GD_Matematica6paraArmar.pdf

PARA ARMAR
GUÍA PARA EL DOCENTE
• ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA: MARCO GENERAL.
• FUNDAMENTACIONES DIDÁCTICAS DE CADA EJE
DE CONTENIDOS.
• ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LOS PROBLEMAS.
• ACTIVIDADES EXTRA.
• ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS TIC.
Coordinación: Beatriz Ressia de Moreno
Lectura crítica: María Emilia Quaranta.
Autoría: María Teresita Chelle, Mariella Pontini,
Marcos Varettoni, Gloria Róbalo (propuestas TIC).
P17-100331-GD-MatematicaParaArmar6-interior.indd 1 1/15/18 3:41 PM

Editorial Puerto de Palos S.A., 2018
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.
Impreso en la Argentina / Printed in Argentina
ISBN 978-987-764-008-3
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto
Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (INADI) con los editores de textos.
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material, en cualquier formato o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros
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Primera edición.
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Matemática para armar 6 : guía para el docente / Beatriz Ressia de Moreno ...
[et al.]; coordinación general de Beatriz Ressia de Moreno. - 1a ed. - Boulogne:
Puerto de Palos, 2018.
208 p.; 22 x 28 cm.
ISBN 978-987-764-008-3
1. Matemática. 2. Guía del Docente. I. Ressia de Moreno, Beatriz II. Ressia de
Moreno, Beatriz, coord.
CDD 371.1
Gerente de ediciones
Daniel Arroyo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Coordinadora de proyecto
Beatriz Ressia de Moreno
Lectura crítica
María Emilia Quaranta
Autores
María Teresita Chelle
Mariella Pontini
Marcos Varettoni
Propuestas TIC: Gloria Róbalo
Correctora
María Eugenia Galván
Coordinadora del Departamento de Arte y Diseño
María Natalia Bellini
Diseño de tapa y maqueta
Departamento de Arte y Diseño
Armado y diagramación
Mariana Piuma
Ilustradores
Mariana Curros
Leonardo Frino
Pablo Zamboni
Personajes: Martín Melogno
Fotografías
Archivo Grupo Macmillan
123rf

ÍNDICE
Introducción 5
Algunas consideraciones sobre la resolución de problemas 6
Los problemas y la organización del grupo 8
Secuencias didácticas 8
Problemas que se resuelven por medio de la multiplicación 9
Problemas que se resuelven por medio de la división 9
La puesta en común de lo producido 11
Para revisar lo que hicimos hasta el momento 11
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de los problemas
realizado en esta etapa 12
ETAPA 1
Orientaciones para cada uno de los problemas destinados
al estudio de las operaciones en la etapa 1 14
Acerca de los enseñanza de las operaciones 14
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de las operaciones
al estudio de las fracciones en la etapa 1 28
Acerca de los conocimientos de las fracciones 28
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de las fracciones
al estudio de los decimales en la etapa 1 34
Acerca de los conocimientos de los decimales 34
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de los decimales
al estudio de la geometría en la etapa 1 40
Acerca de la enseñanza de la geometría en el segundo ciclo 40
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de la geometría
Problemas de sistematización y revisión 49
ETAPA 2
al estudio de la numeración en la etapa 2 52
Acerca de los conocimientos numéricos 52
Características específicas que asume la enseñanza del sistema de
numeración en el segundo ciclo y particularmente en sexto año 52
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de la numeración
al estudio de la medida en la etapa 2 79
Acerca de la enseñanza de la medida en el segundo ciclo 79
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de la medida
ETAPA 3

ETAPA 4
al estudio de la numeración en la etapa 4 124
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de la numeración
ETAPA 5
al estudio de la medida en la etapa 5 186
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de los cuadriláteros
y algunas medidas realizado en esta etapa 195
ACERCA DE LA ENSEÑANZA A TRAVÉS
DE LAS TIC 199
Geometría 200
Aritmética 204
BIBLIOGRAFÍA 207

5
INTRODUCCIÓN
Este material tiene la intención de colaborar con su práctica docente coti-
diana. Reconocemos la complejidad que adquiere dicha práctica al momento
de pensar la enseñanza: análisis de los objetos de enseñanza y de la complejidad
que supone su aprendizaje, elaboración de planificaciones, carpetas didácticas,
selección de actividades, anticipación de intervenciones posibles, interpretación
de lo que producen los niños y proyección de la enseñanza sobre la base de
esas interpretaciones, diseño de estrategias a utilizar con niños que no siguen el
ritmo de aprendizajes de la mayoría, diseño de modos de evaluar, etcétera. Por
este motivo, y buscando acompañar las decisiones que toman los colegas do-
centes, este libro ofrece diferentes tipos de recursos que esperamos sean de gran
utilidad en lo referente a planificación, desarrollo y evaluación de la enseñanza.
Estos recursos se sustentan en una concepción de enseñanza que considera a la
Matemática desde una perspectiva determinada, la misma la desarrollaremos
parcialmente en esta introducción y la profundizaremos en el análisis de cada
uno de los contenidos y los problemas que conforman el libro del alumno.
El segundo ciclo permitirá a los alumnos afianzar, profundizar y ampliar los
conocimientos logrados en el primer ciclo. Por un lado, se propondrán nuevos
problemas que posibiliten el uso de los conocimientos ya disponibles reinvir-
tiéndolos en una mayor variedad de problemas; por otro lado, se profundizará
el estudio sobre aquellos aspectos internos que hacen al funcionamiento de
estos conocimientos matemáticos.
Asimismo es un desafío del segundo ciclo propiciar el avance en los modos
de hacer y producir conocimiento de la matemática. Es decir, los alumnos po-
drán afianzar el dominio de ese quehacer: tomar decisiones acerca de qué hacer
para resolver, evocar, sintetizar, volver sobre el problema resuelto, reflexionar so-
bre lo hecho por él y por los compañeros, clasificar problemas visitados, producir
distintas representaciones, reconocer procedimientos, identificar el alcance de
esos procedimientos (si algo vale para un caso, para algunos casos o para todos
los casos), dar pruebas de la validez de lo producido, etcétera. Es posible que los
alumnos no hayan transitado un trabajo de esta naturaleza en el primer ciclo,
por lo que el segundo ciclo será una ocasión para introducirlos en este tipo de
actividad y construir una posición de abordaje y dominio frente a las situaciones.
La entrada en un tipo de racionalidad propia de esta disciplina es central en
este ciclo, y se “jugará” en cada uno de los grandes ejes de contenidos.
Sostenemos que en ciertas condiciones todos pueden aprender la matemá-
tica escolar. La idea central de este libro es analizar cómo, en ciertas condicio-
nes, la enseñanza de la matemática puede generar modos de hacer que permi-
ten la producción de conocimientos por parte de los alumnos. Esa es nuestra
intención, hacer aportes para que los docentes puedan crear esas condiciones.
Acompañarlos para encontrar posibles respuestas sobre cómo hacer para llegar
a más niños, cómo generar las mejores condiciones para que todos los alumnos
se apropien de un conjunto de conocimientos, de un tipo de prácticas y, a la
vez, que tengan una actitud de interés, desafío e inquietud por el conocimiento.
Para lograr esto, será necesario dotar a la clase de matemática no solo de
diferentes tipos de actividades que involucren los contenidos reconocidos en
tanto “títulos”: los números naturales, las operaciones, las figuras geométricas,
los números racionales, etcétera, sino incluir, como parte constitutiva de estos
conocimientos, los modos en que estos pueden ser elaborados, producidos y
fabricados por los alumnos. Estamos pensando en procesos que construyen
un entramado entre las ideas que van produciendo los niños y las intervencio-
nes docentes en relación con los objetos que se quieren enseñar. Porque con
esos mismos “títulos” se podrían desarrollar proyectos de enseñanza con ca-
racterísticas muy diferentes y, eventualmente, los aprendizajes de los alumnos
también resultarían distintos. ¿Por qué afirmamos esto? Desde la perspectiva
que adoptamos, hay muchas maneras de conocer un concepto matemático.
Estas dependen de todas las oportunidades que haya tenido un alumno de
interactuar con ese concepto. Un alumno aprenderá un contenido particu-
lar en función de que tenga numerosas oportunidades de resolver diferentes
problemas en los que ese conocimiento sea la herramienta de resolución y, en
igual medida, pueda reflexionar acerca de ello.
Es decir que el conjunto de prácticas que despliega un alumno a propó-
sito de un concepto matemático constituirá el sentido de ese concepto para
ese alumno. Si los proyectos de enseñanza propician prácticas diferentes, las
aproximaciones a los conocimientos matemáticos que tendrán los alumnos
también serán diferentes. Dicho de otro modo, las decisiones que los docentes
tomamos respecto de lo que se hará en el aula inciden en la experiencia de los
alumnos con la matemática. Las opciones en relación con diferentes enfoques
de enseñanza no son diferentes caminos para enseñar los mismos conocimien-

6
tos. Por el contrario, diferentes enseñanzas configuran distintos objetos de co-
nocimiento y, por lo tanto, posibilitan aprendizajes muy diversos.
Algunas consideraciones sobre la resolución de problemas
La resolución de problemas es una condición necesaria, pero no suficiente,
para aprender matemática. Las interacciones con el docente y los pares son
una condición más para que haya aprendizaje.
Al mismo tiempo, para aprender, es indispensable que los alumnos no re-
suelvan directamente, sin dificultad alguna, las tareas propuestas. Las dificul-
tades y los errores son inherentes a este proceso. No olvidemos que el punto
central para que haya aprendizaje es la existencia de la necesidad de un
nuevo conocimiento o la necesaria adaptación de un conocimiento anti-
guo cuando ya no es adecuado.
Por lo tanto, el problema planteado a los alumnos tiene más posibilidades
de generar nuevos conocimientos si es consistente, si se resiste, si los alumnos
tienen que reflexionar, pensar, anticipar, poner a punto estrategias, ensayar,
poner a prueba estos ensayos, y si, además, aporta información a los alumnos
sobre la validez de sus procedimientos.
El tiempo de búsqueda e incertidumbre es parte necesaria de la elabo-
ración de nuevos conocimientos desde una perspectiva de aprendizaje por
adaptación. Esto requiere aceptar que, inevitablemente, el éxito es diferido. Es
necesario que el maestro y los alumnos acepten que los conocimientos anti-
guos se discuten y son interrogados a la luz de lo que se acaba de aprender, que
“el edificio está en perpetua obra” y en consecuencia, que los logros estarán
diferidos en relación al momento de aprendizaje inicial.
Para llevar a cabo esta enseñanza, es necesario además, que el docente pro-
cure un clima de confianza en la clase para que los alumnos acepten buscar,
a veces fallar, recomenzar, y terminar así encontrando el interés, e incluso el
placer, de hacer matemática. También es necesaria una gestión de clase que
permita a cada uno de los alumnos enfrentarse realmente al problema y cons-
truir saberes sobre los diferentes contenidos de enseñanza.
En resumen, algunas intervenciones del docente que favorezcan la activi-
dad de producción de los alumnos, siempre articuladas con las ideas que mo-
vilizan los niños, podrían estar ligadas a:
• Aceptar mediar en la entrada a la resolución, intercambiando sobre lo que
comprenden de la situación y la idea que se hacen de lo que se trata de buscar.
• Ver y sostener a los alumnos en momentos de búsqueda sin darles las res-
puestas de cómo hacer para resolver el problema. A veces es necesario, sugerir
algún inicio de resolución para que algunos niños puedan entrar en la tarea.
• Observar el trabajo de cada uno para prever la manera de llevar adelante
y coordinar la puesta en común de los procedimientos y los resultados de los
alumnos.
• En esta puesta en común, organizar las intervenciones de los alumnos
para permitir a cada uno reconocer en su trabajo las diferencias o similitudes
con lo realizado por los otros. En todas las páginas incluimos la consigna: “Para
conversar y responder entre todos” o “Para resolver con un compañero”, para
facilitar que este trabajo se despliegue.
• Construir colectivamente el resumen correspondiente al trabajo efectua-
do durante cada clase (o de aquellas que el docente interprete como relevan-
tes), explicar, integrar las diferentes participaciones de los alumnos, introducir
información, etcétera. Al final de cada etapa, como herramienta de consulta y
estudio, en la sección “Para revisar lo que hicimos hasta el momento”.
Para que las situaciones que planteamos constituyan verdaderos problemas,
una condición es que les planteen a los alumnos algún desafío a los conocimien-
tos que ya tienen, alguna dificultad. ¿Cuál sería el obstáculo al que se enfrentaría
un alumno si los problemas que se le ofrecen son siempre los mismos? ¿Por qué
se implicaría en la búsqueda de nuevos modos de resolución si con lo que sabe
le alcanza? ¿Cómo podría decidir qué procedimiento utilizar si el maestro o la
consigna del libro le “dicta” lo que debe hacer? Que los alumnos resuelvan “como
puedan”, con los recursos que tengan disponibles, sobre los cuales podrán orga-
nizarse instancias que den lugar a reflexiones sobre lo realizado, permite trans-
formar paulatinamente las relaciones que se movilizaron en un comienzo.
Desde la actividad matemática que intentamos instalar en las aulas, se en-
tiende que los conocimientos matemáticos funcionan como instrumentos
frente a problemas, para dar lugar a posteriores reflexiones en torno a ellos,
permitiendo así nuevos conocimientos que a su vez constituirán instrumentos
para nuevos problemas.
El quehacer matemático involucra también determinar si son válidos los re-
sultados obtenidos y las conjeturas producidas. Es decir que se puede recurrir a
los conocimientos matemáticos para decidir si una afirmación, una relación o
un resultado son válidos y sobre qué condiciones. Es necesario entonces, acom-
pañar a los alumnos en un proceso que los lleve a involucrarse para determinar
la veracidad de una afirmación o la validez de una inferencia. Intentamos que
los alumnos puedan, progresivamente, “hacerse cargo” por sus propios medios,

