MATEMÁTICA PARA LA VIDA

Y VIDA COTIDIANA I
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« •
EFRAÍN LÓPEZ BUSTOS
HÉCTOR JONATHAN MICHEL RAMOS
ADRIANA RODRÍGUEZ GÓMEZ
NORMA BEATRIZ SÁNCHEZ MUÑOZ
MATEMÁTICA

EFRAÍN LÓPEZ BUSTOS
HÉCTOR JONATHAN MICHEL RAMOS
ADRIANA RODRÍGUEZ GÓMEZ
NORMA BEATRIZ SÁNCHEZ MUÑOZ
MATEMÁTICA
Y VIDA COTIDIANA I

Rectoría General
ItzcóatlTonatiuh Bravo Padilla
Vicerrectoría Ejecutiva
Miguel Ángel Navarro Navarro
Secretaría General
José Alfredo Peña Ramos
Dirección General del Sistema
de Educación Media Superior
Javier Espinoza de los Monteros Cárdenas
Secretaría Académica del Sistema
Ernesto Herrera Cárdenas
Secretaría Administrativa del Sistema
Adriana Lorena Fierros Lara
Coordinación del Corporativo
de Empresas Universitarias
José Antonio Ibarra Cervantes
Dirección de la Editorial Universitaria
Sayri Karp Mitastein
Primera edición corregida, 2017
Autores
Efraín López Bustos
Héctor Jonathan Michel Ramos
Adriana Rodríguez Gómez
Norma Beatriz Sánchez Muñoz
Coordinación de la serie: Sofía Rodríguez Benítez
Coordinación editorial: Sol Ortega Ruelas
Corrección: Juan Felipe Cobián
Diseño y diagramación: Mónica Arreóla Gutiérrez,
Paola E. Vázquez Murillo
Ilustración: Yosam Cárdenas Zavala
D.R. © 2017, Universidad de Guadalajara
EDITORI
AL UN
IVE RS
IT A R I A
Editorial Universitaria
José Bonifacio Andrada 2679
Colonia Lomas de Guevara
44657 Guadalajara, Jalisco
www.editorial.udg.mx
01 800 UDG LIBRO
Impreso y hecho en México
Printed and made in México
Se prohíbe la reproducción, el registro o la transmisión parcial
o total de esta obra por cualquier sistema de recuperación de
información, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético,
electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, existente o por
existir, sin el permiso por escrito del titular de los derechos
correspondientes.
Este libro fue sometido a una revisión técnica, realizada
por el Dr. Ignacio Barradas y el Dr. Jorge Olivares, del
Centro de Investigación en Matemáticas, a .c. (cimat).

índice
Presentación 7
Conoce tu libro 8
Propósitos form ativos 10
Unidad de com petencia 1. Organización y an álisis
de la información 12
1.1 Estadística 14
Muestreo 14
Distribución de frecuencias 22
Interpretación y elaboración de gráficas 26
Medidas de tendencia central y de dispersión
para datos no agrupados 38
ACTIVIDAD INTEGRADORA 1 48
Unidad de com petencia 2. Sentido numérico 52
2.1 Divisibilidad 54
Números primos y números compuestos 54
Criterios de divisibilidad 56
Mínimo común múltiplo 59
Máximo común divisor 60
2.2 Números racionales 63
Ley de los signos 64
Jerarquía de operaciones y signos de agrupación 69
Comparación entre números racionales 72
Fracciones decimales 80
Fracciones comunes: suma y resta, multiplicación y división 83

Conversiones decimales-racionales-decimales 89
2.3 Proporcionalidad 94
Variación proporcional 94
Porcentajes 97
Unidad de competencia 3. Forma, espacio y medida 108
3.1 Introducción a la notación geométrica y ángulos 110
Conceptos básicos de geometría 110
Clasificación de los ángulos por su medida 117
Ángulos formados por dos líneas paralelas y una transversal a ellas 123
Ángulos en notación sexagesimal y en notación decimal 127
Glosario 143
Bibliografía 148
Ejercicios extras 149
Ejercicios Planea
Ejercicios p is a
150
156

PRESENTACIÓN
Las matemáticas son una herramienta importantísima para el desarrollo intelectual por
que ayudan a pensar de manera lógica, a razonar con orden y preparan la mente para la
crítica y el pensamiento singular. Además contribuyen al desarrollo de actitudes y valo
res, otorgando solidez en los fundamentos, seguridad en los procedimientos, confianza
en los resultados obtenidos, sentido para enfrentarse a los problemas de manera lógica
y coherente, búsqueda de la exactitud en los resultados y compresión y expresión clara
al utilizar símbolos.
Con esta propuesta buscamos despertar tu interés por las matemáticas por me
dio de un sistema enfocado en situaciones de la vida cotidiana, motivándote a en
contrar la solución de problemáticas habituales y poniendo a tu alcance la teoría que
demostrará la necesidad de las matemáticas para interactuarcon el entorno. Asimis
mo te presentamos, paso a paso, métodos y procedimientos para la obtención de
resultados correctos de problemas en situaciones en las que las matemáticas están
presentes. Se incluyen evaluaciones sumativas, actividades integradoras, autoeva-
luaciones y coevaluaciones, que te harán consciente de tu nivel de aprendizaje.
Matemática y vida cotidiana I fomenta la integración de este campo disciplinar
con otras áreas, mediante recursos que implican el uso constructivo de las tecno
logías de la información y la comunicación. Hemos incluido fuentes de información
electrónicas confiables, notas curiosas que aumentarán tu interés por los conteni
dos temáticos y biografías de personajes ilustres que sentaron las bases del enten
dimiento matemático actual.
7

Conoce tu libro
V
Matemática y vida cotidiana I está
integrado por tres grandes temas
en los que se desarrollan conceptos
elementales de matemáticas. Estudiar
sus planteamientos te capacitará para
entender situaciones de la vida cotidiana
como la organización y el análisis de la
información estadística, el variado sentido
de los números y la relación entre la
forma, el espacio y la medida.
Presentación
de la unidad
de competencia
Secuencia
didáctica
Objetivo
Para empezar
^Apertura —
| Desarrollo Conoce
4 «
Cierre
t '
Resuelve
O PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
DE COMPETENCIA
Enuncia las competencias específicas
que adquirirás y los objetivos de
aprendizaje que lograrás al estudiar los
contenidos de la unidad.
O SECUENCIA DIDÁCTICA
Contiene una sección inicial de
inmersión al tema, otra de exposición
de los nuevos conocimientos que debes
adquirir y una más de ejercicios para
reafirmar tu aprendizaje.
O Objetivo
Especifica el propósito de aprendizaje de
la secuencia didáctica.
_ Para empezar
Expone información para introducir
al tema o propone alguna actividad
detonadora de conocimientos previos.
O Conoce
Presenta información teórico-conceptual
y procedimental referente a los temas
que establece el plan de estudios.
8

r O Resuelve
Se plantean ejercicios que deberás
resolver para comprobar
y reafirmar tu aprendizaje.
—O Evaluación sum ativa
Se encuentra al terminar la unidad.
Comprende una serie de ejercicios
sobre cada tema desarrollado en la
unidad que te serán útiles para aplicar
y demostrar los saberes adquiridos.
p © ACTIVIDAD INTEGRADORA
Se ubica al final de cada unidad de
competencia. Su objetivo es que
al realizarla apliques de manera
integral todos los conocimientos
que obtuviste al estudiar los
contenidos. Incluye instrumentos
de evaluación.
GLOSARIO
Listado de términos y conceptos
relacionados con los temas.
- O EJERCICIOS EXTRAS
Actividades de preparación para las
pruebas Planea y pisa.
GLOSARIO
O RECURSOS ADICIONALES
IMPORTANTE
Conceptos esenciales para reforzar
el aprendizaje.
¿SABÍAS QUE...?
Datos curiosos e interesantes
acerca de los temas estudiados.
Y ESE, ¿QUIÉN ES?
Breve acercamiento a la vida de
matemáticos notables.
NOTA INFORMATIVA
Puntualiza oamplía la información
sobre alguno de los conceptos
abordados.
ESPACIO DIGITAL
Sugerencias de páginas virtuales en
las que puedes obtener información
útil para complementar loaprendido.
SE APLICA EN...
Explicación sobre cómo los saberes
abordados ayudan a resolver
problemas reales.
9

PROPÓSITOS
FORMATIVOS
«OBJETIVO GENERAL»
El estudiante integra sus conocimientos de aritmética, geometría y estadística como
herramientas para la resolución de problemas en diversos contextos.
« CONOCIMIENTOS »
Propiedades de los números racionales y sus operaciones.
Criterios de divisibilidad.
Números primos.
Clasificación y unidades de medición de los ángulos.
Métodos para la organización de la información.
« HABILIDADES (SABERES PRÁCTICOS O PROCEDIMENTALES) »
Identifica las propiedades de los números primos.
Aplica los criterios de divisibilidad para obtener la factorización en primos
de un número.
Resuelve problemas relacionados al cálculo del m.c.m. y el M.C.D.
Resuelve problemas que implican números racionales.
Aplica fórmulas para la resolución de problemas.
Recopila, representa e interpreta características de una población mediante
estadígrafos y el uso de gráficos estadísticos.
10

p
« ACTITUDES (DISPOSICIÓN)»
• Colaboración y cooperación entre pares
• Autogestión
• Proactiva
• Persistente en la búsqueda de estrategias para solucionar una situación
J
r
«VALORES (SABERES FORMATIVOS) »
• Respeto
• Honestidad
• Responsabilidad
J
11

i R i B H
ORGANIZACION
Y ANÁLISIS DE
LA INFORMACIÓN
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
1
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación
de procedimientos aritméticos, geométricos y estadísticos para la
solución de problemas cotidianos con diferentes enfoques.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Recolectar e interpretar datos
de situaciones de la vida diaria.
Identificar la aplicación de la
distribución de frecuencias en
situaciones reales.
Organizar, interpretar y describir
características de una población
mediante el uso de gráficos estadísticos
Conocer las medidas de tendencia
central y de dispersión para calcular
datos en un contexto real.

Muestreo
Recolectarás e
B É interpretarás
datos de situaciones
de la vida diaria.
Educación para la salud
Tecnologías de la información
Física I
Introducción al arte
Lengua extranjera I
Descripción y comunicación
Matemática y vida cotidiana I
o 5 10 15 20 25 30 35
| Reprobados Aprobados
1. ¿En cuál asignatura hubo más reprobados?
2. ¿En cuál asignatura hubo menos reprobados?
3. ¿Consideras importante llevar un registro de datos estadísticos de aprobación de
cada una de las áreas de estudio de tu escuela? Explica tu respuesta.
¿Qué es la estadística y para qué sirve?
La estadística trata sobre datos,los cuales son números, pero no sólo eso: en esta
dística los datos son números con un contexto. El número 2, por ejemplo, contie
ne por sí mismo sólo información numérica, pero si escuchamos que un hombre
mide 2 metros de estatura, inmediatamente sabemos que es un hombre alto. El
Conoce
Para empezar_________y
En el grupo de 1eA de una escuela preparatoria, que cuenta con 32 alumnos, se ob
tuvieron los siguientes datos de aprobación y reprobación:
Grupo 1° A
14

ESTADÍSTICA
contexto nos perm ite sacar partido de nuestros conocim ientos y em itir juicios:
sabem os que una estatura de 2 m etros es una altura poco com ún en México. El
contexto hace que el núm ero aporte inform ación.
La estadística utiliza datos para profundizar en un tem a y sacar conclusio
nes. N uestras herram ientas estadísticas son gráficos y cálculos, dirigidos por ra
zonam ientos basados en el sentido común.
La estadística es una ram a de las m atem áticas que se ocupa de la obtención
de datos, de su tratam iento para expresarlos num éricam ente y de su análisis para
extraer conclusiones a partir de ellos. Recolectar, organizar, resum ir, presentar y
analizar datos son algunas de sus principales funciones. Esta disciplina estudia
cuantitativam ente los fenóm enos de m asa o colectivos, o sea, aquellos fenóm e
nos cuyo estudio puede efectuarse a través de una colección de observaciones.
La estadística es una herram ienta m uy útil en m uchas disciplinas científi
cas, así que como usuarios potenciales de la estadística necesitam os dom inar
correctam ente su metodología. El empleo cuidadoso del m étodo estadístico per
m ite obtener inform ación precisa de los datos.
Los pasos del m étodo estadístico son:
Definir cuidadosamente la situación.
Es decir, hacer un planteamiento y
una definición cuidadosa del proble
ma que se va a tratar.
Consiste en determinar
un plan de recolección de los datos necesa
rios, de la información complementaria, de
las unidades de observación, de los medios
técnicos y/o virtuales a la mano.
Resumir con precisión los datos. Implica la re-
ducción, codificación, representación, tabula
ción de las observaciones y los valores cuanti
tativos; el análisis y la interpretación estadística
de tos resultados.
O Obtener y comunicar las conclu-
Efectuar la
presentación científica o pedagó
gica de los productos de investi
gación.
La estadística im plica inform ación, núm eros para resum ir esta inform ación,
y su interpretación. El térm ino estadística posee varios significados para perso
nas de diversos entornos e intereses. Para algunos, se trata de un medio para re
colectar, presentar y representar grandes cantidades de inform ación; hay otros
que consideran que se trata de un medio para tom ar decisiones frente a la incer-
tidum bre. Desde su perspectiva, cada uno de estos puntos de vista es correcto.
El terreno de la estadística puede dividirse a grandes rasgos en dos áreas:
estadística descriptiva y estadística inferencial.
La estadística descriptiva es en lo que piensan la mayoría de las personas al
escuchar la palabra estadística. Incluye la recolección, presentación y descripción
de los datos m uéstrales.
La estadística inferencial se refiere a la técnica de interpretación de los va
lores resultantes de las técnicas descriptivas, así como a la tom a de decisiones y
obtención de conclusiones sobre la población m uestreada.
La estadística es m ás que sólo núm eros: son los datos, lo que se hace con los
datos, lo que se aprende de los datos y las conclusiones resultantes. Por lo tanto,
en este curso utilizarem os la siguiente definición:
Estadística es la ciencia de recolectar, describir e interpretar datos.
^ o a o a
ñ a u o
■ Q O Q Z Í
---------------------------------- >

