Elementos geométricos básicos y su aplicación

2
CAPACIDAD: TAREA 01 VALOR - ACTITUD
RESPONSABILIDAD -
PUNTUALIDAD
DESTREZAS CONTENIDOS MÉTODOS MICROACTITUDES
Basta dar una mirada a nuestro alrededor para observar elementos
geométricos en nuestra casa, en las aulas de clases, en las calles, en
los edificios y plazas, etc. Por ejemplo, al observar un edificio
veremos rectas paralelas, perpendiculares, cuadrados, rectángulos y
ángulos, incluso la idea de un punto. Por ello es de suma importancia
determinar las relaciones entre los diversos elementos geométricos y
que podamos identificarlos, trazarlos y comprenderlos.
Si nos ponemos en contacto con la naturaleza comenzaremos a
identificarlos, como la señal que deja sobre un papel la punta bien
afilada de un lápiz o un pequeño granito de sal. Un trozo de cuerda
que pende de un techo al sujetar un cuadrado, un tablero de ajedrez,
entre otros, representan elementos geométricos básicos.
En este capitulo, iniciaremos el estudio de los elementos
geométricos, espacios topológicos, segmentos, simetrías, plano
cartesiano, ángulos que nos ayudaran a comprender mejor el espacio
que nos rodea.

3
1
m P
n
a
b
2
3
l
l
l
l
4
MIDIENDO LO QUE VEO PARA
APRENDER
Conceptos
previos de los
elementos
geométricos.
Conceptos
topológicos.
Línea recta. Segmentos.
Plano
cartesiano.
Angulo.
Simetría
respecto a una
recta.
Simetría
respecto al
plano
cartesiano.
Figuras
geométricas.(abstract
as)
Segmentos de línea.
Preguntas diversas.
Superficies.
Conjuntos
convexos.
Conjuntos no
convexos.
Definición de una
línea recta
Punto y plano.
Semirrecta y rayo
Define
Ejemplifica.
Mide segmentos
Representa el
plano cartesiano.
Pares
ordenados.
Ubica puntos en
el plano
cartesiano.
Representa
ángulos.
Mide ángulos y
las bisectrices.
Clasifica ángulos.
Define la
simetría.
Grafica simetrías
Busca en su
entorno las
simetrías.
Representa
simetrías en el
plano cartesiano.
Crea simetrías.
Menciona la
aplicabilidad de
las simetrías en lo
cotidiano.
HISTORIA DE LA GEOMETRÍA
Los primeros resultados geométricos se
remontan de la antigüedad y son de
origen experimental. Fueron observados
por el hombre en su actividad práctica.
Como ciencia empírica, la geometría
alcanzó en su período inicial un nivel
singularmente elevado en Egipto en
relación con los trabajos de agrimensión
y de riego.
Durante el primer milenio anterior a
nuestra era las nociones de la geometría
pasaron de los egipcios a los griegos y en
la antigua Grecia se inició una etapa
nueva del desarrollo de esta ciencia. En
el período comprendido entre los siglos
VII y III A.C. los geómetras griegos,
además de enriquecer la geometría con
numerosos resultados, hicieron grandes
progresos en su argumentación.
Euclides (330 - 275 antes de nuestra era)
resumió y sistematizó esta labor de los
geómetras griegos en su famosa obra
"ELEMENTOS", que ha hecho llegar
hasta nosotros la primera exposición
fundamentada de la geometría. En ella
los razonamientos son tan irreprochables
para su tiempo que los "Elementos" fue a
lo largo de dos mil años desde su
aparición el único tratado para los que
estudiaban la geometría.
Los "ELEMENTOS" de Euclides; constan
de trece libros de los cuales ocho
dedicados a la geometría propiamente
dicha y los otros a la Aritmética. Cada
libro de los "ELEMENTOS" empieza con
la definición de las nociones. En el primer
libro siguen a las definiciones postulados
y axiomas.
D
A
C
B
a
b

