Matemáticas 1: Sistemas de numeración y operaciones básicas

La obra Matemáticas 1 fue elaborada por la
Gerencia Editorial Textos de Ediciones Larousse, S.A. de C.V.
Dirección Editorial: Tomás García Cerezo
Gerencia Editorial Textos: Javier Anaya González
Edición: Salvador Méndez Alvarado
Corrección de estilo: Luis Soriano Bello
Diseño de interiores: Braulio Morales
Diagramación y formación: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.
Diseño de portada: Eligge Consultores
Foto: dados Latin Stock México
Ilustración: Ricardo Cabello, Alberto Morales, Alfredo Chavarría
y Rodrigo Lopezdelara
Fotografía: © Ablestock y sus cedentes de la licencia.
Reservados todos los derechos.
Matemáticas 1
D.R. © 2008, por Ediciones Larousse, S.A. de C.V.
Londres 247, Col. Juárez, Delegación Cuauhtémoc
C.P. 06600, México, D.F.
escolar@larousse.com.mx
Primera edición
Esta obra no puede ser reproducida, total o parcialmente,
sin autorización escrita del editor.
ISBN: 970-22-1620-6
Larousse y el logotipo Larousse son marcas registradas de Larousse, S.A.
Impreso en México
Printed in Mexico

Presentación
Maestra, maestro:
La propuesta didáctica de Matemáticas 1 que tiene en sus manos es fruto del esfuerzo editorial de
muchas personas y de la larga experiencia de sus autores frente a grupo y en la educación matemática
de vanguardia.
Aquí encontrará múltiples actividades de estudio que relacionan a las matemáticas con la vida co-
tidiana de los estudiantes: deportes, juegos, medios de comunicación, uso de las tecnologías de la
información y las comunicaciones que demanda el mundo moderno, cuidadosamente diseñadas para
que despierten el interés de sus alumnos y los inviten a reflexionar, a trabajar en equipo, a encontrar
diferentes formas de solucionar los problemas, a formular argumentos que validen los resultados, a
comunicar verbalmente, a investigar y presentar por escrito sus hallazgos, en un ambiente de confianza
y de respeto por las ideas de los demás.
Las actividades de Matemáticas 1 están agrupadas en cinco bloques. Cada uno de ellos inicia con
entradas a doble página que muestran los propósitos que se esperan logren desarrollar los estudiantes
y los relacionen con su vida cotidiana o con otras disciplinas.
El desarrollo de cada uno de los 38 subtemas está organizado en lecciones que corresponden a tres
momentos metodológicos fundamentales que se relacionan entre sí y se reciclan continuamente.
• ¿Qué sabemos de... Plantea situaciones problemáticas iniciales vinculadas con algún con-
texto que motive el interés de los estudiantes para ser trabajadas en equipo.
• Para saber más de... Este momento se destina para que los y las alumnas construyan y amplíen
los conocimientos y habilidades a partir de sus conocimientos previos; esto se logra a través de
secuencias problemáticas e información matemática básica.
Al final de esta sección se recomienda hacer una pausa en el estudio de los temas para que los estu-
diantes revisen los problemas que no hayan podido resolver en lecciones anteriores y, en su caso, los
corrijan o resuelvan.

• Por tu cuenta... En este momento se plantean preguntas y problemas matemáticos que sintetizan
los conocimientos y habilidades adquiridas en las actividades previas, además de que propicia
que los estudiantes los apliquen en diversos contextos. También se plantean pequeñas investi-
gaciones de aplicación de las matemáticas para que los estudiantes consulten información en la
biblioteca escolar, en su comunidad, en internet o en otros medios.
Al finalizar cada subtema se presenta la sección Historietas matemáticas en las que varios personajes
ficticios, estudiantes de secundaria, ejemplifican el uso y la aplicación de las matemáticas en diversas
situaciones; aquí mismo se invita a los alumnos a que reflexionen y, en algunos casos, evalúen las
soluciones expuestas en cada historieta.
Al finalizar cada bloque encontrará sugerencias prácticas para implementar la Feria de las mate-
máticas que bajo su coordinación los alumnos irán preparando con materiales, actividades, juegos,
etcétera, que puede servir para exponer al final del curso.
Esperamos que con esta propuesta pedagógica se cumpla el propósito de que sus estudiantes efecti-
vamente construyan sus propios conocimientos, que les permita enfrentar y dar respuesta a problemas
de la vida real y prepararlos mejor para el futuro. ¡Ojalá cumpla su cometido!
Los autores

Bloque 1
Presentación 3
Presentación al alumno 9
Índice
de contenido
1.1 Números naturales. El sistema de numeración decimal
y otros sistemas de numeración 12
Lección 1 ¿Qué sabemos del sistema de numeración
decimal y otros sistemas de numeración? 12
Lección 2 Para saber más del sistema de numeración
decimal y otros sistemas de numeración 13
Lección 3 Sistemas de numeración egipcio, babilónico
y romano 15
Lección 4 Uno de los sistemas de numeración mayas
y sistema de numeración azteca 20
Lección 5 Actividades de trabajo individual 23
Historieta matemática del subtema 1.1 24

1.2 Números fraccionarios y decimales. Números fraccio-
narios y decimales en la recta numérica 25
Lección 6 ¿Qué sabemos de los números fraccionarios
y decimales en la recta numérica? 25
Lección 7 Para saber más de números fraccionarios
y decimales en la recta numérica 26
Lección 8 Números decimales en la recta numérica 30
1.3 Patrones y fórmulas. Sucesiones y expresiones
generales 35
Lección 10 ¿Qué sabemos de sucesiones y expresiones
generales? 35
Lección 11 Para saber más de sucesiones y expresiones
generales 36
1.4 Patrones y fórmulas. Fórmulas geométricas 41
Lección 13 ¿Qué sabemos de fórmulas geométricas? 41
Lección 14 Para saber más de fórmulas geométricas 43
1.5 Movimientos en el plano. Figuras simétricas 46
Lección 15 ¿Qué sabemos de figuras simétricas? 46
Lección 16 Para saber más de figuras simétricas 48
Lección 17 Actividades de trabajo en equipo 51

1.6 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad
directa 57
Lección 19 ¿Qué sabemos de proporcionalidad
directa? 57
Lección 20 Para saber más de proporcionalidad
directa 58
1.7 Relaciones de proporcionalidad.
Reparto proporcional 64
Lección 22 ¿Qué sabemos de reparto
proporcional? 64
Lección 23 Para saber más de reparto proporcional 65

1.8 Diagramas y tablas. Problemas de conteo 69
Lección 25 ¿Qué sabemos de problemas
de conteo? 69
Lección 26 Para saber más de problemas
de conteo 70
Feria de las matemáticas. Juguemos con el sistema binario
de numeración 74

Bloque 2
2.1 Problemas aditivos. Problemas de suma o resta con
números fraccionarios y decimales 78
Lección 1 ¿Qué sabemos de problemas de suma o resta con
números fraccionarios y decimales? 78
Lección 3 Para saber más de problemas de suma o resta
con números fraccionarios y decimales 81

2.2 Problemas multiplicativos. Problemas de multiplica-
ción y división con números fraccionarios 88
Lección 5 ¿Qué sabemos de problemas de multiplicación
con números fraccionarios? 88
Lección 6 Para saber más de problemas de multiplicación
con números fraccionarios 90
Lección 8 Para saber más de problemas de división con
números fraccionarios 93
2.3 Problemas multiplicativos. Problemas de multiplicación
de números decimales 98
Lección 10 ¿Qué sabemos de problemas de multiplicación
de números decimales? 98
Lección 11 Para saber más de problemas de multiplicación
de números decimales 99

2.4 Rectas y ángulos. Mediatriz y bisectriz 103
Lección 13 ¿Qué sabemos de mediatriz y bisectriz? 103
Lección 14 Para saber más de mediatriz y bisectriz 106

2.5 Figuras planas. Construcción de polígonos
regulares 110
Lección 16 ¿Qué sabemos de construcción de polígonos
regulares? 110
Lección 17 Construcción de polígonos regulares con com-
pás, regla y transportador 113
Lección 18 Para saber más de construcción de polígonos
regulares 115

2.6 Justificación de fórmulas. Perímetro y área
de polígonos 119
Lección 20 ¿Qué sabemos de perímetro y área
de polígonos? 119
Lección 21 Para saber más de perímetro y área
de polígonos 120
Lección 22 Fórmulas del área de cuadrados, rectángulos
y romboides 123
Lección 23 Fórmulas del área de rombos
y triángulos 126
Lección 24 Fórmula del área de polígonos regulares 127
Proporcionalidad directa utilizando operadores
fraccionarios y decimales 130
Lección 25 ¿Qué sabemos de proporcionalidad directa
utilizando operadores fraccionarios y decimales? 130
Lección 26 Para saber más de proporcionalidad directa
utilizando operadores fraccionarios y decimales 131

2.8 Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva
de los factores constantes de proporcionalidad 135
Lección 28 ¿Qué sabemos de la aplicación sucesiva de los
factores constantes de proporcionalidad? 135
Lección 29 Para saber más de la aplicación sucesiva de los
factores constantes de proporcionalidad 137
Feria de las matemáticas. El maravilloso mundo
de los rompecabezas 142
Bloque 3
3.1 Problemas multiplicativos. División de números
decimales 146
Lección 1 ¿Qué sabemos de división de números
decimales? 146
Lección 2 Para saber más de división de números
decimales 147

3.2 Ecuaciones. Ecuaciones de primer grado 153
Lección 4 ¿Qué sabemos de ecuaciones
de primer grado? 153
Lección 5 Para saber más de ecuaciones
de primer grado 154

3.3 Figuras planas. Construcción de triángulos
y cuadriláteros 160
Lección 8 ¿Qué sabemos de construcción de triángulos
y cuadriláteros? 160
Lección 9 Para saber más de construcción de triángulos

3.4 Estimar, medir y calcular. Áreas de triángulos
Lección 12 ¿Qué sabemos de áreas de triángulos
y cuadriláteros? 171
Lección 13 Para saber más de áreas de triángulos

3.5 Relaciones de proporcionalidad. Procedimientos
expertos 181
Lección 16 ¿Qué sabemos de procedimientos
expertos? 181
Lección 17 Para saber más de procedimientos
expertos 183
3.6 Porcentajes. Cálculo de porcentajes 190
Lección 19 ¿Qué sabemos de cálculo
de porcentajes? 190
Lección 20 Para saber más de cálculo
de porcentajes 192

3.7 Diagramas y tablas. Interpretar información 197
Lección 22 ¿Qué sabemos de interpretar
información? 197
Lección 23 Para saber más de interpretar
información 199

3.8 Gráficas. Interpretar información en gráficas de barras
y circulares 205
Lección 25 ¿Qué sabemos de interpretar información en
gráficas de barras y circulares? 205
Lección 26 Para saber más de interpretar información en
gráficas de barras y circulares 207
3.9 Nociones de probabilidad. Escala de probabilidad
entre 0 y 1 212
Lección 28 ¿Qué sabemos de escala de probabilidad
entre 0 y 1? 212
Lección 29 Para saber más de escala de probabilidad
entre 0 y 1 213
Feria de las matemáticas. Los crucigramas 220
Bloque 4
4.1 Números con signo. Utilización de números
con signo 224
Lección 1 ¿Qué sabemos de utilización de números con
signo? 224
Lección 2 Para saber más de utilización de números con
signo 226

