Matemáticas 2

La obra Matemáticas 2 fue elaborada por la
Gerencia Editorial Textos de Ediciones Larousse, S.A. de C.V.
Dirección Editorial: Tomás García Cerezo
Gerencia Editorial Textos: Javier Anaya González
Edición: Salvador Méndez Alvarado
Corrección de estilo: Luis Soriano Bello
Diseño de interiores: Braulio Morales
Diagramación y formación: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.
Diseño de portada: Eligge Consultores
Ilustración: Edmundo López
y Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.
Fotografía: © Ablestock y sus cedentes de la licencia.
Reservados todos los derechos.
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Matemáticas 2
D.R. © 2008, por Ediciones Larousse, S.A. de C.V.
Londres 247, Col. Juárez, Delegación Cuauhtémoc
C.P. 06600, México, D.F.
escolar@larousse.com.mx
Primera edición
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sin autorización escrita del editor.
ISBN:
Larousse y el logotipo Larousse son marcas registradas de Larousse, S.A.
Impreso en México
Printed in Mexico

Presentación
Maestra y maestro:
La propuesta didáctica de Matemáticas 2 que tiene en sus manos es fruto del esfuerzo editorial
de muchas personas y de la larga experiencia de sus autores frente a grupo y en la educación
matemática de vanguardia.
Aquí encontrará múltiples actividades de estudio que relacionan a las matemáticas con la vida
cotidiana de los estudiantes: deportes, juegos, medios de comunicación, uso de las tecnologías
de la información y las comunicaciones que demanda el mundo moderno, cuidadosamente
diseñadas para que despierten el interés de sus alumnos y los inviten a reflexionar, a trabajar
en equipo, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas, a formular argumentos
que validen los resultados, a comunicar verbalmente, a investigar y presentar por escrito sus
hallazgos, en un ambiente de confianza y de respeto por las ideas de los demás.
Las actividades de Matemáticas 2 están agrupadas en cinco bloques. Cada uno de ellos inicia con
entradas a doble página que muestra los propósitos que se espera desarrollen los estudiantes y los
relacionen con su vida cotidiana o con otras disciplinas.
El desarrollo de cada uno de los 35 subtemas está organizado en lecciones que corresponden a tres
momentos metodológicos fundamentales que se relacionan entre sí y se reciclan continuamente.
¿Qué sabemos de…? plantea situaciones problemáticas iniciales vinculadas con algún
contexto que motive el interés de los estudiantes y se plantean preguntas que sirven de guía
al alumno con el propósito de que evalúe su conocimiento sobre el tema y se interese para
aprender más.

Para saber más de… Este momento se destina para que los y las alumnas construyan y amplíen los
conocimientos y habilidades a partir de sus conocimientos previos; esto se logra a través de una
secuencia de preguntas, problemas e información matemática.
Al final de esta sección se recomienda hacer una pausa en el estudio de los temas para que los
estudiantes revisen los problemas que no hayan podido resolver en lecciones anteriores y, en su
caso, los corrijan o resuelvan.
Por tu cuenta… En este momento se plantean preguntas y problemas matemáticos que sintetizan
los conocimientos y habilidades adquiridos en las actividades previas, además de que propicia que
los estudiantes los apliquen en diversos contextos. También se plantean pequeñas investigaciones
de aplicación de las matemáticas para que los estudiantes consulten información en la biblioteca
escolar, en su comunidad, en internet o en otros medios.
Al finalizar cada subtema se presenta la sección Historietas matemáticas, en la que varios
personajes ficticios, estudiantes de secundaria, ejemplifican el uso y la aplicación de las
matemáticas en diversas situaciones cotidianas; aquí mismo se invita a los alumnos a que
reflexionen y, en algunos casos, evalúen las soluciones expuestas en cada historieta.
Al finalizar cada bloque encontrará sugerencias prácticas para implementar La Feria de las
matemáticas, que bajo su conducción los alumnos irán preparando con materiales, actividades,
juegos, presentaciones en PowerPoint, etcétera, para una exposición al final del curso.
Esperamos que con dicha propuesta pedagógica se cumpla el propósito de que sus estudiantes
efectivamente construyan sus propios conocimientos que les permita enfrentar y dar respuesta a
problemas de la vida real y prepararlos mejor para el futuro. ¡Ojalá cumpla su cometido!
Los autores

Índice
de contenido

Bloque 1
1.1 Problemas multiplicativos. Multiplicación y división de
números con signo 12
Lección 1 ¿Qué sabemos de multiplicación de números con
signo? 12
Lección 2 Para saber más de multiplicación de números
con signo 14
Lección 3 División de números con signo 17
Lección 4 Actividades de trabajo individual 18
Historieta matemática del subtema 1.1 20

1.2 Problemas aditivos. Adición y sustracción de expresiones
algebraicas 21
Lección 5 ¿Qué sabemos de adición y sustracción
de expresiones algebraicas? 21
Lección 6 Para saber más de adición y sustracción
de expresiones algebraicas 22
Lección 7 Actividades de trabajo en equipo 24
1.3 Operaciones combinadas. Expresiones algebraicas
equivalentes 28
Lección 9 ¿Qué sabemos de expresiones algebraicas
equivalentes? 28
Lección 10 Para saber más de expresiones algebraicas
equivalentes 33
1.4 Estimar, medir y calcular. Problemas que impliquen
ángulos 44
Lección 13 ¿Qué sabemos de estimar y medir
ángulos? 44
Lección 14 Para saber más de estimar y medir
ángulos 46

1.5 Rectas y ángulos. Posiciones relativas de dos rectas
en el plano 54
Lección 17 ¿Qué sabemos de posiciones relativas
de dos rectas en el plano? 54
Lección 18 Para saber más de posiciones relativas
de dos rectas en el plano 56

1.6 Rectas y ángulos. Ángulos entre paralelas 65
Lección 20 ¿Qué sabemos de ángulos entre
paralelas? 65
Lección 21 Para saber más de ángulos entre
paralelas 67
1.7 Relaciones de proporcionalidad.
Factor de proporcionalidad 72
Lección 23 ¿Qué sabemos de factor
de proporcionalidad? 72
Lección 24 Para saber más de factor
de proporcionalidad 73

1.8 Relaciones de proporcionalidad. Problemas
de proporcionalidad múltiple 77
Lección 25 ¿Qué sabemos de proporcionalidad
múltiple? 77
Lección 26 Para saber más de proporcionalidad
múltiple 78

Bloque 2
2.1 Operaciones combinadas.
Jerarquía de las operaciones 102
Lección 1 ¿Qué sabemos de jerarquía
de las operaciones? 102
Lección 2 Para saber más de jerarquía
de las operaciones 103

2.2 Problemas multiplicativos.
Multiplicación de expresiones algebraicas 108
Lección 5 ¿Qué sabemos de multiplicación
de expresiones algebraicas? 108
Lección 6 Para saber más de multiplicación
de expresiones algebraicas 109
2.3 Cuerpos geométricos. Cubos, prismas y pirámides 117
Lección 9 ¿Qué sabemos de cubos, prismas
y pirámides? 117
Lección 10 Para saber más de cubos, prismas
y pirámides 119

2.4 Justificación de fórmulas. Volumen de cubos, prismas
y pirámides 125
Lección 12 ¿Qué sabemos de volumen de cubos, prismas
y pirámides? 125
Lección 13 Para saber más de volumen de cubos, prismas
y pirámides 126

2.5 Estimar, medir y calcular volumen.
Cálculo de volumen de cubos, prismas y pirámides 132
Lección 15 ¿Qué sabemos de cálculo de volumen de cubos,
prismas y pirámides? 132
Lección 16 Para saber más de cálculo de volumen
de cubos, prismas y pirámides 133

2.6 Relaciones de proporcionalidad. Comparación
de razones 138
Lección 19 ¿Qué sabemos de comparación
de razones? 138
Lección 20 Para saber más de comparación
de razones 140
2.7 Medidas de tendencia central y de dispersión.
Cálculo de medidas de tendencia central 144
Lección 22 ¿Qué sabemos de cálculo de medidas
de tendencia central? 144
Lección 23 Para saber más de cálculo de medidas
de tendencia central 145
Feria de las matemáticas. La geometría de la calle 150
1.9 Diagramas y tablas. Problemas de conteo 83
Lección 27 ¿Qué sabemos de problemas de conteo? 83
Lección 28 Para saber más de problemas de conteo 84
1.10 Gráficas. Polígonos de frecuencia 90
Lección 30 ¿Qué sabemos de polígonos
de frecuencia? 90
Lección 31 Para saber más de polígonos
de frecuencia 91
Feria de las matemáticas. El maravilloso mundo
del geoplano 98

Bloque 3
3.1 Patrones y fórmulas. Sucesiones de números
con signo 154
Lección 1 ¿Qué sabemos de sucesiones de números
con signo? 154
Lección 2 Para saber más de sucesiones de números
con signo 155

3.2 Ecuaciones. Ecuaciones de primer grado 159
Lección 4 ¿Qué sabemos de ecuaciones
de primer grado? 159
Lección 5 Para saber más de ecuaciones
de primer grado 161

3.3 Relación funcional. Relación de la forma
y = ax + b 166
Lección 7 ¿Qué sabemos de relación de la forma
y = ax + b? 166
Lección 8 Para saber más de relación de la forma
y = ax + b 167

3.4 Justificación de fórmulas. Ángulos interiores
de polígonos 171
Lección 10 ¿Qué sabemos de ángulos interiores
de polígonos? 171
Lección 11 Para saber más de ángulos interiores
de polígonos 172
3.5 Figuras planas. Recubrimientos del plano 175
Lección 12 ¿Qué sabemos de recubrimientos
del plano? 175
Lección 13 Para saber más de recubrimientos
del plano 176

3.6 Gráficas. Gráficas de relaciones lineales 180
Lección 15 ¿Qué sabemos de gráficas de relaciones
lineales? 180
Lección 16 Para saber más de gráficas de relaciones
lineales 181

3.7 Gráficas. Comportamiento de gráficas lineales I 187
Lección 18 ¿Qué sabemos de comportamiento de gráficas
lineales I? 187
Lección 19 Para saber más de comportamiento de gráficas
lineales I 191

3.8 Gráficas. Comportamiento de gráficas lineales II 196
Lección 21 ¿Qué sabemos de comportamiento de gráficas
lineales II? 196
Lección 22 Para saber más de comportamiento de gráficas
lineales II 200
Feria de las matemáticas. La geometría y el arte 206
Bloque 4
4.1 Potenciación y radicación. Leyes de los exponentes
y notación científica 210
Lección 1 ¿Qué sabemos de leyes de los exponentes
y notación científica? 210
Lección 2 Para saber más de leyes de los exponentes
y notación científica 211
Lección 3 Producto y cociente de potencias
de la misma base 213
4.2 Figuras planas. Congruencia de triángulos 222
Lección 6 ¿Qué sabemos de congruencia
de triángulos? 222
Lección 7 Para saber más de congruencia
de triángulos 224