7
y usando diferentes tipos de conocimientos matemáticos, de dar cuenta de la
veracidad o falsedad de los resultados que encuentran y de las relaciones que
establecen. Determinar bajo qué condiciones una conjetura es cierta o no, im-
plica analizar si aquello que se estableció como válido para algún caso particular
funciona para cualquier otro caso. Si la validez del uso de una conjetura será tal
para todos los casos, podrá elaborarse entonces una generalización. Otras veces,
la conjetura será válida solo para un conjunto de casos. Generalizar o determinar
el dominio de validez es parte también del trabajo matemático.
Un contexto, entre otros, en el que se puede desplegar la actividad mate-
mática es el juego.
Desde la perspectiva de la didáctica de la matemática, sin cuestionar el
valor general del juego en el desarrollo infantil, queremos discutir acerca del
eslogan “aprender jugando” introduciendo algunos interrogantes tales como:
¿es lo mismo jugar que aprender?, ¿siempre que se juega se aprende?, ¿se ense-
ña o se aprende mediante cualquier juego?, ¿se aprende jugando de cualquier
manera?, ¿se aprende solo jugando?, ¿qué contenidos de enseñanza se pueden
aprender jugando?
Resulta necesario realizar aquí una aclaración respecto del juego en la es-
cuela. Es necesario diferenciar el juego en sí mismo de las actividades de apren-
dizaje que los docentes proponen para que los niños construyan ciertos cono-
cimientos; actividades que pueden gozar de algunas de las características del
juego, pero que no son juego propiamente dicho.
Las actividades que son pensadas con finalidades educativas implican una
mirada acerca del juego como estrategia metodológica para la enseñanza de
ciertos contenidos específicos; mientras que el juego propiamente dicho re-
fiere a las actividades que suponen modos más libres y espontáneos en las
decisiones y acciones del jugador.
El hecho de que un docente incluya en su planificación situaciones de juego
para utilizarlas como medio para la enseñanza de un determinado contenido
implica anticipar tiempos de implementación, objetivos para el alcance de los
aprendizajes que se pretenden lograr, otras situaciones que funcionarían como
soporte para lograr los mismos objetivos, interacciones entre los alumnos y
el docente a propósito del juego, intervenciones posibles, organización de la
clase, modificaciones que se van a introducir en las reglas, etcétera. Con esas
condiciones, entendemos el juego en la clase como una herramienta que pue-
de constituirse en fuente de nuevos problemas, lo que favorece el desarrollo de
conocimientos matemáticos en los alumnos.
Podemos señalar algunas condiciones para que el juego constituya una fuen-
te de problemas matemáticos posibles de incluir en un recorrido de enseñanza1
:
• Tiene que integrarse en un proyecto de enseñanza a largo plazo, en el que
los juegos seleccionados formen parte de un campo de problemas más amplio,
vinculado a los contenidos de enseñanza.
• Mediante los juegos, los alumnos tienen que ser enfrentados a una ac-
tividad en la que tengan que tomar decisiones acerca de qué conocimientos
utilizar, para luego dar argumentos y pruebas, no solo deben reproducir indi-
caciones externas.
• Tienen que constituir un problema “resistente”. Si los alumnos disponen
de los conocimientos necesarios para resolver el juego desde la primera vez
que juegan, entonces la actividad no permitirá generar ningún conocimiento
nuevo, por ser suficientes los conocimientos ya existentes.
• En la gestión de la clase, el maestro tiene que instalar la reflexión acerca de
lo que hicieron, las discusiones y confrontaciones acerca de los diferentes pro-
cedimientos y pedir argumentaciones acerca de la validez de lo producido y,
por supuesto, sumar explicaciones sobre los aspectos matemáticos trabajados.
Es decir, se trata de juegos que plantean problemas que los jugadores deberán
abordar; para hacerlo, deberán utilizar los conocimientos que la escuela busca
transmitir. Por ejemplo, en la página 112 en el juego “Armar cantidades con res-
tricciones” les proponemos que compongan un número grande sin poder usar
algunas cantidades que se especifican. Para componer el número los alumnos
deberán poner en juego conocimientos que se sostienen en lo que saben sobre
la organización decimal y la posicionalidad del sistema de numeración. La restric-
ción acerca de usar algunos números decididos por el docente, obliga a reagrupar
la cantidad que corresponde a la cifra en cuestión con otras potencias de 10 y así
trabajar las equivalencias del sistema. Al detenerse en el análisis de las diferentes
maneras de descomponer un número que surjan en la clase y en las relaciones
que permiten establecer que son equivalentes, los alumnos tendrán que dar argu-
mentos acerca de por qué un mismo número se puede descomponer de maneras
diferentes y, sin embargo, no cambia. Habrá que jugar varias veces el mismo día o
endistintosdías,paraquelosniñostenganoportunidaddeproducirconocimien-
tos. En las sucesivas partidas podrán focalizar el análisis en aspectos diferentes.
Esta situación constituirá un problema que genere nuevos conocimientos
1. (Moreno, B. Aique 2013)

8
solo para quienes aún tengan dificultades para componer números utilizando
diferentes potencias de 10 e identificar las equivalencias del sistema; para quie-
nes los puedan resolver sin dificultad, no opondrá desafío alguno a sus cono-
cimientos, solo será una situación de repaso de lo ya aprendido. Resumiendo,
para que un juego genere nuevo conocimiento matemático tiene que cumplir
con dos condiciones: que planteen problemas que impliquen los conocimien-
tos que son objetos de enseñanza como recursos de solución y que efectiva-
mente sean problemas para los sujetos a los cuales van dirigidos.
“No basta con que los niños usen ciertos conocimientos, sino que se pro-
duzcan avances en relación con dichos conocimientos; tales avances son re-
sultado de un conjunto de interacciones que tienen lugar en las situaciones
de enseñanza: interacciones con los problemas que se plantean, con los pares
y con el docente. Entonces, tenemos condiciones del juego y condiciones de
las interacciones a propósito de ese juego para que pueda constituirse en una
situación de enseñanza y aprendizaje.” (Quaranta y Wolman, 2008)
Los problemas y la organización del grupo:
Al llevar adelante las situaciones del libro, deben decidir acerca de la orga-
nización del grupo en los diferentes momentos de trabajo: ¿individualmente?,
¿de a dos?, ¿en pequeños grupos?, ¿en grupos homogéneos o heterogéneos
desde el punto de vista de los conocimientos disponibles?, ¿con el grupo to-
tal?, etcétera. No es posible responder de manera general esta cuestión, ni hay
una única respuesta cada vez que el maestro tiene que tomar una decisión al
respecto. Un docente puede querer generar una interacción en el momento de
la resolución y organizar la actividad en parejas para provocar ese intercambio
sin que se diluyan las responsabilidades individuales, como puede suceder a
veces en grupos grandes; otras veces, se puede dar lugar a esa interacción en
grupos de cuatro alumnos; otras, puede buscar que cada alumno interactúe
solo con el problema, para tener un primer acercamiento personal antes de in-
teractuar con otros o porque el docente necesita obtener información acerca
del proceso de aprendizaje de cada uno. También habrá oportunidades en que
decida que algunos alumnos para quienes el problema resulta muy complejo,
trabajen con un compañero de similar nivel de conocimiento para que juntos
puedan construir alguna estrategia de resolución.
En síntesis, cuál es la modalidad de organización de la clase más fructífera
será un aspecto a analizar y decidir previamente de acuerdo con lo que se per-
sigue en cada momento. También hay que ir observando cómo funciona para
ajustar decisiones sobre la marcha de ser necesario. Lo que debería guiar esas
decisiones son las condiciones en las que mejor produce conocimientos ese
grupo y al mismo tiempo, cada uno de los alumnos.
Son numerosas las instancias de trabajo matemático en las aulas en las que
los niños se benefician de los intercambios con sus compañeros: en la apro-
piación de la finalidad de una tarea; en la co-resolución de un problema, en
la discusión de estrategias erradas o no; en la comunicación y defensa de la
propia resolución; en la confrontación de diferentes respuestas o estrategias y
el análisis de dichas diferencias; en la consideración del punto de vista del otro
(al tratar de comprender sus estrategias o sus respuestas), etcétera.
En la confrontación con el pensamiento de otros, cobra sentido la explici-
tación y validación de la propia producción y se hace posible tomar conciencia
de ciertos aspectos, acceder a nuevas relaciones consideradas en las produc-
ciones de los otros o en el análisis y la identificación de los errores, conocimien-
tos y procedimientos.
Secuencias didácticas:
Todo conocimiento nuevo se construye apoyándose sobre los conocimien-
tos previos, a los que al mismo tiempo modifica. En la interacción que un alum-
no despliega con la situación de enseñanza, debería poder entonces utilizar sus
conocimientos anteriores, someterlos a revisión, modificarlos, rechazarlos o
completarlos, redefinirlos, descubrir nuevos contextos de utilización y de esa
manera construir nuevas concepciones.
Por eso, no basta con proponer una o algunas actividades recortadas y ais-
ladas para abordar un contenido, sino que es necesario planificar secuencias
de trabajo que contemplen un tiempo de elaboración, de uso de un mismo
contenido en diferentes problemas que apelen a un aspecto del sentido del
concepto y también, a lo largo del tiempo, que apelen a los diferentes aspectos
de dicho concepto. Por ejemplo, en el campo de los problemas multiplicativos
hay una gran diversidad de sentidos. El campo multiplicativo, abarca el con-
junto de problemas que requieren apelar a la multiplicación o a la división para
ser resueltos, las diversas estrategias de solución pertinentes frente a dichas
situaciones, las relaciones y propiedades involucradas en el uso de estas ope-
raciones y las escrituras aritméticas asociadas. Como puede suponerse a partir
de la diversidad y complejidad de los asuntos que involucra, el conjunto de
conocimientos que constituyen el campo multiplicativo se adquiere a lo largo
de toda la escolaridad primaria y debe ser retomado por la escuela secundaria.