ESTADÍSTICA <
Técnicas de muestreo
Se le llam a m uestreo a la técnica para seleccionar una m uestra de una población.
El m uestreo es necesario para ahorrar recursos y tiem po, perm ite analizar la
m uestra obtenida en lugar de todos los elem entos de la población, y los resulta
dos se consideran válidos para todo el conjunto.
Para la realización de u n m uestreo, prim ero es necesario tener en cuenta
cuál es la población de estudio. Im agina que deseas realizar u n estudio sobre
usuarios de internet en México. Puesto que es un tem a que im plica en su m a
yoría a la población de m ediana edad, no obtendrás los m ism os datos cuando la
población de estudio es de personas de 65 años o m ás, que cuando la población
son todos los mexicanos.
La elección incorrecta de la población es el prim er motivo por el que los re
sultados estarían lejos de m ostrar la realidad. Si deseas saber cuántas personas
de 65 años o m ás son usuarios de internet, lo adecuado es entrevistar solam ente
a personas de esa edad en adelante.
En segundo lugar, hay que elegir u n tam año de m uestra adecuado con res
pecto al de la población. No obtendrás los m ism os resultados al encuestar a 50
personas cuando el tam año de población es de 100 que cuando se trata de 100
000; obviam ente, m ientras m ás cercano sea el núm ero de personas que form an
la m uestra a la población total, m ás exacto será el estudio. Así tam bién, si la po
blación objetivo es de 1000 000, no tiene sentido que la m uestra esté form ada por
999 999 personas, puesto que, aunque los resultados serían m uy exactos, no sería
propiam ente una m uestra; la estadística se usa precisam ente para evitar tener
que entrevistar o analizar a la población entera. En caso de poblaciones m uy n u
m erosas sería imposible entrevistar a tanta gente.
Un aspecto que debes tener en cuenta para realizar u n m uestreo es el lu
gar en donde se realizará la m uestra con respecto a la población; si deseas saber
cuántas personas son usuarias de internet en el estado de Jalisco, tom ar la m ues
tra en la zona m etropolitana de Guadalajara nos dará como resultado una tasa de
usuarios m ás alta que si se tom a una m uestra de zonas rurales, porque en estas, a
diferencia de la m etrópoli, m uy pocos tienen acceso a este medio.
Por lo tanto, antes de realizar un m uestreo, debes hacer un análisis de la pobla
ción para que tu estudio sea acertado y obtengas la información que deseas conocer.
Existen diversos m étodos para seleccionar una m uestra de una población.
Veamos prim ero los m étodos probabilísticos de m uestreo:
► M uestreo aleatorio sim ple. Se escoge al azar el núm ero de personas que con
form ará la m uestra.
► M uestreo aleatorio estratificado Se elige el núm ero de la m uestra de m a
nera aleatoria por categorías. Por ejemplo, si la población se conforma por
alum nos de tres bachilleratos, lo ideal sería elegir una m uestra que integre
alum nos de los tres bachilleratos en partes iguales.
► M uestreo sistem ático. Se requiere un listado ordenado de la población total;
se elige u n individuo al azar y a partir de este se descarta un cierto núm ero de
personas para elegir el siguiente individuo y com pletar la m uestra necesaria.
► M uestreo de conglom era Se refiere a agrupaciones de elem entos que po
seen características en com ún. Por ejemplo, dividir la población por género.
A continuación, los métodos no probabilísticos de m uestreo:
IMPORTANTE
• Población o universo.
Es un conjunto de
elementos que poseen
características en
común para un estudio
estadístico.
• Muestra. Parte o
subconjunto de la
población.
Población Muestra
m t m mi
t f♦
m m i r mi
11
m m i r m 11_____»
m m m i r 1 T
éá 0

► M uestreo subjetivo. La selección de lo que conform ará la m uestra se basa
sólo en la opinión de quien realiza el estudio.
► M uestreo de conveniencia Como su nom bre lo dice, se efectúa a convenien
cia de quien realiza el estudio, con el fin de que este sea m ás sencillo.
N inguno de estos dos m étodos son técnicas confiables.
NOTA INFORMATIVA
La gran ventaja del muestreo es que la información obtenida con la muestra es representativa
de toda la población. Con esto ya no es necesario entrevistar a todos, lo cual permite ahorrar
tiempo y recursos.
Métodos de muestreo
Aleatorio
simple
Probabilísticos
Conglomerados
Aleatorio
estratificado
Sistemático
cNo probabilísticos
)
De conveniencia
V___________ ✓
Subjetivo
Ejemplo
En un estudio estadístico se quiere averiguar la edad de los alum nos de prim er
sem estre de una preparatoria en la que existen 5 grupos en ese grado escolar
por cada tu m o (m atutino y vespertino). Se entrevistó al grupo l e B vespertino,
el cual cuenta con 45 alum nos; los resultados fueron los siguientes:
Alumno Edad Alumno Edad Alumno Edad Alumno Edad Alumno Edad
01 16 02 16 03 16 04 16 05 16
06 16 07 15 08 16 09 16 10 16
11 15 12 15 13 17 14 16 15 16
16 16 17 16 18 16 19 16 20 16
21 16 22 19 23 16 24 16 25 15
26 16 27 16 28 16 29 17 30 15
31 16 32 16 33 16 34 16 35 16
36 17 37 16 38 16 39 16 40 16
41 16 42 15 43 15 44 15 45 16
Supongam os que la población total del estudio son 10 grupos de 45 alum nos
cada uno, entonces nuestra población es de 450 alum nos. El grupo de 19B vesper
tino es una m uestra de 45 personas; a partir de lo obtenido podem os afirm ar que
la m ayoría de los alum nos del grupo tiene 16 años, pero ¿esta m uestra será sufi
ciente para perm itirnos inferir la edad de los alum nos de toda la preparatoria?
17

A nalicem os: se podría decir que 45 es u n a m u e stra m u y p eq u eñ a con re s
pecto a la población to ta l de 450, pero si to m am o s en cu en ta que g en eralm en te
los alu m n o s de p rim e r sem estre de cu alq u ier calendario so n los que acaban
de te rm in a r la secu n d aria o tie n e n u n a diferen cia de 6 m eses e n tre salida e
ingreso, y los alu m n o s eg resan de secu n d aria cuando tie n e n e n tre 15 y 16 años,
es de esp erarse que los alu m n o s de p rim er sem estre de p rep arato ria ro n d en la
m ism a edad.
Tom ando en cu en ta el lu g ar de donde se tom ó la m u estra, sabem os que en
definitiva alu m n o s de esa edad son los que a sisten a ese p lan tel educativo, por
lo ta n to el resu ltad o del estudio es significativo, aunque p ara m ayor ex actitu d
es recom endable to m ar u n a m u e stra m ayor e id entificar el tipo de m u estreo
conveniente.
l ñ ESTADÍSTICA «
Resuelve
Ejercicio 0
Cerca del campus de la universidad existe un edificio de tres pisos para estudiantes.
En el primer piso viven 40 estudiantes; el segundo y el tercero están ocupados por
80 estudiantes cada uno. Se quiere hacer una encuesta para que den su opinión so
bre el color del que deberá pintarse el edificio, para lo cual se va a elegir una muestra
de 20 estudiantes del total de 200. La muestra se puede seleccionar mediante algu
no de los siguientes métodos:
Muestreo aleatorio simple Muestreo estratificado Muestreo sistemático Muestreo por conglomerados
Determina a qué tipo de muestreo corresponde cada situación:
Población
* * .
» t » t i t t t j t
i r i f t V
Estrato i Estrato 2 Estrato 3
Se elige de manera aleatoria a los 20
alumnos, ya sea por estratos o categorías
fijas. Una opción es seleccionar de manera
aleatoria a 4 alumnos del primer piso y 8
del segundo y del tercero, de esta manera
se cuida que estén representados todos los
alumnos que viven en el edificio.
Población
i * i i . i .* t
t i i t i f t t
t * T * t t . t
i H i p i * 1
Conglomerados seleccionados
Podría elegirse a los 20 alumnos al selec
cionar uno de los grupos ya formados, por
ejemplo, el grupo de 6eA, que tiene 20
alumnos, además está formado por residen
tes de todos los pisos. Aquí se debe cuidar
que el grupo elegido tenga las caracterís
ticas necesarias para representar a toda la
población.
18

ESTADÍSTICA
Población
* 4 $ * *
Muestra aleatoria
Se eligen 20 estudiantes al azar.
Población
Se requiere una lista ordenada de los 200
alumnos. Se elige de manera aleatoria uno
de ellos, por ejemplo el 47, y a partir de este
se selecciona otro cada determinado número
de alumnos, por ejemplo, cada 12, hasta
completar los requeridos.
t f t T t t t t m t t m t m
1*2 7 12 17
t t t l t t t f l f t f t t f t t t f l
22 27 32 37
tiriririrT tT in riririP iriririrT irir
42 47 52 57
Ejercicio O
Si revisas en tu familia, es muy probable que tus padres tengan una gran cantidad de
hermanos en relación con los que tú y tus compañeros tienen.
1. Realiza un estudio estadístico de tu grupo y otro del turno contrario. Nos interesa
saber la cantidad promedio de hermanos que tiene cada alumno de ambos grupos.
Por el momento la opción más viable es entrevistar a tus compañeros de grupo.
2. Utiliza los espacios de la siguiente tabla que creas convenientes.
Alumno Núm. de
hermanos
Alumno Núm.de
hermanos
Alumno Núm. de
hermanos
Alumno Núm. de
hermanos
Alumno Núm. de
hermanos
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
46 47 48 49 50
51 52 53 54 55
56 57 58 59 60
61 62 63 64 65
66 67 68 69 70
71 72 73 74 75
76 77 78 79 80
19

a) ¿Cuántos hermanos tiene la mayoría de tus compañeros?
■ '' A ESTADÍSTICA «
b) ¿De cuántas personas se conforma tu muestra?
c) ¿Cuántas personas conforman la población de tu estudio?
d) Con respecto a la población total y tu muestra, ¿el resultado de tu estudio es signi
ficativo o no lo es? Explica tu respuesta.
e) Si aumentaras la población a todos los grupos de primer semestre de la prepara
toria donde estudias, con respecto a la muestra que obtuviste, ¿el resultado de tu
estudio sería significativo? Explica tu respuesta.
f) Si aumentaras la población a todos los grupos de primer semestre del estado de
Jalisco, con respecto a la muestra que obtuviste, ¿el resultado de tu estudio sería
significativo? Explica tu respuesta.
g) ¿Qué tipo de muestreo utilizaste para resolver el ejercicio?
Ejercicio (fl)
Realiza un estudio estadístico para averiguar la estatura y el peso de una población
de 100 alumnos de primer semestre. Comienza obteniendo la muestra con tus com
pañeros de aula.
Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
20

ESTADÍSTICA
Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
Alumno Peso Alumno Peso Alumno Peso Alumno Peso Alumno Peso
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
1. ¿Cuál es el rango (valores comprendidos entre uno menory otro mayor) de altura
y peso más comunes de la muestra obtenida?
2. Con respecto a la población total y tu muestra, ¿el resultado de tu estudio es
3. Si aumentaras la población a todos los grupos de primer semestre de la prepara
toria en donde estudias, con respecto a la muestra que obtuviste, ¿el resultado
de tu estudio sería significativo? Explica tu respuesta.
ESPACIO
DIGITAL
Para obtener más
información sobre el tema,
consulta esta página:
http://www.ine.es/explica/
explica_historia.htm
4. Si aumentaras la población a todos los grupos de primer semestre del estado de
Jalisco, con respecto a la muestra que obtuviste, ¿el resultado de tu estudio sería
5. ¿Qué tipo de muestreo utilizaste para resolver el ejercicio?

