Tomo 2 Matemática Octavo Básico

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El Tomo II del material didáctico Matemática 8, Proyecto Bicentenario, para Octavo año de Educación Básica, es una obra colectiva,
creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
Coordinación Área Científico-Matemática Gabriel Moreno Rioseco
Edición Gabriel Moreno Rioseco
María Gabriela López Urra
Ángela Baeza Peña
Ayudantes de edición Pablo Jorquera Rozbaczylo
Valeria Sáez Gómez
Autores María del Pilar Blanco Casals - Claudia Cáceres Navarrete
Felipe Andrés Calderón Concha - María José Jiménez Robledo
Colaboradores María Victoria Martínez Videla - María Paulina Sandoval Labarca
Jorge Andrés Bozt Ortiz - Vicente Letelier Carvajal
Victoria Paz Veas Moya - María Jesús Venegas Marchant
María José García Zattera - María Antonieta Santis Ávalos
Corrección de estilo Isabel Spoerer Varela - Astrid Fernández Bravo
Documentación Paulina Novoa Venturino - Juan Carlos Reyes Llanos
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de
VERÓNICA ROJAS LUNA
Con el siguiente equipo de especialistas:
Coordinación Gráfica Carlota Godoy Bustos
Diseño y diagramación Ximena Moncada Lomeña - Alfredo Galdames Cid
Paulina Gutiérrez Carrasco
Ilustraciones Antonio Ahumada Mora - Eduardo Cuevas Romero
Álvaro de la Vega Arancibia - Cristián Cartes Arce
Cubierta La Práctica S.P.A.
Producción Germán Urrutia Garín
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier
medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHINA. Impreso en China por Asia Pacific Offset Ltd.
ISBN Volumen 2: 978 - 956 - 15 - 1663 - 2 – ISBN Obra Completa: 978 - 956 - 15 - 1661 - 8 – Inscripción N° 176.857
www.santillana.cl info@santillana.cl
C.E.
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Presentación
Matemática
El texto Matemática 8, Santillana Bicentenario ha sido creado y diseñado pensando
en tus intereses, gustos e inquietudes.
A través de estas páginas podrás profundizar tus conocimientos acerca de números
enteros, potencias y proporciones, ampliarás tus conocimientos geométricos
mediante el estudio del círculo, la circunferencia, algunos cuerpos redondos y te
sorprenderás con la belleza de las isometrías. Además, adquirirás nuevas herramientas
para el tratamiento de la información, mediante nociones de probabilidad y estadística.
Te invitamos a que aceptes con entusiasmo el desafío de embarcarte en esta
interesante aventura, que te permitirá ampliar tu universo de conocimientos y tu
visión del mundo.

Santillana Bicentenario
Unidad
1Unidad
2
Unidad
3
Unidad 1: Números enteros 8
Conceptos y relaciones en los números enteros 12
Adición y sustracción de enteros 14
Multiplicación de un número positivo por un número negativo 16
Multiplicación de dos números enteros negativos 18
División de números enteros 22
Uso de paréntesis 24
Análisis de procedimientos de resolución 26
Unidad 2: Potencias 42
Concepto de potencia 46
Potencias de base entera y exponente natural 48
Multiplicación y división de potencias de igual base 50
Multiplicación y división de potencias de igual exponente 52
Potencia de una potencia 54
Potencias de exponente entero 58
Potencias de base 10 y notación científica 60
Otras regularidades de las potencias 62
Crecimiento exponencial 64
Decrecimiento exponencial 66
Unidad 3: Transformaciones geométricas 82
Transformaciones isométricas 86
Traslación 88
Traslación con vectores 90
Rotación 92
Simetrías 96
Construcciones geométricas usando el computador 100
Isometrías en el entorno 102
Teselaciones regulares y semirregulares 104
Ampliaciones y reducciones 106
Taller de evaluación 1 124
Índice
Tomo I

Matemática
Unidad 4: Funciones y proporcionalidad 126
Funciones 130
Proporcionalidad directa: constante y gráfico 134
Proporcionalidad directa: modelo matemático 136
Proporcionalidad inversa: constante y gráfico 138
Proporcionalidad inversa: modelo matemático 140
Variaciones proporcionales y no proporcionales 144
Porcentaje y proporcionalidad 148
Porcentaje y álgebra 150
Unidad 5: Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos 166
El círculo, la circunferencia y sus elementos 170
Otros elementos de la circunferencia 172
Longitud de la circunferencia 174
Área de un círculo 176
Área y perímetro de figuras compuestas 178
Cilindro: área y volumen 182
Cono: área y volumen 186
Unidad 6: Estadística 204
Estadística y análisis de la información 208
Lectura de tablas con datos agrupados 210
Construcción de tablas con datos agrupados 212
Media aritmética para datos agrupados 216
Muestras al azar 218
Unidad 7: Probabilidad 234
Introducción a la probabilidad 238
Resultados igualmente probables 240
Espacio muestral 242
Regla de Laplace 246
Probabilidad a priori y a posteriori 248
Taller de evaluación 2 264
¿Cómo lo aprendí? Bibliografía y sitios webs
Unidad
5
Unidad
6
Unidad
7
Unidad
4
Tomo II

El texto Matemática 8 se organiza en siete unidades y dos talleres de evaluación. A continuación se describen los tipos de páginas
y secciones que encontrarás en cada unidad.
1. Páginas de inicio de unidad
Presentan una introducción y motivación al tema de la unidad, los contenidos que desarrollarás y los objetivos transversales a
través de la realización de un proyecto.
2. Páginas de desarrollo de contenidos
A partir de una situación particular se desarrollan los contenidos matemáticos, que luego se formalizan en la sección En síntesis,
y que podrás ejercitar en la sección Practica. A través de estas páginas también encontrarás las secciones SOS Mat, Glosario,
Nuestro Chile, Conectados, Cálculo mental y Calculadora.
3. Ejercicios resueltos y Estrategias para resolver problemas
Aquí encontrarás la resolución paso a paso de ejercicios que refuerzan los contenidos de la unidad y problemas resueltos a
través de una estrategia determinada.
Organización del texto
Santillana Bicentenario
Título de la unidad
Proyecto grupal
En síntesis
SOS Mat
Aplicando alguna
estrategia
Ahora tú
Glosario
Nuestro Chile
Ejercicios resueltos
Usando tu estrategia
Practica
Introducción
Esquema de contenidos

4. Trabajo con la información y Síntesis
En estas páginas podrás aplicar los contenidos que ya aprendiste analizando información de actualidad. En la sección Síntesis
encontrarás un esquema que relaciona los principales conceptos aprendidos y podrás revisar el proyecto grupal planteado al
inicio de la unidad.
5. Preguntas tipo Simce
En estas páginas se presentan preguntas seleccionadas tanto de la prueba Simce como de distintas pruebas internacionales, tales
como Pisa y Timss.
6. Evaluación
La evaluación es un proceso que se desarrolla durante toda la unidad, a través de diferentes instrumentos. Comenzando con
la sección ¿Qué recuerdo?, que consiste en una evaluación diagnóstica. Luego la sección ¿Cómo voy?, que evalúa tu proceso
y se finaliza con la sección ¿Qué aprendí?, que corresponde a una evaluación sumativa, presentando Ejercicios de refuerzo y
profundización y el Análisis de una pregunta. Todas estas instancias incorporan una autoevaluación.
Matemática
Trabajo con la información
¿Qué
recuerdo?
¿Qué
aprendí?
¿Cómo me fue?
Ejercicios de
refuerzo y
profundización
Analizando una
pregunta
Selección múltiple
Síntesis
Revisando nuestro
proyecto
¿Cómo
voy?
¿Qué debes
hacer?