9
Gérard Vergnaud (1982)2
ha desarrollado un análisis de los problemas mul-
tiplicativos que brinda una clasificación de estos problemas basada en las rela-
ciones aritméticas y los razonamientos que involucra su solución. Es decir, esta
clasificación articula aspectos matemáticos y psicológicos. Presenta asimismo
el valor de mostrar las relaciones entre ambas operaciones, la multiplicación y
la división. Otro aporte central de Vergnaud consiste en haber puesto en evi-
dencia el diferente nivel de complejidad que las distintas clases de situaciones
suponen para los niños.
Problemas que se resuelven por medio de la multiplicación3
Cada uno de estos tipos de problemas constituye un sentido de la multi-
plicación:
a. Problemas de proporcionalidad
Como veremos en las propuestas didácticas, la presentación de problemas de
proporcionalidad simple en el formato de tablas permite relacionar varios pares
de valores, no solo dos, como sucede en la mayoría de los problemas de enuncia-
do, y permite mayores posibilidades de recurrir a una diversidad de procedimien-
tosyanalizarcontodalaclaselasdiferentesrelacionesinvolucradas.Poreso,entre
la diversidad de formas en que se presentan los problemas multiplicativos a los
alumnos, las tablas de proporcionalidad tienen un lugar privilegiado. Por ejemplo,
Cantidad de
cuadernos
1 2 5 8 10 15 30
Precio a
pagar (en $)
60 660 1020
b. Problemas de organizaciones rectangulares
Son problemas que remiten a una colección de objetos ordenados en filas
y columnas o en una disposición rectangular. Por ejemplo: “Tomás tiene que
cambiar la cerámica de un sector de la cocina, que es un rectángulo de 5 filas
de 8 piezas cada una. ¿Cuántas piezas tiene que cambiar?”
c. Problemas de combinatoria
Por ejemplo: “Jacinta tiene cinco remeras y tres pantalones diferentes.
Combinándolos a todos entre sí, ¿cuántos conjuntos de pantalón y remera
puede formar?”
2. Vergnaud, Gérard (1983): L´enfant, la mathématique et la realité. Berne: Peter Lang.
3. En el apartado correspondiente a “Operaciones” encontrarán un mayor detalle acerca
de cada uno de estos problemas.
Problemas que se resuelven por medio de la división
Cada uno de estos tipos de problemas constituye un sentido de la división.
Entre los diferentes problemas que remiten a la búsqueda de cociente y resto
(o a la relación D = d . q + r, con 0 r d), podemos distinguir:
a. Problemas de repartos
En los que se trata de buscar la cantidad correspondiente a cada parte. Por
ejemplo: “se quieren repartir 25 figuritas entre 4 chicos dando la misma canti-
dad a cada uno. ¿Cuántas figuritas le tocan a cada uno?” o “se quieren repartir
25 figuritas entre un grupo de chicos, dándole 6 figuritas a cada chico. ¿Para
cuántos chicos alcanza?”.
Entre los problemas que ofrecen como dato el valor de cada parte, ubica-
mos aquellos en lo que hay que “encontrar cuántas veces entra un número
adentro de otro”, aunque los contextos en los que se presentan no den cuenta
“inmediatamente” de esta relación. Por ejemplo: “estoy en el número 238. Doy
saltos para atrás de 12 en 12. ¿Cuál es el número más cercano al 0 al que puedo
llegar?”. Este problema, como veremos debajo, se podría ubicar también entre
aquellos que ponen en juego un análisis de la relación entre dividendo, divisor,
cociente y resto. En nuestro ejemplo en particular, se pregunta solo por el resto.
b. Problemas de organizaciones rectangulares
Por ejemplo: “tengo 176 baldosas para armar un patio rectangular. Si pongo
30 baldosas en cada fila, ¿cuántas filas puedo armar? ¿Cuántas baldosas sobran?”.
c. Problemas que involucren un análisis de la relación D = d . q + r, sien-
do r mayor o igual que 0 y menor que d. Por ejemplo:
- ¿Cuál es el número que, al dividirlo por 17, el cociente es 12 y el resto, 10?
- ¿Cuál es el número o los números que, al dividirlos por 14, el cociente es 11?
- Buscar cuentas de dividir que tengan como cociente 16 y resto 1.
Estos problemas requieren reflexionar sobre las relaciones entre dividendo,
divisor, cociente y resto; acerca de las condiciones que debe cumplir la división
entera. Cada uno de esos problemas, que pueden ser de complejidad muy di-
ferente, requiere profundizar un análisis de la cantidad de soluciones posibles.
e. Problemas de proporcionalidad
Como podrá observarse, según el lugar en el cual recaiga la incógnita, nos en-
contramos con un problema de multiplicación o de división, y las mismas estra-
tegias puedan ser desplegadas para resolverlos. En efecto, en esta tabla casi to-
dos los casilleros corresponden a multiplicaciones; dos casilleros ($660 y $1020)
corresponden a divisiones, porque requieren buscar la cantidad de cuadernos
que se pueden comprar con esa cantidad de dinero. Si se hubiera dado el valor

10
correspondiente a otra cantidad de cuadernos (como 5 cuadernos, $300) y el
valor unitario como incógnita, se convierte en un problema de división distinto.
Cantidad de
cuadernos
1 2 5 8 10 15 30
Precio a pagar
(en $)
300 660 1020
En sexto año entonces, se presentan problemas que remitan a diferentes
significados de la multiplicación y la división: proporcionalidad simple, orga-
nizaciones rectangulares, combinatoria; reparto, iteraciones. También se pro-
ponen problemas más complejos, que exigen una combinación de diferentes
operaciones y una organización de los datos y una interpretación de los resul-
tados parciales, incluyendo problemas que requieran el análisis del resto.
Los problemas incluidos más abajo se resuelven todos haciendo la mis-
ma cuenta. Les pedimos que determinen en cada caso:
a. ¿Cuál es la respuesta al problema? ¿En qué incide el valor del
resto?
b. ¿Qué tipo de relaciones plantea cada uno?
Problemas:
1. Hay que trasladar 61 personas en autos. Si en cada auto pueden
viajar 6 personas, ¿cuántos autos se necesitan?
2. Tengo 61 chocolates para repartir entre 6 chicos. ¿Cuánto chocolate
le toca a cada uno si lo reparto todo y en partes iguales?
3. ¿Cuántos dígitos tendrá el resultado de hacer 61 : 6 con la
calculadora? ¿Y si se hiciera la cuenta con lápiz y papel?
4. Hay que repartir 61 rosas en 6 ramos iguales. ¿Cuántas rosas
habrá en cada ramo?
5. Hay que ubicar 61 rosas en ramos de a 6. ¿Cuántos ramos se
podrán formar?
6. Hay que distribuir $61 entre 6 personas. ¿Cuánta plata le darán a
cada uno si se reparte todo y en partes iguales?
7. De una varilla de 61 m se hicieron 6 pedazos de la misma longitud.
¿Cuánto mide cada pedazo?
8. De una varilla de 61 m, ¿cuántos pedazos de 6 m se pueden cortar?
Como habrán podido observar, las respuestas varían según:
• el resto sea entero o no;
• haya que reinterpretar el cociente en función del problema para elaborar
la respuesta como en el caso del problema 1;
• haya que bajar decimales y en ese caso cuántos (hasta dos si es dinero,
hasta 3 si son longitudes);
• cuál será el valor del resto cuando en el cociente hay decimales (el resto 4,
en el problema de dinero, equivale a centésimos; en el problema de longitudes,
a milésimos; en el problema de chocolate a
4
—
6 ); etcétera.
El tema del resto es otro de los aspectos en los que habrá que detenerse a lo
largo del libro. En general, en las prácticas más comunes de enseñanza, el resto
de la división no se tiene demasiado en cuenta. No se dan problemas en los
que la respuesta esté vinculada al valor del resto sino al del cociente (como los
de iteración, por ejemplo), se prefieren problemas cuyo resto es igual a cero, o
no se pide la explicitación en la respuesta acerca del valor del resto y su signi-
ficado cuando, en realidad, la división entera es una operación que arroja dos
números como resultado: cociente y resto.
En las otras operaciones (suma, resta y multiplicación) con números natu-
rales, el resultado de un problema es siempre el que se obtiene a través de la
técnica de cálculo que se utilice. La división, en cambio, es la única operación
cuya respuesta depende del contexto al que se refiera el problema. Esto abre
dos cuestiones didácticas muy importantes. Por un lado, la condición necesa-
ria de enseñar mediante problemas y, al mismo tiempo, como esto no es sufi-
ciente. Es decir, sin problemas no hay posibilidad de descubrir este aspecto de
la división. Si solo se hace la enseñanza del algoritmo, por más que los alumnos
hagan muchas cuentas, los valores hallados son solo números y, por lo tanto,
no hay necesidad de analizar si el resto hay que dejarlo entero, fraccionarlo,
modificar el cociente, etcétera. La otra cuestión es que si no media la intencio-
nalidad del docente de que sus alumnos descubran este aspecto de la división,
no planteará situaciones que los enfrenten a tomar ese tipo de decisiones y
validarlas, y por lo tanto, no se apropiarán de este conocimiento.
Esto hace que el dominio de la división sea aún más complejo y que, por
lo tanto, requiera de un trabajo sostenido a lo largo de todo el segundo ciclo.
En este sentido, afirmamos que proponer una o algunas actividades recor-
tadas y aisladas para abordar este contenido no permitiría a los alumnos iden-
tificar su alcance, es decir, determinar cuál es el campo de utilización (dominio
de validez), qué tipo de problemas que apelan a diferentes aspectos del senti-
do de este concepto permiten resolver, la pertinencia o no de ser utilizado en
otras situaciones y en otros dominios.
También, la enseñanza de conceptos a través de actividades sueltas, aisladas

