momentos de inercia y sus componentes

1. MOMENTOS DE INERCIA Y SUS
COMPONENTES

2. INTRODUCCION
- El momento de inercia es la capacidad de resistencia que tiene un cuerpo
al sufrir una transformación.
- Por ello podemos decir que el momento de inercia solo solo depende de
la geometria del cuerpo y de la posicion del eje de giro, pero no depende
de la s fuerzas que intervienen en el momento.

3. • Determinación del momento de inercia de un área por integración:
-Momento de inercia de un área,
respecto a un eje en su plano, está
dado por el producto del área y el
cuadrado de la distancia entre el
elemento y el eje.

4. Como: r 2 = X2 + Y2
∫
Io= r dA = ( x + y ) dA= x dA + y dA= Iy + Ix
a ∫ a
∫ a ∫ a
2 2 2
L 2 . L 2 = L 4 cm , pulg , m
= Constante (Invariante)
UNIDADES:
( ± ) 2 ( + ) 2 = ( + ) Momento de inercia de una superficie es
siempre positivo.
4 4 4
2 2

5. • Momento polar de inercia:
Se define el momento polar de inercia de área,
con respecto al punto O, como la integral que
se muestra, donde r es la distancia de O
también llamado “polo” ,al elemento dA. Esta
integral es de gran importancia en problemas
relativos a la torsión de varillas cilíndricas.

6. • Radio de giro de un área:
• Si el área concentrada (equivalente)
tiene el mismo momento de inercia
respecto al eje X, que el área
original, entonces la banda tendría
que estar colocada a una distancia
KX del eje X.
• Concentramos el área “A” en una
banda paralela al eje X.

7. • Teorema de los ejes paralelos:
-El momento de inercia de cualquier objeto sobre un
eje a traves de su centro de masa es el momento de
inercia mínimo sobre un eje en esa direccion del
espacio. El momento de inercia sobre un eje paralelo a
ese eje que pasa por el centro de masa está dado por
-La expresión añadida al momento de inercia sobre el centro de masa se
reconoce como el momento de inercia de una masa puntual. El momento
de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia
del objeto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el
objeto -tratado como una masa puntual en el centro de masa- sobre ese
eje paralelo.

8. • Momentos de inercia de una masa:
- La aceleracion e un cuerpo que resulta de fuerzas que
actuan sobre el, depende de su masa
- La A o rotacion provocada por esas fuerzas que actuan
sobre el cuerpo, dependen de las cantidades llamadas
momentos de inercia de masa sobre el cuerpo
- A menudo el cuerpo gira alrededor del eje L el valor de I se
precisa para hallar la aceleración angular o razón de cambio de la
velocidad angular.

10. • Momentos de inercia de área compuesta:
- Consideremos una área compuesta A formada por varias áreas
componentes A1, A2, An. Como la integral que representa el
momento de inercia de A puede subdividirse en integrales
calculadas sobre A1, A2, An. El momento de inercia de A con
respecto a un eje dado se obtendrá sumando los momentos de
inercia de las áreas A1, A2, An.
• Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
Determinar las áreas de las partes, designarlas por
Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes
con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura
formada por todas las áreas parciales anteriores.

11. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que
serán paralelos a x e y). Designar como: para el área i-ésima.
Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema
del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y
Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los
momentos anteriores:

12. • Producto de inercia; ejes principales y momentos principales de inercia.
Ejes principales de inercia
Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un
cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una
base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica.
Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas
por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que
un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su
orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje
arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de
Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación.
El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe
a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento
angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos
alineados con una dirección principal:

13. Momentos de inercia principales
Si consideramos nuevamente una sección transversal plana Σ y la
parametrizamos mediante coordenadas rectangulares (x,y), entonces
podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según X o
según Y además del momento de inercia mediante:
Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia corresponiente a dicho eje. En general, un
cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se
corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.
Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se
puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el
sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a
sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que
tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que sólo tienen simetría axial, peonzas simétricas.

14. - Siendo Mx y My las componentes del momento flector total sobre
la sección Σ. Las unidades en el Sistema Internacional de Unidades
para el segundo momento de inercia son longitud a la cuarta
potencia, en la práctica la mayoría de secciones de uso en ingeniería
se dan en (cm 4). Si los ejes de referencia empleados no
necesariamente son ejes principales la expresión completa de la
tensión en cualquier punto genérico viene dada por:
Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy =
0, y en ese caso podemos escribir la tensión perpendicular
asociada a la flexión desviada simple del elemento estructural
sobre cada punto de la sección Σ estudiada como:

15. • Circulo de Mohr para momentos y productos de inercia:
- El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de
inercia, las deformaciones y los esfuerzos, inercia, deformaciones yesfuerzos, adaptando los
mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del
esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue
desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918 ). Para
sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr
que se usa para tensiones en dos dimensiones.
- En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que
se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizada entonces para obtener
este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las
fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para
momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos.
-El círculo de Mohr es una representación de las ecuaciones de transformación para momentos
y productos de inercia. Una de las ventajas del usar el círculo de Mohr es que da una
representación visual clara de cómo las propiedades inerciales varían con la orientación de los
ejes y otra es que, refiriéndose al círculo, se pueden obtener los valores numéricos sin tener
que memorizar las ecuaciones de transformación.

16. - Una vez conocidos los momentos de inercia respecto a unos ejes, así como el producto de
inercia (IOX, IOY y PXY) se elige un eje horizontal para momentos de inercia y un eje vertical para
productos de inercia.
- Suponiendo IOX>IOY se dibuja el punto A de coordenadas (IOX, PXY) y el punto B de
coordenadas (IOY, -PXY).
- Se une A con B y se dibuja un círculo de forma que la línea AB es el diámetro de ese círculo.
La línea AB se corta el eje horizontal en un punto
C que se encuentra del origen a una distancia:

17. - Se construye una circunferencia de radio R=CA.
- Los puntos de corte de la circunferencia con el eje horizontal
corresponden con los
momentos de inercia máximo y mínimo.

18. • Momento de inercia de planas delgadas:
El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la
figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén
contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos
perpendiculares entre sí.