4.2 Potenciación y radicación. Raíz cuadrada y potencias
de números naturales y decimales 233
Lección 4 ¿Qué sabemos de raíz cuadrada y potencias de
números naturales y decimales? 233
Lección 5 Para saber más de raíz cuadrada y potencias de
números naturales y decimales 236
4.3 Relación funcional. Relación de proporcionalidad
y = kx 244
Lección 7 ¿Qué sabemos de la relación de proporcionalidad
y = kx? 244
Lección 8 Para saber más de la relación
de proporcionalidad y = kx 246

Bibliografía 326
Bloque 5
5.1 Problemas aditivos. Adición y sustracción de números
con signo 282
Lección 1 ¿Qué sabemos de adición y sustracción
de números con signo? 282
Lección 2 Para saber más de adición y sustracción
de números con signo 286

5.2 Relación funcional. Representación de proporcionalidad
directa 290
Lección 4 ¿Qué sabemos de representaciones
de proporcionalidad directa? 290
Lección 5 Para saber más de representaciones
de proporcionalidad directa 293
5.3 Estimar, medir y calcular. Cálculo de áreas de figuras
planas 300
Lección 7 ¿Qué sabemos de cálculo de áreas de figuras
planas? 300
Lección 8 Para saber más de cálculo de áreas de figuras
planas 301
5.4 Nociones de probabilidad. Resultados equiprobables
y no equiprobables 305
Lección 10 ¿Qué sabemos de resultados equiprobables
y no equiprobables? 305
Lección 11 Para saber más de resultados equiprobables
y no equiprobables 306
Variación proporcional inversa 310
Lección 13 ¿Qué sabemos de variación proporcional
inversa? 310
Lección 14 Para saber más de variación proporcional
inversa 312
5.6 Medidas de tendencia central y de dispersión.
Medidas de tendencia central 318
Lección 16 ¿Qué sabemos de medidas de tendencia
central? 318
Lección 17 Para saber más de medidas de tendencia
central 320
Feria de las matemáticas. Obra de teatro
“Pepito preguntón” 324
4.4 Figuras planas. Construcción de círculos 252
Lección 10 ¿Qué sabemos de construcción
de círculos? 252
Lección 11 Para saber más de construcción
de círculos 253
4.5 Justificación de fórmulas. Perímetro y área
del círculo 259
Lección 13 ¿Qué sabemos de perímetro y área
del círculo? 259
Lección 14 Para saber más de perímetro y área
del círculo 260
4.6 Estimar, medir y calcular. Cálculo del área
y el perímetro del círculo 265
Lección 16 ¿Qué sabemos de cálculo del área
y el perímetro del círculo? 265
Lección 17 Para saber más de cálculo del área
y el perímetro del círculo 266
4.7 Gráficas. Proporcionalidad y plano cartesiano 270
Lección 19 ¿Qué sabemos de proporcionalidad y plano
cartesiano? 270
Lección 20 Para saber más de proporcionalidad y plano
cartesiano 271
Feria de las matemáticas. Construyamos cuadrados
mágicos 278

Presentación
al alumno
Hola amigos y amigas, somos Mary, Lupe, Juan y Pepe, y como todos us-
tedes, también trataremos de aprender matemáticas en este nuestro
primer año de secundaria. ¡Qué emoción!
Los acompañaremos en todo el curso y compartiremos la emoción de
aprender matemáticas. Seguramente se identificarán con nosotros.
Les platicaremos sobre algunas situaciones cotidianas y demás cosas
que probablemente a ustedes también les pasaron al estudiar las
Mates, ya sea en el salón de clases, en el recreo, en su casa o en la
calle. ¡Nos divertiremos!
Aquí encontrarán para qué sirven las matemáticas, en dónde se aplican, cómo
podemos divertirnos jugando con ellas, a realizar experimentos matemáticos y hacer diseños geomé-
tricos; aprenderemos muchas cosas más...
Estamos seguros, porque ustedes podrán comparar lo que han aprendido con lo que hemos aprendido
nosotros a través de nuestras Historietas matemáticas.
Además al final de cada bloque encontrarán algunas pistas para que vayan preparando, con el apoyo
de su maestro o maestra, los materiales, juegos y actividades para la Feria de las matemáticas en
donde podrán mostrar plenamente sus habilidades y capacidades matemáticas que desarrollaron
en todo el año.
Bueno, pues ¡a trabajar!

Aprendizajes esperados
En este bloque:
i Conocerás las características del sistema de numeración decimal (base,valor
posicional,número de símbolos) y establecerás analogías o diferencias con otros
sistemas posicionales y no posicionales.
i Compararás y ordenarás números expresados como fracciones y en forma
decimal,mediante la búsqueda de expresiones equivalentes,la recta numérica,los
productos cruzados,así como otros recursos.
i Representarás sucesiones —numéricamente o con figuras— a partir de una regla
dada y viceversa,esto es,establecerás la regla de formación de una sucesión a
partir de una representación de ésta.
i Construirás figuras simétricas respecto a un eje e identificarás qué propiedades
de la figura original se conservan en su simétrica.
i Resolverás problemas de conteo apoyándote en representaciones gráficas.
Bloque1
11

Lección 1 T r a b a j a e n e q u i p o
1 Si el número 1 lo representan con el cubito pequeño,el número 10 con una tira de 10 cubitos,el número 100
con una placa de 10 tiras y el número 1000 con 10 placas, determinen el número que se representa con el
total de las siguientes figuras y anótenlo en la línea.
2 Escriban el nombre del número representado con los modelos geométricos anteriores.
3 De acuerdo con el número que determinaron,completen lo siguiente y comparen sus respuestas con las de
los demás equipos.
El dígito ______ representa los millares y su valor posicional es ______  1 000  ______
El dígito ______ está en el lugar de las centenas y su valor posicional es ______  100  ______
Números naturales
El sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración
Conocimientos y habilidades
Identificarás las propiedades del sistema de numeración decimal y las contrastarás con las de otros
sistemas de numeración posicionales y no posicionales.
¿Qué sabemos de… el sistema de numeración decimal
y otros sistemas de numeración?
Matemáticas 112
1.1

El dígito ______ representa las decenas y su valor posicional es ______ 3 10 5 ______
El dígito ______ representa las unidades y su valor posicional es ______ 3 1 5 ______
4 Utilizando los modelos geométricos anteriores (cubo grande,placa,tira y cubito),representen en su cuaderno
los siguientes números.
1011 1101 1110
5 Si desagrupan las placas de cubitos siguientes en tiras de cubitos,¿cuántas tiras obtienen?
5 placas 5 _______ tiras 7 placas 5_______ tiras 13 placas 5_______ tiras
6 Si agrupan las tiras de cubitos siguientes en cubos más grandes o placas de cubos,¿cuántas obtienen?
437 tiras 5 _______ cubos,_______ placas,_______ tiras
7 Anoten los siguientes números usando nuestros símbolos dígitos.
Quince mil trescientos veintiuno ______________________________
Noventa y cinco mil setecientos ochenta y tres ______________________________
Quinientos treinta y siete mil seiscientos cuarenta y dos ______________________________
Treinta y dos millones dos mil quinientos dieciséis ______________________________
Mil setecientos sesenta y siete billones dos mil seis ______________________________
8 Escriban en español los nombres de los siguientes números.
916 ____________________________________________________________________________
13 214 __________________________________________________________________________
318 599 _________________________________________________________________________
100 151 001 ______________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
11 123 615 900 070 502 ____________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________

Para saber más de… el sistema de numeración decimal y
otros sistemas de numeración
Los números naturales,la recta numérica
y el sistema de numeración decimal
A los números que utilizamos para contar objetos o ideas de determinada colección,cero,uno,dos,
tres, …, cien, …, se les conoce como números cardinales. Los números ordinales describen un
orden o posición, por ejemplo primero, segundo, tercero, cuarto…
BLOQUE 1
Matemáticas 1 13Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, … se denominan números naturales. Observen que en este conjunto
numérico no existe el cero (0), aunque cabe aclarar que algunos matemáticos sí lo aceptan
como número natural. Esta manera de escribirlos, con los puntos suspensivos, se usa para indicar
que continúan indefinidamente; es decir, hay una infinidad de números naturales. Se pueden re-
presentar geométricamente en una recta numérica.
0 1 2 3 4 5 6 7
Para representar números naturales disponemos de diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Observen
que en este sistema decimal el cero (0) sí existe; no como elemento de los naturales, sino como
símbolo, por lo cual se recurre a él para representar, por ejemplo, el número diez (10).
El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que de acuerdo con la posición que
ocupe el dígito tiene un significado diferente.
1 Usen una unidad adecuada para representar en la recta numérica los números 10, 100 y 1 000.
¿Cómo lo hicieron? Coméntenlo.
2 Los puntosA,B,C y D representan cuatro números naturales.¿Qué números podrían ser? Com-
paren sus respuestas con las de sus compañeras y compañeros.
0 A B C D 70
3 ¿Qué números naturales podrían estar representados entre los puntos A y B? _________________
¿Y entre C y D? ________________________________________________________________
Coméntenlo con sus compañeras y compañeros de otros equipos.
Numeraciones visuales o figuradas
La manera elemental más comúnmente utilizada por grupos humanos para contar consistió en
hacer trazos o marcas sobre objetos duros, tantos como objetos individuales tuviese la colección
que se necesitara contar. Se trataba de representaciones visuales o figuradas. La representación de
los números ha evolucionado hasta nuestra actual forma escrita y nuestra expresión oral.
Otra idea básica que facilita el conteo de objetos es la de agrupar en bloques los trazos que repre-
sentan la cantidad total, con igual número de elementos cada bloque, constituyendo este número
la base del sistema de numeración que se emplee.
4 ¿Cuáles creen que sean las agrupaciones de marcas que se muestran en
la figura de la derecha?
Matemáticas 114
TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LOS NÚMEROS