4
Unidad
| 126 |Santillana Bicentenario
EN ESTA UNIDAD APRENDERÉ A...
Reconocer relaciones
no proporcionales
Aplicar y analizar relaciones
de proporcionalidad inversa.
Utilizar el modelo matemático y
aplicarlo en el cálculo del porcentaje.
Aplicar y analizar relaciones
de proporcionalidad directa
Interpretar, plantear y resolver
ecuaciones que representan
la relación entre dos variables.
Es muy común encontrar carteles como los de la ilustración en los cuales
nos ofrecen tentadoras ofertas pero que a veces no lo son tanto. También
es posible que no necesitemos de ciertos productos pero al estar en oferta
caemos irremediablemente en la tentación de adquirirlos.
Bebida 2L
+
papas fritas
gratis
Funciones y
proporcionalidad
Reconocer y plantear
relaciones proporcionales
a través de modelos matemáticos
Reconocer relaciones
proporcionales entre variables
Reconocer funciones, tipos de
variables y sus elementos.
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PROYECTO GRUPAL
| 127 | Matemática
Reúnanse en grupos de a lo más 3 compañeros y realicen la siguiente actividad.
1. Según los datos de la ilustración, ¿cuánto cuestan 10 paquetes de lavalozas? ¿Y 30?
2. Si desean comprar solo 4 lavalozas, ¿cuánto deberían pagar? ¿Y por 6?
3. ¿Cuánto se ahorra en cada oferta?
4. ¿Qué sucede con el precio de los productos a medida que la cantidad de artículos aumenta?
5. Elaboren una lista de 10 de los productos que se encuentran muy cerca de las cajas de un supermercado. Comparen su
lista con la del resto del curso. ¿Por qué creen ustedes que estos productos se colocan en ese lugar?
Debes saber que todos
los productos, en el caso
de un supermercado,
no están dispuestos por azar
en determinados estantes
sino que con un fin muy
estratégico: generar una
necesidad en el consumidor
para que compre.
Lleve 2
al precio
de una.
¡oferta!
Pack de
2 tallarines
+ 1 salsa
gratis
Lleve
5 lavalozas
y pague 4
$ 4.800
$ 1.200 c/u
Lavaloza Limp 750 cl
$ 1.200 c/u
Lavaloza Limp 750 cl
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¿Qué recuerdo?
Encierra en un círculo la expresión matemática correspondiente a cada frase.
Resuelve las siguientes situaciones según la información de la imagen anterior.
1 Si el costo de envío es $A y debe ser cancelado junto
con la primera cuota, ¿cuánto pagará Felipe el primer
mes?
40.000 • A 40.000 + A 40.000 – A
2 Si por día de atraso en pagar una cuota se cobra de
multa $ L, ¿cuánto deberá pagar extra Felipe al 5º día de
atraso?
5 • L 5 + L
5
L
3 Felipe se da cuenta que solo puede pagar el televisor
si lo compra en 36 cuotas. En este caso debe calcular el
valor de cada cuota como si comprara a precio normal.
¿Cuál es el valor de cada cuota?
4 Para pagar la 1era cuota de las 36, Felipe se compromete
a juntar cada semana el doble del monto juntado la
semana anterior. Si al mes logra juntar el valor de la
cuota, ¿cuánto ahorró la primera semana? (Considera
4 semanas en un mes).
5 ¿Cuál es el valor de la razón entre el precio normal del
televisor y el precio por internet?
6 ¿Cuál es el valor de la razón entre la cuota a 36 meses
y la cuota a 24 meses?
7 ¿Cuál es el valor de la razón entre el valor de la cuota
a 36 meses y el precio por internet?
Calcula el valor de x en cada proporción.
8 = 9 =
328.125
21
656.250
x
x
32
625.000
40
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UNIDAD 4 | Funciones y proporcionalidad
| 129 | Matemática
Marca con una cruz si las siguientes variables forman una relación de variación proporcional (P) o no (NP).
Relación P NP
10 La edad y la estatura de una persona.
11 El número de fotocopias y la cantidad a pagar por ellas.
12 La hora del día y la temperatura de ese momento.
13 La velocidad de un vehículo y el tiempo que demora en llegar a destino.
Contesta las siguientes preguntas.
14 Si el precio de un televisor se reduce a la mitad, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?
15 Una caja tiene una masa de 30 kg y al agregarle otras cosas su masa aumenta a 45 kg. ¿En qué porcentaje aumentó la
masa?
16 Si un producto costaba $10.000 y se subió en un 25%, ¿cuál es el nuevo precio?
17 ¿Calcular el 10% del nuevo precio es lo mismo que dividirlo por 10? Justifica.
¿Cómo me fue?
Revisa tus respuestas con el solucionario y completa la siguiente tabla.
RESPUESTAS CORRECTASPREGUNTASINDICADOR
Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones. 1, 2, 3 y 4 / 4
Calcular razones, proporciones y aplicar la propiedad 5, 6, 7, 8 y 9 / 5
fundamental de las proporciones.
Relacionar magnitudes para establecer una variación de 10, 11, 12 y 13 / 4
proporcionalidad.
Resolver problemas e interpretar porcentajes. 14, 15, 16 y 17 / 4
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Números
Funciones
Para un partido de exhibición de Fernando González, la recaudación dependerá de la
cantidad de personas que asistan. Matemáticamente podemos expresar esto usando
álgebra:
Recaudación = $ 12.000 · cantidad de personas , o bien,
R = 12.000 · P
Esta expresión matemática corresponde a una función y que generalmente se escribe
de la siguiente forma:
R = f(P)
Se lee: “R es una función de P” o “R depende de P”
A R y P las llamamos variables, ya que pueden tomar diferentes valores, por ejemplo:
Si P = 126, entonces R = f(126) = 12.000 · 126 = 1.512.000
Si P = 1.000, entonces R = f(1.000) = 12.000 · 1.000 = 12.000.000
En ambos casos, obtenemos el valor de R según el valor que le demos a P y debido
a esto es que generalmente llamamos a P la variable independiente y a R la variable
dependiente.
Veamos algunos ejemplos:
1. ¿Cuál es el valor de R para f(5.340)?
Si P = 5.340, entonces
R = f(5.340) = 12.000 · 5.349 = 64.080.000
Entonces, se recaudaron $ 64.080.000.
2. ¿Cuántas personas asistieron si la recaudación fue de $ 6.720.000?
Es decir, R = 6.720.000 y R = f(P), de donde,
6.720.000 = 12.000 · P, despejando tenemos:
P =
Luego, asistieron 560 personas.
Para cada valor de P obtenemos un único valor de R y esto hace que la relación f
sea una función.
6.720.000
12.000
Entrada general
$ 12.000
Partido exhibición
Fernando González
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| 131 | Matemática
En nuestro ejemplo, la variable P puede tomar valores enteros mayores o iguales que 0.
A este conjunto de posibles valores se le llama dominio de la función f (dom f), en cam-
bio a los valores que toma R, según cada valor de P, se le denomina recorrido de la
función (rec f). En ambos casos se utilizan símbolos matemáticos para representar estos
conjuntos:
PRACTICA
La entrada para ver una película en el cine cuesta $ 3.200.
1. Expresa el número de entradas (E) y el total pagado
(P) mediante un modelo matemático.
2. ¿Cuál es el precio de 5 entradas?
3. ¿Cuál es el precio de 12 entradas?
4. ¿Cuántas entradas se compraron si por ellas se pagó
$51.200?
5. Completa la siguiente tabla.
Entradas 3 5 8 12 20
Precio final
6. Construye el gráfico según los resultados de la tabla?
7. ¿Con qué tipo de proporcionalidad se puede rela-
cionar el gráfico anterior? Justifica.
dom f
x
f(x)
rec f
y
dom f = ‫ގ‬ ഫ {0} rec f = {y ∈‫ގ‬ / y = 12.000x}
Una función es una relación entre dos
cantidades variables x e y, de modo que
a cada valor de x le corresponde un único
valor de y.
También se puede representar como y = f(x).
SOS MAT
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Números
El siguiente esquema representa una función. Completa
según los datos entregados.
8. Calcula f(2), f(3), f(4), f(5).
9. ¿Cuál es el dominio de esta función?
10. ¿Cuál es el recorrido de esta función?
11. ¿Cuál sería en este caso la variable independiente?
12. ¿Y cuál la dependiente?
13. Calcula f(6) y f(–6).
14. Haz un gráfico con los valores obtenidos.
Considera el siguiente dominio: dom f = {1, 2, 3, 4, 5} y
calcula en cada caso.
15. Si f(x) = x + 5 entonces: f(3) – f(2) = ?
16. Si f(x) = 2x – 1 entonces: f(5) + f(2) = ?
17. Si f(x) = 2x + 1 entonces: f(1) + f(2) + ... + f(5) = ?
La función que relaciona la equivalencia entre metros (m)
y kilómetros (k) está dada por m = 1.000 · k.
18. Determina la variable dependiente e independiente.
f
1
–1
2 3 4 5
f(x) = 3x – 4
Entrada
Salida
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| 133 | Matemática
19. Indica el dominio y recorrido de la función.
20. Utilizando la expresión anterior calcula a cuántos
metros equivalen 12,5 kilómetros.
En el siguiente gráfico se muestra el costo de una llamada
telefónica.
21. Determina la función que relaciona el número de
minutos (M) y el valor de la llamada (V).
22. Indica la variable dependiente y la variable independiente.
23. Determina el dominio y recorrido de la función.
24. Si una persona pagó $ 500 por el total de su llamada,
¿cuántos minutos habló?
25. ¿Cuánto se deberá pagar por una llamada de 25 minutos?
Resuelve en cada caso.
26. Construye una función f que genere números pares,
es decir que tome números naturales y el resultado
sea siempre un número par.
27. Construye una función g que genere números
impares, es decir que tome un número natural y el
resultado sea un número impar.
28. Construye una función h que genere números natu-
rales mayores que 11.
29. Construye una función m que genere los múltiplos de
4 y que sean mayores que 5, es decir que m(1) = 8,
m(2) = 12, y así sucesivamente.
1.600
1.400
1.200
1.000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Minutos
Costosdellamada
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Números
Proporcionalidad directa:
constante y gráfico
En un periódico se publica
el siguiente gráfico para ilustrar
el gasto mensual dependiendo
del consumo eléctrico de
una familia.
Como puedes ver, el gráfico
tiene la forma de una línea
recta ascendente.
Podríamos afirmar que
“a medida que aumenta
el consumo, aumenta el
cantidad a pagar”.
Pero observa además que existe una regularidad en la relación de estas variables.
Por ejemplo, por 20 kWh se deben cancelar $ 2.160, ¿qué ocurrirá si se aumenta al
triple el consumo? Del gráfico sabemos que 60 kWh cuestan $ 6.480, es decir,
20 • 3 = 60
2.160 • 3 = 6.480
Cuando la variación entre dos variables es constante, es decir, una aumenta o disminuye
la misma cantidad de veces que la otra, se dice que las variables son directamente pro-
porcionales.
La energía eléctrica en Chile proviene
de dos tipos de centrales:
Centrales hidroeléctricas: aprovechan
la fuerza del agua de los ríos para
producir electricidad.
Centrales termoeléctricas: producen
electricidad usando energía del
petróleo o carbón.
NUESTRO CHILE
Ambas cantidades
se triplicaron.
PRACTICA
Representa las siguientes relaciones en un
gráfico y determina si corresponden o no
a una proporcionalidad directa.
1. A 1 2 3 4
B 5 10 15 20
2. X 4 6 8 10
Y 5 6 7 8
3. P 4 8 10
Q 1 2 2,5
Consumo (kWh)
Precio($)
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| 135 | Matemática
Así, si P es el precio y C es el consumo eléctrico, podemos decir que:
- Si P disminuye a la mitad, C también disminuye a la mitad.
- Si C se duplica, P también se duplica.
- Si P se multiplica por , C también se multiplica por .
Esto ocurre puesto que el cociente entre P y C es constante, en términos algebraicos,
= k constante de proporcionalidad directa.
Completa la siguiente tabla para verificarlo.
P 1.080 2.160 4.320 7.560 8.640
C 10 30 50 60
108
¿Qué representa la constante de proporcionalidad en este caso? Comenta con tus
compañeros y compañeras.
P
C
P
C
1
5
1
5
Completa sabiendo que las variables M y N se relacionan
de manera directamente proporcional.
4. Si M se reduce a la mitad, entonces N
.
5. Si N se mantiene constante, entonces M
.
6. Si M se amplifica por 0,56, entonces N
.
T y S, en ese orden, forman una proporcionalidad
directa. Responde.
7. Si el valor de T es 40 y la constante de proporcionali-
dad es 5, ¿cuál es el valor de S?
8. Si el valor de S es 22 y la constante de proporcionali-
dad es 3, ¿cuál es el valor de T?
9. Si el valor de T es 28 y el de S es 7, ¿cuál es el valor
de la constante de proporcionalidad?
EN SÍNTESIS
Dos variables A y B se relacionan de manera directamente proporcional,
En su gráfica siempre se apreciará una línea recta ascendente que pasa
por el origen del plano cartesiano.
si su cociente es constante. Algebraicamente, = k (k: constante)
A
B
Plano cartesiano: Está formado por dos
rectas perpendiculares. El punto en donde
se intersectan corresponden al origen y al
par ordenado (0,0). El eje vertical es el eje
de las ordenadas, comunmente llamado y,
el eje horizontal es el eje de las abcisas
comunmente llamado x. Estos ejes forman
la base del sistema de coordenadas carte-
sianas en donde se pueden graficar todos
los pares ordenados de la forma (x,y).
SOS MAT
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Números
Proporcionalidad directa: modelo
matemático
¿Qué información podemos obtener con lo que sabe Ignacio? Veamos.
Si llamamos D a la distancia que lleva recorrida el papá (en km), T al tiempo que lleva
manejando el auto (en horas) y la rapidez es de 90 km/h, es posible plantear la siguiente
expresión que las relaciona:
D = 90T
Con este modelo matemático es posible obtener bastante información, por ejemplo,
podemos saber la distancia recorrida en distintos momentos del viaje.
Luego de 1,5 horas, ¿cuántos km lleva recorridos?
Reemplazamos T por 1,5 en la expresión y se obtiene:
D = 90 • 1,5 = 135
Por lo tanto, el papá lleva recorridos 135 km.
También podemos saber el tiempo que lleva de viaje según la distancia recorrida hasta
el momento.
A los 225 km, ¿cuánto tiempo ha transcurrido?
Reemplazamos D por 225 en la expresión y se obtiene:
225 = 90T
= T
2,5 = T
Por lo tanto, el papá ha manejado durante 2,5 horas.
225
90
La rapidez es la relación entre la distancia
recorrida y el tiempo que tomó recorrerla.
Para hablar de velocidad debemos
mencionar un sentido y una dirección ya
que es una magnitud vectorial.
SOS MAT
Dos variables P y Q forman una propor-
cionalidad directa si
= k
Si se invierten las variables, su constante
también se invertirá:
=
1
k
Q
P
P
Q
SOS MAT
Mi papá tuvo que viajar de Rancagua
a Zapallar. Quiero saber cuánto
se va a demorar, pero solo sé
que viajará a 90 km/h en promedio.
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| 137 | Matemática
EN SÍNTESIS
El modelo matemático de la proporcionalidad directa se puede escribir
como:
= k o equivalentemente A = B • k
Donde k es la constante de proporcionalidad entre las variables A y B.
A
B
Es decir, el cociente entre
ambas variables es constante.
Su gráfico asociado es una recta.
PRACTICA
Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una proporcionalidad
directa, pues:
Así, Ignacio solo debe consultar la distancia que hay entre Rancagua y Zapallar
(265 km). Al hacer el cálculo obtiene que se demorará 2,9 horas.
D = 90 • T ⇔ = 90
D
T
Tiempo
Distancia
Completa las tablas a partir de cada modelo de propor-
cionalidad directa dado.
1. A = 3 • B
A 12 36
B 2
2. T = 0,5 • P
T 0,5 6,5
P 4
3. M/N = 1
M 0,12 0,04
N 1,37
Para cada situación escribe el modelo de
proporcionalidad directa que se puede
utilizar para resolver el problema. Luego,
dibuja el gráfico correspondiente y resuelve.
4. Una impresora imprime 14 páginas en escala de grises
por minuto. ¿Cuántas páginas de esas imprimirá en 2
horas, en 3 horas, en 4 horas, etc.?
5. En una receta de panqueques, por cada 3 tazas de
harina se utilizan 2 huevos. Si se tienen 7 huevos para
hacer panqueques, ¿cuántas tazas de harina se necesi-
tarán? ¿Y si hay 8 huevos? ¿Y con 10 huevos?
6. Una caja con 12 paquetes de leche pesa 6 kg.
¿Cuánto pesará una caja con 8 paquetes? ¿y una con
15 paquetes? ¿y otra con 18 paquetes?
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Números
Proporcionalidad inversa
Una profesora pidió a sus alumnos(as) que construyeran rectángulos en cartulina con
una condición importante: todos deberían tener un área igual 24 cm
2
.
Luego de unos minutos se anotaron las distintas dimensiones obtenidas en una tabla.
Solo se consideraron valores enteros.
Veamos algunas conclusiones que podemos obtener de la tabla.
1. Si uno de los lados del rectángulo se duplica, ¿qué deberías hacer con la medida
del otro lado para que la condición del problema se mantenga (tener área igual a
24 cm
2
)?
De la tabla tomemos por ejemplo el primer y segundo rectángulo. El lado 1 se
duplicó y el lado 2 se redujo a la mitad.
2. Si uno de los lados del rectángulo se triplica, ¿qué sucede con la medida del otro
lado para que el área se mantenga igual a 24 cm
2
?
Si observas el segundo y quinto rectángulo te darás cuenta que mientras una de
las medidas se triplicó, la otra se redujo a la tercera parte.
Al construir un gráfico usando la tabla obtenemos una línea curva y que por su forma
recibe el nombre de hipérbola.
Lado 1 Lado 2
1 cm 24 cm
2 cm 12 cm
3 cm 8 cm
4 cm 6 cm
6 cm 4 cm
24 cm 12 cm
1 cm 2 cm
12 cm
4 cm
6 cm2 cm
Lado 1
Lado2
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| 139 | Matemática
Ya sabemos que en nuestro problema el producto se mantiene constante. Si llama-
mos x e y a las medidas de los lados del rectángulo tendremos que:
x • y = 24
Así, x e y forman una relación de proporcionalidad inversa pues el producto de sus
magnitudes es siempre constante. Por ejemplo, si x aumenta al doble, y se reduce a
la mitad.
EN SÍNTESIS
Dos variables M y N forman una relación de proporcionalidad inversa
si el producto de sus magnitudes permanece constante.
Algebraicamente,
M • N = k
donde k es la constante de proporcionalidad inversa.
El gráfico correspondiente a este tipo de proporcionalidad es una curva
llamada hipérbola.
PRACTICA
Representa las siguientes relaciones en un
gráfico y determina si corresponden o no
a una relación de proporcionalidad inversa.
1. A 12 4 6 1
B 1 3 2 12
2. X 4 6 8 10
Y 10 8 6 4
3. P 4 2 0,5
Q 1 2 8
4. V 3 2 1 0,5
W 6 9 18 36
Completa cada afirmación, sabiendo que las variables
M y N se relacionan de manera inversamente proporcional.
5. Si M se reduce a la mitad, entonces N
.
6. Si N
, entonces M se divide en 5.
7. Si N se mantiene constante, entonces M
.
8. Si M se amplifica por 7, entonces N
.
9. Si N se amplifica por 0,2, entonces M
.
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Números
Proporcionalidad inversa: modelo
matemático
Pilar y su abuelita tienen una mini empresa de venta de bufandas: La abuelita las confec-
ciona y Pilar las vende. Ellas pretenden obtener cómo venta total $ 20.000. Como
podrás adivinar, si el precio de cada bufanda es muy caro lo más probable es que no les
vaya muy bien o si son muy baratas tendrán que vender muchas bufandas para llegar a
la meta.
Si llamamos B a la cantidad de bufandas que se fabrican y P al precio que tendrá cada
una de ellas, es posible plantear la siguiente expresión que las relaciona:
B • P = 20.000
Con este modelo matemático es posible saber, por ejemplo, la cantidad de bufandas
que se necesitan si se fija un precio determinado para ellas.
También podemos saber el precio de cada bufanda, si conocemos la cantidad que se
han confeccionado.
Si se quiere vender solo 5 bufandas, ¿en cuánto se debe vender cada una?
Reemplazamos B por 5 y se obtiene:
5 • P = 20.000
B =
B = 4.000
Por lo tanto, Pilar debe cobrar $4.000 por cada bufanda.
20.000
5
Si cada bufanda se vende en $ 2.500, ¿cuántas bufandas necesita vender?
Reemplazamos P por 2.500 y se obtiene:
B • 2.500 = 20.000
B =
B = 8
Por lo tanto, Pilar necesita vender 8 bufandas.
20.000
2.500
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| 141 | Matemática
Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una relación de propor-
cionalidad inversa, pues:
B • P = 20.000
Es decir, el producto entre ambas
magnitudes es constante. Su gráfico
asociado es una curva llamada
hipérbola.
EN SÍNTESIS
El modelo matemático de la proporcionalidad inversa se puede escribir
como
M • N = q o equivalentemente M =
Donde q es la constante de proporcionalidad inversa entre las variables
M y N.
q
N
La hipérbola es una curva que resulta de la
intersección de una superficie cónica con un
plano.
SOS MAT
PRACTICA
Completa según la información dada.
1. A • B = 36
2. T • P = 12
3. M • N = 1
Resuelve cada problema planteando un modelo
matemático de la situación. Dibuja el gráfico
que corresponda en cada caso.
4. En un viaje de estudio se ha arrendado un bus para el
transporte. Si van 30 alumnos y cada uno debe pagar
$ 1.800. ¿Cuánto debería pagar cada uno, si solo asis-
ten 25 alumnos? ¿y si asisten 20 alumnos?
5. Un auto que se desplaza a 70 km/h demora 5 horas
en recorrer una distancia determinada. ¿Cuántas horas
demoraría en recorrer la misma distancia pero a una
rapidez de 80 km/h? ¿y a 100 km/h?
6. Si 40 empleados realizan un trabajo en 10 días,
¿cuántos empleados se requerirán para terminar el
mismo trabajo en tan solo 8 días? ¿y para terminarlo
en 4 días?
7. Un campesino tiene alimento suficiente para alimentar
20 animales por 30 días. ¿Cuánto le durará el alimento
si compra 10 animales más, manteniendo la misma
ración por cada uno de ellos? ¿y si compra 5 más?
M 0,1 1
N 10
T 2 1
P 4
A 12 36
B 2
Bufandas
Precio
En cada problema
marca los datos
que usarás.
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¿Cómo voy?
1 Un curso ha decidido hacer una rifa y pedir una cuota a
cada estudiante para juntar fondos. Si en total se recau-
daron $ 43.200 y se sabe que la rifa corresponde al
doble del dinero juntado por las cuotas, ¿cuánto dinero
se recaudó por las cuotas de los alumnos y alumnas?
A. $ 12.200 C. $ 28.800
B. $ 14.400 D. $ 31.100
2 Dos amigos aportaron $ 200 y $ 300, respectivamente,
para comprar un boleto de lotería. Si en el sorteo gana-
ron $ 45.000 y se lo reparten de manera proporcional a
lo que aportó cada uno, ¿cuánto dinero se lleva el amigo
que aportó más?
A. $ 9.000 C. $ 27.000
B. $ 18.000 D. $ 36.000
3 Según el gráfico, ¿cuál es la función que relaciona las
variables X e Y?
A. y = 2x B. y = 4x C. y = 3x D. y = 5x
4 La relación que existe entre el tiempo que está encendida
una ampolleta (T) y el consumo eléctrico de ella (E) es:
= 100
¿Qué tipo de relación forman ambas variables?
A. Proporcionalidad directa.
B. Proporcionalidad inversa.
C. Proporcionalidad variable.
D. No hay relación proporcional.
5 Las variables de la tabla se relacionan de manera propor-
cional. ¿Cuál es su constante?
A 2 4 20
B 10 5 1
A. 20 C. 5
B. 10 D. 1
6 Dos magnitudes P y Q se relacionan de manera inversa-
mente proporcional si:
A. = k C. = k
B. P • Q = k D. P • k = Q
7 Un maestro levanta una muralla de 5 m
2
en dos horas
de trabajo. Si trabaja a horas seguidas, ¿cuántos m
2
de
muralla construirá? Haz un gráfico que relacione las
variables m
2
construidos y la cantidad de horas trabaja-
das y luego responde la pregunta dada.
.
.
.
Q
P
P
Q
E
T
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Plantear funciones y expresiones algebraicas para
relacionar variables y resolver problemas.
Aplicar proporcionalidad directa para relacionar
variables, analizando gráficos y constantes de
proporcionalidad.
Aplicar proporcionalidad inversa para relacionar
variables, analizando gráficos y constantes de
proporcionalidad.
¿Cómo me fue?
Si obtuviste 2 o menos respuestas
correctas, realiza la actividad 1.
¿QUÉ DEBES HACER?PREGUNTASINDICADOR
¿Qué debes hacer?
ACTIVIDAD 1
| 143 | Matemática
1, 2 y 3
4 y 7
5 y 6
a. Expresa las siguientes relaciones
con expresiones algebraicas:
- Los dulces que tiene Diego (D) e
Ignacio (I) son, en total, 16.
- Isabel (I) ha leído 20 páginas más
del libro que Francisco (F).
- La edad de Jorge (J) es el doble
que la de Martina (M).
b. Resuelve.
Un empresario regalará 450 entra-
das a sus tres departamentos de
manera proporcional a la cantidad
de personas que los componen. El
departamento de Marketing tiene
10 empleados; el de
Remuneraciones, 15 y el de
Producción, 20, ¿cuántas entradas
se repartirán a cada departamento?
ACTIVIDAD 2
a. Completa cada tabla para que
formen una proporcionalidad
directa y escribe su modelo asociado.
b. Escoge una de las tablas anteriores
y grafícala en un plano cartesiano.
ACTIVIDAD 3
a. Completa cada tabla para que
formen una proporcionalidad
inversa y escribe su modelo asociado.
b. Escoge una de las tablas anteriores
y grafícala en un plano cartesiano.
RESPUESTAS
CORRECTAS
A 1 4 6
B 2 4 7
A 2 4 3
B 6 10 15
A 2 1,2 3
B 1,6 0,8 0,1
A 1 3 4
B 3 6 24
A 2 6 3
B 5 9 10
A 0,6 2,8 2,4
B 2 6 0,2
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Números
Variaciones proporcionales y
no proporcionales
En las páginas anteriores, ya has visto cómo relacionar dos o más variables a través de
expresiones algebraicas o ecuaciones y los tipos de relaciones de proporcionalidad
que se pueden establecer entre ellas.
Analicemos ahora distintas situaciones para distinguir cuándo estamos en presencia de
una relación de proporcionalidad o no.
Situación 1
La empresa A de telefonía celular tiene un plan con un costo fijo de $ 3.000 y $ 100 por
cada minuto de llamada. La empresa B, en cambio, solo cobra $ 200 por cada minuto y
no tiene costo fijo. Por ejemplo, si una persona habla 10 minutos usando la empresa A su
cuenta sería de:
Empresa A: $ 3.000 + 10 min x $ 100 = $ 4.000
Estos mismos 10 minutos en la empresa B serían:
Empresa B: 10 min x $ 200 = $ 2.000
Observa el gráfico que ilustra esta situación.
Las relaciones de proporcionalidad entre
dos variables pueden ser directas o inversas.
En ocasiones, si hay más de dos variables
relacionadas entre sí se habla proporcionali-
dad compuesta.
SOS MAT
Minutos
Empresa A
Empresa B
Costo $
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| 145 | Matemática
Minutos
Costo $
