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U N I D AD I I : C O N S T R U C C I O N E S Y E L E M E N T O S
G E O M É T R I C O S B Á S I C O S
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO
52
PROPÓSITOS DE LA UNIDAD:
A través de construcciones con regla y compás, explorar las propiedades de las figuras elementales y
algunos conceptos básicos de la geometría Euclidiana.
Reconocer patrones de comportamiento geométrico que permitan plantear conjeturas para proceder a
su validación empírica.
53
APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE LA UNIDAD DOS.
Al finalizar la unidad el alumno:
☺ Reconoce los elementos de una figura(punto, punto de intersección, líneas rectas, segmentos, semirrectas, etc.)
☺ Obtiene de las construcciones, las nociones de: recta, segmento de recta, punto medio, mediatriz, ángulo, bisectriz, circunferencia,
perpendicularidad y distancia de un punto a una recta. Los expresará en forma oral y escrita.
☺ Identifica los elementos mínimos que se requieren para trazar un segmento de recta.
Establecer los elementos mínimos que se requieren para trazar una circunferencia.
☺ Recuerda la clasificación de ángulos por su abertura (agudo, recto, obtuso, llano) y posición adyacentes, suplementarios,
complementarios, opuestos por el vértice).
☺ Reconoce ángulos rectos en cualquier figura que los contenga.
☺ Explica en forma verbal y escrita, los trazos que siguió para realizar una construcción geométrica dada
☺ Identifica y construye segmentos y ángulos congruentes.Recordar la clasificación de triángulos según sus lados y ángulos
☺ Construye un triángulo congruente a partir de otro dado
54
☺ Explica en qué casos es posible construir un triángulo, a partir de tres segmentos dados cualesquiera
☺ Verifica triángulos congruentes haciéndolos coincidir.
☺ Identifica las alturas de un triángulo sin importar la posición que estas tengan
☺ Distingue las características que determinan a cada una de las rectas notables de un triángulo.
☺ Reconoce las diferencias entre unas y otras.
☺ Traza las rectas notables del triángulo
☺ Identifica los puntos notables de un triángulo y podrá explicar cuáles son sus características.
☺ Observa que los puntos notables de un triángulo están alineados.
☺ Identifica cuerdas, radios, secantes y tangentes de una circunferencia.
☺ Construye rectas tangentes a una circunferencia.
☺ Descrie correctamente el procedimiento requerido para realizar una construcción dada.
☺Argumenta, empíricamente, sobre la validez de las construcciones realizadas y explicarlas de forma oral y escrita.
55
 TEMÁTICA DE LA SEGUNDA UNIDAD
CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
2.1).Construcciones con regla y compás:
2.1.1).Segmentos congruentes
2.1.2).Ángulos congruentes
2.1.3).Mediatriz y determinación del punto medio de un segmento
2.1.4).Bisectriz de un ángulo agudo.
2.1.5).Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto:
2.1.5.1).Que pertenece a la recta.
2.1.5.2).Fuera de ella
56
2.2).Triángulos:
2.2.1).Reproducción de un triángulo a partir de condiciones dadas (LAL, LLL, ALA).
2.2.2).Desigualdad del triángulo.
2.2.3).Rectas notables en el triángulo: mediatriz, bisectriz, mediana y altura.
2.2.4).Puntos notables de un triángulo: Circuncentro, Incentro, Baricentro y Ortocentro.
2.2.5).Reproducción de un polígono por triangulación.
2.3).Circunferencia:
2.3.1).Rectas y segmentos.
2.3.2).Rectas tangentes a una circunferencia.
2.3.2.1).Desde un punto sobre ella.
2.3.2.2).Desde un punto fuera de ella.
2.3.3).Localización del centro de una circunferencia dada.
57
 UNA VISTA EN LA HISTORIA DE LAS CONSTRUCCIONES CON REGLA,
ESCUADRA Y COMPÁS
A manera de explicación:
Lo que consideramos generalmente como elementos de la geometría elemental
(que debe de incluirse mucho de la geometría de las cónicas) fue
satisfactoriamente organizado algunos siglos antes de la Era Cristiana. Ya en ese
tiempo se estableció el marco para realizar construcciones en geometría
elemental, o sea que estas construcciones se deben realizar usando regla,
escuadra y compás únicamente. Las restricciones a estos instrumentos son
comúnmente atribuidas a Platón.
LOS TRES PROBLEMAS FAMOSOS.
Tres problemas geométricos interesaron tanto a los griegos de la antigüedad que han pasado de generación en generación a través de
los siglos y se han conocido por mucho tiempo como los tres problemas famosos de la geometría elemental. Estos problemas son: la
trisección del ángulo, la duplicación del cubo, y la cuadratura del círculo.
58
Se entiende que cada una de las tres construcciones debe de hacerse únicamente con regla, escuadra
y compás. Muchos intentos se han hecho para resolver estos problemas. De hecho han atraído la
atención de los mejores matemáticos del mundo. Pero todos estos intentos estaban destinados al
fracaso, pues fue demostrado en el siglo XIX que su solución es imposible.
Esto no significa, sin embargo, que un ángulo no pueda ser trisecado, o que es imposible duplicar un
cubo, o construir un cuadrado equivalente a un círculo dado. Si la restricción a regla, escuadra y
compás se modifica de manera adecuada, cada uno de estos problemas puede ser rápidamente
resuelto.
59
 ¿QUE ES UNA CONSTRUCCIÓN?
Un problema de construcción se plantea de la siguiente manera: de elementos ya construidos (puntos,
segmentos, rectas, ángulos, círculos, etc.) otros elementos deben derivarse bajo las siguientes reglas:
Solamente deben usarse ciertos elementos bien definidos. Cada uno de los instrumentos puede
usarse de manera previamente determinada. La construcción debe terminarse en un número finito de
pasos.
CONSTRUCCIÓN CON REGLA, ESCUADRA Y COMPÁS.
Los alcances constructivos de la regla, escuadra y el compás, están caracterizados en los tres postulados de Euclides
que se enumeran a continuación:
 Puede trazarse una recta de un punto a otro.
Una recta finita puede prolongarse continuamente en una línea recta.
Una circunferencia puede describirse tomando cualquier centro y cualquier distancia.
Cada construcción con regla, escuadra y compás consiste en una sucesión de operaciones de las
siguientes:
Unir dos puntos por una recta.
Hallar el punto de intersección de dos rectas.
Trazar una circunferencia de radio y centro dados.
Hallar los puntos de intersección de una circunferencia con otra circunferencia o con una recta.
Un elemento (punto, recta, circunferencia) se considera conocido si se da desde el principio o si ha sido
construido en algún paso previo. También es importante considerar que una vez que se ha logrado hacer
la construcción propuesta, se debe verificar, mediante una demostración matemática, que dicha
construcción resuelve realmente el problema.
60
61
 APRENDIZAJES
 Realizar los trazos en secuencia didáctica. Pasito a pasito, sin prisa pero con constancia.
 Reconocer los elementos de una figura(punto, punto de intersección, líneas rectas, segmentos, semirrectas,
etc.).
 Obtener de las construcciones, las nociones de: recta, segmento de recta, punto medio, mediatriz, ángulo,
bisectriz, circunferencia, perpendicularidad y distancia de un punto a una recta. Los expresará en forma oral y
escrita
Identificar los elementos mínimos que se requieren para trazar un segmento de recta.
62
Problemas y Ejercicios.
2.1).Dado el segmento de recta AP, construye un Segmento congruente a él.
2.1.1).Traza el segmento AP Igual a 9 centímetros.