Diversos grupos sociales, a lo largo de la histo-
ria, han elegido como base de numeración una
acorde a sus necesidades. Además del sistema de
numeración de base 10, se han utilizado otros. En
realidad cualquier número natural mayor que 1
puede servir de base de un sistema de numeración
posicional. En la tabla de la izquierda pueden ver
los nombres de algunos de estos sistemas.
5 Den un ejemplo de utilización de contar en agrupaciones de 60 en 60 en la actualidad. Expliquen
su ejemplo por escrito.
6 Formen grupos de cinco rayas y luego formen grupos de cinco grupos.
7 Ahora imaginen que sólo disponen de los siguientes símbolos para representar el número de rayas
que hay en la figura anterior:
/  1 #  5 %  25  125
¿Cómo escribirían la cantidad de trazos usando los símbolos /, # y % anteriores?
________________________________________________________________________________
¿Qué características tiene este sistema de numeración? Explíquenlo en su cuaderno.
Un sistema de numeración egipcio
La civilización egipcia antigua duró alrededor de cuatro mil años. Hacia el año 3500 a. n. e. (antes
de nuestra era), los egipcios poseían un sistema de numeración completamente desarrollado para
contar cantidades grandes.
El sistema de numeración egipcio,era aditivo —todos sus cálculos se basaban en sumas solamente— y
decimal —su base era diez. Representaban el uno y las primeras seis potencias de diez mediante siete
signos jeroglíficos.No tenían una conceptualización del cero ni una representación para este número.
1 10 2 3 4 5 6 710 10 10 10 10 10
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000
Base Nombre
2 binario
5 quinario
8 octal
10 decimal
12 duodecimal
16 hexadecimal
20 vigesimal
60 sexagesimal
Caracteres
o símbolos
egipcios
BLOQUE 1
Matemáticas 1 15EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Un número se describía utilizando cada carácter hasta nueve veces y por lo general se anotaban de
derecha a izquierda,de mayor a menor valor numérico.A veces los escribían de izquierda a derecha,
volteando los símbolos para indicar dónde iniciaba la lectura del número.
1 En la figura siguiente aparece representado el número 276. ¿Pueden explicar por qué?
2 A la derecha se muestra otro ejemplo de la notación del sistema de nume-
ración egipcio. ¿Qué número representa en el sistema decimal?
3 Escriban el año actual y la cantidad de alumnos que hay en su grupo empleando símbolos egipcios.
año actual: __________________________________________
número de alumnos: __________________________________________
Comparen sus anotaciones con las de sus compañeras y compañeros.
4 Escriban con notación del sistema de numeración egipcio los siguientes números.
74 ____________
139 ____________
1 075 ____________
307 876 ____________
5 ¿Cuál de los siguientes números es el mayor? Enciérrenlo.
o
6 Intenten hacer en su cuaderno la multiplicación 27  87 con símbolos egipcios y comenten las
ventajas o desventajas al realizarla.
7 ¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración egipcio al compararlo con
nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo basándose en ejemplos.
Sistema de numeración babilónico
Fuelacivilizaciónsumerialaqueinventóyutilizóunsistemadenumeraciónsexagesimal,elejemplo
más antiguo que se conoce de una numeración en la que se utiliza el valor posicional.
8 ¿Qué entienden por valor posicional? Coméntenlo con sus compañeros de equipo.
9 Lean con cuidado el texto de la página siguiente y discútanlo en equipo.
Matemáticas 116

Para su sistema de numeración posicional los
babilonios utilizaban dos símbolos,una cuña y
un gancho.A este tipo de escritura se le deno-
mina cuneiforme. La cuña ( ) represen-
taba unidades y el gancho ( ) múltiplos de
diez, como se muestra a continuación.
Numerales en la escritura cuneiforme de los acadios.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 30 50 60 80 130
Nota: observa que el 1 y el 60
se escribían igual. Hacía falta la
invención del cero para denotar
un grupo de 60 y 0 unidades;
más tarde se haría, en el perio-
do seléucida.
Este sistema posicional consistía en que los valores de los símbolos cuneiformes se multiplicaban
por potencias de 60, de derecha a izquierda, empezando por las unidades e incrementando el
exponente de la potencia de base 60. Durante el periodo de los babilonios conocido como seléucida,
que va del siglo III a. n. e. hasta el inicio de nuestra era, se introdujo un símbolo para denotar que
en un lugar no había un determinado valor de posición. Así, por ejemplo, los números 3609 y
86 425 se representaban como se muestra en la figura siguiente.
Grupos
de 3 600
Grupos
de 60
Unidades
sueltas
Grupos
de 3 600
Grupos
de 60
Unidades
sueltas
(1  602
)  (0  60)  9 (24  602
)  (0  60)  25
Entonces, la notación del sistema de numeración babilónico era posicional, de base sexagesimal,
y en el periodo seléucida se utilizaba un símbolo para indicar la ausencia de número en medio
de los demás símbolos y nunca como último. En esta primera oportunidad el cero no tiene la
entidad de número, sino simplemente de un signo arbitrario para indicar la ausencia de can-
tidad de un orden determinado.
BLOQUE 1

10 Escriban con notación del sistema de numeración babilónico los siguientes números:
147 __________________________ 1 500 __________________________
269 __________________________ 3 601 __________________________
11 ¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración babilónico al compararlo con
nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo en su cuaderno basándose en ejemplos.
Sistema de numeración romano
Lo que conocemos como numerales romanos, en realidad fueron inventados por otras cul-
turas siglos antes de que la civilización romana existiera. Según se muestra a continuación,
pareciera que los numerales romanos se modelaron con base en letras del abecedario latino.
No se tiene reportado que hayan conceptualizado el número cero ni una representación para
este número.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1 000
Las inscripciones conocidas más antiguas en las que aparecen estos numerales datan del siglo i a.n.e.
Los numerales romanos se escriben de izquierda a derecha uno junto al otro,primero los de mayor
valor y luego los de menor valor. Los símbolos I, X, C y M se pueden escribir a lo más tres veces
consecutivamente, y no está permitido repetir los símbolos V, L y D.
12 El número 278 se representa así CCLXXVIII. ¿Por qué?
¿Qué número representa MMDCLXXXVI?__________
Como habrán observado, los numerales romanos siguen una notación aditiva.Además, los roma-
nos ampliaron este sistema bajo la regla de que si un símbolo se anota a la izquierda de otro símbolo
de mayor valor numérico, el valor del primero se tiene que restar del valor del segundo. Esto es, su
notación también es sustractiva.
13 Completen las equivalencias.
IV  5  1  4
IX  10  1  9
XL  50  10 
XC  100  10 
CD 
CM 
Matemáticas 118

Ante la necesidad de tener que representar cantidades grandes, se introdujo en el sistema de nume-
ración romano una barra horizontal sobre los símbolos para representar 1 000 veces el valor del
número (esta barra horizontal,igual que los demás símbolos,se puede repetir en un mismo numeral
hasta tres veces). Esto es, su notación también es multiplicativa.
14 El numeral romano V es igual a 5 000. ¿Por qué?
15 ¿Qué número representa IX?
16 Escriban en el sistema decimal los siguientes numerales romanos.
CCLXII ___________________________________________________________________________
MXXIV ____________________________________________________________________________
MCMXC __________________________________________________________________________
CDCLIX __________________________________________________________________________
DVIIICMLXVI _____________________________________________________________________
17 Representen con numerales romanos los siguientes números.
59 _______________________________________________________________________________
379 ______________________________________________________________________________
1 998 _____________________________________________________________________________
345 273 ____________________________________________________________________________
7 985 799 __________________________________________________________________________
18 Intenten hacer la siguiente suma con numerales romanos y comenten las ventajas o dificultades
para realizarla.
CCXXXII
 CDXIII
 MCCXXXI
 MDCCCLII

_____________
19 ¿Qué ventajas y desventajas identifican en el sistema de numeración romano al compararlo con
nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo basándose en ejemplos.
BLOQUE 1

1 Lean con cuidado el siguiente texto y discútanlo en equipo. Luego resuelvan las actividades que
vienen a continuación.
Uno de los dos sistemas de numeración mayas
En su sistema de numeración,los
mayasagrupabandecincoencin-
cohastaveinte,deveinteenveinte
hasta cien, de cien en cien hasta
cuatrocientos, de cuatrocientos
en cuatrocientos hasta ocho mil.
Así, sus cuentas conceptualmen-
te se podían extender indefini-
damente: continuaban luego
contando veinte veces ocho mil,
nuevamente veinte veces cien-
to sesenta mil, etc. Basaban sus
cuentas en el número de dedos de
las manos y de los pies; es decir,su
sistema era vigesimal; además,
era posicional. El valor posicio-
nal de sus numerales era vertical,“como crecen las plantas”.A continuación se muestra el valor
posicional vertical y los nombres posicionales del sistema común de contar de los mayas.
1 280 000 000  207
: hablat
64 000 000  206
: alau
3 200 000  205
: kinchil
160 000  204
: calab
8 000  203
: pic
400  202
: bak
20 : kal
1 : hun
Los números mayas se construyen a partir de veinte numerales, los cuales a su vez se forman con
únicamente tres símbolos básicos: un punto, una barra horizontal y una concha o caracol.
1 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Algunos
autores mencionan que el
sistema numérico de los mayas es
irregular. En el tercer nivel el número
es 360 y no 400 porque el año maya
tenía 360 días.
Matemáticas 120

El 1 se representaba con un punto; dos,tres y cuatro puntos servían
respectivamente para representar el 2, el 3 y el 4; el 5 era una
raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para
representar 6, 7, 8 o 9; para el 10 se usaban dos rayas y para el 15
tres rayas. El número 25, por ejemplo, se escribe como se muestra
a la derecha:
En el sistema de numeración vigesimal de los mayas sobresale la creación social del concepto
de cero y de un símbolo para representarlo. Es posible que haya sido la primera civilización en
el mundo entero en utilizar el concepto de cero en su notación posicional.
20 21 41 61 122 400 401 8 000
2 Representen en el sistema maya los siguientes números. Consideren dos casos: uno cuando el
sistema es de base 20 en todas sus posiciones y el otro caso cuando la tercera posición es 360 y
no 400.
27  306  2 006  48 003 
169  6 927  2 420  1 000 000 
Comenten sobre las consecuencias que puede tener un sistema de numeración con una irregulari-
dad, como en este segundo caso.
3 Intenten hacer la siguiente operación en el sistema maya y comenten las ventajas o dificultades para
realizarla.
 
