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Unidad 2.pptx
- 2. Para aplicar laLey o Teorema del Seno, es importante tener presente que este hace presencia para triángulo, específicamente en los oblicuángulos (los que no son rectángulos, puesto que estos se pueden trabajar con razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras). Es importante conocer que generalmente los ángulos se les denomina con letras mayúsculas o Letras griegas y sus lados opuestos al ángulo con letras minúsculas. 𝑎 𝑠ⅇ𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠ⅇ𝑛𝐵 = 𝑐 𝑠ⅇ𝑛𝐶 Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC 𝑎 𝑠ⅇ𝑛𝛼 = 𝑏 𝑠ⅇ𝑛𝛽 = 𝑐 𝑠ⅇ𝑛𝛾 o Nota: Puede aplicarse también tal fórmula, con los senos arriba, y los lados abajo, es decir los lados dividiendo al seno. Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC-ND
- 3. La Ley oTeorema del Seno, es la relación entre el ángulo y su lado opuesto, se aplica cuando se conoce una relación entre ellos, y cualquier otra información. Ejemplo: Encontrar el Seno del ∡𝐴 y el lado “c” si se conoce que el ∡𝐵 es igual a 30°, el (∡𝐶) es igual a 101,3°, el lado “b” es igual a 10 cm, además que el lado opuesto del ∡𝐴 ,es decir el lado “a” es igual a 15 cm. 1. Obtenemos los datos conocidos. ∡𝐴 =? ∡𝐵 = 30° 𝑏 = 10 𝑐𝑚 𝑎 = 15 𝑐𝑚 ∡𝐶 = 101,3° 2. Aplicamos la fórmula de la ley del seno para encontrar el ángulo A y reemplazamos valores. 𝑎 𝑠ⅇ𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠ⅇ𝑛𝐵 15 𝑠ⅇ𝑛𝐴 = 10 𝑠𝑒𝑛30° 𝑠𝑒𝑛30° ∙ 15 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 ∙ 10 𝑠𝑒𝑛30° ∙ 15 10 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 3. Iniciamos por despejar Seno A para poder dar con su dato, y luego en la calculadora realizamos la operación donde debemos todo lo de arriba dividirlo entre 10 cm. 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 0,75 sⅇn−1 𝑠𝑒𝑛𝐴 = sⅇn−1 0,75 𝐴 = 48,6° 4. Al seno de A, para obtener el valor del ángulo A, le aplicamos el arcoseno en ambos miembros, así despejamos el ángulo y encontramos su valor. 𝑎 𝑠ⅇ𝑛𝐴 = 𝑐 𝑠ⅇ𝑛𝐶 5. Aplicamos la fórmula de la ley del seno para encontrar el lado “c”, podemos tomar cualquiera de las relaciones completas encontradas y despejamos el lado c.. 𝑠𝑒𝑛101,3° ∙ 15 = 𝑠𝑒𝑛48,6° ∙ 𝑐 𝑐 = 19,6 𝑐𝑚 𝑠𝑒𝑛101,3° ∙ 15 𝑐𝑚 𝑠𝑒𝑛48,6° = 𝑐 15 𝑠ⅇ𝑛48,6 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛101,3° Figura realizada en GeoGebra
- 4. Para aplicar laLey o Teorema del Coseno, es importante tener presente que este hace presencia para triángulos oblicuángulos (los que no son rectángulos, puesto que estos se pueden trabajar con razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras). Al igual como se mencionó anteriormente, es importante conocer que generalmente los ángulos se les denomina con letras mayúsculas o Letras griegas y sus lados opuestos al ángulo con letras minúsculas. Nota: Esta Ley o Teorema del Coseno se aplica cuando se conoce un ángulo y los dos lados que lo forman, al igual que cuando se conocen los tres lados, es decir: o LAL o LLL Figura realizada en GeoGebra Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
- 5. En la Leyo Teorema del Coseno, el comienzo de su fórmula es similar al Teorema de Pitágoras, solo que se le resta el doble del los dos lados que lo anteceden y luego se multiplica por el coseno del ángulo opuesto al lado que se quiere encontrar, de esa fórmula se despejan los valores que se quieren encontrar Se puede observar que del lado que se quiere encontrar, se le conoce su ángulo opuesto al que se le aplica el coseno. Fórmula para cuando se quiere conocer un lado. 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏. cos 𝐶 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = cos 𝐵 Fórmula para cuando se quiere conocer un ángulo. 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 = −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐵 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑏2 −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = cos 𝐶 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏. cos 𝐶 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑏2 = −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝐶 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 −2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = cos 𝐴 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 = −2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴 Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA-NC