ESTADISTICA
Distribución de frecuencias
Para empezar
Analiza el siguiente caso y completa la tabla:
El gobierno del pueblo de Mazatepec desea conocer la frecuencia de tas enfer
medades respiratorias de su comunidad. Preguntar a todos los habitantes es tarda
do y sólo se quiere tener una idea aproximada, por lo cual se decide encuestar a 50
familias sobre el número de enfermos por esta causa en el último año.
Se obtuvieron los siguientes datos:
Identificarás la
H É aplicación de la
distribución de
frecuencias en
situaciones reales.
2,4, 2, 3,1, 2, 4, 2, 3, 0, 2, 2, 2, 3, 2,6, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4,
3, 3,4, 5, 2, 0, 3, 2,1, 2, 3, 2, 2, 3,1,4, 2, 3, 2,4, 3, 3, 2, 2,1
Número de enfermos Frecuencia
0
1
2
3
4
5
6
Conoce
La organización de datos se realiza m ediante tablas que se utilizan para sim pli
ficar la presentación y distribución de estos datos. La tabla que acabas de com
pletar recibe el nom bre de tabla de distribución de frecuencias, la cual sirve para
m ostrar de m anera organizada datos com unes.
En este tipo de tablas se puede representar información mediante variables
cuantitativas, como el peso de las personas, estatura, edad, o por medio de variables
cualitativas, como grupos escolares o evaluación escolar a base de letras. Las va
riables estadísticas son características de los diferentes individuos en estudios
estadísticos; pueden adoptar diferentes valores cuando se relacionan con otras.
Los tipos de variables son:
► Variable cu Es la que se expresa de form a num érica. Puede ser dis
creta o continua.
• Variable cuantitativa . Es aquella cuyos valores son núm eros ente
ros. Es decir, núm eros como 1,0 ,4,7, -3, como el núm ero de herm anos o la
diferencia entre el núm ero de herm anos y herm anas.
• Variable cuantitativa conti. Puede tener valores entre dos núm eros (deci
males), como la estatura de las personas: 1.95,1.80,1.70,1.90,1.50 (metros).
► Variable cualitativa. Se refiere a características que no pueden ser represen
tadas con núm eros.
X
22

Variable cualitativa non Presenta m odalidades no num éricas sin cri
terio de orden, como el estado civil: soltera, casado, separado, divorcia
da, viudo.
Variable ciu: Presenta modalidades no num éricas en orden,
como la evaluación de un producto escolar: destacado, suficiente, sobre
saliente, insuficiente.
Ejemplo
En la comunidad de Chontal existe la preocupación de que la población joven de
12 a 18 años pueda presentar problemas de salud relacionados con la diabetes.
Las autoridades sanitarias quieren conocer la proporción de personas que pa
decen obesidad,ya que esta condición es un factor predisponente de la diabetes.
Para ello, es necesario conocer el peso en kilogram os y la frecuencia con
la que realizan ejercicio físico. Sin embargo, la población de ese rango de edad
se com pone de 5 786 individuos, así que realizar el estudio con todos es costo
so y tardado, por lo que decidieron elegir al azar una m uestra de 360 jóvenes
para que contestaran el siguiente cuestionario:
Sexo Hombre Mujer
Señala tu edad
(años cumplidos)
12 13 14 15 16 17 18
Peso corporal
(en kilogramos)
Estatura (en metros)
Frecuencia con que
realizas ejercicio físico
cada semana
6a7
días
3a5
días
la 2
días
Ningún día
E » IMPORTANTE
• Clases o intervalos. Son
los grupos formados
para la organización de
datos.
• Frecuencia absoluta. Es
el número de veces que
aparece un valor en los
datos.
• Frecuencia relativa. Es
la frecuencia absoluta
dividida entre el total de
elementos.
• Frecuencia acumulada.
Es la suma acumulada
de frecuencias.
• Porcentaje. Es la parte
proporcional de esa
clase respecto al total de
elementos.
• Rango. Es la diferencia
entre el dato mayory el
menor.
En este ejemplo, la población o universo consta de 5 786 individuos y la
m uestra es la parte de la población a quienes se les aplicará el cuestionario.
El m uestreo, es decir, la labor de seleccionar al grupo de individuos necesa
rios para el estudio, en este caso será al azar. Las variables, definidas según el
tipo de inform ación que se desea conocer, son:
Edad ------► Variable cuantitativa discreta.
Peso Variable cuantitativa continua.
Estatura ------► Variable cuantitativa continua.
Género Variable cualitativa nom inal.
Frecuencia con que se hace ejercicio Variable cualitativa ordinal.
Este es un ejercicio en el que se puede aplicar la estadística descriptiva al
organizar los datos obtenidos en tablas y gráficas. Además, se puede realizar una
estadística inferencial que perm itirá conocer, de acuerdo a los datos recolecta
d o s^! núm ero de jóvenes que pueden presentar problem as de salud.
23

ESTADÍSTICA <
Ejemplo
U na e m p resa n acio n a l fabrica ta rje ta s electró n icas p ara red es co n 1,320 com
p o n e n te s cada u n a . Los em p lead o s tie n e n qu e elab o rar d ia ria m e n te u n re
p o rte de la can tid ad de defectos que se d e te c ta n al realizar la p rim e ra prueba.
Se obtuvo el sig u ien te reg istro de n ú m e ro de errores:
17 80 79 34 56 34 23 78 45 23 12 98 1 23 45 76 23 45
90 45 56 43 12 83 38 34 56 92 67 23 21
23
34
27
23 76 34 25
21 98 67 39 28 12 34 76 87 98 12 45 34 90 12 2
Es necesario org an izar los datos m ed ian te u n a tabla de frecuencias, p ara sim
plificar la p resen tació n y distrib u ció n de los m ism os. Este es el p rocedim iento:
Se establecen las
Se forman los
grupos para la organi
zación de datos, en los
intervalos que creas
convenientes.
Se registra la frecuencia
solu Se realiza el
conteo de las veces que
aparece un dato en la
información obtenida.
1Se registra la frecuencia
La frecuencia
relativa es el cociente
que resulta de dividir la
frecuencia absoluta de un
determinado valor entre
el númerototal de datos.
Resuelve
Ejercicio [)
Identifica en cada una de las siguientes situaciones el tipo de variable:
► Variable cuantitativa discreta ► Variable cualitativa nominal
► Variable cuantitativa continua ► Variable cualitativa ordinal
¿SABÍAS
ü ^ QUE...?
Hacia el año 3000 a.C.
los babilonios usaban ya
pequeñas tablillas de arcilla
para recopilar datos sobre
la producción agrícola
y los bienes vendidos o
cambiados mediante el
trueque. Los egipcios, por
su parte, ya analizaban los
datos de la población y la
renta del país mucho antes
de construir las pirámides.
1. El color de ojos de un grupo de candidatas a reina de la primavera.
2. El peso de los paquetes que una compañía de mensajería distribuye en la ciudad.
3. Los puntajes que obtienen 1000 alumnos en su examen de ingreso a la preparatoria.
4. El promedio de egreso de 100 alumnos de secundaria.
5. La calificación obtenida en el taller de Sexualidad humana.
6. El número de personas que viajan en un autobús.
7. Mascota preferida de los alumnos del jardín de niños Gabriela Mistral.
8. El ingreso económico quincenal de una persona.
9. La distancia recorrida por un camión urbano durante una jornada.
10. Los sabores de nieve preferidos por la gente de un pueblo.
11. Las medallas de una competencia deportiva.
12. El número de viajes que tus compañeros realizan fuera de su comunidad en un año.
24

ESTADÍSTICA
Ejercicio O
El director de una constructora desea conocer el número de incidencias de sus trabaja
dores registradas cada semana en lo que va del año. Ha obtenido los siguientes datos:
35, 24, 26, 23, 50, 20, 25, 56, 30, 30, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 40, 39, 38, 40, 27, 24,
30, 32, 35, 27, 29, 22, 28, 27,48, 40, 48, 31, 39, 28,46, 36, 37, 52, 44, 49, 52,41,
31, 31, 58, 56, 38, 26, 25, 24, 60, 55,48, 37, 31, 30, 22, 20
1. Completa la tabla con los valores que se te proporcionan e indica qué tipo de
variables cuantitativas son.
Clase Frecuencia
55-60
49-54
43-48
37-42
31-36
25-30
19-24
2. Tipo de variables:
Ejercicio (Q)
Diseña un cuestionario que incluya una variable cuantitativa y una cualitativa, aplí
calo a 20 de tus compañeros de grupo y elabora las tablas de distribución de fre
cuencias. Elige 4 o 5 clases.
Clase Frecuencia Frecuencia Frecuencia Porcentaje
relativa acumulada
Clase Frecuencia Frecuencia Frecuencia Porcentaje
relativa acumulada

ESTADISTICA
Interpretación y elaboración de gráficas
Para empezar
La siguiente gráfica muestra los datos de cuatro carreras que ofrece el Centro Univer
sitario de Ciencias de la Salud (cucs) de la Universidad de Guadalajara en el calenda
rio 2011-A. Con base en esta información responde las siguientes preguntas:
cucs, admisión 2011-A
800
700
600
500
400
300
Cultura Física
y Deporte
Cirujano
Dentista
Nutrición Radiología
e Imagen
Aspirantes Admitidos Puntaje mínimo
1. ¿Cuál carrera tiene más aspirantes?
2. ¿Cuál carrera admite menor cantidad de aspirantes?
3. ¿Cuál carrera tiene el mayor porcentaje de admisión?
4. ¿Cuáles carreras tienen el puntaje mínimo más alto?
Conoce
Interpretación de gráficas
Cuando se realiza u n estudio estadístico se obtiene u n a gran cantidad de datos.
Para representar con claridad la inform ación obtenida en el estudio se utilizan
las gráficas estadísticas.
Tam bién existen las tablas estadísticas: son herram ientas de organización
inform ativa com puestas por filas y colum nas de celdas rellenas de inform ación
num érica con datos relacionados entre sí.
■gfj Organizarás,
interpretarás y
describirás características
de una población
mediante el uso de
gráficos estadísticos.
ESPACIO
DIGITAL
Es importante la utilización
de las tic (tecnologías
de la información y la
comunicación) en tas
estadísticas, sobre todo
cuando se trata de crear
gráficas. El siguiente enlace
te mostrará información útil
al respecto:
http://www.scielo.org.mx/
scielo.php?pid=S1665-
24362007000100002
26

ESTADÍSTICA
Una gráfica es la representación visual de datos, generalm ente num éricos,
que tiene como finalidad dar una noción rápida y sencilla de la relación que exis
te entre estos.
Las representaciones gráficas logran que un análisis visual ofrezca la infor
m ación m ás com pleta posible. Según el tipo de inform ación que se esté estu
diando se puede utilizar un tipo de representación gráfica u otro.
Para la realización de gráficas estadísticas se necesita conocer los tipos de
datos, cómo agruparlos y cómo representarlos.
Hay m uchos tipos de gráficas estadísticas. Cada una de ellas es adecuada para
un estudio determ inado y la inform ación que se va a trabajar, ya que no siem pre
se puede utilizar la m ism a para todos los casos.
Ten m uy en cuenta lo siguiente al m om ento de interpretar inform ación en
gráficas y tablas:
Detecta las unidades en que se presenta
la información y la cantidad de datos que
la conforman.
I
Determina si la tendencia
de los datos es aumentar
o disminuir.
Observa si la gráfica
es de porcentajes o de
frecuencias.
T
Verifica la comparación de variables utilizadas
y su comportamiento respecto al tiempo en la
gráfica.
Ejemplo
Los alum nos responsables del periódico escolar de una preparatoria llevan
los registros diarios de tem peratura m áxim a en Guadalajara durante el
transcurso del año 2016; hasta el m om ento sólo existen los registros del m es
de enero. La inform ación obtenida es la siguiente:
Clima en Guadalajara, año 2016
30
2_ 25
l/>
.2 20
J/J
3 15
«/>
o 10
i m i m p r m m
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
28 25 25 25 24 23 22 23 24 24 24 25 21 24 24 24 27 24 24
-
25 26 27 25 25 21 23 21 21 24 25 27
Como puedes observar, la representación gráfica m uestra los cambios de
tem peratura diaria en grados Celsius (°C, abreviatura que tam bién se nom bra
como grados centígrados) durante el m es de enero de 2016. También contiene
elem entos como el título de la gráfica, representación num érica y en barras la
tem peratura en grados Celsius, así como los días de enero en los que se tomó
registro de la tem peratura.

ESTADISTICA
► El día en que se obtuvo el mayor registro de tem peratura fue el 1 de enero: 28°C.
► Los días en que se obtuvo el m enor registro de tem peratura fueron: 25,27 y 28
de enero, con una tem peratura m áxim a de 21°C.
El registro que m ás se repitió durante el m es de enero fue de 24°C, los días 5,
9,10,11,14,15,16,18,19 y 29.
La tem peratura, como puedes observar a simple vista, se m antiene dentro de
un rango de valores y no es sencillo determ inar si tiende a aum entar o a disminuir.
Resuelve
Ejercicio D
Revisa los registros obtenidos de la temperatura máxima de los primeros 10 días de
los meses de enero y febrero del año 2016, representados en la siguiente gráfica, y
contesta las preguntas.
Clima en Guadalajara, año 2016
u —
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
H Enero 28 25 25 25 24 23 22 23 24 24
Febrero 28 22 27 22 20 27 22 21 16 19
1. ¿Qué día se obtuvo el mayor registro de temperatura de ambos meses?
2. ¿En qué mes se registró la menor temperatura?
3. ¿Cuál fue el menor registro de temperatura de febrero?
4. ¿En qué día se obtuvo el menor registro de temperatura durante enero?
5. ¿En qué día de febrero se registró la menor temperatura?
2 8

ESTADÍSTICA
6. Observa que los registros de enero son más constantes que los de febrero: en el
segundo mes las cantidades entre cada registro son más variables.
Ejercicio O
En México se recolectan 86 342 toneladas de basura diariamente y son generadas
sobre todo en viviendas, edificios, calles, avenidas y parques. Eso equivale a 770
gramos por persona cada día.
Más de la mitad de la basura que se genera en todo el país se recolecta en siete
entidades.
Observa la siguiente gráfica y contesta las preguntas:
Estados que generan más basura
Resto
| Ciudad de México
Estado de México
11 jalisco
46.3%
Veracruz
Guanajuato
Tamaulipas
Nuevo León
19.7%
1. ¿Qué porcentaje de basura se produce en tu estado?
2. ¿Qué estado es el que genera más basura?
3. ¿Qué entidad es la que genera menos basura?
4. En total, ¿qué porcentaje representan Nuevo León, Tamaulipas, Guanajuato, Ve
racruz, Jalisco, el Estado de México y la Ciudad de México?