4
A. PUNTO
Es la idea geométrica más pequeña. Se le
representa con una letra mayúscula.
A
B C
D
B. RECTA
Es la idea geométrica formada por infinitos puntos
sucesivos que se encuentran en una misma
dirección. Se le representa con una letra minúscula.
a
Recta a: a
b
Recta b: b
C. PLANO
Es la idea geométrica que puede contener
completamente puntos y rectas. Se le representa
con una letra mayúscula.
Plano P
Observaciones:
Recta horizontal Recta vertical Recta oblicua
Recordemos:
1. Reflexiones y responde.
a) ¿Para qué se utiliza una regla?.
-------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------
b) ¿Por qué se utiliza un compás?.
-------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------
c) ¿Para que sirve una escuadra?.
-------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------
2. En cada caso traza todas las rectas posibles por los
puntos dados.
a) b)
3. Responde y justifica tu respuesta.
a) Grafica un punto “E” y tres rectas que contengan
a dicho punto.
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
b) Grafica un punto “M” y cinco rectas que pasen
por dicho punto.
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
c) Grafica dos puntos “C” y “D” y la recta o las
rectas que pasen por dichos puntos a la vez.
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
d) ¿Cuántas rectas se pueden trazar por un punto
de un plano?
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
e) ¿Cuántas rectas se pueden trazar por tres puntos
de un plano?
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

5
a
a
b
a a b
4. Relaciona los objetos siguientes con los elementos
geométricos que conozcas.
a) Un poste.
……………………………………………………………
b) Una ventana.
……………………………………………………………
c) Una carpeta.
……………………………………………………………
d) Una pelota.
……………………………………………………………
5. Graficar la recta “a” horizontal y los puntos “A”, “B” y
“C” contenidos en ella.
6. Graficar la recta “c” horizontal y los puntos “M”, “N” y
“K” exterior a ella.
1. Graficar un punto “A” y cuatro rectas que pasen por
dicho punto.
2. Graficar un punto “M” y ocho rectas que pasen por
dicho punto.
3. Graficar los puntos “P” y “Q”; además la recta o
rectas que pasen por ambos puntos a la vez.
4. Graficar la recta vertical “ l ” y los puntos “M”; “N” y
“Q” contenidos en ella.
5. Graficar la recta horizontal “a” y los puntos “E”; “F” y
“H” contenidos en ella.
6. Graficar la recta “m” y los puntos “P”; “Q” y “R”
exteriores a dicha recta.
7. Graficar la recta horizontal “b” y los puntos “M”; “N”;
“P” y “Q” exteriores a dicha recta.
8. Graficar un plano “P” y a los puntos “A”; “B” y “C”
contenidos en ella.
9. Graficar un plano “Q” y a una recta “a” contenida en
ella.
10.Graficar un plano “R” y a la recta “ l ” contenida en
ella. Luego a los puntos “M” y “N” que pertenecen a.
A. Rectas paralelas
Dos o más rectas son paralelas si no tienen ni un
punto en común.
a
b
l1
2
l
3
l
4
l
es paralela a : ( // ).
B. Rectas secantes
Dos rectas son secantes si tienen un punto en
común, llamado punto de intersección o punto de
corte.
OBSERVACIONES:
i) Rectas perpendiculares.- Son dos rectas que
forman 90°.
a
b
y son perpendiculares ( )
b b

6
ii) Rectas concurrentes.- Son tres o más rectas que
se intercectan en un mismo punto.
En el gráfico se muestra cuatro rectas concurrentes
A
iii) Número de puntos de corte:
Tres rectas y tres puntos de corte
Cuatro rectas y seis puntos de corte
Recordemos:
1. Graficar dos rectas paralelas y una recta secante a
ambas. Contar los puntos de corte.
2. Graficar tres rectas paralelas y una recta secante.
Contar los puntos de corte.
3. Graficar cuatro rectas secantes y contar los puntos
de corte.
4. Graficar cinco rectas paralelas y una recta secante.
5. Graficar dos rectas secantes y dos rectas paralelas.
6. Graficar tres rectas paralelas y dos rectas secantes.
7.- Graficar tres rectas concurrentes y una secante a
ellas. Contar los puntos de corte.
8. Graficar una recta perpendicular “l ” a la recta “f”.
f