4.3 Rectas y ángulos. Líneas notables en un
triángulo 230

Bibliografía 300
Bloque 5
5.1 Ecuaciones. Sistema de ecuaciones con coeficientes
enteros 268
Lección 1 ¿Qué sabemos de sistemas de ecuaciones
con coeficientes enteros? 268
Lección 2 Para saber más de sistemas de ecuaciones
con coeficientes enteros 269
Lección 3 Sistemas de ecuaciones 270

5.2 Movimientos en el plano. Propiedades de la rotación
y de la traslación 274
Lección 5 ¿Qué sabemos de propiedades de la rotación
y de la traslación? 274
Lección 6 Para saber más de propiedades de la rotación
y de la traslación 276
5.3 Gráficas. Gráfica de un sistema de ecuaciones
lineales 287
Lección 11 ¿Qué sabemos de gráfica de un sistema
de ecuaciones lineales? 287
Lección 12 Para saber más de gráfica de un sistema
de ecuaciones lineales 288

5.4 Noción de probabilidad. Eventos mutuamente
excluyentes 293
Lección 15 ¿Qué sabemos de eventos mutuamente
excluyentes? 293
Lección 16 Para saber más de eventos mutuamente
excluyentes 294

Feria de las matemáticas. ¿Sabes quién fue Hypatia? 298
Lección 10 ¿Qué sabemos de líneas notables
en un triángulo? 230
Lección 11 Para saber más de líneas notables
en un triángulo 233

4.4 Noción de probabilidad. Eventos de azar
independientes 240
Lección 14 ¿Qué sabemos de eventos de azar
independientes? 240
Lección 15 Para saber más de eventos de azar
independientes 241
Lección 16 Fórmula para la probabilidad de dos eventos
independientes 243
4.5 Gráficas. Gráficas de línea 248
Lección 18 ¿Qué sabemos de gráficas de línea? 248
Lección 19 Para saber más de gráficas de línea 249

4.6 Gráficas. Gráficas de segmentos 254
Lección 21 ¿Qué sabemos de gráficas
de segmentos? 254
Lección 22 Para saber más de gráficas
de segmentos 255

Feria de las matemáticas. Estructuras poliédricas 264

Presentación
al alumno
Hola, amigos y amigas, somos Mary, Lupe, Juan y Pepe y, como
todos ustedes, también continuaremos aprendiendo matemáticas
ahora que pasamos a segundo grado de secundaria.
Los acompañaremos en todo el curso, donde, más que memorizar,
es importante comprender, porque cuando alguien comprende algo
se produce una gran satisfacción. Una manera de darnos cuenta de que
estamos entendiendo es resolver problemas de matemáticas.
Aquí encontrarán para qué sirven las matemáticas, en dónde se aplican, cómo podemos divertirnos
jugando con ellas, a realizar experimentos matemáticos y hacer diseños geométricos; aprenderemos
muchas cosas más que tienen como propósito que adquieran agilidad y destreza en el uso de
procedimientos y herramientas que utilizarán frecuentemente en la vida cotidiana.
Estamos seguros, porque ustedes podrán comparar lo que han aprendido con lo que hemos
aprendido nosotros a través de nuestras Historietas Matemáticas. Además, al final de cada bloque
encontrarán algunas pistas para que vayan preparando, con el apoyo de su maestro o maestra, los
materiales, juegos, actividades y presentaciones en Power Point para la Feria de las matemáticas,
donde podrán mostrar plenamente sus habilidades y capacidades matemáticas que desarrollaron en
todo el año.
Bueno, pues, ¡a trabajar!

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Aprendizajes esperados
En este bloque:
i Resolverás problemas que implican efectuar sumas,restas,multiplicaciones y/o
divisiones de números con signo.
i Justificarás la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.
i Resolverás problemas de conteo mediante cálculos numéricos.
i Resolverás problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de canti-
dades.
i Interpretarás y construirás polígonos de frecuencia.
Bloque1
11

Lección 1 T r a b a j a e n e q u i p o
1 A continuación se muestra el estado de cuenta de la mamá de Hugo en lo que va del año.
Problemas multiplicativos
Multiplicación y división de números con signo
Conocimientos y habilidades
Resolverás problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.
¿Qué sabemos de… multiplicación de números con signo?
Fecha Movimiento Saldo
Saldo anterior $4 720
15/1 Depósito $3 712 $8 432
17/1 Extracción $2 500 $5 932
30/1 Depósito $3 712 $9 644
2/2 Extracción $2 500 $7 144
5/2 Extracción $1 500 $
7/2 Extracción $1 500 $4 144
15/2 Extracción $3 700 $444
16/2 Depósito $3 712 $4 156
18/2 Extracción $2 500 $
20/2 Extracción $1 500 $156
28/2 Depósito $3 712 $3 868
1/3 Extracción $2 500 $1 368
10/3 Extracción $ 300 $1 068
14/3 Depósito $3 712 $4 780
15/3 Extracción $2 500
Matemáticas 212
1.1

a) Raya con azul los importes que se relacionan con números positivos y con rojo los que se relacionan
con números negativos.
b) Algunos saldos se han borrado,¿podrían completarlos?
c) En lo que va del año,¿cuánto dinero depositó la mamá de Hugo?
d) ¿Cuánto dinero retiró?
2 Resuelvan estos retos numéricos:
a) ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por –5 y restarle 35 obtienes cero? ___________________
b) ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 7 y sumarle 63 obtienes cero? ____________________
c) ¿Cuál es el número que al dividirlo entre –5 se obtiene 5? _________________________________
d) ¿Cuál es el número que al dividirlo entre 9 se obtiene –9? _________________________________
3 Las reglas de este juego son muy sencillas:.
Si se multiplican los números de dos fichas rojas,el resultado es una ficha blanca cuyo número es
igual a la multiplicación de los números de las fichas.
Si se multiplican los números de dos fichas blancas,el resultado es una ficha blanca cuyo número
es igual a la multiplicación de los números de las fichas.
Si se multiplica el número de una ficha blanca por el número de una ficha roja o el de una roja por el de
una blanca el resultado es una ficha roja cuyo número es igual a la multiplicación de los números
de las fichas.
Por ejemplo:
3  4  12
2  7  14
Consideren las siguientes fichas:
3 4 5
8 7 6
9 10 3
Eljuegoconsisteentomartresdeestasfichasdetalmaneraquealmultiplicarlosnúmeroselresultado
sea una ficha roja e impar,¿cuántas posibilidades pueden encontrar?
Compartan sus resultados con los otros equipos del salón.¿Quién encontró más?
BLOQUE 1
Matemáticas 2 13EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Para saber más de… multiplicación de números con signo
En Matemáticas 1 aprendieron que los números negativos se toman como magnitudes diri-
gidas a la izquierda en la recta numérica. También vieron que la suma de números enteros
puede interpretarse como el avance (a partir del primer sumando) de tantas unidades como
indique el segundo sumando; dicho avance será a la derecha si es positivo, o a la izquierda si
es negativo.
1 Lasumade(–2)(–2)(–2)podemosinterpretarlacomoelavancededosunidadesalaizquierdaa
partir de –2,seguido de otro avance a la izquierda de dos unidades,como se muestra en la siguiente
recta numérica.
Escriban el resultado sobre la raya.
0–2
_________________
a) Para nuestro objetivo en esta lección, la suma de (–2)  (–2)  (–2) puede escribirse uti-
lizando la multiplicación 3  (–2), que puede interpretarse como tres saltos a la izquierda
dos unidades de longitud. El resultado de esta multiplicación es:
3  (–2)  _________________
b) Representen en la recta numérica las siguientes operaciones y encuentren el resultado.
4  (1)
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
5  (3) –17
3  (5)
c) ¿Qué observan en los dos últimos ejercicios?
2 a) Completen usando los resultados del ejercicio anterior:
(5)  (2)  109 (2)  (2)  ____
(4)  (2)  8 (1)  (2)  ____
(3)  (2)  ____ (0)  (2)  ____
–16–15–14–13–12–11–10–9–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–16–15–14–13–12–11–10–9–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0–17
Matemáticas 214
TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LAS OPERACIONES

b) ¿Qué observan en los resultados? ¿Cómo se obtiene uno de los resultados a partir del anterior?
c) A partir de su respuesta del ejercicio anterior, encuentren:
(1)  (2)  ___
(2)  (2)  ___
3 Usandolosresultadosdelejercicioanterior,Claraencontróque(2)(3)6¿Estándeacuerdo
con ella?
4 Para representar la multiplicación (2)  (3), primero se representa 2  (3) y luego se obtiene
el punto simétrico de este resultado.
Escriban el resultado de esta multiplicación dentro del cuadro.
6 3 0 (2)(3) 
5 ¿Coincide su resultado con el del ejercicio anterior?
Representen en la recta numérica la multiplicación indicada y escriban el resultado.
(3)(3)  _________________
10–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10–11
(2)(5)  _________________
10–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10–11
6 Representen en la recta numérica las multiplicaciones siguientes y encuentren el resultado.
Multiplicación Representación en la recta numérica Resultado
5  (0.5)
3 2 1 0 1 2 3
(2)  (2.5)
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
(3)  (10)
40 30 20 10 0 10 20 30 40
(2)  (2.2)
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
BLOQUE 1

7 De acuerdo con las actividades anteriores,¿qué conclusión pueden obtener de la multiplicación de
números con signo? Completen la siguiente tabla:
Regla de los signos de
la multiplicación
Números con el mismo
signo
Números con diferente
signo
8 Coloquen las fichas en el cuadrado de modo que la multiplicación de cada fila y de cada columna
sea 1.
9 Discutan en su equipo el siguiente texto y luego contesten las preguntas que ahí se plantean.
Para multiplicar dos números con signo, tenemos dos situaciones:
Situación 1
Que los dos números tengan el mismo signo Javier dice: El producto es positivo si ambos
son positivos o si ambos son negativos. Mercedes dice: ¡No!, el producto es positivo sólo
cuando los dos números son positivos.
a) ¿Quién tiene la razón?
b) Completen.
(5)  (1.5)  (18)  (0.5)  (
1
2
)  (
3
4
) 
Situación 2
Que los dos números tengan signos contrariosRosaMaríadice:Elproductoesunnúmero
negativo sólo cuando uno sea positivo y que el otro sea negativo.Laura dice: ¡No!,el producto
es negativo sólo cuando los dos son negativos.
a) ¿Quién tiene la razón?
b) Completen.
(5)  (1.5)  (18)  (0.5)  (
1
2
)  (
3
4
) 
1
2
1
3
–2
3
2
–8
3
–3
2
–6
3
4
–1
4
Matemáticas 216