Tabla 1: Empresa A Tabla 2: Empresa B
Empresa A Empresa B
Considera los minutos usados (M) y la cuenta total a pagar (C) en cada empresa de telefonía. ¿Se relacionan de manera propor-
cional estas cantidades?
A simple vista podríamos pensar que sí forman una proporcionalidad directa, pues en ambos casos al aumentar los minutos de
llamadas, aumenta el precio que se debe pagar, pero recuerda que dos variables se relacionan en proporcionalidad directa solo
sí el cociente entre sus magnitudes es constante. Completa las tablas para examinar esta condición.
C 3.100 3.200 3.500 4.000 C 200 400 1.000 2.000
M 1 2 5 10 M 1 2 5 10
Como puedes observar, las variables determinan una variación proporcional en la tabla 2, pero no en la tabla 1. Esto se debe
al monto fijo que se debe pagar inicialmente. Observa los modelos matemáticos que están detrás de cada caso:
C = 3.000 + 100 • M C = 200 • M
Sigamos con el análisis de estas empresas, ¿cuál elegirías tú?
Observando la tabla la respuesta parece obvia: la empresa B es la más barata. Si embargo, al aumentar la cantidad de minutos puedes
llevarte una sorpresa. Completa el gráfico y señala cuando es más conveniente una empresa en relación a la otra.
C
M
C
M
No corresponde al modelo
Sí corresponde al modelo
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Números
Situación 2
En Física es común utilizar expresiones matemáticas
para simbolizar la relación entre variables. Una de estas
corresponde a la relación entre las variables velocidad
(v), distancia (d) y tiempo (t) de un automóvil:
v =
De esta expresión podemos deducir lo siguiente:
a. Si dejamos d como constante, la velocidad y el tiempo determinan una relación proporcional inversa.
vt = d
Por ejemplo, si la distancia a recorrer por un automóvil
es 100 km, a una mayor velocidad obtendrá un menor
tiempo y por el contrario, si su velocidad es muy
pequeña demorará mucho más tiempo en recorrer
estos 100 km.
El siguiente gráfico ilustra la situación.
¿Qué valor tiene la velocidad para un tiempo igual
a 10 horas? Completa el gráfico con este valor.
b. Si la velocidad es constante, entonces las variables d y t determinan una relación proporcional directa de constante v.
Por ejemplo, si la velocidad de un automóvil es siem-
pre 50 km/h, a mayor distancia a recorrer mayor
tiempo se va a demorar y viceversa.
d
t
t (horas)
v(km/h)
t (horas)
v(km/h)
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| 147 | Matemática
EN SÍNTESIS
Para determinar si dos variables se relacionan proporcionalmente hay
que comprobar que cumplan con el modelo matemático que corresponda,
es decir, en el caso de la proporcionalidad directa, que el cociente sea
constante, y en el caso de la proporcionalidad inversa que el producto
sea constante.
PRACTICA
La fotocopiadora de un colegio cobraba $ 20
por cada fotocopia. A la vuelta de las
vacaciones de invierno, ésta rebajó su precio
a $ 15 para atraer a más estudiantes.
1. ¿Es el precio que se paga y la cantidad de fotocopias
una relación de proporcionalidad antes de las vaca-
ciones de invierno?
2. ¿Y después? Justifica utilizando gráficos y la constante
de proporcionalidad.
Un jardín ha sido atacado por una plaga de 1.024 termitas.
Para eliminarla se roció un desinfectante que elimina la
mitad de las termitas luego de cada aplicación diaria.
3. Completa la tabla.
Número
1.024
de termitas
Día de
aplicación
1 2 3 4 5 6 7
4. Haz un gráfico que muestre, en el eje x,
el día de aplicación, y en el eje y, la cantidad
de termitas.
5. ¿Establecen los días de aplicación y el número de
termitas una relación de proporcionalidad? Justifica.
Una empresa vende jugos en polvo al por mayor. Para cal-
cular el precio total de la compra, se utiliza el gráfico que
se presenta.
6. ¿La cantidad de jugos y el precio determinan una
relación de proporcionalidad? Justifica.
7. ¿En qué intervalos de la cantidad de jugos se da una
relación de proporcionalidad? Para cada intervalo
escribe la constante de proporcionalidad.
Cantidad de jugos
Precio
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Números
El litro (L) es una unidad de volumen
equivalente a un decímetro cúbico (1 dm
3
).
1L = 1.000 ml = 100 cl = 10 dl
SOS MAT
Razón del azul
en la mezcla original
Porcentaje y proporcionalidad
Víctor y Carolina quieren pintar su pieza de un color especial. Para eso compraron una
mezcla de 3 colores primarios de pintura, según la cantidad que se indica en la etiqueta:
¿Qué porcentaje de la mezcla corresponde al color azul?
Para contestar debemos establecer la siguiente proporción:
= ⇔ x = = 30 30%
¿Cuántos cl de color azul habrá en 100 cl de la mezcla?
Para contestar debemos utilizar el mismo procedimiento para el cálculo de un
porcentaje:
= ⇔ x = = 30 30 cl
Pues hay una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de color azul y la
cantidad total de mezcla que hay. ¿Por qué ocurre esto? Comenta.
15 • 100
50
x
100
15
50
15 • 100
50
x
100
15
50
Cambio a 100 cl
de mezcla
Razón con referente
100 para porcentajeRazón del azul en
la mezcla original
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| 149 | Matemática
Para calcular el a% de un número x
se calcula:
a • x
100
SOS MAT
La equivalencia anterior se debe a que el porcentaje corresponde a un caso particular de
una relación de proporcionalidad directa, pues en él siempre tendrás como referente el
valor 100.
¿Qué porcentaje de la mezcla corresponde a los otros dos colores? Calcúlalos.
EN SÍNTESIS
El porcentaje es una relación de proporcionalidad directa en el cual uno de
sus términos siempre tiene magnitud 100.
PRACTICA
Calcula.
1. El 10% de 300 =
2. El 17% de 100 =
3. El 50% de 45 =
4. El 6% de 1.000 =
5. El 13% de 10 =
6. El 20% de 200 =
7. El 15% de 30 =
8. El 12% de 120 =
9. El 8% de 500 =
10. El 10% de 568 =
11. El 25% de 240 =
12. El 75% de 360 =
13. El 30% de 10 =
14. El 0,7% de 1.000 =
15. El 5% de 900 =
Resuelve los siguientes problemas.
16. En un colegio, ha salido de excursión el 30% de los
alumnos. Si el colegio tiene 240 alumnos, ¿cuántos
fueron a la excursión?, ¿A qué porcentaje corresponden
los que no fueron?
17. Un pantalón inicialmente costaba $ 14.000. Si le
hicieron una rebaja del 10% y luego, sobre el precio
en el que quedó, otra del 20%. ¿Con qué porcentaje
de rebaja, respecto del precio inicial, está ahora el
pantalón?
18. En un hospital, el 20% de las personas que hay allí
corresponden a personal del hospital y el resto, a
pacientes. De los pacientes, el 40% es hombre. Si hay
150 personas en el hospital, ¿cuántos pacientes son
hombres?, ¿cuál es el porcentaje de pacientes mujeres?
19. Para hacer arroz con leche, para seis personas, se
necesitan 2 litros de leche y 500 g de arroz. ¿Cuál es
el porcentaje de aumento, para cada ingrediente, si se
quiere hacer arroz con leche para 9 personas?
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Números
Porcentaje y álgebra
En el edificio donde vive Felipe aún no se venden todos los departamentos. Existe una
oferta en el precio de las bodegas pero lamentablemente el letrero fue rayado y no
se sabe si es un 65% de 80 UF o un 80% de rebaja sobre 65 UF. Felipe calculó ambos
casos…
¿Por qué Felipe obtiene el mismo resultado en ambos casos? Analiza.
En términos algebraicos, el a% lo podemos representar como , de esta manera,
si queremos calcular:
El a% de una cantidad p es • p
El p% de una cantidad a es • a
Luego, por la propiedad de la conmutatividad de la multiplicación, sabemos que:
a • = p •
Así, hemos verificado que:
El a% de p es equivalente al p% de a.
Por esta razón, Felipe obtuvo los mismos resultados.
Lo anterior te puede facilitar el cálculo de algunos ejercicios, por ejemplo:
1. Calcular el 34% de 50.
Sabemos que es equivalente a calcular el 50% de 34, es decir, la mitad de 34 que
es 17. Entonces, el 34% de 25 es 17.
2. Calcular el 18% de 25.
Esto equivale a calcular el 25% de 18 o también la cuarta parte de de 18. En otras
palabras podemos calcular la mitad de la mitad de 18:
18 9 4,5
El 18% de 25 es 4,5.
a
100
p
100
p
100
a
100
a
100La propiedad conmutativa de la
multiplicación se expresa como
m • n = n • m
SOS MAT
GLOSARIO
Álgebra: Parte de las matemáticas en
la cual las operaciones aritméticas son
generalizadas empleando números,
letras y signos. Cada letra o signo
representa simbólicamente un
número u otra entidad matemática.
Cuando alguno de los signos repre-
senta un valor desconocido se llama
incógnita.
(Fuente: Real Academia Española de
la Lengua).
65% de 80 = 65 •
= 52
80
100
=
5.200
100 =
5.200
100
80% de 65 = 80 •
= 52
65
100
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| 151 | Matemática
Recuerda que todo porcentaje se puede
expresar como fracción o número decimal.
30% 0,3
25% = 0,25
1
4
25
100
30
100
SOS MAT
EN SÍNTESIS
El a% de una cantidad p se expresa como .
a • p
100
El número del cual q es el b% se expresa como .
100q
b
porcentaje
Veamos otra pregunta que se hizo Felipe:
Si q es el b% de un número, ¿cuál es el número?
Llamemos al número buscado x, entonces:
= x =
Así, el número buscado es .
100q
b
100q
b
b
100
q
x
número
PRACTICA
Expresa los siguientes ejercicios de una manera más simple
y calcula sus resultados.
1. 35% de 20
2. 96% de 25
3. 71% de 10
4. 44% de 75
5. 98% de 50
Escribe la expresión matemática que representa a cada
afirmación.
6. El m% de 25
7. El 20% de k
8. El a% del b% de 30
9. El 50% del c% de x
Responde y justifica en cada caso.
10. ¿Es cierto que el a% de 100 es a?
11. ¿Es cierto que el 80% de b se puede expresar como
0,8 • b?
12. ¿Es cierto que el a% del b% de un número es igual a
a • (a • b)% del número?
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1. Un condominio está formado por 3 edificios El Roble, El Olmo y El Arce. Toda la comunidad se está organizando para
plantar arbustos nuevos en el jardín, con un costo de $ 77.000. ¿Qué cantidad de dinero es la que debe aportar cada
edificio, si sus habitantes son 54, 68 y 32, respectivamente y el aporte será proporcional al nº de habitantes de cada uno?
Se plantea la ecuación del reparto proporcional, donde x es el factor de reparto.
2. El gráfico muestra la relación entre dos variables A y B.
a. ¿Las variables se relacionan de manera proporcional? Justifica.
b. Si es así, ¿cuál es la constante de proporcionalidad de la relación?
Se plantea la ecuación del reparto
proporcioal, donde x es el
factor de reparto.
Se calcula el aporte de cada edificio,
multiplicando el factor de reparto por la
cantidad de habitantes de cada uno.
Se analiza el gráfico y se calculan
valores que verifiquen si existe una
constante de proporcionalidad.
La constante de proporcionalidad
corresponde al valor que resulta del
producto de las magnitudes.
El ejercicio se resuelve mediante un reparto proporcional.
54x + 68x + 32x = 77.000
154x = 77.000
x =
x = 500
Así, el edificio El Roble, que tiene 54 habitantes, debe aportar con
54 • 500 = $ 27.000
El Olmo 68 • 500 = $ 34.000
El Arce 32 • 500 = $ 16.000
77.000
154
{
a. El gráfico se asemeja a una rama de hipérbola, entonces se debe
verificar si hay proporcionalidad inversa.
30 • 1 = 30 15 • 2 = 30 10 • 3 = 30 6 • 5 = 30
Como el producto se mantiene constante, existe dicha relación.
b. La constante de proporcionalidad es 30.
Variable A
VariableB
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a. Si D es constante (k), por la fórmula nos quedaría
150 = V • T
es decir, el producto de las variables es constante. Así, la velocidad y
el tiempo son inversamente proporcionales.
b. Si V es constante (k), obtenemos
= 100
Luego, el cociente es constante y, por ende, la distancia y el tiempo
son directamente proporcionales.
D
T
a. Mezcla Coffechoc suave: 0,7 • C + 0,2 • CH + 0,1 • L
Mezcla Coffechoc fuerte: 0,6 • C + 0,25 • CH + 0,15 • L
b. Mezcla Coffechoc suave:
Café: 70% de 300 0,7 • 300= 210 C = 210 cc
Chocolate: 20% de 300 0,2 • 300 = 60 CH = 60 cc
Leche: 10% de 300 0,1 • 300 = 30 L = 30 cc
Mezcla Coffechoc fuerte:
Café: 60% de 300 0,6 • 300= 180 C = 180 cc
Chocolate: 25% de 300 0,25 • 300 = 75 CH =75 cc
Leche: 15% de 300 0,15 • 300 = 45 L = 45 cc
3. Una de las fórmulas más usada y sencilla en Física es la del movimiento rectilíneo uniforme (MRU), ella es
D = V · T, donde D es la distancia, V la velocidad y T el tiempo.
a. Si la distancia a recorrer es 150 km, ¿qué relación se establece entre V y T?
b. Si la velocidad permanece constante a 100 km/h, ¿qué relación se establece entre D y T?
4. En una cafetería se mezclan tres productos distintos para hacer dos sabores de café. La tabla muestra el porcentaje de
cada ingrediente que hay en cada uno de ellos.
Mezcla Café (C) Chocolate(CH) Leche (L)
Coffechoc suave 70 % 20 % 10 %
Coffechoc fuerte 60 % 25 % 15 %
a. ¿Qué expresión matemática representa a cada mezcla?
b. Si el total de contenido en cada mezcla es de 300 cc, ¿qué cantidad de cada ingrediente correspondería a cada mezcla?
| 153 | Matemática
Se analiza la expresión y se verifica que
el modelo matemático resultante es de
proporcionalidad directa.
Se analiza la expresión y se verifica que
el modelo matemático resultante es de
proporcionalidad inversa.
La expresión para cada mezcla es la
suma de los productos entre el porcentaje
expresado en decimal, con la variable
correspondiente a cada ingrediente.
Se obtiene la cantidad de cada
ingrediente calculando el porcentaje de
cada uno según lo indicado en la tabla.
{
{
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Estrategias para resolver problemas
Resuelve el siguiente problema.
1. La mamá de Isabel tiene un jardín de forma rectangular. Ella quiere agrandarlo para que ocupe un mayor espacio en el patio
y se vea más bonito, por eso ha decidido duplicar la medida del ancho y el largo del jardín (cada uno, respectivamente). ¿En
qué porcentaje se incrementará la superficie de este nuevo jardín respecto del anterior?
USANDO TU ESTRATEGIA
Observa atentamente la estrategia usada para resolver el siguiente problema.
2. En la clase de educación artística, el profesor repartió a todos los alumnos una cartulina de forma cuadrada. Si los alumnos la
debieron recortar para hacer otro cuadrado cuyo lado sea un 75 % del lado de la cartulina, ¿qué porcentaje de la cartulina
corresponde al cuadrado que se ha recortado?
APLICANDO ALGUNA ESTRATEGIA Utilizar variables
Cada alumno posee una cartulina cuadrada, de la cual se desconoce
la medida de su lado. Luego, esta se ha recortado formando un nuevo
cuadrado cuya medida del lado es un 75 % de la medida del lado de la
cartulina entregada.
Queremos conocer qué porcentaje del área total de la cartulina
corresponde el área del cuadrado que se ha recortado.
¿Qué sabemos
del problema?
¿Qué queremos responder?
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Utiliza la estrategia que estimes conveniente para resolver los siguientes problemas.
1. Se ha cercado una plaza con forma de triángulo equilátero con un alambre. La municipalidad ha decidido ampliar
el sector cercado, para esto la orden es dar un 10 % más de alambre por cada lado de la plaza. ¿Cómo varía, en
términos porcentuales, la cantidad necesaria de alambre para cercar la plaza originalmente respecto a lo que se
necesita después de la orden de la municipalidad?
2. A un precio se le aplican dos descuentos sucesivos del 10%, finalmente, ¿en qué porcentaje queda rebajado?
3. Si el radio de un círculo aumenta en un 100%, entonces, ¿en qué porcentaje aumentará su área?
AHORA TÚ
| 155 | Matemática
¿Cómo resolvemos
el problema?
Aplicamos la estrategia
¿Qué aprendimos
con el problema?
Como no tenemos las dimensiones de la cartulina, le asignaremos una
variable a la medida del lado.
Supongamos que la medida de la cartulina es de a cm por lado.
Entonces, el área de ella es a cm • a cm = a
2
cm
2
Luego, el lado del cuadrado a recortar es el 75 % de a cm, así:
0,75 a cm.
Por lo tanto, el área del cuadrado que se ha recortado es
0,75 a cm · 0,75 a cm = 0,5625 a
2
cm
2
.
Ahora establecemos una proporción para calcular el porcentaje
x pedido:
cm
2
%
Por lo tanto, el área del cuadrado recortado es el 56,25 % del área de
la cartulina dada.
Siempre es posible utilizar el lenguaje algebraico para representar
valores desconocidos, realizar los cálculos y examinar las variaciones
que se producen.
= 100
x
a
2
0,5625a
2
= 100
x
1
0,5625
x = 0,5625
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Trabajo con la información
De acuerdo a la información del gráfico, responde las siguientes preguntas.
¿Qué cantidad de niños (varones) del sondeo tiene problemas de obesidad o sobrepeso?,
¿y de niñas?
¿Qué porcentaje del total de niños del sondeo corresponde a niñas con obesidad o
sobrepeso?
¿Qué porcentaje del total de niños del sondeo corresponde a niños (varones)
con obesidad o sobrepeso?
Suponiendo que en el 2010 el número de obesos en Chile alcanza a 4.000.500 personas,
¿cuál es el porcentaje de aumento del 2008 al 2010?
¿Cuántos niños del sondeo no se encuentran con sobrepeso u obesidad?
- El 48% sí tiene sobrepeso, por lo que, el 52% no fue diagnosticado en esa categoría.
Así, el 52% de 5.179 = 2.693,08
Por lo tanto, aproximadamente 2.693 niños no tenían sobrepeso u obesidad.
Un sondeo que midió el índi-
ce de masa corporal a 5.179
niños y niñas de 27 colegios
de 13 comunas de Santiago,
arrojó que un 48% se
encuentra con sobrepeso u
obesidad y que de esta cifra
el 51 % corresponde a niñas
y el 49 % restante a niños.
Así lo reveló ayer Jaime
Valenzuela, director de
NutriExpo, feria itinerante
que está recorriendo esta-
blecimientos educacionales
de la Región Metropolitana
con el objetivo de educar y
promover una sana alimen-
tación.
Se estima que actualmente
(2008) en Chile existen
3,4 millones de personas
obesas, las que superarán
los 4 millones en 2010, si se
mantiene la tendencia
actual. Esta alarmante cifra
fue la que llevó a Messe
Chile a organizar esta feria
itinerante que está patroci-
nada por los ministerios de
Salud y de Educación,
Chiledeportes, el Instituto
de Nutrición y Tecnología de
Alimentos (INTA) y la
Sociedad de Medicina
Familiar de Chile.
Sobrepeso y obesidad en escolares
(Fuente: http://www.lanacion.cl 9 de julio 2008 extracto).
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Síntesis
El siguiente esquema relaciona los principales conceptos que aprendiste en esta unidad. Lee atentamente y responde las
preguntas.
Ahora que cuentan con las herramientas necesarias respondan las siguientes preguntas basándose en la información
presentada en las páginas iniciales.
1. ¿En qué elementos de su proyecto es posible utilizar relaciones de proporcionalidad?
2. ¿En qué otras situaciones cotidianas son usados los modelos matemáticos de proporcionalidad?
3. Al investigar el tema, ¿qué información la consideras relevante de comentar?
4. ¿Cómo evalúas la participación de todos los integrantes del grupo? Justifica.
REVISANDO NUESTRO PROYECTO
1. ¿Qué tipo de gráfico está asociado a una relación de proporcionalidad directa? Dibújalo.
2. ¿Y a uno de proporcionalidad inversa? Dibújalo.
3. Da dos ejemplos de la vida diaria en que las magnitudes se relacionen proporcionalmente.
| 157 | Matemática
Proporcionalidad
Variables
Porcentaje
Ecuaciones
Dependientes Independientes
ÁlgebraDirecta Inversa
Gráficos
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Preguntas tipo Simce
Pregunta 1
Si L = 4 cuando K = 6 y M = 24, ¿cuál de las expresiones siguientes es verdadera? (TIMSS 2003)
A. L = D. L = K + M
B. L = E. L = M – K
C. L = KM
Pregunta 2
Carla pagó x zeds por 3 cajas de jugo. ¿Cuál es el precio en zeds de una caja de jugo? (TIMSS 2003)
A. C. 3 + x
B. D. 3x
Pregunta 3
Tres hermanos, Bob, Dan y Mark, reciben de regalo 45.000 zeds de su papá. El dinero se lo van a repartir de manera propor-
cional a la cantidad de hijos que cada uno tiene. Bob tiene 2 hijos, Dan tiene 3 hijos y Mark tiene 4 hijos. ¿Cuántos zeds recibe
Mark? (PISA 2003)
A. 5.000
B. 10.000
C. 15.000
D. 20.000
Lee con atención y responde las preguntas 4 y 5.
La doctora María Dolores se compró un auto nuevo,
comprometiéndose a pagar una cuota de $ 160.000 mensuales.
Además de la cuota mensual, debe considerar el gasto de la bencina.
La tabla muestra el gasto total del auto (bencina más cuota), según la
cantidad de kilómetros recorridos en un mes. (www.simce.cl)
3
x
x
3
K
M
M
K
Kilómetros en un mes Gasto total en $
0 160.000
200 170.000
400 180.000
600 190.000
800 200.000
1.000 210.000
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Pregunta 4
¿Qué significan los datos de la primera fila de la tabla?
A. Si no anda en auto, no tiene gastos.
B. Paga $ 160.000 por cada kilómetro recorrido.
C. Por los primeros 160.000 km no paga.
D. Aunque no ocupe el auto debe pagar $ 160.000 al mes.
Pregunta 5
¿Cuánto gasta en bencina por cada kilómetro que recorre?
A. $ 50
B. $ 100
C. $ 700
D. $ 850
Pregunta 6
Un club de computación tiene 40 miembros, el 60 % de ellos son mujeres. Si 10 hombres se agregan al club. ¿Qué porcentaje
de los miembros ahora son mujeres? Escribe tus cálculos y tu respuesta. (TIMMS 2003)
Respuesta:
| 159 | Matemática
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¿Qué aprendí?
1 La edad actual de Marco (M) es 3 años menor que la
edad actual de Rita. Si transcurren 10 años, ¿qué edad
tiene Rita?
A. M + 13 C. M + 7
B. M + 10 D. M – 3
2 Una familia tiene hijos e hijas. Además se sabe que los
niños son el doble de las niñas. ¿Qué otra información es
necesario conocer para saber cuántos hijos e hijas tiene
la familia?
A. El número de padres.
B. La edad del hijo mayor.
C. Que una hija es la menor.
D. El total de hijos e hijas de la familia.
3 La expresión P = Q + 2 indica que:
A. Q es dos unidades mayor que P.
B. Q es dos unidades menor que P.
C. P es el doble que Q.
D. P es la mitad que Q.
4 ¿Qué forma tiene el gráfico de la proporcionalidad directa?
A. Recta creciente que comienza en el origen.
B. Recta decreciente que no pasa por el origen.
C. Recta creciente que no pasa por el origen.
D. Una rama de hipérbola.
5 Si M y N se relacionan por la expresión M/N = 5, es
cierto que:
A. Si M aumenta el quintuple, N se reduce a la quinta
parte.
B. Si M se triplica, N también se triplica.
C. Si a M se agrega 1 unidad, a N también.
D. Si M permanece constante, N se quintuplica.
6 Si dos variables se relacionan de manera inversamente
proporcional, entonces:
A. el producto de sus magnitudes es constante.
B. el cociente de sus magnitudes es constante.
C. la suma de sus magnitudes es constante.
D. la diferencian de sus magnitudes es constante.
7 S y T están en proporción inversa, ¿qué valor falta en la
tabla?
S 2 3 5
T 75 50
A. 25
B. 30
C. 60
D. 150
8 El x % de y se puede calcular como:
A. C.
B. D.
9 El 25 % del 200 % de un número corresponde a:
A. la mitad del número.
B. la cuarta parte del número.
C. el mismo número.
D. el doble del número.
100
x • y
y • 100
x
x • 100
y
x • y
100
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| 161 | Matemática
En el siguiente gráfico se representa la relación de cambio de moneda
en los países A y B durante los años 2005, 2006 y 2007.
10 ¿En qué año una moneda del país A se podía cambiar por más monedas que el país B? Justifica.
11 ¿Qué tendencia se puede ver en el transcurso de estos años en la relación de cambio de moneda entre los países A
y B? Argumenta.
Analiza si se presenta o no algún tipo de relación de proporcionalidad en las tablas. Justifica.
12 A 1 2 3 4 5 6
B 120 60 40 30 24 20
13 A 1 2 3 4 5 6
B 80 40 20 10 5 2,5
Expresa de manera algebraica.
14 Una cantidad p aumentada en su x%.
15 El valor v de un producto sin el IVA (corresponde al 19%).
A 2007
2006
2005
B
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¿Cómo me fue?
Interpretar, plantear y resolver
ecuaciones y funciones que
representan la relación existente
entre dos variables.
Reconocer relaciones de
pro-porcionalidad directa entre
dos variables, establecer
comparaciones con aquellas que
no lo son y utilizar el modelo
matemático asociado para
resolver problemas y su repre-
sentación gráfica.
Reconocer relaciones de
proporcionalidad inversa entre
dos variables, establecer
comparaciones con aquellas que
no lo son y utilizar el modelo
matemático asociado para
resolver problemas y su repre-
sentación gráfica.
Resolver problemas de cálculo
de porcentajes como relación
de proporcionalidad directa.
1, 2 y 3
4, 5, 10 y 11
6, 7, 12 y 13
8, 9, 14 y 15
/ 3
/ 4
/ 4
/ 4
RESPUESTAS
CORRECTAS
Si obtuviste menos de 3 puntos, realiza las actividades
1 a 6 de la página 164 para reforzar este contenido.
Si obtuviste los 3 puntos, realiza las actividades 7 a 9 de la
página 164 para que profundices tus conocimientos.
Si obtuviste los 4 puntos, realiza las actividades 15 a 18 de
la página 164 para que profundices tus conocimientos.
Si obtuviste 4 puntos o más, realiza las actividades 23 a 24
de la página 165 para que profundices tus conocimientos.
Si obtuviste menos de 4 puntos, realiza la actividad 25 a 28
de la página 165 para reforzar este contenido.
Si obtuviste los 3 puntos, realiza las actividad 29 a 33 de la
página 165 para que profundices tus conocimientos.
¿QUÉ DEBO HACER?PREGUNTASINDICADOR
¿Cómo lo aprendí?
Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado de acuerdo a los criterios que se
muestran a continuación:
Rendimiento bajo: entre 0 y 7 respuestas correctas.
Rendimiento medio: entre 8 y 11 respuestas correctas.
Rendimiento alto: entre 12 y 15 respuestas correctas.
Obtuve respuestas correctas lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue .
Ahora, dirígete al final de este tomo y sigue las instrucciones que ahí aparecen.
Total:
U4 PAG 126-165:Layout 1 10/8/10 16:35 Página 162