7
A
B
l
9. Graficar las rectas “a” y “b” perpendiculares a la
recta “n”.
n
10. Graficar cuatro rectas concurrentes y una recta
secante a dichas rectas, contar los puntos de corte.
}
1. Graficar tres rectas concurrentes y dos rectas
secantes. Hallar el número de puntos de corte.
2. Graficar dos rectas paralelas y dos rectas secantes.
Señalar el número máximo de puntos de corte.
3. Graficar cuatro rectas paralelas verticales y además
una recta secante.
4. Graficar tres rectas paralelas horizontales y además
dos rectas paralelas verticales que intersecan a las
rectas anteriores.
5. Graficar seis rectas concurrentes y una recta
secante a ellas.
6. Graficar cinco rectas secantes no concurrentes.
7. Trazar las rectas l1 y l2 perpendiculares a la recta
“a”.
a
8. Trazar las rectas “a”, “b” y “c” perpendiculares a.
l
9. Graficar dos rectas secantes: una vertical y la otra
horizontal.
10. Graficar seis rectas paralelas verticales. Además
dos rectas oblicuas, secantes a las anteriores
A. Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es la medida del
segmento de recta que une a dichos puntos.
A
B
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
P
Q
La distancia entre “A” y “B” mide 4 cm La distancia entre “P” y “Q” mide 5 cm
B. Distancia entre un punto y una recta
Está representado por un segmento perpendicular
trazado desde el punto hacia la recta.
A
m
1,5 cm
B
n
3 cm
La distancia entre “A” y …… mide 1,5 cm La distancia entre “B” y ………. mide 3 cm
C. Distancia entre dos rectas paralelas
Está representado por el segmento perpendicular a
ambas rectas.
a
b
1cm
m n
3 cm
La distancia entre ……. y……. mide 1 cm La distancia entre ……. y …….. mide 3 cm
Figura: Puente de San Francisco (EE.UU.)
MIRA

8
1. Graficar la distancia entre “A” y “B” y medirlo.
A
B
2. Graficar la distancia entre “P” y l y medirlo.
l
P
3. Graficar la distancia entre “a” y “b” y medirlo.
a
b
4. Graficar la distancia entre l1 l2
; l3
; l4
y y dar sus
medidas.
l1
l2
l3
l4
5. Graficar la distancia de “B” a l1 l2
y . Dar sus
medidas.
l1
B l2
6. Graficar un punto “A” y una recta “l” horizontal que
disten 7 cm.
7. Graficar un punto “B” y una recta “m” vertical que
disten 10 cm.
8. Graficar tres rectas horizontales “a”; “b” y “c” que
disten 3 cm en forma consecutiva.
9. Graficar una línea recta horizontal y dos puntos “B” y
“E” contenidos en ella que disten 8 cm.
10. Graficar una recta vertical y dos puntos “M” y “N”
contenidos en ella que disten 6 cm.

9
1. Trazar la distancia entre “P” y “Q”; “Q” y “R” y “P” y
“R”. Luego medirlos.
Q
•
P • • R
2. Trazar la distancia entre “A” y luego calcular esta
medida.
m
A
3. Ubicar un punto “P” a una distancia de 2 cm de “ l ”.
l
4. Ubicar los puntos “A” y “B” a una distancia de 3 cm
de
n
5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales que
disten 1,5 cm.
6. Ubicar los puntos “A” y “C” que pertenezcan a “ l ” y
disten 5 cm.
l
7. Graficar las distancias de “A” a las rectas Luego
medirlas.
a
b
A
8. Trazar las distancias de los puntos mostrados a la
recta “ l ”. Dar las medidas.
A
B
C
l
9. Graficar las distancias entre. Luego medirlas.
l1 l3
l2 l4
10.Graficar las distancias de “P” a las rectas “l1”; “l2” y
“l3”.
l1
l2
P
l3
A. Definición
El segmento de una recta es la porción de recta que
tiene como extremos a dos puntos. La medida del
segmento es la distancia entre sus extremos.
A B
4 cm
Segmento AB:
Medida del segmento AB: m = 4 cm
B. Punto medio de un segmento de recta
Es el punto que pertenece al segmento de recta y lo
divide en dos medidas iguales.

10
A B
BC
A B
2,5 cm
M
2,5 cm
“M” es punto medio de AB
1. Graficar una recta horizontal y los segmentos y
contenidos en ella consecutivamente que
midan 6 cm y 8.cm respectivamente.
2. Graficar los segmentos consecutivos y que midan 5
cm y 9 cm.
3. Graficar un segmento D E que mide 12 cm y ubicar
su punto medio “M”.
4. Graficar el segmento A B de 8 cm y ubicar su punto
medio “N”.
5. Graficar a los puntos “M”; “N” y “R” contenidos en
una recta de tal manera que: m M N = 7 cm y m N R
= 6 cm. Luego ubicar el punto medio “A” de MR .
Ubicación del punto medio de un segmento de recta
con el uso del compás
Paso 1: Se toma el compás y se traza desde los
extremos con una misma abertura, obteniéndose
dos puntos de corte como en la figura II ó III.
Fig. I.
A
B
Fig. II.
A B
Fig. III
A B
Paso 2: Se marcan los puntos de corte y se unen.
Luego la intersección entre el segmento inicial y la
línea de unión de los puntos de corte será el punto
medio buscado.
Fig. IV
A B
M

