombres y tres mujeres. ¿De
cuántas maneras puede seleccionarse este comité si :
a) no hay restricciones?
b) dos de los hombres se rehúsan a estar juntos en el comité si el otro está?
c) uno de los hombres y una de las mujeres rehúsan estar juntos en el comité si el otro está?
d) Ana sólo participará en el comité si Juana también participa?
e) el comité debe tener un presidente y un secretario y estos dos oficiales deben ser del mismo
sexo?
45. ¿De cuántas maneras se puede formar un equipo de fulbito que debe estar compuesto por cuatro
jugadores novatos y dos veteranos, a partir de un grupo de diez novatos y cinco veteranos, si todos
ellos pueden jugar en cualquier posición?
46. Un jugador lanza un dado y gana un juego si obtiene 5 ó 6. Si lanza varias veces seguidas hasta
que gane dos veces.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que necesite hacer un mínimo de 5 intentos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane al menos dos veces en más de 4 intentos?
47. Una compañía procesadora de alimentos está considerando implantar una nueva línea de almuer-
zos instantáneos. Las estimaciones actuales indican una probabilidad de gran éxito de 0,1, una
probabilidad de éxito moderado de 0,4 y una probabilidad de no tener éxito de 0,5. La compañía
hace una prueba a nivel regional, antes de implantarla a nivel nacional y obtiene resultados signifi-
cativos, aunque no concluyentes. La confiabilidad de tal prueba está dada por las probabilidades
condicionales de la siguiente tabla:
La prueba indicó
Dado que un producto fue
Gran éxito Éxito moderado Sin éxito
Muy aceptado 0,6 0,4 0
Medianamente aceptado 0,2 0,6 0,2
No aceptado 0,1 0,3 0,6
Construya una diagrama de árbol y calcule las probabilidades condicionales:
a) P(muy aceptado prueba indica gran éxito)
b) P(muy aceptado prueba indica éxito moderado)
c) P(muy aceptado prueba indica sin éxito)
d) P(medianamente aceptado prueba indica gran éxito); etc.
48. En una prueba de aptitud conformada por 25 preguntas, 4 son de cultura general. Si a cada alumno
se le asignan 20 preguntas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) no se le asigne ninguna pregunta de cultura general?
Respuesta: 3,95 × 10–4
b) le asignen al menos 2 preguntas de cultura general?
Respuesta: 0,98379
49. Tres amigos comienzan un juego de dados llamado “dudo”. Cada uno debe lanzar 5 dados sin que
los demás vean su resultado (se cubre los dados con el vaso o “cacho”). Si a uno de ellos le toca el
siguiente resultado: 5, 1, 5, 5, 3; ¿cuál es la probabilidad de que:
a) En total haya 3 cincos?
b) En total haya un mínimo de 4 cincos?

29. Probabilidades29
50. Se tiene una baraja de 52 cartas. Si se seleccionan 5 cartas al azar, ¿cuál es la probabilidad de ob-
tener el 2 de espadas, el 2 de corazones y las otras tres cartas de diamantes?
Respuesta: 1,1 × 10-4
51. Un grupo de amigos están jugando "millonario" y uno de ellos desea obtener suma "4" al arrojar
los dados. Un dado tiene las opciones: 0, 0, 1, 2, 3, 4 y el otro dado: 0, 0, 1, 2, 2, 4. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener la suma deseada?
Respuesta: 7/37
52. Un jugador tiene un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) necesite hacer 8 ó más lanzamientos para obtener un seis?
Respuesta: 0,2790
b) en 8 lanzamientos sólo obtenga un seis?
Respuesta: 0,3721
c) recién obtenga un seis en el octavo lanzamiento?
Respuesta: 0,0465
53. Una persona tiene dos dados, uno de los cuales es normal y el otro tiene dos "2",dos "4" y dos "6".
Si se lanzan los dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) ambos resultados sean pares?
b) un resultado sea par y el otro impar?
c) ambos resultados sean iguales?
54. En la UDEP aproximadamente el 52% del alumnado estudia Ingeniería, el 21% Administración de
Empresas, el 18% estudia Información y el 9% restante estudia Educación. En Ingeniería, el 82%
son varones, en Administración el 48%, en Información el 15% y en Educación el 5%. Si se esco-
ge una persona al azar y resulta que es varón.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie Ingeniería?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie Administración o Información?
55. En la ciudad de Piura se publican los diarios A, B y C. Una encuesta indica que el 36% lee A, el
26% lee B y el 27% lee C; 11% leen A y B, 10% leen A y C, 6% leen B y C y 3% leen A, B y C.
Se escoge a una persona adulta al azar. Calcule la probabilidad de que:
a) lea al menos un diario.
b) lea sólo un diario.
c) lea al menos A y C, si se sabe que lee al menos uno de los diarios.
56. Un pequeño club formado por diez parejas de casados va a elegir a dos representantes al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) no sea elegido un matrimonio.?
b) sean de sexo opuesto?
c) sean mujeres?
57. De 30 objetos elegimos 5 al azar, con sustitución.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún objeto sea elegido más de una vez?
Respuesta: 0,70373
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo un objeto se repita una vez?
Respuesta: 0,27066
58. Un jugador tiene un dado normal.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que necesite hacer 10 ó más lanzamientos para obtener un seis?
Respuesta: 0,1938
b) ¿Cuál es la probabilidad de que recién obtenga un seis en el décimo lanzamiento?
Respuesta: 0,0323
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en 10 lanzamientos sólo obtenga un seis?