2.1.2).Traza el segmento UB Igual a 11 centímetros.
2.1.3).Se pone una punta del compás en A y la otra en P y se lleva a UB
2.1.4).Con centro en U y con la medida AP, se traza un arco en UB.
2.1.5).Uniendo el punto centro y el punto del arco, resulta ST, que es el segmento congruente
al segmento AP.
63
64
DIVISION DE SEGMENTOS CON REGLA Y COMPAS. SEGMENTOS Y
DIVISION DE SEGMENTOS EN LA RECTA NUMERICA.
Desde el siglo antepasado se conocía la relación biunívoca entre los números
reales y los puntos de una recta. Una pregunta natural es: ¿Podemos construir
cualquier número real con regla y compás?, también desde ese siglo se sabía
que la respuesta a esta pregunta es negativa.
¿QUE NUMEROS PUEDEN SER CONSTRUIDOS CON REGLA Y COMPAS?
No es difícil dar una respuesta inmediata a esta pregunta, los números mas fáciles de
representar en la recta numérica son los números naturales, ver figura 2.1.
FIGURA 2. 1
65
Trazamos la recta L y elegimos un punto sobre ella como origen o cero, tomamos
un segmento arbitrario como unidad (U), con el compás podemos reproducir esta
unidad sobre la recta cuantas veces se quiera, hacia la derecha tendremos los
números naturales, si hacemos el mismo procedimiento, ahora hacia la izquierda
obtendremos los números enteros, ver figura 2.2.
FIGURA 2.2
66
FIGURA 2.3
Veamos ahora como se bisecta un segmento, ver figura 2.3:
☺ Construimos dos circunferencias con centros en los extremos del segmento y de igual
radio de tal forma que estas circunferencias se intersecten,
☺ Trazamos la línea determinada por los puntos de intersección de las circunferencias.
☺ El punto donde esta línea corta al segmento original es el punto medio.
67
Con esta construcción podemos bisectar el segmento 0 1 y así obtener el número
racional
2
1
y a partir de este obtener los números racionales
2
m
y -
2
m
; si ahora
bisectamos el segmento 0
2
1
obtendremos el número
4
1
y entonces
4
m
y -
4
m
, si
hacemos este proceso n veces se tiene el número n
)
2
1
( y por consiguiente n
)
2
m
( y
- n
)
2
m
( . ¿Pero serán estos todos los números racionales que se pueden construir
con regla y compás?, recordemos que estos números los construimos a partir de
la bisección de un segmento, es decir, si podemos trisectar un segmento
obtenemos el número
3
1
y con esto
3
m
y -
3
m
; entonces tratemos de resolver el
problema de trisectar un segmento con regla, escuadra y compás.
68
A continuación se muestra paso a paso como hacerlo.
Trazamos una recta l y en ella la unidad, trazamos otra recta s diferente a l como
se muestra en la figura y sobre esta fijamos 3 puntos A, B y C tales que
OA=AB=BC, unimos C con el extremo derecho de la unidad y trazamos rectas
paralelas a esta última por A y por B las intersecciones de estas rectas con el
segmento unidad lo trisectan (esto se demuestra por medio de triángulos
semejantes). Con esto hemos construido los números
3
1
,
3
m
y -
3
m
; repitiendo el
proceso de trisectar un segmento construimos además los números n
)
3
1
( , n
)
3
m
( y
- n
)
3
m
( . Podemos darnos cuenta fácilmente, por la forma que tienen los números
construidos hasta el momento, que el número
5
1
no está incluido, ¿como
podemos hacer para construir este número?; en la última construcción no tiene
nada de especial el 3, ¿que pasa si en vez de colocar tres puntos sobre la recta
s colocamos 5 y seguimos el proceso descrito?, obtendríamos el número
deseado, con esta observación nos damos cuenta que en general podemos
poner p puntos y así obtenemos el número
p
1
y entonces
p
m
y -
p
m
; lo que nos lleva
a concluir que todo número racional se puede construir con regla, escuadra y
compás.
69
¿Serán estos todos los números reales construíbles con regla y compás? La
siguiente construcción muestra que se puede construir el número irracional raíz
de 2 con estos instrumentos, y en general raíz de n siendo n cualquier número
real dado.
Sea a una recta, tomamos un punto A arbitrario sobre ella a partir de este punto
se coloca el segmento unidad, sea B el extremo derecho de la unidad, BC es el
segmento cuya magnitud es n; construimos la circunferencia de diámetro AC, por
último trazamos la perpendicular a a por B.
Dada esta construcción, afirmamos que la magnitud del segmento BE es el
número buscado, la demostración de este hecho tiene que ver con semejanza de
triángulos.
70
Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los
números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de
magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y
m
n
.
Trazamos una recta a y en ella colocamos uno de los segmentos, trazamos otra
recta b diferente a a como se muestra en la figura y sobre esta fijamos la unidad
y el otro segmento, ver la construcción, unimos el extremo de la unidad con el
extremo del segmento que esta sobre la recta a, finalmente trazamos una
paralela a esta última recta por el extremo del segmento que esta sobre la recta
b.
Trazamos una recta a y b como antes, sobre la recta a colocamos la unidad y
sobre la otra los dos segmentos, si queremos obtener
m
n
entonces unimos el
extremo del segmento cuya magnitud es m con el extremo de la unidad, y
trazamos una paralela a esta recta por el extremo del segmento de magnitud n.
71
A continuación se muestra paso a paso como hacerlo.
Trazamos una recta l y en ella la unidad, trazamos otra recta s diferente a l como
se muestra en la figura y sobre esta fijamos 3 puntos A, B y C tales que
OA=AB=BC, unimos C con el extremo derecho de la unidad y trazamos rectas
paralelas a esta última por A y por B las intersecciones de estas rectas con el
segmento unidad lo trisectan (esto se demuestra por medio de triángulos
semejantes). Con esto hemos construido los números
3
1
,
3
m
y -
3
m
; repitiendo el
proceso de trisectar un segmento construimos además los números n
)
3
1
( , n
)
3
m
( y
- n
)
3
m
( . Podemos darnos cuenta fácilmente, por la forma que tienen los números
construidos hasta el momento, que el número
5
1
no está incluido, ¿como
podemos hacer para construir este número?; en la última construcción no tiene
nada de especial el 3, ¿que pasa si en vez de colocar tres puntos sobre la recta
s colocamos 5 y seguimos el proceso descrito?, obtendríamos el número
deseado, con esta observación nos damos cuenta que en general podemos
poner p puntos y así obtenemos el número
p
1
y entonces
p
m
y -
p
m
; lo que nos lleva
a concluir que todo número racional se puede construir con regla, escuadra y
compás.
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¿Serán estos todos los números reales construíbles con regla y compás? La
siguiente construcción muestra que se puede construir el número irracional raíz
de 2 con estos instrumentos, y en general raíz de n siendo n cualquier número
real dado.
Sea a una recta, tomamos un punto A arbitrario sobre ella a partir de este punto
se coloca el segmento unidad, sea B el extremo derecho de la unidad, BC es el
segmento cuya magnitud es n; construimos la circunferencia de diámetro AC, por
último trazamos la perpendicular a a por B.
Dada esta construcción, afirmamos que la magnitud del segmento BE es el
número buscado, la demostración de este hecho tiene que ver con semejanza de
triángulos.
Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los
números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de
magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y
m
n
.
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Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los
números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de
magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y
m
n
.
Trazamos una recta a y en ella colocamos uno de los segmentos, trazamos otra
recta b diferente a a como se muestra en la figura y sobre esta fijamos la unidad
y el otro segmento, ver la construcción, unimos el extremo de la unidad con el
extremo del segmento que esta sobre la recta a, finalmente trazamos una
paralela a esta última recta por el extremo del segmento que esta sobre la recta
b.