11
P Q
A B
Fig. V
A B
M
“M” es el punto medio de
1. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que
mida 14 cm haciendo uso del compás.
2. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que
mida 9 cm haciendo uso del compás.
3. Graficar el segmento de recta en posición
vertical que mide 12 cm, luego ubicar su punto
medio usando el compás.
4. Graficar un segmento en forma oblicua de 11
cm, y ubicar su punto medio haciendo uso del
compás.
5. Graficar un segmento cualquiera sin medirlo y ubicar
su punto medio haciendo uso del compás.

12
AB y BC
AB
PQ
AB,BC y CD
MA
AC
1. En la recta “ l ”, graficar el segmento de 5,5 cm
de longitud.
l
2. Graficar los segmentos consecutivos que
están contenidos en “ l ”, de tal manera que:
AB=3,5 cm y BC = 4,5 cm.
l
3. Graficar un segmento de 6 cm de longitud y
luego ubicar su punto medio “M”.
4. En la recta “ l ”, graficar los segmentos
que midan 2 cm; 3,5 cm y 2,5 cm respectivamente.
l
5. Graficar un segmento de 10 cm y ubicar su punto
medio “P”.
6. Graficar un segmento de 6,5 cm y luego ubicar su
punto medio “M” usando el compás.
7. Graficar un segmento de 7,5 cm y ubicar su punto
medio con el uso del compás.
9. Graficar un segmento de 9 cm y ubicar su punto
1. Ángulo agudo
Su medida varía entre 0° y 90°.
O
A
B
2. Ángulo recto
Mide exactamente 90°.
O
A
B
3. Ángulo obtuso
Su medida varía entre 90° y 180°
O
A
B
Observa, muy atentamente
el interior de un….

13
4. Ángulo llano
Mide 180° y se representa por una recta.
O
A B
180°
Elementos de un ángulo
LADOS
MEDIDA
VÉRTICE
50°
EL TRANSPORTADOR
El transportador sirve para medir las aberturas entre los
lados de un ángulo.
90°
180°
0°
0°
180°
¿Cómo se mide un ángulo?
Dado el cuadrilátero mostrado:
140°
70°
180°
0°
90°
180°
0°
0°
9
0
°
0°
180°
1. Medir los siguientes ángulos y clasificarlos:
.............................................
….........................................
………………………………………..
2. Graficar un ángulo de 60° y clasificarlo.

14
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.
Es la línea que divide a un ángulo en dos nuevos
ángulos de medidas iguales.
A
B
O
30°
30°
Bisectriz del ángulo AOB
que mide 60°
Q
P
O
70°
70°
Bisectriz del
ángulo POQ
que mide 140°
25° 25°
Bisectriz del ángulo
que mide 50°
Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del
compás.
Paso 1: Con una abertura arbitraria y a partir del
vértice del ángulo, se traza con el compás y
se marcan los puntos de corte.
Vértice
Paso 2: Luego, a partir de los puntos marcados y con
la misma o con otra abertura trazar con el
compás y marcar el punto de corte.
Vértice
W
Paso 3: Finalmente al unir el vértice y el punto de corte
“W”, se obtiene la bisectriz del ángulo inicial.
Vértice
W
Bisectriz del ángulo

15
1. Graficar un ángulo de 100° y trazar su bisectriz con
el uso del compás. Luego comprobarlo con el
transportador.
el uso del compás. Luego comprobarlo con el
transportador.
3. Graficar un ángulo de 90° y trazar su bisectriz con el
uso del compás. Luego comprobarlo con el
transportador.
4. Graficar un ángulo agudo cualquiera y trazar su
bisectriz con el uso del compás.
5. Graficar un ángulo obtuso cualquiera y trazar su
bisectriz con el uso del compás.