30. Probabilidades
30
Respuesta: 0,323
59. En un examen formado por 25 preguntas pueden omitirse 5 de ellas.
a) ¿Cuántas selecciones de 20 preguntas pueden hacerse?
Respuesta: 53 130
b) ¿En cuántas de éstas estarán las 6 preguntas más fáciles?
Respuesta: 11 628
60. En un grupo de 20 problemas hay dos muy fáciles y uno muy difícil. Si a un estudiante se le deja
un trabajo de 6 problemas, ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el problema más difícil y uno
de los dos más fáciles?
61. Se lanzan tres dados. Si dos de los resultados son impares, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
total sea menor que siete?
Respuesta: 4/27
62. Suponga que usted y dos amigos participan en un juego. Cada uno lanza cinco dados y sólo pue-
den ver su propio juego. Si usted tiene dos "1", ¿cuál es la probabilidad de que al menos hayan
cuatro "1" en total?
Respuesta: 0,5155
63. Un alumno de Estadística quiere medir la capacidad de un meteorólogo. Los datos recolectados en
el pasado indican lo siguiente:
- La probabilidad de que el meteorólogo prediga sol en días asoleados es 0.80
- La probabilidad de que el meteorólogo prediga sol en días nublados es 0.40
- La probabilidad de un día asoleado es 0.90
Determine la probabilidad de que:
a) Haya sol, si el meteorólogo lo pronosticó.
Respuesta: 0,9474
b) El meteorólogo pronostique que habrá sol.
Respuesta: 0,76
64. Una caja contiene esferas numeradas 1, 2, ..., n. Se escogen tres al azar. ¿Cuál es la probabilidad
de que los tres números sean consecutivos?
Respuesta: 6/n(n + 1)
65. Miguel lanza tres dados y sólo dice que no salió ningún 2 y ningún 6. ¿Cuál es la probabilidad de
que:
a) la suma de los tres dados sea par?
b) la suma de los tres dados sea mayor que 12?
66. Si a, b, c, c, d, d, e, f se distribuyen al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos letras "c" que-
den separadas?
Respuesta: 0,75
67. Se van a seleccionar cinco soldados de un grupo de doce voluntarios para una misión peligrosa.
a) ¿De cuántos modos se podrán seleccionar?
Respuesta: 792
b) ¿Cuántas veces podrán ser incluidos los dos más valientes?
Respuesta: 120
c) ¿Cuántas veces será incluido sólo uno de los dos más valientes?
Respuesta: 420
68. Se tiene una baraja de 52 cartas.
a) ¿Cuántas "manos" de 5 cartas se pueden seleccionar?

31. Probabilidades31
Repuesta: 2 598 960
b) ¿En cuántas de estas "manos" se tendrán tres números iguales?
Respuesta: 58 656
69. De un grupo de ocho hermanos se eligen tres al azar. Luis tiene 18 años, Jorge 17 años, Miguel 15
años, Raúl 12 años, Mario 10 años, Ana 9 años, Lucía 6 años y David 5 años. Determine la proba-
bilidad de que:
a) Luis sea elegido.
Respuesta: 3/8
b) Ana y Lucía sean elegidas
Respuesta: 3/28
c) la suma de las edades de los tres elegidos sea menor que 28.
Respuesta: 1/7
d) el menor de los tres sea Raúl.
Respuesta: 3/56
e) el mayor de los tres sea Raúl.
Respuesta: 3/28
f) el mayor de los tres sea Raúl, dado que este sí fue elegido.
Respuesta: 2/7
g) el mayor de los tres sea Raúl, si David no fue elegido.
Respuesta: 3/35
h) el mayor de los tres sea Raúl y David no sea elegido.
Respuesta: 3/56
70. Se va a elegir por sorteo un comité de seis personas a partir de un grupo de diez hombres; tres de
los cuales son profesionales. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) por lo menos haya dos profesionales en el comité?
Respuesta: 2/3
b) no haya ningún profesional en el comité?
Respuesta: 1/30
71. Las probabilidades que tienen tres alumnos de aprobar Estadística son: 0,20; 0,40; 0,50. Determine
la probabilidad de que:
a) Solamente apruebe uno.
Respuesta: 0,46
b) Solamente apruebe el segundo.
Respuesta: 0,16
c) Si aprueban al menos dos, esté incluido el primero.
Respuesta: 0,4666
72. Supóngase que de un grupo de 20 objetos se eligen 5, reponiendo cada uno de los que se va eli-
giendo antes de extraer el siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) sólo uno de los objetos se repita una vez?
b) ningún objeto salga repetido?
c) sólo dos objetos salgan elegidos?
73. Un club está conformado por 5 abogados, 10 ingenieros y 3 médicos.
a). De cuántas maneras se puede elegir un comité conformado por 2 abogados, 2 ingenieros y 2
médicos.
b). En cuántos de estos comités estarán la ingeniera Peralta y el doctor Zapata.
74. En una caja hay 10 canicas enumeradas del 1 al 10.
a) ¿De cuántas formas se pueden pintar, 3 de color rojo, 2 de color azul y 5 de color verde?
b) ¿En cuántas de éstas formas, las 3 canicas que se pinten de color rojo serán consecutivas?
c) ¿En cuántas de éstas formas, las 3 canicas rojas son consecutivas y las dos azules también?