Trazamos una recta a y b como antes, sobre la recta a colocamos la unidad y
sobre la otra los dos segmentos, si queremos obtener
m
n
entonces unimos el
extremo del segmento cuya magnitud es m con el extremo de la unidad, y
trazamos una paralela a esta recta por el extremo del segmento de magnitud n.
74
Para obtener el segmento de magnitud
n
m
unimos el extremo del segmento cuya
magnitud es n con el extremo de la unidad, y trazamos una paralela a esta recta
por el extremo del segmento de magnitud m.
Para la suma y resta de números, basta el compás, es decir, si queremos sumar
o restar magnitudes n y m simplemente colocamos el segmento de magnitud n y
a partir de su extremo derecho colocamos el segmento de magnitud m; para la
suma lo colocamos a la derecha y para la resta lo colocamos a la izquierda, ver
figura 4.
FIGURA 2.4
75
TEOREMA DE TALES:
Antes de demostrar el Teorema de Tales, demostremos un resultado previo que
utilizaremos mas adelante.
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se
obtienen dos triángulos semejantes.
Dado un triángulo ABC, si se traza un
segmento paralelo, B'C', a uno de los lados
del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C',
cuyos lados son proporcionales a los del
triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula
76
2.2).Construir el triángulo PQR, con regla y compás, conociendo la medida de
sus lados.
2.2.1).Construimos con la regla los segmentos PQ = 8 cm, PR = 5 cm. y QR = 4
cm.
2.2.2).Con el compás tomamos la medida de PR y haciendo centro en P,
trazamos un arco hacia arriba de PQ.
2.2.3).Con el compás tomamos la medida de QR y haciendo centro
en Q, trazamos un arco hacia arriba de PQ, para que se intersecte con el primar
arco.
2.2.4).Uniendo cada punto P y Q con el punto de intersección R, hemos trazado
el triángulo pedido PQR.
2.2.5).Escribe el tipo de triángulo que es PQR
P Q
P R
Q R
8 cm.
5 cm.
4 cm.
FIGURA 2.11
77
2.3).Construir el triángulo ABC, con regla y compás, conociendo la medida de
sus lados.
2.3.1).Construimos con regla los segmentos AB = 6 cm., AC = 4 cm y BC = 4 cm.
2.3.2).Fijamos con regla la medida del lado AB
2.3.3).Con el compás tomamos la medida de AC y haciendo centro en A,
trazamos un arco hacia arriba de AB.
2.3.4).Con el compás tomamos la medida de BC y haciendo centro en B,
trazamos un arco hacia arriba de AB, para que se intersecte con el primar arco.
2.3.5).Uniendo cada punto A y B con el punto de intersección C, hemos trazado
el triángulo pedido ABC.
2.3.6).Escribe y define el tipo de triángulo que es ABC
A B
6 cm.
A
4 cm.
C
B
4 cm. C
FIGURA 2.12
78
2.4).Construir el triángulo APU, con regla y compás, conociendo la medida de
sus lados.
2.4.1).-Construimos con regla los segmentos AP = 4 cm., AU = 3 cm. y PU = 5
cm.
2.4.2).Fijamos con regla la medida del lado AP
2.4.3).Con el compás tomamos la medida de AU y haciendo centro en A,
trazamos un arco hacia arriba de AP.
2.4.4).Con el compás tomamos la medida de PU y haciendo centro en P,
trazamos un arco hacia arriba de AP, para que se intersecte con el primar arco.
2.4.5).Uniendo cada punto A y P con el punto de intersección U, hemos trazado
el triángulo pedido APU.
2.4.6).Escribe y define el tipo de triángulo que es APU
A P
4 cm.
A U
3 cm.
P U
5 cm.
FIGURA 2.13
79
2.5).Construye el triángulo RST, con regla y compás, conociendo la medida de
sus lados, escribiendo y siguiendo los pasos utilizados en los casos anteriores,
indica el tipo de triángulo del que se trata y defínelo.
R S
R T
S T
10 cm.
4 cm.
5 cm.
FIGURA 2.14
80
2.6).Dado un ángulo ‹ APU, construir un ángulo congruente con el.
2.6.1).-Trazamos los rayos PA y PU, para tener el ángulo APU.
2.6.2).Se traza el rayo EF, como en la figura 2.16.
2.6.3).Con centro en P, trazamos el
arco de circunferencia QR que corte a los lados del ángulo APU.
2.6.4).Con la misma abertura a la de arco QR y con el compás se traza otro arco
haciendo centro en E para que intersecte al rayo EF, en el punto S.
2.6.5).Con el compás toma la medida de QR y haciendo centro en S se traza un
arco que cruce al arco que trazaste con centro en E.
2.6.6).Al punto de cruce de los dos arcos llámale T.
2.6.7).Traza un rayo que inicie en E y pase por T, con dicho trazo tienes el ángulo
congruente con el ‹ APU.
A
P
U
Q
R
FIGURA 2.15
E F
FIGURA 2.16
81
2.7).Dado el ángulo ‹ PQR, construir su bisectriz.
2.7.1).Trazamos el ángulo < PQR. Con un arco con centro en Q y uniendo los
puntos de corte con los lados del ángulo en línea punteada llamémosle ST.
|
FIGURA 2.17
2.7.2).Con centro en S y en T, trazamos un arco de circunferencia que tenga un
radio mayor que la mitad de ST y al punto de intersección le llamamos U.
2.7.3).A partir de Q trazamos un rayo que pase por U y lo que hemos trazado es
la bisectriz del ángulo PQR
S
T
P
Q
R
Este es el punto U
82
2.8).DadoelsegmentoderectaAB,construirconreglaycompássupuntomedio.
2.8.1).Trazar el segmento AB = 9 cm.
2.8.2).Con centro en A y con un radio mayor que la mitad de AB, traza un arco
arriba y abajo de AB.
2.8.3).Repite lo anterior pero con centro en B hasta que se corten los dos arcos
hacia arriba y hacia abajo de AB.
2.8.4).Une el punto de corte de arriba P con el de abajo Q y dicha unión corta al
segmento AB exactamente en el punto medio, y eso es lo que nos piden trazar,
que es Pm.
83
2.9).Dado el segmento de recta PQ,
construir con regla, escuadra y compás
su perpendicular bisectriz.
2.9.1).Trazar el segmento PQ = 4 cm.
2.9.2).Con centro en P se traza una circunferencia con
radio mayor que la mitad de PQ.
2.9.3).Con centro en Q se traza otra circunferencia, con
un radio igual a la primera.
2.9.4).El radio de las dos circunferencias es mayor que
la mitad de PQ, las dos circunferencias se intersectan
en los puntos R y S.
2.9.5).Se unen los puntos R y S y el resultado es la
perpendicular bisectriz del segmento PQ.
2.9..6).Con la regla verificar en la figura que: PR = QR
= QS = PS
84
2.10).Construir un triángulo equilátero DEF y en él trazar sus medianas siguiendo
los pasos que siguen.
2.10.1).Trazar un triángulo eqilátero escribiendo los pasos utilizados.
2.10.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos dados y llámales G, H, I.
2.10.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados
opuestos hasta que formes DG, FH y EI.
2.10.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su
definición.
85
2.11).Construir un triángulo isósceles J, K, L y en él trazar sus medianas
siguiendo los pasos comentados.
2.11.1).Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a utilizar.
2.11.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos a dar y llámales M, N, O.