16
6. Graficar un ángulo de 40° y trazar su bisectriz
usando el compás.
el uso del compás.
usando el compás.
empleando el compás.
10. Graficar un ángulo recto y trazar su bisectriz con el
uso del compás.
1. Recta numérica
Es una recta enumerada a partir del cero; hacia la
derecha números positivos y hacia la izquierda
números negativos.
0 1 2 3 4 5 6 7
7 -
6 5 4 3 2 1
-
-
-
-
-
-
2. Plano cartesiano
Es un plano formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y la otra vertical.
Todo punto se representa por dos números, el
primero corresponde a la recta horizontal y el
segundo a la recta vertical.
0 1 2 3 4 5 6 7
7 -
-
6 5 4 3 2 1
-
-
-
-
-
-
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
-
-
-
-
-
C(-4; 3)
B(2; 4)
A(3; 1)
D(-2; -5)
E(6; -3)

17
Graficar un plano cartesiano y además lo pedido en
cada ejercicio.
1.- Ubicar el segmento……., tal que: A = (5; 5) y
B = (2; 4)
2.- Ubicar el segmento………., tal que: P = (-1; 5) y Q
= (-4; 1)
3.- Ubicar el segmento…………, tal que: D = (-5; -1) y
E = (-2; -6)
4.- Ubicar el segmento…………., tal que: M = (1; -2) y
N = (7; -5)
5.-Ubicar el segmento tal que: C = (-1; 1) y F = (4; 2)

18
a
'
PP
a
a
a
6.- Para cada ejercicio, graficar usando un tablero de
madera con clavos.
a) Ubicar los puntos: A(2; 3), B(-3; 1) y C(1; -4), luego
unirlos.
b) Ubicar los puntos: P(-4; 5), Q(-4; -3) y R(3; 5), luego
unirlos.
c) Ubicar los puntos: D(0; 0), E(4; 6) y F(2; -5), luego
unirlos.
d) Ubicar los puntos: M(-3; 2), N(4; 0) y P(0; -6), luego
unirlos.
e) Ubicar los puntos: H(0; 7), K(-6; 0) y L(3; -4), luego
unirlos.
Graficar un plano cartesiano para cada ejercicio y
ubicar los puntos indicados, para luego unirlos.
1. A = (3; 3) y B = (5; 4)
2. C = (-3; 4) y D = (-5; 3)
3. E = (-2; -4) y F = (-1; -8)
4. G = (2; -3) y H = (5; -1)
5. I = (-4; 3) y J = (3; 5)
6. A = (1; 5), B = (-2; 4) y C = (-3; -4)
7. P = (-2; 5), Q = (-3; 5) y R = (4; 3)
8. M = (6; -2), N = (-5; -4) y T = (-2; 6)
9. T = (9; 3), R = (-7; 4) y I = (-1; 8)
10. A = (0; 7), L = (-6; 0) y E = (5; -8)
Eje de simetría
I. Reflexión de un punto respecto a una recta
Dado un punto P y una recta “a”, para reflejar el
punto P respecto a un eje se procede de la
siguiente manera:
1°. Se traza el segmento de unión perpendicular
al eje de reflexión .
2°. P y P’ tienen que estar a la misma distancia del
eje de reflexión .
P
P’
a
d
d
II. Reflexión de una figura respecto a una recta
Para reflejar un triángulo, cuadriláteros o polígonos
con respecto a una recta “a”, se ubican a los vértices
y se refleja cada uno con respecto al eje ;
siguiendo los pasos del caso anterior.

19
l
l
l
l
l
Ejemplo 1
Reflejar el triángulo ABC con respecto al eje l .
A
B
l
C
Resolución:
A
A’
B
B’
l
C
C’
1°. Se reflejan los puntos A, B y C obteniéndose los
puntos A’ , B’ y C’
2°. Luego se unen y se obtiene el triángulo A’B’C’.
* Observación:
• El triángulo A’B’C’ es la reflexión del triángulo
ABC con respecto a .
• Los triángulos ABC y A’B’C’ son simétricos con
respecto a .
Ejemplo 2
Reflejar el cuadrilátero ABCD con respecto a .
A
B
C
D
l
Resolución:
A
A’
B
B’
l
D
D’
C
1°. Se reflejan los puntos A, B y D porque C
pertenece a .
2°. El cuadrilátero A’B’CD’ es la reflexión de ABCD.
Ejemplo 3
Reflejar el triángulo EDF con respecto a
l
D
E
F
Resolución:
l
E
E’
F
F’
D
D’
1°. En este caso especial D se encuentra al lado de .
2°. Luego; E’D’F’ es reflejo del triángulo EDF.