4 ¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración maya al compararlo con nues-
tro sistema decimal de numeración? Expliquen en su cuaderno.
1  20  20
5
Para algunos auto-
res este número repre-
senta a 360 y no 400.
BLOQUE 1

5 ¿Saben cómo era el sistema de numeración azteca y que aún se usa en su forma hablada en algunos
lugares?
Lean con atención el siguiente texto y discútanlo en equipo.
El sistema de numeración azteca
El sistema de numeración azteca es sencillo. El número cinco (macuilli) se representa con
el signo jeroglífico que es la mano del hombre. Es aditivo; por ejemplo, el seis (chicuace)
es cinco (chicua es “mano” o “cinco dedos”) más uno (ce). Diez en náhuatl, el idioma de los
aztecas, se dice matlactli; quince, caxtolli, y veinte, cempohualli. Por ejemplo, catorce es
matlactli (diez) on (y) nahui (cuatro), esto es, matlactlionnahui. Pohualli es “cuenta”,
por lo que cempohualli es una cuenta de los dedos de las manos y los pies: 20. Así que el
sistema de numeración náhuatl es vigesimal, o sea, su base es 20 aunque con irregulari-
dades como es el hecho de que 80 tiene un símbolo propio. Un rasgo característico de este
sistema de numeración es que es partitivo, lo cual consiste en que la mitad de un símbolo
numérico representa la mitad de su valor, y la cuarta parte del símbolo, la cuarta parte de
su valor numérico. En la figura siguiente se muestran los símbolos que usaban los aztecas
para representar números.
1 5 10 15 20 80 400 8 000
Principio aditivo en la notación numérica de los aztecas
Principio partitivo en la notación
numérica de los aztecas
6 Escriban en nuestro sistema decimal actual los siguientes números expresados en notación
azteca.
Matemáticas 122

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones
anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.
7 Escriban en notación azteca los siguientes números.
87 _____________________________________________________________
436 ____________________________________________________________
1999 ___________________________________________________________
12507 __________________________________________________________
8 Intenten hacer en su cuaderno la resta 375 – 87 con símbolos de la notación numérica azteca y
comenten las ventajas o dificultades al realizarla.
9 ¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración azteca al compararlo con
nuestro sistema decimal de numeración? Explíquenlo en su cuaderno basándose en ejemplos.
Por tu cuenta
Lección 5 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e
1 Localiza en un mapa de la República Mexicana las regiones donde se desarrollaron las culturas maya y azteca.
2 ¿Conocesalgunaotraculturaquesehayadesarrolladoennuestropaísconsupropiosistemadenumeración?_____
¿Cuál? _____________________________________________________________________________________
¿En qué región se desarrolló? ___________________________________________________________________
3 Consigue un mapa, pégalo en tu cuaderno y dibuja la ubicación de esa cultura.Anota cómo era su sistema de
numeración.
4 Comenta nuevamente con tus compañeras y compañeros de clases tus hallazgos sobre cómo cuentan algunos
grupos culturales de nuestro país y elabora una monografía sobre uno de esos grupos.
5 Elabora una monografía sobre el sistema de numeración romano y el babilónico. Resalta sus características y los
usos que de ellos permanecen en la actualidad.
Discutan en el grupo la historieta de la página siguiente.
BLOQUE 1

Y tú, ¿qué opinas sobre los aportes de distintos grupos culturales para
construir el actual sistema de numeración decimal? ¿Cómo ha inﬂuido en el
mundo actual?
Y tú, ¿qué opinas sobre los aportes de distintos grupos culturales para
construir el actual sistema de numeración decimal? ¿Cómo ha inﬂuido en el
mundo actual?
Matemáticas 124

1 Los puntos rojos representan la distancia recorrida por 4 personas en un tramo de 1 km. Anoten la fracción
de 1 km que corresponde a los puntos señalados.
0 1 km
0 1 km
0 1 km
km
km
km
km0 1 km
2 Determinen cinco fracciones que estén entre las fracciones correspondientes a los puntos marcados.
0 1 2
0 2 3
3 ¿Qué fracción se encuentra en el punto medio entre
1
—
2
y
7
—
12
? _________________ ¿Cómo la encontraron?
Comparen su respuesta con las de sus compañeros.
Números fraccionarios y decimales
Números fraccionarios y decimales en la recta numérica
Representarás números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas infor-
maciones,analizando las convenciones de esta representación.
¿Qué sabemos de… números fraccionarios y decimales en la
recta numérica?
Matemáticas 1 25
1.2
EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

4 ¿Entre qué enteros consecutivos están las fracciones
3
—
4
y
7
—
10
? ________________ ¿Cómo los encontraron?
5 En los siguientes ejemplos, ubiquen en una recta numérica cada par de cantidades expresadas en forma
decimal.Trabajen en su cuaderno.
a) Ayer,la temperatura máxima en Cuernavaca fue de 23.6° C y la de Cuautla de 23.5° C.
b) En un maratón,un atleta logró recorrer 22.25 km y otro 22.20 km.
c) El promedio de las calificaciones en la asignatura de matemáticas en un grupo es de 6.9 y en otro
de 7.0.
6 En cada uno de los tres ejemplos anteriores,determinen en la recta numérica un tercer número decimal que
se encuentre entre cada par dado de números decimales. Luego, expliquen a los compañeros de su grupo
cómo lo lograron.
Para saber más de… números fraccionarios y decimales
en la recta numérica
Lección 7 Trabaja en equipo
Las fracciones como punto en la recta numérica
1 Consigan un dominó de puntos. Si consideran que las fichas representan una fracción de la
forma
a
—
b
, con b diferente de cero y a menor o igual que b,
¿cuál o cuáles fichas no representan una fracción? ________________________________________
¿Porqué?__________________________________________________________________________
¿Cuálesfichasrepresentanunamismafracción?__________________________________________
________________________________________________________________________________
Coloquen, de forma ordenada, las fichas en un segmento unidad. Por ejemplo las fichas ,
y las ubicarían en el punto medio del segmento unidad.
¿Por qué? _________________________________________________________________________
Matemáticas 126

Las fracciones numéricas también se pueden representar con puntos en una recta numérica.
Para ello, se requiere primero asignar el 0 a un punto de la recta y determinar una unidad.
Por ejemplo,
6
5
0 1 2
U
5
5
0
5
6
5
 1 
1
5
; por lo que es mayor que 1, lo cual se escribe así:
6
5
1
Además,
6
5
es menor que
10
5
 2, lo cual se escribe así:
6
5
2 o 2
6
5
Luego, el hecho de que la fracción
6
5
sea mayor que 1 y menor que 2, esto es, que
6
5
esté entre los
números enteros 1 y 2, se puede escribir así:
1
6
5
2 o 2
6
5
1
2 Recorten una tira de papel y considérenla como una unidad.
¿Cómo hacen para representar 13
4
usando esta tira de papel varias veces?
¿Entre qué números enteros consecutivos se encuentra la fracción 13
4
?
Expliquen a sus compañeros cómo lo hicieron.
3 En la siguiente recta numérica representen la fracción 13
4
y escriban con símbolos matemáticos
entre qué números enteros consecutivos se encuentra.
4 Escriban las fracciones correspondientes (en tercios o cuartos) a los puntos marcados en la figura
siguiente.
0 1
0
2
1
2
0
3
1
3
0
4
1
4
BLOQUE 1

5 Determinencincofraccionesqueesténentre
1
–
3
y
1
–
4
yquedividanestesegmentoenseccionesiguales.
Luego expliquen cómo las determinaron.
Comparación de fracciones
Dadas dos fracciones, se puede determinar si son equivalentes o si una es mayor que la otra. Si dos
fracciones dadas tienen igual denominador, es muy fácil determinar cuál es la mayor.
6 ¿Cómo hacerlo? Expliquen en su equipo.
7 Maríacaminó
2
3
kmyJulia
3
4
km.¿Quiéncaminómás?_______________¿Cómolosupieron?Arturo
menciona que si las dos fracciones dadas tienen distinto denominador, para compararlas conviene
determinar fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. ¿Es correcto o inco-
rrecto el procedimiento de Arturo? _________________ Tenemos que
2
3

2  4
3  4

8
12
y
3
4

3  3
4  3

9
12
Localicen estas dos fracciones en la recta numérica del ejercicio 4. Compárenlas. ¿
2
3
es mayor o es
menor que
3
4
? _______________
8 El papel cuadriculado es muy útil para representar números en una recta numérica, pues permite
elegir una unidad adecuada y ubicar partes de la unidad sin necesidad de plegar el papel o usar una
regla graduada.¿Cómo convendría dividir la unidad para representar
3
4
y
7
10
en una recta numérica?
Expliquen.
0 11
20
1
10
1
4
7
10
3
4
14
20
15
20
9 Sin utilizar la recta numérica, ¿podrían establecer qué relación hay entre las siguientes fracciones?
3
—
5
4
—
7
17
—
10
7
—
4
5
—
6
7
—
9
¿Qué procedimiento siguieron?
10 Lean con cuidado el siguiente texto y discútanlo en equipo. Luego contesten la pregunta 11.
Un procedimiento para establecer la relación entre dos fracciones dadas, según vimos antes,
consiste en convertirlas a fracciones equivalentes con un mismo denominador.
Otro procedimiento consiste en obtener el producto del numerador de la primera fracción
por el denominador de la segunda, y el del denominador de la primera por el numerador de la
segunda.
Matemáticas 128

Por ejemplo, dadas
7
—
11
y
8
—
12
, como
7
—
11
8
—
12
7  12  84 y 11  8  88
Se tiene que
7
—
11
es menor que
8
—
12
ya que 84 es menor que 88. Esto es, a partir de que
7  12  84 11  8  88 se concluye que
7
—
11

8
—
12
Otro procedimiento consiste en expresar las fracciones dadas en notación decimal. Por
ejemplo,
3
—
4

3  25
———
4  25

75
——
100
 0.75 y
7
—
10
 0.7
Como 0.75 0.70, se tiene que
3
—
4

7
—
10
.
Como habrás observado en este ejemplo, una fracción cuyo denominador es una potencia de
10 se puede representar usando el punto decimal.Así,
7
—
10
, siete décimos, se representa anotando
el 7 después del punto decimal, 0.7; y
75
——
100
, setenta y cinco centésimos, se representa como 0.75.
Después del punto decimal, el primer lugar corresponde a los décimos; el segundo, a los centé-
simos; el tercero, a los milésimos; luego los diezmilésimos, cienmilésimos, millonésimos, etcétera.
Si utilizamos este mismo procedimiento para comparar las fracciones
7
—
11
y
8
—
12
, tenemos que
7
—
11
 0.6363636363… y
8
—
12
 0.6666666666… .
Así que
7
—
11

8
—
12
.
Cuando al expresar un número en notación decimal después del punto decimal aparece un
periodo de cifras que se repiten, en lugar de los puntos suspensivos, se acostumbra denotarlas con
una barra horizontal sobre las cifras que se repiten indefinidamente.Así,
7
—
11
 0.
—
63 y
8
—
12
 0.
–
6
11 ¿Cómo comparan ustedes dos fracciones? ¿Cuál de estas distintas formas de comparar fracciones
les parece la mejor? ¿Por qué? Coméntenlo en equipo.
BLOQUE 1

Para saber más de… números fraccionarios y decimales
en la recta numérica
Números decimales en la recta numérica
1 Ubiquen los números 0.1,0.2,0.3,0.4,…; 0.9 en la recta numérica auxiliándose del papel milimétrico.
0
0.01
0.02
10.1 0.2
Ubiquen los números 0.01,0.02,...,0.09 en la recta numérica de arriba.
2 Ubiquen los números 0.001,0.002,0.003,…,0.009 en la recta numérica de arriba.¿Cómo lo hicieron?
3 Representen el número 2.7 en la siguiente recta numérica. ¿Entre qué enteros consecutivos se
encuentra?
4 Anoten los números que corresponden a los puntos marcados en la recta numérica siguiente y
localicen el número 3.21 en ella.
3 4
¿Cómo harían para representar el número 3.211? Coméntenlo en equipo.
5 Representen el número 3.75 en la siguiente recta numérica. ¿Entre qué enteros consecutivos se
encuentra?______________________
3.7 3.8
Matemáticas 130