ESTADÍSTICA <
Ejercicio (J)
En la siguiente gráfica se representan las faltas por día de los estudiantes de primer
semestre durante siete semanas:
Faltas de los estudiantes de i ersemestre
10%
Lunes
| Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
2. ¿Qué día de la semana faltan menos los alumnos?
3. ¿A qué día corresponde aproximadamente la cuarta parte de faltas?
Ejercicio ©
Una embotelladora difundió los siguientes datos de sus ventas en un año:
Venta de bebidas
180.000
160.000
Sj 140,000<y '
“ ■ 120,000
<V
■5 100,000
2 80,000
= 60,000
s 40,000
20,000
o
Venta
30

1. ¿En qué mes se registró la menor venta de la embotelladora?
2. ¿En qué mes se registró la mayor venta de la embotelladora?
3. ¿Cuál fue el registro obtenido en el mes de noviembre?
4. Según la tendencia, ¿las ventas aumentaron o disminuyeron durante el año?
Ejercicio O
Analiza la siguiente gráfica de temperatura durante 2015 en La Barca, Jalisco:
Temperatura (°C)
30
25
20
15
10
o =
K Jq03 < o
bo
<
1. ¿En qué mes se registró la temperatura más alta?
•O J3
E =tu u
'■= o
.o
E
XI
E
2. ¿En qué mes se registró la temperatura más baja?
3. ¿En qué meses se registró una temperatura de 20 grados?
4. ¿Cuáles son los cinco meses más calurosos registrados durante el año?
31

ESTADÍSTICA <
Conoce más
Elaboración de gráficas
A continuación conocerás distintos tipos de gráficas, su aplicación y características:
Gráfica de barras
Se aplica a variables cuantitativas discretas, o bien a variables cualitativas.
► Puede ser horizontal o vertical.
► Se traza una línea en el eje horizontal o en el vertical para las clases o variables.
► En el otro eje se escribe la escala de frecuencias, puede ir de uno en uno, cinco
en cinco, diez en diez, etcétera, dependiendo de la cantidad de datos.
► Se dibujan barras o colum nas separadas, de altura o largo correspondiente a
la frecuencia adecuada.
Ejemplo
Edad de alumnos de primer semestre
111111111 '
<n m <3- un vo r ^ o o o s o
o o o o o O o o Üc c c n c c c c O
E E E E E E E E g
2 — 2 3 3 2 3 3 E< < < < < < < < - 3
<C
Histograma
► Es representado en form a de barras.
► Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran
núm ero de datos agrupados en clases.
► El procedim iento es igual al de la gráfica de barras, pero sin dejar espacio en
tre cada una de ellas.
► La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores.
Ejemplo
Calificación de alumnos de primer semestre

ESTADÍSTICA
Gráfica circular
► Este tipo de gráfica es de gran utilidad para m ostrar proporciones (porcen
tajes).
► También se le llam a gráfica de sectores o de pastel. Es conocida tam bién
como gráfica de 360°.
► M uestra cada sector o proporción que corresponde a cada variable con res
pecto a un todo.
► Sus fragm entos se representan en porcentaje.
► Se utiliza en aquellos casos en que interesa m ostrar el núm ero de veces que
se da una característica o atributo tanto de m anera tabular como de m anera
gráfica.
Ejemplo
Revisando las calificaciones de 20 alum nos se obtuvieron los siguientes datos:
Calificaciones Alumnos
90 a100 5
80 a 89 8
70 a 79 4
60 a 69 2
50 a 59 1
NOTA
INFORMATIVA
El total de la circunferencia
de la gráfica es 360°, que
equivale al 100% de la
figura. El 1% (360° -M00 =
3.6°) de la circunferencia
multiplicado por el
porcentaje de alumnos
con la misma calificación,
te dará la medida del
ángulo del fragmento
que le corresponde a esa
proporción:
3.6° • 25 = 90°
3.6° • 40 = 144°
3.6° • 20 = 72°
3.6° • 10 = 36°
3.6° • 5 = 18°
El total de alum nos es 20, eso equivale al 100% de la gráfica. El cálculo del
porcentaje de alum nos que obtuvieron una calificación correspondiente a
cada rango de calificaciones se realiza de la siguiente m anera:
5 •100/20 = 25%
8 •100/20 = 40%
4 •100/20 = 20%
2 • 100/20 = 10%
1• 100/20 = 5%
Porcentaje de alumnos en relación con sus calificaciones

Polígono de frecuencias
► Es u n gráfico que se puede aplicar a variables cuantitativas continuas.
► Se form a a p artir de u n histogram a de frecuencias, al u n ir con u n a línea los
puntos m edios de las cim as de las barras o colum nas.
Perm ite realizar análisis visuales rápidos sobre el com portam iento estadísti
co de u n fenóm eno particular.
El polígono de frecuencia debe com enzar y term in ar en 0.
► El polígono se representa con las líneas unidas en las cim as de las barras.
Ejemplo
Calificación de alumnos de i'rsemestre
Cs On ON On Ooo o
ro ro ro 03
o o o oirt vo r^. co o
Calificaciones
¿s a b í a s
QUE...?
No es fácil señalar el
momento exacto de la
historia en el que nacieron
los gráficos estadísticos. La
representación visual de la
información se usaba desde
tiempos muy remotos, en
forma de mapas geográficos
o celestes. Podría decirse
que no fue hasta el siglo
xvin cuando surgieron estas
representaciones gráficas.
Ojiva
Es u n gráfico donde se presentan las frecuencias acum uladas. Perm ite cono
cer cuántos datos se encuentran por encim a y debajo de ciertos valores.
► En el eje horizontal se presentan las clases.
En el eje vertical se presentan las frecuencias acum uladas.
► Los puntos se colocan donde coincide la inform ación y luego se u n en con
líneas.
Ejemplo
10
9
i
34

ESTADÍSTICA
Pictograma
► Es u n gráfico en el que para representar una cantidad específica se utilizan
im ágenes de tam año proporcional a la frecuencia.
► Un pictogram a debe ser enteram ente com prensible a prim era vista.
► En el diseño de u n pictogram a deben suprim irse todos los detalles superfluos.
► Tiene que representar únicam ente los elem entos m ás im portantes, evitando
posibles estím ulos distractores o inform ación irrelevante.
Ejemplo
19
18
in 17
| i«
15
14
13
Edad de los alumnos de primer semestre
Edad
E E E E E E E E E
< < < < < < *
Resuelve
ESPACIO
DIGITAL
Los gráficos son una
grandiosa herramienta
para comunicar
información visualmente.
En generadordegraficos.
com podrás diseñar y
compartir tus propios
gráficos en línea y gratis:
http://www.
generadordegraficos.com/
Ejercicio [ )
Registra las edades de tus compañeros de aula, realiza una tabla de frecuencias y re
preséntalas en una gráfica circular.

1. ¿Cuál es la edad que más se repite?
W ESTADÍSTICA <
2. ¿Cuál es la edad más alta obtenida en los registros?
3. ¿Cuál es la edad menor obtenida en los registros?
Ejercicio O
En una gráfica de barras, representa la altura registrada de 20 estudiantes (10 hom
bres y 10 mujeres); asigna un color de barras para cada género.
1. ¿Cuál es el mayor registro obtenido en los hombres?
2. ¿Cuál es el mayor registro obtenido en las mujeres?
3. ¿Cuál es el menor registro obtenido en los hombres?
4. ¿Cuál es el menor registro obtenido en las mujeres?
5. ¿Cuál es la diferencia en centímetros entre el registro más alto de cada género?

Ejercicio
Las horas por semana que varios amigos pasan conectados a las redes sociales son
las siguientes:
10,40,12, 7,9, 20, 45, 20, 23,10,12,16,17,18,43, 50, 60,19, 21, 51,17, 39,17,
20, 21, 34, 54, 21,18,4, 31,12, 35, 31,16, 31,41
1. Ordena la información en clases y elabora una tabla de frecuencias.
2. Construye un histograma.
3. Elabora un polígono de frecuencias.

Ejercicio ©
Se requiere organizar las edades de 10 alumnos que tienen distintos años:
15,16,16,15,15,14,15,16,17,17
1. Con esos datos completa la siguiente tabla.
2. Representa la información con una gráfica de pictograma.
3. Elabora una gráfica tipo ojiva.
Edad
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
acumulada
Porcentaje
14
15
16
17
Total de datos
Medidas de tendencia central
y de dispersión para datos no agrupados
Para empezar
Miguel y Fernando se dedican a vender en el mercado municipal. Las ganancias ne
tas durante los últimos ocho meses son:
^ Conocerás las
medidas de
tendencia central y de
dispersión para
calcular datos en un
contexto real.
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto
Miguel $4 600 $4 800 $1200 $1400 $3 600 $9 000 $1800 $5 600
Fernando $4 000 $4100 $3 900 $5 200 $3 000 $3 200 $3 600 $4 200
1. ¿Cuál de los dos tiene mayores ingresos?
2. ¿Cuál es el monto promedio de ingreso mensual de cada uno de ellos?
Miguel: Fernando:
3. ¿Quién de los dos comerciantes tiene ingresos más regulares y cuál es la ventaja
de esto?
38

Conoce
Medidas de tendencia central: media, mediana y moda
Cuando se trabaja con grandes cantidades de datos es conveniente resum ir toda
esa inform ación en un solo valor, el cual es representativo con respecto a todos
los datos que lo conform an. Dicho valor suele situarse hacia el centro de la dis
tribución de datos y se denom ina m edida de tendencia central.Tres ejem plos de
m edidas de tendencia central son la m edia, la m ediana y la moda.
Media aritmética
La m edia aritm ética (x) es el valor obtenido al sum ar todos los datos y dividir el
resultado entre el núm ero total de datos. También se le conoce como prom edio
o media.
Ejemplo
D urante una revisión médica, 6 alum nos de prim er sem estre de bachillerato
se pesaron y los valores obtenidos fueron 60,72,68,75,88 y 80 kg. ¿Cuál es el
peso medio de los alumnos?
Prim ero es necesario sum ar los pesos de cada uno de los estudiantes:
60 + 72 + 68 + 75 + 88 + 80 = 443
2. El resultado obtenido se divide entre el núm ero de estudiantes:
443/6 = 73.83 kg
Promedio
Moda
ffr" " f f ' f '"
Ejemplo
Se trata de encontrar la m oda de la distribución de los siguientes datos:
2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5
Se identifica el valor que se repite m ás veces:
2, 2, 3, 3, 4, 4, 5. 5. 5
Mo = 5
Si en un grupo hay dos o varios valores con la m ism a frecuencia y a la vez
son los m áxim os, el resultado es bim odal o m ultim odal, lo que quiere decir
que hay dos o m ás modas:
1,1, 2. 2. 2. 4. 4. 4. 5. 5, 7, 8, 9.9.9
Mo = 2,4, 9
Moda
La moda (Mo) es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta, es decir, el que
m ás se repite. Se puede identificar la moda de variables cualitativas y variables
cuantitativas.
39

Cuando todos los valores de un grupo tien en la m ism a frecuencia no hay
moda:
2, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 7,8, 8, 9,9
Si dos valores adyacentes tienen la frecuencia m áxim a, la m oda es la m e
dia de ambos valores:
U , F ESTADÍSTICA «
0,1, 2, 3. 3. 4. 4. 5, 7, 8
Mo = 3.5
Mediana
La m ediana (Me) es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos; estos
deben ser prim ero ordenados de m anera ascendente o descendente. Sólo es apli
cable a variables cuantitativas.
Si la serie tiene un núm ero im par de medidas: la m ediana es la puntuación
central de la mism a.
Ejemplo
1, 2, 3, 4, 4, 5,5, 5, 6, 6, 7
M e = 5
Si la serie tiene u n núm ero par de datos, la m ediana es la m edia de ambos
valores centrales:
6, 7 ,8 .9 .1 1 .12.13.14
M e = 10
Resuelve
Ejercicio O
Se les preguntó a 20 alumnos de sexto semestre de una preparatoria de una zona
rural cuántos libros completos no académicos habían leído. Los registros fueron:
2, 4, 5, 8, 2,1, 3, 6, 2,1, 4, 2, 0, 2, 3, 6,1, 2, 0, 4
1. Calcula la media aritmética de la serie de registros.
2. Calcula la mediana de la serie de datos.
3. ¿Cuál es la moda de los registros obtenidos?
Mediana
40

Ejercicio O
Este es el registro del número de tazas de café que 20 trabajadores de una oficina
consumen al día:
1,1,1, 2, 3,1, 0,1, 0, 2, 0, 3,1,1,1, 0,1, 0, 2,1
1. Calcula la media aritmética de la serie de registros.
2. Calcula la mediana de la serie de datos.
3. ¿Cuál es la moda de los registros obtenidos?
Conoce más
Medidas de dispersión: rango, varianza y desviación estándar
Una medida de dispersión de un conjunto de datos es un parám etro que indica qué
tanto se alejan o se acercan los datos de/a la m edia aritm ética o promedio.
Cuanto m ás grande sea la m edida de dispersión, m enor uniform idad tendrán
los datos y, por lo tanto, m enor será la representatividad o confiabilidad del valor
promedio. Si la m edida de dispersión es pequeña, entonces hay m ás uniform idad
entre los datos. Cuando vale cero, esto significa que todos los datos son iguales.
Ejemplos de m edidas de dispersión son el rango, la varianza y la desviación
estándar.
Rango
El rango (R) es la diferencia entre el dato m ayor y el m enor de una m uestra o
población.
Ejemplo
Un grupo de fotógrafos realizó un estudio estadístico para saber qué pila al
calina es conveniente utilizar con respecto al núm ero de disparos posibles.
Sólo se hicieron pruebas con pilas de las dos m arcas m ás prestigiadas: Volta
y Enervolt.El estudio se hizo durante nueve días. Estos fueron los resultados
en cuanto al núm ero de disparos realizados hasta agotar cada pila:
Para calcular el rango de disparos se resta la m enor cantidad de disparos
registrada a la mayor.