¿En cuál de las siguientes categorías te ubicarías según tu solución del problema 10 y 11?
Reconozco gráficos de relaciones de proporcionalidad directa.
Identifico el gráfico de proporcionalidad directa, lo analizo y contrasto con información adicional que
lo representa.
Identifico el gráfico de proporcionalidad directa y lo comparo con otros gráficos dados.
Analizo e interpreto gráficos de proporcionalidad directa, discriminándolos según información partic-
ular y relacionándolos entre sí.
Analizando una pregunta
| 163 | Matemática
Observa la resolución del ejercicio 10 dado en la evaluación y compárala con los métodos que tú usaste para resolverlo.
Presta especial atención a lo que te indican las etiquetas de colores.
En el siguiente gráfico se representa la relación de cambio de
moneda en los países A y B durante los años 2005, 2006 y 2007.
10. ¿En qué año una moneda del país A se podía cambiar por más monedas que el país B? Justifica.
En el año 2005.
La relación de cambio entre ambos países es una proporcionalidad directa
y la constante de proporcionalidad es distinta para cada año. En particular,
para el año 2005 una cantidad de dinero en el país A corresponde a más
dinero en el país B y, por ende, más monedas.
11. ¿Qué tendencia se puede ver en el transcurso de estos años en la relación
de cambio de moneda entre los países A y B? Argumenta.
La constante de proporcionalidad entre el país A y B va cambiando y
aumentando del año 2005 al 2007. Así, en el año 2005 una cantidad de
dinero en el país A corresponde a más en el país B que si se hiciera esta
conversión en el 2007.
Comparo gráficos de distintos
años y los relaciono entre sí
para argumentar.
Reconozco gráficos
Analizo e interpreto el gráfico de
proporcionalidad directa en función
de la información solicitada.
A 2007
2006
2005
B
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Relaciones entre variables y ecuaciones
Expresa la información dada con una expresión
algebraica.
1. La edad de Juan (J) es cinco veces la de Luis (L).
2. La estatura de María (M) es 10 cm menor que la de
Claudia (C).
3. En un curso hay 3 mujeres (M) más que hombres (H).
4. Inés (I) tiene la mitad de láminas que tiene Francisco (F).
Resuelve los siguientes problemas.
5. Después de gastar y de lo que tenía me
quedan $ 390, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?
6. Un número, más el doble del número, más el triple
del número, da 66. ¿Cuál es el número?
7. José y Antonia tienen 45 manzanas. José le dice a
Antonia: “dame 5 manzanas y así tendré el doble
que tú”. ¿Cuántas manzanas tiene cada uno?
8. Se reparten 2.400 bolitas en partes proporcionales a
las edades de tres niños de 6, 12 y 18 años, respec-
tivamente, ¿cuántas bolitas recibe cada uno?
9. Cuatro hombres realizaron una obra en 90 días tra-
bajando por separado. La empresa les dió un bono
proporcional a los días trabajados. El 1º recibió
$ 5.000; el 2º recibió $ 4.000; el 3º, $ 6.000 y el 4º,
$ 3.000. ¿Cuántos días trabajó cada uno?
Proporcionalidad directa
Resuelve los siguientes problemas. Además indica la cons-
tante de proporcionalidad y construye el gráfico asociado.
10. Francisca recorre 90 km en una hora, ¿cuántos kiló-
metros recorrerá en 5 horas, viajando con la misma
rapidez promedio?
11. Para pintar una muralla de 45 m
2
se necesitan
20 litros de pintura. ¿Cuántos litros se necesitarían
para pintar 18 m
2
?
12. En 25 L de agua de mar hay 65 g de sal. ¿Cuántos
litros de agua contendrán 10 g de sal?
13. Una máquina fabrica 40 clavos en 5 horas. ¿Cuánto
tardará en hacer 50 clavos?
14. Julio da 4 vueltas a una pista mientras que Claudio
solo da 3. ¿Cuántas vueltas da Julio cuando Claudio
lleva 9?
Responde y justifica.
15. Si al aumentar una variable A, otra variable B tam-
bién lo hace, ¿se relacionan de manera directamente
proporcional?
16. Si al graficar la relación entre dos variables P y Q
se obtiene una línea recta que comienza en el
origen, ¿forman una proporcionalidad directa?
17. La relación entre dos variables M y N es
N = 6M. ¿Se relacionan de manera directamente
proporcional?
18. Si el gráfico de proporcionalidad directa entre dos
variables forma un ángulo de 45º con el eje X, ¿cuál
es su constante de proporcionalidad?
1
8
1
3
Ejercicios de refuerzo y profundización
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| 165 | Matemática
y = ΂1 + ΃ • x
t
100
y = ΂1 – ΃ • x
t
100
Producto
Precio de
cada uno
Cantidad de
productos
Descuento
en $
Precio
final
Proporcionalidad inversa
Determina las tablas que expresan una proporcionalidad
inversa. Sí lo son, calcula el valor de la constante de pro-
porcionalidad.
19. X 4 2 1 0,5 K =
Y 5 10 20 40
20. X 7 10 13 16 K =
Y 8 11 14 17
21. X 100 50 25 5 K =
Y 1 2 4 20
22. X 1,2 1,5 6 0,5 K =
Y 5 4 1 40
Organiza los datos de las variables en una tabla y grafica
la relación de proporcionalidad.
23. Se desea envasar 4 kg de mermelada en frascos
de , de o bien de kg de capacidad.
¿Cuántos frascos de cada tipo se necesitan?
24. El volumen que ocupa y la presión que ejerce
un gas, a igual temperatura, son inversamente
proporcionales: 2 m
3
de aire ejercen una presión
de 1,5 atmósferas. ¿Cuál es la presión si el aire se
expande y ocupa un volumen de 6 m
3
?
Porcentaje
Completa.
25. 15 es el % de 600.
26. 2 es el % de 200.
27. 27 es el % de 36.
28. 120 es el % de 1.000
En una liquidación, una tienda de vestuario rebaja sus
productos en un 15% del precio. Además hay una oferta
especial de 50% por la compra de tres productos.
29. Aplica el descuento y calcula el precio final de los
siguientes productos:
Chaleco $ 10.000 3
Blusa $ 7.000 4
Abrigo $ 38.000 2
Aplica las siguientes fórmulas a los ejercicios correspon-
dientes.
Aumentar x en t%: Disminuir x en t%:
30. Aumenta 2 en 20%
31. Aumenta 18 en 42%.
32. Disminuye 150 en 20%.
33. Disminuye 40 en 15%.
1
2
1
4
1
8
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5
Unidad Circunferencia,
círculo y cuerpos
geométricos
Tomás se levanta para ir al colegio.
6:30
Tomás se sienta junto a sus
padres a tomar desayuno.
7:00
Tomás es un niño como todos. Se levanta tem-
prano para ir al colegio, juega con sus amigos,
hace las tareas al llegar a casa y comparte con sus
padres por la tarde.
Un día, observó cómo la geometría y algunos de
sus elementos como la circunferencia formaba
parte de su día. Observa alguna de sus actividades
diarias.
EN ESTA UNIDAD APRENDERÉ A...
Figuras y cuerpos geométricos
Conocer el cilindro y el conoConocer la circunferencia y el círculo
Diferenciarlos y reconocer sus elementos
Calcular áreas y perímetros
Resolver problemas de la vida diaria
Calcular superficie y volumen
Reconocer sus elementos
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| 167 | Matemática
Reúnanse en grupos de un máximo de 4 integrantes y realicen las siguientes actividades.
1. ¿Qué formas geométricas reconocen en las ilustraciones?
2. ¿Por qué las ruedas tienen esa forma?
3. Si pegaran una cinta adhesiva alrededor de la rueda del bus escolar, ¿qué longitud creen que tendría? Hagan estima-
ciones y luego compartan su resultado con el curso.
4. Hagan una lista de al menos 5 elementos geométricos que vean diariamente.
PROYECTO GRUPAL
Tomás viaja en transporte escolar al colegio. En el patio del colegio, Tomás se divierte junto a sus amigos
en un entretenido partido de fútbol.
Luego del colegio, Tomás descansa escuchando
a su grupo favorito.
Es hora de bañarse y Tomás toma una refrescante ducha.
7.30 12.00
15.00 19.00
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¿Qué recuerdo?
1 El siguiente ángulo se puede clasificar como:
A. agudo
B. obtuso
C. recto
D. completo
2 La medida del ángulo ␣ es
A. 60º
B. 90º
C. 120º
D. 150º
3 Dos rectas son paralelas si:
A. se cortan es un punto.
B. no se cortan.
C. Si se cortan en todos los puntos.
D. Se cortan en punto formando un ángulo recto.
4 Dos rectas perpendiculares se cortan formando:
A. un ángulo agudo
B. un ángulo recto
C. un ángulo extendido
D. un ángulo cualquiera
Calcula el perímetro de las siguientes figuras.
5 6 7
Perímetro = Perímetro = Perímetro =
En cada una de las siguientes figuras calcula el área de la región coloreada, considerando que el lado de cada cuadradito mide
1cm.
8 9 10
Área = Área = Área =
␣
1 cm
1 cm
2 cm
2 cm
3 cm 3 cm
3 cm
3 cm 3 cm
3 cm 3 cm
1 cm
2 cm
4 cm
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UNIDAD 5 | Circunferencia
Reconocer rectas paralelas y perpendiculares, clasificar 1, 2, 3, 4 / 4
y calcular medida de ángulos.
Calcular el perímetro de figuras planas. 5, 6 y 7 / 3
Calcular el área de figuras planas. 8, 9, 10 / 3
Reconocer y clasificar prismas y pirámides. 11, 12, 13 y 14 / 4
¿Cómo me fue?
Revisa tus respuestas con el solucionario y completa la siguiente tabla.
RESPUESTAS CORRECTASPREGUNTASINDICADOR
| 169 | Matemática
Responde.
11 ¿Cuántos cubitos, como mínimo, se deben agregar a la
figura para obtener un prisma recto?
cubitos
12 ¿Cuántos cubitos se deben agregar, como mínimo, al
cuerpo de la figura para obtener un cubo?
cubitos
Clasifica las siguientes pirámides según el número de lados del polígono de su base.
13
Pirámide
14
Pirámide
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El círculo, la circunferencia y sus
elementos
Pablo decidió hacer un corral para sus pollitos, para construirlo hizo lo siguiente:
Clavó una estaca en la tierra Amarró una soga de 50 cm a la estaca.
Observa el corral… ¿qué figura se forma?
Una vez construido el corral se puede observar un círculo y una circunferencia, el
círculo corresponde al interior del corral, donde viven los pollitos, y la circunferencia,
al contorno del corral, simbolizado en este caso por la reja.
Si te fijas, la estaca desde donde Pablo generó la circunferencia, se encuentra en el
centro del corral. Por esta razón llamaremos centro de la circunferencia a aquel punto
que se encuentra en el centro de esta.
La soga con la que se dibujó la circunferencia en la tierra, corresponde al radio de la
circunferencia, en general, se llama radio a aquel segmento de recta que une el cen-
tro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
Además, un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, se
denomina cuerda. Si una cuerda pasa por el centro de la circunferencia, la llamaremos
diámetro. De este modo, el diámetro medirá el doble de la medida del radio.
Ahora, ¿cuántos de los elementos anteriores necesitó Pablo para trazar la circunfer-
encia?
Solo necesitó saber el radio (largo de la soga) y el centro de la circunferencia (lugar
donde fijó la estaca).
Geometría
FOTO COMPÁS
El compás es un instrumento que permite
trazar una circunferencia, fijando el centro
de ésta (punta del compás) y su radio
(abertura del compás).
SOS MAT
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 170