- 6. Ejemplo: Encontrar através del Teorema del Coseno el lado “a” si el ángulo A mide 45° y sus lados que los forman “b” mide 6 cm y “c” mide 8 cm, luego encontrar el ángulo B. 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 −2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = cos 𝐵 ∡𝐴 = 45° 𝑏 = 6 𝑐𝑚 𝑐 = 8 𝑐𝑚 𝑎 =? 1. Obtenemos los datos conocidos. 2. Aplicamos la fórmula de la Ley del Coseno para encontrar el lado “a” y reemplazamos valores. 𝑎2 = 6𝑐𝑚 2 + 8𝑐𝑚 2 − 2 6cm 8𝑐𝑚 ∙ cos 45° 𝑎2 = 36𝑐𝑚2 + 64𝑐𝑚2 − 96𝑐𝑚2 ∙ 0,70 𝑎2 = 100𝑐𝑚2 − 67,2𝑐𝑚2 𝑎2 = 32,8𝑐𝑚2 𝑎2 = 32,8𝑐𝑚2 𝑎 = 5,72𝑐𝑚 3. Aplicamos la fórmula de la Ley del Coseno para encontrar el ángulo B y reemplazamos valores. 62 − 5,722 − 82 −2 ∙ 5,72 ∙ 8 = cos 𝐵 36 − 32,71 − 64 −91,52 = cos 𝐵 −60,72 −91,52 = cos 𝐵 0,663 = cos 𝐵 4. Para despejar el ángulo B le aplicamos el arcoseno a ambos miembros. cos−1 0,663 = cos−1 cos 𝐵 48,4° = 𝐵 Figura realizada en GeoGebra
- 7. Las Razones oFunciones Trigonométricas se aplican a triángulos rectángulos, donde cuenta con un ángulo recto, hipotenusa, dos ángulos diferentes al recto y su cateto opuesto y su cateto adyacente. Las Razones o Funciones son seis (6) Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante, y en ellas hace presencia el cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa: • Cateto opuesto, aquel que esta al frente del ángulo diferente al ángulo recto. • Cateto adyacente aquel que esta a un lado del ángulo diferente al recto y no es la hipotenusa. • Hipotenusa es el lado más largo, además es el lado opuesto al ángulo recto
- 8. En las Razoneso Funciones Trigonométricas se cumple que si seguimos el orden anterior de estas, las tres últimas funciones son las opuestas a las tres primeras, es decir: Seno -----Cosecante Coseno----Secante Tangente---Cotangente Opuesto Seno: Para calcular el seno de un ángulo, se divide el cateto opuesto sobre la hipotenusa. Coseno: Para calcular el coseno de un ángulo, se divide el cateto adyacente sobre la hipotenusa. Tangente: Para calcular la tangente de un ángulo, se divide el cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Cotangente: Para calcular la cotangente de un ángulo, se divide el cateto adyacente sobre el cateto opuesto. Secante: Para calcular la secante de un ángulo, se divide la hipotenusa sobre el cateto adyacente. Cosecante: Para calcular la cosecante de un ángulo, se divide la hipotenusa sobre el cateto opuesto Figura realizada en GeoGebra
- 9. 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜 ℎ 𝐶𝑜𝑠𝛽 = 𝑐𝑎 ℎ 𝑇𝑎𝑛𝛽= 𝑐𝑜 𝑐𝑎 𝐶𝑜𝑡𝛽 = 𝑐𝑎 𝑐𝑜 𝑆𝑒𝑐𝛽 = ℎ 𝑐𝑎 𝐶𝑠𝑐𝛽 = ℎ 𝑐𝑜 𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝛽 =𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙 Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑣𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑦ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠. Ejemplo: Calcular las seis razones trigonométricas para los ángulos “ 𝛽 , 𝛾” del siguiente triángulo rectángulo ℎ =? 𝑎 = 10𝑐𝑚 𝑏 = 8𝑐𝑚 ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏2 ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏2 ℎ2 = (10 𝑐𝑚)2 + (8 𝑐𝑚)2 ℎ2 = 100 𝑐𝑚2 + 64 𝑐𝑚2 ℎ2 = 164 𝑐𝑚2 ℎ2 = 164 𝑐𝑚2 ℎ = 12,8 𝑐𝑚 Al no saber el valor del otro lado que es necesario para aplicar algunas razones trigonométricas, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar en este caso el valor de la hipotenusa, luego podemos aplicar cada una de las funciones para los ángulos solicitados sⅇn 𝛾 = 𝑐𝑜 ℎ cos 𝛾 = 𝑐𝑎 ℎ tan 𝛾 = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 sⅇn 𝛾 = 10𝑐𝑚 12,8𝑐𝑚 cos 𝛾 = 8𝑐𝑚 12,8𝑐𝑚 tan 𝛾 = 10𝑐𝑚 8𝑐𝑚 sⅇn 𝛾 = 0,78 cos 𝛾 = 0,625 tan 𝛾 = 1,25 sⅇn 𝛽 = 𝑐𝑜 ℎ cos 𝛽 = 𝑐𝑎 ℎ tan 𝛽 = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 sⅇn 𝛽 = 8𝑐𝑚 12,8𝑐𝑚 cos 𝛽 = 10𝑐𝑚 12,8𝑐𝑚 tan 𝛽 = 8𝑐𝑚 10𝑐𝑚 sⅇn 𝛽 = 0,625 cos 𝛽 = 0,78 tan 𝛽 = 0,8 cot 𝛽 = 10𝑐𝑚 8𝑐𝑚 sⅇc 𝛽 = 12,8𝑐𝑚 10𝑐𝑚 csc 𝛽 = 12,8𝑐𝑚 8𝑐𝑚 cot 𝛽 = 1,25 sⅇc 𝛽 = 1,28 csc 𝛽 = 1,6 cot 𝛽 = 𝑐𝑎 𝑐𝑜 sⅇc 𝛽 = ℎ 𝑐𝑎 csc 𝛽 = ℎ 𝑐𝑜 cot 𝛾 = 𝑐𝑎 𝑐𝑜 sⅇc 𝛾 = ℎ 𝑐𝑎 csc 𝛾 = ℎ 𝑐𝑜 cot 𝛾 = 8𝑐𝑚 10𝑐𝑚 sⅇc 𝛾 = 12,8𝑐𝑚 8𝑐𝑚 csc 𝛾 = 12,8𝑐𝑚 10𝑐𝑚 cot 𝛾 = 0,8 sⅇc 𝛾 = 1,6 csc𝛾 = 1,28