ESTADÍSTICA <
Pilas Volta Pilas Enervolt
1026 - 802 = 224 985 - 893 = 92
Rango = 224 Rango = 92
Mientras más alto es el valor del rango, mayor es la variación de los datos de
la muestra.
Así se puede deducir que las pilas Enervolt son menos variables, pero dado
que los registros más altos corresponden a las pilas Volta, esta es la marca más
conveniente para los fotógrafos.
Varianza
La varianza (a2) es la media artimética de los productos del cuadrado de la resta
de cada valor menos la media aritmética de los mismos.
Ejemplo
Para calcular la varianza de los siguientes valores, es necesario:
Obtener la media aritmética de los mismos:
Nombre María Elena Carlos Fernando Alicia Carolina
Edad (años) 16 18 17 16 15 19
16 + 18 + 17 4-16 + 15 + 19 = 101
101/6 = 16.83
Restar a cada valor la media aritmética obtenida (16.83):
16-16.83 =-0.83
18-16.83 =1.17
17-16.83 =0.17
16-16.83 =-0.83
15-16.83 =-1.83
19-16.83 =2.17
Elevar cada resultado al cuadrado:
(-0.83)2 =0.68
(1.17)2 =1.36
(0.17)2 =0.02
(-0.83)2 =0.68
(-1.83)2 =3.34
(2.17)2 =4.70
4. Sumar los resultados:
0.68 + 1.36 + 0.02 + 0.68 + 3.34 + 4.70 = 10.78
5. Dividir el resultado entre el número de datos:
10.78/6 = 1.79
Varianza = 1.79
Pierre de Fermat
(1601-1665)
Matemático francés,
continuador de la obra
de Diofanto en el campo
de los números enteros
y cofundador del estudio
matemático de la
probabilidad, junto con
Pascal, y de la geometría
analítica, junto con
Descartes. Mantuvo
correspondencia con
los grandes científicos
de su época y gozó ya
en vida de gran estima y
reputación.
De talante modesto,
Pierre de Fermat sólo
llegó a dar a la imprenta
una monografía e hizo
públicos algunos de sus
mayores descubrimientos
por medio de breves
comunicaciones verbales
y epistolares. Tenía la
costumbre de anotar,
en los márgenes de los
libros que leía, sus ideas
y sus descubrimientos,
desgraciadamente sin
sus demostraciones,
por falta de espacio.
Superando no pocas
dificultades, sus escritos
fueron publicados
postumamente por su
hijo Samuel en 1679.
42

Desviación estándar
La desviación están d ar (a) se define com o la raíz cuadrada de la varianza. C uando
la desviación están d ar es grande indica que los datos son lejanos a la m edia; la
variación están d ar p equeña indica que los datos e stá n cerca de la m edia.
Si se to m a com o ejem plo la varianza del ejercicio a n terio r para aplicar la d es
viación estánd ar, obtenem os:
V arianza = 1.79 D esviación están d ar = Vl.79 = 1.337
Resuelve
Ejercicio O
Los siguientes datos representan los puntajes de 10 estudiantes del grupo escolar en
un test de agudeza visual:
Agudeza visual 22 12 16 21 24 29 13 41 19 16
Calcula:
Moda Mediana
Media aritmética Varianza
Desviación estándar Rango
Ejercicio O
A un grupo de 20 personas se les preguntó la cantidad de hermanos que tienen; los
registros fueron:
5,8 ,3 ,3, 6, 7,3 ,6, 7, 4, 6,9, 5 ,6, 7, 4, 4, 6,8, 7
EF P
T * Z
L P E D
7 E C F D
e d r c z P
F E I O I Z D
d e f f o t e c
L i r O B V C T
7BVZ.TOIO
r a s o i o r * »
Calcula:
Moda Mediana
Ejercicio ({fy
En un parque aledaño a una escuela primaria de la zona metropolitana de Guadalaja
ra se encuesto a 20 niños sobre el grado escolar que se encuentran cursando; estos
fueron los registros:
5, 3, 6, 5,4, 5, 2, 5, 6, 5, 4, 6, 3,4, 6, 4, 3, 2, 5,4
Calcula:
Moda Mediana
43

Ejercicio 0
1. Realiza un estudio estadístico en el que la población total sean todos los estu
diantes de primer semestre de tu preparatoria.
2. Analiza la cantidad de personas que conformarán tu muestra para que el resulta
do sea significativo.
3. Elabora una tabla de registro de datos.
Alumno Alumno Alumno Alumno
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
46 47 48 49 50
51 52 53 54 55
56 57 58 59 60
61 62 63 64 65
66 67 68 69 70
71 72 73 74 75
76 77 78 79 80
81 82 83 84 85
86 87 88 89 90
91 92 93 94 95
96 97 98 99 100
a) ¿Cuál es el objetivo de tu estudio?
b) ¿Cuál fue el rango de datos más común obtenido en tu muestreo?
c) ¿De cuántas personas se conformó tu muestra y por qué?
d) ¿De cuántas personas se conformó tu población?
Evaluación sumativa
44

e) Con respecto a la población total y tu muestra, ¿el resultado de tu estudio es
f) ¿Qué tipo de muestreo utilizaste para resolver el ejercicio?
Ejercicio O
Abajo aparecen los registros por continente hasta el 2008 del número de personas
con v ih . Elige una gráfica para mostrar el porcentaje de contagiados por continente.
Continente Personas con v i h
África 23 000 000
Asia 6400 00
América 3 130 000
Europa 730 000
Oceanía 74 000

Ejercicio (fl)
Una empresa dedicada a la cría de pollos quiere conocer el estado general de engor
da de su producto, para ello registra el peso de 40 de sus pollos listos para la venta.
Los datos obtenidos son (en kilogramos):
3.9,4.7, 3.7, 5.6,4.3,4.9, 5.0, 6.1, 5.1, 4.5, 5.3, 3.9, 4.3, 5.0, 6.0, 4.7, 5.1,4.2,
4.4, 5.8, 3.3,4.3,4.1, 5.8, 4.4,4.8, 6.1,4.3, 5.3,4.5,4.0, 5.4, 3.9,4.7, 3.3,
4.5, 4.7, 4.2, 4.5,4.8
Determina:
1. ¿Cuál es la población objeto de estudio?
U , ' ESTADÍSTICA «
2. ¿La variable es cualitativa o cuantitativa? ¿Qué tipo de variable es?
3. Elabora una tabla de distribución de frecuencias con los datos obtenidos. No
olvides definir las clases para organizar los datos.
46

Ejercicio ©
En el bosque La Primavera una de las especies que se encuentran en peligro de extin
ción es el venado cola blanca. Un grupo de investigación de la Universidad de Gua
dalajara asignado a esta área registró los ejemplares adultos que ha podido localizar
y ha estimado el peso de cada uno.
Los siguientes datos muestran el peso en kilogramos y el género de los animales
registrados entre enero y diciembre de 2010. Se ha tomado la precaución de no regis
trar al mismo ejemplar dos veces.
Hembras: 27, 25, 26, 29, 26, 30, 35, 29, 32, 26, 29, 31, 30, 27, 29, 32, 29,
29, 29, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 28, 27, 29, 24, 25
Machos: 38,35, 34, 35, 38,43, 39,42, 38,48,47, 38, 39,43,47,39, 50, 39,45,47
Determina la mediana, la moda y la media de cada género de venado.
Hembras Machos
Mediana
Moda
Media
Ejercicio O
Un grupo de investigadores de la Universidad de Guadalajara están analizando el
efecto que tiene un cierto nutriente para el crecimiento de una especie de maíz crio
llo. Luego de suministrar el tratamiento se registró la altura en centímetros de una
muestra de 50 plantas, sometidas a las mismas condiciones:
152 136 115 143 145 157 118 151 139 119
125 113 133 118 141 127 143 125 119 116
140 117 169 122 133 143 128 140 143 124
116 112 160 141 166 119 131 131 128 122
118 123 167 126 125 163 115 120 149 116
Determina el valor mínimo, el valor máximo, el rango, el promedio, la varianza y
la desviación estándar.
Valor mínimo Valor máximo
Rango Promedio
Varianza Desviación estándar

Actividad integradora i
Reúnete con tu equipo de trabajo y de manera organizada realicen la siguiente activi
dad. Una vez que hayan concluido, efectúa la coevaluación y la autoevaluación. Luego
entrégale a tu profesor el trabajo terminado.
Se requiere conocer cuál es el género musical favorito de los alumnos de su prepa
ratoria, así como el tiempo que dedican cada día a escuchar música.
Recaben la información necesaria y contesten lo siguiente:
¿Cuántos alumnos hay en el plantel educativo al que pertenecen?
Si desearan saber cuáles son los tres géneros musicales favoritos de los alumnos
de su escuela y el tiempo que dedican al día a escuchar música, ¿de cuántas
personas debe ser su muestra para que sea significativa y por qué creen que
debe constar de esa cantidad de personas?
Entrevisten a todos los alumnos de su muestra.
Analicen los datos y determinen qué tipo de gráfica es conveniente para represen
tar los datos obtenidos en su encuesta. Justifiquen su respuesta.
Representen la información obtenida sobre el género musical favorito en la gráfica
que eligieron.
48

ACTIVIDAD INTEGRADORA 1
Interpreten la gráfica resultante: ¿qué pueden comentar sobre el gusto musical de
su preparatoria?
Calculen la media aritmética, mediana, moda, varianza, desviación estándary ran
go del tiempo que dedican los alumnos a escuchar música.
Media aritmética Mediana
Moda Varianza
Elaboren una conclusión a partir de los resultados obtenidos.
49

Coevaluación
Valora el desempeño de uno detus compañeros (tu profesorte indicará quién) tomando
en cuenta los aspectos que se proponen.
Sí No ¿Por qué?
¿Consideras que la muestra de
alumnos que tomó tu compañero
es significativa?
¿Eltipo de gráfica que utilizó tu
compañero es la misma que tú
utilizaste?
Enel producto integrador de tu
compañero,¿crees que se omitió algo
importante?
¿Haygran diferencia entre lamedia
aritmética,lamediana y la moda
obtenidas por tu compañeroylas
tuyas?
¿Haygran diferencia entre la
varianza,la desviación estándar yel
rango obtenidos por tu compañero y
los tuyos?
50

Autoevaluación
Reflexiona y contesta de manera honesta tu propio avance, evaluando cada uno de
los atributos de las competencias desarrolladas.
Expreso ideas y conceptos mediante
representaciones lingüísticas,
matemáticas o gráficas.
Sigo instrucciones y procedimientos
de manera reflexiva, comprendiendo
cómo cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de un objetivo.
Ordeno información de acuerdo a
categorías, jerarquías y relaciones.
51

Resolver ejercicios numéricos atendiendo
la jerarquía de las operaciones.
Aplicar la comparación de fracciones en
situaciones concretas.
Resolver operaciones con fracciones
decimales.
Realizar operaciones básicas con
fracciones comunes.
Realizar conversiones de números
decimales a racionales y viceversa.
Identificar los elementos de una variación
proporcional directa e indirecta.
Calcular porcentajes para solucionar
problemas cotidianos.
Aplicar los conocimientos relativos a
los criterios de divisibilidad, de mcd y
mcm, así como las propiedades de los
múltiplos y divisores para la resolución
de problemas.
Aprender procedimientos básicos para
representar y operar expresiones con
números racionales.
Aplicar correctamente las leyes de
los signos en operaciones algebraicas.
BJETIVOS DE APRENDIZAJE