20
l
I.- Dibuja en cada caso la imagen que obtienes
mediante la reflexión respecto a .
1.
A
B
C
m
2.
A
C
D
B m
3.
Q R
P
m
S
4.
M
N
E
T
m
5.
A
E
F
m
Copia cada figura y su eje de reflexión en tu cuaderno.
Dibuja en cada caso la imagen que obtienes mediante
la reflexión respecto al eje .
1.
l
2.
l
3.
l

21
4.
l
5.
l
6.
l
7.
l
I.-Reflexión de un punto con respecto a los ejes X e
Y.
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
5 4 3 2 1
- 1 2 3 4 5
-
-
-
-
P’(-5;3) P(5;3)
Q(3;2)
Q’(3;-2)
Y
X
• P’ es la imagen de P con respecto a Y
• Q’ es la imagen de Q con respecto a X
II. Reflexión de un punto con respecto a otras
rectas
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
5 4 3 2 1
- 1 2 3 4 5
-
-
-
-
P(3;4)
P’(3;0)
Q(-3;3)
Q’(-3;1)
Y
X
a
• P’ es la imagen de P con respecto a a
• Q’ es la imagen de Q con respecto a a

22
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
5 4 3 2 1
- 1 2 3 4 5
-
-
-
-
R’(5; 3)
T’(3; -4)
R(-3; 3)
T(-1; -4)
Y
X
b
-4
• R’ es la imagen de R con respecto a b
• T’ es la imagen de T con respecto a b
III. Reflexión de figuras
Para reflejar figuras en el plano cartesiano, se
reflejan primero los vértices utilizando los
procedimientos anteriores. Luego se unen.
Ejemplo 1
Reflejar el triángulo ABC: A(1;3), B(3;2) y C(5;4) con
respecto al eje X.
C(5;4)
X
Y
B(3;2)
A(1;3)
C’(5;-4)
B’(3;-2)
A’(1;-3)
Ejemplo 2
Reflejar el cuadrilátero PQRS: P(-1;1), Q(1;3), R(4;4) y
S(5;2) con respecto a la recta que pasa por los puntos
(0; -2) y (2;-2).
X
Y
P(-1;1)
Q(1;3)
R(4;4)
S(5;2)
(0;-2) (2;-2)
P’(-1;-5)
Q’(1;-7)
R’(4;-8)
S’(5;-6)
1. Grafica el cuadrilátero ABCD: A(0;3), B(2;3), C(2;6) y
D(0;6). Luego reflejarla con respecto al eje X.
2. Dibuja el cuadrilátero ABCD: A(6;2), B(8;4), C(7;5) y
D(5;3). Luego reflejar dicho cuadrilátero con
respecto al eje Y.
3. Graficar el triángulo ABC: A(1;4), B(4;6) y C(1;7).
Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por
los puntos (0;4) y (8;4).
Luego reflejarlo con respecto al eje X.
Luego reflejarlo con respecto al eje Y.
6. Dibujar el triángulo PQR: P(1;4), Q(6;1) y R(7;4).
los puntos (0;-1) y (3;1).
7. Graficar el triángulo PQR: P(1;1), Q(2;2) y R(3;5).
los puntos (-2;0) y (-2;4).
8. Graficar el cuadrilátero PQRS: P(0;2), Q(2;2), R(4;4)
y S(4;6). Luego reflejarlo con respecto a la recta que
pasa por los puntos (-1;0) y (-1;3).
9. Graficar el cuadrilátero PQRS: P(0;1), Q(3;1), R(3;5)
y S(0;5). Luego reflejarlo con respecto al eje Y.
10.El cuadrilátero anterior, reflejarlo con respecto a la
recta que pasa por los puntos (0; -3) y (4; -3).

23
I. Dibuja cada triángulo ABC en tu cuaderno y refléjalo
respecto al eje X.
1. A(-3; 4), B(1; 1) y C(4; 3)
2. A(2; 5), B(3; 7) y C(5; 4)
3. A(-1; -2), B(0; -6) y C(4; -3)
II. Dibuja cada triángulo PQR en tu cuaderno y refléjalo
respecto al eje Y.
4. P(1; 5), Q(6; 0) y R(2; -5)
5. P(-4; 1), Q(-1; 5) y R(0; -3)
6. P(0; 6), Q(-4; 0) y R(2; -3)
III. Resuelva lo siguiente:
7. Grafique el cuadrilátero ABCD: A(-4; 1), B(0; 4),
C(2; 4) y D(5; 1) y reflejarlo con respecto a la
recta que pasa por los puntos (0; -2) y (3; -2).
8. Graficar el triángulo ABC: A(3; 1), B(5; 4) y C(7;
2). Luego reflejarlo respecto a la recta que pasa
por los puntos (-1; 0) y (-1; 3).
9. Graficar el triángulo PQR: P(-4; -5), Q(0; -2) y
R(3; -6). Luego reflejarlo con respecto a la recta
que pasa por los puntos (0; 2) y (2; 2).
10. Reflejar el triángulo ABC respecto a l .
Y l
2 4
B(4; 3)
A(-1; -3)
(2; 5)
C(4; -1)
X
5
1
I. CLASES DE TRIÁNGULOS DE ACUERDO A LAS
LONGITUDES DE SUS LADOS
• Triángulo Escaleno
Sus lados son de diferentes longitudes.
A
B
C
• Triángulo Isósceles
Dos de sus lados miden igual.
• Triángulo Equilátero
Sus tres lados tienen igual medida.
II. CLASES DE TRIÁNGULOS DE ACUERDO A LAS
MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS
• Triángulo Acutángulo
Sus ángulos internos son agudos.
 