11
entre sí, dificulta el establecimiento de relaciones entre lo que ya se sabe y lo
nuevo por aprender, y genera conocimientos a modo de compartimentos es-
tancos, desvinculados entre sí, que luego no se encuentran disponibles cuando
se los necesita porque los alumnos desconocen sus vinculaciones.
Las secuencias didácticas apuntan al entrelazamiento de las propuestas,
de modo tal que cada momento del trabajo constituye un punto de apoyo
para el siguiente y este, a su vez, retoma y avanza, en algún sentido, sobre el
anterior traccionando y acompañando un proceso de transformación y avance
de los conocimientos de los alumnos.
Las secuencias están diseñadas de manera que permiten desarrollar un
contenido específico, incluyendo para eso varios tipos de problemas vincula-
dos a él, que contemplan diferentes grados de dificultad.
Por estas razones, a lo largo del desarrollo de las cinco etapas de trabajo, ob-
servarán que se retoman los problemas vinculados a los diferentes contenidos
contemplando la diversidad de sentidos.
En la elaboración de dichas secuencias tuvimos en cuenta:
• el contenido de enseñanza que se espera que aprendan los alumnos;
• la relación entre los problemas que la integran: qué aporta cada problema
nuevo a los anteriores;
• el alcance de los nuevos conocimientos que podrían adquirir mediante las
nuevas relaciones que se ponen en juego;
• las instancias de sistematización, que permiten a los niños, por una parte,
analizar el trabajo realizado y, por otra, elaborar algunos cierres que, aunque
parciales, permiten identificar y registrar los nuevos conocimientos adquiridos
y practicar aquello nuevo identificado. Las páginas que denominamos “Para
revisar lo que hicimos hasta el momento” persiguen esta intencionalidad.
La puesta en común sobre lo producido
En las interacciones que se propicien en el aula, a raíz de la resolución y el
análisis de diferentes problemas, se promoverá que los alumnos expliciten las
ideas que van elaborando (las respuestas que encuentren, las relaciones que
establezcan, etcétera) aun cuando no sea claro para ellos, desde el principio, si
son del todo verdaderas. Estas ideas y las respuestas provisorias que producen
los niños son conjeturas o hipótesis que, para que dejen de serlo y se constitu-
yan en conocimientos, demandarán tiempo de trabajo.
Mediante las consignas que figuran en cada página: “Para conversar y res-
ponder entre todos” y “Para resolver con un compañero” proponemos que se
organicen instancias de análisis colectivo en las que circulen conocimientos, se
expliciten y se analicen relaciones.
Diferentes interacciones tienen lugar en el aula:
• Del alumno con el problema. No se trata solo de resolver de manera au-
tónoma un problema sino que es necesario reflexionar acerca de lo realizado y
sobre los procedimientos empleados; discutir sobre la validez de los caminos
seguidos propios y ajenos y sobre la manera de registrarlos.
• Del alumno con el docente. Para que la reflexión tenga sentido es necesa-
rio que exista cierta incertidumbre, no solo acerca de cómo hallar la respues-
ta, sino acerca de su validez. Sostener la incertidumbre de los alumnos, tanto
mientras resuelven como cuando reflexionan, es una de las tareas del docente.
La neutralidad provisoria del docente es la que habilita a los alumnos a argu-
mentar, a defender sus ideas y procedimientos (Quaranta y Wolman, 2003)
¿Quién se animaría a sostener un pensamiento, si el maestro manifiesta que
es errado? ¿Quién argumentaría a favor de su estrategia, si el maestro ya con-
validó el procedimiento diferente que hizo un compañero? ¿Quién asumiría
la necesidad de buscar la validez de una conclusión, si ya fue convalidada de
entrada? El docente es el mediador entre el conocimiento y los alumnos y, para
eso, puede remitir a la información disponible en el libro y en la clase, y hacer
al mismo tiempo una previsión de respuestas posibles de los chicos para anti-
cipar algunas de sus intervenciones y enriquecer la interpretación de las pro-
ducciones de los alumnos en la clase y actuar en diálogo con ellas, tolerando
los errores, las ideas provisorias e inestables, es decir, el proceso que requiere la
construcción de ese conocimiento.
• De los alumnos entre sí. La actividad matemática requiere resolver y co-
municar procedimientos e ideas. Al mismo tiempo, es necesario tratar de com-
prender lo que el otro comunica y argumentar el propio punto de vista y las
diferencias con el pensamiento del otro.
La actividad en la clase, entonces, se caracteriza por intercambios muy fre-
cuentes y diversos, determinados por las consignas del libro y que da el docen-
te, lo cual fomenta las discusiones que sirvan a sus intereses didácticos.
Para revisar lo que hicimos hasta el momento
Las páginas “Para revisar lo que hicimos hasta el momento” tratan de ayudar
a los alumnos a hacer explícito aquello que pudo quedar implícito en la puesta
en común y sirven para que todos las tomen como objeto de estudio acordado.
Recuperar los puntos esenciales de un recorrido ya transitado, y asumir una pers-

12
pectiva más general que la del momento en que estaban inmersos en ese asunto,
brinda nuevas oportunidades de atraparlos y de construir nuevas relaciones entre
esos conocimientos, integrándolos. Ya mencionamos que un aspecto esencial de
la enseñanza es aceptar que se aprende en la medida en que se pueda interactuar
con ese conocimiento. Intentamos que los libros y los cuadernos se constituyan,
de algún modo, en un apoyo, en un aporte para la memoria didáctica, en el regis-
tro del orden cronológico de las producciones de los alumnos.
Estas páginas persiguen varios objetivos:
• Por un lado, funcionan como soporte para estudiar. Las actividades mate-
máticas de esta sección requieren volver hacia atrás, revisar los problemas ya
realizados, analizar los errores propios y ajenos, identificar qué tipos de proble-
mas se pueden resolver y cuáles no con determinada herramienta, qué tipo de
representaciones resultan más eficaces según las situaciones, qué relaciones
existen entre las diferentes escrituras, elaborar conclusiones a partir de todo lo
realizado, comunicarlas, etcétera.
• Por otro lado, son una estrategia para acompañar las trayectorias de al-
gunos alumnos que requieren mayor cantidad de interacciones con el mismo
objeto para poder aprenderlo. Para eso, se podrá indicar como tarea domici-
liaria que revisen, analicen, prueben, verifiquen lo que quedó registrado como
producto del trabajo de toda la clase en esa etapa4
.
•Porsupuesto,losalumnospuedenbuscarenloaprendidolasherramientas
para resolver nuevas situaciones. Frente a problemas más complejos, muchas
veces es necesario evocar5
conocimientos ya construidos para descubrir que
también son herramientas válidas en estos nuevos contextos de utilización.
“¿Se acuerdan lo que hicieron el otro día para resolver el problema X? Fíjense si
es posible utilizar lo mismo para resolver este problema” es una intervención
posible para plantear a aquellos alumnos que se encuentren detenidos en la
clase sin poder resolver algo.
• Para favorecer la reorganización y el establecimiento de relaciones entre
4. Esta es una práctica que es necesario enseñar, los chicos no lo saben hacer solos o
simplemente porque se lo indiquemos como consigna, requiere que muchas veces se
haga acompañándolos en su realización.
5. “Se trata de evocar acciones sin realizarlas. Intentando decir colectivamente lo que
sucedió, qué problemas fueron tratados, qué se estudió, qué tareas y actividades se
propusieron y realizaron, los/as alumnos/as son llevados a repensar los problemas y
procedimientos de resolución utilizados” (DGCyE, 2009: 3).
conceptos aprendidos. Reordenar y sistematizar genera nuevas relaciones,
nuevos problemas y permite producir otros modelos matemáticos.
• Al mismo tiempo, estas páginas funcionan como fuente de información para
que ustedes puedan hacer una evaluación permanente del proceso de aprendiza-
je. La elaboración por parte de los alumnos de las conclusiones solicitadas es un
registro valioso que da cuenta del avance producido tanto en la apropiación de
los contenidos como en sus modos de representación, de los errores cometidos,
de las argumentaciones incompletas, etcétera. Proponemos que se instale como
una de las reglas del trabajo matemático la práctica de escribir o dictar al docente
acuerdos, de señalar un problema que haya resultado particularmente difícil e
indicar por qué, de dejar explicitadas las razones por las que algo que era difícil
ahora resulta fácil, de redactar un consejo para no equivocarse en determinado
tema, de escribir una pregunta que por el momento no puede responderse y so-
bre la que se volverá más adelante, de hacer una lista de las cosas que aprendieron
y para eso revisar en las páginas del libro lo trabajado sobre algún contenido, et-
cétera. Justamente, estas notaciones, al permitir la permanencia de ciertas repre-
sentaciones, resoluciones, argumentaciones, etcétera, funcionan como una guía
acerca de las cuestiones sobre las cuales volver, revisar, reencontrar, corregir.
Estas reglas de trabajo respetan una de las condiciones para lograr los pro-
pósitos enunciados; aceptar el hecho de que los aprendizajes son siempre a
largo plazo. Partimos de que el aprendizaje no es un proceso lineal ni sigue los
mismos tiempos para todos los alumnos. En sus primeras aproximaciones, los
niños no son expertos y necesitan tomar contacto con contenidos más de una
vez para poder apropiárselos con sentido.
Otros problemas que permiten ampliar el estudio de los
contenidos realizados en esta etapa
En este apartado, que se encuentra luego de los problemas de cada eje en
cada una de las etapas, intentamos colaborar con la tarea ofreciéndoles situacio-
nes extras a las del libro. Podrán incluirlas o no, en función del análisis que hagan
en sus grupos acerca del alcance de los problemas planteados. Pueden hacerles
modificaciones si consideran que resultan insuficientes, fáciles, difíciles, etcétera.
La incorporación de otros problemas puede tener diferentes propósitos:
• contar con más y variados problemas que permitan atender la diversidad
de la clase;
• continuar con el trabajo que se ha realizado mediante las páginas del libro
con problemas del mismo tipo, en el caso que el docente considere que nece-

13
sita sostener ese trabajo más tiempo en el aula;
• dar tarea domiciliaria a todos o solo a algunos alumnos que necesiten más
oportunidades para aprender esos contenidos;
• para que resuelvan algunos alumnos, que trabajan en clase muy rápida-
mente y terminan antes que la mayoría;
• para ser incluidos en una evaluación, etcétera.
Intentamos producir “redes” de conocimiento que faciliten y permitan
apoyarse en lo que se sabe para descubrir y construir lo que no se sabe.
Por eso, creemos que para atender varias “cronologías de aprendizaje”6
, una
de las propiedades que tienen que tener algunos de los temas que proponga-
mos, es que permitan distintos niveles de aprendizaje. Esto requiere, entonces,
de una clara toma de conciencia de los diferentes niveles de profundización que
cada tema puede tener, lo que permite decidir posibles recortes del contenido.
Las variables didácticas son aquellos aspectos de la situación sobre los cua-
les el docente, desde su intencionalidad, puede introducir modificaciones para
lograr cambios en las producciones de los alumnos y en los conocimientos
puestos en juego; es decir, aquellos elementos cuyo cambio modifica las rela-
ciones matemáticas que el alumno realiza para abordar el problema.
Las modificaciones que ustedes implementen pueden recaer sobre los núme-
ros involucrados en el problema, y hacerlos más amigables a los recursos de cál-
culo que tienen algunos alumnos. También se puede modificar la organización
del grupo para generar contextos de resolución más adaptados a las necesida-
des de algunos. Por ejemplo, se les puede pedir a dos alumnos que manifiestan
no comprender el problema que trabajen juntos. Otro aspecto que modifica la
complejidad de los problemas, es el medio didáctico. No es lo mismo resolver un
problema que relata en un enunciado una situación particular, que un problema
cuyos datos figuran en un cuadro de doble entrada o en un gráfico estadístico…
Estas y otras opciones serán detalladas a propósito del análisis de los pro-
blemas correspondientes a cada contenido de enseñanza que figuran en las
páginas de cada etapa.
Un requerimiento didáctico importante es que esos nuevos problemas ofreci-
dos estén relacionados con los anteriores. “Analicen si estos problemas se parecen
o no a los de la página X” o “hicimos esto, ¿se acuerdan que veníamos de esto?”,
6. Mg. Flavia Terigi. Conferencia: “Las cronologías de aprendizaje: un concepto para pensar
las trayectorias escolares” 23 de febrero de 2010. Cine Don Bosco -Santa Rosa- La Pampa
son frases que reconstruyen experiencias compartidas, que se suman a todo lo
que el docente haga para llevarlos de diferentes maneras a establecer lazos entre
lo de ahora y lo que ya hicieron o ya saben. Ese momento de evocación permite
que los chicos le den conexión y sentido a lo que de otro modo corre el peligro
de tener conexión y sentido solo en nuestra planificación. ¿Qué tiene que ver lo
que hicimos antes con lo que haremos ahora con lo que vamos a hacer después?
Por otra parte, esas intervenciones funcionan como fuertes mecanismos de
protección contra la discontinuidad en que quedan sumidas algunas cronolo-
gías de aprendizaje debido a reiteradas inasistencias a clase, por ejemplo.
Estas situaciones, como las que ofrecemos al final de cada etapa para el
estudio y la retención de los conocimientos matemáticos (Para revisar lo que
hicimos hasta el momento) buscan ser un recurso para que el docente plantee
condiciones para:
• orientar a los alumnos en relación con los distintos temas que se tratan;
• especificar aquello que se pretende que aprendan;
• explicitar lo nuevo de un cierto lapso de trabajo;
• llevar a los alumnos hacia otros momentos en los que se trabajó el mismo
tema u otros relacionados para establecer vinculaciones;
• destacar los aspectos centrales y sistematizar conceptos que son impor-
tantes retener.
Esto implica, desde el lugar del docente, tolerar errores y al mismo tiempo
intentar interpretarlos para considerar los conocimientos subyacentes y bus-
car transformarlos en intentos más o menos exitosos, pero sobre todo, renun-
ciar a la ilusión de un grupo homogéneo, en el que todos resuelvan de la misma
manera y aprendan lo mismo al mismo tiempo.
Desde nuestra perspectiva de enseñanza y de aprendizaje reconocemos
que no todos los alumnos aprenden al mismo tiempo, más allá que la enseñan-
za impartida sea la misma. Y también consideramos que es necesario contem-
plar los ritmos individuales de los alumnos atendiendo, además, a sus puntos
de partida. Esto nos lleva a la necesidad de reconocer diferentes indicado-
res de logro, que den cuenta de distintos estados de saber, y que permitan
a los alumnos comprender cómo tienen que avanzar, a qué distancia están
de las expectativas de logro. Por esta razón, incluimos en las páginas del libro
distintos procedimientos de resolución que informan de diferentes niveles de
conocimiento por parte de sus autores. De este modo, la diversidad con toda
la complejidad que le reconocemos, aparece como propia del quehacer, como
parte de las condiciones del trabajo matemático que nos proponemos.