32. Probabilidades
32
75. Aproximadamente 2/5 de las personas en el Perú pertenecen al grupo sanguíneo A. ¿Cuál es la
probabilidad de que, en una muestra aleatoria de cinco personas, al menos tres pertenezcan al gru-
po A?
76. En una escuela el 25% de los alumnos son hombres. El 25% de los hombres y el 20% de las muje-
res tuvieron muy buen rendimiento el año anterior. Si se escoge un alumno al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya tenido muy bien rendimiento el año anterior?
77. Un fabricante de computadoras ha indicado que la demanda mensual es de uno a siete equipos. Si
se supone que cualquier nivel de demanda (dentro del rango de 1 a 7) es igualmente probable, de-
termine las siguientes probabilidades:
a) Que se vendan dos computadoras en un mes determinado.
b) Que se vendan menos de cuatro computadoras en un mes determinado.
c) Que se vendan no más de cinco computadoras en un mes determinado.
d) Que se vendan por lo menos tres computadoras en un mes determinado.
78. Un inversionista cuenta con la opción de invertir en dos de cuatro tipos de acción. El inversionista
ignora que, de estos cuatro tipos, sólo dos aumentarán sustancialmente de valor dentro de los
próximos cinco años. Si el inversionista elige los dos tipos de acción al azar, determine el espacio
muestra correspondiente. Determine además qué eventos simples conforman los siguientes even-
tos compuestos:
a) Por lo menos uno de los tipos de acción redituable fue escogido.
b) Por lo menos uno de los tipos de acción redituable no fue escogido.
79. Se le pide a una ama de casa su opinión sobre cuatro marcas de conservas de atún (A, B, C y D),
indicando el orden de su preferencia, marcando con el 1 la que más prefiere, con el 2 la que le si-
gue, etc. Suponga que la señora en realidad no tiene ninguna preferencia por ninguna marca, y de-
cide dar los números del 1 al 4 al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) la marca A quede como la 1?
Respuesta: 1/4
b) C quede en primer lugar y D en segundo?
Respuesta: 1/12
c) A quede en alguno de los dos primeros lugares?
Respuesta: 1/2
80. Una compañía produce un foco ahorrador en tres líneas de producción. Estos focos se envían en
grandes lotes y, debido a que la inspección de la calidad es destructiva, la mayoría de los compra-
dores muestrean un número pequeño de focos de cada lote. En general las tres líneas de produc-
ción trabajan al mismo ritmo y, el porcentaje de defectuosos, que es el mismo para las tres, es de
sólo 2%. Durante el mes de septiembre, la línea 1 sufrió un desperfecto y estuvo produciendo con
un porcentaje de 5% de defectuosos, lo cual se supo mucho después. Un cliente recibió un lote
producido en septiembre, del cual probó 3 focos, y resultó uno defectuoso. ¿Cuál es la probabili-
dad de que este lote haya venido de las líneas de producción 2 ó 3?
81. Suponga que en la UDEP el 44% de los alumnos estudian Ingeniería y el 12% de éstos son muje-
res. Además, el 60% de los otros programas son mujeres. Si se selecciona un alumno al azar y re-
sulta que es hombre. ¿Cuál es la probabilidad de que no estudie Ingeniería?
Respuesta: 0,3665
82. Se va a elegir por sorteo el Comité de Deportes de la Facultad de Ingeniería entre los 30 alumnos
que se han presentado a una reunión convocada por la Directora de Estudios. De estos 30 alumnos,
20 son hombres y 10 mujeres. Si el comité debe estar formado por 6 alumnos ¿Cuál es la probabi-
lidad de que:
a) en el comité haya el doble número de hombres que de mujeres?
b) en el comité no haya hombres?