6 Anoten los números que corresponden a los puntos marcados en la recta numérica siguiente y
localicen el número 1.25 en ella.
1 2
7 En la primera vuelta de una carrera de Fórmula 1, las posiciones de seis automóviles son las que
se muestran en la siguiente tabla. Representen los números decimales correspondientes en las
rectas numéricas.
Núm.de auto Posición
1
3
—
4
vuelta
2
2
—
3
vuelta
3
3
—
5
vuelta
4
2
—
5
vuelta
5
4
—
6
vuelta
6
1
—
3
vuelta
0
0
0
0
0
0
Auto 1
Auto 2
Auto 3
Auto 4
Auto 5
Auto 6
1
1
1
1
1
1
¿Quiénes ocupaban los tres primeros lugares? _______________________________________
8 Lean con atención el siguiente texto y discutan en equipo cuándo un decimal es periódico. Luego
resuelvan el problema 9.
Al hacer la división del numerador de una fracción entre su denominador, se obtiene la
expresión de la fracción en notación decimal o, simplemente dicho, un número decimal, el
cual consta de dos partes separadas por un punto decimal. La parte a la izquierda del punto
decimal es la parte entera del número y la de la derecha es su parte o fracción decimal propia.
Por ejemplo,
2
5

4
10
 0.4,
tiene 0 unidades enteras y 4 décimos;
BLOQUE 1

33
20

165
100
 1.65,
tiene 1 entero y 65 centésimos
(6 décimos y 5 centésimos).
Es posible que al hacer la división del numerador entre el denominador de una fracción se
obtenga un cociente exacto (siendo el residuo igual a cero), o bien puede ocurrir que se obtenga
como cociente de la división un número en el que se repita indefinidamente un grupo o periodo
de cifras. Los números de este segundo tipo se llaman decimales periódicos.
Como ejemplo del primer caso, tenemos, para
3
5
, que
0.6
5 3.0 Así,
3
5
 0.6
Como ejemplo del segundo caso, tenemos, para
2
3
, que
0.6666...
3 2.0
20
20
20
0.6
3 2.0 Así,
2
3
 0.6
–
Por otra parte, dado un número decimal que no sea periódico, para expresarlo como fracción
(con numerador y denominador) sólo se escribe como numerador el mismo número dado pero sin
el punto decimal y como denominador el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga
después del punto decimal el número dado. Por ejemplo,
7.5 
75
10
y 0.87 
87
100
9 Escriban tres números decimales que se encuentren entre
1
3
y
2
3
y ubíquenlos en la siguiente
recta numérica.
Matemáticas 132

Por tu cuenta
1 Completa la siguiente tabla y describe el procedimiento que seguiste.
Número menor Números entre ambos Número mayor
3
5
3  2
5  3

5
8
2
3
3
5
3  5
5  8

8
13
5
8
3
5
8
13
Procedimiento: _____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
2 Ubica las fracciones anteriores en la siguiente recta numérica.
0.62 0.63 0.64 0.650.61
0.6 0.666
¿Hacia cuál punto se concentran?
BLOQUE 1

De acuerdo con la historieta, ¿es cierto que siete décimos de metro se
encuentran entre
3
5
y
3
4
de metro? ¿Qué otras fracciones cumplen esta
condición? ¿Cómo crees que Mary pudo resolverlo?
Matemáticas 134

Patrones y fórmulas
Sucesiones y expresiones generales
Construirás sucesiones de números a partir de una regla dada y determinarás expresiones gene-
rales que definan reglas para formar sucesiones numéricas y figurativas.
¿Qué sabemos de… sucesiones y expresiones generales?
1  3  5  9
1a
2a
3a
1 En el siguiente dibujo aparece un cuadro formado con
más gimnastas. Consideren la disposición de los gim-
nastas y contesten las siguientes preguntas.
¿Cuántos gimnastas hay entre la tercera y la cuarta L?
__________________________________
¿Y entre la cuarta y la quinta? ________
¿Y entre la quinta y la sexta? ________
¿Observan alguna particularidad en los números que han
encontrado? ¿Cuál?
__________________________________
__________________________________
Si han determinado alguna particularidad, ¿se cumple
ésta para los gimnastas comprendidos por dos letras L?
__________________________________
1a
2a
3a
4a
5a
6a
Enestafigurasemuestrannuevegimnastascolocadosformandouncuadrado.En
el piso se tienen marcas semejantes a las letras L.En la región entre la segunda y
la tercera L hay cinco gimnastas,y la cantidad de gimnastas hasta la tercera letra
L es de nueve.
Matemáticas 1 35
1.3

2 ¿Cuántos gimnastas hay en total hasta la cuarta letra L? ________
¿Y hasta la quinta L? ________ ¿Y hasta la sexta? ________
¿Observan alguna particularidad en los números que han encontrado? ¿Cuál?
Si han determinado alguna particularidad, ¿se cumple ésta para el total de gimnastas encerrados por las
otras letras L? ________
3 ¿Podrían determinar sin necesidad de hacer algún dibujo o diagrama cuántos gimnastas hay entre la letra L
número 24 y la 25? ________
¿Cuántos gimnastas hay en total hasta la letra L número 25? ________
4 Describan cómo se puede calcular cuántos gimnastas hay hasta una letra L sea cual fuere el número de ésta.
Para saber más de… sucesiones y expresiones generales
1 Observen cómo están colocados los siguientes grupos de puntos y contesten.
Primer Segundo Tercer Cuarto
término término término término
¿Qué patrón numérico identifican en estos dibujos?
¿Por qué piensan que es así?
Agreguen un término más a esta sucesión.
¿Cuántos puntos tendrá?
¿Cómo describirían el procedimiento utilizado?Anótenlo en su cuaderno.
Matemáticas 136
TEMA: SIGNIFICADOY USO DE LAS LITERALES

¿Existe un único procedimiento o hay varios? Descríbanlo(s).
¿Cuál es la regla que sigue este patrón? Descríbanla.
Si tuvieron dificultades para contestar las preguntas anteriores, seguramente las siguientes activi-
dades les ayudarán a responderlas.
2 Representen en una tabla los valores numéricos que corresponden a los términos de la sucesión
(para ello, conviene construir una tabla de dos filas).En la primera fila de la tabla anoten el número
correspondiente al orden del término en la sucesión, y en la segunda el valor de ese término. Así,
se tiene la siguiente tabla. Complétenla.
Orden del término 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de puntos 3 7 11 15
¿Cuántos puntos le corresponden al término 20?
¿Cómo lo calcularon?
¿Cuántos puntos le corresponden al término 50?
¿Cómo lo calcularon?
¿Qué operaciones deben hacer para calcular el número de puntos que corresponden al término 100?
Si a un término le corresponde el número n, ¿cómo expresarían el número de puntos que le corres-
ponde?
3 A partir de la tabla anterior, ¿cuál de las siguientes reglas genera la secuencia anterior al sustituir
los números 1, 2, 3, 4, 5,… en la expresión que escogieron?
3n 4n – 1 4n + 3
Expliquen cómo pueden obtener la secuencia 3, 7, 11, 15,… a partir de la expresión que esco-
gieron.
Comparen, en equipo, los distintos procedimientos que siguieron los otros equipos.
Como habrán notado, hay varias relaciones que pueden describir determinado patrón.
4 Una manera de expresar una secuencia es con ayuda de la letra n. Así por ejemplo para expresar la
secuencia de números pares: 2, 4, 6, 8,… es 2n, donde n representa los números naturales 1, 2, 3, 4,
5,… ¿Cómo expresan la secuencia de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9,…? ____________________
La determinación de una ley general para resolver este tipo de problemas permite proponer un pro-
cedimiento alterno más sencillo. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado y no apresurarse: por
BLOQUE 1

ejemplo,sabiendo que 3 es un número primo,5 es un número primo,7 es un número primo, se podría
afirmar que 9 es un número primo. Sin embargo, 9  3  3 y por lo tanto 9 no es primo.
5 ¿Pueden dar otro ejemplo en donde se haga una aseveración general de manera incorrecta?
6 En la siguiente figura se muestran arreglos de puntos en
forma triangular. Al contar la cantidad de puntos en el
perímetro de cada triángulo, vemos que sucesivamente
hay 3, 6, 9, etcétera, puntos en el perímetro de cada uno;
es decir, sin contar los puntos interiores.
¿Cuántos puntos tendrá el perímetro del vigésimo trián-
gulo?_________________________
¿Cuántos tendrá el quincuagésimo triángulo?_________
________________
7 Traten de plantear una fórmula que sirva para calcular el
valor de cualquier arreglo triangular como los anteriores.
Es decir, dado el número ordinal que corresponda a un
arreglo triangular, el primero, el segundo, …, el décimo,
…, el centésimo, …, y, en general, el n-ésimo, calculen
mediante la fórmula que planteen cuál es el valor de ese
arreglo triangular. Esto es,
el primero es 3, el segundo es 6, …, el décimo es 30,
…, el centésimo es 300 …, el n-ésimo es
Arreglo triangular 1 2 3 10 100 1000 n
Puntos en el perímetro
(sin considerar los
puntos interiores)
3 6 9 30 300
8 Escriban la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes
sucesiones.
a) 3, 8, 13, 18, 23, 28 Regla: ________________________________________________
b) 7, 11, 15, 19, 23, 27 Regla: ________________________________________________
c) 8, 11, 14, 17, 20, 23 Regla: ________________________________________________
9 A continuación se describen reglas generales para generar sucesiones. Complétenlas.
REGLAS
4n3: 7, 11,
3n2: 1, 4,
5n2:
7n1:
Matemáticas 138

Por tu cuenta
1 Observa el siguiente barandal hecho de varillas de fierro.
...
¿Cuántas varillas de fierro se necesitan para construir cuatro triángulos? __________
¿Y cinco? __________
¿Y diez? __________
2 ¿Qué se te ocurre hacer para determinar cuántas varillas de fierro se necesitan para construir 100 triángulos? (Trata
de plantear una fórmula para hacer este cálculo fácilmente.)
Número
de triángulos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número
de varillas
3 5 7 9 11
3 Explica el procedimiento matemático que seguiste.
BLOQUE 1

¿Estás de acuerdo con la respuesta de Juan?
¿Cómo expresarías la regla general para esta sucesión de tapetes?
¿Te gustaría inventar otra sucesión de tapetes con cuadritos?
Matemáticas 140