EN SÍNTESIS
Una circunferencia está formada por todos los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro (O).
Un círculo es la porción del plano que se encuentra al interior de la cir-
cunferencia.
En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:
Radio (r): es el segmento de recta que une el centro con cualquier
punto de la circunferencia. En la figura, el segmento OB.
Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la
circunferencia. En la figura, el segmento CD.
Diámetro (d): es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
En la figura, el segmento AB. La longitud del diámetro corresponde al
doble de la medida del radio, es decir d = 2r.
| 171 | Matemática
Comenzó a girar la soga alrededor
de la estaca, dibujando en la tierra
la siguiente figura.
Finalmente construyó el corral sobre la
figura dibujada en la tierra.
GLOSARIO
Equidistar: Dicho de un punto, de
una línea, de un plano o de un sólido:
Hallarse a igual distancia de otro
determinado. (Fuente: Real Academia
Española de la Lengua)
A B
C
D
O
d
r
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 171

Otros elementos de la circunferencia
Observa la siguiente figura, ¿en cuantos puntos cortan la circunferencia cada una de
las rectas?
Si te fijas, las rectas CD y EF cortan la circunferencia, cada una en dos puntos, estas
rectas reciben el nombre de rectas secantes a la circunferencia.
Las rectas que cortan la circunferencia solo en un punto, se llaman rectas tangentes
a la circunferencia. En este caso, las rectas AJ y BJ son tangentes a la circunferencia
en los puntos A y B respectivamente.
Ahora, tomemos una circunferencia, tracemos una cuerda cualquiera y llamémosla AB.
La porción de la circunferencia que se encuentra
entre los puntos A y B, se denomina arco de cir-
cunferencia, y se escribe .
Los arcos, se deben nombrar en el sentido con-
trario a las manecillas del reloj, pues como puedes
observar.
϶
២២
BA
២២
AB
២២
AB
Geometría
Un sector circular es la porción de círculo
comprendida entre un arco de circunferen-
cia y sus respectivos radios delimitadores.
SOS MAT
r
r
O
O
E B
J
A
C
F
D
␣
O
O
A
B
A
B
២២
AB
២២
BA
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 172