14
Etapa
1 dados, por ejemplo: “Sabiendo que 3.456 + 2.313 = 5.769, resolvé estos cálculos:
4.456 + 3.313 = 3.466 + 2.323 = 3.457 + 2.312 =”
A partir de los diferentes procedimientos que empleen los chicos, el docente
podrá propiciar su explicitación y brindar la información acerca de las propie-
dades que se pusieron en juego. Es decir, el estudio de las propiedades de las
operaciones se introduce a partir de cálculos en los que se propicia su resolución
mediante diferentes composiciones y descomposiciones (se propiciará el estu-
dio de las propiedades de la suma, y también qué sucede con ellas en la resta).
Otros problemas apuntarán a estimar resultados, por ejemplo: “el resultado
de 50.322 + 50.005, ¿es mayor o menor que 100.000?”. El cálculo estimativo es
una herramienta indispensable para resolver problemas y también posibilita
verificar la pertinencia del resultado obtenido.
En cuanto a la multiplicación y la división, se propone continuar el trabajo con
problemas que involucran relaciones de proporcionalidad directa: “Si en una caja
hay 125 cuadernos, ¿cuántos cuadernos hay en 26 cajas?” o “En 45 cajas hay 1.080
alfajores. ¿Cuántos alfajores hay en cada caja si todas traen la misma cantidad?”.
Otras de las situaciones corresponden a los problemas que involucran distri-
buciones, ya sea repartos (por ejemplo: “A un club llegaron 1652 banderines y
quieren repartirlos entre los 75 jugadores de tal manera que todos reciban la mis-
ma cantidad. ¿Cuántos banderines recibe cada uno?), o particiones (por ejemplo:
“A un club llegaron 1652 banderines para repartir entre los jugadores de tal mane-
ra que todos reciban la misma cantidad. Si entregaron 75 banderines a cada uno,
¿cuántos son los jugadores?”). También problemas que requieren tener en cuenta
el resto de la división para responder, por ejemplo: “Una combi puede transportar
hasta21pasajeros.¿Cuántascombissenecesitanparatransportarunadelegación
de 175 pasajeros?”. En este sentido, se pueden proponer problemas que ponen en
juego las relaciones entre los elementos de la división (dividendo, divisor, cociente
y resto), por ejemplo: “Marianela le dio 45 figuritas a cada uno de sus 18 amigos
y se quedó con 3. ¿Cuántas figuritas tenía?”. También problemas que refieren ex-
plícitamente al funcionamiento interno de la división, por ejemplo: “Escribí una
cuenta de dividir cuyo divisor sea 6 y el cociente sea 12. ¿Cuántas cuentas se pue-
den escribir con esas condiciones?”. Es probable que los alumnos inicialmente ex-
ploren las posibles cuentas que pueden escribirse y a partir del trabajo que se pro-
picie en la clase reconozcan las relaciones que se establecen entre los elementos
Acerca de la enseñanza de las operaciones
En sexto año se propone continuar el estudio de los objetos matemáticos y
problemas que se han visitado en los años anteriores promoviendo un abordaje
cada vez más sistemático y vinculado al funcionamiento interno de los mismos
(estudiar definiciones, propiedades, regularidades, relaciones, etcétera). Se in-
troducen también problemas que refieren a nuevos sentidos, requieren varios
pasos u operaciones o incluyen información presentada de diferentes maneras.
Con respecto a la suma y a la resta, se proponen problemas que involucran
sentidos más complejos de estas operaciones, por ejemplo, aquellos que re-
quieren averiguar la transformación o el estado inicial de colecciones que se
han transformado (por ejemplo, “Un supermercado recibió 3.456 botellas de
gaseosa, luego recibió otras 2.545. Ahora hay 12.221 botellas. ¿Cuántas había
antes de recibir ambos envíos?”). Se proponen también problemas que invo-
lucran varios cambios, pero requieren pensar en esas transformaciones inde-
pendientemente de las cantidades iniciales, finales o intermedias, por ejemplo:
“El precio de una moto aumentó $2.345 en un año y $1.015 en el siguiente; por
falta de ventas en el tercer año bajó $1.895 y en el cuarto año descendió otros
$1.125. ¿Vale más o menos que hace cuatro años?”.
Junto a estos problemas se propone continuar el estudio de diferentes estra-
tegias de cálculo exacto y aproximado de sumas y restas. La intención es que los
alumnos puedan seleccionar el procedimiento más pertinente en función de los
números involucrados (acudir a un repertorio memorizado, realizar un cálculo
mental, estimar, aplicar un algoritmo, usar la calculadora, etcétera). Además, la
articulación entre estos diferentes recursos permite que cada uno pueda estar al
serviciodelotroparasucomprensiónycontrol,alavezquepropiciaqueseidenti-
fiquen nuevas relaciones entre los números, las propiedades del sistema de nume-
ración y las operaciones. El trabajo con las estrategias de cálculo podrá recuperar
los repertorios de sumas y restas que pueden haberse estudiado en años anterio-
res (por ejemplo: sumas y restas que den 1.000, sumas y restas que den 10.000, su-
mas y restas de múltiplos de 1.000, de 10.000, etcétera). También podrán trabajar
cálculos que promuevan realizar diferentes descomposiciones, por ejemplo:
“¿Cuáles de estos cálculos dan el mismo resultado que 2.035 + 4.004?
2.000+300+5+4.000+4 2.000+30+5+4.000+4 2.000+4.000+30+5+4”
O pueden ser problemas que requieran resolver cálculos usando resultados
ORIENTACIONES PARA CADA UNO DE LOS PROBLEMAS DESTINADOS
AL ESTUDIO DE LAS OPERACIONES EN LA ETAPA 1
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15
Etapa
1
36 chocolates y 24 caramelos. Los quiere guardar en bolsitas, sin mezclarlos, de
tal manera que en cada bolsita le quede la misma cantidad de golosinas. ¿Cómo
puede hacer?”. La solicitud de obtener coincidencias (por ejemplo: “Martín da
saltos en una pista de 3 en 3 casilleros y Julieta lo hace dando saltos de a 5. ¿Cuál
es el primer casillero en el que caen ambos?”), o subgrupos cuya cantidad de
elementos sea la misma (por ejemplo, en el problema de las golosinas: “¿Cuán-
tas golosinas pondrá en cada bolsa si desea que la cantidad de chocolates sea
la misma que la de caramelos?”), permitirá reconocer múltiplos y divisores co-
munes y elaborar diferentes estrategias para obtenerlos. A su vez, los problemas
que requieren anticipar si un número es divisible por otro (por ejemplo: “Con
321 pulseras, ¿puedo armar pilas de 3 y que no sobre ninguna?, o ¿1045 es divisi-
ble por 5?”) permiten abordar el estudio de los criterios de divisibilidad.
El estudio de la proporcionalidad permite trabajar con problemas que invo-
lucran relaciones entre variables y corresponden a una multiplicidad de situa-
ciones. Tomando como punto de partida los conocimientos que los chicos han
elaborado sobre los problemas que refieren a series proporcionales (como los
ejemplos dados en párrafos anteriores), se propone avanzar en la distinción y
el reconocimiento de casos en que es posible recurrir al modelo proporcional,
y también, propiciar el uso de las propiedades de la proporcionalidad como
herramienta de solución. Entre las variantes se proponen problemas en los que
las magnitudes vienen dadas por cantidades fraccionarias o decimales.
A su vez, se propone abordar problemas que requieren interpretar y construir
gráficos sencillos (gráficos en ejes cartesianos o de tortas). Entre las herramientas
para el trabajo con gráficos se propiciará que reconozcan cuáles responden a una
relación de proporcionalidad directa permitiendo que empleen sus propiedades
para su interpretación o construcción. Entre la cantidad y un porcentaje de dicha
cantidad existe una relación de proporcionalidad directa, por ello se proponen
problemas que refieren a porcentajes con la intención que puedan ser resueltos
usando las propiedades de la proporcionalidad, por ejemplo: “Un comercio ofre-
ce un descuento del 10 % por pago al contado. ¿Cuánto se debe abonar por una
camisa que vale $500? ¿Y por un par de medias que vale $250?”.
En el segundo ciclo resulta un aspecto central generar condiciones para que
las validaciones que elaboran los alumnos se apoyen en propiedades que les
permitan arribar a generalizaciones y determinar sus alcances y limitaciones,
impulsadas desde las intervenciones que realiza el docente cuando recupera lo
que han realizado. La intención es acercarse progresivamente a las característi-
cas propias de la argumentación matemática.
deladivisión,lascualespermiten anticiparyargumentarlasolucióndelproblema
(Dividendo = divisor por cociente más resto con resto menor que el divisor).
Otros problemas son los que se refieren a organizaciones rectangulares (es
decir, una colección ordenada en filas y columnas) como puede ser: “En una ban-
deja se pueden ubicar 32 filas de 45 facturas. ¿Cuántas facturas caben en esa ban-
deja?”. También se incluyen entre los sentidos de la multiplicación y división, su
funcionamiento en problemas de combinaciones como, por ejemplo: “¿Cuántos
conjuntos de pantalón, saco y camisa puedo armar si tengo 2 pantalones, 3 ca-
misas y 4 sacos?” o “¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar
con 1, 3 y 4? ¿Y si las cifras se pueden repetir?”.
En todos los casos se propiciará avanzar en el reconocimiento y empleo de
la multiplicación y la división como herramienta de solución. En relación con
los procedimientos de cálculo se propone extender el repertorio de resultados
memorizados, como así también emplearlos para resolver otros cálculos. Por
ejemplo: “Resolvé de la manera que consideres conveniente 4 x 23 x 25”.
La calculadora, además de ser una herramienta para resolver cálculos, cons-
tituye un recurso muy interesante para plantear problemas que ponen en jue-
go diferentes composiciones y descomposiciones, por ejemplo: “¿Cómo podés
resolver 24 x 9 con una calculadora en la que no funciona la tecla del 9?” (Por
ejemplo, hacer 24 x 3 x 3 = 216 o (24 x 5) + (24 x 4) = 216, etcétera).
Se propone a partir de estos problemas abordar las propiedades de la multipli-
cación como herramientas para anticipar y validar los procedimientos realizados.
A su vez, se propiciará el análisis del alcance de las mismas en la división, por ejem-
plo: “¿Cómo se puede resolver 180 : 20 con una calculadora en la que no funciona
la tecla del 2?”. Resultará necesario que también resuelvan problemas que exijan
desplegar diferentes estrategias de cálculo (mental y algorítmico), este trabajo re-
quiere articulación con estrategias de cálculo aproximado de modo tal que permi-
ta construir herramientas destinadas a la anticipación y control de los resultados.
En particular respecto a la división, la complejidad del algoritmo requiere de
problemas que permitan construir conocimientos que posibiliten enfrentarlo de
la mejor manera; en este sentido, a los mencionados repertorios y estimaciones de
productosycocientesseagreganproblemasquerequieranencontrarcuántasveces
entra un número en otro o anticipar la cantidad de cifras que tendrá el cociente.
Otros de los problemas involucran el estudio de múltiplos y divisores. Se pro-
ponen problemas que requieren obtener e identificar múltiplos o divisores como
así también reconocer la relación entre ambos, propiciando que los alumnos ela-
boren diferentes estrategias para resolverlos. Por ejemplo: “Si doy saltos en una
pista de 3 en 3 casilleros, caigo en el casillero 69? ¿Y en el 72?” o “Marina tiene