33. Probabilidades33
83. Una fábrica de balones de básquet impone los siguientes controles de calidad: un balón se rechaza
si rebota demasiado o muy poco, o si tiene un defecto en su cuero. El 12% de los balones que se
producen, rebotan demasiado o muy poco, y el 50 % de éstos tienen defecto en el cuero. El 10%
de los balones producidos tienen defectos de cuero. ¿Qué porcentaje de balones:
a) serán rechazados por defecto en el rebote?
Respuesta: 12%
b) serán rechazados por defecto en el cuero?
Respuesta: 10%
c) serán rechazados por ambos tipos de defecto?
Respuesta: 6%
d) serán rechazados?
Respuesta: 16%
84. Una fábrica de harina de pescado clasifica su producción según la calidad: A, B y C. En promedio,
el 20% es de calidad A, el 30% de calidad B y el 50% de calidad C. Supóngase que procesa dos ti-
pos de pescado: 60% de la producción de harina proviene del pescado P1 y 40% del pescado P2,
con la característica de que no los mezcla durante el proceso. Supóngase además que el 40% de la
harina de calidad A proviene del pescado P1 y el 40% de la harina de calidad B proviene del pes-
cado P2. Determine la probabilidad de que:
a) Un saco de harina de calidad C provenga del pescado P1.
b) Un saco de harina proveniente del pescado P1 sea de calidad C.
85. Un empleado de una fábrica inspecciona siempre 10 unidades extraídas aleatoriamente de la pro-
ducción del día. Supóngase que un día se produjeron 50 unidades, 5 de las cuales eran defectuosas.
Si el gerente de producción llegase al puesto del empleado justo cuando le falta inspeccionar 2
unidades, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) las 2 unidades sean defectuosas?
Respuesta: 0,008163
b) las 2 unidades sean defectuosas, si no había salido ninguna defectuosa antes?
Respuesta: 0,0116
86. Tres cajas iguales contienen dados de la siguiente manera: la primera contiene un dado normal y
dos anormales, la segunda contiene dos dados normales y uno anormal, y la tercera contiene tres
dados anormales. Un dado normal marca 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en sus caras, mientras que un dado anor-
mal marca 2, 2, 4, 4, 6, 6 en sus caras.
a) Se extrae un dado de una de las cajas, en forma aleatoria y se lanza dos veces. ¿Cuál es la pro-
babilidad de que los dos dados muestren resultado par?
b) Se extrae un dado de una de las cajas, en forma aleatoria y se lanza dos veces, obteniéndose
par en los dos lanzamientos. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado elegido sea el anormal?
87. Se estima que el 35% de los autos estacionados en Piura no tienen alarma contra robos. Además,
la probabilidad de que uno de estos autos sea robado es 0,10; en cambio esta probabilidad es 0,005
en los autos con alarma. Si se han robado un auto, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga alar-
ma?
88. Se dispone de una urna con 6 canicas blancas y cuatro canicas negras. Se lanza un dado y, a conti-
nuación, se extraen de la urna tantas canicas como lo indica el resultado del dado. Suponiendo que
obtuvieron exactamente 3 canicas blancas, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del dado
haya sido 5?
89. Una hamburguesería ofrece a sus clientes cinco tipos de ingredientes: lechuga, tomate, papitas,
salsa de tomate y mayonesa. ¿Cuántos tipos de hamburguesas se pueden preparar? Considere que
es posible un tipo de hamburguesa sin ingredientes, o con uno o más ingredientes.

34. Introducción a la Estadística
34
Capítulo 2. Introducción a la Estadística
2.1 Definición de Estadística
Aunque estemos acostumbrados a que la palabra Estadística se emplee para designar descrip-
ciones numéricas o conjuntos de datos, es conveniente definirla como una ciencia que ha llegado a
emplearse en casi todas las ciencias.
Se dice con razón que la Estadística es el lenguaje universal de las ciencias. Se emplea, por
ejemplo, en: Producción, Calidad, Finanzas, Marketing, Logística, Economía, Psicología, Sociología,
Educación, Medicina, Informática, Biología, Química, etc.
La Estadística es la ciencia que recopila, clasifica, presenta, describe e interpreta conjuntos de
datos. Generalmente se ocupa de estudiar fenómenos aleatorios.
2.2 Definición de algunos términos básicos
2.2.1 Universo o población:
Es el conjunto de datos o elementos cuyas propiedades se van a analizar. Cuando se quiere reali-
zar una investigación estadística, debe definirse cuidadosamente el universo. Si se quiere investigar,
por ejemplo, qué proporción de la población de Piura fuma cigarrillos, debe definirse claramente el
universo, diciendo quiénes lo conforman. No sería correcto decir que lo conforman los adultos, pues
este término no está claramente definido. Podría definirse correctamente el universo diciendo, por
ejemplo, que lo conforman aquellos que tienen 18 años cumplidos. En este ejemplo el universo está
conformado por personas, o mejor dicho, por un atributo de dichas personas; pero el universo podría
estar conformado por atributos o mediciones de personas, objetos o animales.
2.2.2 Muestra
Es un conjunto de datos seleccionados de un universo, de tal forma que refleje las características
de éste. Se dice entonces que la muestra es representativa del universo.
A pesar de que sólo se debe llamar muestra a un conjunto de datos representativos del universo,
se suele clasificar las muestras en: probabilísticas y no probabilísticas. Las primeras suelen ser re-
presentativas de la población; las segundas no.
Se dice que una muestra es probabilística cuando cada elemento del universo tiene una probabi-
lidad conocida de ser seleccionado en la muestra. La muestra es no probabilística cuando sus elemen-
tos se eligen con base en el juicio o criterio del investigador. Esto puede dar lugar a una “muestra” que
no sea representativa del universo del cual fue extraída. Generalmente, cuando se hace una investiga-
ción, se extraen muestras probabilísticas, por razones evidentes.
Una muestra probabilística puede ser: muestra aleatoria simple, muestra estratificada o muestra
por conglomerados.
Se denomina muestra aleatoria simple a aquélla que es seleccionada de tal forma que cada
elemento del universo tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Un buen método para conse-
guir esto consiste en enumerar previamente todos los elementos que conforman el universo, y, em-
pleando números aleatorios, seleccionar la muestra del tamaño deseado.
Si el universo es de gran tamaño, puede resultar muy engorroso este último método, pues se ne-
cesitaría mucho tiempo y/o dinero. Conviene en este caso dividir el universo en estratos, y tratar a ca-