2.11.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados hasta
que formes LM, JN y KO.
2.11.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su
definición.
2.12).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar sus medianas
siguiendo los pasos comentados.
2.12.1).Trazar un triángulo escaleno escribiendo los pasos a utilizar.
2.12.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos a dar y llámales S, T, U.
2.12.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados para
que formes RS, PT y QU.
2.12.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su
definición.
86
2.13).Construir un triángulo equilátero P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo
los pasos que siguen.
2.13.1).Trazar un triángulo equilátero escribiendo los pasos a utilizar.
2.13.2).-Determinar los puntos donde se produce la perpendicularidad con los
lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U.
2.13.3).Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la
perpendicularidad de sus lados opuestos para que formes RS, PT y QU.
2.13.4).Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su
definición.
2.14).Construir un triángulo isósceles P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo
los pasos comentados.
2.14.1).Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a dar.
2.14.2).-Determinar los puntos donde se produce la perperpendicularidad con los
lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U.
2.14.3).-Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la
perpendicularidad con los lados opuestos y llámales PT, QU y RS
2.14.4).-Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su
definición de ambos.
87
2.15).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo
los pasos comentados.
2.15.1).-Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a dar.
2.15.2).-Determinar los puntos donde se produce la perpendicularidad con los
lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U.
2.15.3).-Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la
perpendicularidad con los lados opuestos y llámales PT, QU y RS
2.15.4).-Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su
definición de ambos.
2.16).Construir un triángulo equilátero P, Q, R y en él trazar sus mediatrices
siguiendo los pasos que siguen.
2.16.1).-Trazar un triángulo equilátero escribiendo los pasos a utilizar.
2.16.2).-Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos a dar y llámales S, T, U.
2.16.3).-Traza la perpendicular de los lados del triangulo en sus puntos medios
para que formes RS, PT y QU.
2.16.4).-Marca el punto de intersección de las mediatrices y escribe el nombre y
su definición
88
2.17).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar las mediatrices
siguiendo los pasos comentados.
2.17.1).Trazar un triángulo escaleno escribiendo los pasos a utilizar.
2.17.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los
pasos a dar y llámales S, T, U.
2.17.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados para
que formes RS, PT y QU.
2.17.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su
definición.
2.18).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar las mediatrices
siguiendo los pasos comentados. Marcar el punto de intersección, escribe su
nombre y su definición.
89
2.19).Construir un triángulo equiángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices
siguiendo los pasos que siguen.
2.19.1).Trazar un triángulo equiángulo escribiendo los pasos a utilizar.
2.19.2).Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los
pasos a dar.
2.19.3).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que
toque y simboliza.
2.19.4).-Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y
define a ambos.
2.20).Construir un triángulo rectángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices
siguiendo los pasos que siguen.
2.20.1).-Trazar un triángulo rectángulo escribiendo los pasos a utilizar.
2.20.2).-Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los
pasos a dar.
2.20.3).-Unir los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que
toque y simbolízalos.
2.20.4).-Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y
define a ambos.
90
2.21).Construir un triángulo obtusángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices
siguiendo los pasos que siguen.
2.21.1).Trazar un triángulo equiángulo escribiendo los pasos a utilizar.
2.21.2).Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los
pasos a dar.
2.21.3).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que
toque y simboliza.
2.21.4).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que
toque y simboliza.
2.21.5).Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y
define a ambos.
91
FIGURA 2.20
2.22).Construir una circunferencia escribiendo los pasos a dar.
2.22.1).Trazar una circunferencia de radio igual a 3 centímetros. Circunferencia
es el conjunto de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia r
(positiva) de un punto fijo C llamado centro.
2.22.2).Indicar el radio “r” y el centro C.
Radio de una circunferencia es el segmento de recta, cuyos extremos son; el
centro de la circunferencia y uno de sus puntos.
2.22.3).Indicar el arco que cortan los lados del ángulo central.
2.22.4).Indicar y definir el ángulo central de una circunferencia.
Ángulo central ACB: Es el ángulo que tiene
como vértice el centro de la circunferencia y
sus lados cortan en dos puntos a dicha
circunferencia.
92
2.23).Construir rectas tangentes a una circunferencia
escribiendo los pasos a dar, desde un punto de ella y
desde un punto fuera de ella.
2.23.1). ¿Qué es una tangente a una circunferencia?
Respuesta:
2.23.1). Trazar tangentes a la circunferencia desde
cualesquiera de sus puntos.
PQ, ST y UV son tangentes desde un
punto en la circunferencia
FIGURA 2.21
93
FIGURA 2.22
Une el centro(O) de la circunferencia con el punto de
tangencia de cada recta (P, S y V), de tal forma que la
unión en cada caso quede como radio de la
circunferencia cumpliendo con su concepto principal, e
indica ese concepto.
2.23.2). Desde un punto fuera de ella AB y CD son
cada una de ellas una tangente a la circunferencia.
94
2.24).Trazar un polígono inscrito en una circunferencia, siguiendo los pasos
que se indican enseguida y llegas a una figura como la que sigue:
2.24.1).Trazar una circunferencia de
diámetro igual a 6 centímetros.
2.24.2).Trazar dos diámetros como los que
se ven en la figura 2.23.
2.24.3).Unir los extremos de los dos
diámetros, hasta formar un cuadro como el
que tienes, en la figura 2.23
2.24.4).Determina los puntos medios de los
lados del cuadro, y traza otros dos
diámetros de la circunferencia, pasando por
su centro.
2.24.5).Une los extremos de los diámetros y
forma la figura que queda finalmente.
2.24.6). Indica lo que entiendes por
polígono inscrito en una circunferencia:
2.24.7).Determina el perímetro del polígono
y de la circunferencia, midiendo y utilizando
alguna expresión calcula el perímetro y el
FIGURA 2.23
Respuesta:
Perímetro del polígono:
Perímetro de la circunferencia:
Área del polígono:
Área del círculo.
95
2.25).Trazar un polígono circunscrito en una circunferencia, indicando los
pasos que sigas y llegas a una figura como la 2.24.
2.25.1).Indica lo que entiendes por polígono
circunscrito en una circunferencia:
Respuesta:
En este caso es un octágono.
2.25.2).Siempre que se tengas
un polígono regular circunscrito
en una circunferencia, su
perímetro es mayor (>) que el
perímetro de la circunferencia.
2.25.3).En la circunferencia que tengas el
polígono circunscrito, determina el
perímetro del polígono y de la
circunferencia, primero midiendo y luego
formando una expresión para que
verifiques lo que mediste, haciendo el
cálculo correspondiente
96
Respuesta:
Perímetro del polígono:
Perímetro de la circunferencia:
2.25.4).-Trazar una circunferencia, de un
radio de longitud que decidas, trazar y
escribir la definición de: Cuerda, diámetro,
ángulo central y ángulo inscrito.
“P.D. RECUERDA: LA DIFERENCIA ENTRE UN BUEN ESTUDIANTE Y
UN MAGNÍFICO ESTUDIANTE, ES EL PEQUEÑO ESFUERZO EXTRA QUE
ESTE HACE” ¡HAGÁMOSLO JUNTOS!
P.D. “Tienes que Mentalizarte en: Ser mejor hoy que ayer y Ser mejor mañana
que hoy”.
P.D. “Procura hacer las cosas sin prisa pero con constancia, un poquito hoy y
otro poquito mañana”.
97
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  • 1. U N I D AD I I : C O N S T R U C C I O N E S Y E L E M E N T O S G E O M É T R I C O S B Á S I C O S UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO
  • 2. 52 PROPÓSITOS DE LA UNIDAD: A través de construcciones con regla y compás, explorar las propiedades de las figuras elementales y algunos conceptos básicos de la geometría Euclidiana. Reconocer patrones de comportamiento geométrico que permitan plantear conjeturas para proceder a su validación empírica.