| 173 | Matemática
EN SÍNTESIS
Una recta secante a la circunferencia es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos distintos.
Una recta tangente a la circunferencia es una recta que corta a la circunferencia en un único punto.
Un arco de circunferencia es una porción continua de ésta.
Un sector circular es una porción de círculo comprendida entre un arco y dos radios delimitadores.
Observa la siguiente figura y responde las siguientes afirma-
ciones con una V, si es verdadero, y con una F, si es falso.
1. El diámetro de la circunferencia mide 2 cm.
2. Se puede determinar la medida del segmento
DC.
3. La medida del segmento BC es igual a la medida
del segmento BD.
4. DA es un sector circular.
5. La recta L1 es una recta tangente a la
circunferencia.
6. La recta L2 es una recta secante a la circunferencia.
Forma un grupo de tres personas y realicen la siguiente
investigación.
7. Utilicen el transportador para determinar la medida del
ángulo que comienza en A y termina en A (con vértice
en el centro C, de la circunferencia).
8. Si un círculo se divide en 2 partes iguales, ¿qué nombre
recibe cada una de éstas partes?
9. Dividan un círculo en 5 sectores circulares de igual
tamaño. ¿Cuánto mide el ángulo de cada sector circu-
lar?
10. De acuerdo a los ejercicios 8, 9 y 10. Si dividen el
círculo en n sectores circulares iguales, ¿cuánto mide el
ángulo de cada sector circular?
PRACTICA
B
C
D
C
A
E
F
A
L1
L2
2 cm
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 173