35. Introducción a la Estadística 35
da uno de éstos como un universo.
Se denomina muestra estratificada a aquélla que se obtiene dividiendo el universo en estratos,
para luego seleccionar “submuestras” de cada uno de éstos.
Se denomina muestra por conglomerados a aquélla que se obtiene estratificando el universo,
para luego tomar todos los elementos de algunos estratos, seleccionados aleatoriamente.
Como conclusión, es conveniente tener en cuenta que el tipo de muestra que se debe emplear
depende de lo que se va a investigar, y para seleccionar ésta adecuadamente, en caso que el universo
sea grande y complicado, conviene estudiar con más detalle la Teoría del Muestreo.
2.3 Estadística descriptiva e inferencial
La estadística se divide en dos partes: descriptiva e inferencial
La estadística descriptiva se encarga de recopilar, clasificar, presentar y describir un conjunto
de datos. Como generalmente se estudian poblaciones muy grandes, este conjunto de datos suele ser
una muestra.
La estadística inferencial se encarga de interpretar los datos estudiados por las técnicas descrip-
tivas. De los datos obtenidos de las muestras, saca conclusiones que da como válidas para todo el uni-
verso. Es de esperarse que al sacar estas conclusiones siempre exista una pequeña probabilidad de
error, pues la inferencia es inductiva. Existe, pues, cierta incertidumbre al sacar dichas conclusiones;
pero tal incertidumbre puede ser cuantificada.
2.4 Importancia de la Estadística
A continuación se presentan cuatro razones (Guilford y Fruchter) por las cuales es recomenda-
ble alcanzar cierto dominio de la Estadística:
1. Para poder leer literatura profesional.
Para nadie es un secreto que un buen profesional siempre debe estar leyendo sobre su especiali-
dad, y difícilmente podrá leer gran cosa sin encontrarse con símbolos, conceptos e ideas estadísti-
cas. Quienes esquivan estas partes seguramente no podrán opinar ni sacar conclusiones propias, y
tendrán que depender de lo que opinen los demás.
2. Para dominar técnicas que se necesitan en otras materias.
Generalmente es imposible hacer un buen análisis de los resultados sin emplear un mínimo de téc-
nicas estadísticas.
3. Porque es parte esencial de la formación profesional.
En casi todas las profesiones.
4. Porque es parte fundamental en la Investigación.
“El progreso de cualquier profesión y de la competencia de sus miembros depende de la perma-
nente actitud de investigación y de los esfuerzos de investigación de esos miembros”.
La estadística es fundamental en la investigación por las siguientes razones:
ƒ Permite describir con mayor exactitud cualquier fenómeno.
ƒ Obliga a ser claros y exactos en los procedimientos y en el pensar.
Sin el empleo de la Estadística se puede ser vago sin equivocarse; pero lo ideal es ser claro y
exacto sin equivocarse.
ƒ Permite resumir resultados significativamente.
Esto mediante distintos tipos de tablas y gráficos.
ƒ Permite deducir conclusiones generales.

36. Introducción a la Estadística
36
Además, se puede saber qué tan confiables son esas conclusiones generales sacadas en un es-
tudio, y hasta dónde se pueden ampliar nuestras generalizaciones.
ƒ Permite hacer predicciones.
Si se conocen las condiciones en que se encuentra algo o alguien, podemos predecir qué suce-
derá a futuro. Por ejemplo, si la producción en un proceso de manufactura se ve afectada por
diversos factores, y se tiene registrados valores que cuantifiquen estos factores, se puede de-
terminar una ecuación predictiva que relacione la producción con dichos factores.
ƒ Permite analizar algunos factores causales en sucesos complejos.
Se pueden determinar, por ejemplo, los factores causales por los que un producto tiene acepta-
ción en el mercado, y analizar cuánto influye cada uno.