  • 3. 53 APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE LA UNIDAD DOS. Al finalizar la unidad el alumno: ☺ Reconoce los elementos de una figura(punto, punto de intersección, líneas rectas, segmentos, semirrectas, etc.) ☺ Obtiene de las construcciones, las nociones de: recta, segmento de recta, punto medio, mediatriz, ángulo, bisectriz, circunferencia, perpendicularidad y distancia de un punto a una recta. Los expresará en forma oral y escrita. ☺ Identifica los elementos mínimos que se requieren para trazar un segmento de recta. Establecer los elementos mínimos que se requieren para trazar una circunferencia. ☺ Recuerda la clasificación de ángulos por su abertura (agudo, recto, obtuso, llano) y posición adyacentes, suplementarios, complementarios, opuestos por el vértice). ☺ Reconoce ángulos rectos en cualquier figura que los contenga. ☺ Explica en forma verbal y escrita, los trazos que siguió para realizar una construcción geométrica dada ☺ Identifica y construye segmentos y ángulos congruentes.Recordar la clasificación de triángulos según sus lados y ángulos ☺ Construye un triángulo congruente a partir de otro dado
  • 4. 54 ☺ Explica en qué casos es posible construir un triángulo, a partir de tres segmentos dados cualesquiera ☺ Verifica triángulos congruentes haciéndolos coincidir. ☺ Identifica las alturas de un triángulo sin importar la posición que estas tengan ☺ Distingue las características que determinan a cada una de las rectas notables de un triángulo. ☺ Reconoce las diferencias entre unas y otras. ☺ Traza las rectas notables del triángulo ☺ Identifica los puntos notables de un triángulo y podrá explicar cuáles son sus características. ☺ Observa que los puntos notables de un triángulo están alineados. ☺ Identifica cuerdas, radios, secantes y tangentes de una circunferencia. ☺ Construye rectas tangentes a una circunferencia. ☺ Descrie correctamente el procedimiento requerido para realizar una construcción dada. ☺Argumenta, empíricamente, sobre la validez de las construcciones realizadas y explicarlas de forma oral y escrita.
  • 5. 55  TEMÁTICA DE LA SEGUNDA UNIDAD CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS 2.1).Construcciones con regla y compás: 2.1.1).Segmentos congruentes 2.1.2).Ángulos congruentes 2.1.3).Mediatriz y determinación del punto medio de un segmento 2.1.4).Bisectriz de un ángulo agudo. 2.1.5).Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto: 2.1.5.1).Que pertenece a la recta. 2.1.5.2).Fuera de ella
  • 6. 56 2.2).Triángulos: 2.2.1).Reproducción de un triángulo a partir de condiciones dadas (LAL, LLL, ALA). 2.2.2).Desigualdad del triángulo. 2.2.3).Rectas notables en el triángulo: mediatriz, bisectriz, mediana y altura. 2.2.4).Puntos notables de un triángulo: Circuncentro, Incentro, Baricentro y Ortocentro. 2.2.5).Reproducción de un polígono por triangulación. 2.3).Circunferencia: 2.3.1).Rectas y segmentos. 2.3.2).Rectas tangentes a una circunferencia. 2.3.2.1).Desde un punto sobre ella. 2.3.2.2).Desde un punto fuera de ella. 2.3.3).Localización del centro de una circunferencia dada.
  • 7. 57  UNA VISTA EN LA HISTORIA DE LAS CONSTRUCCIONES CON REGLA, ESCUADRA Y COMPÁS A manera de explicación: Lo que consideramos generalmente como elementos de la geometría elemental (que debe de incluirse mucho de la geometría de las cónicas) fue satisfactoriamente organizado algunos siglos antes de la Era Cristiana. Ya en ese tiempo se estableció el marco para realizar construcciones en geometría elemental, o sea que estas construcciones se deben realizar usando regla, escuadra y compás únicamente. Las restricciones a estos instrumentos son comúnmente atribuidas a Platón. LOS TRES PROBLEMAS FAMOSOS. Tres problemas geométricos interesaron tanto a los griegos de la antigüedad que han pasado de generación en generación a través de los siglos y se han conocido por mucho tiempo como los tres problemas famosos de la geometría elemental. Estos problemas son: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo, y la cuadratura del círculo.
  • 8. 58 Se entiende que cada una de las tres construcciones debe de hacerse únicamente con regla, escuadra y compás. Muchos intentos se han hecho para resolver estos problemas. De hecho han atraído la atención de los mejores matemáticos del mundo. Pero todos estos intentos estaban destinados al fracaso, pues fue demostrado en el siglo XIX que su solución es imposible. Esto no significa, sin embargo, que un ángulo no pueda ser trisecado, o que es imposible duplicar un cubo, o construir un cuadrado equivalente a un círculo dado. Si la restricción a regla, escuadra y compás se modifica de manera adecuada, cada uno de estos problemas puede ser rápidamente resuelto.
  • 9. 59  ¿QUE ES UNA CONSTRUCCIÓN? Un problema de construcción se plantea de la siguiente manera: de elementos ya construidos (puntos, segmentos, rectas, ángulos, círculos, etc.) otros elementos deben derivarse bajo las siguientes reglas: Solamente deben usarse ciertos elementos bien definidos. Cada uno de los instrumentos puede usarse de manera previamente determinada. La construcción debe terminarse en un número finito de pasos. CONSTRUCCIÓN CON REGLA, ESCUADRA Y COMPÁS. Los alcances constructivos de la regla, escuadra y el compás, están caracterizados en los tres postulados de Euclides que se enumeran a continuación:  Puede trazarse una recta de un punto a otro. Una recta finita puede prolongarse continuamente en una línea recta. Una circunferencia puede describirse tomando cualquier centro y cualquier distancia.
  • 10. Cada construcción con regla, escuadra y compás consiste en una sucesión de operaciones de las siguientes: Unir dos puntos por una recta. Hallar el punto de intersección de dos rectas. Trazar una circunferencia de radio y centro dados. Hallar los puntos de intersección de una circunferencia con otra circunferencia o con una recta. Un elemento (punto, recta, circunferencia) se considera conocido si se da desde el principio o si ha sido construido en algún paso previo. También es importante considerar que una vez que se ha logrado hacer la construcción propuesta, se debe verificar, mediante una demostración matemática, que dicha construcción resuelve realmente el problema. 60
  • 11. 61  APRENDIZAJES  Realizar los trazos en secuencia didáctica. Pasito a pasito, sin prisa pero con constancia.  Reconocer los elementos de una figura(punto, punto de intersección, líneas rectas, segmentos, semirrectas, etc.).  Obtener de las construcciones, las nociones de: recta, segmento de recta, punto medio, mediatriz, ángulo, bisectriz, circunferencia, perpendicularidad y distancia de un punto a una recta. Los expresará en forma oral y escrita Identificar los elementos mínimos que se requieren para trazar un segmento de recta.
  • 12. 62 Problemas y Ejercicios. 2.1).Dado el segmento de recta AP, construye un Segmento congruente a él. 2.1.1).Traza el segmento AP Igual a 9 centímetros. 2.1.2).Traza el segmento UB Igual a 11 centímetros. 2.1.3).Se pone una punta del compás en A y la otra en P y se lleva a UB 2.1.4).Con centro en U y con la medida AP, se traza un arco en UB. 2.1.5).Uniendo el punto centro y el punto del arco, resulta ST, que es el segmento congruente al segmento AP.
