Recomendados
Más contenido relacionado
Similar a Trigonometría, geometría analítica y razonamiento matemático
Similar a Trigonometría, geometría analítica y razonamiento matemático (20)
Último
Último (20)
Trigonometría, geometría analítica y razonamiento matemático
- 1. Algebra, trigonometría y geometría analítica Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela de Ciencias de la Educación Danny Juliana Valdivieso Cubides Andrea Liliana García Alarcón
- 2. Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos 𝑆𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝑎 − 𝑏 = 𝑆𝑒𝑛 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏 − 𝐶𝑜𝑠 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 Tan 𝑎 + 𝑏 = 𝑡𝑎𝑛𝑎 + 𝑡𝑎𝑛𝑏 1 − 𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑏 𝑇𝑎𝑛 𝑎 − 𝑏 = 𝑡𝑎𝑛𝑎 − 𝑡𝑎𝑛𝑏 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑏
- 3. Teorema de Seno Para un triángulo los lados a, b, b y ángulos opuestos A, B ,C respectivamente se cumple: 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 𝑎 = 𝑆𝑒𝑛(𝐵) 𝑏 = 𝑆𝑒𝑛(𝐶) 𝑐 Teorema del coseno Existen situaciones donde el teorema del seno no se puede aplicar de manera directa, en caso como tener los tres lados. Para estos casos y otros, la solución es el teorema del coseno. Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C respectivamente se cumple: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶 Identidades trigonométricas Son igualdades que involucran funciones trigonométricas y se verifican para cualquier valor permitido de la variable o variables que se consideren, es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los cuales se aplican las funciones. Si la gráfica de dos funciones coinciden, entonces es una identidad. En cambio, si solamente se cortan en uno o algunos puntos, entonces se trata de una ecuación trigonométrica cuyas soluciones son las abscisas de los puntos de corte. Según su forma, las identidades trigonométricas adquieren distintos nombres: identidades trigonométricas de cociente e identidades trigonométricas pitagóricas.
- 4. Identidades trigonométricas Pitagóricas Se obtienen al aplicar el teorema de Pitágoras a las definiciones de las funciones trigonométricas. Son tres identidades y se cumplen para cualquier valor del ángulo x. 𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑐2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 Identidades trigonométricas de cociente Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tangente y cotangente y tienen la propiedad de relacionar por medio de un cociente, las funciones trigonométricas seno y coseno. Función Cociente Demostración Tangente A La razón del seno x entre coseno de x se cumple para 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑐 𝑏𝑐 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 Cotangente A La razón del coseno x entre seno x se cumple para 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 = 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑏 𝑎 = 𝑏 𝑎
- 5. Identidades trigonométricas fundamentales Pitagóricas Recíprocas Fundamentales Identidad Despejes Identidad Despejes Identidad Despejes 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 = 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 𝑆𝑒𝑛𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑎 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 1 𝑐𝑠𝑐𝑎 tan 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = tan 𝑎 ∗ cos𝑎 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 csc𝑎 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 tan 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑎 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 − 1 cos 𝑎 ∗ sec 𝑎 = 1 cos 𝑎 = 1 sec 𝑎 cot 𝑎 = cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑎 = cot 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑎 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑎 = 1 sec 𝑎 = 1 cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = cos 𝑎 cot 𝑎 𝑐𝑜𝑡2 𝑎 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2 𝑎 𝑐𝑜𝑡2 𝑎 = 𝑐𝑠𝑐2 𝑎 − 1 tan 𝑎 ∗ cot 𝑎 = 1 tan 𝑎 = 1 cot 𝑎 sec 𝑎 = 1 cos 𝑎 cos 𝑎 ∗ sec 𝑎 = 1 𝑐𝑜𝑡2 𝑎 − 𝑐𝑠𝑐2 𝑎 = 1 cot 𝑎 = 1 tan 𝑎 cos 𝑎 = 1 sec 𝑎 csc𝑎 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∗ csc 𝑎 = 1 sen a = 1 csc a