37. Estadística Descriptiva 37
Capítulo 3. Estadística Descriptiva
3.1 Introducción
Si se tuviera que informar respecto a datos obtenidos en una investigación, no serviría de mucho
que éstos se presenten en un simple listado, o que sólo se exprese alguna medida descriptiva (por
ejemplo, la media o promedio) de dichos datos. En el primer caso la información resultará excesiva y
en el segundo puede ser pobre. Lo más práctico sería presentar los datos de una forma condensada, ya
sea mediante el uso de tablas o de gráficos.
En este capítulo se van a presentar las medidas descriptivas más empleadas en análisis de datos,
y las distintas formas de representar dichos datos en tablas y gráficos.
3.2 Medidas descriptivas
A continuación se definen las medidas descriptivas más usadas en las investigaciones estadísti-
cas, que nos permiten localizar con cierta precisión un conjunto de datos. Estas medidas pueden ser: de
tendencia central, de variabilidad, de posición y de forma.
Las medidas de tendencia central, como la media aritmética, la mediana y el modo, tratan de
ubicar la parte central de un conjunto de datos.
3.2.1 Media aritmética
Dado un conjunto de n datos de una muestra, se define la media aritmética:
∑
=
=
n
i
i
x
n
x
1
1
Dado un conjunto de los N datos de una población, se define la media aritmética:
∑
=
=
N
i
i
x
N 1
1
µ
Dada una muestra conformada por un conjunto de k valores; si cada uno de éstos se repite con
una frecuencia fi, o si cada uno tiene un peso o ponderado wi, entonces las medias aritméticas serán,
respectivamente:
∑
∑
=
=
= k
i
i
k
i
i
i
f
x
f
x
1
1
∑
∑
=
=
= k
i
i
k
i
i
i
w
x
w
x
1
1
A esta última se le denomina media aritmética ponderada.
Si en lugar de contar sólo con datos muestrales se tuviera todos los datos poblacionales, para
calcular la media aritmética se emplearían estas dos mismas fórmulas.

38. Estadística Descriptiva
38
Si se tienen k muestras de tamaños N1, N2, ... , Nk, con medias aritméticas ,
,
...
,
, 2
1 k
x
x
x respec-
tivamente; entonces la media aritmética del conjunto será:
∑
∑
=
=
= k
i
i
k
i
i
i
N
x
N
x
1
1
Ejemplo 1:
Una entidad financiera ofrece los siguientes intereses anuales, según los montos que depositen
los ahorristas a plazo fijo: 6% para depósitos A (de 1000 dólares); 8% para depósitos B (de
2000 dólares) y 10% para depósitos C (de 5000 dólares). ¿Cuál es el interés anual promedio que
está pagando el banco si hay 15 depósitos A, 10 depósitos B y 5 depósitos C?
%
33
,
7
30
10
5
8
10
6
15
=
×
+
×
+
×
=
x
Ejemplo 2:
Se han registrado los pesos de las bolsas de arroz empacadas por una empresa durante 7 horas,
resultando un promedio de 0,992 Kg. Si cada hora se embolsan 30 unidades, ¿cuál será el peso
promedio si en la octava hora se registra un peso promedio de 1,025 Kg?
En este caso se debe hallar la media de dos medias aritméticas, donde los pesos o ponderaciones
pueden ser 7 y 1, ó 210 y 30.
996
,
0
8
025
,
1
1
992
,
0
7
=
×
+
×
=
x Kg.
3.2.2 La mediana
Dado un conjunto de n datos, la mediana es aquél que ocupa la posición central, cuando los da-
tos se ordenan en orden creciente (o decreciente). Si el número de datos es par, la mediana será la me-
dia aritmética de los dos datos que ocupen la posición central.
Si algunos datos se repiten con una determinada frecuencia, el cálculo de la mediana se compli-
ca; pero no vale la pena ahondar en esto, pues se puede recurrir a una herramienta tan accesible como
Excel para hacer este cálculo.
3.2.3 La moda
Dado un conjunto de datos, la moda (Mo) es el valor que se repite con mayor frecuencia. Cuan-
do dos o más datos son los que tienen la mayor frecuencia, se dice que el conjunto de datos es bimodal
o multimodal, respectivamente.
Las medidas de variabilidad, como la amplitud, la desviación media, la varianza y la desvia-
ción estándar, indican qué tan dispersos se encuentran los datos.
En muchas situaciones es importante conocer la variabilidad de los datos. Por ejemplo, entre dos
procesos de elaboración de planchas de acero del mismo espesor, es más eficiente aquél cuyas medi-
das de espesor tienen una menor variabilidad. Igualmente, entre dos negocios con similar promedio de
ganancias, quien tiene aversión al riesgo preferirá aquél que tenga menor variabilidad, pues así puede
evitar una posible ganancia muy baja o una pérdida.