  • 13. 63
  • 14. 64 DIVISION DE SEGMENTOS CON REGLA Y COMPAS. SEGMENTOS Y DIVISION DE SEGMENTOS EN LA RECTA NUMERICA. Desde el siglo antepasado se conocía la relación biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta. Una pregunta natural es: ¿Podemos construir cualquier número real con regla y compás?, también desde ese siglo se sabía que la respuesta a esta pregunta es negativa. ¿QUE NUMEROS PUEDEN SER CONSTRUIDOS CON REGLA Y COMPAS? No es difícil dar una respuesta inmediata a esta pregunta, los números mas fáciles de representar en la recta numérica son los números naturales, ver figura 2.1. FIGURA 2. 1
  • 15. 65 Trazamos la recta L y elegimos un punto sobre ella como origen o cero, tomamos un segmento arbitrario como unidad (U), con el compás podemos reproducir esta unidad sobre la recta cuantas veces se quiera, hacia la derecha tendremos los números naturales, si hacemos el mismo procedimiento, ahora hacia la izquierda obtendremos los números enteros, ver figura 2.2. FIGURA 2.2
  • 16. 66 FIGURA 2.3 Veamos ahora como se bisecta un segmento, ver figura 2.3: ☺ Construimos dos circunferencias con centros en los extremos del segmento y de igual radio de tal forma que estas circunferencias se intersecten, ☺ Trazamos la línea determinada por los puntos de intersección de las circunferencias. ☺ El punto donde esta línea corta al segmento original es el punto medio.
  • 17. 67 Con esta construcción podemos bisectar el segmento 0 1 y así obtener el número racional 2 1 y a partir de este obtener los números racionales 2 m y - 2 m ; si ahora bisectamos el segmento 0 2 1 obtendremos el número 4 1 y entonces 4 m y - 4 m , si hacemos este proceso n veces se tiene el número n ) 2 1 ( y por consiguiente n ) 2 m ( y - n ) 2 m ( . ¿Pero serán estos todos los números racionales que se pueden construir con regla y compás?, recordemos que estos números los construimos a partir de la bisección de un segmento, es decir, si podemos trisectar un segmento obtenemos el número 3 1 y con esto 3 m y - 3 m ; entonces tratemos de resolver el problema de trisectar un segmento con regla, escuadra y compás.
  • 18. 68 A continuación se muestra paso a paso como hacerlo. Trazamos una recta l y en ella la unidad, trazamos otra recta s diferente a l como se muestra en la figura y sobre esta fijamos 3 puntos A, B y C tales que OA=AB=BC, unimos C con el extremo derecho de la unidad y trazamos rectas paralelas a esta última por A y por B las intersecciones de estas rectas con el segmento unidad lo trisectan (esto se demuestra por medio de triángulos semejantes). Con esto hemos construido los números 3 1 , 3 m y - 3 m ; repitiendo el proceso de trisectar un segmento construimos además los números n ) 3 1 ( , n ) 3 m ( y - n ) 3 m ( . Podemos darnos cuenta fácilmente, por la forma que tienen los números construidos hasta el momento, que el número 5 1 no está incluido, ¿como podemos hacer para construir este número?; en la última construcción no tiene nada de especial el 3, ¿que pasa si en vez de colocar tres puntos sobre la recta s colocamos 5 y seguimos el proceso descrito?, obtendríamos el número deseado, con esta observación nos damos cuenta que en general podemos poner p puntos y así obtenemos el número p 1 y entonces p m y - p m ; lo que nos lleva a concluir que todo número racional se puede construir con regla, escuadra y compás.
  • 19. 69 ¿Serán estos todos los números reales construíbles con regla y compás? La siguiente construcción muestra que se puede construir el número irracional raíz de 2 con estos instrumentos, y en general raíz de n siendo n cualquier número real dado. Sea a una recta, tomamos un punto A arbitrario sobre ella a partir de este punto se coloca el segmento unidad, sea B el extremo derecho de la unidad, BC es el segmento cuya magnitud es n; construimos la circunferencia de diámetro AC, por último trazamos la perpendicular a a por B. Dada esta construcción, afirmamos que la magnitud del segmento BE es el número buscado, la demostración de este hecho tiene que ver con semejanza de triángulos.
  • 20. 70 Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y m n . Trazamos una recta a y en ella colocamos uno de los segmentos, trazamos otra recta b diferente a a como se muestra en la figura y sobre esta fijamos la unidad y el otro segmento, ver la construcción, unimos el extremo de la unidad con el extremo del segmento que esta sobre la recta a, finalmente trazamos una paralela a esta última recta por el extremo del segmento que esta sobre la recta b. Trazamos una recta a y b como antes, sobre la recta a colocamos la unidad y sobre la otra los dos segmentos, si queremos obtener m n entonces unimos el extremo del segmento cuya magnitud es m con el extremo de la unidad, y trazamos una paralela a esta recta por el extremo del segmento de magnitud n.
  • 21. 71 A continuación se muestra paso a paso como hacerlo. Trazamos una recta l y en ella la unidad, trazamos otra recta s diferente a l como se muestra en la figura y sobre esta fijamos 3 puntos A, B y C tales que OA=AB=BC, unimos C con el extremo derecho de la unidad y trazamos rectas paralelas a esta última por A y por B las intersecciones de estas rectas con el segmento unidad lo trisectan (esto se demuestra por medio de triángulos semejantes). Con esto hemos construido los números 3 1 , 3 m y - 3 m ; repitiendo el proceso de trisectar un segmento construimos además los números n ) 3 1 ( , n ) 3 m ( y - n ) 3 m ( . Podemos darnos cuenta fácilmente, por la forma que tienen los números construidos hasta el momento, que el número 5 1 no está incluido, ¿como podemos hacer para construir este número?; en la última construcción no tiene nada de especial el 3, ¿que pasa si en vez de colocar tres puntos sobre la recta s colocamos 5 y seguimos el proceso descrito?, obtendríamos el número deseado, con esta observación nos damos cuenta que en general podemos poner p puntos y así obtenemos el número p 1 y entonces p m y - p m ; lo que nos lleva a concluir que todo número racional se puede construir con regla, escuadra y compás.
  • 22. 72 ¿Serán estos todos los números reales construíbles con regla y compás? La siguiente construcción muestra que se puede construir el número irracional raíz de 2 con estos instrumentos, y en general raíz de n siendo n cualquier número real dado. Sea a una recta, tomamos un punto A arbitrario sobre ella a partir de este punto se coloca el segmento unidad, sea B el extremo derecho de la unidad, BC es el segmento cuya magnitud es n; construimos la circunferencia de diámetro AC, por último trazamos la perpendicular a a por B. Dada esta construcción, afirmamos que la magnitud del segmento BE es el número buscado, la demostración de este hecho tiene que ver con semejanza de triángulos. Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y m n .
  • 23. 73 Las siguientes construcciones tienen que ver con dos operaciones básicas de los números reales (producto y división), es decir, si tenemos dos segmentos de magnitudes n y m construir los segmentos de magnitudes n*m y m n . Trazamos una recta a y en ella colocamos uno de los segmentos, trazamos otra recta b diferente a a como se muestra en la figura y sobre esta fijamos la unidad y el otro segmento, ver la construcción, unimos el extremo de la unidad con el extremo del segmento que esta sobre la recta a, finalmente trazamos una paralela a esta última recta por el extremo del segmento que esta sobre la recta b. Trazamos una recta a y b como antes, sobre la recta a colocamos la unidad y sobre la otra los dos segmentos, si queremos obtener m n entonces unimos el extremo del segmento cuya magnitud es m con el extremo de la unidad, y trazamos una paralela a esta recta por el extremo del segmento de magnitud n.