División de números con signo
1 Reflexionen y contesten.
a) ¿A qué será igual 8 ÷ 2? Consideren a la división 
8
2
como una multiplicación:
(8) (
1
2
)  __________
b) ¿A qué será igual 8 ÷ (2)? Consideren a la división
8
(2)
(8) (
1
2
)  __________
c) ¿A qué será igual 8 ÷ 2? Consideren a la división 
8
(2)
(8) (
1
2
)  __________
d) ¿A qué será igual 8 ÷ 2? Consideren a la división
8
2
(8) (
1
2
)  __________
2 Comenten con sus compañeros y sus compañeras cuál podría ser la regla de los signos para la divi-
sión de números con signo.Anoten sus conclusiones.
3 Clara dice que la regla de los signos para la división es similar a la de la multiplicación.
¿Están de acuerdo con ella? ¿En qué sentido es igual? Completen la tabla de la regla de los
signos de la división.
Regla de los signos de
la división
Números con el mismo
signo
Números con diferente
signo
4 Completen la siguiente tabla como se muestra en el primer renglón.
Operación Valor de m
(m)5
 243 m  3
(5)  (7)  m  280
m  0.5  10
(m)3
 1
BLOQUE 1

5 La temperatura en Monterrey era de 3 °C bajo cero a las cinco de la mañana. Al mediodía la temperatura había
subido 8 °C ¿Cuál era la temperatura al mediodía?
6 Averigüen cuál es la montaña más alta del mundo y cuál es la fosa oceánica más profunda.¿De cuántos metros
es la diferencia entre ellas?
Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones
anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.
Por tu cuenta T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e
Lección 4
Resuelve los siguientes problemas:
1 En una revista financiera se menciona que los hogares mexicanos,en promedio,no destinan ni un centavo al ahorro;
por el contrario,tienen deudas equivalentes al 3.2% de sus quincenas.
a) De acuerdo con lo anterior, si un trabajador gana $4 780 por mes, ¿en cuánto estaría endeudado
mensualmente?
b) Portugal es el país donde sus habitantes ahorran más (un 11.8% quincenal).Si un trabajador gana $4 780 y
ahorra el equivalente a Portugal,¿cuánto ahorraría?
c) ¿Cuáles crees que sean las causas de que el ahorro sea tan bajo en nuestro país?
m (5  7)  20
(8)  (1)  (0.5)  m  16
(m)2
 144
(3)2
 m4
 9
18  m  6
Matemáticas 218

2 Alberto obtiene calificaciones regulares en su escuela. Para animarlo, su papá le propone el siguiente plan: como
estás tomando 8 materias,te voy a pagar $100 por cada diez que saques;$80 por cada nueve;$20 por cada ocho;
nada por cada siete,y te descontaré $200 por cada seis.¿Cómo le fue aAlberto si obtuvo cuatro calificaciones de
diez y una de cada una de las restantes calificaciones?
3 Encuentra lo que se pide a continuación:
a) ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por  8 y en seguida restarle 64 da como resultado 0?
b) ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por  3 y en seguida restarle 15 da como resultado 42?
c) ¿Cuál es el número que al dividirlo entre  5 y en seguida sumarle 25 da como resultado 0?
Analicen en todo el grupo la historieta que se muestra en la siguiente página
y contesten las preguntas que ahí se plantean.
BLOQUE 1

¿Qué ocurriría si Toño hubiera sacado cinco calificaciones de 8 y dos
calificaciones reprobatorias? ¿Qué operaciones efectuarías para hacer
el cálculo? ¿Podrían representarse en una recta numérica?
¿Qué ocurriría si Toño hubiera sacado cinco calificaciones de 8 y dos
calificaciones reprobatorias? ¿Qué operaciones efectuarías para hacer
el cálculo? ¿Podrían representarse en una recta numérica?
Matemáticas 220

1 La siguiente tabla del 100 muestra un triángulo numérico que encierra cuatro números (17,26,27 y 28).
Llamaremos a éste el triángulo 17,ya que 17 es el número en la parte superior del triángulo.Hallen la suma
total de los números interiores en:
a) El triángulo 43:__________
b) El triángulo 55:__________
c) El triángulo 67:__________
d) El triángulo 79:__________
e) El triángulo 83:__________
Ahora réstenle 30 a cada una de las sumas y el resultado diví-
danlo entre 4. Luego comparen este resultado con el número
del triángulo numérico. ¿Qué observan? Coméntenlo con un
compañero o una compañera.
2 Reúnanse con sus compañeros y elaboren una conjetura de modo que puedan hallar la suma de los números
interiores en el triángulo sin necesidad de sumarlos. Anoten las conclusiones en su cuaderno.
3 ¿Cuál triángulo numérico tiene una suma igual a 166?____________________
Problemas aditivos
Adición y sustracción de expresiones algebraicas
Resolverás problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
¿Qué sabemos de… adición y sustracción de expresiones
algebraicas?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1.2

4 ¿Cuál o cuáles de estos triángulos pueden existir en la tabla del 100 sin que se salgan de sus bordes?
Subrayen la respuesta.
a) Triángulo 13 b) Triángulo 31 c) Triángulo 58 d) Triángulo 99
5 Expliquen cuál o cuáles de los siguientes números pueden ser el total de los cuatro números de un triángulo
numérico.__________
a) 51 b) 54 c) 71 d) 90
6 En la siguiente tabla se muestra un cuadrado de 2  2 y lo llamare-
mos cuadrado 17 porque este número se encuentra en la esquina
superior izquierda del cuadrado pequeño.Encuentren la suma total
de los números interiores en los cuadrados siguientes:
a) El cuadrado 33:__________
b) El cuadrado 57:__________
c) El cuadrado 63:__________
d) El cuadrado 79:__________
7 Nuevamente reúnanse con sus compañero y escriban en su cuaderno una conjetura para hallar la suma de
los números interiores en el cuadrado sin necesidad de sumarlos.
8 ¿Cuál cuadrado tiene una suma igual a 118? ____________________
9 ¿Cuál será la suma total del cuadrado 55? ____________________
10 ¿Y del cuadrado 77? ____________________
Para saber más de… adición y sustracción
de expresiones algebraicas
1 Consideren nuevamente el problema 1 de la lección anterior.
a) Observen lo siguiente: si tenemos el triángulo n, ¿cuánto valdrían en función de n los otros
tres números del triángulo? Completen en el dibujo los números que faltan:
n
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que nos da la suma de los números interiores del
triángulo n? Subrayen la respuesta:
4n 4n + 30 n + 30 3n + 30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Matemáticas 222

c) Usen la expresión anterior y encuentren la suma de los números interiores de los triángulos
43, 55, 67, 79 y 83. ¿Coinciden estas sumas con las halladas en el problema 1 de la lección
anterior?
2 En la tabla siguiente del 100 se muestra una X numérica que encierra 5 números (45, 47, 56, 65
y 67) dispuestos en un orden determinado en dicha tabla, la cual llamaremos X 56, pues 56 es
el número que se encuentra en el centro de la X.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Tabla del 100
a) ¿Cómo podremos hallar la suma total de los números interiores en cada X numérica sin
necesidad de sumarlos?
Comenten con sus compañeros sus estrategias.
3 Para trabajar con un número natural cualquiera utilizamos una literal cualquiera (por ejemplo
n) y de ese modo podemos modelar las condiciones del problema.Así, en la X 56 de la tabla del
100observamosqueabajodel56estáel66,estoes5610;yelnúmerodearribadel56es46,esto
es 56  10. Por consiguiente, los números de las cuatro esquinas de la X son 56  10  1,
56  10  1, 56  10  1 y 56  10  1. Este patrón numérico permanece al variar el número
que va en el centro de las X numéricas y que hemos representado como la variable n.
a) Consideren que el número n, va en el centro de la X n de abajo.
Terminen de escribir los otros números en función de n:
b) ¿Están de acuerdo en que se puede modelar así? Expliquen en su equipo por qué sí o
por qué no.
c) Encuentren la suma total de los números interiores de la X numérica n:
(n  11)  (n  9)  n  (n  9)  (n  11) 
d) De las siguientes expresiones algebraicas,¿cuál es la que permite encontrar la suma de todos
los números interiores sin necesidad de sumar todos los números? Subrayen la respuesta.
a) n  5 b) n  5 c) 5n d) 5n  5
e) Utilicen la expresión algebraica que seleccionaron y contesten la pregunta.¿Cuál es la suma
de los números interiores de la X 12? ____________________
n
BLOQUE 1

Compruébenlo en la tabla del 100 sumando todos los números interiores de la X 72.
f) Si utilizamos la expresión algebraica 5n,¿cuál será la suma de la X 72? __________________
Compruébenlo.
g) ¿Y de la X 13? _________ Compruébenlo.
h) ¿Puedeserelnúmero64lasumatotaldeloscinconúmerosdeunaXnumérica?¿Porquésío
por qué no?________________________________________________________________
i) ¿Puede ser el número 80 la suma total de los cinco números de una X numérica? Justifiquen
su respuesta. _______________________________________________________________
j) De acuerdo con los dos problemas anteriores, ¿de qué depende que algunos números sean
la suma total de los cinco números de una X numérica y otros no lo sean?
__________________________________________________________________________
1 Observen los números de la tabla del 100. Dibujen varios
rectángulos que contengan tres, cuatro y cinco números
consecutivos, encuentren la suma de los números interio-
res de cada rectángulo y contesten las preguntas.
a) ¿La suma de tres números consecutivos es divisible
entre 3? __________ Muestren varios ejemplos.
Si n es el primero de los tres números, ¿cuál es la
expresión algebraica que nos dio la suma de los tres
números consecutivos?______________________
n
b) ¿La suma de cuatro números consecutivos es divisible entre 4? __________ Muestren ejem-
plos o contraejemplos.
Si n es el primero de los cuatro números,¿cuál es la expresión algebraica que nos dio la suma
de cuatro números consecutivos?________________________________________
c) ¿La suma de cinco números consecutivos es divisible entre 5? __________ Muestren ejem-
plos o contraejemplos.
Si n es el primero de los cinco números,¿cuál es la expresión algebraica que nos dio la suma
de los cinco números consecutivos? ______________________________________
2 Analicen cuidadosamente el siguiente texto y coméntenlo con sus compañeros de equipo. Luego
resuelvan los problemas que se presentan enseguida.
Recuerden que una expresión algebraica es una expresión en la que aparecen números y letras
combinadas con operaciones aritméticas.Por ejemplo,5n,5n  3,2n2
 3n  2 son expresiones
algebraicas.
La expresión 5n tiene sólo un término.
La expresión 5n  3 tiene dos términos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Matemáticas 224

La expresión 2n2
 3n  2 tiene tres términos.
–2n2
coeficiente parte literal
2 n2
Observen que en cada término hay un coeficiente y una parte literal.
Se llama términos semejantes al conjunto de términos que tienen la misma parte literal,
esdecir,quealeliminarlosnúmerosqueformanloscoeficientes,sonidénticos.Porejemplo,2x2
yes seme-
jante a 5x2
y pero no a 2x3
y.
Los términos semejantes se pueden simplificar. Por ejemplo, 3a  a  2a  8a  4a.
En una expresión algebraica, si sustituimos las letras por números conocidos y realizamos
las operaciones indicadas, obtendremos un valor numérico. Este valor depende de los números
que hayamos sustituido. Ejemplo:
Valor de n Valor de la expresión 7n – 2
2 7(2) – 2 = 14 – 2 = 12
–2 7(–2) – 2 = –14 – 2 = –16
5 7(5) – 2 = 35 – 2 = 33
3 Simplifiquen los términos semejantes:
a  a  a  a  a 
 a  a  a  a  a  a  a 
x + x + y + x + y + z + x + z + z + y + z =
a – b + a + c + a – b – b + c + a =
x + y – x + x + y – x + y + x + x =
4 Escriban en su cuaderno una fórmula para calcular el perímetro de las siguientes figuras:
c
b b
aa
b b
c
x
7
7
x
x x
2x – 3
3a + 4
4x+2
3x + 2
2x
BLOQUE 1

