Trabajo sobre el momento de inercia y todo lo relacionado a éste

1. REPÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÌA
“ANTONIO JOSÈ DE SUCRE”
EXTENSIÒN PUERTO LA CRUZ – BARCELONA
MOMENTO DE INERCIA
Alumna:
Valeria Fernández
C.I: 31.001.947
PUERTO LA CRUZ, NOVIEMBRE, 2022

2. DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA POR
INTEGRACIÓN
Objetivo determinar el momento de inercia de un objeto respecto a un eje
determinado analizando su movimiento de rotación. Motivación Muchos cuerpos
reales no pueden representarse adecuadamente como un punto en movimiento.
Cuando un cuerpo gira sobre un eje (como un CD, un ventilador, o un yo-yo)
debemos extender nuestro análisis dinámico al movimiento rotacional del cuerpo
rígido. Cuando un cuerpo rígido está sometido a fuerzas y torques, el movimiento
rotacional resultante depende no sólo de su masa, sino también de cómo está
distribuida. Este hecho da origen al concepto de momento de inercia (I), que es
a su vez una medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambios en
su movimiento de rotación respecto a un eje, tal como la masa es una medida
de la tendencia de un objeto a resistir cambios en su movimiento rectilíneo. Sin
embargo, la masa es una cantidad intrínseca del objeto, mientras que el
momento de inercia depende de la distribución de la masa del objeto respecto a
un eje determinado. En esta sesión estudiaremos el movimiento de un cuerpo
rígido que rota alrededor de un eje fijo. En nuestro caso particular, la rotación del
objeto alrededor de dicho centro, está relacionado con el movimiento de
traslación de otro objeto con el que se encuentra unido por medio de una cuerda.
Los métodos energéticos serán claves para analizar el movimiento del cuerpo en
rotación y hallar así su momento de inercia.
DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UNA ÁREA POR
INTEGRACIÓN.
En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de
inercia. de una área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de
inercia Iy. del área A con respecto al eje y, se define como:
Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA
dIx = y2dA dIy = x2dA

3. MOMENTO POLAR DE INERCIA
La Inercia es la resistencia que opone un objeto a modificar su estado de reposo
o movimiento. Esta propiedad se describe en la Primera Ley de Newton, que
dice:
Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o movimiento rectilíneo
uniforme siempre que no se ejerza una fuerza sobre él.
El momento polar de inercia es la capacidad de un cuerpo para oponerse a la
torsión alrededor de un determinado eje cuando se le aplica un par de fuerzas.
¿Qué es la torsión? La torsión es el desplazamiento angular de un cuerpo sobre
el que se aplica a un par de fuerzas. Cuanto mayor sea el momento polar de
inercia, menor desplazamiento sufrirá.
Este concepto tiene mucha importancia a la hora de diseñar un coche porque
definirá su comportamiento en curva. Durante toda la curva, el coche trata de
cambiar de dirección alrededor de su eje de gravedad, y cuanto más lejos del
centro de gravedad se encuentren los polos de inercia, mayor será el momento
de inercia y por ello su resistencia a describir la curva.
Vamos a verlo de una forma más sencilla. Supongamos que tenemos una hoja
de papel sobre la que colocamos dos pesos (dos polos de inercia) y queremos
hacerla girar sobre un eje determinado, como muestro en la figura.

4. Cuanto más lejos del eje de giro estén las masas (m1 y m2 en la figura), más
complicado será hacerlas cambiar de dirección.
Matemáticamente definiremos el momento polar de inercia de un vehículo como
la suma de los momentos polares de inercia de cada uno de los polos que
vayamos a considerar:
ΣM = m1*d1² + ... + mn*dn²
De la fórmula podemos extraer que grandes masas alejadas del centro de
gravedad darán como resultado un alto momento polar de inercia, mientras que
si las masas son menores o están más cerca del centro de gravedad tendrán
como resultado un bajo momento polar de inercia.
RADIO DE GIRO DE UN ÁREA
Considérese un área A que tiene un momento de inercia IX, con respecto del eje
x. Imagínese que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje
x. Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de

5. inercia con respecto de¡ eje x, la tira debe ser colocada a una distancia kx, a
partir del eje x, donde k., está definida por la relación
Ix = kx^2
Resolviendo para kx,
Se hace referencia a la distancia kx , como el radio de giro del área con
respecto del eje x. En una forma similar, se pueden definir los radios de giro
ky. y ko
Si se reescribe la ecuación en términos de los radios de giro, se encuentra que
Ko2 = kx^2 +ky^2
TEOREMA DE LOS EJES PARALELO
El momento de inercia de cualquier objeto sobre un eje a traves de su centro de
masa es el momento de inercia mínimo sobre un eje en esa direccion del
espacio. El momento de inercia sobre un eje paralelo a ese eje que pasa por el
centro de masa está dado por
La expresión añadida al momento de inercia sobre el centro de masa se reconoce
como el momento de inercia de una masa puntual. El momento de inercia en torno
a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de
masa, más el momento de inercia de todo el objeto -tratado como una masa
puyntual en el centro de masa- sobre ese eje paralelo.
MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREA COMPUESTA