16
Etapa
1
FICHA
DIDÁCTICA
•
PÁGINA
10
Estos problemas corresponden a diferentes sentidos de la suma y de la res-
ta. La familiaridad que los chicos puedan tener con el uso del dinero puede
propiciar que surjan diferentes procedimientos de cálculo mental para resol-
ver el problema 1. En la puesta en común, se podrán explicitar y analizar dife-
rentes estrategias utilizadas.
El problema 2 requiere articular diferentes sentidos de la suma y de la resta
para completar la tabla (problemas de relación entre cantidades para averi-
guar el costo del electricista y del plomero; problema de composición de varias
medidas para averiguar el costo total). En la puesta en común podrán explici-
tar las operaciones empleadas para resolver cada caso.
El problema 3 puede plantear la dificultad de reconocer que la cantidad to-
tal del dinero se conforma por los tres valores dados (los dos que corresponden
al dinero devuelto junto al que le resta devolver), por ello la respuesta se obtie-
ne sumando 10.425 + 7.896 + 24.670. Estos dos significados pueden hacer que
sumen 10.425 + 7.896, y luego, le resten esa suma a 24.670 (interpretando que
están averiguando “lo que falta para llegar a 24.670). En la puesta en común po-
drán circular las diferentes resoluciones y analizar cuál o cuáles son las que per-
miten responder el problema y qué relaciones pueden establecerse entre ellas.
En el problema 4 deben averiguar el precio inicial dado el aumento y el pre-
cio final. Los alumnos suelen tener dificultades para vincular estas situaciones
que refieren a “aumentos” con la resta como herramienta de solución, por lo
que la puesta en común y las explicaciones del docente resultarán importantes
para favorecer este reconocimiento.
Momento de interacción entre pares:
Permite sistematizar las operaciones empleadas y analizar por qué resultan
pertinentes para cada problema.
Problemas 1, 2, 3 y 4. Eje: Operaciones
Contenidos Resolver problemas que involucran sumas y restas.
Propósito de los problemas
Proponer problemas que involucran diferentes sentidos de la suma y de la resta
reconociendo a estas operaciones como las herramientas de resolución.
Seleccionar la estrategia de cálculo más conveniente de acuerdo a los números involucrados.
10
©
Editorial
Puerto
de
Palos
S.A.
-
Prohibida
su
fotocopia.
Ley
11.723
Operaciones. Resolver problemas que involucran sumas y restas.
Refacciones en la casa de Camilo
Camilo quiere pintar un ambiente de su casa y escribió en un papel los materiales
que necesita y lo que averiguó en 2 pinturerías.
• ¿En cuál pinturería gasta menos si compra todo en el mismo negocio y paga en
efectivo?
En esta tabla anotá lo que le debe pagar a cada una de las personas que están
trabajando en la reforma de la cocina. Completá la tabla sabiendo que el plomero
cobra $1.234 más que el gasista y el electricista cobra $8.750 menos que el albañil.
Oficio Albañil Electricista Plomero Gasista Total
Costo: $45.234 $13.456
Para pagar parte del costo de la obra, Camilo le pidió dinero prestado a su amiga
Lorena. Le devolvió $10.245 el mes pasado y $7.896 este mes. Si aún le debe $24.670,
¿cuánto dinero le había prestado Lorena?
El precio de las maderas que necesita aumentó $1.348. Si ahora valen $10.015,
¿cuánto valían antes del aumento?
¿Cómo resolvieron estos problemas? ¿Todos hicieron los mismos cálculos?
¿Resolvieron problemas sumando? ¿En qué casos? ¿En qué casos usaron la resta?
¿Y ambas operaciones? Expliquen las razones por las que tomaron esas decisiones.
1
2
3
4
Materiales
1 Pincel grueso
1 Pincel fino
4 litros de pintura
1 litro de removedor
Pinturería “Bellos colores”
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Etapa
1
FICHA
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Problemas 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Eje: Operaciones
Contenidos
Resolver problemas que requieren cálculos mentales de sumas y restas. Relaciones con el
sistema de numeración.
Resolver sumas y restas a partir de cálculos conocidos. Usar las propiedades del sistema
de numeración decimal para resolver sumas y restas.
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Etapa
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Operaciones. Resolver problemas que requieren cálculos mentales de sumas y restas. Relaciones con el sistema de numeración.
Cálculos con sumas y restas
Escribí, sin hacer toda la cuenta, el resultado de estas sumas y restas.
2.000 + 3.000 = 900 + 100 =
6.000 + 7.000 = 8.000 + 2.000 =
7.000 + 3.000 = 70.000 + 30.000 =
9.000 + 8.000 = 80.000 + 40.000 =
30.000 + 40.000 = 19.000 – 9.000 =
90.000 – 70.000 = 150.000 – 80.000 =
70.000 + 80.000 = 140.000 – 40.000 =
Encuentren cálculos conocidos
que les puedan servir para resolver
los anteriores. Armen una lista
en el pizarrón.
Resolvé mentalmente estos cálculos.
820 + 380 = 980 – 750 =
4.000 + 7.000 = 13.500 – 4.500 =
6.300 + 7.700 = 20.000 – 1.200 =
10.000 + 3.420 = 18.250 – 10.000 =
15.500 + 12.500 = 30.000 – 12.500 =
120.000 + 80.000 = 120.000 – 80.000 =
230.000 + 330.000 = 880.000 – 300.000 =
1.500.000 + 2.000.000 = 4.500.000 – 2.200.000 =
¿Qué consejos podríamos dar para resolver mentalmente los cálculos anteriores?
Encontrá maneras de resolver fácilmente estos cálculos. Escribí el resultado y explicá
cómo los resolviste.
4.300 + 1.900 = 8.000 + 10.001 = 8.000 – 2.001 =
8.300 + 2.999 = 2.000 + 2.100 = 10.000 – 1.900 =
5.000 + 19.000 = 5.000 – 1.100 = 10.000 – 1.999 =
5
6
7
Por ejemplo, saber que 70 + 30 = 100 me
sirvió para resolver 70.000 + 30.000.
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Operaciones. Resolver sumas y restas mediante diferentes procedimientos. Relaciones con el sistema de numeración.
Resolvé estos cálculos de la manera que consideres conveniente.
22.300 + 4.560 + 1.700 = 18.200 + 14.000 + 6.000 + 2.800 =
¿Qué recomendaciones
proponen para resolver
los cálculos anteriores?
Usando como información que 3.460 + 1.540 = 5.000, y sin hacer las cuentas, escriban
el resultado de cada uno de los siguientes cálculos. Expliquen cómo los pensaron.
3.460 + 1.540 = 5.000 3.470 + 1.530 =
460 + 1.540 = 4.460 + 2.540 =
3.460 + 540 = 5.000 – 1.540 =
3.560 + 1.540 = 5.000 – 3.460 =
Sabiendo que 2.570 +1.430 = 4.000, completá estos cálculos.
2.570 + ……….. = 4.100 4.000 – ……….. = 1.430
……….. + 1.430 = 5.000 4.000 – ……….. = 1.570
3.570 + ……….. = 6.000 ……….. – 1.430 = 4.570
Sin resolver los cálculos, marcá con una cruz los que dan el mismo resultado que
2.345 + 3.178. Explicá cómo pensaste cada caso.
2.000 + 3.000 + 300 + 100 + 45 + 78 200 + 345 + 300 + 178
1.000 + 1.000 + 178 + 3.000 + 300 + 40 + 5 2.300 + 78 + 3.100 + 45
Revisen si son correctos los procedimientos que hicieron los chicos para resolver
12.000 – 3.206. Si hay errores señálenlos y explíquenlos al resto de la clase.
8
9
10
11
12
En la página 19 están las propiedades que
cumplen la suma y la multiplicación, te
pueden ayudar a explicar lo que hicieron.
‒
12.000
3.206
—————
9.206
Leo
11 9 10
‒12.000
3.206
—————
8.704
Romi