5 Resuelvan los siguientes problemas empleando expresiones algebraicas:
a) LamaestraOlgacompró20boletosparaunafuncióndeteatropreparadaporsusalumnosa
x pesos cada boleto. Luego compró otros 13 boletos. ¿Cuánto pagó en total? __________
b) RobertoyEsperanzafueronauncajeroautomáticoaretirardinero.Robertotenía$3000.00
y retiró cuatro billetes de x denominación. Esperanza tenía $5000.00 y retiró 3 billetes de
x denominación y cinco billetes de y denominación. ¿Con cuánto dinero se quedó cada
persona en su cuenta después de hacer el retiro?
Recuerda que...
Un número b es divisible entre a si el número b es divisor de a o, para decirlo en otras palabras, si b
es múltiplo de a. Ejemplo: 75 es divisible entre 5 porque 75 es múltiplo de 5: 75  5  15.
Por tu cuenta
Lección 8 Trabaja individualmente
1 Latabladeladerechamuestrauna“Cnumérica”queencierra7números
(4,5,6,14,24,25 y 26),cuyos extremos son 6 y 26.
Si restamos los números extremos, obtendremos una diferencia d, en
este caso 26  6  20.Imagina que esta “C numérica” se desplaza en la
tabla,ya sea hacia la derecha o la izquierda,hacia abajo o hacia arriba.
a) Al restar los números extremos de cualquier “C numérica”
dentro de los márgenes de esta tabla del 100, ¿cuál será la
diferencia d? _____________________________
b) Utiliza la ilustración de una“C numérica n” para que encuen-
tres la diferencia d para cualquier C numérica.
d  _____________________________
c) Comprueba con algunos ejemplos la expresión algebraica que encontraste.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Discutan en el grupo la historieta de la siguiente página y contesten
las preguntas.
n n+1 n+2
n+10
n+20 n+21 n+22
Matemáticas 226

¿Cuántos términos tiene la expresión algebraica 3n + 15?
¿Cuál es el valor numérico de 3n + 15 cuando n = 2 hrs, 25 min?

1 En la escuela primaria representaron algunas multiplicaciones mediante arreglos rectangulares. Escriban las mul-
tiplicaciones representadas en los siguientes arreglos rectangulares para representar el área de los mismos.
Operaciones combinadas
Expresiones algebraicas equivalentes
Reconocerás y obtendrás expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de mo-
delos geométricos.
¿Qué sabemos de… expresiones algebraicas equivalentes?
10 3
9
3
10  3  32
…
Matemáticas 228
1.3

2 Enprimergradodesecundariaexpresaronelperímetroyeláreadefigurasutilizandoliterales.¿Cómopodrían
representar con figuras en la cuadrícula de abajo las expresiones algebraicas que se enlistan a continuación?
a
b
a) a2
b) ab
c) b2
d) 3b2
 ab
e) b2
f) (a  b)·(a  b)
g) a2
 b2
h) a2
 b2
 2ab
a2
BLOQUE 1

3 En el apartado anterior vimos las partes de una expresión algebraica.
a) ¿Cuántos términos tiene cada expresión algebraica de cada inciso del problema 2? Completen la tabla.
Para aquellas expresiones que tienen un solo término escriban el coeficiente y la parte literal.
Expresión algebraica No.de términos Coeficientes Parte literal
a) a2
b) ab
c) b2
d) 3b2
+ ab
e) (a + b)(a – b)
f) a2
– b2
g) a2
+ b2
+ 2ab
4 Rigoberto está colocando azulejos cuadrados en la pared de su baño. Para completar la última columna,
necesita recortar 6 cm los azulejos,como se muestra en la figura:
x
x
x
x
6 cm
Para aprovechar los azulejos,Rigoberto va a cortarlos como muestra la figura:
6 cm
x
x
6 cm
Matemáticas 230

De esta manera,al rectángulo pequeño lo va a rotar y colocar encima del grande.El cuadradito blanco lo va a
desechar.
a) ¿Haciendo lo anterior se forma exactamente un rectángulo grande? Es decir,¿embonan bien los
rectángulos o sobra o falta un pedazo del azulejo? Expliquen su razonamiento.
b) Determinen el área del rectángulo formado según las indicaciones del inciso anterior.
c) La pared de Rigoberto quedó así:
¿Podrían escribir el área de la misma en función de x? ¿De cuántas maneras diferentes pueden
hacerlo?
BLOQUE 1

5 Nacho repartió un terreno cuadrado entre sus dos hijos de la siguiente manera:
a
2a
2a
2a 2a a
A Jesús le tocó la parte amarilla y a Miguel la parte roja.
a) ¿A quién le tocó la mayor parte? Expliquen.
b) ¿Qué área le tocó a cada uno?
c) Si la longitud del lado del terreno cuadrado de Nacho es 68 m, ¿cuánto vale a?
d) ¿Cuál es el valor del área del terreno que le tocó a cada hijo?
Matemáticas 232

Para saber más de… expresiones algebraicas equivalentes
Operaciones con segmentos
Dos segmentos pueden sumarse o restarse. La suma de dos segmentos es otro segmento cuya
longitud es igual a la suma de las longitudes de los segmentos sumados; esta operación puede
representarse gráficamente poniendo sobre la misma recta un segmento a continuación del otro,
como se muestra en la siguiente figura.
a b
La resta, como en el caso de los números, es equivalente a la suma de un número positivo (el
minuendo) más uno negativo (el sustraendo). Para el caso de los segmentos, sólo tendrá sentido
cuando la magnitud del segmento sea mayor que la del sustraendo.
1 Completen con expresiones algebraicas:
a) Consideren que a la longitud a se le quitó una longitud b. La longitud de la parte roja
que quedó se representa como: _________________________
En el siguiente esquema indiquen cuáles longitudes son a, b y a  b:
b) El área del cuadrado de lados (a  b) se representa así: _____________________________
a  b
a  b
c) El área del rectángulo de lados a y b se representa mediante la expresión: ______________
b
a
d) El área del rectángulo de lados a y (x  b) se representa así: _________________________
a
x b
BLOQUE 1

d)c)
a) b)
En álgebra también usamos exponentes para indicar cuántas veces aparece un factor en un
producto. Así, en lugar de escribir aa, escribimos a2
y podemos utilizar un modelo geométrico
para representar a2
.
a
a
A  aa  a2
modelo de a2
modelo de ab modelo de b2
2 En los problemas de los incisos siguientes deben calcular el área de las figuras en función de a y b y
expresarla con una expresión algebraica.
Pueden copiar, recortar y sobreponer las representaciones de a2
, b2
y ab que se muestran
como ejemplo.
Matemáticas 234

e) f)
Expresiones algebraicas utilizando modelos geométricos
En primer grado de secundaria iniciaron el estudio de las expresiones algebraicas, por ejemplo,
al definir reglas de sucesiones numéricas,al expresar relaciones entre dos cantidades que varían
y al expresar fórmulas geométricas para calcular el perímetro y el área de figuras geométricas.
Ahora continuarán su estudio, por ejemplo: expresando el perímetro y el área de figuras como
las siguientes y reduciendo términos semejantes.
3 Completen las expresiones siguientes:
x
x  y
2m
m
P  x  y  x  y  x  x 
A  x(x  y) 
P  2m  m  2m  m 
A  m (2m) 
x
x
P  x  x  x  x 
A  (x)(x) 
a
b
P  a  a  b  b 
A 
Cuando calculan el perímetro y el área de figuras utilizando solamente números, se dice que
usan un lenguaje numérico.
Cuando en las operaciones emplean letras o letras y números, como las expresiones x2
,
2m  2(2m), 2x  2(x  y), ab, m (2m), etc., se dice que usan un lenguaje algebraico.
BLOQUE 1

4 ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de un cubo de lado 2l? _______________________
5 Analicen el siguiente texto y contesten las preguntas que ahí se plantean.
En lugar de escribir l  l  l, escribimos l3
y podemos utilizar un modelo geométrico para
representar l3
.
l
l
l
V  lll  l3
En una expresión de la forma an
, donde a y n son números, n se llama el exponente y a la
base.
Las expresiones algebraicas más sencillas consisten de un solo número o de una literal
elevada a un exponente entero positivo; o bien indican el producto de un número conocido por
literales elevadas a exponentes enteros positivos.Por ejemplo,expresemos el área de los siguientes
rectángulos. Este tipo de expresiones algebraicas se llaman monomios.
b
3a ab
a
A  3ab A  a2
b
Las expresiones 3ab, a2
b son ejemplos de monomios.
a) Escriban 3 ejemplos de monomios. Si gustan pueden usar modelos geométricos y
dibujarlos en su cuaderno.
Las expresiones como ax  ab, a  b, a  b  c, 2x2
 2x  5 que se encuentran formadas
por la suma o resta de dos o más monomios se llaman polinomios. Un polinomio siempre puede
escribirse como una suma de monomios.
Ejemplo:
a  b  a  (b)
Por esta razón, a los monomios que figuran en un polinomio, junto con el signo que los precede,
también se les llama sumandos o términos del polinomio.
Por ejemplo, los términos del polinomio a2
 ab  2b son a2
, ab y 2b.
Matemáticas 236

a
a
b b
a2
ab
1
1
Observen que en este caso en el polinomio a2
 ab  2b aparecen dos variables a y b:
Grado de un polinomio
1 ¿Cuál es la expresión algebraica del siguiente polinomio en una variable? Escriban sobre la
raya.
x
x 1 1 1 2
2
a) Carolina dice que el polinomio es x2
 3x  4, pero Sofía dice que es x2
 x3
 4. ¿Cuál
es la expresión correcta? ______________________________________
b) Dibujen en su cuaderno una figura cuya área sea 2x2
+ 2x  9.
2 Analicen en equipo el siguiente texto y luego contesten las preguntas.
Para referirnos al número de veces en que una variable aparece como factor en un término de
un polinomio, o bien, en todo el polinomio, conviene clarificar la idea del grado de un término
y del grado del polinomio.
Así, en el término x2
, la x aparece dos veces como factor; decimos que x2
es de grado 2.
En el término 3x la x sólo aparece una vez como factor; decimos que 3x es de grado 1.
Finalmente, en el término 4, la x no aparece ninguna vez como factor; decimos que 4
tiene grado 0.
Como el término de mayor grado es x2
y éste tiene grado 2, decimos que el polinomio es
de grado 2; es decir, el grado de un polinomio es igual al grado del término de mayor
grado.
b) Escriban tres ejemplos de polinomios. Si gustan, pueden usar modelos geométricos y
dibujarlos en su cuaderno.
BLOQUE 1