  • 24. 74 Para obtener el segmento de magnitud n m unimos el extremo del segmento cuya magnitud es n con el extremo de la unidad, y trazamos una paralela a esta recta por el extremo del segmento de magnitud m. Para la suma y resta de números, basta el compás, es decir, si queremos sumar o restar magnitudes n y m simplemente colocamos el segmento de magnitud n y a partir de su extremo derecho colocamos el segmento de magnitud m; para la suma lo colocamos a la derecha y para la resta lo colocamos a la izquierda, ver figura 4. FIGURA 2.4
  • 25. 75 TEOREMA DE TALES: Antes de demostrar el Teorema de Tales, demostremos un resultado previo que utilizaremos mas adelante. Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula
  • 26. 76 2.2).Construir el triángulo PQR, con regla y compás, conociendo la medida de sus lados. 2.2.1).Construimos con la regla los segmentos PQ = 8 cm, PR = 5 cm. y QR = 4 cm. 2.2.2).Con el compás tomamos la medida de PR y haciendo centro en P, trazamos un arco hacia arriba de PQ. 2.2.3).Con el compás tomamos la medida de QR y haciendo centro en Q, trazamos un arco hacia arriba de PQ, para que se intersecte con el primar arco. 2.2.4).Uniendo cada punto P y Q con el punto de intersección R, hemos trazado el triángulo pedido PQR. 2.2.5).Escribe el tipo de triángulo que es PQR P Q P R Q R 8 cm. 5 cm. 4 cm. FIGURA 2.11
  • 27. 77 2.3).Construir el triángulo ABC, con regla y compás, conociendo la medida de sus lados. 2.3.1).Construimos con regla los segmentos AB = 6 cm., AC = 4 cm y BC = 4 cm. 2.3.2).Fijamos con regla la medida del lado AB 2.3.3).Con el compás tomamos la medida de AC y haciendo centro en A, trazamos un arco hacia arriba de AB. 2.3.4).Con el compás tomamos la medida de BC y haciendo centro en B, trazamos un arco hacia arriba de AB, para que se intersecte con el primar arco. 2.3.5).Uniendo cada punto A y B con el punto de intersección C, hemos trazado el triángulo pedido ABC. 2.3.6).Escribe y define el tipo de triángulo que es ABC A B 6 cm. A 4 cm. C B 4 cm. C FIGURA 2.12
  • 28. 78 2.4).Construir el triángulo APU, con regla y compás, conociendo la medida de sus lados. 2.4.1).-Construimos con regla los segmentos AP = 4 cm., AU = 3 cm. y PU = 5 cm. 2.4.2).Fijamos con regla la medida del lado AP 2.4.3).Con el compás tomamos la medida de AU y haciendo centro en A, trazamos un arco hacia arriba de AP. 2.4.4).Con el compás tomamos la medida de PU y haciendo centro en P, trazamos un arco hacia arriba de AP, para que se intersecte con el primar arco. 2.4.5).Uniendo cada punto A y P con el punto de intersección U, hemos trazado el triángulo pedido APU. 2.4.6).Escribe y define el tipo de triángulo que es APU A P 4 cm. A U 3 cm. P U 5 cm. FIGURA 2.13
  • 29. 79 2.5).Construye el triángulo RST, con regla y compás, conociendo la medida de sus lados, escribiendo y siguiendo los pasos utilizados en los casos anteriores, indica el tipo de triángulo del que se trata y defínelo. R S R T S T 10 cm. 4 cm. 5 cm. FIGURA 2.14
  • 30. 80 2.6).Dado un ángulo ‹ APU, construir un ángulo congruente con el. 2.6.1).-Trazamos los rayos PA y PU, para tener el ángulo APU. 2.6.2).Se traza el rayo EF, como en la figura 2.16. 2.6.3).Con centro en P, trazamos el arco de circunferencia QR que corte a los lados del ángulo APU. 2.6.4).Con la misma abertura a la de arco QR y con el compás se traza otro arco haciendo centro en E para que intersecte al rayo EF, en el punto S. 2.6.5).Con el compás toma la medida de QR y haciendo centro en S se traza un arco que cruce al arco que trazaste con centro en E. 2.6.6).Al punto de cruce de los dos arcos llámale T. 2.6.7).Traza un rayo que inicie en E y pase por T, con dicho trazo tienes el ángulo congruente con el ‹ APU. A P U Q R FIGURA 2.15 E F FIGURA 2.16
  • 31. 81 2.7).Dado el ángulo ‹ PQR, construir su bisectriz. 2.7.1).Trazamos el ángulo < PQR. Con un arco con centro en Q y uniendo los puntos de corte con los lados del ángulo en línea punteada llamémosle ST. | FIGURA 2.17 2.7.2).Con centro en S y en T, trazamos un arco de circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de ST y al punto de intersección le llamamos U. 2.7.3).A partir de Q trazamos un rayo que pase por U y lo que hemos trazado es la bisectriz del ángulo PQR S T P Q R Este es el punto U
  • 32. 82 2.8).DadoelsegmentoderectaAB,construirconreglaycompássupuntomedio. 2.8.1).Trazar el segmento AB = 9 cm. 2.8.2).Con centro en A y con un radio mayor que la mitad de AB, traza un arco arriba y abajo de AB. 2.8.3).Repite lo anterior pero con centro en B hasta que se corten los dos arcos hacia arriba y hacia abajo de AB. 2.8.4).Une el punto de corte de arriba P con el de abajo Q y dicha unión corta al segmento AB exactamente en el punto medio, y eso es lo que nos piden trazar, que es Pm.
  • 33. 83 2.9).Dado el segmento de recta PQ, construir con regla, escuadra y compás su perpendicular bisectriz. 2.9.1).Trazar el segmento PQ = 4 cm. 2.9.2).Con centro en P se traza una circunferencia con radio mayor que la mitad de PQ. 2.9.3).Con centro en Q se traza otra circunferencia, con un radio igual a la primera. 2.9.4).El radio de las dos circunferencias es mayor que la mitad de PQ, las dos circunferencias se intersectan en los puntos R y S. 2.9.5).Se unen los puntos R y S y el resultado es la perpendicular bisectriz del segmento PQ. 2.9..6).Con la regla verificar en la figura que: PR = QR = QS = PS
  • 34. 84 2.10).Construir un triángulo equilátero DEF y en él trazar sus medianas siguiendo los pasos que siguen. 2.10.1).Trazar un triángulo eqilátero escribiendo los pasos utilizados. 2.10.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los pasos dados y llámales G, H, I. 2.10.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados opuestos hasta que formes DG, FH y EI. 2.10.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su definición.
  • 35. 85 2.11).Construir un triángulo isósceles J, K, L y en él trazar sus medianas siguiendo los pasos comentados. 2.11.1).Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a utilizar. 2.11.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales M, N, O. 2.11.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados hasta que formes LM, JN y KO. 2.11.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su definición. 2.12).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar sus medianas siguiendo los pasos comentados. 2.12.1).Trazar un triángulo escaleno escribiendo los pasos a utilizar. 2.12.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U. 2.12.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados para que formes RS, PT y QU. 2.12.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su definición.