Longitud de la circunferencia
Observa cómo calculó Daniel la longitud de una circunferencia.
Daniel tomó varios objetos cilíndricos de distintos diámetros y con pintura marcó un punto en el borde de cada uno. Luego
los hizo rodar sobre un papel, hasta que cada uno dejó dos huellas de pintura sobre él.
Rescribamos la tabla de Daniel, agregando ahora una nueva columna con la proporción entre el la longitud de la circunferencia
y su diámetro.
Como puedes ver el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es aproximadamente el mismo, si pudiéramos
medir con absoluta exactitud, obtendríamos que este cociente es siempre igual a un valor que llamaremos Pi (␲).
Así, para saber el perímetro de un círculo, es decir la longitud de una circunferencia, solo necesitamos conocer su radio, pues de
la tercera columna de la tabla anterior deducimos que
= π , es decir Longitud de la circunferencia = diametro • π , o bien P = 2 • r • π
diámetro
Geometría
Medida del diámetro (cm) Longitud (cm)
Cociente entre la longitud
y el diámetro(cm)
2 6,2 3,1
6 18,8 3,13
10 31,4 3,14
50 157,1 3,142
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 174

| 175 | Matemática
Usando una huincha midió las distancias entre las huellas dejadas por cada cilindro, de
esta manera obtuvo la longitud de la circunferencia correspondiente a cada uno y
anotó sus resultados en una tabla.
Pr
1
2.
to
·
ci
El número π es un número decimal con
infinitas cifras decimales:
π = 3,141592….
Sin embargo, para realizar cálculos, general-
mente se usa la aproximación:
π = 3,14
SOS MAT
Medida del
diámetro
(cm)
Longitud de la
circunferencia
(cm)
2 6,2
6 18,8
10 31,4
50 157,1
EN SÍNTESIS
El valor π, corresponde a la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro y su valor aproximado es 3,14.
π =
Así, el perímetro del círculo (P) o longitud de la circunferencia, está dado por la expresión:
P = 2 • r • π o P = d • π
Una buena estimación para la longitud de una circunferencia, es considerar 3 veces su diámetro.
diámetro
Utilizando objetos cilíndricos de distintos radios, realicen la
siguiente actividad.
1. Midan la longitud de las circunferencias correspondi-
entes a cada objeto, de la misma manera en que lo hizo
Daniel.
2. Midan el diámetro de cada objeto y calculen ahora la
longitud de la circunferencia usando la expresión 2πr.
Comparen sus resultados con los obtenidos en la activi-
dad 1, ¿qué pueden concluir?
PRACTICA
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 175

Área de un círculo
La siguiente figura está compuesta por un cuadrado, un octágono regular y un hexa-
decágono regular (polígono regular de 16 lados), inscritos en una circunferencia.
Observa que la superficie de los polígonos con mayor número de lados, cubren una
mayor porción de la superficie del círculo. Por esta razón, es posible aproximar el
área de un círculo por el área de polígonos regulares. Mientras mayor sea el número
de lados del polígono inscrito, mejor es la aproximación.
Imagina que recortamos los sectores circulares generados por el hexadecágono y los
ubicamos de la siguiente manera:
Obtenemos una figura semejante a un paralelogramo, cuya altura equivale al radio del
círculo y cuya base mide aproximadamente la mitad del perímetro del círculo. Así, el
área del paralelogramo, y por lo tanto también la del círculo, será:
b • h cm
2
= • r cm
2
= • r cm
2
= π • r
2
cm
2
.
2 • π • r
2
P
2
EN SÍNTESIS
Geometría
Para dividir un círculo en sectores circulares,
se debe encontrar el ángulo correspondien-
te a cada sector circular.
Para esto se divide 360º (ángulo completo),
en el número de sectores circulares.
Ejemplo
El octágono divide el círculo en 8 sectores
circulares, cada uno con un ángulo de
= 45º.
Así, el área de cada sector será un octavo
del área del círculo.
360º
8
SOS MAT
El área de un círculo de radio r, está dada por la expresión:
A = π r
2
h
r
b
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 176

O
O
O
O
2 cm
3 cm
10 cm
60º
45º
30º
| 177 | Matemática
Calcula el área de cada círculo, conociendo la medida del
radio (r). Considera π= 3,14.
1. r = 2 cm
2. r = 4 cm
3. r = 10 cm
4. r = 2,5 cm
5. r = cm
Calcula el radio de cada círculo conociendo la medida del
área (A) y considerando que π= 3,14.
6. A = 12,56 cm
2
r =
7. A = 28,26 cm
2
r =
8. A = 50,24 cm
2
r =
9. A = 0,785 cm
2
r =
10. A = 314 cm
2
r =
Calcula el área de los siguientes sectores circulares con
centro O.
11. 13.
12. 14.
1
2
PRACTICA
5 m
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 177

Área y perímetro de figuras com-
puestas
¿Cuál es el área y el perímetro de la parte coloreada en la figura anterior?
Como puedes ver, el área de la figura sombreada corresponde al área del cuadrado
menos el área de 4 cuartos de círculo.
Los lados del cuadrado miden 6 cm, entonces:
Área del cuadrado 36 cm
2
.
Observa que el radio de cada porción de círculo mide 3 cm, luego
Las cuatro porciones de círculo conforman un círculo de radio 3 cm, cuya área es:
Área del círculo 3
2
π cm
2
= 9π cm
2
.
Así, la diferencia de áreas es
Área de la figura coloreada 36 cm
2
– 9π cm
2
.
El perímetro corresponde a la suma de las longitudes de los cuatro arcos de circun-
ferencia que componen la figura, como cada uno equivale a un cuarto de una circun-
ferencia de radio 3, se tiene que el perímetro de la figura coloreada es igual a la lon-
gitud de la circunferencia completa. Por lo tanto
Perímetro de la figura coloreada 2 • 3 • π cm = 6π cm.
Una corona circular es la región compren-
dida entre dos circunferencias concéntricas
(que tienen el mismo centro).
Su área, corresponde a la diferencia entre el
área del círculo mayor y el área del círculo
menor.
SOS MAT
Geometría
Una moneda de $500 está compuesta
por un círculo, llamado núcleo de 18
mm de diámetro, el que está com-
puesto por un 95% de cobre, un 5% de
aluminio y donde (en una de sus caras)
se muestra la figura del Cardenal Raúl
Silva Henríquez.
Y una corona circular, la que se com-
pone en un 70% de cobre, un 15% de
níquel y un 15% de zinc.
(Fuente: www.bcentral.cl)
NUESTRO CHILE
A B
D C
3 cm
3 cm
3 cm 3 cm
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| 179 | Matemática
EN SÍNTESIS
Para calcular el área y perímetro de figuras compuestas (formadas por polígonos y/o circunferencias), debes identificar
las figuras contenidas, analizar cómo obtener dicha área o perímetro (mediante sumas y/o diferencias de áreas o perímet-
ros conocidos) y realizar los cálculos correspondientes.
Calcula el perímetro y el área de las figuras sombreadas.
1.
P =
A =
2.
P =
A =
3.
P =
A =
4.
P =
A =
5.
P =
A =
6.
P =
A =
Calcula el área pintada en cada figura sabiendo que los cír-
culos son congruentes y su radio mide 2 cm. Luego
responde.
7.
A =
8.
A =
9.
A =
10. Existe alguna relación entre las áreas obtenidas?, ¿cuál?
PRACTICA
6 cm
6 cm
6 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
4 cm
4 cm
4 cm
5 cm
O A
O A
O y A centros respectivos.
O y A centros respectivos.
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 179

¿Cómo voy?
Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas
(V) o falsas (F)
1 Un sector circular es una porción de circunferen-
cia.
2 El radio de una circunferencia mide el doble de la
medida del diámetro correspondiente.
3 Una cuerda es una recta que corta en dos puntos
distintos a una circunferencia.
4 Un sector circular es una porción de círculo com-
prendida entre un arco de circunferencia y dos radios
delimitadores.
En cada una de las siguientes preguntas selecciona la alter-
nativa correcta
5 El número π corresponde a:
A. El cociente entre la medida del radio y la medida del
perímetro de una circunferencia.
B. Cociente entre la medida del diámetro y el área del
un círculo.
C. Cociente entre la medida del perímetro y la del
diámetro de una circunferencia.
D. Cociente entre la medida del radio y la medida del
diámetro de una circunferencia.
6 Si el perímetro de una circunferencia es 6πcm, entonces
su diámetro mide:
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 3 cm
En la figura, la circunferencia menor pasa por el centro de
la circunferencia mayor y es tangente a esta en el punto A.
7 El área pintada es:
A. 2π cm
2
B. 3π cm
2
C. 4π cm
2
D. 6π cm
2
8 El perímetro de la figura anterior es:
A. πcm
B. 2πcm
C. 4πcm
D. 6πcm
9 ¿Cuál debe ser la medida del radio de la circunferencia
para que el perímetro de la parte sombreada mida
42,84 cm? (considera π= 3,14).
O
2 cm
A B
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 180

| 181 | Matemática
Reconocer y distinguir elementos del círculo y la
circunferencia
Calcular áreas y perímetros de figuras compues-
tas por círculos y polígonos.
¿Cómo me fue?
RESPUESTAS
CORRECTAS
correctas realiza la actividad 2.
¿QUÉ DEBES HACER?PREGUNTASINDICADOR
¿Qué debes hacer?
ACTIVIDAD 1
a. Completa las siguientes oraciones
El diámetro mide que el radio.
La recta tangente corta en punto(s) a la
circunferencia.
La circunferencia es del círculo.
Una cuerda es que une dos puntos cua-
lesquiera de la circunferencia.
El diámetro es una cuerda que pasa por
b. ¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?
c. ¿Cuál es la diferencia entre una recta tangente y una recta
secante?
ACTIVIDAD 2
a. Calcula las siguientes áreas y perímetros.
El perímetro de una circunferencia de diámetro 6 cm.
El área de un círculo de diámetro 2 cm.
Un cuarto del perímetro de una circunferencia cuyo radio
mide el doble del de una circunferencia de área 9π cm
2
.
b. Calcula el área y perímetro de las siguientes figuras pin-
tadas.
1, 2, 3 y 4
5, 6, 7, 8 y 9
PREGUNTAS
CORRECTAS
4 cm
2 cm
4 cm
2 cm
3
cm
U5 PAG 168-205 5/1/09 12:22 Page 181