3 De acuerdo con el polinomio que escribieron (expresión algebraica) en la actividad 1 y al texto
de la actividad 2, completen la siguiente tabla:
Polinomio Grado del polinomio Variable(s) Términos del polinomio
Valor numérico de una expresión algebraica
En el apartado 1.2 ya estudiaron el valor numérico de expresiones como 5n  2. Se dieron
cuenta de que este valor depende de los números que hayan sustituido para n.
El valor numérico de una expresión algebraica es el que se obtiene al sustituir las literales
por sus números conocidos y al efectuar, con tales valores, las operaciones indicadas.
Por ejemplo,para calcular el valor numérico de la expresión m (2m) para m  0,m  2,
m  3 y m  1, simplemente sustituimos estos valores en la expresión dada.
4 Completen la siguiente tabla:
Valores m (2m)
Para m  0 m (2m) 
Para m  2 m (2m) 
Para m  3 m (2m) 
Para m  1 m (2m) 
Jerarquía de las operaciones
En esta lección continuaremos estudiando el valor numérico de expresiones algebraicas más
complejas, como 5a2
 bc  2 para a  2, b  1 y c  5 para a  0, b   3 y c  2 y para
a   1, b   5 y c   3.
a b c 5a2
 bc  2
2 1 5
0 3 2
1 5 3
Matemáticas 238

Consideren que al evaluar las expresiones algebraicas anteriores calculamos las potencias, a conti-
nuación los productos y hasta el final las sumas y restas. En álgebra siempre se sigue este orden, a
menos que haya paréntesis (como veremos en lecciones posteriores) y otros signos de agrupación
que indiquen un orden diferente.
6 El salón de baile del club consta de tres pistas circulares. Para pintarlas es necesario conocer sus
áreas para determinar la cantidad de pintura que se requiere comprar. Sabiendo que el área de un
círculo de radio r es A   r2
hallen el área de las tres pistas si los radios de las mismas son de 3.5,
4 y 7.5 metros, respectivamente.
A  ______________ A  ______________ A  ______________
r  3.5 m
r  4 m
r  7.5 m
Identidades algebraicas
Una expresión algebraica podemosrepresentarladevariasmaneras.Porejemplo,conlossiguientes
modelos geométricos:
a2
a 1
1 Podemos representar fácilmente a2
 3a como se muestra a continuación.Escriban las expresiones
algebraicas correspondientes.
_________________ _________________ _________________ _________________
a aa aa
2 ¿Tienen el mismo valor numérico para cualquier número todas estas expresiones algebraicas que
escribieron anteriormente?_________________________________________________________
Escriban las expresiones algebraicas que faltan en las tres últimas columnas respectivamente y
compruébenlo para los valores que se dan en la tabla siguiente:
a2
 3a
BLOQUE 1

Valor de
la variable
a2
 3a
0 (0)2
 3(0)  0  0  0
3
8
11
Las expresiones algebraicas cuyos valores numéricos son iguales se dice que son identidades al-
gebraicas.
3 Utilicen convenientemente los modelos geométricos de a2
, a y 1 para representar en su cuaderno
las siguientes identidades algebraicas:
a) 5(a  1)  5a  5  3(a  1)  2(a  1)  3a  3  2a  2
b) a(a  4)  a2
 4a  a(a  2)  2a  a(a  3)  a
c) 2a2
 5a  a(2a  5)  a(a  5)  a2
 a(2a  3)  2a
4 A partir de los siguientes modelos, construyan las identidades algebraicas que de ellos se derivan:
a)
b
b
b
a
a a
b) 2a
b + c
xaa
b
c
5 Unan con una raya las expresiones algebraicas que sean equivalentes.
m  m  m  m 4m  4
4(m  1) 4m  2
4m  1 1  3m  m
5m  m  2 4m
4(m  1)  2 4m  2
Matemáticas 240

Monomios semejantes
6 ¿Qué tienen en común las siguientes expresiones algebraicas?
2a2
bc2
; 2
3
a2
bc2
; 7.5 a2
bc2
; a2
bc2
; 0.75 a2
bc2
Dos monomios semejantes sólo difieren en los coeficientes.
Ejemplos
2a3
x2
y y 5a3
x2
y
Reducción de términos semejantes
7 a) A partir de los siguientes modelos, construyan la identidad algebraica que de ellos se
deriva:
En general, para sumar o restar monomios semejantes basta sumar o restar sus coeficientes
conservando la misma parte literal.
Ejemplos
3x2
y  5x2
y  (3  5)x2
y  2x2
y
4mn2
 2mn2
 3m2
n  (4  2  3)m2
n  5m2
n
b) ¿Son términos semejantes? ¿Podrían deducir cómo se reducen los términos semejantes?
2x
2x 2x
x
x
x
BLOQUE 1

c) d)
e) f)
a) b)
Discutan en todo el grupo la historieta que se muestra en la siguiente página
1 Dadas las longitudes a,b y 1 de la forma:
a b 1
calcula la medida del área de las figuras siguientes en función de a y b,es decir,debes expresar algebraicamente
dichas medidas.Luego busca otra expresión algebraica equivalente.
Matemáticas 242

¿Por qué (2a) (a + b) es equivalente a 2a2
+ 2ab? Representa en un esquema
¿La expresión algebraica a2
+ a2
+ a + a será equivalente a las dos
anteriores? Sí, no, ¿por qué?
¿Por qué (2
¿La expresión algebraica
anteriores? Sí, no, ¿por qué?
Matemáticas 2 43

1 En primer año estudiaron que una forma de
presentar la información es mediante una gráfica
circular. Por ejemplo, en la gráfica siguiente se
muestran las preferencias deportivas de los estu-
diantes de segundo año de la secundaria Benito
Juárez.Observen que está dividida en cinco secto-
res circulares.¿Cuál será la medida de cada uno de
los ángulos que forman los sectores?
Para resolver lo anterior, primero hagan una esti-
mación de la medida de cada ángulo y luego com-
prueben su estimación utilizando un transporta-
dor. Anótenlo en la tabla siguiente.
Deporte Estimación
Medida con el
transportador
Nombre del ángulo
por su medida
Número de
estudiantes
Porcentaje
Fútbolsoccer(ánguloA) obtuso
Basquetbol (ángulo B)
Voleibol (ángulo D)
Beisbol (ángulo C)
Natación (ángulo E)
Estimar, medir y calcular
Problemas que impliquen ángulos
Resolverás problemas que impliquen reconocer,estimar y medir ángulos,utilizando el grado como
unidad de medida.
¿Qué sabemos de… estimar y medir ángulos?
Basquetbol
Natación
Beisbol
Voleibol
Fútbol soccer
A
B
C D
E
Matemáticas 244
1.4

a) En la secundaria Benito Juárez hay 97 estudiantes de segundo año.En las dos últimas columnas anoten
el número y porcentaje de preferencia de cada deporte.
b) Pregunten a sus compañeros qué deportes prefieren y realicen una tabla y gráfico como los an-
teriores.
2 Miren la carátula del reloj de la izquierda que María observa por la mañana.
¿Qué hora es? ___________ ¿A cuántos minutos del día equivale?___________
¿Cuál es la medida del ángulo menor que forman las manecillas cuando son las 13 horas? ___________ Di-
bújenlas en el reloj de en medio.
¿Cuál es la medida del ángulo menor que forman las manecillas a las 2 en punto? Dibújenlas en el reloj de la
12
6
9 3
1
2
4
5
11
7
10
8
12
6
9 3
1
2
4
5
11
7
10
8
12
6
9 3
1
2
4
5
11
7
10
8
ángulo
menor
ángulo
mayor
derecha.
3 Completen la tabla siguiente y escriban la medida del ángulo menor que forman las manecillas a cada hora en
punto del día.
Hora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ángulo
4 ¿Tienen la misma medida,en grados,los siguientes ángulos? ¿Sí?,¿no?
¿Por qué? ________________________________________________________________________
¿Cómo definen a un ángulo? _________________________________________________________
BLOQUE 1
Matemáticas 2 45EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Para saber más de… estimar y medir ángulos
En la primaria estudiaron el ángulo como giro y como elemento de
figuras geométricas; por ejemplo, en el geoplano circular, como el
queseilustraaladerecha,podemosiniciarcondosligasdecolores:
una verde y una roja.
Si dejamos la liga verde en su lugar y giramos la roja en el sentido
contrario al de las manecillas del reloj, podemos representar
giros de media vuelta, un cuarto de vuelta, un sexto de vuelta,
etcétera.
También pueden representarse ángulos agudos, rectos, obtusos,
llanos, etc. Por ejemplo, un ángulo de un cuarto de vuelta mide 90 grados y otro ángulo de media
vuelta mide 180 grados.
1 ¿Cuántos grados miden los ángulos de:
a) ¿Tres cuartos de vuelta?
b) ¿Dos tercios de vuelta?
c) ¿Cinco sextos de vuelta?
El ángulo puede simbolizarse de varias
maneras:
Con una letra mayúscula:
 A se lee como “ángulo A”.
A
Con tres letras:
ABC.En este caso,el vértice siempre
se identifica con la letra de en medio.
B
C
A
Con un número:
 2.
2
2 Analicen la siguiente información,coméntenla con sus compañeros y luego contesten las preguntas
siguientes.
Igual que han hecho para medir segmentos, debemos elegir una unidad de medida para medir
ángulos. La medida de un ángulo es el número de veces que contiene a la unidad de medida.
¿Pero cuál unidad de medida? Distinguiremos para ello un sistema:
Elsistemasexagesimalesunsistemadenumeraciónqueemplealabasesesenta.Tuvosuorigen
en la antigua Babilonia.También fue empleado,en una forma más moderna,por los árabes.
El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el número más pequeño
que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Matemáticas 246
TEMA: MEDIDA

Sistema sexagesimal
Nuestra unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal (º) que corresponde a la
360a. parte de una rotación completa de una recta sobre sí misma; es decir, si dividimos la cir-
cunferencia en 360 partes, el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia y su
arco correspondiente abarcan cada una de dichas partes, por lo tanto, es un ángulo de un grado
sexagesimal (1°).
En algunas ocasiones no será suficiente el grado para medir ángulos con mucha precisión,
necesitaremos unidades más pequeñas.
01020
30
40
50
60
70
80
90 80 70
60
50
40
30
20
10
0
180170160
150
140
130
120
110
100
100 110 120
130
140
150160170180
012345678910
Si cada ángulo de 1° sexagesimal lo dividimos en 60 partes, cada una de ellas será un ángulo
de 1 minuto sexagesimal ( ´ ), y si cada ángulo de 1 minuto sexagesimal lo dividimos en 60
partes, cada uno de dichos ángulos será de un segundo sexagesimal ( ´´ ), esto es:
1°  60´; 1´  60´´; 1°  3 600´´
109º
140º
25º
33º
a) Si dividen un ángulo recto en 30 partes iguales, ¿cuántos grados sexagesimales mide cada
ángulo que se forma?_________________________________________________________
b) ¿Cuántos minutos hay en un ángulo llano?_______________________________________
c) ¿A cuántos grados equivale un ángulo de 837 900”?________________________________
d) ¿Cuántos minutos hay en
1
8 de vuelta?___________________________________________
3 Calculen la medida del ángulo sombreado. Justifiquen su respuesta; si prefieren, pueden comprobarlo
con su transportador.
BLOQUE 1

