Este documento presenta información sobre trigonometría plana. Incluye las siguientes secciones: razones trigonométricas en triángulos rectángulos, teorema de seno y coseno, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y aplicaciones trigonométricas. Explica conceptos como las razones trigonométricas, las leyes de seno y coseno, y cómo usar identidades trigonométricas para simplificar expresiones.

1. Unidad 2. Pensamiento
variacional y trigonométrico.
Fase 3. Trigonometría plana.
Carolina Torres Espinosa Cód: 1005259141
Jaydher Hernando Rojas Jaimes. Cód. 1102372442
Álgebra, trigonometría y geometría analítica-551108
Grupo:13
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD

2. Temáticas
 Razones trigonométricas.
 Teorema o ley de seno y coseno.
 Identidades trigonométricas.
 Ecuaciones trigonométricas.
 Aplicaciones trigonométricas.

3. Razones trigonométricas en triángulos
rectángulos.
Hipotenusa: Lado más lago del triángulo, que en este
caso es el lado opuesto al ángulo de 90°.
Cateto opuesto (CO): Hace referencia al lado que se
encuentra en contraposición al ángulo que se esté
analizando.
Cateto adyacente (CA): Hace referencia al lado que se
encuentra seguido del ángulo analizado.
En los triángulos rectángulos las razones trigonométricas, hacen referencia
a las razones que se dan entre los lados de este triangulo. Estas razones se
plantean de acuerdo a cada uno de los ángulos del triángulo.
Los lados en un triángulo rectángulo se denominan de acuerdo a su
relación con el ángulo analizado:

4. Razones trigonométricas
𝑆𝑒𝑛 𝑥 =
𝑐𝑜
ℎ
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
𝑐𝑎
ℎ
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
𝐶𝑜
𝐶𝑎
𝐶𝑠𝑐 𝑥 =
ℎ
𝑐𝑜
𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
ℎ
𝑐𝑎
𝐶𝑜𝑡 𝑥 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
Las razones trigonométricas básicas son seno, coseno y tangente,
de estas surgen las funciones trigonométricas derivadas, las
cuales son cosecante, secante y cotangente, las cuales plantean
razones trigonométricas reciprocas a las principales.

5. Ejemplo
11,4 cm
𝑆𝑒𝑛 𝐴 =
𝑐𝑜
ℎ
=
3
11,4
𝐶𝑜𝑠 𝐴 =
𝑐𝑎
ℎ
=
11
11,4
𝑇𝑎𝑛 𝐴 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
3
11
Razones trigonométricas para el ángulo A.

6. Teorema de seno
La fórmula de este teorema se puede escribir de dos maneras
dependiendo del dato que se esté indagando.
Este teorema establece la relación de proporcionalidad que se da entre
los lados de un triángulo de cualquier tipo, con los senos de los
ángulos opuestos a estos lados. Se emplea cuando conocemos al
menos dos lados y un ángulo apuesto a alguno de estos lados.
Para hallar el valor de un lado:
𝑎
𝑆𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑆𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐶
Para hallar el valor de un ángulo:
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
Nota: Se utilizan dos de las tres partes de la proporcionalidad,
dependiendo de los datos que se tengan y se despeja la incógnita.

7. Ejemplo:
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐶
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐴 =
𝑆𝑒𝑛 𝐶 𝑎
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐴 =
𝑆𝑒𝑛 75,78° 70
75,4
𝑆𝑒𝑛−1
𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1
𝑆𝑒𝑛 75,78° 70
75,4
𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1
𝑆𝑒𝑛 75,78° 70
75,4
𝐴 = 64.149°
𝐴 = 64.2°
=75,4
Hallar el valor del ángulo A
por medio de la ley de seno.

8. Teorema de coseno
Fórmulas del teorema de coseno
 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐴
 𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐵
 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐶
Este teorema establece la relación de proporcionalidad que se da entre
los lados de un triángulo cualquiera, con los cosenos de los ángulos
opuestos a dichos lados.
Se emplea principalmente
cuando se conoce:
LAL: Lado, ángulo, lado.
LLL: El valor de los tres
lados del triángulo.

9. Ejemplo
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝐶
𝑐2
= 70 2
+ 50 2
− 2 70 50 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78°
𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 70 50 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78°
𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 3500 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 75,78°
𝑐2 = 4900 + 2500 − 2 3500 ⋅ 0,245
𝑐2 = 4900 + 2500 − 1719,5
𝑐2
= 5680,5
𝑐2 = 5680,5
𝑐 = 75,369
𝑐 = 75,4𝑚
Hallar el valor del lado c, empleando la ley de coseno.

10. Identidades trigonométricas
 Las identidades trigonométricas se pueden entender como la
igualdad entre las razones trigonométricas.
 La identidad trigonométrica también se puede entender como una
ecuación que contiene funciones trigonométricas; dicha ecuación
debe ser válida para todos los valores que se le puedan asignar a
las variables.
 Las identidades trigonométricas se emplean para simplificar o
reescribir una expresión matemática que contenga funciones
trigonométricas.