Geometría
Cilindro
¿Cómo podríamos construir un cuerpo geométrico?
Toma una hoja de papel rectangular y une dos de sus lados paralelos. Lo que has
obtenido es un cuerpo geométrico llamado cilindro (sin tapas).
Para agregar las tapas a un cilindro, debemos recortar dos círculos de perímetro igual
al largo del rectángulo y pegarlos en la parte superior e inferior del cilindro.
¿Será la única forma de crear un cilindro?
Otra forma de hacerlo es mediante una generatriz: si tomamos un rectángulo y lo
hacemos girar sobre uno de sus lados (eje de rotación), también obtendremos un
cilindro. Observa.
El lado del rectángulo paralelo al eje de rotación se llama generatriz del cilindro y
como puedes ver, ésta coincide con su altura.
EN SÍNTESIS
Un cuerpo redondo es un cuerpo geométrico que tiene al menos una
de sus caras curva.
Un cilindro es un cuerpo redondo que se genera al rotar, sobre uno de
sus lados, un rectángulo de lados r y h.
La altura h del cilindro coincide con la generatriz del mismo y ambas
corresponden al lado del rectángulo paralelo al eje de rotación.
GLOSARIO
Generatriz: Dicho de una línea o de
una figura que por su movimiento
engendra, respectivamente, una figura
o un sólido geométrico. (Fuente: Real
Academia Española de la Lengua).
Mediante el estudio del cilindro podemos
abordar, por lo menos, dos tipos de situa-
ciones reales.
Ejemplo
Calcular el área de una superficie cilíndri-
ca y así saber, por ejemplo, cuánta pintu-
ra es necesaria para pintarla.
Calcular el volumen de un recipiente
cilíndrico para saber, por ejemplo, cuánto
líquido puede contener.
SOS MAT
altura
base
base
radio
eje de rotación
superficielateral
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 182

| 183 | Matemática
Área de la superficie de un cilindro
Consideremos un cilindro con tapas en sus extremos. Su superficie corresponde a la
cáscara, por lo tanto, para calcular el área de la superficie, basta calcular el área de la
superficie exterior del cilindro.
Entonces el área de la superficie del cilindro corresponde a la suma de las áreas de
tres figuras:
Suma de las áreas de dos círculos de radio r π • r
2
+ π • r
2
= 2πr
2
Área de un rectángulo de largo 2πr y ancho h 2πr
2
• h
Debes tener en cuenta, que el perímetro de la circunferencia debe coincidir con la
medida del lado del rectángulo sobre el cual reposan. Llamemos A al área de la
superficie del cilindro, así
A = área del rectángulo + 2 área del círculo
= 2πr h + 2 πr
2
Por lo tanto el área de la superficie de un cilindro de radio r y altura h está dada por
la expresión
A = 2πrh + 2πr
2
Comprueba, usando una hoja de tamaño carta, la fórmula para el área lateral del cilin-
dro.
GLOSARIO
Superficie: Extensión en que solo se
consideran dos dimensiones.
la Lengua).
r
r
r
h h
Observa la red del cilindro, está com-
puesto por dos círculos de radio rr
y un rectángulo de ancho hh
y largo 2πrr.
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 183

Geometría
Volumen de un cilindro
El volumen de un cilindro es el espacio que éste ocupa, por lo tanto es una medida
tridimensional.
Observa la siguiente imagen:
Así, el volumen del cilindro (V) será igual a la suma de las áreas de tantos círculos
como lo permita la altura del cilindro, lo que equivale al producto de la altura y el área
de cada círculo , es decir
V = πr
2
• h
Un cilindro es un cuerpo redondo, cuyo volumen puede calcularse mediante la
siguiente fórmula:
V = πhr
2
EN SÍNTESIS
Un cilindro es el cuerpo que se genera al rotar, sobre uno de sus lados,
un rectángulo de lados r y h.
El área de la superficie de un cilindro con tapas está dada por la expre-
sión:
A = 2πrh+ 2πr
2
El volumen de un cilindro se calcula mediante la expresión:
V = πhr
2
Cilindro generado por un
rectángulo de radio r y altura h.
GLOSARIO
Volumen: Espacio ocupado por un
cuerpo.
Cuerpo: Objeto material en que
pueden apreciarse las tres dimen-
siones principales, longitud, anchura y
altura.
la Lengua).
r
h
3 cm
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 184

| 185 | Matemática
Calcula el área de la superficie y el volumen de cada una de
las siguientes figuras.
1. Un cilindro cuyo radio basal mide 5 cm y su altura 2 cm.
2. Un cilindro que es generado al rotar un rectángulo de
lados 3 cm y 4 cm, sobre su lado de menor longitud.
3. El cuerpo formado por las paredes de dos cilindros,
como se indica en la figura.
Resuelve.
4. En una viña de la cuarta región, se deja fermentar la
uva en recipientes cilíndricos. Después de varios años
de uso, estos deben ser pintados por el exterior.
¿Cuántos galones de pintura se utilizarán al pintar 5
recipientes si cada uno de ellos mide 4 m de alto y 2
m de diámetro basal? (Un galón alcanza para 10 m
2
)
5. ¿Cuántos centímetros cúbicos de cera caben en un
envase cilíndrico cuya altura mide 15 cm y su base
tiene un diámetro de 8 cm?
6. Calcula el volumen del cilindro generado al
rotar un rectángulo cuyos lados miden 3 cm
y 7 cm sobre su lado mayor. ¿Es igual al
volumen del cilindro generado al rotar el rec-
tángulo sobre su lado menor?
PRACTICA
8 cm
2 cm 1 cm
U5 PAG 168-205 7/1/09 10:52 Page 185

Geometría
Cono
Observa las siguientes imágenes.
Gorro de cumpleaños Cono de helado Cono de tránsito
¿Qué regularidad puedes ver en las tres figuras anteriores?
Pues bien, el cuerpo geométrico que está detrás de
estas imágenes es el cono. Un cuerpo redondo que
se genera al rotar un triángulo rectángulo sobre
uno de sus catetos.
La hipotenusa del triángulo que nos permite gene-
rar el cono se denomina generatriz. Y la base del
cono, es su única cara plana.
Al igual que el cilindro, este cuerpo redondo, nos lleva a plantearnos dos tipos de
problemas relacionados con:
Área de la superficie del cono
Volumen del cono
EN SÍNTESIS
El cono es un cuerpo redondo que se genera al
rotar un triángulo rectángulo sobre uno de sus
catetos.
El cateto sobre el cual se rota el triángulo rec-
tángulo corresponde a la altura (h) del cono y el
otro cateto al radio de la base del cono.
Nuestro País integra el denominado
Cono Sur, este constituye el área más
meridional del continente americano.
En su concepto más amplio, en cuanto
a similitudes entre los países de la
zona, abarca Argentina, Chile, Uruguay
y Brasil, pero suele usarse el término,
en un sentido más restringido, para
referirse sólo a Argentina, Chile y
Uruguay.
¿Por qué crees tú que esta porción del
continente recibe el nombre de Cono
Sur?
Consulta con tu profesor de sociedad.
NUESTRO CHILE
GLOSARIO
Cateto: Cada uno de los dos lados
que forman el ángulo recto en un
triángulo rectángulo. (Fuente: Real
Academia Española de la Lengua).
A
B
C
A
B
C
h
r
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 186

Área de la superficie de un cono recto
Consideremos la red del siguiente cono y sus elementos:
Observando la red, puedes notar que el área de la superficie de un cono corresponde
a la suma del área del sector circular que lo compone y el área del círculo que con-
forma su base, es decir
A = π • g
2
+ π • r
2
Si reemplazamos la medida del ángulo ␣ por 360º , la expresión anterior se trans-
forma en
= π• r • g + π• r
2
Por lo tanto el área de la superficie de un cono recto se calcula mediante la expre-
sión:
A = πrg + πr
2
r
g
␣
360
| 187 | Matemática
El ángulo ␣ del sector circular que com-
pone el cono, se calcula mediante la
expresión:
␣ = • 360°
Donde r es el radio de la base del cono
y g la generatriz, es decir el radio del sec-
tor circular.
La medida de la generatriz se puede cal-
cular conociendo la medida altura del
cono y la medida su radio, usando el
Teorema de Pitágoras
r
2
+ h
2
= g
2
r
g
SOS MAT
Área del
sector circular
Área del
círculo
A = π • g
2
• + πr
2␣
360
g␣
h
r
h
r
h altura
r radio de la base
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 187

Geometría
EN SÍNTESIS
El área de la superficie de un cono recto (A), está dada por la expresión
A = πrg + πr
2
Donde r es el radio de la base y g la generatriz.
El volumen de un cono recto (V), de radio r y altura h equivale a un tercio del volumen
de un cilindro con la misma altura y radio, es decir
V = • πr
2
• h
1
3
Volumen de un cono recto
Anita y Tomás realizaron el siguiente experimento, para determinar el volumen de un cono recto
1º Consiguieron un recipiente con forma de cilindro
circular recto. Midiendo el diámetro de su base
y la altura, calcularon su volumen.
3º Llenaron el cono con arena y vaciaron su contenido en el recipiente.
Para llenar este último de arena, debieron repetir tres veces este procedimiento.
Los niños concluyeron que el volumen del recipiente equivale a 3 veces el volumen del cono que construyeron y por lo tanto,
el volumen de cualquier cono recto está dado por la expresión
V = • πr
2
• h
Donde π r
2
h es el volumen del cilindro de radio r y altura h.
1
3
2º Con cartulina fabricaron un cono recto cuya altura y radio
basal coincidían con las respectivas medidas del recipiente.
g
r
h
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 188

| 189 | Matemática
Calcula el volumen y el área de la superficie de cada uno
de los siguientes cuerpos geométricos.
1. Un cono generado por un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden 6 cm y 8 cm, donde el cateto menor
corresponde a la altura del cono.
2. Un cono cuya base es un círculo de perímetro 6πcm.
y su altura mide 20 cm.
3. Un cono generado por un triángulo rectángulo cuyo
perímetro es de 60 cm.
Resuelve.
4. Teresa trabaja forrando pantallas para lámparas como
la que se muestra en la figura. (Debes investigar la fór-
mula para un tronco de cono)
Lo que corresponde a de un cono de altura 30
cm y cuya base tiene un diámetro de 30 cm. ¿Cuántos
metros cuadrados de papel necesitará para forrar cada
una de las pantallas?
5. Sobre la base superior de un cilindro de 4 cm de
radio basal y 5 cm de altura, se construye un cono cir-
cular cuya altura mide el triple que la altura del cilin-
dro. Hallar el volumen del cuerpo formado.
2
3
PRACTICA
v
6 cm
8 cm
g
r
h
20 cm
15 cm
5 cm
20 cm
15 cm
5 cm 4 cm
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1. El nuevo de un hotel, quiere revestir la fachada del edificio de un vidrio especial para
aislarlo de los ruidos de la ciudad. Sólo quedarán sin revestir, la puerta del edificio que
tiene 9m
2
de superficie y los techos.
La empresa constructora le cobrará $ 25.000 por cada metro cuadrado instalado.
Considerando que el cilindro base del edificio tiene las medidas especificadas en la figu-
ra, ¿cuánto dinero deberá invertir el nuevo gerente para revestir la fachada del hotel?
Para calcular el área de la superficie del hotel, es necesario calcular el
área de la superficie de cada uno de los cuerpos geométricos que
están involucrados.
Área de la superficie del cilindro mayor 2π • r • h = 2π • 20 m • 80 m
= 3.200 m
2
= 10.048 m
2
Área de la parte inferior del edificio 10.048 m
2
– 9m
2
= 10.039 m
2
.
Área de la superficie del cilindro menor 2π• r • h = 2π • 20 m • 6 m
= 2π• 15 m • 6 m
= 180πm
2
= 565,2 m
2
Como el resultado es un decimal, debemos interpretar que 565,2 m
2
es
equivalente a 562 m
2
y 20 m
2
.
3
4
• 20 m
3
4
Se descuenta el área de la puerta, pues
esta no estará revestida de vidrio.
Se calcula el área de la superficie del
cilindro que corresponde a la parte supe-
rior del edificio.
Se calcula el área de la superficie del
cilindro mayor, sin considerar las bases.
(Se considera π= 3,14).
20 m
80 m
6 m
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Área del cono completo 2π• 15 m • 12 m = 1130,4 m
2
Área de la parte superior del cono 2π• m • 5 m = 157 m
2
Área del cono sin punta 1.130,4 m
2
– 157 m
2
= 973,4 m
2
Atotal
=Acilindromayor
+Acilindromenor
+Aconosinpunta
=10.039m
2
+565,2m
2
+973,4m
2
= 23.184,8 m
2
.
Por lo tanto, el gerente deberá invertir 23.184,8 • $25.000 = $ 579.620.000
para remodelar el edificio.
15
3
| 191 | Matemática
Se calcula al área de la superficie del
cono completo y luego se resta el área
de la superficie de la parte superior del
cono, pues esta corresponde al techo del
edificio.
Para obtener el área total a cubrir del
edificio, se suman las áreas de todos los
cuerpos geométricos que lo componen.
Se multiplica el área total por el valor de
la instalación de cada metro cuadrado
de vidrio.
U5 PAG 168-205 30/12/08 15:24 Page 191

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