Equivalencias en el sistema sexagesimal
La medida de un ángulo puede expresarse en grados, minutos y segundos o en una sola unidad:
Ejemplo
48° 30´ 36´´ → 48.51°
Forma compleja → Forma decimal
Veamos cómo se pasa de una forma a otra (hagan las operaciones en su calculadora):
4 Imaginen que queremos transformar 37°6´ a su forma decimal.
a) Usando el hecho de que 1°  60´, ¿a cuántos grados equivalen 6´? __________________
b) Por lo tanto, ¿cuál sería la forma decimal de 37° 6´? ___________________
c) Carlos dice que el resultado es 38°, mientras que María afirma que es 37.1°. ¿Con quién
están de acuerdo? ___________________
d) Ahora vamos a transformar 48° 30 36 a su forma decimal:
Si 1  60´´, entonces 36´´  ______
Si 1°  60´, entonces 0.6´  ______°
Si 1°  60, entonces 30´  ______°
Por lo tanto, 48° 30´ 36´´  ____________ °
e) Analicemos en este inciso el proceso inverso. Para ello partamos de:
48.51°  48°  0.51°
Si 1°  60´´, entonces 0.51°  ______´
Por lo tanto, 48.51°  51°  30.6´  51°  30´  0.6´
Si 1´  60´´, entonces 0.6´  ______
Entonces: 48.51°  ______
Medida en grados 56.78° 74.65°
Medida en grados,
minutos
y segundos
37° 20´ 15´´ 15° 8´ 24´´ 84° 12´ 24´´
Matemáticas 248
TEMA: MEDIDA

6 Estimen la medida en grados de los siguientes ángulos y luego compruébenlo con el transportador
y expresen la medida en grados.
Estimación: ____________ Estimación: ____________
B
C
A Y Z
X
Construcciones de ángulos con regla y compás
1 Recuerden que en primer grado aprendieron a trazar rectas perpendiculares. Utilicen este proce-
dimiento para trazar en su cuaderno un ángulo recto (90º).
2 Construyan en su cuaderno, utilizando sólo regla y compás, los siguientes ángulos:
a) 45º b) 135º c) 225º d) 22 ½º
Expliquen cómo los construyeron.
3 Usando sólo las escuadras de 45° y 60° se han trazado los ángulos de 135°, 120°, 150°, 75°, 15° y
165°. ¿Por qué? Expliquen. ¿Qué otros ángulos pueden trazar?
45°
90° 45°
30°
90° 60°
ABC  ________ XYZ  ________
135°
a) b)
120°
BLOQUE 1

c) d)
150°
75°
e)
60°
45°
15°
165°
4 Analicen el procedimiento que siguió Bertha para construir un ángulo de 60º utilizando la regla y
el compás.
a) Trazo un segmento de recta y en él identifico un punto A y otro B.
A B
b) Con centro en A y con radio menor que AB trazo un arco
de circunferencia, que corte a AB en C.
c) Con centro en C, y usando el mismo radio, dibujo un se-
gundo arco que corte al primero en D.
d) Trazo un segmento de A a D y listo, tengo ya un ángulo
de 60º.
5 ¿Están de acuerdo con este procedimiento? Midan el ángulo y verifiquen que sea de 60°.
_____________________
6 Ahora, usando regla y compás, construyan en su cuaderno los ángulos siguientes; en cada caso
justifiquen sus aseveraciones.
a) 120º b) 150º c) 30º d) 240º
A C
D
B
A
D
C B
60°
A C B
Matemáticas 250
TEMA: MEDIDA

1 Lean con atención el siguiente texto, discútanlo en su equipo y luego resuelvan los problemas que
siguen.
Unidades de tiempo
Como sabes desde la primaria, la Tierra
realiza un movimiento uniforme de rota-
ción alrededor de un eje que pasa por los
polos Norte y Sur; de esta manera, se toma
como unidad de medida el día, que es el
tiempo que tarda la Tierra en dar una
vuelta sobre su propio eje.
A partir del día se hacen subdivisiones de la
siguiente manera:
1 día  24 horas  24 h
1 hora  60 minutos  60 min
1 minuto  60 segundos  60 s
LoscientíficosdemostraronqueelmovimientodelaTierranoesexactamenteuniforme;esdecir,losdíasno
sontodosexactamenteiguales,asíquebuscaronotro“patrón”paradefinireldía,hora,minutoysegundo.
a) ¿Cuántos segundos hay en un día?
b) ¿Cuántas horas hay en un año? ¿Y cuántos minutos?
2 Resuelvan los problemas siguientes. Expliquen cómo los resolvieron:
a) Martín yAna María se preparan para el examen de matemáticas y han estudiado 1 hora 45 mi-
nutos en la mañana y 2 horas 48 minutos en la tarde.¿Cuánto tiempo han estudiado en total?
b) A las 21 horas 40 minutos hemos terminado de ver, sin interrupción, una película en for-
mato DVD, cuya duración es de una hora 40 minutos. ¿A qué hora hemos comenzado
a verla? ____________________________________________________________________
c) ¿Cuántos días hay entre el 25 de septiembre y el 15 de mayo de este año? ______________
d) Mariela nació el 10 de abril de 1994, que era miércoles; Alberto nació el 28 de agosto del
mismo año y Carlos 100 días después que Alberto.
¿Cuántos días han transcurrido entre el nacimiento de Mariela y el de Carlos? _______
¿En qué fecha nació Carlos? ________________________________________________
¿En qué día de la semana nació Alberto? ______________________________________
¿En qué día de la semana nació Carlos? _______________________________________
BLOQUE 1

1 Los primeros relojes de la antigüedad fueron los de sol,los de agua (llamados clepsidras),los de arena y las velas del
tiempo (inventados por los romanos).
Investiga en libros o en enciclopedias la medida del tiempo en la antigüedad.Haz un reporte sobre ello y preséntalo
a tu profesor o profesora.
2 Analiza la siguiente lectura y contesta la pregunta.
Para sumar las medidas de dos ángulos debemos sumar grados con grados, minutos con minutos
y segundos con segundos. Ejemplo:
15´ 6´´
+ 2° 8´ 29´´
34°
32°
23´ 35´´
Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad in-
mediata superior.
15° 20´ 16´´
+ 20° 30´ 54´´
355° 50´ 70´´
Teniendo en cuenta que 70°  1´ 10´´ el resultado de la suma lo expresaríamos como:
35° 51´ 10´´
Realiza la siguiente suma:
19° 28´ 56´´
+ 37° 52´ 23´´
3 Investiga cómo puedes efectuar la resta de las medidas de dos ángulos y la multiplicación de la medida de un ángulo
por un número natural y haz un reporte para entregarlo a tu profesor o profesora.
Analicen la historieta de la siguiente página y contesten las preguntas
que ahí se plantean.
Matemáticas 252
TEMA: MEDIDA

¿Estás de acuerdo con la aﬁrmación de Pepe en el sentido de que cada tres
horas son 90° y cada 2 son 60°?
¿Podrías explicarlo?
¿Estás de acuerdo con la aﬁrmación de Pepe en el sentido de que cada tres
horas son 90° y cada 2 son 60°?
¿Podrías explicarlo?

1 En cada grupo hay cuadrados con segmentos en su interior que tienen una característica común, por
ejemplo,ser perpendiculares,y sólo hay un cuadrado que es diferente de los otros tres.Señalen cuál es y
expliquen por qué.
Rectas y ángulos
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Determinarás mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elabora-
rás definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecerás relaciones entre los
ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocerás ángulos opuestos por el
vértice y adyacentes.
¿Qué sabemos de… posiciones relativas de dos rectas
en el plano?
a) b)
c) d)
Matemáticas 254
1.5

2 Del punto A sale un rayo a 45º y cuando se topa con una pared se refleja como se muestra en la figura.¿A cuál
punto (A,B,C o D) llegará? _____________________________ Compruébenlo.
¿Cómo son las posiciones que guardan entre sí estas trayectorias? Descríbanlas y comenten con sus
compañeros.
3 ¿Cuáles segmentos son paralelos y cuáles son perpendiculares en este paralelepípedo?
A
CB
D
F
G
E H
Unparalelepípedoesuncuerpogeométricocuyascarassontodasparalelogramos.Porejemplo,
un cubo es un caso particular de paralelepípedo en el que las caras son todas cuadrados iguales.
cubo
Un caso especial muy usado es aquél en que sus caras son rectángulos.
Definan lo que son:
Rectas paralelas:_____________________________________________________________________
Rectas perpendiculares:________________________________________________________________
45°
45°
Pared
Pared
Pared
Pared
C
B
D
A
BLOQUE 1

4 Analicen cada pareja de ángulos,contesten las preguntas y luego escriban las definiciones:
58º
3232º 119º 61º 69° 69°
C
D
¿Cuánto suman los dos
ángulos?
_________________
¿Cuánto suman los dos
ángulos?
_________________
¿Cómo son los ángulos
opuestos?
_________________
¿Tienen el mismo
vértice? ¿Tienen un
lado común?
_________________
ángulos
complementarios
ángulos
suplementarios
ángulos opuestos
por el vértice
ángulos
adyacentes
Definan lo que son:
Ángulos complementarios _________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Ángulos suplementarios ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Ángulos opuestos por el vértice _____________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Ángulos adyacentes _______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Para saber más de… posiciones relativas de dos rectas
en el plano
1 ¿Cuál es su idea de recta?
2 ¿Cuál es su idea de rayo?
3 ¿Cuál es su idea de segmento?
4 ¿Cuál es su idea de plano?
Matemáticas 256
TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS

5 ¿Cuál es su idea de rectas paralelas?
6 ¿Cuál es su idea de rectas perpendiculares?
7 Lean con cuidado el siguiente texto y discútanlo en su equipo.
Ideas intuitivas
Al observar las formas de los cuerpos que nos rodean se aprecian las superficies que los delimitan,
asícomolaslíneasypuntosqueenellossepresentan.Nohayposibilidaddedefinirlosconceptosde
punto, recta, plano a partir de otros elementos más sencillos. Por ello, en este curso recurrimos
a ejemplos concretos; así el punto geométrico nos da idea de la huella de la punta de un lápiz
sobre un papel. Para el caso de la recta se parte de la siguiente proposición que se acepta como
verdadera sin demostración: “dos puntos determinan una sola recta”. La recta es ilimitada e
imposible de representar en su totalidad.
Dos puntos de la recta determinan tres partes de la misma: la comprendida entre los dos
puntos, a la que llamamos segmento, y las otras dos partes a las que llamamos semirrectas.
Observen los puntos A y B de la ilustración de abajo. Este conjunto de puntos que conec-
tan A y B en línea recta recibe el nombre de segmento AB y se simboliza como AB. Si este
segmento se extiende indefinidamente en ambas direcciones recibe el nombre de línea recta
AB o simplemente recta AB y se simboliza como AB
↔
. También suele designarse con letras
minúsculas: r, s, t…
A B
A B
Observen que sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas, a la izquierda y a la
derecha de aquél. Podemos representar una parte de la recta que se extienda indefinidamente
en una sola dirección a partir de un punto. Esta parte recibe el nombre de rayo, el cual no puede
ser medido.
Un rayo que inicia en el punto A y pasa por el punto B se identifica así: AB
→
A B
Unas ideas intuitivas de planos son la superficie de una hoja de papel, la de una mesa, la de las
paredes, etcétera, pero hace falta un elemento esencial para el concepto matemático de plano: su
carácter ilimitado. Por esta razón se recurre a una proposición que se acepta como verdadera
sin demostración: para determinar un plano basta con señalar una recta y un punto exterior
a ella.
A B
P
BLOQUE 1

a) Dos rectas que coincidan (una
encima de otra).
b) Dos rectas que no se corten, aunque las
prolongaras indefinidamente.
8 ¿Es igual el rayo AB que el rayo BA? ___________ Expliquen.
9 Si el punto C pertenece al rayo AB y se encuentra entre los puntos A y B, ¿también pertenece al
rayo BA? ___________ Expliquen.
A BC
10 Dibujen en los paralelogramos parejas de rectas en distintas posiciones, como se indica:
c) Dos rectas que se corten, o bien si las prolongaras acabarían encontrándose en un punto.
11 Analicen el siguiente texto, discútanlo en equipo y realicen los trazos que se muestran en su cuaderno
utilizando su juego de escuadras. Denoten las posiciones de las rectas con la simbología matemática.
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
La posición relativa de dos rectas en el plano puede ser:
Rectasparalelas.Dosrectasenelplanosonparalelascuandoladistanciaentreellasesconstan-
te.Paratrazarparalelasconlasescuadras,unadeellassemantienefija,usandounodesusbordes
como directriz,y en la escuadra móvil se utiliza el otro borde para el trazo de paralelas.
a ba b
Para denotar rectas paralelas se utiliza el símbolo //. Así a // b se lee como “recta a
paralela a la recta b”.
Matemáticas 258

Rectas perpendiculares. Dos rectas en el plano son perpendiculares cuando al inter-
secarse forman un ángulo recto. Para trazar perpendiculares con las escuadras, primero
trazamos una recta, sobre la misma apoyamos un lado de una de las escuadras. Sobre ese
lado apoyamos uno de los catetos de la otra escuadra y con el otro cateto marcamos otra
recta que resulta perpendicular a la inicial. Las siguientes figuras ilustran el trazo de
perpendiculares con escuadras.
(Los catetos de una escuadra son los lados que forman el ángulo recto.)
M
A
N
B
A
B
M
N
Para denotar rectas perpendiculares se utiliza el símbolo .
Así M
↔
N ⊥M
↔
N se lee “recta MN perpendicular a la recta AB”.
Rectas oblicuas. Dos rectas no paralelas en el plano son oblicuas cuando al intersecarse
no forman un ángulo recto, es decir, cuando no son perpendiculares.
12 Den un ejemplo de las posiciones relativas de dos rectas, considerando su salón de clases, como las
esquinas de las paredes con el techo. Hagan un dibujo en su cuaderno y utilicen la notación mate-
mática correcta.
13 Denoten la posición relativa de las calles que se muestran en el croquis siguiente. Consideren las
calles como si fueran rectas.
BLOQUE 1

14 Si dos rectas se cortan y forman un ángulo recto, ¿cómo son las rectas entre sí? Dibújenlas a
continuación.
15 Si dos rectas no se cortan, ¿significa que necesariamente son paralelas? Expliquen.
16 Deacuerdoconloestudiadoenlaslecciones13,14,15yutilizandolanociónderayo,deestalección,
¿cuál es la definición de ángulo?
Ángulos opuestos por el vértice
1 Dibujen en su cuaderno dos rectas que se cortan y coloreen uno de los ángulos de menor medida.
Después recorten el triángulo que colorearon y colóquenlo en el otro ángulo opuesto como se
observa en la figura de la derecha. ¿Cuál es la relación entre las medidas de los ángulos opuestos
por el vértice? __________________________________________ Argumenten su respuesta.
D
A
B
O
C
B
O
C
2 Argumentenporquélosángulosopuestosporelvérticesonigualessintenerquemedirlos.Pista:¿cuál
será la suma de la medida de los ángulos AOD y DOB? ¿Por qué? ¿Y de los ángulos DOA y AOC?
3 Escriban los nombres de los ángulos que se indican de acuerdo con su clasificación en agudo,recto,
obtuso y llano, en los ángulos que se forman al cortarse estas dos rectas.
 DOC
 DOB
 AOC
 BOD
C
B
D
A
O
Matemáticas 260

Ángulos adyacentes
4 Dos ángulos son adyacentes si tienen su vértice común y un lado en común.
Dibujen en su cuaderno tres parejas de ángulos que cumplan la propiedad anterior.
5 Observen la figura y expliquen por qué los dos ángulos que se indican no son adyacentes:
a)  BAC y  ADF: ______________________________________
b)  CAD y  EDF: ______________________________________
6 Nombren dos ángulos adyacentes: ____________________________________________________
7 En el problema 3 se muestran dos rectas que se cortan.
¿Cuáles son las parejas de ángulos adyacentes?__________________________________________
¿Cuál es la relación entre las medidas de estas parejas de ángulos adyacentes?_________________
A
D
F
ECB
Construcciones geométricas con regla y compás
8 Analicen el procedimiento que siguió Judith para construir una perpendicular a una recta dada en
un punto dado de ésta. Luego contesten las preguntas.
Dibujo una recta l y luego un punto P sobre ella.
l
D E
G
IF
H
P BA
C
’
1. Con centro en P y un radio conveniente, trazo el arco D-E que corte a l en los puntos
A y B.
2. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB , trazo el arco F-G. Con centro en B
y con el mismo radio trazo el arco H-I que corta el arco F-G en el punto C.
3. Trazo la línea que pasa por P y C. PC es perpendicular a la recta l en el punto P.
Observo que PA  PB pues son radios de la misma semicircunferencia y, por tanto, P es
el punto medio del segmento AB. PC es la perpendicular mediatriz del segmento AB,
es decir, la perpendicular en el punto medio del segmento AB.
a) ¿Están de acuerdo con este procedimiento? ¿Cómo pueden verificarlo? ¿Conocen otro(s)
procedimiento(s) para construir una perpendicular a una recta dada de ésta?
BLOQUE 1

9 Analicen ahora el procedimiento que siguió Gerardo para construir una perpendicular a una recta
dada por un punto dado fuera de ella. Luego contesten las preguntas.
Dibujo la recta l y luego un punto P fuera de ella.
1. Con centro en P y un radio con-
veniente, trazo el arco D-E que
corte a l en los puntos A y B.
2. Con centro en A y radio mayor
que la mitad de AB ,trazo el arco
F-G; con el mismo radio y centro
en B, trazo el arco H-I que corta
al arco F-G en el punto C.
3. Trazo la línea que pasa por P y
C. La recta PC es perpendicular
a la recta l, la cual pasa por el
punto P.
a) ¿Están de acuerdo con el procedimiento que siguió Gerardo?
b) ¿Están de acuerdo con la afirmación 3? ¿Por qué? Coméntenlo.
10 Analicen el procedimiento que siguió Remedios para construir una perpendicular a un segmento
de recta en uno de sus extremos sin prolongar el segmento. Luego contesten las preguntas.
Trazo un segmento AB y remarco el punto B en el ex-
tremo donde debo construir la perpendicular.
1. Marco el punto C más cer-
ca de B que de A, en el área
próxima a la recta y arriba
de ella.
2. Trazo el arco E-B-F con cen-
tro en C y radio CB que corta
al segmento en G.
3. Trazo la línea que pasa por
G y C, y la prolongo hasta
que corte al arco E-B-F en
el punto D.
4. Trazo una recta que pase por B y D. La recta BD es la perpendicular al segmento AB
en el extremo B.
D
E
G
F
BA
C
a) ¿Están de acuerdo con el procedimiento que siguió Remedios?
b) Reproduzcan esta construcción en su cuaderno y midan con el transportador el ángulo
ABD.
D
E
G
IF
H
P
BA
C
l
Matemáticas 262

¿Cuál es la medida del ángulo GBD? _______________ ¿Por qué? _______________
c) ¿Conocen otro procedimiento para trazar una perpendicular a un segmento de recta en
uno de sus extremos?
1 InvestigaenlibrosdehistoriadelasmatemáticasoeninternetlasaportacionesdeEuclides(geómetragriegoantiguo)
y haz un glosario de aquellas palabras que no entiendas.
Euclides
Un gran matemático de la ciudad de Alejandría llamado
Euclides escribió libros sobre música, óptica y también una
monumental obra en 13 libros llamada Elementos de
geometría, en la que desarrollan en forma sistemática los
conocimientos de la geometría de su época.
BLOQUE 1

Matemáticas 264
¿Estás de acuerdo con los términos utilizados en esta historieta?
¿Podrías mostrar algunos dibujos que ilustren estos términos?
¿Estás de acuerdo con los términos utilizados en esta historieta?
¿Podrías mostrar algunos dibujos que ilustren estos términos?

