Este documento presenta información sobre la resolución de triángulos no rectángulos utilizando el teorema del seno. Explica los cuatro casos posibles para resolver un triángulo dependiendo de los elementos conocidos, como ángulos y lados. También proporciona ejemplos numéricos para practicar la aplicación del teorema. Finalmente, propone una tarea en grupo donde los estudiantes investigarán más sobre el tema y practicarán resolviendo ejercicios.

1. Jorge enrique Flórez santacruz
IED EL JAZMIN
MAESTRO DE MATEMATICAS
LEY DE LOS SENOS
Nivel Educativo: SECUNDARIA
Área curricular: TRIGONOMETRIA

2. El problema general de
resolución de un triángulo
El problema general de
resolución de un triángulo
consiste en hallar las
longitudes de sus lados a, b y
Los triángulos c y el valor de sus ángulos A,
pueden ser de tres tipos, B y C.
además del conocido En general basta con conocer
triángulo rectángulo (con tres cualesquiera de estos
un ángulo de 90º) seis elementos para obtener
tenemos también los otros tres: conocido dos
acutángulos, con los tres ángulos y un lado, un lado y
ángulos agudos, y dos ángulos o los tres lados.
obtusángulos, que tienen El caso de los tres ángulos no
un ángulo de más de 90º. tiene solución única pues hay
Vamos a utilizar siempre infinitos triángulos semejantes
la misma notación: A, B y que cumplen la condición.
C para los vértices y a, b En realidad tenemos cuatro
y c para los lados del problemas diferentes:
triángulo. 1. Conocidos dos ángulos y
LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE
un lado.
UN TRIÁNGULO CUALQUIERA
ES 180º. RECUERDA ESTO 2. Conocidos dos lados y el
PUES LO VAMOS A UTILIZAR ángulo adjunto a uno de ellos.
MÁS ADELANTE (A+B+C=180º). 3. Conocidos dos lados y el
ángulo comprendido.
4. Conocidos los tres lados
Para resolverlos, vamos a
utilizar dos teoremas:
Teorema del seno
Teorema del coseno

3. TEOREMA DEL SENO
En todo triángulo, el cociente entre cada lado y el
seno de su ángulo opuesto es el mismo.
En un triángulo cualquiera se cumple siempre que:
Tenemos tres igualdades que nos relacionan los seis
datos de un triángulo y que nos van a ayudar a
resolverlos.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO
Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:
h = b·senA y h = a·senB
Luego b·senA = a·senB,
de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno:
La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del
triángulo.
SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO SE DEMUESTRA
IGUAL:
Se demuestra igual pues h = a·sen (B-180º) pero sen (B-180º) = sen B

4. 1a. Resolución de un triángulo
del que se conocen dos ángulos y
el lado que los une.
En primer lugar, se calcula fácilmente el ángulo
C.
Si de un triángulo conocemos A=30º,
B=100º y c=5 cm. calcular el resto de los
elementos.
A continuación, se aplica el teorema de los senos y Solucion:
se calculan los ángulos A y B. Como A+B+C = 180º tenemos que C=
180-A-B = (180-30-100) = 50º
Para el cálculo de las longitudes de los
lados utilizaremos el teorema del seno:
y despejando
y (b) se calcula igual

5. 1b. Resolución de triángulos en los que
conocemos dos ángulos y un lado que no sea el y despejando
que une estos ángulos.
En realidad es el mismo caso de antes, pues si
conoces dos ángulos conoces el tercero.
Resolver el triángulo A=80º, C=30º y c=8 2.
Solución: Como A+B+C = 180º tenemos que C
= 180-A-B = (180-80-30) = 70º Y de la misma forma
Para el cálculo de las longitudes de los lados
utilizaremos el teorema del seno:
Resolución de triángulos conocidos dos lados y el
ángulo opuesto a uno de ellos.
Es el caso que más problemas plantea, pues
podemos encontrarnos casos en los que tengamos
una solución, dos soluciones o ninguna:
Nota: recuerda que A+B+C=180º y que el seno
nunca puede ser mayor que 1 o menor que -1).
Pues bien, se nos pueden dar, en este último caso,
las siguientes posibilidades: a = c.sen A, con lo cual el triángulo es rectángulo.
a < c.sen A, con lo cual el triángulo no existe.