Números primos y números compuestos
► En parejas, haciendo una remembranza de los conceptos divisibilidad, mínimo
común múltiplo (mcm), máximo común divisor (mcd), números primosy números
compuestos, comenta con tus compañeros cuál es la definición de estos concep
tos, para qué te pueden servir y dónde se utilizan.
► Después realiza de manera individual las siguientes actividades:
1. Al comprar Juan 26 manzanas gala, 30 manzanas verdes y 18 manzanas criollas
pensó entre qué números serían divisibles estas tres cantidades y cuáles serían
su mcm y mcd.
¿Cómo lo resolverías? Utiliza las reglas de divisibilidad, el mcm y el mcd para
ayudar a Juan a resolver su problema.
2. Dos hermanos van desde su casa hasta la tienda para comprar golosinas. Uno
de ellos, Pablo, va cada 8 minutos; el otro, Benjamín, hace su trayecto cada 12
minutos. Coincidieron cuando eran las 10 horas y 8 minutos,
a) ¿Cada cuánto tiempo volverán a coincidir? Para que te resulte más sencillo
contestar hemos escrito los primeros múltiplos de 8 y de 12, hemos marcado
los números que son comunes a las dos cantidades y anotamos cuál es el
menor de ellos, es decir, el mcm (8 y 12). Trata de hacerlo tú.
8 16
12 24
mcm (8 y 12) = _________________________
Vuelven a coincidir cada minutos.
b) ¿A qué hora volverán a coincidir?
1 10 h 8 m in
2 10 h 20 m in
c) Por cada seis viajes que haga Pablo, ¿cuántos viajes realizará Benjamín?
Para empezar
K-p| Aplicarás los
f i i conocimientos
relativos a los criterios
de divisibilidad, de
mcd y mcm, así como
las propiedades de los
múltiplos y divisores
para la resolución de
problemas.
54

Conoce
La d ivisilidad es u n a p a rte de la a ritm é tic a q ue se refiere a la c o n d ició n qu e tie n e
u n n ú m e ro de ser dividido p o r o tro e n fo rm a ex acta, es decir, se tra ta de la cap a
cidad de u n v alor de d iv id irse e n p a rte s m en o res de la m ism a m a g n itu d .
A hora, lee d e te n id a m e n te los sig u ie n te s conceptos:
► N u m e r o s n a t u r a l e s Los n ú m e ro s n a tu ra le s so n los n ú m e ro s que sirv en p ara
co n tar: N = {0,1,2,3...}.
► N ú m e ro s e n te ro s . Son los n ú m e ro s n a tu ra le s y su s in v erso s ad itiv o s: Z =
{ ...,-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,...} .
► Nlim ero s p rim o s Son los n ú m e ro s qu e sólo tie n e n dos divisores: la u n id a d y
él m ism o.
► N u m ero s com í Son los n ú m e ro s en te ro s que tie n e n m ás de dos div i
so res n atu ra le s.
► M ú l t i p l e El m ú ltip lo de u n n ú m e ro n a tu ra l so n los p ro d u cto s qu e se o b tie
n e n cu an d o se m u ltip lic a dich o n ú m e ro p o r todos los n ú m e ro s n atu ra le s.
► D iv iso r d e u n n ú m e ro e n te ro . N ú m ero e n te ro a es div iso r de u n n ú m e ro
e n te ro b cu an d o a divide a b de m a n e ra exacta.
Ejercicio [)
Relaciona las siguientes colum nas:
1. Divisor El 36 de 6
2. Número com puesto El núm ero 3
3. Número primo Del 12 y 18 es 6
4. Múltiplo El núm ero 16
5. Máximo común divisor El 7 de 14
6. Mínimo común m últiplo Del 12 y 18 es 36
Ejercicio O
En la siguiente tabla encierra con diferente color en un círculo el núm ero 2 y tacha
todos sus m últiplos; encierra el núm ero 3 y tacha todos sus m últiplos; encierra el 5
y tacha todos sus m últiplos; haz lo mismo con el 7 y el 11. Finalm ente encierra todos
los que te quedaron sin tachar.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 1 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 8 6 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 10 0
Resuelve

1. Escribe los números primos que hay entre el 1y el 100.
DIVISIBILIDAD <
2. ¿Cómo defines los números que encerraste?
3. ¿Cómo defines los números que tachaste?
4. ¿Cuál es tu conclusión de esta actividad?
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que perm iten determ inar si u n núm ero
es divisible o no entre otro sin necesidad de realizar una operación.
► D ivisibilidad en tre 2. U n núm ero es divisible entre 2 si y sólo si el últim o
dígito es cero o u n núm ero par.
Ejemplos
El 14 es divisible entre 2 porque term in a en cifra par.
El 30 es divisible entre 2 porque term in a en 0.
► D ivisibilidad e n tre 3. U n núm ero es divisible entre 3 si y sólo si la sum a de
todos sus dígitos es u n m últiplo de 3.
Ejemplos
El 96 es divisible entre 3 porque 9 + 6 = 15, que es m últiplo de 3.
El 1011 es divisible entre 3 porque l + 0 + l + l = 3, que es m últiplo de 3.
Un núm ero es divisible entre 4 si y sólo si term ina en
00 o sus dos últim as cifras form an u n núm ero divisible entre 4.
Ejemplos
El 7100 es divisible entre 4 porque las dos últim as cifras son 00.
Conoce más
56

El 924 es divisible entre 4 porque el núm ero que las dos últim as cifras
conform an, 24, es divisible entre 4.
► D iv isib ilid ad e n t r e 5. Un núm ero es divisible entre 5 si y sólo si term ina en 0
o en 5.
Ejemplos
El núm ero 570 es divisible entre 5 porque term ina en 0.
El núm ero 735 es divisible entre 5 porque term ina en 5.
► D iv isib ilid ad e n t r e 6 Un núm ero es divisible entre 6 si y sólo si es divisible
entre 2 y entre 3 a la vez.
Ejemplos
El núm ero 510 es divisible entre 6 porque term ina en 0,es decir, es divisi
ble entre 2 y al sum ar sus cifras 5 + 1 + 0 = 6 ,que es m últiplo de 3.
El núm ero 456 es divisible entre 6 porque term ina en par, lo que lo hace
m últiplo de 2,y su sum a es 15, m últiplo de 3.
► D iv isib ilid ad e n t r e 7. Un núm ero es divisible entre 7 si y sólo si la diferencia
entre el núm ero m enos el producto de m ultiplicar por 2 la cifra correspon
diente a las unidades es m últiplo de 7.
Ejemplos
El núm ero 3 934 es divisible entre 7 porque 393 - 4 (2) = 385,y 3 8 -5 (2) = 28,
que es múltiplo de 7.
El núm ero 1 855 es divisible entre 7 porque 185 - 5 (2) = 175,y 1 7 -5 (2) = 7,
que es múltiplo de 7.
► D iv isib ilid ad e n t r e Un núm ero es divisible entre 8 si y sólo si sus últim as
tres cifras son 000 o form an un m últiplo de 8 .
Ejemplos
El número 117 000 es divisible entre 8 porque sus últim as tres cifras son 000.
El núm ero 31 048 es divisible entre 8 porque sus últim as tres cifras, 048,
integran un m últiplo de 8 .
► Divisibilidad e n t r e 9 Un núm ero es divisible entre 9 si y sólo si la sum a de
sus cifras es m últiplo de 9.
Ejemplos
El núm ero 981 es dividible entre 9 porque la sum a de sus cifras 9 + 8 + 1 =
18, m últiplo de 9.
El núm ero 5 877 es divisible entre 9 porque la sum a de sus cifras 5 + 8 + 7 +
7 = 27,múltiplo de 9.
► D iv isib ilid ad e n t r e 10. Un núm ero es divisible entre 10 si y sólo si el últim o
dígito es 0 .

DIVISIBILIDAD
Ejemplos
El n ú m ero 5 870 term in a en cero, entonces es divisible en tre 10.
El n ú m ero 139 810 te rm in a en cero, en to n ces es divisible en tre 10.
► D i v i s i b i l i d a d e n t U n n ú m ero es divisible en tre 11 si y sólo si la diferen
cia en tre la su m a de los dígitos de posición par m enos la sum a de los dígitos
en posición im p ar es 0 o m últiplo de 1 1 .
Ejemplos
El n ú m ero 50 479 es divisible en tre 11 porque 5 + 4 + 9 = 18 (posición im
par) m enos la su m a de 0 + 7 = 7 (posición par), es decir, 18 - 7 = 11, que es
m últiplo de 1 1 .
El n ú m ero 790 273 es divisible en tre 11 porque 7 + 0 + 7 = 14 (posición
im par) m enos la su m a de 9 + 2+ 3 = 14 (posición par), es decir, 14 - 14 = 0.
Resuelve
Ejercicio Q
Utilizando los criterios de divisibilidad, en la siguiente tabla determina entre qué
números son divisibles las cantidades de la primera columna.
2 3 4 5 6 7 8 9
665 279
981 785
783 529
4 558 753
7 861
92177
7 341
87 562
34 784
543 865
125 718
418 642
31048
39 721
58

DIVISIBILIDAD
Ejercicio o1. Calcula todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 700 y 1 500.
IMPORTANTE
Los criterios de divisibilidad
2. Descompon en factores primos los siguientes números: 65,93, 316,160, 322. son ciertas señales que nos
permiten conocer por simple
inspección si un número es
. . . . . . . . . . . divisible entre otro.
3. Factoriza 384 y calcula la cantidad de divisores.
4. ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles entre 11? 25, 55,87,670,45 067,
8 111, 209, 768 023, 800 030, 6 571 99, 45 600 110.
5. ¿Cuál es el menor número que debe sumarse a 803 842 para obtener un múltiplo
de 11?
Mínimo común múltiplo
Conoce más
El mínimo común múltiplo (abreviado mcm) de dos o más números naturales es
el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo aplica con números
naturales, es decir, no con decimales. Para hallar el mcm de varios números estos
se descomponen en factores primos en una tabla y el producto de estos es el mcm.
Ejemplos
Múltiplos de 12: {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108,120...}
Múltiplos de 18: {18, 36, 54, 72, 90,108,126,144,162...}
Múltiplos comunes son: {36, 72,108...}
mcm (12,18) = 36
Múltiplos de 6: {6,12,18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72...}
Múltiplos de 3: {3, 6, 9,12,15,18,21, 24, 27, 30, 33, 36, 39...}
Múltiplos comunes son: {6,12,18, 24, 30, 36...}
mcm (6,3) = 6
El mínimo común múltiplo es el número más pequeño entre el cual dos
o más números se pueden dividir de forma exacta.
Ejemplos
6, 9, 15 2
3, 9, 15 3
1, 3, 5 3
1, 1, 5 5
1, 1, 1
mcm (6,9,15) = 2 •3 •3 •5 = 90
NOTA
INFORMATIVA
Comprueba fácilmente en
este enlace si un número
es divisible exactamente
entre otro:
http://www.
disfrutalasmatematicas.com/
numeros/reglas-divisibilidad.html
59

64, 144, 216 2
32, 72, 108 2
16, 36, 54 2
8, 18, 27 2
4, 9, 27 2
2, 9, 27 2
1, 9, 27 3
1, 3, 9 3
1, 1, 3 3
1, 1, 1
m cm (64,144,216) = 26 • 32 = 576 • 3 = 1 728
Analiza el siguiente planteam iento: un faro se enciende cada 12 segundos,
otro cada 18 segundos y u n tercero cada m inuto. A las 6:30 de la tarde los tres
coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco m inutos si
guientes (debemos tener todos los tiem pos en la m ism a unidad, por ejem plo en
segundos):
12 = 22 • 3
18 = 2 *32
60 = 22 • 3 • 5
m cm (12,18,60) = 22 • 32 • 5 = 180
180 60 = 3
Coinciden cada 3 m inutos, por tanto en los 5 m inutos siguientes sólo coinci
den una vez, a las 6:33 horas.
Máximo común divisor
Conoce más
El m áxim o com ún divisor (se abrevia mcd) de dos o m ás núm eros enteros es el
mayor núm ero que los divide sin dejar residuo.
Ejemplo
El m cd de 12 y 30:12 se puede dividir entre 1 (= 12), tam bién 30 puede divi
dirse entre 1 (= 30); el 1 es el prim er divisor com ún. El 12 tam bién se puede
dividir entre 2 (= 6 ), el 30 asim ism o lo podemos dividir entre 2 (= 15); el 2
es el segundo divisor com ún. El 12 se puede dividir entre 3 (= 4), y el 30 lo
podemos dividir entre 3 (= 10); el 3 es el tercer divisor com ún. El 12 se puede
dividir entre 4 (= 3),pero el 30 no se puede dividir exactam ente entre 4 (= 7.5),
por lo tanto el 4 no es com ún divisor de 12 y 30.El 12 no se divide exactam en
te entre 5 (= 2.4), aunque 30 sí(= 6 ); el 5 tam poco es com ún divisor de 12 y 30.
El 12 es divisible entre 6 (= 2), así como el 30 (= 5), entonces 12 y 30 tienen en
com ún que pueden dividirse entre 1 , 2 ,3 y 6 , como este últim o es m ayor que
los otros, 6 es el m cd de 12 y 30.
60