  • 36. 86 2.13).Construir un triángulo equilátero P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo los pasos que siguen. 2.13.1).Trazar un triángulo equilátero escribiendo los pasos a utilizar. 2.13.2).-Determinar los puntos donde se produce la perpendicularidad con los lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U. 2.13.3).Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la perpendicularidad de sus lados opuestos para que formes RS, PT y QU. 2.13.4).Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su definición. 2.14).Construir un triángulo isósceles P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo los pasos comentados. 2.14.1).Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a dar. 2.14.2).-Determinar los puntos donde se produce la perperpendicularidad con los lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U. 2.14.3).-Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la perpendicularidad con los lados opuestos y llámales PT, QU y RS 2.14.4).-Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su definición de ambos.
  • 37. 87 2.15).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar sus alturas siguiendo los pasos comentados. 2.15.1).-Trazar un triángulo isósceles escribiendo los pasos a dar. 2.15.2).-Determinar los puntos donde se produce la perpendicularidad con los lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U. 2.15.3).-Une los vértices del triangulo con los puntos donde se produjo la perpendicularidad con los lados opuestos y llámales PT, QU y RS 2.15.4).-Marca el punto de intersección de las alturas, escribe su nombre y su definición de ambos. 2.16).Construir un triángulo equilátero P, Q, R y en él trazar sus mediatrices siguiendo los pasos que siguen. 2.16.1).-Trazar un triángulo equilátero escribiendo los pasos a utilizar. 2.16.2).-Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U. 2.16.3).-Traza la perpendicular de los lados del triangulo en sus puntos medios para que formes RS, PT y QU. 2.16.4).-Marca el punto de intersección de las mediatrices y escribe el nombre y su definición
  • 38. 88 2.17).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar las mediatrices siguiendo los pasos comentados. 2.17.1).Trazar un triángulo escaleno escribiendo los pasos a utilizar. 2.17.2).Determinar los puntos medios de los lados del triángulo, escribiendo los pasos a dar y llámales S, T, U. 2.17.3).Une los vértices del triangulo con los puntos medios de sus lados para que formes RS, PT y QU. 2.17.4).Marca el punto de intersección de las medianas, escribe su nombre y su definición. 2.18).Construir un triángulo escaleno P, Q, R y en él trazar las mediatrices siguiendo los pasos comentados. Marcar el punto de intersección, escribe su nombre y su definición.
  • 39. 89 2.19).Construir un triángulo equiángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices siguiendo los pasos que siguen. 2.19.1).Trazar un triángulo equiángulo escribiendo los pasos a utilizar. 2.19.2).Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los pasos a dar. 2.19.3).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que toque y simboliza. 2.19.4).-Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y define a ambos. 2.20).Construir un triángulo rectángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices siguiendo los pasos que siguen. 2.20.1).-Trazar un triángulo rectángulo escribiendo los pasos a utilizar. 2.20.2).-Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los pasos a dar. 2.20.3).-Unir los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que toque y simbolízalos. 2.20.4).-Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y define a ambos.
  • 40. 90 2.21).Construir un triángulo obtusángulo P, Q, R y en él trazar sus bisectrices siguiendo los pasos que siguen. 2.21.1).Trazar un triángulo equiángulo escribiendo los pasos a utilizar. 2.21.2).Determinar las bisectrices de los ángulos del triángulo, escribiendo los pasos a dar. 2.21.3).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que toque y simboliza. 2.21.4).Une los vértices del triangulo con los lados opuestos en el punto que toque y simboliza. 2.21.5).Marca el punto de intersección de las bisectrices, escribe su nombre y define a ambos.
  • 41. 91 FIGURA 2.20 2.22).Construir una circunferencia escribiendo los pasos a dar. 2.22.1).Trazar una circunferencia de radio igual a 3 centímetros. Circunferencia es el conjunto de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia r (positiva) de un punto fijo C llamado centro. 2.22.2).Indicar el radio “r” y el centro C. Radio de una circunferencia es el segmento de recta, cuyos extremos son; el centro de la circunferencia y uno de sus puntos. 2.22.3).Indicar el arco que cortan los lados del ángulo central. 2.22.4).Indicar y definir el ángulo central de una circunferencia. Ángulo central ACB: Es el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia y sus lados cortan en dos puntos a dicha circunferencia.
  • 42. 92 2.23).Construir rectas tangentes a una circunferencia escribiendo los pasos a dar, desde un punto de ella y desde un punto fuera de ella. 2.23.1). ¿Qué es una tangente a una circunferencia? Respuesta: 2.23.1). Trazar tangentes a la circunferencia desde cualesquiera de sus puntos. PQ, ST y UV son tangentes desde un punto en la circunferencia FIGURA 2.21
  • 43. 93 FIGURA 2.22 Une el centro(O) de la circunferencia con el punto de tangencia de cada recta (P, S y V), de tal forma que la unión en cada caso quede como radio de la circunferencia cumpliendo con su concepto principal, e indica ese concepto. 2.23.2). Desde un punto fuera de ella AB y CD son cada una de ellas una tangente a la circunferencia.
  • 44. 94 2.24).Trazar un polígono inscrito en una circunferencia, siguiendo los pasos que se indican enseguida y llegas a una figura como la que sigue: 2.24.1).Trazar una circunferencia de diámetro igual a 6 centímetros. 2.24.2).Trazar dos diámetros como los que se ven en la figura 2.23. 2.24.3).Unir los extremos de los dos diámetros, hasta formar un cuadro como el que tienes, en la figura 2.23 2.24.4).Determina los puntos medios de los lados del cuadro, y traza otros dos diámetros de la circunferencia, pasando por su centro. 2.24.5).Une los extremos de los diámetros y forma la figura que queda finalmente. 2.24.6). Indica lo que entiendes por polígono inscrito en una circunferencia: 2.24.7).Determina el perímetro del polígono y de la circunferencia, midiendo y utilizando alguna expresión calcula el perímetro y el FIGURA 2.23 Respuesta: Perímetro del polígono: Perímetro de la circunferencia: Área del polígono: Área del círculo.
  • 45. 95 2.25).Trazar un polígono circunscrito en una circunferencia, indicando los pasos que sigas y llegas a una figura como la 2.24. 2.25.1).Indica lo que entiendes por polígono circunscrito en una circunferencia: Respuesta: En este caso es un octágono. 2.25.2).Siempre que se tengas un polígono regular circunscrito en una circunferencia, su perímetro es mayor (>) que el perímetro de la circunferencia. 2.25.3).En la circunferencia que tengas el polígono circunscrito, determina el perímetro del polígono y de la circunferencia, primero midiendo y luego formando una expresión para que verifiques lo que mediste, haciendo el cálculo correspondiente
  • 46. 96 Respuesta: Perímetro del polígono: Perímetro de la circunferencia: 2.25.4).-Trazar una circunferencia, de un radio de longitud que decidas, trazar y escribir la definición de: Cuerda, diámetro, ángulo central y ángulo inscrito.
  • 47. “P.D. RECUERDA: LA DIFERENCIA ENTRE UN BUEN ESTUDIANTE Y UN MAGNÍFICO ESTUDIANTE, ES EL PEQUEÑO ESFUERZO EXTRA QUE ESTE HACE” ¡HAGÁMOSLO JUNTOS! P.D. “Tienes que Mentalizarte en: Ser mejor hoy que ayer y Ser mejor mañana que hoy”. P.D. “Procura hacer las cosas sin prisa pero con constancia, un poquito hoy y otro poquito mañana”. 97
  • 48. 98

Notas del editor

  1. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  2. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  3. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  4. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  5. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  6. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  7. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  8. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  9. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  10. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  11. A MANERA DE EXPLICACIÓN
  12. A MANERA DE EXPLICACIÓN
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  29. A MANERA DE EXPLICACIÓN
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  47. A MANERA DE EXPLICACIÓN