0° < < 90°

0° < < 90°

0° < < 90°


24
• Triángulo Obtusángulo
Un ángulo interno es obtuso.

90° < < 180°

• Triángulo Rectángulo
Un ángulo interno es recto.
III. CONSTRUIR UN TRIÁNGULO CONOCIENDO
LAS LONGITUDES DE SUS TRES LADOS
Ejemplo
Graficar el triángulo de lados 5; 7 y 9 cm
respectivamente.
Resolución:
- Graficar un lado de preferencia el mayor.
- Luego con el compás y a partir de los extremos
trazar con las medidas de los otros dos lados.
B
A
9 cm
7
c
m
5
c
m
- Finalmente el punto de intersección es el tercer
vértice.
B
C
A
9 cm
1. Graficar el triángulo de lados 3; 4 y 5 cm.
3. Graficar el triángulo equilátero de lados 7 cm.

25
6.- Graficar el triángulo de lados 2; 6 y 6 cm.
7.- Graficar el triángulo de lados 2; 1 y 5 cm.
1. Graficar el triángulo de lados 4; 7 y 9 cm, si éste
existe.
existe.
existe.
existe.
existe.
existe.
existe.
8. Graficar el triángulo equilátero de lados 10 cm, si
éste existe.
existe.
10. Graficar el triángulo equilátero de lados 12 cm, si
éste existe.
Mira
Usan triángulos, tú
construye otra
figura más
complicada.

26
EXISTENCIA DE LOS TRIÁNGULOS.
Ya sabemos construir triángulos conociendo las
medidas de los tres lados. Pero, ¿qué sucede si
queremos construir el triángulo de lados 3; 4 y 7 cm?
A B
C
4 cm
4 cm
3 cm
3 cm
7 cm
¿Qué
observaste?
Qué los triángulos no existen, “porque
el lado mayor tiene que ser menor que
la suma de los otros dos lados”.
1. Graficar el triángulo de lados 2 ; 3 y 8 cm.
2. Graficar el triángulo cuyos lados miden 1 ; 5 y 7.cm.
Se observa que no se forma un
triángulo y se concluye que el triángulo
de lados 3 ; 4 y 7 cm no existe.

27
6.- Graficar el triángulo de lados 4; 7 y 11 cm. ¿Existe el
triángulo?
7. Graficar el triángulo cuyos lados son 5; 5 y 3.cm
(triángulo isósceles). ¿Existe el triángulo?
8.- Graficar el triángulo isósceles de lados 4 y 8 cm, si
el triángulo existe.
9. Graficar el triángulo isósceles de lados 9 y 3 cm, si
el triángulo existe.
10. Graficar el triángulo isósceles de lados 5 y 12 cm,
si el triángulo existe.
* Utilizando el compás:
1. graficar el triángulo de lados 1; 2 y 3 cm,
comprobando si existe o no.
6. graficar el triángulo de lados 5; 12 y 14 cm.
7. graficar el triángulo de lados 8; 10 y 17 cm.
8. graficar el triángulo isósceles de lados 11 y 3 cm.
9. graficar el triángulo isósceles de lados 6 y 1 cm.
10.graficar el triángulo isósceles de lados 7 y 3 cm.