11. Identidad fundamental
De ella podemos obtener inicialmente dos fórmulas cuando
realizamos el despeje de seno y coseno respectivamente:
La identidad fundamental es de las identidades más importantes
dentro de las funciones trigonométricas, ya que ella establece la
relación entre el teorema de Pitágoras, la relación entre los
lados de un triángulo y el circulo trigonométrico.
𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2 𝑥 = 1
𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 1 − 𝐶𝑜𝑠2(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) = 1 − 𝑆𝑒𝑛2(𝑥)

12. Identidades de cociente
Las identidades de cociente hacen referencia a tangente y
cotangente las cuales representa respectivamente la relación
que se puede establecer entre la división o cociente de las
funciones trigonométricas de seno y coseno.
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
𝑆𝑒𝑛(𝑥)
𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝐶𝑜𝑡 𝑥 =
𝐶𝑜𝑠 (𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥)

13. Identidades reciprocas
Las identidades reciprocas se obtienen al aplicar el reciproco a cada
una de las razones trigonométricas de dichas funciones, en las cuales
se obtendrán nuevas fracciones que representan dichas razones.
𝑆𝑒𝑛 𝑥 =
1
𝐶𝑠𝑐(𝑥)
reciproca 𝐶𝑠𝑐 𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑛 (𝑥)
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑐 (𝑥)
reciproca 𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝐶𝑜𝑠 (𝑥)
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
1
𝐶𝑜𝑡 (𝑥)
reciproca 𝐶𝑜𝑡 𝑥 =
1
𝑇𝑎𝑛 (𝑥)

14. Identidades pitagóricas
Dichas identidades se conocen como pitagóricas, ya que se derivan
del teorema de Pitágoras. Por otra parte, surgen entre la relación de
la identidad fundamental y las identidades del cociente.
𝑇𝑎𝑛2
𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝐶𝑜𝑡2
𝑥 + 1 = 𝐶𝑠𝑐2
(𝑥)

15. Ejemplo
Realizar la identidad trigonométrica
𝑆𝑒𝑐 𝑥
𝑇𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑡 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑇𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑡 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
+
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥
1
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
= 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥

16. Ecuaciones trigonométricas
 Para resolver ecuaciones trigonométricas se necesita de un buen
manejo de las identidades y de las funciones trigonométricas inversas,
además de principios de álgebra y trigonometría, ya que lo que se
busca es poder despejar el ángulo que satisfaga la respectiva ecuación
trigonométrica.
 Para desarrollar toda ecuación trigonométrica se recomienda reescribir
está en función únicamente de seno o de coseno.
 Finalmente, se debe Identificar de acuerdo a los cuadrantes del plano
cartesiano y en relación con la circunferencia unitaria o
trigonométrica, dependiendo de la respuesta obtenida, los ángulos que
se pueden cumplir para dicha ecuación.
Las ecuaciones trigonométricas hacen referencia a aquellas
identidades que se cumplen exclusivamente para ángulos específico.

17. Ejemplo
𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0
1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0
1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0
−2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 0 − 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
0 − 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
−2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
− 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
−2 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
−1
−2
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
1
2
𝑥 = 𝐶𝑜𝑠−1
1
2
𝑥 = 60°
𝑥1= 60° 𝑥2 = 360° − 60°
𝑥2 = 300°
Resolver la ecuación
Encontrar los ángulos que
satisfacen la ecuación.

18. Aplicaciones trigonométricas
Para resolver problemas matemáticos asociados a las funciones
trigonométricas, se recomienda tener conocimientos de las
temáticas abordadas en estas diapositivas además de
conocimientos algebraicos, trigonométricos y geométricos, así
como graficar las situaciones abordadas.
En la vida cotidiana, las funciones trigonometrías poseen una gran cantidad
de aplicaciones que nos permiten resolver distintas problemáticas o
situaciones matemáticas, estas aplicaciones tienen gran impacto en ámbitos
como la ciencia, la ingeniería, la arquitectura y la construcción entre otras,
pues principalmente las funciones trigonométricas nos permiten conocer el
valor de ángulos y de lados en relación a ángulos, lo cual es de gran
relevancia en diferentes ámbitos científicos y de la vida cotidiana.

19. Ejemplo
Andrea y Claudia corren juntas un trayecto, llegan a un cruce de
caminos rectos (sin ninguna curva), que forman entre sí un ángulo
de 60º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Andrea
camina a 2 km/h y Claudia a 4 km/h ¿A qué distancia estará Andrea
de Claudia al cabo de una hora y media?
1. Hallar la distancia que han recorrido Andrea y Claudia en
cada uno de los caminos, al cabo de una hora y media.
𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑎 =
2𝑘𝑚
ℎ
⋅ 1,5ℎ = 3𝑘𝑚
𝐶𝑙𝑎𝑢𝑑𝑖𝑎 =
4𝑘𝑚
ℎ
⋅ 1,5ℎ = 6𝑘𝑚

20. 2. Graficar el problema en GeoGebra.

21. 3. Aplicar la ley de coseno para hallar el valor de b, que es igual a la
distancia entre Andrea y Claudia.
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 𝐵
𝑏2 = 62 + 32 − 2 6 3 ⋅ 𝐶𝑜𝑠 60°
𝑏2
= 36 + 9 − 2 18 ⋅
1
2
𝑏2 = 36 + 9 − 18
𝑏2 = 27
𝑏2 = 27
𝑏 = 5,19𝑘𝑚
Respuesta: Al cabo de una hora y media Andrea estará a 5,19 km
de Claudia.

22. Referencias
Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias.
Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas GeoGebra.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 - 265.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583