- 10. Hay que recordarque una ecuación es una igualdad, ahora bien, una identidad es una ecuación donde se cumple para cualquier valor que se le de a la variable. Una Identidad Trigonométrica es una identidad donde hace presencia las funciones trigonométricas, y las incógnitas son los nombres que se le dan a los ángulos. Hay que recordar que se deben trabajar en una identidad con funciones que contengan el mismo nombre del ángulo para que lleve el nombre de Identidad. Ejemplo: tan 𝛽 = sin 𝛽 cos 𝛽 Si a la incógnita o al ángulo 𝛽 le colocamos un valor, en todos los campos donde este, la igualdad se cumplirá. tan 20° = sin 20° cos 20° Comprobamos en la calculado los valores. 0,36 = 0,34 0,93 0,36 = 0,36
- 11. Se tiene quetener presente que entre las identidades trigonométricas tenemos: Identidades recíprocas e identidades pitagóricas. Identidades Recíprocas: Son ocho (8) identidades recíprocas, las seis (6) primeras se forman por el uno (1) divido el inverso de cada una de las funciones, ya anteriormente hablamos quienes eran los inversos de cada uno; las otras dos identidades recíprocas son la tangente y la cotangente, donde la tangente es igual al seno dividido coseno y la cotangente al ser la inversa de la tangente sería la división del coseno sobre el seno. 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 1 𝐶𝑠𝑐𝛽 𝐶𝑜𝑠𝛽 = 1 𝑆𝑒𝑐𝛽 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 1 𝐶𝑜𝑡𝛽 𝐶𝑜𝑡𝛽 = 1 𝑇𝑎𝑛𝛽 𝑆𝑒𝑐𝛽 = 1 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝐶𝑠𝑐𝛽 = 1 𝑆𝑒𝑛𝛽 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 𝑆𝑒𝑛𝛽 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝐶𝑜𝑡𝛽 = 𝐶𝑜𝑠𝛽 𝑆𝑒𝑛𝛽
- 12. Para demostrar quecada una de estas son identidades, se tiene que tener presente cada una de las funciones trigonométricas: 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜 ℎ 𝐶𝑜𝑠𝛽 = 𝑐𝑎 ℎ 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 𝐶𝑜𝑡𝛽 = 𝑐𝑎 𝑐𝑜 𝑆𝑒𝑐𝛽 = ℎ 𝑐𝑎 𝐶𝑠𝑐𝛽 = ℎ 𝑐𝑜 Ejemplo. Demostrar la siguiente identidad: 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 1 𝐶𝑠𝑐𝛽 Reemplazamos valores y para aplicar la ley de extremos y medios le asignamos un 1 al numerador para convertirla a fracción. 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 1 1 ℎ 𝑐𝑜 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜 ℎ 𝑐𝑜 ℎ = 𝑐𝑜 ℎ
- 13. Identidades Pitagóricas :En esta se tiene presente el teorema de Pitágoras que dice, que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, en este caso, la hipotenusa es 1 y los catetos son el Seno de un ángulo y el Coseno del mismo ángulo. Se debe tener presente las funciones trigonométricas 12 = 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 1 = 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 De esta fórmula se pueden encontrar otras. 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 1 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛2𝛽 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 𝑠𝑒𝑛2𝛽 𝑐𝑠𝑐2 𝛽 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝛽 1 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 𝑠𝑒𝑐2 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛2 𝛽 +1 𝑐𝑜𝑡2 𝛽 = 𝑐𝑠𝑐2 𝛽 − 1 𝑡𝑎𝑛2 𝛽 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛽 −1
- 14. Ejemplo. Comprobar lasiguiente identidad: Reemplazamos valores que permitan que se cumpla la identidad con las funciones trigonométricas conocidas, pues estas sirven para cualquier exponente. 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 1 Buscamos igualar uno de los miembros, en este caso es más fácil igualar al segundo miembro 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 1 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠2 𝛽 − 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1 = 2𝑐𝑜𝑠2𝛽 − 1
- 15. Castañeda, H. S.(2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/6 9943?page=159 Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas Geogebra. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691 Rondón, J. (2017). Modulo Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 136 – 235. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583