28
En todo triángulo la suma de ángulos internos es
igual a 180°. Recordemos:
180° Recta
A
B
C
a°
b°
c°
a° + b° + c° = 180°
• Si se corta una hoja de papel, en forma de cualquier
triángulo, marca las medidas de los ángulos internos
como: °, ° y °.
°
°
°
Luego para comprobar que la suma de los ángulos
internos es 180°, bastará con doblar las puntas
hasta que coincidan exactamente en una recta.
°
°
°
°
°
°
°
Y se observa que:
  
° + ° + ° = 180°
Observación: En un triángulo rectángulo como un
ángulo mide 90°, entonces los otros dos ángulos
suman 90°.
°
°
 
+ = 90° a° + b° = 90°
a° b°
1. Dos ángulos internos de un triángulo miden 60° y
80°. Calcular la medida del tercer ángulo interno y
clasificarlo.
¿Qué
observas?

29
70°. Calcular el tercer ángulo interno del triángulo y
clasificarlo.
100°. Calcular la medida del tercer ángulo interno y
clasificarlo.
4. En un triángulo rectángulo un ángulo interno mide
50°. Calcular el otro ángulo.
5. En un triángulo rectángulo un ángulo interno mide
20°. Calcular el otro ángulo.
6. En un triángulo dos de sus ángulos miden 70° y 40°.
Calcular el tercer ángulo y clasificar a dicho
triángulo.
7. Dos ángulos de un triángulo miden 75° y 15°.
Calcular el tercer ángulo y decir de qué tipo es el
triángulo.
8. Dos ángulos de un triángulo miden 80° y 20°.
Calcular el tercer ángulo y decir el tipo de triángulo.
9. En un triángulo rectángulo un ángulo mide 55°.
Calcular el tercer ángulo interno y clasificar el
triángulo.

30
10.En un triángulo rectángulo un ángulo mide 45°.
Calcular el ángulo interno faltante y clasificar dicho
triángulo.
1. Hallar “”
60°
70° 
2. Hallar “x°”
x°
50°
3. Hallar “”

80°
4. Hallar “”

10°
130°
5. Hallar “”

25° 45°
6. En un triángulo isósceles uno de los ángulos iguales
mide 65°. Calcular el tercer ángulo interno.
7. En un triángulo dos ángulos internos miden 74° y
46°. Calcular la medida del tercer ángulo interno.
8. En un triángulo dos ángulos internos miden 27° y
53°. Calcular la medida del tercer ángulo interno.
9. En un triángulo isósceles el ángulo opuesto a la
base mide 36°. Calcular las medidas de los otros
dos ángulos.
10.En un triángulo isósceles el ángulo opuesto a la
base mide 118°. Calcular las medidas de los otros
dos ángulos.
I. Construir un triángulo conociendo un lado y
los dos ángulos adyacentes a él
Ejemplo: Construir un triángulo ABC tal que:
m A = 60°; m C = 70° y mAC = 8 cm.
Resolución:
1. Graficar el lado AC de 8 cm y medir los ángulos
de 60° y 70° con el transportador.
A C
60° 70°
8 cm
2. Luego, prolongar los lados hasta que se
intersecten.

31
AB
AC
QR
EF
DE
MN
NL
A
B
C
60° 70°
8 cm
II. Construir un triángulo conociendo las
longitudes de dos lados y el ángulo entre ellos
Ejemplo: Construir un triángulo donde dos lados
miden 5 y 8 cm y forman un ángulo de 40°.
Resolución:
1. Con el transportador, medir el ángulo de 40° y
uno de sus lados mide 8 cm.
A B
40°
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
2. Luego, medir el lado faltante de 5 cm y unir los
extremos formándose el triángulo.
A B
40°
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A B
8 cm
A
C
B
8 cm
5
cm
1. Graficar el triángulo ABC tal que: m = 5 cm;
m A = 30° y m C = 50°.
2. Graficar el triángulo ABC, tal que: m A = 10°;
m C = 30° y m = 12 cm.
3. Graficar el triángulo PQR tal que: m = 9 cm;
m Q = 100° y m R = 20°
4. Graficar el triángulo DEF tal que: m = 10 cm;
m = 8 cm y m E = 80°.
5. Graficar el triángulo MNL, tal que: m = 7 cm;
m = 6 cm y m N = 100°.

32
MN ML
DH HE
mPQ
AL
PQ
6. Graficar el triángulo MNL tal que: m M = 90°;
m = 4 cm y m = 3 cm.
7. Graficar el triángulo DHE tal que: m H = 140°;
m = 6 cm y m = 4 cm.
8. Graficar el triángulo PQR tal que: m P = 120° ;
m Q = 30° y = 8 cm.
4. Graficar el triángulo ALE tal que: m A = 90°; m E
= 45° y m = 12 cm.
5. Graficar el triángulo PQR tal que: m R = 20°; m Q =
140° y m = 11 cm.

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