6. a > c.sen A y a< c, en cuyo caso existen dos
triángulos: ABC y ABC´.
a>c.sen A y a>=C, con lo cual estamos
en el caso de un sólo triángulo. Será
esta posibilidad la que ocupe nuestro
estudio dentro del caso IV.
Resuelvan el triángulo del que conocemos b=7.7 cm.,
c=8.7 cm. y B=52º.
Aplicando el teorema del seno se obtiene
Luego C = 62.9º o bien C = 117.1º el
problema tiene dos soluciones.
Para C=62.9º A=180-B-C=65.1º y
cm.
Para C = 117.1° se tiene A = 10.9º y a=
1.8477348 cm.

7. [2. TAREA:]
Descripción:
DADA LA INFORMACION PERTINENTE AL CONOCIMIENTO PROPUESTO, LOS
ESTUDIANTES ESTARAN LISTOS PARA RESOLVER CUESTIONAMIENTOS Y
MUCHO MAS.
Durante esta actividad trabajarán en grupos de 5 estudiantes para completar las
siguientes tareas:
Identificar los elementos del teorema del seno, sus relaciones y regularidades.
Distinguir los diferentes casos de solucion que se puedan presentar al abordar la
resolución de triángulos no rectángulos.
Practicar elaborando los ejercicios propuestos al final de la explicación.
Representar una o dos situaciones cotidianas a través de un triangulo no rectángulo.
Investigar a cerca del tema bajo perspectivas distintas o semejantes, abordando
nuevos temas que los inquieten.
Para esto cada uno deberá asumir un rol distinto.
EJERCICIOS
1. Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º.
2. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.
3. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.
4. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.
5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se
cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.
[3.PROCESO:]
1. Trabajarán en grupos de 5 estudiantes y cada uno de ellos asumirá un rol
diferente, investigando sobre diferentes aspectos del tema. Tomarán anotaciones
mientras hacen sus investigaciones en un documento de Word, que más tarde
juntarán y resumirán en un documento común.
Estos son los roles que asumirán:
Investigador 1: su labor consistirá en investigar todo acerca de los elementos del
teorema del seno, sus relaciones y regularidades. Estas son algunas de las
direcciones que le pueden ayudar a llevar a cabo la investigación. No se olvide de
poner algunas imágenes ilustrativas.
Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation.
http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

8. Investigador 2: su tarea se basará en la aplicación de la
información sobre como se resuelven los diferentes casos en
triángulos no rectángulos por medio del teorema del seno.
Representando una o dos situaciones cotidianas a través de un
triangulo no rectángulo.
http://www.eduteka.org
http://ciencias.bc.inter.edu/ohernand/internet/enlaces/
matematicos.html
líder investigador: como responsable de la dirección deberá
aventurarse a investigar a cerca del tema bajo perspectivas distintas
o semejantes, abordando nuevos temas que los inquieten.
http://www.matematicas.net/
http://sipan.inictel.gob.pe/av/
http://www.dvnet.es/rubia/rmat.htm
organizador: su trabajo consistirá en apoyar la resolución de los
ejercicios planteados al final de la información de la tarea,
estableciendo para ello el orden y el compromiso de cada integrante.
www.arrakis.es/~davidgv/index.html
www.redemat.com/
expositor: su trabajo consiste en presentar ordenada y fielmente la
recopilación de la información con pleno conocimiento de todos los
temas para representar al grupo de la mejor manera.
http://www.monografias.com/trabajos
Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation.
2.- Cuando recopilen toda la información que se requiere para la
investigación, realizaran entre todos una puesta en común y
socialización de información para compilar las escogencias previo
acuerdo.
3.- Para finalizar expondrán su tarea a los compañeros de la clase,
explicando los aspectos más característicos de este. Este trabajo
formará parte de la biblioteca del aula.