1 En una hoja blanca o en una hoja de su cuaderno hagan lo que se indica a continuación:
a) Usen ambos lados de su regla para dibujar dos rectas paralelas como se muestra en la imagen.
Rectas y ángulos
Ángulos entre paralelas
Establecerás las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas
por una transversal.
Justificarás las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y
paralelogramos.
¿Qué sabemos de… ángulos entre paralelas?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) Dibujenunatercerarectaquecortelasdosparalelas.Numerenlosánguloscomosemuestraycórten-
los para obtener ocho ángulos.Luego coloquen unos sobre otros y encuentren cuáles son iguales.
1 2
3 4
5 6
7 8
c) ¿Qué sucede con 3 y 5 y 4 y 6? ¿Existen otros pares de ángulos para los cuales sucede lo mismo?
1.6

d) ¿Sucedió lo mismo con otras rectas paralelas cortadas por otra recta? Coméntenlo.
2 Dibujen en su cuaderno un triángulo y sigan estos pasos:
a) Coloreen de diferente color cada ángulo interior y luego recórtenlo.Observen las figuras.
b) Ahora recorten los tres ángulos.
c) Se ha marcado un punto C sobre la recta.Coloquen los ángulos que recortaron sobre ese punto
de manera que los ángulos tengan en común un lado uno con otro y estén sobre la recta. Por
ejemplo,en la figura se colocó uno de los ángulos.
C
d) Comparen sus resultados con los de sus compañeros y describan sus observaciones.¿Cuál es la suma
de los tres ángulos interiores de un triángulo? _______________________________
e) ¿Siempre sucederá lo mismo? Enuncien con palabras la propiedad anterior.
3 Ahora dibujen un cuadrilátero y sigan estos pasos:
a) Coloreen de diferente color cada ángulo interior.Observen la figura.
b) Corten las cuatro esquinas como se indica y coloquen los ángulos sobre el punto C de manera que
dos ángulos tengan en común un lado,como se muestra en el recuadro.Comenten lo que observan
con sus compañeros y compañeras de clase.
Matemáticas 266

C
c) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un cuadrilátero? _______________________________
Para saber más de… ángulos entre paralelas
Relación de igualdad entre los ángulos formados entre paralelas
cortadas por una tercera recta llamada secante
1 En la figura siguiente se muestran dos paralelas cortadas por una secante que determina ocho án-
gulos, los cuales se agrupan en pares de ángulos iguales:
1 2
3 4
5 6
7 8
a) Ángulos opuestos por el vértice son pares de ángulos como 1 y 4, 2 y 3, 5 y 8, 6 y 7. ¿Cómo los
caracterizan?
b) Ángulos alternos internos son pares de ángulos como 3 y 6, 4 y 5. ¿Cómo los caracterizan?
c) Ángulos externos alternos son pares formados de ángulos como 1 y 8, 2 y 7. ¿Cómo los carac-
terizan?
d) Ángulos correspondientes son pares de ángulos como 1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8. ¿Cómo los
caracterizan?
2 Comparen sus respuestas con las de otros equipos y traten de llegar a un consenso en cuanto a las
definiciones, con apoyo y la coordinación de su profesor o profesora.
Los ángulos correspondientes son pares de ángulos congruentes.
Los ángulos alternos internos son iguales entre sí de dos en dos.
BLOQUE 1

C
R
P D
Q
B
S
A
Los ángulos alternos externos son iguales entre sí de dos en dos.
Los ángulos opuestos por el vértice son pares de ángulos congruentes entre sí.
3 Consideren la ilustración de la página anterior y que el ángulo 1 mide 118.5º. ¿Pueden decir, sin
usar transportador, cuánto miden los demás ángulos?
 2 = __________________  3 = __________________  4 = __________________
 5 = __________________  6 = __________________  7 = __________________
4 Sabiendo que AB es paralelo a CD y que ambos son cortados por EC , encuentren, sin medir, el
valor de los ángulos que se indican.
 CEB  __________________
 DCE  __________________
A
DC
B
E
48˚
5 Tracen en su cuaderno la siguiente construcción utilizando sólo regla y compás.
Construir por un punto dado la paralela a una recta
dada.
Sean AB y P la recta y el punto dados.
1. Se traza por P la recta RS que corte a la recta
AB en el punto Q.
2. Se construye el ángulo RPD igual al ángulo
PQB. CD es la recta que pasa por P y es para-
lela a AB.
a) Expliquen el procedimiento que siguieron.
Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros
6 Seguramente al realizar la segunda actividad de la lección an-
terior se dieron cuenta de que los tres ángulos interiores de un
triángulo, al formar un ángulo de media vuelta, suman 180º.
Ahora traten de demostrar lo anterior con razones y argumen-
taciones matemáticas, utilizando, por ejemplo, las relaciones
de igualdad entre los ángulos formados entre paralelas corta-
das por una secante.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º.
B
C
A
Matemáticas 268

7 Si demostraron la situación anterior,les resultará fácil probar aho-
ra que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de
360º; es decir, juntar los cuatro ángulos interiores equivale a un
ángulo de una vuelta completa.
Pista: consideren que un cuadrilátero se puede dividir en dos
triángulos.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de 360º.
Por tu cuenta T r a b a j a en equipo
Lección 22
1 Estudien los casos siguientes.Piensen en qué propiedades pueden utilizar para encontrar lo que se les pide. Argu-
menten el procedimiento que siguieron para llegar al resultado.Les recomendamos trabajar con algún compañero o
compañera.
a) El A  B;por consiguiente,las rectas m y n son:
________________________________________
A
B
nm
Argumento
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
b) En la figura se cumple que  A   C y que el
 B  50º.
Encuentren:
 A  __________________________________
 C  __________________________________
Argumento
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
A CB
BLOQUE 1

c) En la figura se cumple que  A  90º y  B  150º
Encuentra:
 C  ___________________________________
 D  ___________________________________
 E  ___________________________________
 F  ___________________________________
Argumento
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
d) En la figura se cumple que  D   E  70º.
¿Pueden argumentar qué tipo de triángulo es?
Encuentren:
 A  _________________________________
 B  _________________________________
 C  _________________________________
 F  __________________________________
 G  _________________________________
 H  _________________________________
 I  __________________________________
Argumento
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
A
D
C B
E F
A C
B D
G F
E H
I
Matemáticas 270

2 Discutan en todo el grupo la historieta que se muestra en la siguiente página y
contesten las preguntas que ahí se plantean.
¿Estás de acuerdo con este razonamiento para calcular la medida de los
ángulos interiores del terreno triangular de la escuela?
¿Cómo lo resolverías?
Matemáticas 2 71

1 Rita tiene un plano de la República
Mexicana que mide 50 cm de largo y
40 cm de ancho.Rosalba le pide pres-
tado el plano a Rita para sacarle una
ampliación de tal modo que su largo
sea de 75 cm.
a) ¿Cuánto mide de ancho la ampliación del plano de Rosalba? _______________________
b) ¿Cuál fue la escala de ampliación? _______________________
c) ¿Cuál tiene que ser la escala de reducción que se le debe aplicar al mapa de Rosalba para obtener el
mapa de Rita? _______________________
2 César hizo una ampliación de 250% (es decir,un factor de
5
2 ) de una foto de su novia.
¿Cuál debe ser el factor de reducción para recuperar su tamaño original? _______________________
Relaciones de proporcionalidad
Factor de proporcionalidad
Determinarás el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcio-
nalidad fraccionario.
¿Qué sabemos de… factor de proporcionalidad?
Matemáticas 272
1.7

3 Observen el ejemplo y completen la tabla siguiente.
Cuadrado
original
Nuevo
cuadrado
Cuadrado
original
3 cm 4 cm 3 cm
4
3
3
4
Factor de
ampliación
Factor de
reducción
Medida
del lado del
cuadrado
original
Factor de ampliación
o de reducción
Medida
del lado
del nuevo
cuadrado
Factor de ampliación o
de reducción
Medida
del lado del
cuadrado
original
3 cm
4
3
(ampliación) 4 cm
3
4
(reducción) 3 cm
25 cm 20 cm
28 cm
3
7
(reducción)
75 cm
5
4
(________)
a
b
l × a
b
Para saber más de… factor de proporcionalidad
1 En el lado izquierdo de la tabla siguiente se les dan las cantidades de algunos de los ingredientes
de la receta original y en el lado derecho las de algunos de los ingredientes de la receta para 12
porciones. Completen la tabla de acuerdo con esos datos.
Pastel de choco-coco para ____ porciones Pastel de choco-coco para 12 porciones
1 taza de galletas Marías,molidas
___ g de coco
90 g de mantequilla
2 cucharadas de cocoa
___ g de queso crema
___ g de azúcar
___ cucharadas de harina de trigo
4 huevos
1 lata de media crema
___ g de chocolate
50 g de coco rallado
___ tazas de mermelada de fresa
___ taza de galletas Marías,molidas
225 g de coco
135 g de mantequilla
___ cucharadas de cocoa
285 g de queso crema
375 g de azúcar
3 cucharadas de harina de trigo
___ huevos
___ lata de media crema
135 g de chocolate
___ g de coco rallado
1 ½ tazas de mermelada de fresa
BLOQUE 1
Matemáticas 2 73EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

a) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? _____________________
b) ¿Cuál es el factor inverso de proporcionalidad? _____________________
c) Dadas algunas de las cantidades de los ingredientes para 20 personas, ¿cuál sería el factor
inverso de proporcionalidad para obtener los ingredientes de la receta original?
2 Roberto redujo una fotografía al 60% de su tamaño original.
a) ¿Cuál es el factor de reducción? _____________________
b) Si la reducción de la figura la quiere volver a su tamaño original, ¿cuál será el factor de
ampliación? _____________________
3 Para pintar su cuarto,Héctor usó una mezcla de
1
2
litro de pintura blanca,
1
4
de litro de pintura azul,
1
8
de litro de pintura amarilla y
2
5
de litro de pintura roja.
a) ¿Cuántos litros de pintura fabricó? ______________________
b) Ahora quiere fabricar 2
1
2
litros de pintura del mismo color para pintar el cuarto de su her-
mano. ¿Cuántos litros de pintura de cada color debe usar? __________________________
c) ¿Cuál es en este caso el factor de proporcionalidad y el factor inverso de proporcionalidad?
____________________________________________________________________________
4 Para encontrar las dimensiones de la ampliación del
125% de una fotografía cuyo tamaño original es de 10
cm de ancho por 15 cm de largo,Alejandra dice que el
factor es de
125
100
, que, al simplificarlo, corresponde a
la fracción
5
4
.
a) ¿EstándeacuerdoconelprocedimientodeAle-
jandra? ________________________________
b) ¿Podrían explicar por qué? _______________
______________________________________
c) ¿Cuáles son las medidas de los lados de la foto-
grafía ampliada? ________________________
Matemáticas 274
TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

d) Supongamos ahora que nos dan las medidas de los lados de la fotografía ampliada, con un
factor de ampliación de
5
4 y que nos piden las medidas de la fotografía original. ¿Qué se debe
hacer? Coméntenlo.
e) ¿Cuál sería el factor inverso? _____________________
Para un factor de proporcionalidad fraccionario a
b
con a y b diferentes de cero, se tiene un factor
de proporcionalidad inverso b
a.
Resuelve los problemas siguientes o contesta en tu cuaderno.
1 A partir de un cuadrado cuyo lado mide 15 cm,se obtuvo un segundo cuadrado cuyo lado mide ahora 20 cm.
a) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que se aplica al primer cuadrado para obtener el segundo cuadrado?
b) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que permite obtener la longitud del primer cuadrado a partir del
segundo cuadrado?
2 Dada una figuraA y el factor de proporcionalidad
c
d (c y d diferentes de cero) que permite obtener la figura A',
¿qué factor permite obtener la figura A a partir de A'?
BLOQUE 1

Matemáticas 276
¿Cuántos gramos de pimientos tendrá que utilizar para las cinco
personas? ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que aplica el papá de Pepe
para que a partir de los ingredientes de las dos personas pueda obtener el
de cinco? ¿Cuántas aceitunas deberá utilizar para las dos personas? ¿Qué
factor aplicaste? ¿En qué otra situación de la vida real puedes aplicar lo
que has aprendido en este subtema?

Matemáticas 2

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