¿Cuál utilizo, el mcm o el mcd?
El mínimo común múltiplo es el menor de los múltiplos comunes naturales de
varios números. Se suele utilizar, por ejemplo, para saber cuándo coinciden cier
tos objetos.El máximo común divisor es el divisor más grande de varios números.
Por regla general, cuando en una situación te pidan dividir alguna cifra o
cifras, utilizarás el mcd,y cuando te pidan hallar un número mayor al que te dan
como dato, utilizarás el mcm.
El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes. Para hallar el máximo común divisor de dos o más números,
por ejemplo, mcd de 12 y 18, se siguen estos pasos:
Se descompone cada número en pro
ducto de factores primos.
t
El producto de estos factores comunes
elevados al menor exponente es el máxi
mo común divisor de los números dados.
Ejemplo
mcd (64,144,216)
26, 2432,2 333
23= 8
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor múlti
plo común distinto de cero. Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más
números se siguen estos pasos:
t
Se descompone cada número en produc
to de factores primos.
é El producto de estos factores comunes
elevados al mayor exponente y de los no
comunes es el mínimo común múltiplo de
los números dados.
Resuelve
Ejercicio O
Calcula el mcm y el mcd de las siguientes cantidades.
1. 14y 16
2. 328 y 478

DIVISIBILIDAD
3. 248 y 136
4. 400 y 1000
5. 13,26y 48
Ejercicio O
Resuelve los siguientes planteamientos, elige entre el mcm o el mcd, el que creas
conveniente.
1. Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en
Barcelona. ¿Dentro de cuántos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
2. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo
que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además,
el mayor número posible. Halla el número de naranjas de cada caja y el número de
cajas necesarias.
3. Tres corredores dan una vuelta completa a un circuito en 7,15 y 30 minutos respec
tivamente; si salieron a las 10 am y siguen a esa velocidad, ¿a qué hora volverán a
encontrarse?
62

2.2 ? Números racionales
■m
Qgf Aprenderás
........................................................... f i á procedimientos
¿Que son los números racionales? básicos para repreSentar
y operar expresiones con
Los núm eros racionales o fraccionarios son todos los núm eros que pueden es- números racionales,
cribirse como una razón,fracción o cociente y , donde a es algún núm ero entero (al
que se le llam a el num erador de y ) y b * 0 es algún núm ero natural (al que se le
llam a el denom inador de y ) .
Todos los núm eros enteros son núm eros racionales, ya que el núm ero entero
a puede escribirse como la fracción y .
Este conjunto está situado en la recta real num érica, pero a diferencia de los
núm eros naturales (que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue el 5 y a este el 6 )
y de los núm eros negativos (cuya consecución se da así: a -9 le sigue - 8 y a este -7),
los núm eros racionales no poseen consecución, pues entre cada núm ero racional
existen infinitos núm eros, que podrían ser escritos durante toda la eternidad.
Todos los núm eros fraccionarios son núm eros racionales y sirven para re
presentar medidas. A veces es m ás conveniente expresar u n núm ero de esta m a
nera que convertirlo a decim al exacto, por la gran cantidad de decim ales que se
podrían obtener.
Al conjunto de los núm eros racionales se lo denota con la letra Q, que viene
de la palabra anglosajona quotient, cuya traducción literal es “cociente”.Este sím
bolo sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los núm eros reales y junto
a los núm eros enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se re
fieren a los núm eros racionales como núm eros Q. Los núm eros irracionales son
todos los núm eros reales que no son racionales.
Un núm ero racional puede ser expresado de diferentes m aneras, sin alterar
lo, m ediante fracciones equivalentes. Por ejemplo, y puede ser expresado como
y o y , porque estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación
de los núm eros racionales dependiendo de su expresión decimal:
► N úm eros racionales lim itados cuya representación decim al tiene un n ú
mero determ inado y fijo de cifras, por ejem plo y , que es igual a 0.125.
► Núm eros racionales periódicos, de los cuales sus decim ales tienen un n ú
mero ilim itado de cifras, pero se diferencian de los núm eros irracionales por
que de esas cifras se puede descubrir u n patrón definido, m ientras que en los
núm eros irracionales sus cifras decim ales son infinitas y no periódicas.
A su vez los núm eros racionales periódicos se dividen periódicos puros,
cuyo patrón se encuentra inm ediatam ente después del punto, por ejemplo
0.6363636363... y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra
después de un núm ero determ inado de cifras,por ejemplo 5.48176363636363...
Se le llam a fracción decim al a la expresión de un núm ero racional en nota
ción decim al (por ejemplo, la expresión de y como fracción decim al es 0.125).
Conoce
r
63

NÚMEROS RACIONALES <
Propiedades de los números racionales
Para cada operación aritm ética básica existen distintas propiedades de los n ú
m eros racionales. Las propiedades de la sum a y la resta son:
► Propiedad inter Al sum ar dos núm eros racionales el resultado siem pre
será otro núm ero racional, aunque este resultado puede ser reducido a su
m ínim a expresión si el caso lo necesitara: a b + cd = e f.
► Propiedad asociad Si se agrupan los diferentes sum andos racionales el
resultado no cam bia y seguirá siendo un núm ero racional: (£ + 7 ) + 7 =
■(*?*>
► Propiedad conn En la operación, si el orden de los sum andos varía el
resultado no cam bia, de esta m anera: £ + 7 = 7 4- 7 .
neutrc Es el núm ero 0 = y: el núm ero obtenido al sum ar 0 con
cualquier otro núm ero racional es el m ism o núm ero racional: £ + 0 = £.
► Inverso aditivo o elem ento opuesto. Propiedad de los núm eros racionales
según la cual para cada núm ero racional £, existe un núm ero racional q tal
que f + q = O.De hecho, q = f = (-1) £ = - £ .
Las propiedades de los núm eros racionales para la m ultiplicación y la divi
sión son:
► Propiedad inter En razón de que al m ultiplicar núm eros racionales el re
sultado tam bién es un núm ero racional: de hecho, £ • 7 = -¡7 . Esta adem ás
aplica con la división: de hecho £ 4-7 = £ •— = siem pre que 7 * 0 .
► Propiedad asociativ; Al agrupar diferentes factores la forma de la agrupa
ción no altera el producto: (£ + 7 ) • j = £ • ( 7 + j
► Propiedad conm uta Aquí se aplica la fam osa frase “el orden de los facto
res no altera el producto”, que entre los núm eros racionales tam bién funcio-
a c c a
b * d ~ d * b '
► Propiedad ti Al com binar sum as y m ultiplicaciones, el resultado
es igual a la sum a de los factores m ultiplicado por cada uno de los sum andos;
veamos el ejemplo: f • ( 7 + 7 ) = £ • 7 + £ •7 .
► Elemento n En la multiplicación y la división de números racionales exis
te un elemento neutro que es el núm ero 1 , cuyo producto o cociente con otro
núm ero racional dará como resultado el mismo número: £ • ! = £, £ ■*1 = £•
O
Ley de los signos
Para empezar
Fernando recibe 300 pesos cada semana para solventar sus gastos. Dada el alza de pre
cios en alimentos y transporte, sus padres quieren saber si es suficiente el dinero que le
dan a Fernando semanalmente, por loque le preguntaron a su hijo en qué gasta el dinero.
Fernando utiliza el transporte público de lunes a viernes, toma un autobús de ida
y uno de regreso, el pasaje cuesta 6 pesos; en alimentos Fernando gasta en prome
dio, de lunes aviernes, 35 pesos diarios; en material de papelería, 30 pesos semana
les; sus gastos por impresiones y uso de computadora son de 50 pesos semanales.
Aplicarás
Bifecorrectamente la
ley de los signos en
operaciones algebraicas.

NUMEROS RACIONALES
1. Representa el problema anterior en una operación matemática.
2. ¿Cuánto gasta Fernando semanalmente en transporte?
3. ¿Cuánto gasta Fernando en total cada semana?
4. ¿Es suficiente el dinero que recibe Fernando semanatmente?
5. Si Fernando recibiera 50 pesos extra semanalmente, ¿cuanto le sobraría aproxi
madamente cada semana?
Conoce
La ley de los signos corresponde y atiende a los núm eros positivos y negativos de
los núm eros enteros. Se ocupa del sentido de los núm eros y utiliza los signos + y
el signo + es no m b rad o “m á s” y corresponde a los n ú m ero s positivos, m ie n tra s
el signo - recibe el nom bre de “m enos”, corresponde al negativo y es el signo de
los núm ero s negativos.
En relación con la su m a y la resta de núm ero s enteros, el resultado será posi
tivo en el caso del signo + y negativo en el caso del signo
En el caso de la m ultiplicación y la división, sólo corresponde el positivo si
am bos n ú m ero s son positivos y negativo si algún térm in o es positivo y su con
trap arte negativo. Lo m ism o sucede en las ecuaciones algebraicas.
Multiplicación División
(+ )* (+ ) = +
+
II
■I-
(-)* (-) = + (-) + (-) = +
(+ )• (-) = - (-) + (+) = -
(- )• (+ ) = - (+) + (-) = -
Suma Resta
(+) + (+) = + (+) + (+ ) = +
(-) + (-) = - (-) + (-) = -
(-) + (+) = svm * (-) + (+ ) = svm*
(+) + (-) - svm* (+ ) + (-) = svm*
» SE APLICA
EN...
Los números negativos y
los positivos se utilizan
más de lo que adviertes
en la vida cotidiana; por
ejemplo, cuando gastas
más de lo que percibes
tu saldo se representa
con números negativos
o números rojos, en este
caso podríamos decir
que corresponden a tus
cuentas por pagar.
NOTA
INFORMATIVA
También puedes pensar
cada signo menos como
un cambio de dirección: si
estás caminando en una
dirección y decides cambiar
de rumbo un par de veces,
el cambio se anula.
*signo de valor mayor
65

NÚMEROS RACIONALES «
O bservem os las siguientes operaciones de núm eros positivos y negativos.
5 + 6 = 11
5 - 6 = -1
-5 + 6 = 1
- 5 + -6 = -11
A unque las operaciones presentadas son m uy parecidas, los resultados son
totalm ente distintos, esto se debe al signo que posee cada núm ero. Según los re
sultados obtenidos podem os deducir:
► Si dos núm eros poseen el m ism o signo, entonces los núm eros se sum arán y
se quedara el m ism o signo:
IMPORTANTE
Ley de los signos
Suma y resta
+ + +
- - -
+ - signo del mayor
número
__ +
5 + 6 = 11
-5 + -6 = -11
Si dos núm eros poseen diferente signo, entonces se resta el m enor del m ayor
y se queda el signo de la m ayor cantidad:
5 - 6 = -1
-5 + 6 = 1
A nalicem os el prim er ejem plo. En 5 + 6, al núm ero 5 no le antecede nin g ú n
signo, por lo tan to es positivo. Si se trata de dos núm eros positivos, estos deben
sum arse, lo que da com o resultado el m ism o signo:
5 + 6 = 11
En el segundo ejem plo tenem os u n núm ero positivo y uno negativo. Se resta
el núm ero m enor (5) del m ayor (-6) y se queda el signo de la m ayor cantidad (-):
5 + -6 = -1
En el tercer ejem plo tenem os prim ero u n núm ero negativo y después uno
positivo. Se resta el núm ero m enor (-5) del m ayor (6) y se queda el signo de la
m ayor cantidad (+):
-5 + 6 = 1
En el últim o ejem plo tenem os am bos núm eros con signo negativo. Se sum an
am bas cantidades (5 + 6) y se queda el signo que com parten (-):
-5 + -6 = -11
Para resolver problem as de signos positivos y negativos puedes recurrir a la
recta num érica:
6 6

NÚMEROS RACIONALES
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
A partir de O,avanza o retrocede el número de espacios que te indique cada
número; si el signo es el positivo avanza a la derecha, si es negativo retrocede
hacia la izquierda, por ejemplo:
5 - 6 = -1
Apartir del O,avanza 5 espacios hacia la derecha y ubícate en el número 5:
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Ahora desde el número 5 positivo que es la posición en la que nos encontra
mos, retrocede 6 espacios como lo indica el signo negativo (-).
I II I I I I I I I1 1 1 1 1 1 1 1 1
I
co—
I
I I I I I I I I
7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 (
1 1 1 1 I I I I 1
) 1 2 3 4 5 6 7 8
La última posición es el resultado de la operación:
i
1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
-8 -
1 1 1 1 1 1 1 1
7 _6 -5 -4 -3 -2 -1 (
| 1 1 I I I I I 1
) 1 2 3 4 5 6 7 8
NOTA
INFORMATIVA
Cuando tenemos una suma
de números positivos con
negativos como en este
ejemplo: (6) + (-3) = 3, se
debe aplicar la ley de los
signos: si multiplicas el
signo positivo del 6 por el
negativo del 3, el resultado
es una resta:
6 - 3 = 3
(6) - (-3) = 9
6 + 3 = 9
T i m ¿SABÍAS
^ QUE...?
En Europa, los números
negativos y las reglas
de los signos aparecen
mucho después, al buscar
la solución de ecuaciones.
El matemático italiano
Cardano (1501-1579) era
muy diestro en la solución
de ecuaciones y llamaba a
los negativos “cantidades
defectuosas” y a los
positivos “cantidades
abundantes”.
En el caso de la multiplicación es diferente, veamos los siguientes ejemplos:
5*6 = 30 6 -h2 = 3
-5 *6 = -30 -ó-r-2 = -3
5 • -6 = -30 6-r—2 = —3
-5 • -6 = 30 -6 -■—2 = 3
Por los ejemplos anteriores y sus resultados podemos deducir lo siguiente:
Al multiplicar o dividir dos números con mismo signo el resultado será
positivo.
5*6 = 30 6 ^ 2 = 3
-5 • -6 = 30 -6 -r--2 = 3
IMPORTANTE
Ley de los signos
Multiplicación
( + ) • ( + ) = +
( + ) • ( - ) = -
(- ) • ( + ) = -
(-) • ( - ) = +
División
(+ ) - ( + ) = +
( + ) - ( - ) = ■
( - ) - ( + ) = -
(-) - ( - ) = +
67