- 6. Razones trigonométricas de la suma y resta de ángulos 𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑆𝑒𝑛 𝑎 − 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 cos 𝑎 − 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 tan 𝑎 + 𝑏 = tan 𝑎 − tan 𝑏 1 − tan 𝑎 ∗ tan 𝑏 tan 𝑎 − 𝑏 = tan 𝑎 − tan 𝑏 1 + tan 𝑎 ∗ tan 𝑏 Ejercicios de práctica
- 7. a. 𝑎 = 17𝑚 𝑏 = 42𝑚 𝑐 = 31𝑚 Para hallar Cos A 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 = 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 −2𝑏𝑐 = 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝐶𝑜𝑠𝐴 = 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 −2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐴 = 172 − 422 − 312 −2 42 31 𝐶𝑜𝑠𝐴 = 20,7° Para hallar Cos B 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐵 −𝑎2 +𝑏2 −𝑐2 = −2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐵 −𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 −2𝑎𝑐 = 𝐶𝑜𝑠𝐵 𝐶𝑜𝑠𝐵 = −𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 −2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐵 = −172 + 422 − 312 −2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐵 = 119,2° Para hallar Cos C 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠𝐶 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑏2 = −2𝑎𝑏 𝐶𝑜𝑠𝐶 −𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2 −2𝑎𝑏 = 𝐶𝑜𝑠𝐶 𝐶𝑜𝑠𝐶 = −𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2 −2𝑎𝑏 𝐶𝑜𝑠𝐶 = −172 −422 +312 −2 17 42 𝐶𝑜𝑠𝐶 = 40,1° Tarea 1
- 8. Para α Ca= 4cm Co=2,06cm h=4,5cm 𝑆𝑒𝑛𝛼 = 2,06 4,5 𝛼 = 𝑆𝑒𝑛−1 0,46 𝛼 = 27,27° 𝐶𝑜𝑠𝛼 = 4 4,5 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠−1 0,9 𝛼 = 27,27° 𝑇𝑎𝑛𝛼 = 2,06 4 𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1 0,5 𝛼 = 27,27° Para β Co=4cm Ca=2,06cm h=4,5cm 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 4 4,5 𝛽 = 𝑆𝑒𝑛−1 0,9 𝛽 = 62,73° 𝐶𝑜𝑠𝛽 = 2,06 4,5 𝛽 = 𝐶𝑜𝑠−1 0,46 𝛽 = 62,73° 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 4 2,06 𝛽 = 𝑇𝑎𝑛−1 1,94 𝛽 = 62,73° Tarea 2
- 9. 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠𝑥 1 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠𝑥 1 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠𝑥 Tarea 3 Tarea 4 2𝐶𝑜𝑠2 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 2 1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 −2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 −2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 𝑆𝑒𝑛𝑥 = −1 ± 12 − 4 −2 1 2 −2 𝑆𝑒𝑛𝑥 = −1 ± 1 + 8 −4 𝑆𝑒𝑛𝑥 = −1 ± 9 −4 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 ± 3 −4 𝑆𝑒𝑛𝑥1 = −1 + 3 −4 𝑆𝑒𝑛𝑥1 = 2 −4 = −1 2 𝑆𝑒𝑛 𝜋 − 𝑥 = −1 2 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −1 2 𝜋 − 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 −1 2 𝑥 = −𝜋 6 𝑥 = 11𝜋 6 ≈ 330° 𝑥 = 7𝜋 6 ≈ 210° 𝑆𝑒𝑛𝑥2 = −1 − 3 −4 𝑆𝑒𝑛𝑥2 = −4 −4 𝑆𝑒𝑛𝑥2 = 1 𝑥 = 𝜋 2 𝑥 = 90°
- 10. Tarea 5 Si vemos una casa bajo un ángulo de 60°, ¿bajo qué ángulo la veríamos si la distancia a la que nos encontramos de la misma fuese el doble? ¿y si fuese el triple? Doble 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 𝑇𝑎𝑛𝛼 2 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 𝑇𝑎𝑛60° 2 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 3 2 𝛽 = 40,89 𝛽 = 𝑇𝑎𝑛−1 40,89 𝛽 = 40,53° Triple 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 𝑇𝑎𝑛𝛼 3 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 𝑇𝑎𝑛60° 3 𝑇𝑎𝑛𝛽 = 3 3 𝛽 = 30°
- 11. Referencias Bibliográficas Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 - 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583 Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas Geogebra. https://repository.unad.edu.co/h andle/10596/7691