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blemente recurran al algoritmo convencional para obtener el resultado.
• Reconocer la posibilidad de obtener en primer lugar resultados parciales
que faciliten la resolución, por ejemplo, pueden identificar que 300 + 700 =
1.000, entonces resulta conveniente asociar 22.300 + 1.700 ya que permitirá
obtener un múltiplo de 1.000. Posteriormente, hacen 24.000 + 4.560 = 28.560.
De manera similar podrán proceder en el segundo cálculo.
En la puesta en común, y desde la propuesta para interactuar entre pares
del libro, puede propiciarse la comparación entre las resoluciones que respe-
taron la manera en que se presenta el cálculo y aquellas en las que se toma-
ron decisiones que posibiliten obtener resultados conocidos o que faciliten el
trabajo. El docente puede aportar la información respecto a las propiedades
involucradas (conmutativa y asociativa para la suma), las cuales se detallan y
ejemplifican en la página 19.
En los problemas 9 y 10 se solicita emplear el cálculo dado en cada caso
para resolver los que se proponen. Entre las intervenciones del docente resul-
tará importante alentar a los alumnos a que realicen el trabajo respetando
la solicitud de la consigna debido a que algunos alumnos pueden optar por
resolver de manera aislada cada cálculo. Una de las intervenciones puede ser
proponer un problema similar para resolver en forma conjunta, “sabiendo que
235 + 187 = 422, ¿es necesario hacer toda la cuenta para resolver 225 + 187?
¿Por qué?”. Intervenciones con similares intenciones pueden ser requeridas
para la gestión respecto del problema 10 y el problema 11. En este último
caso, se trata de que los alumnos argumenten acerca de por qué los cálculos
seleccionados resultan equivalentes. A su vez, en la puesta en común, resultará
interesante que estos procedimientos se justifiquen a partir de las propiedades
involucradas.
En parejas, en el problema 12, se propone analizar dos resoluciones de res-
tas realizadas mediante el algoritmo tradicional. El trabajo está focalizado en
los procedimientos que recurren a desagrupaciones y reagrupaciones del mi-
nuendo para poder realizar las restas de manera encolumnada. Una manera de
argumentar los errores que hay en ambas cuentas puede ser a partir de realizar
el cálculo descomponiendo de manera aditiva el minuendo y el sustraendo y
analizar los cálculos parciales que se realizan y cómo se registran en el algorit-
mo, por ejemplo, 12.000 – 3.206 = (11.000 + 900 + 90 + 10) – (3.000 + 200 + 6)
= 8.000 + 700 + 90 + 4 = 8.794.
Las distintas estrategias de cálculo (mental o algorítmico) como los diferen-
tes tipos de cálculo (exacto o estimativo) requieren que los alumnos dispon-
gan de una serie de repertorios de cálculos en los cuales apoyarse.
Entre los procedimientos posibles que pueden surgir en el problema 5 se
espera que, por ejemplo, a partir del cálculo 7 + 3 = 10 puedan hacer 7.000 +
3.000 = 10.000 y 70.000 + 30.000 = 100.000.
La propuesta para trabajar entre pares tiene la intención de reflexionar
acerca de las estrategias empleadas. Entre las intervenciones del docente re-
sulta importante propiciar que los alumnos no solo identifiquen los cálculos
que usaron de apoyo, sino también que argumenten las razones por las que es
posible deducir esos resultados, por ejemplo, “si 7 unidades más 3 unidades es
igual a 10 unidades, entonces 7 unidades de mil más 3 unidades de mil es igual
a 10 unidades de mil”.
En el problema 6 también podrán recurrir a cálculos conocidos o resolver
a partir de la información que brindan los nombres de los números que inter-
vienen (10.000 + 3.420 y 18.250 – 10.000). En algunos casos podrán reconocer
la posibilidad de realizar descomposiciones de los números para resolver de
manera más sencilla, por ejemplo, para 20.000 – 1.200 pueden hacer 20.000 –
1.000 = 19.000 y luego, 19.000 – 200 = 18.800.
En el momento de interacción entre pares podrán sistematizar los diferen-
tes recursos empleados para calcular mentalmente; algunos de ellos pueden ser:
• usar cálculos conocidos,
• usar la información que aportan los nombres de los números,
• descomponer los números de manera de obtener cálculos conocidos o
más sencillos de resolver.
En el problema 7 la intención es identificar esas sumas y restas como “ca-
sos particulares” que pueden ser resueltos a partir de cálculos con números
redondos (por ejemplo: “para sumar 1.900, podés sumar primero 2.000 y luego,
restás 100”). Posiblemente muchos alumnos opten por resolver directamente
mediante las cuentas. El docente podrá alentar a que surjan estas estrategias
que pueden permitir obtener el resultado de manera más fácil. Un contexto
fértil para ello puede ser el del dinero, por ejemplo: “Si tengo $10.000 y gasto
$1.900, ¿cómo puedo obtener lo que sobra rápidamente?”.
Entre los propósitos del problema 8 la intención es que los alumnos tomen
decisiones respecto del orden y la manera en que resulta conveniente resolver
los cálculos propuestos. Entre los procedimientos posibles pueden:
• Resolver en el orden en que se presentan los sumandos. En este caso posi-

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Problemas 13, 14, 15, 16, 17, 18 y 19. Eje: Operaciones
Contenidos
Problemas de suma y resta. Sentidos más complejos.
Resolver problemas que involucran multiplicaciones y divisiones por potencias de 10.
Relaciones entre operaciones y el sistema de numeración.
Reconocer a la suma y a la resta como herramienta de resolución en problemas que
refieren a sentidos más complejos o involucran ambas operaciones.
Establecer relaciones con el sistema de numeración decimal para resolver problemas que
involucran multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros.
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Operaciones. Problemas de suma y resta. Sentidos más complejos.
Continúan los problemas
Los alumnos de sexto organizaron diferentes eventos para juntar
dinero para su viaje de egresados. Completá la tabla en la que registran
el dinero recaudado.
Grado Torneo de fútbol
Olimpíada
estudiantil
Rifa Total
Sexto A $4.345 $3.457 $14.567
Sexto B $2.568 $11.408 $16.988
• El viaje de egresados vale $30.000 por división. ¿Cuánto dinero le falta juntar a cada
una para pagarlo?
Matías jugó dos partidos de bolitas. En el primer partido, perdió 22 bolitas.
En el segundo, no recuerda que ocurrió, pero sabe que al terminar los dos partidos,
en total había ganado 15 bolitas. ¿Qué pasó en el segundo partido? ¿Ganó? ¿Perdió?
¿Cuántas bolitas?
Un avión parte de Buenos Aires con 865 pasajeros hacia Miami. El vuelo hace escala
en Río de Janeiro, donde bajan 145 pasajeros y suben 219, y en Bogotá, donde suben
224 pasajeros y bajan 118. ¿Con cuántos pasajeros llega el avión a destino?
¿Cuál será el cálculo que habrá escrito Lorena para resolver el problema anterior?
¿Cómo lo habrá resuelto? ¿Alguno lo hizo de esa manera?
Lorena: Yo escribí todas las cantidades en un solo cálculo.
Inventen un problema que pueda resolverse mediante el siguiente cálculo.
1.340 – 860 + 2.565 – 1.350 =
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Operaciones. Resolver problemas que involucran multiplicaciones y divisiones por potencias de 10. Relaciones entre operaciones y el
La cooperadora de la escuela
La cooperadora de la escuela está organizando una rifa. Si armaron 250 talonarios de
100 números cada uno, ¿cuántos números tiene la rifa?
• Cada número vale $100. Si vendieron 180 talonarios completos y la mitad de otros
20, ¿cuánto dinero recaudaron? ¿Cuánto hubiera sido la recaudación si se hubiesen
vendido todos los números?
Recibieron una donación del ministerio de 1.430 diccionarios. ¿Cuántas cajas vinieron si
en cada una caben 10 diccionarios?
Para las distintas promociones decidieron imprimir 14.300 calcomanías
con el escudo de la escuela.
• Si las guardaran en cajas de 10 calcomanías cada una, ¿cuántas cajas necesitarían?
• ¿Y si en cada una se guardaran 100 calcomanías?
• ¿Podrían ser las cajas de 1.000 calcomanías cada una? ¿Por qué?
¿Qué similitudes y diferencias encuentran en estos problemas? ¿Qué estrategias de
cálculo emplearon para resolverlos? ¿Cómo explican el procedimiento que propone
Juliana?
Juliana: En estos problemas intervienen multiplicaciones y divisiones
por 10, 100, 1.000. Las resolví agregando o quitando ceros.
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por qué el orden en el cual se suman o restan las cantidades a sumar o restar
es indiferente. Puede ser interesante analizar con los alumnos que, en el primer
ejemplo, la suma y la resta de cantidades corresponde con la cronología del as-
censo y descenso de esas cantidades de pasajeros pero, en los otros, esa crono-
logía no se respeta y es indistinto porque se trata de trabajar con las cantidades
de pasajeros que se agregaron o las que se retiraron y no importa el orden en
el que lo hicieron para obtener la cantidad final de pasajeros.
En la página 14 se proponen problemas que requieren trabajar con multi-
plicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros, estos cálculos consti-
tuyen repertorios importantes para resolver y estimar otras multiplicaciones
y divisiones, tanto mediante cálculo mental como algorítmico. A su vez propi-
cian el reconocimiento de algunas de las propiedades del sistema de numera-
ción decimal. La intención es que los alumnos recurran a estrategias de cálculo
mental para resolverlos y puedan apoyarse en las propiedades del sistema de
numeración para su argumentación.
Los problemas 17, 18 y 19 refieren a relaciones de proporcionalidad direc-
ta por lo que, posiblemente, usen la multiplicación o la división para resolver-
los. A su vez, algunos podrán usar “técnicas” que permitan ahorrarse de hacer
la cuenta, por ejemplo: “si multiplicas un número por 10, 100, 1000, etcétera, el
resultado es el mismo número al que se le agrega un cero, dos ceros, tres ceros,
respectivamente”.
Desde los momentos de interacción entre pares, se propiciará que argu-
menten las razones por las que son posibles esos procedimientos, por ejemplo:
• Multiplicar 250 por 100 es como hacer 250 x 10 x 10. Entonces, “en 250
unidades por 10 se obtienen 250 decenas y luego al hacer 250 decenas por 10
se obtienen 250 unidades de mil, por lo tanto, se debe escribir el 250 y dos
ceros”, es decir, cada vez que se multiplica por 10 la posición de esos dígitos
se corre un lugar hacia la izquierda (en el sistema de numeración decimal las
cifras se escriben en orden de magnitud decreciente de izquierda a derecha).
• En la división también podrán recurrir a la posicionalidad: recíprocamen-
te a lo que sucede con la multiplicación, al dividir por 10, cada dígito pasará a
corresponder a la unidad inmediatamente inferior, es decir, se correrá un lugar
hacia la derecha. Si estas relaciones no fueran explicitadas por el mismo grupo,
el docente podrá proponerlas, explicarlas, relacionarlas con el trabajo entre
pares, señalar su importancia para producir diferentes cálculos.
En el problema 13 posiblemente los alumnos no tengan dificultades en re-
conocer a la suma y a la resta como herramientas para completar las medidas
(dinero) que faltan. Con respecto al complemento de 30.000, algunos de los
procedimientos posibles son:
• Llegar desde 22.369 (total de la primera fila) a 30.000. Para ello pueden
hacer 22.369 + 1 = 22.370; 22.370 + 30 = 22.400; 22.400 + 600 = 23.000 y 23.000
+ 7.000 = 30.000. Entonces falta 1 + 30 + 600 + 7.000 = 7.631.
• Restar 30.000 – 22.369 = 7.631.
• Usar sumas y restas, por ejemplo, 22.369 + 8.000 = 30.369, “me pasé por
369”, entonces 8.000 – 369 = 7.631.
El docente, en la puesta en común, podrá introducir opciones para ser
comparadas con las que propusieron los alumnos.
El problema 14 requiere trabajar con transformaciones de colecciones inde-
pendientemente de las cantidades o medidas iniciales o finales. Los chicos suelen
expresar, por ejemplo, que “no es posible resolverlo debido a que no se conoce
la cantidad inicial y la cantidad final de bolitas, solamente están las que perdió o
ganó”. Entre los procedimientos posibles, podrán “buscar recuperar las 22 bolitas
perdidas y luego, agregar las 15 que le quedaron”, es decir, en el segundo partido
tiene que haber ganado 22 + 15 bolitas. Otra dificultad radica en que esas can-
tidades en el enunciado tienen diferentes significados (22 es lo que perdió en la
primera jugada y 15 son las bolitas que ganó en total), a su vez, en la resolución
responden a otro (cantidad de bolitas ganadas en la segunda jugada).
Los problemas 15 y 16 en conjunto con la propuesta para interactuar en-
tre pares, proponen trabajar con situaciones que requieren de sumas y restas.
Entre las intenciones se propicia representar la resolución desde un único cál-
culo. Resulta importante mencionar que son diferentes las posibilidades de
resolución desde una única expresión, por ello, la puesta en común resulta
una ocasión para comparar diferentes opciones que hayan surgido, por ejem-
plo, el que fue sumando o restando en el orden en el que subían o bajaban los
pasajeros, el que agrupa los que suben y los que bajan y luego opera con ellos,
es decir:
865 – 154 + 219 + 224 – 118;
(865 + 219 + 224) – (154 + 118);
865 – (154 + 118) + (219 + 224);
etcétera.
En los diferentes casos se analizarán a qué corresponde cada una de las
cantidades, por qué se suman o restan, por qué se agrupan de cierta manera,