► Al m u ltip licar dos núm ero s con d istin to signo, el resultado será negativo.
-5 •6 = -30 -6 -h 2 = -3
5 *-6 = -30 6 + -2 = -3
Resuelve
Ejercicio D
Realiza los siguientes ejercicios de la ley de los signos:
1. 6 -2 = 6. 2 -6 =
2. -3 + 3 = 7. -1 + 9 =
3. -6 + 7 = 8. -9 + 10 =
4. -12-9 = 9. -4 -10 =
5. 8 + 2 = 10. 2 -7 =
Ejercicio O
Imagina que comienza el semestre escolar y necesitas comprar los artículos nece
sarios para el regreso a clases. Enlista todos los artículos necesarios y en equipos
decidan sobre los precios aproximados de cada uno.
► ¿500 pesos son suficientes para solventar ese gasto? ¿Falta o sobra dinero?
► ¿Cuál es la diferencia entre los 500 pesos y el costo total de los artículos escola
res por comprar? Plantea la operación y resuélvela.
Ejercicio (fl)
Resuelve las siguientes operaciones:
1. 3 -5 -2 + 5 -3 + 6 = 6. 3-5 -6 -3 + 5 -2 + 5 =
2. 5 + 8 + 9 + 2 + l-5 + 4 = 7. 5 + 6 + 4 - 6 - 3 + 2 =
3.
6-4 + 7 -9 -5 + 2 + 1
-6 =
8. -3*8 =
4.
1
CO
•
1
s£>
II
9. 9 .-4 =
5. 6 *-23 = 10. -23 .-53 =
ESPACIO
DIGITAL
En este enlace encontrarás
información del tema, visto
desde otra perspectiva:
http://gauss.acatlan.unam.
mx/pluginfile.php/423/mod_
resource/content/O/SIGNOS/
PDFs_Sig/UNIDAD_1_Guia_
mayo_08.pdf
6 8

NÚMEROS RACIONALES
Jerarquía de operaciones
y signos de agrupación
Para empezar
Resuelve las siguientes operaciones.
1. 2+ 6-4 + 6+ 3 -3 -6 -7 =
2. 4+ 2»4 + 2-3 + 2*5 + 3=
3. -22 + 3• 2+ 3+ 32- V9 =
4. (-2)2 + 23 •2 + 2• 3 (2 + 5) =
5. [(2 • 4)(3 + 2) - 3] + 5 (2 + 23) - 8 =
Resolverás
Ü É ejercicios
numéricos atendiendo
la jerarquía de las
operaciones.
Conoce
Se le llam a jerarquía de operaciones al orden de acciones que realizar para resol
ver ejercicios num éricos. Cada acción posee u n lugar en la jerarquía, en donde la
prioridad se establece de la siguiente m anera: { [() ]} .
Paréntesis, corchetes y llaves son signos de agrupación en una operación, in
dican un todo, el cual debe ser resuelto de adentro hacia afuera, com enzando con
los paréntesis (). Una vez resuelto todo aquello que esté siendo afectado por los
paréntesis, estos desaparecen de la operación.
Los corchetes [ j tienen la segunda prioridad dentro de la jerarquía en signos
de agrupación. Una vez que todos los paréntesis hayan sido resueltos, todo aque
llo que esté siendo afectado por un corchete en una operación m atem ática debe
solucionarse.
Una vez resueltos los paréntesis y corchetes, se deben resolver las operacio
nes agrupadas dentro de las llaves {}.
Una vez resueltos los signos de agrupación, es necesario continuar con po
tencias n*y radicales VF. Estos se resuelven de izquierda a derecha, así es que al
leer la operación en ese orden, ya sea que encuentres una raíz o una potencia,
debe ser resuelta primero.
La siguiente prioridad en la jerarquía de operaciones son m ultiplicaciones (•)
y divisiones (-¡-), que tam bién se resuelven com enzando de izquierda a derecha
conforme aparezcan en la operación.
Por últim o, se resuelven las sum as (+) y restas (-) en orden de izquierda a
derecha.
( ) [ ] { } Paréntesis
a 2 vr ” Potencias y rafees
• -5- Multiplicaciones y divisiones
NOTA
INFORMATIVA
Si en una operación con
paréntesis, corchetes
y llaves a estos no les
antecede o precede un
signo de suma, resta,
división u otro, indican
multiplicación.
Ejemplo:
4 + 2 (3 + 1)
Se resuelve así:
4 + 2-4
4 + 8 = 12
+ - Sumas y restas

Ejemplos
2 + 5 - 3 * 4 + 1 0 - ^ 2 - 4 2 + V9~
Para resolver la operación, prim ero hay que identificar cómo está confor
m ada para tom ar en cuenta las prioridades; según la jerarquía de operacio
nes, debes identificar signos de agrupación, { [()]} , los cuales no están pre
sentes en este ejemplo. Enseguida hay que identificar las potencias y raíces:
2 + 5 - 3 • 4 + 10 -í- 2 - 42 +
Es im portante tom ar en cuenta en esta operación que la potencia al cua
drado sólo está afectando al núm ero 4 y no al signo negativo; dado que la
potencia y raíz son de la m ism a prioridad en la jerarquía, debemos resolver
de izquierda a derecha: com enzam os elevando el núm ero 4 al cuadrado y re
solviendo la raíz cuadrada de 9:
N0TA
INFORMATIVA
Es importante conocer
todos los símbolos que
representan las acciones
al realizar una operación.
Por ejemplo, una división
se puede representar con
cualquiera de estos signos:
-5-,:, a ,/. Y en el caso de la
multiplicación, con estos
signos: x, •,*.
2 + 5 - 3 *4 + 1 0 -^ 2 -1 6 + 3
Una vez resueltas todas las potencias y raíces, hay que identificar la si
guiente prioridad en la jerarquía, por lo tanto debemos resolver m ultiplica
ciones y divisiones. Como tam bién estas tienen la m ism a prioridad, debes
resolverlas de izquierda a derecha:
2 + 5 - 3*4+10 - 2 - 16 + 3
Resolvemos prim ero la m ultiplicación y después la división:
2 + 5-12 + 5-16 + 3
Una vez resueltas m ultiplicaciones y divisiones, procedem os con las su
m as y restas; puedes avanzar de izquierda a derecha o puedes sum ar los po
sitivos, luego los negativos y después sacar la diferencia de ambos:
El resultado de esta operación es -13
Cuando hay signos de agrupación es necesario resolver lo que se encuen
tra dentro de los m ism os, tom ando en cuenta la jerarquía de operaciones, por
ejemplo:
[(2 + 3) + (3 • 2)] -10 + VÍ6 (-5 + 3)2 + 2
En esta operación debemos prim ero identificar los paréntesis y resolver
lo que se encuentra dentro de los mism os. Una vez que se resuelve lo que está
dentro, estos desaparecen y los signos de agrupación de la siguiente priori
dad tom an la form a de paréntesis. Observa el siguiente ejemplo:
[(2 + 3) + (3 • 2)] -10 + Vl6 ■+ 3)2 + 2
/ •
X
E»IMPORTANTE
¡Atención!, no olvides la
ley de los signos en estos
casos:
(-2)2 * -22
(-2)2= 4 ; -22= -4
70

NUMEROS RACIONALES
Resuelve las operaciones de los paréntesis de izquierda a derecha; inde
p endientem ente de que uno de ellos contenga una m ultiplicación y los de
m ás u n a sum a, el resultado es el siguiente:
( 6) - 10 + V l6 >2)2 + 2
Nota que al desaparecer los dos prim eros paréntesis los corchetes tom a
ron la form a de paréntesis. El segundo paréntesis está siendo afectado tam
bién por una potencia al cuadrado y adem ás está m ultiplicando a 16. En este
caso, a diferencia de la operación anterior, el -2 se eleva al cuadrado con su
signo negativo:
(5 + 6) - 10 + VTó • 4 + 2
Resolvem os el prim er paréntesis y obtenem os:
11 - 10 + V Í6 * 4 + 2
Una vez resuelto el contenido de los paréntesis, procedem os a resolver
potencias y raíces:
1 1 -1 0 + 4 . 4 + 2
Resolvem os m ultiplicaciones y divisiones:
1 1 -1 0 + 16 + 2
Por últim o procedem os con sum as y restas y obtenem os el resultado, que
es 19.
Resuelve
Ejercicio O
1.
3 + 5 - 7 (5)2 + V81 + 18 =
2.
(15 - 4) + 3 - (12 - 5 • 2) + (5 + 16 h- 4) -5 + (10 - 23) =
NOTA
INFORMATIVA
6 -7-2 (2 +1)
En este caso, al resolver el
paréntesis y desaparecerlo,
continúa habiendo una
multiplicación, que se
puede representar con un
punto medio:
6 -7-2 •3.
Atendiendo la jerarquía
de operaciones, debes
resolver de izquierda a
derecha, comenzando con
la división, pues ambas
operaciones son de la
misma prioridad en la
jerarquía, por lo tanto:
3*3 = 9.
¿SABÍAS
QUE...?
Aún en la actualidad, hay
calculadoras de marcas
prestigiosas que no logran
atender las prioridades en la
jerarquía de operaciones, tal
es el caso de la operación
6 -r 2 (2 + 1), en donde la
respuesta correcta es 9,
pero algunas calculadoras
responden como 1; a esto
en internet se le ha llamado
el síndrome del paréntesis
invisible.
71

NUMEROS RACIONALES
[15 - (23- 10 h- 2)] - [5 + (3 - 2 - 4)1 - 3 + (8 - 2 - 3) =
3.
{7 + 4 * 3 - [(-2)2• 2 - 6]} + (22+ 6 - 5 • 3) + 3 - (5 - 23-h 2) =
4.
4 40-[30+ 6 (19-12)] =
5.
(5 + 3*2 + 6 - 4) (4 + 2 - 3 + 6) -5-(7 - 8 + 2 - 2)2=
6.
7 .3 + [6 + 2(23+ 4 + 3 .2 )-7 .V 4 ] + 9-h3 =
7.
ESPACIO
DIGITAL
Comprueba tus operaciones
con la excelente herramienta
en línea que encontrarás en:
http://web2.0calc.es/
Comparación entre números racionales
Para empezar
Escribe >, <o = según corresponda:
^ Aplicarás la
I n i comparación
entre fracciones en
situaciones concretas.
Conoce
¿Te has encontrado con algún planteam iento parecido a los que acabas de ver y
no sabes cómo resolverlo? A continuación te darem os las claves para que puedas
hacerlo con facilidad.

NÚMEROS RACIONALES
Es im portante tom ar en cuenta algunos aspectos que facilitarán la solución,
por ejem plo, identificar si alguno de los núm eros que se están com parando es
negativo. Si de esos núm eros uno es negativo y el otro positivo, no busques m ás:
el núm ero positivo siem pre será m ayor que el negativo.
E l IMPORTANTE
Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.
NOTA
INFORMATIVA
Cuando estás comparando
números, sin importar
que sean fracciones o
enteros, conviene utilizar
la recta numérica o la
representación gráfica.
Para saber si 1 es m ayor, m enor o igual que -i- puedes representarlos gráfi
cam ente:
1 = = u n entero.
. r = tres partes de u n entero
que fue dividido en 4 partes iguales.
En el caso de com parar núm eros enteros, puedes consultar la recta num érica.
¿Qué es mayor, -5 o -1?
f e
Q uizá lo prim ero que pensaste fue -5, pero la realidad es que u n núm ero n e
gativo m ientras m ás cerca se encuentre del 0 es m ayor; m ientras que con los
positivos es al revés. La respuesta correcta es -1.
Comparación entre fracciones positivas
► Al com parar fracciones positivas con igual denom inador, es m enor la que tie
ne m enor num erador.
Ejemplo
Si com paras las fracciones -jp , -i- al ordenarlas de m ayor a m enor que
darían:
9 9 9
73

► Al com parar fracciones positivas con igual num erador, es m enor el que tiene
mayor denom inador.
Ejemplo
3 3 3 3
Si com paras las fracciones —,—,—,— al ordenarlas de m ayor a m enor que-
# 5 7 8 13
danan:
3 3 3 3
T" T "5" "Í3
Para dos fracciones positivas con num eradores y denom inadores distintos
puedes recurrir al m étodo de producto cruzado, que consiste en hacer una
m ultiplicación cruzada, en la que se obtiene un núm ero entero:
Ejemplo
— — a*d b •c
b d
a •d corresponde a la fracción —, b -c corresponde a la fracción —
b d
El núm ero entero m ayor corresponderá a la fracción mayor.
Recuerda: sólo puedes utilizar este método cuando se trata de dos fracciones.
Ejemplo
Si com param os las fracciones y realizam os el siguiente procedim iento:
NUMEROS RACIONALES
i T 7's 10'4
35 < 40
_7_ _4_
10 5
Respuesta: es m enor que ~
Para com parar varias fracciones positivas con num eradores y denom inado
res distintos puedes seguir estos pasos:
Anota las fracciones dadas
Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores
J
Iguala las fracciones dadas
3
Ordena las fracciones según lo solicitado en el problema
J
Escribe las fracciones originales según lo solicitado.
J
74

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