Patrones y fórmulas
Fórmulas geométricas
Explicarás en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las
literales como números generales con los que es posible operar.
¿Qué sabemos de… fórmulas geométricas?
Situación 1
8 cm
a) Si el lado de un cuadrado mide 8 cm,¿cuánto miden su área y su perímetro?
A = ____________ P = ____________
b) Si el lado de un cuadrado mide el doble que el del inciso a),¿cuánto miden su área y su perímetro?
A = ____________ P = ____________
c) Si el lado de un cuadrado mide la mitad de lo que mide el lado del cuadrado del inciso a), ¿cuánto
miden su área y su perímetro?
A = ____________ P = ____________
Situación 2
Un terreno rectangular que tiene 10 metros de ancho y 25 metros de largo, se cercará con tres vueltas de
alambre.¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercarlo? _____________
a) En caso de que se quisiera cercar el mismo terreno con cuatro vueltas de alambre,¿cuántos metros
de alambre se necesitarían? _____________
Matemáticas 1 41
1.4

b) Un agricultor desea comprar un terreno rectangular para sembrar hortalizas,y quiere cercarlo con dos
vueltas de alambre.¿Cuántos metros de alambre necesitaría para cada uno de los siguientes terrenos?
Un terreno rectangular de 28 m de largo y 20 m de ancho _____________
c) Planteen una fórmula que permita calcular la cantidad de alambre en metros necesaria para cercar
cualquiera de los terrenos según quiere hacerlo el agricultor del que se habla en el inciso b).
d) Verifiquen la fórmula que plantearon en el inciso c) utilizando los datos de cada uno de los terrenos
del inciso b).
Situación 3
Observen la siguiente secuencia de figuras.
1 Para completar la siguiente tabla,consideren que el lado de cada triángulo equilátero tiene medida b.
Polígono interior Perímetro del polígono interior Perímetro de la figura
Triángulo equilátero 3b 6b
Cuadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
2 De acuerdo con la tabla,determinen la relación que existe entre el perímetro del polígono interior (triángulo,
cuadrado,pentágono y hexágono,respectivamente) y el perímetro de la figura.
3 Planteen una expresión para calcular el perímetro de una figura como las del inciso 1,si el polígono interior
es un octágono regular _______________________________
4 Planteen una expresión para calcular el perímetro de una figura como las del ejercicio 1,si el polígono interior
es un decágono regular _______________________________
5 Si la expresión que representa el perímetro de la figura es 24b, ¿cuántos lados tiene el polígono interior?
_______________________________
Matemáticas 142

6 Completen la siguiente tabla si la medida del lado del triángulo equilátero es de 4 cm.
Polígono interior Perímetro del polígono interior Perímetro de la figura
Triángulo equilátero 12 cm 24 cm
Cuadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
Octágono regular
Decágono regular
Para saber más de… fórmulas geométricas
Lección 14 T r a b a j a e n p a r e j a
1 Calculen el perímetro de cada una de las siguientes figuras.
P
a
a
b
cd
d c
P
x
x
x
x
y y
y y
P
A un segmento de línea recta que va de un vértice a otro no consecutivo de un polígono se le deno-
mina diagonal. Así, al trazar una diagonal de un rectángulo, éste queda dividido en dos triángulos.
A este tipo de triángulos se les llama triángulos rectángulos, pues se obtienen a partir de un rec-
tángulo. Luego, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
El perímetro (P) de un triángulo es la suma de las medidas de sus tres lados.
2 Establezcan una fórmula para calcular el perímetro de un triángulo culquiera cuyos lados son a, b, c:
P  __________________________________
BLOQUE 1

3 ¿Cómo se puede calcular el perímetro de un triángulo que tenga todos sus lados iguales a x? Escri-
ban una fórmula para calcular el perímetro de este triángulo.
4 Un octágono regular es un polígono de ocho lados iguales y ocho ángulos iguales.Establezcan una
fórmula para calcular el perímetro de un octágono regular.
P  __________________________________
5 Establezcan una fórmula para calcular el perímetro de un hexágono regular.
P  ______________________________________________________________________________
Perímetros y áreas
El perímetro (P) de una figura cerrada en un plano es la medida de la longitud de su contorno, y
su área (A) es la extensión de la superficie que limita en el plano en que se encuentra.
6 El perímetro de una cierta figura se calcula sumando las medidas de sus cuatro lados. Si cada lado
de la figura mide a, su perímetro es
P  a  a  a  a, o bien P  4  a,
o simplemente P  4a.
¿De qué figura se trata? ____________________________________________________________
¿Las tres expresiones anteriores producen el mismo resultado?____________________________
7 El área de una cierta figura se calcula multiplicando la medida de un lado por sí misma. Si el lado
mide a, su área es
A  a  a, o bien A  a2
.
¿De cuál figura se trata? ____________________________________________________________
8 Carlos afirma que el perímetro de una figura es P  2a  2b y Rosa afirma que es P  2(a  b).
¿De qué figura se trata? _______________________________
¿Las dos expresiones anteriores producen el mismo resultado? ____________________________
l
Matemáticas 144

Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías tú, con tus propias
palabras, el procedimiento para calcular el perímetro y el área de una
sección triangular?
¿Cuál sería la expresión general que las representa?

Movimientos en el plano
Figuras simétricas
¿Qué sabemos de… figuras simétricas?
1 Tracen el eje o los ejes de simetría de las siguientes figuras.
2 Completen cada una de las siguientes figuras usando su eje de simetría.
Eje de
simetría
3 Las siguientes letras tienen ejes de simetría.Dibujen en su cuaderno otras figuras que tengan uno o varios
ejes de simetría.
Construirás figuras simétricas respecto a un eje,analizarás y harás explícitas las propiedades que
se conservan bajo simetría en figuras tales como triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cua-
drados y rectángulos.
Matemáticas 146
1.11.11.11.5

4 Construyan el  A’B’C’ simétrico del triángulo isósceles ABC con respecto al eje r y contesten las siguientes
preguntas.
C
B A
r
¿Cómo son entre sí las longitudes de los siguientes pares de segmentos?
AB y A’B’ ___________________ BC y B’C’ ___________________
CA y C’A’ ___________________ AC y A’C’ ___________________
5 En los triángulos ABC y A’B’C’,midan con un transportador las amplitudes de los pares de ángulos A y A’,B y
B’,C y C’.
¿Cómo son?
6 De acuerdo con lo que realizaron en las actividades 4 y 5 enlisten en su cuaderno las propiedades que hayan
descubierto.
7 Tracen la simétrica de cada una de las figuras siguientes. Observen la ubicación de los ejes de simetría co-
rrespondientes.Después midan las longitudes de los lados y de los ángulos de las figuras que hayan trazado.
Finalmente completen la tabla de la siguiente página.
A
B
C
r C
D B
A
m
BLOQUE 1
Matemáticas 1 47EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

C
D
B
A
n
C
D
B
A
p
Figura Figura
simétrica
¿Hay la misma
distancia de dos
puntos simétricos
al eje de simetría?
¿Tienen la misma
longitud los lados
de la figura
simétrica que los
de la original?
¿Tienen la misma
amplitud los
ángulos de la figura
simétrica que los
de la original?
Triángulo
isósceles ABC A’B’C’
Rombo ABCD A’B’C’D’
Cuadrado ABCD A’B’C’D’
Rectángulo ABCD A’B’C’D’
Para saber más de… figuras simétricas
1 Realicen las siguientes actividades:
a) Doblen una hoja de papel tamaño carta a la mitad por su largo; en el doblez anoten EJE
DE SIMETRÍA.
b) En una mitad de la hoja tracen un triángulo
escaleno y denoten sus vértices como A, B
y C respectivamente. Coloreen el interior
del triángulo.
Eje de simetría
Matemáticas 148
TEMA:TRANSFORMACIONES

c) Doblen nuevamente la hoja por el EJE DE SIMETRÍA y con la punta de un lápiz perforen
los vértices de modo que se marquen en la otra mitad de la hoja.A los puntos marcados en esta
mitad de la hoja denótenles respectivamente como A,B y C,de modo que A corresponda al
vértice A,B a B,y C a C.
d) Desdoblen la hoja y tracen el triángulo de vértices A, B y C.
e) Ahora con una regla tracen los segmentos rectilíneos, de preferencia con color rojo, que
van del punto A al punto A, de B a B, y de C a C (cada uno de estos segmentos rectilíneos
se denota como AA, BB y CC).
A las parejas de puntos A y A, B y B y C y C se les llama puntos simétricos respecto al EJE DE
SIMETRÍA marcado por el doblez de la hoja, y se dice que los triángulos ABC y ABC son simé-
tricos. (Se acostumbra usar el signo  para denotar el término “triángulo”. Así, el  ABC y el 
ABC son simétricos.)
BLOQUE 1

2 Consideren esta ilustración para constestar las siguientes preguntas.
eje
eje
A
C C’
A’
B B’
¿Qué ángulos forman los segmentos rectilíneos AA,BBy CCcon el eje de simetría?
Denoten los puntos de intersección de AA, BB y CC con el eje de simetría como D, E y F respec-
tivamente.
Midan la distancia entre A y D y entre A y D. ¿Qué notan?
Midan la distancia entre B y E y entre B y E. ¿Qué notan?
Midan la distancia entre C y F y entre C y F. ¿Qué notan?
Hagan una lista de las propiedades que se conservan al reflejar una figura con respecto a un eje de
simetría.
3 Fíjense en las figuras y contesten en su cuaderno las preguntas que siguen.
¿Son simétricas F y F respecto a r? ¿Cómo pueden verificarlo?
¿Son simétricas G y G respecto a p? ¿Cómo pueden verificarlo?
a)
r
F
F´
G
G´
P
a) b)
Matemáticas 150

4 ¿Cuáles de las siguientes figuras son simétricas con respecto a la recta roja? ______________________
¿Por qué? ________________________________________________________________________
a) b) c)
Realicen las siguientes actividades.
Actividad 1
Ahora tracen la figura simétrica en el siguiente dibujo respecto al eje de simetría dado.
A
BC
D
G
H
E F
eje de simetría
¿Cuál es el punto de la figura ABCDEF más alejado del eje de simetría? _____________________
¿Cuál es el punto de la figura A’B’C’D’E’F’ más alejado del eje de simetría? __________________
¿Cuál es el punto de la figura ABCDEF más cercano al eje de simetría? ______________________
1
BLOQUE 1

¿Cuál es el punto de la figura A’B’C’D’E’F’ más cercano al eje de simetría? ____________
¿Es el lado AB paralelo al eje de simetría? ________________________________________
¿Es el lado A’B’ paralelo al eje de simetría? ______________________________________
Se denomina perpendiculares a dos rectas que forman ángulo recto entre sí.
¿Qué lados de la figura ABCDEF son perpendiculares al eje de simetría?
¿Qué lados de la figura A’B’C’D’E’F’ son perpendiculares al eje de simetría?
Al reflejar la figura con respecto a un eje de simetría se conservan:
Las medidas de sus lados y de sus ángulos.
El paralelismo y perpendicularidad de sus lados.
Actividad 2
En la siguiente figura está trazada la recta l y marcado un punto P exterior a ella. Sigan estos pasos
para determinar el simétrico del punto P respecto a la recta dada l usando escuadra y compás.
l
P
a) Por el punto P, tracen una perpendicular m a la recta dada l.
l
P
m
A
Matemáticas 152

b) Denoten con A al punto donde m y l se intersectan (este punto A se denomina pie de la
perpendicular m). Luego prolonguen la recta m hacia el otro lado de l.
l
P
m
A
c) Con el compás, tracen una circunferencia con centro en A y radio AP. Denoten con P’ el
otro punto de intersección de esta circunferencia con la recta trazada m.
l
P
m
90°
P’
A
El punto P’ es el que se requería encontrar.
l
P
m
90°
P’
A
d) ¿Cómo sabemos que PA  AP’ en la figura anterior? Coméntenlo en su equipo.
La palabra “eje” proviene de la palabra latina axis; por eso, cuando se hace referencia a la
simetría con respecto a un eje, simplemente se dice simetría axial. La actividad anterior nos
ayudará a definir lo que es una simetría axial.
BLOQUE 1