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Problemas 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 y 28. Eje: Operaciones
Contenidos
Construir y sistematizar repertorios de multiplicaciones y divisiones por potencias de diez.
Relaciones con el sistema de numeración.
Establecer relaciones con el sistema de numeración decimal para resolver mediante
cálculo mental multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros.
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Operaciones. Construir y sistematizar repertorios de multiplicaciones y divisiones por potencias de diez. Relaciones con el
Multiplicar y dividir por 10, 100, 1.000…
Resolvé mentalmente estas multiplicaciones.
10 x 10 = 80 x 10 =
100 x 10 = 24 x 100 =
1.000 x 10 = 1.000 x 12 =
10 x 10.000 = 363 x 100 =
1.000 x 1.000 = 48 x 10.000 =
Resolvé mentalmente estas divisiones.
480 : 10 = 70.000 : 10.000 =
6.600 : 100 = 120.000 : 10.000 =
22.000 : 1.000 = 200.000 : 1.000 =
Escribí los números que faltan en los siguientes cálculos.
24 x ……….. = 24.000 64.000 : ……….. = 640
3 x ……….. x ……….. = 3.000 4 x ……….. x ……….. x ……….. = 40.000
……….. x 52 = 5.200 45 x 1.000 : ……….. = 450
Resolvé estos cálculos con multiplicaciones y divisiones.
48 x 1.000 : 10 =
1.000 : 100 x 36 =
10 x 100 x 3 : 1.000 =
240 x 100 : 10 : 10 =
Escriban en el casillero el número que aparecerá en el visor de la calculadora si se
oprimen las teclas que se indican en cada caso. Primero escribí el resultado y luego
verificalo con la calculadora.
23 x 10 x 10 x 10 = 140 x 10 : 10 : 10 =
Escriban una regla que permita resolver fácilmente multiplicaciones o divisiones por
10, 100, 1.000, 10.000, etc. Armen un cartel para consultarlo cuando lo necesiten.
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Operaciones. Construir y sistematizar repertorios de multiplicaciones y divisiones por potencias de diez. Relaciones con el sistema de
numeración.
¿Por qué Romina afirma esto sobre el problema copiado en el pizarrón?
Expliquen la respuesta.
En una papelera fabricaron 14.245 cartulinas.
¿Cuántas entran en cada paquete si...
- arman paquetes de 10 cartulinas?
- arman paquetes de 100 cartulinas?
- arman paquetes de 1.000 cartulinas?
- arman paquetes de 10.000 cartulinas?
¿Les sobran cartulinas en cada caso? ¿Cuántas?
Completá este cuadro referido a divisiones enteras.
División Cociente Resto
84 : 10
125 : 10
784 : 100
6.780 : 1.000
Lucas y Pedro juegan al tiro al blanco en este tablero.
Lucas arrojó los 12 dardos rojos y Pedro los 12 azules.
¿Cuántos puntos obtuvo cada uno? ¿Quién ganó?
Analicen, cuál o cuáles de los siguientes cálculos permiten obtener los puntos que
hizo Lucas.
10.000 + 1.000 + 100 + 10 + 1 = 1 x 10.000 + 3 x 1.000 + 5 x 100 + 3 x 1 =
1 + 10.000 + 3 + 1.000 + 5 + 100 + 3 =
10.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 =
Escribí un cálculo que permita obtener los puntos de Pedro. Compará con tus
compañeros los cálculos que escribieron.
25
26
27
28
43 10
3 4
Dividendo Divisor
Resto Cociente
Para saber más sobre la división
1
10
100
1.000
10.000
Leyendo el número podés
responder todas las preguntas.

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1
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rran a las relaciones empleadas anteriormente, “¿qué cantidad de cartulinas
tendrían que haber fabricado para poder armar paquetes de 10 y que no le
sobre ninguna? ¿Cómo nos damos cuenta? ¿Y para armar paquetes de 100?”.
A su vez, podrá propiciar la identificación de estos casos en los que el resto es
distinto de cero:
“¿Qué modificaciones tendremos en la respuesta del problema en estos ca-
sos? ¿Cómo habrá hecho la niña del dibujo?”
“Con 14.240 cartulinas, ¿cuántos paquetes de 10 cartulinas se pueden ar-
mar? ¿Y con 14245 cartulinas? ¿Qué diferencias encuentran entre ambos casos?”
Entre las conclusiones, los chicos podrán elaborar técnicas para resolver
cualquier división con divisor 10, 100, 1.000, etcétera; las mismas podrán estar
apoyadas en la posicionalidad del sistema de numeración, por ejemplo:
“Al dividir por 10, el cociente es el número que se forma desde las decenas
en adelante y el resto corresponde a las unidades.”
“Al dividir por 100, el cociente es el número que se forma desde las centenas
en adelante y el resto es el número formado por las decenas y las unidades, es
decir, las últimas dos cifras.”
Posiblemente, en sus recorridos sobre el estudio del sistema de numeración
decimal, los chicos han trabajado con distintos problemas que requieren rea-
lizar descomposiciones de los números. Los puntajes que intervienen en los
problemas 27 y 28 (potencias de 10) favorecen que puedan establecer relacio-
nes con el trabajo y conclusiones referidas a las operaciones que subyacen al
sistema de numeración decimal.
Algunos procedimientos posibles:
• Sumar de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100 y de 1.000 en 1.000 de acuerdo
a la cantidad de puntos obtenidos en cada caso.
• Multiplicar la cantidad de dardos que cayeron en cada sector por el pun-
taje y luego sumar los productos.
Pueden justificar que la opción 10.000 + 1.000 + 100 + 10 + 1 no correspon-
de porque no contempla la cantidad que se reitera cada valor o afirmar que solo
serviría en caso que hubiera caído un dardo en cada uno de ellos; los puntajes
parciales (correspondientes a cada potencia de 10) pueden ser una opción para
reconocer que el cálculo 1 + 10.000 + 3 + 1.000 + 5 + 100 + 3 no permite resol-
ver el problema: “3 dardos de 1.000 hacen 3.000 y 3 + 1.000 es 1.003”, podrían
expresar. Apoyándose en estas decisiones pueden optar por las otras opciones
para escribir en un cálculo la resolución correspondiente a Pedro.
En continuidad con los problemas de la página anterior, aquí se proponen
multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros. Como ha sido
mencionado, en los cálculos de los problemas 20 y 21 puede ser habitual que
los niños rápidamente encuentren la regularidad de agregar tantos ceros como
acompañan a la unidad. Algunas de las conclusiones a las que arriben podrán
ser registradas en el apartado del final (momento de interacción entre pares).
Por ejemplo, “multiplicar un número por 10 es hacer 10 veces ese número, es
decir, ese número se convierte en dieces y por ello va un cero en el lugar que
queda en las unidades, ¿cómo explicarían ustedes lo que sucede cuando un nú-
mero se multiplica por 100? ¿Y por 1.000? ¿Cómo podemos hacer para explicar
lo que sucede cuando dividimos por 10, 100, 1.000, etcétera? ¿Nos sirven las
multiplicaciones anteriores para elaborar esas explicaciones? ¿Por qué?”.
Entre los procedimientos posibles para completar los cálculos del proble-
ma 22 podrán utilizar las estrategias anteriormente mencionadas y también
recurrir a los nombres de los números, por ejemplo, “24 para que pase a ser
24.000 debe multiplicarse por 1.000”, “veinticuatro mil sabemos que es 24 ve-
ces mil, el nombre de los números te ayuda”, podrán expresar los alumnos.
Las conclusiones que surjan respecto de multiplicaciones y divisiones por
la unidad seguida de ceros pueden ser empleadas para resolver los problemas
23 y 24 que introducen cálculos en los que combinan ambas operaciones. El
docente, desde sus intervenciones, puede alentar a que recurran a procedi-
mientos de cálculo mental, “¿cómo podemos resolver estos cálculos mental-
mente? ¿Cómo usarían las estrategias anteriores para estos cálculos?”.
En el problema 24 se introduce como variante el uso de la calculadora, en
este caso, como recurso para verificar las anticipaciones que realicen los alumnos.
Los problemas anteriores se ocuparon de divisiones por la unidad seguida
de ceros en las que el resto es cero, es decir, en el caso que el divisor sea 10,
el dividendo deberá ser un número cuya última cifra sea 0, en el caso que el
divisor sea 100, el dividendo deberá ser un número cuyas 2 últimas cifras sean
0, etcétera. Es importante analizar con los alumnos las razones de esta regula-
ridad en las respuestas.
Los problemas 25 y 26 propician la reflexión en parejas acerca de las rela-
ciones entre el sistema de numeración y la división por la unidad seguida de
ceros, particularmente en números que no sean múltiplos del divisor, es decir,
no son números terminados en 0. Entre los procedimientos posibles los chicos
podrán expresar que “no es posible determinar el resultado directamente” o
“hicimos la cuenta y sobran cartulinas”. El docente podrá alentar a que recu-

23
Etapa
1
FICHA
DIDÁCTICA
•
PÁGINAS
17
Y
18
Problemas 29, 30, 31, 32, 33, 34 y 35. Eje: Operaciones
Contenidos Resolver problemas que requieren ampliar y sistematizar repertorios de multiplicaciones.
Propósito de los problemas Usar cálculos conocidos para resolver y estimar multiplicaciones con números redondos.
17
©
Editorial
Puerto
de
Palos
S.A.
-
Prohibida
su
fotocopia.
Ley
11.723
Etapa
1
Operaciones. Resolver problemas que requieren ampliar y sistematizar repertorios de multiplicaciones.
Cruzada de multiplicaciones
Lean las reglas y jueguen en parejas.
¿Qué consejos darían para determinar rápidamente quién es el ganador en cada
jugada?
Subrayá el nombre del ganador en cada caso.
Pedro y Lucas gritaron ¡Cruzada! Escribí en cada línea de puntos un número para que
hayan obtenido empate.
¿Surgieron diferentes respuestas? ¿Cuáles?
29
30
31
REGLAS DEL JUEGO
¿Qué necesitan?
• Las cartas que están en las páginas 193 y 195 de los recortables.
¿Cómo se juega?
• Se ubican en la mesa todas las cartas sin que se vean los números. Por turnos, ambos
jugadores extraen dos cartas y calculan el producto de los dos números que a cada uno
le tocó. El que obtiene el número mayor se lleva las cuatro cartas.
• En caso de empatar dicen ¡Cruzada! y cada uno retira dos cartas más. Nuevamente
multiplican y el que obtiene el producto mayor se lleva todas las cartas de la jugada.
• El juego finaliza cuando se terminan las cartas de la mesa. Gana el que juntó más cartas.
50
200
70 800 10.000
90
60
90 90 7
Martín Diego Luján Juana
18
©
Editorial
Puerto
de
Palos
S.A.
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Prohibida
su
fotocopia.
Ley
11.723
Operaciones. Resolver problemas que requieren ampliar y sistematizar repertorios de multiplicaciones y divisiones.
Cálculos de multiplicaciones y divisiones
Resuelvan mentalmente estos cálculos.
60 x 8 = 120 : 6 =
70 x 20 = 80 : 20 =
300 x 50 = 300 : 5 =
80 x 400 = 800 : 2 =
2.000 x 4 = 800 : 20 =
5.000 x 300 = 12.000 : 200 =
8.000 x 2.000 = 14.000 : 700 =
Completá los siguientes cálculos.
40 x ………… = 2.000 8.000 : ……… = 400
…………… x 200 = 6.000 18.000 : ……….. = 90
6.000 x …….. = 24.000 ………… : 4 = 600
El visor de la calculadora muestra cada uno de los números que aparecen en la fila de
arriba. Anoten una multiplicación o una división para lograr que aparezca en el visor
de la calculadora el resultado escrito en la fila de abajo. Primero anticipen el cálculo y
luego verifíquenlo con la calculadora.
Número que
muestra el visor
40 500 28.000 63.000 200.000 45
Cálculo propuesto
Número a obtener 800 10.000 400 90 4.000 9.000
Anoten 40 en la calculadora y realicen una multiplicación o división por vez para
obtener sucesivamente los números de la “pista” hasta regresar al 40.
Armen un cartel con los cálculos que estudiaron en estas páginas para consultarlo
cuando lo requieran.
32
33
34
35
40
4.000 16.000 80 400 20.000
800 200 10.000 40.000
5.000
2.000
Salida 












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