39. Estadística Descriptiva 39
3.2.4 La amplitud
Dado un conjunto de datos, la amplitud es la diferencia entre el mayor y el menor. Es una medi-
da que puede ser muy útil, dada la facilidad con que se calcula; pero en ciertas ocasiones puede dar
una idea equivocada de la variabilidad de los datos; por ejemplo, cuando uno de los datos difiere signi-
ficativamente de los demás.
3.2.5 La desviación media
Dado un conjunto de datos, la desviación media es la media aritmética de los valores absolutos
de lo que se desvía cada valor respecto a la media aritmética. Es una medida poco usada debido a la
dificultad al hacer cálculos con la función valor absoluto.
∑
=
−
=
n
i
i x
x
n
M
D
1
1
.
.
3.2.6 La varianza
Dado un conjunto de n datos, se define la varianza:
( )
2
1
2 1
∑
=
−
=
n
i
i x
x
n
s
Dado un conjunto de k datos; si cada uno se repite con una frecuencia fi, la varianza será:
( )
2
1
2 1
∑
=
−
=
k
i
i
i x
x
f
n
s
Algunos autores emplean n – 1 en lugar de n en las dos últimas fórmulas. Más adelante se verá
que es recomendable emplear n – 1 cuando la muestra extraída es pequeña. Para n grande esto no oca-
siona una diferencia numérica apreciable.
Si se cuenta con el total de datos (N) de una población, la varianza es:
( )
2
1
2 1
∑
=
−
=
N
i
i
x
N
µ
σ ó ( )
2
1
2 1
∑
=
−
=
k
i
i
i x
f
N
µ
σ
3.2.7 La desviación estándar
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Es la medida de variabilidad que más se emplea, de-
bido a que se expresa en las mismas unidades que los datos y la media aritmética.
3.2.8 El coeficiente de variación
Se define como el cociente entre la desviación estándar y la media aritmética de un conjunto de
datos. Según se trate de una muestra o población, el coeficiente de variación será:
µ
σ
=
V
x
s
v=
Esta medida se suele usar para comparar el grado de dispersión de dos o más conjuntos de datos;
incluso si se trata de medidas diferentes. Suele ser de gran utilidad cuando se desea comparar las dis-
persiones de dos conjuntos de datos cuyas medias difieren significativamente.
Ejemplo:
Medio año después de haber sembrado 50 semillas, se miden las alturas de las plantas, obtenién-
dose una media de 43,6 cm. y una desviación estándar de 5,1 cm. Al cumplir un año, se vuelven
a medir las alturas de las plantas, encontrándose una media de 128,7 cm. y una desviación es-
tándar de 6,6 cm. Compare las dispersiones de las plantas en ambos momentos.

40. Estadística Descriptiva
40
Al medio año: V1 = 5,1/43,6 = 0,117
Al año: V2 = 6,6/128,7 = 0,051
Si se comparasen las desviaciones estándar, se afirmaría que la dispersión aumentó; pero com-
parando las dispersiones respecto a las alturas (representadas por las medias aritméticas), se
puede afirmar que la dispersión relativa ha disminuido.
Las medidas de posición, como los cuartiles y los percentiles, localizan los datos respecto a los
demás.
3.2.9 Los cuartiles
Dado un conjunto de datos ordenados en forma ascendente, los cuartiles lo dividen en cuatro
partes iguales.
El primer cuartil, Q1, es un valor tal que, a lo sumo, la cuarta parte de los datos es menor que Q1,
y, a lo sumo, las tres cuartas partes son mayores.
El segundo cuartil, Q2, coincide con la mediana.
El tercer cuartil, Q3, es un valor tal que, a lo sumo, las tres cuartas partes de los datos son meno-
res que Q3, y, a lo sumo, la cuarta parte es mayor.
Ejemplo 1:
,
15
,
13
,
12 ,
20
,
19
,
18 ,
26
,
25
,
21 34
,
30
,
28
Ejemplo 2:
,
17
,
16
,
15
,
12
,
10 28
,
27
,
26
,
23
,
19
Para el cálculo de los cuartiles se recomienda recurrir a una herramienta tan accesible y de tan
fácil uso como Excel. Obsérvese, en el ejemplo 1, que Q1 no es la media de 15 y 18.
3.2.10 Los percentiles
Dado un conjunto de datos ordenados en forma ascendente, los percentiles lo dividen en cien
partes iguales.
El k-ésimo percentil, Pk, es un valor tal que, a lo sumo, el k por ciento de los datos son menores
que Pk. Para determinar los percentiles se sigue el mismo procedimiento que para los cuartiles.
Las medidas de forma, como el coeficiente de asimetría y la curtosis, expresan la forma como
se distribuye un conjunto de datos.
3.2.11 Coeficiente de asimetría
Mide si un conjunto de datos están más dispersos por encima de la media aritmética o por deba-
jo de ella. Si hay más datos por encima de la media, el coeficiente de asimetría es positivo; si hay más
datos por debajo de la media, el coeficiente de asimetría es negativo; y si los datos están igualmente
dispersos por encima y por debajo de la media, el coeficiente de asimetría es cero.
El coeficiente de asimetría puede calcularse mediante la siguiente fórmula (de Excel), aunque lo
más práctico es calcularlo en Excel.
Q1=17,25 Q3=26,5
Q2=20,5
Q1=15,25 Q2=18 Q3=25,25