P
m
P‘
Q
S‘
R
R‘
S
Q‘
P
m
Q
RS
Por tu cuenta
1 Completa la simétrica de la siguiente figura, sabiendo que A’ es el simétrico de A. (Primero determina el eje de
simetría.)
A
A‘
Un punto P’ es el simétrico de P respecto a la recta l —o viceversa, P es el simétrico de P’
respecto a la recta l— si se cumplen las siguientes dos condiciones:
el segmento rectilíneo PP’ es perpendicular a la recta l, y
la longitud de PA es igual a la de AP’.
Estoes,dospuntosPyP’sonsimétricosconrespectoaunejelsielsegmentorectilíneoPP’esperpendicular
a la recta l y su punto de intersección es el punto medio del segmento PP’.
e) ¿Cuál es el simétrico de un punto L que esté en el eje de simetría l? __________________
Actividad 3
En la figura siguiente pueden darse cuenta de que la recta m no es eje de simetría de PQRS.¿Por qué?
Matemáticas 154

2 Describe el procedimiento que seguiste para trazar la figura simétrica,dada la figura y un punto simétrico de ésta.
3 Traza los ejes de simetría de los siguientes polígonos regulares y luego completa la tabla de abajo.
Número de lados del polígono regular 3 4 5 6 7 8 9 10
LÍNEA
Nombre del polígono regular
Triángulo
equilátero
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
I Número de ejes de simetría que van de un lado
a otro del polígono
II
Número de ejes de simetría que van de un
vértice a un lado del polígono
III
Número de ejes de simetría que van de un
vértice a otro del polígono
IV Número total de ejes de simetría del polígono
4 ¿Qué patrón de comportamiento has observado en cuanto al número de ejes de simetría de los
polígonos regulares? Describe por escrito tus observaciones. Hazlo en tu cuaderno.
BLOQUE 1

¿A qué propiedades se reﬁere Lupe?
¿Qué propiedades se conservan bajo simetría en ﬁguras como
triángulos isósceles, equiláteros y rombos, por ejemplo?
Matemáticas 156

Relaciones de proporcionalidad
Proporcionalidad directa
Identificarás y resolverás situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en di-
versos contextos,utilizando de manera flexible diversos procedimientos.
¿Qué sabemos de… proporcionalidad directa?
1 Completen la siguiente tabla sabiendo que en un supermercado se venden paquetes de 12 huevos cada uno.
Cantidad de paquetes 1 2 7 20 100 300 500
Cantidad de huevos 12 36 48
2 Enunmercadosevendenbolsasde3kg(kilogramos)denaranjascadauna.Eldueñodeunrestaurantenecesita
15 kg diarios para los desayunos que ofrece en su negocio.
¿Cuántas bolsas de naranjas tendrá que comprar en una semana? ______________
¿Y en un mes? ______________
Completen la siguiente tabla.
Cantidad de días 1 2 3 4 5 6 7 30
Cantidad de bolsas de naranjas
3 Para hacer crema de chocolate para 6 personas se necesitan 108 g (gramos) de chocolate,6 cucharadas de
azúcar, 4 yemas de huevo y 10 almendras, entre otros ingredientes. ¿Qué cantidad de cada ingrediente se
necesita para preparar crema de chocolate para 9 personas?
Chocolate:__________Azúcar:__________ Huevo:__________Almendra:__________
4 Si 6 L (litros) de leche cuestan $54.00,¿cuánto cuestan 11 L de leche? ______________
¿Cuánto cuesta 1 L de leche? ______________
Matemáticas 1 57
1.6
EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

El Porvenir
¿Cuánto cuestan 3 L de leche?
¿Y 4 L?
5 La familia Macías va en un autobús rumbo aAcapulco a una velocidad constante de 90 km por hora.
¿Cuántos kilómetros recorre el autobús en 3 horas?
¿Y en media hora?
¿Y en 15 minutos?
6 Si un automóvil tarda 3 horas en recorrer 315 km, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas si continúa
desplazándose a la misma velocidad? ¿Y en una hora?
Para saber más de… proporcionalidad directa
1 María trata de explicar a su mamá cómo gastó el dinero en el supermercado. Si bien pagó $171.70
(redondeando$171.71),nosabecómoseobtuvieronlostresprimerosvaloresdeesasuma,cantidades
que están encerradas en el comprobante de pago. ¿Podrían ayudarle a María a dar su explicación?
MUCHAS GRACIAS
POR SU COMPRA
2 kg jamón de pavo 1 kg/48.00 96.00
0.500 kg queso panela 1 kg/36.00 18.00
0.250 kg queso amarillo 1 kg/80.00 20.00
medialuna po. 11.20
bollito de queso 10.90
SUBTTL 156.10
TOTAL 171.71
EFCTVO 200.00
CAMBIO 29.29
Completen lo siguiente.
Si 1 kg de jamón de pavo cuesta $48.00, 2 kg cuestan: _____________________________________
Matemáticas 158
TEMA:ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Si 1 kg de queso panela cuesta $36.00, ¿cuánto cuestan 0.500 kg (
1
2
kg)?

Si 1 kg de queso amarillo cuesta $80.00, ¿cuánto cuestan 0.250 kg (
1
4
kg)?

En cuanto al jamón de pavo, se ha elaborado la siguiente tabla.Verifiquen las cantidades utilizando
una calculadora.
Observen que hay un número que, si se multiplica por el número correspondiente a la cantidad de
jamón, se obtiene como resultado la cantidad total de dinero que se tiene que pagar. Al duplicar,
triplicar, reducir a la mitad, etc., la cantidad de jamón, se duplica, triplica, se reduce a la mitad, etc.,
el costo correspondiente. Diremos que la cantidad de jamón comprado y el precio pagado son
directamente proporcionales. El número por el que se multiplica la cantidad de jamón recibe el
nombre de factor constante de proporcionalidad.
2 Completen la siguiente tabla para calcular el costo de cierta cantidad de queso panela.
¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________
3 Completen la siguiente tabla para calcular el costo de determinada cantidad de queso amarillo.
¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________
Cualquiera que sea la cantidad de mercancía, el costo total puede obtenerse multiplicando dicha
cantidad por el precio de una unidad, al cual llamaremos precio unitario.
Cualquiera sea el costo de la mercancía, la cantidad de mercancía puede determinarse divi-
diendo dicho costo entre el precio unitario correspondiente. Por ejemplo, para encontrar la
cantidad de queso amarillo comprado sabiendo que se pagaron $60 y que el precio unitario de
1 kg es $80 hacemos la división:
60
80
5
6
8
5
3
4
La cantidad de queso amarillo comprado fue de
3
4
kg.
En nuestros ejemplos, el precio unitario respectivo es constante. Se le denomina constante de
proporcionalidad.
Para el caso del jamón de pavo, observen lo siguiente:
Cantidad de jamón en kg 1 2 5 6 0.500 0.250 0.125
Precio en pesos ($) 48 96 240 288 24 12 6
3 48 4 48
Cantidad de queso panela en kg 0.125 0.250 0.500 1 2 3 4 5
Precio en pesos ($)
Cantidad de queso amarillo en kg 1 ¾ ½ 1/4
Precio en pesos ($)
BLOQUE 1
Matemáticas 1 59Eje: Manejo de la información

48
1

96
2

144
3

192
4

240
5
 … 
6
0.125
 48.
Así, en este caso la constante de proporcionalidad es igual a 48.
Éste es un procedimiento útil para decidir si una tabla corresponde o no a una proporciona-
lidad.
4 ¿En cuáles de las siguientes tablas se tiene una proporcionalidad directa? Escriban SÍ o NO en la
casilla correspondiente. Justifiquen la respuesta en su cuaderno.
TABLA D TABLA E
TABLA
A
TABLA
B
TABLA
C
TABLA
D
TABLA
E
¿Se tiene una proporcionalidad directa?
Número de entradas 3 10 15 28
Precio en pesos ($) 37 125 187
TABLA A
Temperatura en
Hora del día grados Celsius
9:00 21
12:00 28
15:00 32
18:00 27
21:00 22
24:00 18
9:00 21
12:00 28
15:00 32
18:00 27
21:00 22
24:00 18
Tiempo Distancia
transcurrido en h recorrida en km
1 120
2 240
3 360
3 ½ 420
5 600
5 ¼ 630
1020
Distancia Distancia en
real en km el mapa en cm
40 1 1
3
180 6
450 15
540 18
2121
Edad en años Altura en m
7 1.10
8 1.15
9 1.22
10 1.28
11
TABLA B TABLA C
Matemáticas 160

¿Cuál es la constante de proporcionalidad en las tablas anteriores que identificaron como propor-
cionales?

5 Veamos la siguiente tabla.
Cantidad de paletas 1 2 3 4 5 6 9
Precio en pesos ($) 8.50 17.00 25.50 34.00 42.50 51.00 76.50
Si de la primera línea suman el 2 y el 4, se obtiene que 2 1 4 5 6.
En la segunda línea, al 2 corresponde 17.00 y al 4 corresponde 34.00. Al sumar los valores corres-
pondientes,se tiene que 17.00 1 34.00 5 51.00.La cantidad 51.00 en la segunda línea corresponde
al 6 en la primera, que fue el resultado de 2 1 4.
Si restan 17.00 a 42.50, ¿qué obtienen? ____________ En la primera línea, a 17.00 corresponde 2 y
a 42.50 corresponde 5.Al restar los valores correspondientes, se obtiene ____________.
¿Qué pueden concluir de la suma o resta? ____________
6 Determinen cuánto se pagaría por 11 paletas utilizando el anterior procedimiento.
7 Determinen cuánto se pagaría por 17 paletas.