6. Consideremos una área compuesta A formada por varias áreas componentes
A1, A2, An. Como la integral que representa el momento de inercia de A puede
subdividirse en integrales calculadas sobre A1, A2, An. El momento de inercia
de A con respecto a un eje dado se obtendrá sumando los momentos de inercia
de las áreas A1, A2, An.
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
Determinar las áreas de las partes, designarlas por
A1; A2;. . . .;An.
Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes (Xi; Yi) con
respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm (Xg; Yg) de toda la figura formada
por todas las áreas parciales anteriores. Calcular las distancias de los cdm de
cada área respecto al cdm total de la figura. Calcular los momentos de inercia de
las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y).
Designar como: Ii,x e Li,y, para el área i-ésima.
PRODUCTO DE INERCIA
La integral la cual se, obtiene al multiplicar a cada elemento dA de un área A por
sus coordena- das x e y e integrando sobre toda el área, se conoce como el
producto de inercia del área A con respecto de los ejes x e y. A diferencia de los
momentos de inercia 1x e IY ,, el producto de inercia puede ser positivo, negativo
o cero.
Cuando uno o ambos de los ejes x e y son ejes de simetría del área A, el producto
de inercia Ixy. Es igual a cero. Por ejemplo, considérese la sección en forma de
canal mostrada en la figura 9.15. Puesto que esta sección es simétrica con
respecto del eje x, se puede asociar con cada elemento dA de coordenadas x e
y un elemento dA ‘de coordedadas x y -y. Obviamente, las contribuciones a IXY
de cualquier par de elementos seleccionados de esta forma se cancela y, por lo
tanto, la integral de arriba se reduce a cero.

7. Para los productos de inercia se puede derivar un teorema de ejes paralelos
similar al establecido en la sección para momentos de inercia.
EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA.
Ejes principales de inercia
Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un
cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una
base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica.
Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas
por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de
que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su
orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje
arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de
Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación.
El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe
a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el
momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar
ambos alineados con una dirección principal:
Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia
corresponiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos
principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes
principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes,
dichos ejes son perpendiculares.

8. Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia
principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en
particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser
infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la
simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el
mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos
rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que
sólo tienen simetría axial, peonzas simétricas.
Momentos de inercia principales
Si consideramos nuevamente una sección transversal plana Σ y la
parametrizamos mediante coordenadas rectangulares (x,y), entonces podemos
definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según X o según Y
además del momento de inercia mediante:
Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy = 0, y en ese caso
podemos escribir la tensión perpendicular asociada a la flexión desviada simple
del elemento estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada como:
Siendo Mx y My las componentes del momento flector total sobre la sección Σ.
Las unidades en el Sistema Internacional de Unidades para el segundo momento
de inercia son longitud a la cuarta potencia, en la práctica la mayoría de
secciones de uso en ingeniería se dan en (cm 4). Si los ejes de referencia

9. empleados no necesariamente son ejes principales la expresión completa de la
tensión en cualquier punto genérico viene dada por:
CIRCULO DE MORH PARA MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los
momentos de inercia, las deformaciones y los esfuerzos, inercia, deformaciones
yesfuerzos, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio,
centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto
y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por
el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918 )
Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la
circunferencia de Mohr que se usa para tensiones en dos dimensiones. En
muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un
eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizada
entonces para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de
inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia
medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son
análogas a las del cálculo de esfuerzos.
En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de
un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado
para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia
principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio

10. y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas
a las del cálculo de esfuerzos.
De todas las rectas que pasan por un punto, una de ellas proporciona el máximo
valor del momento de inercia de un sistema material y otra proporciona el mínimo
valor del momento de inercia; dichas direcciones son perpendiculares y se
denominan direcciones principales de inercia.
El círculo de Mohr es una representación de las ecuaciones de transformación
para momentos y productos de inercia. Una de las ventajas del usar el círculo de
Mohr es que da una representación visual clara de cómo las propiedades
inerciales varían con la orientación de los ejes y otra es que, refiriéndose al
círculo, se pueden obtener los valores numéricos sin tener que memorizar las
ecuaciones de transformación.
Una vez conocidos los momentos de inercia respecto a unos ejes, así como el
producto de inercia (IOX, IOY y PXY) se elige un eje horizontal para momentos
de inercia y un eje vertical para productos de inercia.
Suponiendo IOX>IOY se dibuja el punto A de coordenadas (IOX, PXY) y el punto
B de coordenadas (IOY, -PXY).
Se une A con B y se dibuja un círculo de forma que la línea AB es el diámetro de
ese círculo.
La línea AB se corta el eje horizontal en un punto C que se encuentra del origen
a una distancia:

11. Se construye una circunferencia de radio R=CA.
Los puntos de corte de la circunferencia con el eje horizontal corresponden con
los
momentos de inercia máximo y mínimo.
MOMENTOS DE INERCIA DE UNA MASA
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un
sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de
inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular
longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende de
su forma (más bien de la distribución de su masa), y de la posición del eje de
rotación. Aun para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto,

12. si se considera ejes de rotación ubicados en distintas partes del cuerpo. Un
mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia,dependiendo de dónde
se considere el eje de rotación. Mientras más masa está más alejada del eje de
rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia tiene unidades
de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4 , m4 , pulg4.
MOMENTO DE INERCIA DE PLANAS DELGADAS
El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la
figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén
contenidos en el plano de la figura, corten el eje perpendicular y sean todos
perpendiculares entre si.
El teorema de los ejes perpendiculares sólo se aplica a las figuras planas y
permite relacionar el momento perpendicular al plano de la figura con los
momentos de otros ejes contenidos en el plano de la figura.