41. Estadística Descriptiva 41
3
)
2
)(
1
(
∑ 




 −
−
−
=
s
x
x
n
n
n
sk i
Existen otras fórmulas para medir la asimetría, como el coeficiente de Asimetría de Pearson:
s
Mo
x
sk
−
=
3.2.12 Curtosis
Mide el grado en que los datos están agrupados alrededor de la media aritmética. Si la mayor
parte de los datos están cerca de la media, la curtosis es positiva, y se dice que los datos tienen una dis-
tribución leptocúrtica; en caso contrario, si la mayor parte de los datos están lejos de la media, la cur-
tosis es negativa, y se dice que los datos tienen una distribución platocúrtica. Si los datos se distribu-
yen normalmente (capítulo 8), la curtosis es cero, y se dice que la distribución es mesocúrtica.
Es importante aclarar que la curtosis no es una medida de la variabilidad de los datos; que un
conjunto de datos tenga una distribución leptocúrtica no indica que tenga menor desviación estándar.
Para medir la curtosis se puede emplear la siguiente fórmula (de Excel), aunque lo más práctico
es calcularla en Excel.
∑ −
−
−
−





 −
−
−
−
+
=
)
3
)(
2
(
)
1
(
3
)
3
)(
2
)(
1
(
)
1
( 2
4
n
n
n
s
x
x
n
n
n
n
n
k i
3.3 Exactitud y precisión
La mayoría de la gente usa estos dos términos indistintamente, y por lo tanto, incorrectamente.
Exactitud es la proximidad de un resultado o de un conjunto de resultados de un experimento con el
resultado verdadero o real. Precisión es la cercanía entre los resultados de un experimento.
Así, se pueden tener resultados precisos pero no exactos, o exactos y precisos; aunque es difícil
tener resultados exactos e imprecisos. Los científicos experimentales hacen una distinción entre dos
tipos de errores: aleatorios y sistemáticos.
Los errores aleatorios provocan que los resultados se dispersen alrededor del valor promedio, es
decir, afectan la precisión o reproducibilidad de un experimento. La varianza o desviación estándar
miden qué tan grande o pequeño será el error aleatorio.
Los errores sistemáticos provocan que los resultados se desvíen en el mismo sentido, es decir,
afectan la exactitud de los resultados. La diferencia entre la media de los resultados y el valor verdade-
ro es una medida del error sistemático.
En 1936, A. Benedetti-Pichler ilustró estos conceptos, como se muestra en la figura 3.1.
Figura 3.1 Exactitud y precisión
Valor verdadero
Exacto y preciso
Preciso e inexacto
Impreciso e inexacto

42. Estadística Descriptiva
42
3.4 Medidas descriptivas en Excel
Resulta sumamente fácil calcular las medidas descriptivas de un conjunto de datos con Excel.
Sólo basta ingresar los datos en una hoja de cálculo, ubicarse en la celda donde se desea expresar la
medida, y hacer click en el icono . Excel abre un cuadro de diálogo con todas las funciones dispo-
nibles, por categorías, como se muestra en la figura 3.1.
Figura 3.1. Cuadro de diálogo de funciones de Excel
Una vez seleccionada una función, Excel indica, en el mismo cuadro de diálogo, qué resultado
va a devolver, y qué datos necesita, explicando en qué consiste cada uno de éstos. Las medidas des-
criptivas estudiadas en este capítulo que están en el listado de funciones de Excel se muestran en la ta-
bla 3.1.
Tabla 3.1. Funciones de Excel para el cálculo de algunas medidas descriptivas
Medida descriptiva Función de Excel
Media aritmética PROMEDIO
Mediana MEDIANA
Moda MODA
Varianza (muestra)
Varianza (población)
VAR
VARP
Desviación estándar (muestra)
Desviación estándar (población)
DESVEST
DESVESTP
Cuartil CUARTIL
Percentil PERCENTIL
Coeficiente de asimetría COEFICIENTE.ASIMETRÍA
Curtosis CURTOSIS
Cabe aclarar que las funciones VARP y DESVESTP emplean n en el denominador, a diferencia
de las funciones VAR y DESVEST que emplean n – 1.
Excel tiene también, en el menú de Herramientas, la opción Análisis de datos (si no aparece,
puede activarse en la opción Complementos, escogiendo la opción Herramientas para Análisis). Esta
opción Análisis de Datos abre un cuadro de diálogo con un listado de herramientas estadísticas. Una
de estas herramientas es: Estadística Descriptiva, que abre el cuadro de diálogo que se muestra en la
figura 3.2.

43. Estadística Descriptiva 43
Figura 3.2. Cuadro de diálogo de Estadística descriptiva de Excel para el ingreso de datos
Ejemplo:
Se ingresan los siguientes 20 datos en Excel, en una fila o columna; por ejemplo, desde la celda
A1 hasta la celda A20.
73 69 65 87 86 61 65 77 80 72 75 85 63 75 73 78 74 81 73 81.
En el rango de entrada del cuadro de diálogo saldrá: A1:A20. Ejecutando la opción Resumen de
estadísticas, Excel muestra el resultado que se muestra en la tabla 2.
Tabla 3.2. Medidas descriptivas del Análisis de datos de Excel
Fila1
Media 74,65
Error típico 1,67846264
Mediana 74,5
Moda 73
Desviación estándar 7,50631313
Varianza de la muestra 56,3447368
Curtosis -0,64638537
Coeficiente de asimetría -0,13330001
Rango 26
Mínimo 61
Máximo 87
Suma 1493
Cuenta 20