Por tu cuenta
1 De las siguientes parejas de magnitudes, ¿cuáles son directamente proporcionales? Utiliza tabulación
para dar tu respuesta y subraya la correcta.
a) Lado (l) del cuadrado y su superficie (A).
b) Lado del cuadrado (l) y su perímetro (P).
c) Edad (años) y altura de las personas (cm).
l
P
b)
l
A
a)
Años
cm
c)
BLOQUE 1
Matemáticas 1 61Eje: Manejo de la información

2 ¿Cuáles de las siguientes tablas contienen datos que estén en proporción directa? Coloréalas.
TABLA
A
TABLA
B
TABLA
C
¿Se tiene una proporcionalidad directa?
¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
TABLAA
A 1 2 3 4 5
B 7 14 21 28 35
TABLA B
L 4 8 12 16 20
S 36 72 108 144 176
TABLA C
T 1 2 3 4 5
E 100 200 300 400 500
3 Completa esta tabla sabiendo que los datos de una línea están en proporción directa con los de la otra línea.
Distancia que recorre un autobús en km 45 km 450 495
Tiempo que tarda en recorrer la distancia en h ½ 1 ½ 3
4 Describe dos ejemplos de cómo se utiliza la proporcionalidad directa en algunos ámbitos de tu comunidad.
a) ____________________________________________________________________________________
b) ____________________________________________________________________________________
Matemáticas 162

¿Estás de acuerdo con la respuesta de María?
¿Cuántos kilogramos de carne podrías comprar si el kilogramo
costara $55?
Matemáticas 1 63EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Relaciones de proporcionalidad
Reparto proporcional
Elaborarás y utilizarás procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.
¿Qué sabemos de… reparto proporcional?
Discutan en equipo cómo entienden los siguientes problemas.Diseñen un plan para resolverlos.Decidan cuál
podría ser la mejor estrategia para resolverlos. Por último, comparen sus procedimientos y resultados con
los de los demás equipos.
1 Tres amigos obtuvieron un premio de $1 200.00
en una rifa de su comunidad. Alberto colaboró
con $2.00, Mónica aportó $3.00 y Javier cooperó con
$5.00. ¿Cómo deben repartir el premio según lo
que aportó cada uno?
Alberto __________________
Mónica __________________
Javier ___________________
2 El señor Jiménez,dueño de una empresa,quiere repartir $8 700.00 en partes proporcionales entre cuatro
de sus trabajadoras, de acuerdo con el tiempo que llevan laborando. Leticia lleva 8 años trabajando en la
empresa;Olga,12 años;Perla 9,y María 16.¿Cuánto le corresponde a cada trabajadora?
Leticia _______________ Perla _________________
Olga _________________ María _________________
3 Se van a repartir $19 500.00 entre tres personas de acuerdo con las siguientes condiciones: Juan debe
recibir el doble de lo que reciba Judith y ella debe recibir el triple de lo que reciba Carlos.¿Cuánto recibirá
cada uno?
Juan __________________ Judith _________________ Carlos ________________
Matemáticas 164
1.7

Nota: Consideren que si la cantidad a repartir fuera igual para todos,para que el reparto fuera justo
bastaría dividir entre el número de personas. Como no es la misma cantidad, una manera de
lograr que el reparto sea justo es que las cantidades que se dan sean proporcionales a lo que
aportó cada uno; es decir, si una persona aportó el doble, el triple o n veces más que otro,
entonces es justo que reciba una cantidad que sea ese número de veces mayor que la cantidad
del otro.
Para saber más de… reparto proporcional
1 Pepe planteó a Juan el siguiente problema.
“Tres telefonistas van a recibir $60 000.00 en partes directamente proporcionales al tiempo que
llevan trabajando en una empresa. ¿Cuánto recibirá cada uno de ellos si el de más antigüedad lleva
21 años, el segundo 20 y el tercero 19?”
Juan lo resolvió de la siguiente manera:
Sumó el número de años que llevan trabajando los tres trabajadores.
21 años  20 años  19 años  60 años
Por tanto, los $60 000.00 deben repartirse con base en un total de 60 años.
Y luego dividió los $60 000.00 entre el número total de años.
60 000
60
 1000
Y concluyó que a cada telefonista le corresponden $1 000.00 por cada año trabajado.
Por lo que multiplicando el número de años que cada telefonista lleva laborando en la
empresa por la cantidad de dinero correspondiente a un año, obtuvo que:
21  1 000  21 000
20  1 000  20 000
19  1 000  19 000
¿Qué opinan del procedimiento que utilizó Juan?
¿Habría algún otro procedimiento? ¿Cuál?
¿Ha resuelto el problema correctamente o lo ha hecho incorrectamente?
BLOQUE 1

Resuelvan los siguientes problemas:
2 Tres hermanos quieren comprar un terreno de 6 000 m2
para sembrar árboles frutales.El terreno
les cuesta $400 000.00. Uno de los hermanos se quiere quedar con 1 500 m2
,el segundo con 2 000 m2
y el tercero con 2 500 m2
. ¿Cuánto debe aportar proporcionalmente cada hermano?
Hermano 1: _______________________________
Hermano 2: _______________________________
Hermano 3: _______________________________
3 Supongan ahora que el primer hermano quiere quedarse con una quinta parte del terreno y los
otros dos hermanos se reparten el resto en partes iguales. ¿Qué cantidad debe aportar cada uno
para comprar el terreno?
Hermano 1: _______________________________
Hermano 2: _______________________________
Hermano 3: _______________________________
Matemáticas 166

Por tu cuenta
1 Investiga cómo han resuelto el problema de reparto proporcional en tu comunidad o bien plantea un problema en el
que hayas resuelto un problema de reparto proporcional y descríbelo aquí.
BLOQUE 1

¿Estás de acuerdo con la solución que dimos?
¿Cómo resolverías tú este problema?
Matemáticas 168

Diagramas y tablas
Problemas de conteo
Resolverás problemas de conteo utilizando diversos recursos, como tablas, diagramas de árbol y
otros procedimientos personales.
¿Qué sabemos de… problemas de conteo?
1 ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse cuatro personas en cuatro sillas?
2 ¿Cuántos saludos ocurren entre seis amigos si todos se saludan entre sí?
Si intervienen siete amigos en lugar de seis,¿cuántos saludos habrá en total?
¿Y si son ocho?
Expliquen brevemente cómo resolvieron estos problemas:
3 Cuatro amigos van al cine y todos quieren sentarse en una misma fila.¿De cuántas formas pueden hacerlo si
dos de ellos no quieren sentarse juntos?
Matemáticas 1 69
1.8
EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Para saber más de… problemas de conteo
Imagina que para vestirte cuentas con 4 pantalones y 3 camisas,¿de cuántas maneras distintas podrías
vestirte?
1 Para resolverlo, Pepe se apoyó en el siguiente diagrama:
Camisa 3Camisa 1 Camisa 2
PANTALÓN 1
PANTALÓN 2
PANTALÓN 3
PANTALÓN 4
a) Entonces, ¿cuántas combinaciones puedes realizar?__________
b) ¿Cómo lo hubieras resuelto tú? Coméntalo con tus compañeros.
2 Imagina que ahora cuentas con 7 pantalones y 9 camisas. ¿Podrías hacer un diagrama como el que
hizo Pepe o emplearías otro procedimiento? Coméntalo con tus compañeros.
4 De nueve candidatos se quiere elegir al presidente
yalsecretariodelasociedaddealumnos.Cadauno
puede ser presidente o secretario,pero no ocupar
ambos cargos a la vez.¿Cuántas parejas diferentes
podríamos formar?
Matemáticas 170
TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

Empiezan con 1
Terminan en 5
Empiezan con 1 y terminan en 5
Son pares
Son múltiplos de 5
Son mayores que 30
4 Determina cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra AMOR, sin
repetición de letras, aunque éstas no tengan significado en español. Luego determina cuántas de
esas palabras cumplen las siguientes condiciones.
3 Determina cuántos números de dos cifras,sin repetición de cifras,pueden escribirse con los dígitos
1, 2, 3, 4 y 5. Luego determina cuántos de esos números cumplen las siguientes condiciones:
Terminan en A
Empiezan con M
Empiezan con R y terminan en A
Empiezan con vocal
Tienen vocal y consonante alternadas
Si te sirve de algo, apóyate en el siguiente diagrama:
A
M
O
R
O R
5 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7? ___________
6 Cinco jueces de clavados disponen de una cartulina que tiene un 1 en un lado y un 0 en el otro.
¿Cuántas combinaciones de ceros y unos pueden hacer los cinco jueces? ____________________
El método de tabulación también puede ayudarlos a identificar alguna regularidad en los
procedimientos de resolución del tipo de problemas de combinaciones de dos en dos, y así lograr
plantear generalizaciones. Por ejemplo, si se quiere contar el total de saludos de tres amigos que
se saludan entre sí en una reunión, hagamos lo siguiente. Llamemos A, B y C a cada uno de
los amigos que se saludan entre sí, y formemos una tabla en la que aparezcan todas las parejas
posibles de las letras A, B y C, aunque se repitan.
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
BLOQUE 1

Por tu cuenta
1 Determina cuántos saludos ocurren entre el siguiente número de personas si todas se saludan una a la otra:5,6,7
y 8.Generaliza tus resultados para cualquier número n de personas.
2 Investiga cómo se organiza un torneo de baloncesto, voleibol o futbol en tu localidad y elabora un informe en tu
cuaderno.Puedes mostrar el número de juegos con tablas o diagramas.
Nota lo siguiente:
Las parejasAA, BB y CC no cuentan como saludo (no se considera que alguien se salude
a sí mismo).
Cada pareja de dos letras, como AB, sí representan un saludo, aunque como saludo es la
misma que BA. Así que los pares de las mismas letras en distinto orden cuentan como
un solo saludo.
Luego, los saludos posibles son AB,AC y BC. Esto es, hay tres saludos entre tres personas.
Matemáticas 172
TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

¿Cuántas combinaciones se podrían hacer si Lupe tiene 3 pares de
calcetas además de las prendas anteriores?

¡Ahora es tiempo de divertirse con un truco muy sencillo! Sólo sigue las instrucciones.
1. Pide a uno de tus compañeros o compañeras que piense en un número del 1 al 15.
2. Después, muéstrale las siguientes cuatro columnas y pídele que señale aquellas columnas en las que
aparece el número que pensó.
1 – 9 2 - 10 4 - 12 8 - 12
3 – 11 3 - 11 5 - 13 9 - 13
5 – 13 6 - 14 6 - 14 10 - 14
7 – 15 7 - 15 7 - 15 11 - 15
Para adivinar el número sólo tendrás que sumar los números marcados en rojo de las columnas que
señalan.
1 – 9 2 - 10 4 - 12 8 - 12
3 – 11 3 - 11 5 - 13 9 - 13
5 – 13 6 - 14 6 - 14 10 - 14
7 – 15 7 - 15 7 - 15 11 - 15
Ejemplo: si ha pensado en el número 7, deberá señalar las tres primeras columnas. Por tanto, si
sumas los tres números rojos correspondientes a esas columnas, tendrás 1 + 2 + 4 = 7.
¿Te gustaría elaborar tus propias tablas y adivinar números más grandes y explicar por qué funciona
este truco? ¡Adelante con tu proyecto!
Construcción de los tableros
Investiga en la biblioteca escolar, con tu profesor o en internet cómo construir 7 tableros para que puedas
adivinar números entre 1 al 127.
Nota: considera que el primer número de cada tablero es el resultado de elevar la base 2 a una potencia,
es decir:
20
= 1 21
= 2 22
= 4 23
= 8 24
= 16 25
= 32 26
= 64 . . . y así sucesivamente.
Por ejemplo, el número 69 es la suma de 64, 4 y 1. Ello quiere decir que este número lo debes colocar en
cualquier casilla de los tableros 1, 3 y 7.
Un ejemplo más con el número 35. Este número es la suma de 32 + 2 + 1, lo que significa que debes
colocar el 35 en los tableros 1, 2 y 6.
Juguemos con el Sistema Binario de Numeración
74

Matemáticas 1: Sistemas de numeración y operaciones básicas

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